初中数学 微拓展 特殊平行四边形中的最值问题

微拓展：特殊平行四边形中的最值问题解题策略:线段长度的最值常与图形运动、点运动相关联，需理清定点与动点、常量与变量，动静转化.我们一般根据“对称性+两点之间线段最短或垂线段最短”求最值.

几何模型：

条件：如图1，A,B是直线l同旁的两个点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

原型：“饮马问题”

方法归纳：求线段和最小时，若已知的两点在直线的同侧，则将动点所在的直线为对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与此对称点连接，则连线与对称轴的交点即为所求动点的位置，再求出所连接的线段长，即为所求的最小值. 作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA+PB=A'B的值最小(不必证明)

模型应用：（出题背景变式很多，有时经常会出现在矩形、菱形、正方形背景下）

(1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点A(0,−1)和B(2,−1)，P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小时，点P的横坐标是______，此时PA+PB=______．

(2)如图3，若正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称，则PB+PE的最小值是______．

(3)如图4，若正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为______．

(4)如图5，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E,F分别是AG,AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是______．

知识迁移：

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将B M绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，尝试解决：①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

③当AM＋BM＋CM的最小值为√3+1时，求正方形的边长.

答案

模型应用：

解：(1)如答图2，取点A 关于x 轴对称的点A '，连接A'B 交x 轴于P ， 则此时PA +PB 最小 ,

∵点A 的坐标为（0，-1）,点B 的坐标为（2，-1）

∴AB //x 轴

∴AB =2，

过B 作BH ⊥x 轴于H ,

则BH =1，△A'OP ≌△BHP ,OP =PH =1

∴点P 的横坐标是1，

∴PA +PB =A'B =22

故答案为：1；22

(2) ∵B 与D 关于直线AC 对称

∴PB +PE 的最小值是DE 的长

∵正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点

∴AE =1

在Rt △ADE 中，DE =

5212222=+=+AE AD , 则PB +PE 的最小值是5 故答案为：5；

(3)如图4，设BE 与AC 交于点P ′，连接BD ．

∵点B 与D 关于AC 对称，

∴P'D =P'B ，

∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小．

∵正方形ABCD 的面积为12，

∴AB =32

又∵△ABE 是等边三角形，

∴BE =AB =32， 故答案为：32．

(3) 如图5，作DH ⊥AC 垂足为H 与AG 交于点E ，

∵四边形ABCD 是菱形，

∴AB =AD =CD =BC =8，

∵∠B =60°

∴∠ADC =∠B =60°

∴△ADC 是等边三角形，

∵AG 是中线，

∴∠GAD =∠GAC

∴点H 关于AG 的对称点F 在AD 上，

此时EF +ED 最小值=DH ．

在Rt △DHC 中，∵∠DHC =90° DC =8，∠CDH =21

∠ADC =30°

∴CH =21

DC =4，DH =

3422=-CH CD ∴EF +DE 的最小值=DH =34

故答案为：34

知识迁移：

解：①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小.

②如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最理由如下：连接MN ，易知△AMB ≌ △ENB ，

∴AM ＝EN .

∵∠MBN ＝60°，MB ＝NB ，

∴△BMN 是等边三角形.

∴BM ＝MN .

∴AM ＋BM ＋CM ＝EN ＋MN ＋CM .

根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN ＋CM ＝

EC 最短

∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，即等于EC 的长. ⑶过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，

∴∠EBF ＝90°－60°＝30°,设正方形的边长为x ，则BF ＝x ，EF ＝. 在Rt △EFC 中，∵EF 2＋FC 2＝EC 2，∴（）2＋（

x ＋x ）2＝. 解得，x ＝2±（舍去负值）

∴正方形的边长为2.