行列式习题课

a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 0 ann
a11a22 ann .
对角形行列式

a11 0 0 0 a22 0 0 0 ann
a11a22 ann .
0
0 0 an1,2 an 2
0 a2,n1
从而 D n
x1 x 2 x n1a x n D n1.
从而 D n
x1 x 2 x n1a x n D n1.
由此递推，得
D n1 x 1 x 2 x n2a x n1 D n2, 于是 a x 1 x 2 x n 2a x n D n x 1 x 2 x n１ x n x n1 D n 2.
a x1 a 1 x2 a xn

a x1 a x2 a 1 xn
a 1 i 1 x i a x 1 x 2 x n x2 a xn
n
a 1 i 1 x i a 1 x2 a xn
n

a 1 i 1 x i a x2 a 1 xn
n阶反对角形
4、行列式性质
互换行列式的两行(列) 行列式变号
行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零 行列式中有两行(列)元素成比例 则行列式等于零. 行列式D与它的转置行列式DT相等 数k乘行列式 等于k乘此行列式的某一行(列) 某一行(列) 的公因子可提到行列式符号的外面

a a
a a
a

x n1 0 a xn
右端的第一个行列式, 将第n列的( 1)倍分别 加到第1,2, , n 1列, 右端的第二个行列式按第n 列展开, 得
x1 0 0 x2 Dn 0 0 0 0 0 0 a a x n D n 1 , a
x n 1 0 a
第一章 行列式 习题课
主要内容 典型例题
本章的内容安排及要求
• 本章主要在二、三阶行列式的基础上， 建立起 n 阶行列式的理论：n 阶行列式的 定义、性质和计算方法，最后将介绍 n 阶 行列式的一个应用——克拉默法则，用来 求解一类特殊的n元线性方程组． 本章要求掌握行列式的定义、性质及 展开定理，会应用于计算数字行列式、低 阶行列式以及一些特殊的 n 阶行列式．
解 含因子a11a23的项的一般形式为 (1)ta11a23a3 r a4 s 其中r s是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 (1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)ta11a23a34a42a11a23a34a42
•
主要内容 基本知识点回顾
1、二阶与三阶行列式的计算
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
对角线法则
只适用于二阶 与三阶行列式
a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
2、n阶行列式的三个定义
定理2
如果上述线性方程组无解或有两个不同的解， 则它的系数行列式必为零 .
定理3
如果齐次线性方程组 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n 0, a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0, a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n 0. 的系数行列式D 0, 那么它只有零解 .
D
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
p1 p2 pn
逆序数的计算
确定行列式某项的符号 用定义计算一些特殊的行列式


1
t p1 p2 pn
a1 p1 a2 p2 anpn
a p1 1a p2 2 a pnn
p1 p2 pn
1
t p1 p2 pn
( 1)
t ( i1i2in ) t ( j1 j2 jn )
ai1 j1 ai2 j2 ain jn
3、常用的行列式
a11 a21 下三角形行列式 D a31 an1
上三角形行列式
0 0 0 a22 0 0 a32 a33 0 a11a22 ann an2 an3 ann
n
n
det(a ij ), 0, det(a ij ), 0,
当i s; 当i s . 当j t ; 当j t .
或
k 1
a kj Akt
6、克拉默法则
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1, a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2, 如果线性方程组 a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n. 的系数行列式 D 0, 那么它有唯一解 Dj x j D , j 1,2, , n. 其中 D （ j j 1,2, , n）是把系数行列式 D中第j列 换成常数项b1, b２, b n所得到的行列式 .
n
a 1 x1 a D n x 1 x 2 x n x 2 a xn
a x1 a 1 x2 a xn

a x1 a x2 a 1 xn
a 1 i 1 x i a x 1 x 2 x n x2 a xn
依第n列把 D n拆成两个行列式之和
a x1 a a a x2 Dn a a a
a

a a . xn
a a

a

x1
a
a


x2


a a

a a
a

a a
x1 a a

a

x n1 a a a
a a

a

x2

0 0
.
如此继续下去，可得
D n x 1 x 2 x n １a x 1 x 2 x n 2 a x n x 1 x 2 a x 4 x n x n x n 1 x 3 D 2
评注 本题是利用行列式的性质把所给的n阶
行列式 D n用同样形式的 n 1阶行列式表示出来 , 建立了 D n与n 1阶行列式 D n1之间的递推关系.有 时，还可以把给定的n阶行列式 D n用同样形式的 比 n 1阶更低阶的行列式表示，建立比 n 1阶行 列式更低阶行列式之间的递推关系.

0 a n 1
a 1 b1 c1 d 1
( 1)2 n1 bn c n 1 cn

d n 1 0
拆项法与递推法
例2.5 计算
a x1 Dn a
a
a
a a
a
解
a x2 a
a
a a xn1 a a a xn a
定理4
如果上述齐次线性方程组有非零解，则 它的系数行列式必为零 .
典 型
例
题
一、计算排列的逆序数 二、计算或证明行列式
一、计算排列的逆序数
计算排列逆序数的方法 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数的个数 之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆 序数之总和即为所求排列的逆序数．
一、计算排列的逆序数
若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和 把行列式的某一行(列)的倍数，加到另一行(列)对应 的元素上去 行列式不变
5、行列式按行（列）展开 １）余子式与代数余子式 在n阶行列式Ddet(aij)中 把元素 aij 所在的 第 i 行和第 j 列划去后 剩下来的n1阶行列式, 叫做元素aij的余子式 记作Mij ．
解
按第1行展开
an1
bn 1
bn
a1 b1 c1 d1
cn 1
. dn1 dn

an1 D2n a n cn1 0

a1 b1 c1 d1

bn1 0
再按最后一行展开，得 递推公式
d n1 0 0 dn
b n 1
D2nandnD2n2bncnD2n2 即 D2n(andnbncn)D2n2 依次递推下去 D2n-2(an-1dn-1bn-1cn-1)D2n4 ······
3）一边两对角线形行列式
4）箭形行列式
P26： 5(3)、5(4)
4. 行列式的计算方法
1）定义法；(0比较多)
2）化三角形法；
3）降阶展开法； (阶数不高的数字行列式)
4）数学归纳法；
5）递推公式法； 6）拆行拆列法； 7）加边法； 8）利用Van．行列式.
递推法
例2.4 计算
an D2 n cn
例1. 1
解
k 1 k 1 k t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
0 1
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3 k 1 k k 2 k 1 k 1 k 2 3 2k 3 2k 1 2k 1 2 2k
二、计算或证明行列式
2. 用定义计算（证明）
上三角形、下三角形、对角形行列式 反上三角形、反下三角形、反对角形行列式
例2.3 （P11 ：5）
如果一个n阶行列式中等于零的元素比n2 n还多， 则此行列式必等于零.
3. 几种特殊的行列式
按 边 展 开
1）三角形、反三角形行列式
2）行和或列和为定值