拉普拉斯(Laplace)变换.

拉氏变换的基本定理
8. 卷积积分与卷积定理
t 0
f1t f2 d
f1t *
f2 t 称为f1t 与f2 t 的卷积。
卷积满足交换律，即
f1t * f2 t f2 t * f1t
若L f1t F1s，L f2 t F2 s 则有L f1t * f2 t F1s F2 s
拉普拉氏反变换
实数
虚数 j 1
复数
复变量 s j 其中σ为实部，ω为虚部
复变函数 G(s) Gx jGy 其中Gx、Gy均为实数 Gx jGy 与 Gx jGy 互为共轭复数
复变函数的一般形式
G(s) K (s z1)(s z2) (s p1)(s p2)
其中 z1、z2、…为零点，p1、p2 …为极点
拉普拉斯（Laplace）变换的定义
拉氏变换 拉氏反变换
F (s) L f (t ) f (t )est dt t 0 0
f (t ) L1 F (s) 1
j
F
(s)e
st
ds
2j j
函数 f(t) 的拉氏变换存在的两个条件：
⑴ t<0时，f(t)=0； t≥0时，f(t)在任一有限 区间上至少分段连续 。
⑵ 当t→∞时， f(t)的增长速度不超过某一指
数函数，即
f (t) Mect 0 t
典型时间函数的拉氏变换
1. 单位脉冲函数δ(t)
0
t
lim 0
1
0
t0
0t t
Fs L t 1 f t L11 t
典型时间函数的拉氏变换
2. 单位阶跃函数 u(t)
ut
0 1
t 0 t 0
该定理表明，求多项式的拉氏变换或反 变换可以逐项进行，而且常数可以提到变换 符号之外。
拉氏变换的基本定理
2. 延时定理
若L f t Fs，a为正实数，则有 L f t a easFs
该定理表明，时间函数f(t)的自变量t在 时间轴位移a，其象函数等于f(t) 的象函数 F(s)乘以指数因子e-as。
拉氏变换的基本定理
7. 初值定理与终值定理
若L f t F s，且lim sF s、lim f t 存在
s
t
则有
lim f t lim sF s
t 0
s
lim f t lim sF s
t
s0
该定理表明，原函数f(t)的初值等于s乘 以其象函数F(s) 的终值，而原函数f(t)的终 值等于s乘以其象函数F(s) 的初值。
拉氏变换的基本定理
5. 微分定理
若L f t F s，则有
L
d dt
f t sF s
f 0
推论：L
dn dt n
f t sn F s
该定理表明，在时域内对原函数f(t)每 进行一次微分，就相当于在复域内对其象函 数F(s) 用s乘一次，即将时域内的微分运算 简化为复域内乘以s的代数运算。
拉氏变换的基本定理
3. 复域位移定理
若L f t Fs，a为常数，则有
L eat f t Fs a
拉氏变换的基本定理
4. 时间尺度定理
若L f t F s，a为正实数，则有 L f at 1 F s
a a
该定理表明，如果函数f(t)的自变量 t 扩展a倍，则f(at)的象函数等于f(t)的象函 数F(s)在复域s上压缩a倍，并乘以常数1/a。
2. 要求n>m，否则必须通过多项式除法将 F(s) 化 为一个商为s的多项式与余式为真分式的和式。
拉普拉氏反变换
3. 将分母、分子多项式A(s)、 B(s) 进行因式分解， 即将象函数F(s)化成下列因式分解形式：
F(s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
拉氏反变换
f (t ) L1 F (s) 1
j
F
(s)e st
ds
2j j
在控制系统中，象函数 F(s) 常可写成如下形式：
F (s)
bm s m an s n
bm1s m1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
Bs As
拉氏反变换必须按下列规范进行：
1. 分母多项式A(s)的首项 sn 的系数必须为1。
F s L t n
n! s n1
f
t
L1
n! s n1
tn
单位阶跃函数ut 和单位斜坡函数rt
分别是幂函数t n当n 0和n 1时的特例。
典型时间函数的拉氏变换
5. 指数函数 f(t)=e-at (a为实数)
Fs L eat 1 sa
f
t
L1
Biblioteka Baidu
s
1
a
eat
典型时间函数的拉氏变换
拉氏变换的基本定理
6. 积分定理 若L f t F s，则有
L
f t dt
1 F s 1
s
s
f 10
式中，f 10 f t dt t0
推 论 ：L n
f
t
dt
n
1 sn
F s
该定理表明，在时域内对原函数f(t)每 进行一次积分，就相当于在复域内对其象函 数F(s) 用s除一次，即将时域内的积分运算 简化为复域内除以s的代数运算。
拉普拉斯变换
拉普拉斯（Laplace）变换
❖ 把较复杂的微分、积分运算转化为较简单的代数运算 ❖ 用来揭示系统变量之间的关系或函数的某些特征 ❖ 得到系统传输函数
线性系统微分方程的求解
线性系统 描述 常系数线性微分方程
拉普拉斯变换
代数方程（象函数）
象函数的解
微分方程的原解
拉普拉斯反变换
复变量与复变函数
F s Lut 1
s
f
t
L1
1 s
1t
典型时间函数的拉氏变换
3. 单位斜坡函数 r(t)
r t
0 t
t 0 t 0
F s
Lrt
1 s2
f
t
L1
1 s2
t
典型时间函数的拉氏变换
4. 幂函数 f(t)=tn (n>-1)
F s L t n
n 1
s n1
当n是正整数时，n 1 n!，因此
6. 正弦函数 f(t)=sinωt (ω为实数)
Fs Lsin t
s2 2
f
t
L1
s2
2
sin
t
典型时间函数的拉氏变换
7. 余弦函数 f(t)=cosωt (ω为实数)
F s
Lcost
s2
s
2
f
t
L1
s2
s
2
c ost
拉氏变换的基本定理
1. 线性定理
设a和b为常数，则有
Laf1t bf2t aL f1t bL f2t aF1s bF2s L1 aF1s bF2 s aL1F1s bL1F2 s af1t bf2 t