概率论与数学建模
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第六章 概率论与数学建模
一、随机事件及其概率
1.随机事件：可重复；可预测结果且结果明确；试验前出现那个结果
不能确定
例如：抛骰子一次，抛一枚硬币三次等。
2.事件的运算及其含义：
B A ⊂：A 为B 的子事件。其含义是：A 发生则B 必发生 B A =：事件A ，B 相等。其含义是：A 发生则B 必发生，反之亦然
C B A =⋂：事件A 与B 的交。其含义是：C 发生当且仅当A ，B 同
时发生
C B A =⋃：事件A 与B 的并（和）
。其含义是：C 发生当且仅当A ，B 中至少有一个发生。
C B A =-：事件A 与B 的差。其含义是：C 发生当且仅当A 发生并
且B 不发生。
φ=AB ：事件A 与B 互不相容。其含义是：A 与B 不可能同时发生。 A ：事件A 的对立事件。
3.概率：刻化某一事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标。
(当∞→n 时，)()(A P A f P −→−
) 4.古典概论：某个试验共有n 个等可能的结果（样本点），事件A 包含其中m 个结果（样本点），则认为n
m 就是事件A 的概率。这种基于等可能性确定概率的模型称为古典概率模型。
例6.1.1（Monte Hall Problem ）20世纪60，70年代，美国“电视游戏
秀”曾经非常流行一个名叫“Let ’s Make a Deal ”的节目，由Monte Hall 主持。游戏过程如下：有三扇关着的门，其中一扇门后面有奖品（一辆汽车），其余两扇门后面则没有奖品，若猜中了有奖品的门就能赢取这辆汽车。你从中挑选一扇门，但暂不打开。这时，主持人在另外两扇门中挑一个没有奖品的门打开，并展示给你和观众。然后，主持人问你：是坚持原来的选择，还是换成最后那扇门？
解：从能不能得奖的角度看，这个游戏只有两个结果：不换门得奖（A ）、换门能得奖（B ）。第一个门是你“三选一”随机（等可能地）挑选的，故P(A)=1/3,自然，另一个结果的概率就是P(B)=2/3。因此，正确的决定是换成那扇门。
例6.1.2（抽签原理）袋中有2只红球8只黑球（除颜色外无法再分辨）。10个人依次摸球，得红球者中奖。求：k A ＝{第k 个摸球者中奖}的
概率，k=1,2,…,10
解法一：假定对解题者来说这些球可辨别。样本点为一轮抽签结束后这10个球的排列，共有10！个等可能的样本点。事件k A 所含样本点
的特征是：两个红球中任选一个排在第k 位（有12C 种可能），而其余
9个球在其余9个位置上可任意排列（有9！种可能）。因此k A 包含了
9！1
2
C 个样本点，故51!10!9)(12==C A P K . 解法二：假定球不可辨，只需关注红球落入哪两个人之手，样本空间
共有45210
=C 个等可能的样本点。事件k A 发生意味着第k 个人得一红球，另一红球落入其余9人中某一人之手，这有19C 种可能，所以
5
1459)(==K A P 。 例6.1.3（分球入盒模型）将2只球随机地放入3个可辨的盒子中。求事件A={甲乙两个盒子中各有一只球}的概率。
模型一：假定球可辨，根据乘法原理，样本空间有23个等可能的样本点，而事件A 所含的样本点有222=P 个（两只球的排列），所以9
2)(=A P . 模型二：假定球不可辨，则样本空间共有624=C 个样本点（两块隔板就可以代表三个盒子，两只球以及两块隔板共4个位置，任选其中两个放置隔板）：
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯,,,,, 而事件A 所含的样本点只有一个。
人的直觉经验一般应该是这样的：从物理学上说，球总是可辨的（难以想象这个球既是这个球又是那个球），所谓不可辨，也只是根据问题或研究的目的，不在乎它们之间的区别而已。如果需要，后三种情形还是可以区别的。因此，现在这6个样本点不是等可能的：前三个均为91，后三个均为92。故答案应该还是9
2)(=A P 。