余弦函数的性质
正弦函数、余弦函数的性质
2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k
2
, k Z时取得最大值1, 当
2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅 当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值 都有 时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数 的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最 及取得最值时自 值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、 周期性 正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,
余弦函数的性质及其在物理中的应用
余弦函数的性质及其在物理中的应用余弦函数是一个常见的三角函数，具有多种性质和应用。
在物理学中，余弦函数经常被用来描述周期性运动、波动现象以及信号处理等方面。
本文将介绍余弦函数的性质及其在物理学中的应用。
一. 余弦函数的定义和基本性质余弦函数是一个周期函数，用cos(x)表示。
它的定义域为实数集合，值域为[-1, 1]。
余弦函数的图像是一个连续的曲线，具有以下基本性质：1. 周期性：余弦函数的周期为2π，即cos(x+2π)=cos(x)，其中x为任意实数。
2. 奇偶性：余弦函数关于y轴对称，即cos(-x)=cos(x)，表明余弦函数是一个偶函数。
3. 对称性：余弦函数关于x轴对称，即cos(π-x)=-cos(x)。
二. 余弦函数在物理中的应用1. 描述周期性运动：余弦函数可以用来描述周期性运动，例如振动、摆动等。
物体在它的平衡位置附近的周期性运动往往可以用余弦函数来表示。
例如，一个简单的单摆的运动可以表示为d(t) = A*cos(ωt + φ)，其中d(t)为摆动的位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为相位常数。
2. 波动现象：物理学中的波动现象也可以通过余弦函数来描述。
例如，声波、光波等都具有周期性的波动特征，可以用余弦函数表示。
声波的表达式可以写为p(x, t) = A*cos(kx - ωt + φ)，其中p(x, t)为声压，x为位置，t为时间，A为振幅，k为波数，ω为角频率，φ为相位常数。
3. 信号处理：在信号处理领域，余弦函数广泛应用于频域分析、信号压缩等方面。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，而余弦函数是傅里叶变换中的基函数之一。
通过傅里叶变换，我们可以将信号表示为余弦函数的叠加形式，进而进行频谱分析和滤波等处理。
总结：余弦函数是一个常见的函数，具有周期性、奇偶性和对称性等基本性质。
在物理学中，余弦函数被广泛应用于描述周期性运动、波动现象以及信号处理等方面。
通过对余弦函数的研究和运用，我们可以更好地理解和分析物理现象，为实际问题的解决提供帮助。
余弦函数的性质解析及其几何意义
余弦函数的性质解析及其几何意义余弦函数是数学中一种常见的三角函数，广泛应用于数理科学中。
本文将对余弦函数的性质进行解析，并探讨其在几何学中的意义。
一、余弦函数的定义及性质余弦函数（cosine function）是指在单位圆上，取角度的正弦值。
在数学中，余弦函数可以用以下公式表示：cos(x) = Adjacent / Hypotenuse其中，x 代表一个角度，Adjacent 表示角度所对的邻边的长度，Hypotenuse 表示斜边的长度。
余弦函数的主要性质包括以下几点：1. 周期性：余弦函数的周期是2π，即在一个完整的圆周上，余弦函数的取值将重复一次。
这意味着对于任意实数 x，有cos(x + 2π) =cos(x)。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(x) = cos(-x)。
这说明余弦函数关于 y 轴对称，图像在 y 轴上是对称的。
3. 范围：余弦函数的取值范围是[-1, 1]，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
这意味着余弦函数的图像在 y 轴的上方不会超过1，下方不会低于-1。
4. 最值点：余弦函数的最大值是1，最小值是-1。
在单位圆上，最大值对应于角度为0度或360度的点，最小值对应于角度为180度的点。
二、余弦函数的几何意义余弦函数在几何学中有着重要的意义，它可以帮助我们理解和描述不同角度下的几何形状与变化。
1. 角度与直线的关系：余弦函数可以描述角度与直线之间的关系。
当我们知道一个角度的大小时，可以利用余弦函数计算出该角度与x轴正方向之间的夹角，从而确定直线的倾斜程度。
2. 三角形的角度关系：余弦函数在三角形中有着重要的应用。
三角形的任意一个内角都可以表示为余弦函数的反函数。
通过余弦函数，我们可以计算出角度对应的边长比例，进而确定三角形的形状和大小。
3. 圆的性质：余弦函数也与圆的性质密切相关。
在单位圆上，余弦函数的取值等于圆上某一点的横坐标。
通过余弦函数，我们可以计算出角度对应的点的坐标，从而在平面上画出圆的形状。
余弦函数图像及性质
在信号处理领域，余弦函数可以作为基函数用于信号的分解与合成， 如傅里叶变换中的余弦级数展开。
经济学
在经济学中，余弦函数可以用于描述经济周期波动、季节性变化等 现象，为经济政策制定提供理论依据。
05 拓展：复合余弦函数及其 图像性质
复合余弦函数形式
一般形式
y = A·cos(ωx + φ) + k，其中 A、ω、φ、 k 均为常数，且 A ≠ 0，ω > 0。
与正弦函数图像比较
余弦函数与正弦函数的图像形状相似，但相位相差π/2。这意味着余弦函 数的图像相对于正弦函数图像向左或向右移动了π/2个单位。
在同一周期内，正弦函数和余弦函数的波峰和波谷位置互换。具体来说， 正弦函数在π/2处达到波峰，在3π/2处达到波谷；而余弦函数在0处达到 波峰，在π处达到波谷。
有界性
复合余弦函数的值域为 [k - A, k + A]。
单调性
在每个周期内，复合余弦函数 在特定区间内单调递增或单调
递减。
06 总结回顾与思考题
关键知识点总结
余弦函数定义
$y = cos x$，其中$x$为自变量， $y$为因变量，表示单位圆上与 $x$轴正方向夹角为$x$的点的 $y$坐标。
正弦函数和余弦函数的周期性相同，均为2π。因此，它们的图像在长度 上相等，只是相位上有所差异。
03 余弦函数性质分析
值域与定义域
值域
余弦函数的值域为[-1, 1]，即函数的 所有取值都落在这个区间内。
定义域
余弦函数的定义域为全体实数，即R。
单调性
余弦函数在整个定义域上不具备 单调性。
在[π, 2π]区间内，余弦函数是单 调递增的。
正弦函数、余弦函数的性质(全)
最小值：当
2 k
有最小值 y 时，
1
四、正弦、余弦函数的最值
y
1 -4 -3 -2 -
y sin x( x R)
2 3 4 5 6
o
-1
当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) max 1； 2 当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) min 1 . 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
5 3 3 5 … … [ ， ]、 [ ， ] 上时， 当 在区间 [ , ]、
x
2
2
2 2
2
2
曲线逐渐上升，sinα的值由 1增大到 1。
7 5 3 3 5 7 [ ， ]、 [ ， ]、 [ , ]„ 当x在区间 … [ , ]、 2 2 2 2 2 2 2 2
4 同理，使函数 y 3sin 2 x, x R 取最小值的x的集合是 4 函数 y 3sin 2 x, x R取最大值是3，最小值是-3。 {x | x
{x | x
k , k Z }
k , k Z }
五、探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5 2
{x | x 2k , k Z}
使函数 y cos x 1, x R 取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
余弦函数的定义与性质
余弦函数的定义与性质余弦函数是数学中的一种三角函数，它表示一个角的邻边和斜边之比。
这个角的正弦函数是邻边和斜边之比，而正切函数是邻边和对边之比。
余弦函数通常用cos表示。
余弦函数的定义是通过单位圆上的点来定义。
假设圆心是原点，单位圆的半径是1，从圆心到初始边的角是θ。
对于任何一个角θ，单位圆上都有一个点(x,y)。
x的值就是角θ的余弦值。
这个点的坐标可以用余弦函数来计算：cosθ = x余弦函数有许多重要的性质。
下面列举了一些常见的性质：1. 周期性余弦函数是周期性的，周期是2π。
也就是说，当θ增加2π时，cosθ的值与cos(θ+2π)的值相同。
2. 偶函数余弦函数是偶函数，也就是说，cos(-θ) = cosθ。
3. 值域余弦函数的值域在[-1,1]之间。
也就是说，对于任何角度θ，cosθ的值都在-1和1之间。
4. 对称性余弦函数具有对称性。
也就是说，对于任何角度θ，cos(π-θ) = -cosθ。
5. 导数余弦函数的导数是-sinθ，也就是说，它的斜率是在每个点上附着的tangent线的负值。
这些性质使余弦函数成为数学中非常有用的函数。
余弦函数被广泛应用于科学、工程和技术中。
它可以用于建立振动的数学模型、计算信号处理中的频率、计算三角形的各种参数等等。
总之，余弦函数是一种广泛使用的三角函数，它有许多重要的性质，包括周期性、偶函数、值域、对称性以及导数。
这些性质使得余弦函数成为科学、工程和技术中不可或缺的工具之一。
余弦函数的性质
4π 5π 所以cos > cos . 7 8
不通过求值，比较 cos( 6 ), cos 10 , cos 8 的大小. 解： cos( 6 ) cos 6 ,
π π 0＜ ＜ ＜ ＜ ， 10 8 6 且 y cos x 在 [0, ]上是减函数， π cos cos cos , 10 8 6 π cos cos cos( ). 即： 10 8 6
不通过求值，比较
5π 4 2 cos ， cos( ), cos( ) 6 5 3
的大小.
6 解： 根据题意， (2k 1) x 2k 6 7 解之，2k x 2k 6 6 7 所以，单调增区间是 [2k ,2k ] 6 6
函数y=cosx的对称性
y cos x
-3
5 2
y
1
-2
3 2
-
2
o
-1
x
2
3 2
2
5 2
3
7 2
4
对称轴方程x=k(k∈Z)
π 对称中心为(k+ ,0)(k∈Z) 2 由于正、余弦曲线无限延
伸，对称轴、对称中心有 无限多个.
(6) 余弦函数的单调性
x
求函数 y cos( x ) 的单调增区间.
求函数 y cos 2 x 的单调减区间.
1.函数f(x)=cos4x,x∈R是( C ) A.最小正周期为π 的偶函数 B.最小正周期为π 的奇函数 C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为
2 2
的奇函数
2.下列函数，在［ ,π ］上增加的是( A ) 2 A.y=cos2x C.y=sin2x B.y=cosx D.y=sinx
余弦函数的性质
余弦曲 线
2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-
o
-1
x
y
-
五点法作余弦函数的图像
1-
-1
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
3 2k k Z x 2k x 即定义域为： 2 2
[★ 最值问题]
2 （1）y cos x 3 3 （2）y 1 cos x 4
2.求下列函数的最大值和最小值及此时x的取值。
2 ymax 解: （1）当 x 2k , k Z 时， 32 当 x 2k , k Z 时，ymin 73 ymax （2）当 x 2k , k Z 时， 4 1 当 x 2k , k Z 时， ymin 4
2 y x cos x （1） 1 （2）y sin x 2
x 当 x
◎课堂小结：
y cos x
余弦函数的性质1：定义域
余弦函数的性质2:值域 余弦函数的性质3：周期性 周期为：2k k Z 2 最小正周期为： 余弦函数的性质4：单调性 在 2k ,2k k Z 上是增函数，
-
y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
正弦,余弦函数的性质
例4：求下列函数的周期
(1) a π y = 2 sin( x + ) , ( a ≠ 0) 3 3
( 2) y =| sin x |
( 3) y = sin ωx cos ωx , (ω > 0)的最小正周期为 则ω = _______
( 4) “a = 1”是“ y = cos 2 ax − sin 2 ax的最小正周期 为π ”的 _______ 条件 ?
sin( sin(
π
6
+ 2π ) = sin + 2π ) = sin
π
6 3
π
3
π
sin( x + 2π ) = sin x
自变量每增加 2π ，函数值重复出现
具有这种性质的函数叫做周期函数
一般地, 对于函数 f ( x ), 如果存在一个常数 T (T ≠ 0) 使得当 x取定义域 D内的任意值时 , 都有 f ( x + T ) = f ( x) 成立, 那么函数 f ( x )叫做
例1：求下列函数的周期
(1) ( 2)
( 3)
y = 3 sin( 2 x +
π
6
)
1 π y = 2 cos(− x + ) 2 3
y = A sin(ωx + ϕ ), ( A ≠ 0, ω ≠ 0)
2π y = A sin(ωx + ϕ ), ( A ≠ 0, ω ≠ 0)的周期 T = |ω | 2π y = A cos(ωx + ϕ ), ( A ≠ 0, ω ≠ 0)的周期 T = |ω |
π
4
,
课后作业： 课后作业：
(1)
( 3) y = −2 sin(
余弦函数的性质与应用
余弦函数的性质与应用余弦函数是数学中的一种常见的三角函数，具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将就余弦函数的基本性质、图像特点以及其在物理、工程、图像处理等领域中的应用进行探讨。
一、余弦函数的基本性质余弦函数可以用一个周期为2π的周期函数来表示，它的定义域为所有实数，值域在[-1, 1]之间变化。
余弦函数的定义如下：f(x) = cos(x)余弦函数具有以下几个基本性质：1. 周期性：余弦函数的最基本的特点就是周期性。
对于任意实数x，都有cos(x+2π) = cos(x)，即在图像上表现为一条周期为2π的波形。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
这意味着余弦函数图像关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数的性质中，除了对称性，还具有奇偶性。
若x为偶数倍的π，则有cos(x) = cos(2kπ) = 1，其中k为整数。
而当x为奇数倍的π时，有cos(x) = cos((2k+1)π) = -1。
4. 单调性：余弦函数在定义域内呈现出周期性振荡的特点，因此在一个周期内，它既不是上升函数，也不是下降函数。
二、余弦函数的图像特点余弦函数的图像呈现为一条连续的曲线，它的图像具有以下几个特点：1. 幅值：余弦函数的幅值为1，即函数的最大值和最小值分别为1和-1。
2. 峰值点：余弦函数在x = 0时取得最大值1，在x = π/2时取得最小值-1，在x = π时再次取得最大值1。
3. 波形：余弦函数的波形是平滑的曲线，它的变化率在整个定义域上都是连续的。
4. 对称轴：余弦函数的对称轴为y轴，图像关于y轴对称。
三、余弦函数的应用余弦函数在自然科学和应用数学中有广泛的应用，以下是几个典型的应用领域：1. 物理学应用：余弦函数在波动和振动的描述中起到至关重要的作用。
例如，在光学中，余弦函数可以描述光的振动和传播；在声学中，余弦函数可以描述声波的传播和振荡。
2. 工程学应用：余弦函数在工程学中的应用非常广泛。
cos函数性质
cos函数性质
cos函数也称余弦函数，是三角函数的一种，它的值具有周期性变化，也是比较常见的函数。
cos函数的性质有以下几点：（1）cos函数的定义域是整个实数轴，其值域是[-1,1]。
（2）cos函数是一种2π周期函数，它只有有界的极值，即最大值为1，最小值为-1，而且极值值处也是可导的。
（3）cos函数的导数是 -sin函数，可以说cos函数是sin函数的一个反函数，两个函数是互反的，sin函数的极值处cos函数的导数为0，而cos函数的极值处sin函数的导数也为0。
（4）cos函数有其特定的诱导公式，它可以借助牛顿插值法进行计算，其运算速度很快，因此cos函数在很多领域得到了广泛应用。
（5）cos函数可以用来计算两个向量夹角的余弦值，也可以利用它解决特定的几何问题，例如求三角形的角的大小等， cos函数的这一特性在几何学中用的很广泛。
（6）cos函数还有一类特殊的性质，叫非平凡解，它是指cos
函数的极值点可以作为解的一种形式，即在某段时间内某个余弦函数的值始终等于不变的某个数。
（7）cos函数也可以用来描述某些物理现象，如振动，摆动等，这也是它在物理学中得到广泛应用的原因。
综上所述，cos函数有很多特殊的性质，可以说它在高等数学中有着重要的作用，它可以用于解决各种复杂问题，而且它还具有很高的运算效率，因此在实际应用中也被大量使用。
余弦函数的周期性
02
解调过程
解调调频信号通常涉及到对信号进行傅里叶变换，将信号分解为一系列
余弦函数和正弦函数的和。这些余弦函数和正弦函数都具有周期性，其
周期与原始调频信号的频率有关。
03
周期性特征
解调后的信号表现出明显的周期性特征。在一定时间间隔内，信号值会
重复出现。这个周期时间与原始调频信号的频率有关。
THANKS FOR WATCHING
正弦函数和余弦函数具有相同的周期，即360度或2π 弧度。
正弦函数和余弦函数在90度的相位差异，意味着当余 弦函数达到最大值或最小值时，正弦函数达到零值。
正弦函数和余弦函数在值域上也有所不同，正弦函数 的值域为[-1,1]，而余弦函数的值域为[-∞,+∞]。
余切函数与余弦函数的比较
余切函数和余弦函数具有不同的周期 性。余切函数的周期为180度或π弧度， 而余弦函数的周期为360度或2π弧度。
周期性特征
通过傅里叶级数表示的周期函数，其周期性表现为在一定时间间隔内，函数值会重复出现。这个周期时 间与原始函数的周期有关。
信号处理中的例子：调频信号的解调
01
调频信号
在信号处理中，调频信号是一种通过改变信号频率来传递信息的信号。
解调是将调频信号还原为原始信号的过程。这个过程涉及到对余弦函数
的处理和运用。
振动方程
弹簧振动的数学模型通常可以表示为简谐振动的方程，即`x''(t) + ω^2 * x(t) = 0`，其中 `x(t)`表示弹簧在时间`t`的位置，`ω`是弹簧振动的角频率，它与弹簧的倔强系数和振动频率有 关。
周期性特征
弹簧振动的周期性表现为在一段时间内，弹簧会完成一次完整的振，然后重复这个过程 。这个周期时间与弹簧的倔强系数、质量以及初始条件有关。
余弦函数的性质和计算
余弦函数的性质和计算余弦函数是三角函数中的一种，它在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍余弦函数的性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用余弦函数。
一、余弦函数的定义和基本性质余弦函数，表示为cos(x)，是一个周期函数，其定义域为实数集合，值域为[-1, 1]。
余弦函数的图像是一个连续的波形，具有以下基本性质：1. 周期性：余弦函数的周期是2π，即cos(x + 2π) = cos(x)。
对于任意实数x，余弦函数的值在每个周期内不断重复。
2. 对称性：余弦函数是一个偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
这意味着余弦函数的图像关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数的奇偶性与它的自变量有关。
当x为偶数倍的π时，cos(x)为正；当x为奇数倍的π时，cos(x)为负。
二、余弦函数的计算方法余弦函数的计算可以通过数学表格、科学计算器或计算机软件实现。
以下是几种常见的计算方法：1. 数学表格：在一些教材或参考资料中，可以找到余弦函数的数值表格。
通过查表，我们可以快速得到给定角度对应的余弦值。
2. 科学计算器：大多数科学计算器都内置了三角函数计算功能，包括余弦函数。
通过输入角度值，并按下对应的函数键，计算器将直接给出余弦函数的值。
3. 计算机软件：计算机上的数学软件（如MATLAB、Mathematica 等）和编程语言（如Python、C++等）都提供了余弦函数的计算库函数。
通过调用这些函数，可以获得精确的余弦值。
三、余弦函数的应用领域余弦函数在数学和物理等领域有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用领域：1. 几何学：余弦函数可以用于计算三角形的边长和角度。
通过余弦定理和余弦相似定理，我们可以在给定条件下求解未知的三角形参数。
2. 物理学：在力学和振动学中，余弦函数可以描述物体的周期性运动。
例如，在简谐振动中，物体的位移随时间变化遵循余弦函数的规律。
3. 信号处理：余弦函数在信号处理领域有广泛应用。
探索余弦函数认识余弦函数的性质和特点
探索余弦函数认识余弦函数的性质和特点余弦函数是数学中常见的一种三角函数，其在各个领域都有广泛的应用。
本文将探索余弦函数的性质和特点，以便更好地认识和理解它。
余弦函数的定义：余弦函数，简记为cos(x)，是一个周期函数，它的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
它可以用单位圆上的弧长来定义，具体公式为：cos(x) = adjacent/hypotenuse。
性质一：周期性余弦函数的最基本性质就是它的周期性。
在单位圆上，当向右移动一个单位周期2π时，余弦函数的值将重复一次，即cos(x + 2π) = cos(x)。
这意味着余弦函数在每个完整的周期内保持相同的形状和特点。
性质二：对称性余弦函数具有关于y轴的对称性，即cos(x) = cos(-x)。
这是因为在单位圆上，对于任意一个角度x，其关于y轴的对称点与其值相等。
这一性质使得我们可以在计算中利用对称性简化问题。
性质三：奇偶性根据余弦函数的对称性，可以推导出其奇偶性。
即cos(-x) = cos(x)，如果一个函数满足这个性质，则称其为偶函数。
因此，余弦函数是一个典型的偶函数。
性质四：边界值余弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，且在特定的点上达到极值。
具体来说，cos(0) = 1，即余弦函数在角度为0度时取最大值1；而cos(π) = -1，即余弦函数在角度为180度时取最小值-1。
性质五：变化特点余弦函数的图像呈现周期性的波动特点，其曲线在[0, 2π]的范围内从最大值逐渐下降到最小值，在[2π, 4π]的范围内再次从最小值逐渐上升到最大值。
这种周期性的变化可以用来描述很多自然现象，如天体运动、电信号等。
应用一：几何问题余弦函数在几何问题中有着广泛的应用。
例如，在解决三角形中的边长和角度关系时，余弦函数可以用来计算两边夹角的大小。
根据余弦定理，对于一个三角形的两条边a和b及其夹角C，有a^2 + b^2 - 2abcos(C) = c^2，其中c为第三条边的长度。
余弦函数的性质及应用
2π 1 0
描点连线得y=1-cos x的图像(如图所示).
【补偿训练】“五点法”画y=cos
1 ( x 时，所取的五个点为 ) 2 3
_______.
【解题指南】把
1 x 作为一个整体看作是y=cos x中的x 2 3
可得五点.
【解析】列表可得：
sin 2x cos x, f x 0, 所以 sin 2x cos x,
x＜0， x 0， x＞0.
翻转课堂理念下的高中数学概念微课教学理论与实践研究
谢谢
点、连线即可.
【解析】列表：
x y=cos x y=1-cos x 0 1 0
2
0 1
π -1 2
3 2
0 1
2π 1 0
【变式训练】作出函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图.
【解题指南】将［0,2π］这一区间四等分找到五个关键点然后描
点、连线即可.
【解析】列表：
x y=cos x y=1-cos x 0 1 0
用“整体代换”，即令ωx+φ=z,将函数转化为y=Acos z的形式求
最值.
【微思考】
(1)由y=sin x，x∈R的图像得到y=cos x,x∈R的图像，平移的方
法唯一吗？
提示：可向左平移也可向右平移，方法不唯一. (2)形如y=Acos(ωx+φ)(A＞0,x∈R)的值域还是［-1,1］吗？ 提示：不一定是.值域是［-A,A］.
【即时练】 下列关于函数y=-3cos x-1的说法错误的是( A.最小值为-4 B.是偶函数 C.当x=kπ，k∈Z时，函数取最大值 )
D.是周期函数，最小正周期为2π
余弦函数的性质及其应用
余弦函数的性质及其应用余弦函数是数学中常见的一种三角函数，广泛应用于各个领域。
本文将介绍余弦函数的基本性质，并探讨其在不同领域中的应用。
一、余弦函数的定义及基本性质余弦函数的定义：对于任意实数x，余弦函数的值记为cos(x)，其定义域为实数集合，值域为[-1, 1]。
1. 周期性：余弦函数是一个周期函数，其最小正周期为2π。
即对于任意实数x，有cos(x+2π) = cos(x)。
2. 奇偶性：余弦函数是一个偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
3. 对称性：余弦函数在原点处具有对称性，即cos(π-x) = -cos(x)。
4. 单调性：由于余弦函数的定义域为实数集合，其在整个定义域上并不具有严格的单调性。
二、余弦函数的应用余弦函数作为一种重要的三角函数，在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
1. 图像处理余弦函数可以被用来进行图像压缩、特征提取等图像处理任务。
通过对图像进行余弦变换，可以将其表示为一系列余弦函数的线性组合，从而实现对图像频域信息的提取与分析。
2. 信号处理余弦函数广泛应用于信号处理领域，特别是在音频和视频压缩中。
例如，MP3音频编码中就使用了离散余弦变换（DCT）来对音频信号进行频域压缩和量化。
3. 数值分析余弦函数可以被用来近似计算复杂的数学函数。
通过使用泰勒展开式，可以将函数表示为余弦函数的线性组合。
这对于计算机等数字设备来说，是一种更加高效的计算方法。
4. 机器学习在机器学习中，余弦函数被广泛用于文本挖掘和文本分类任务。
通过计算两个文本向量之间的余弦相似度，可以度量它们之间的语义相似性。
5. 物理学应用余弦函数在物理学中的应用非常广泛。
例如，在波动理论中，可以利用余弦函数来描述周期性波的振动状态。
此外，余弦函数也在力学、电磁学等领域中具有重要的应用价值。
结语：余弦函数作为一种重要的数学工具，在各个领域中都发挥着重要的作用。
通过掌握余弦函数的基本性质，并加以应用，我们能够更好地理解和应用数学知识，为解决实际问题提供有效的手段。
10。余弦性质
(cos x) max = 1
当 x = 2k (k∈Z)时,
T = 2k（k ∈Z , k 0）
(cos x) min = -1
最小正周期为 2，所以简称周期为 2
3. 奇偶性:
y
1 -4 -3 -2 -
y =cosx (xR)
o
-1
2
3
4
5
6
x
定义域关于原点对称
8.2.4 余弦函数的图象和性质
课题:
2. 余弦函数的性质
X
余弦函数的图象和性质
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
1.定义域和值域： 定义域 xR y=cosx (xR) 值 域 y[ - 1, 1 ] 2 .周期性:
-1≤cosx≤1 当x=
2k
(k∈Z)时,
y=sinu y=|sinu|
2 3 x [k , k ], k Z y为增函数 4 4 x [k , k ], k Z y为减函数 4 4
1. 余弦函数的定义:y = cos x , x ∈R
y
1
T
S
2 A
1
B
o
x
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
结 束
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
2
3 2
y=|sinu|
2
2
余弦函数的图像和性质
当 x 2 k , k Z 时 cosx取得最小值 1
此时y 2 3cosx的最大值 2 3＝5
函数的定义域为（ ， ） 值域为[-1 ， 5]
练习： 求出使下列函数取得最值的x的
集合，并写出最值，定义域和值域
1. y=2cosx-3 2. y=1-3cosx
x
3 2
2 1
y
0
2
3 2
2
练习：画出函数[0，2π]上的图像
y=2cos x -3
二、余弦函数y cosx的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
5、单调性
y cos x , x R
y 1
2
2
-1
0
3 2 2
4x
y cos x , x R
作业：P40，1(2)并求定义域、 值域、最大最小值。 下节课再见啦*^_^*
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它の先祖曾经の确定天府之主/欧奕和古魇禁地有关系/到那其中简直就确定神般の存到/想死都抪成/金娃娃又确定财神家族の后裔/敢自称为财神/也绝对确定逆天级の家族/老疯子就更别说咯/想到神宫の那壹具具和它有关系の尸身/马开都觉得头皮发麻/ 无心峰の人/除去它没有来历/每壹佫来历都 恐怖の吓人/惜夕要确定和禁地有关/也抪确定什么奇怪の事/ "抪对/就算确定自己/也抪同于常人/体质可以承受煞气/甚至和囡圣有关系/" 马开突然想到自己/以老疯子の眼力/怕当初上自己就出咯壹点什么/也就确定说/无心峰の人/当真没有壹佫简单の/ 而惜夕/很有可能和冰封到这其中の囡子有 壹定の关系/这佫囡子难道确定惜夕の先祖? "你认识她/晴文婷见马开
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余弦函数的图像和性质
、教学目标
1. 知识与技能
（1）能根据诱导公式sin（2） cos ，利用正弦函数的图像，
画出余弦函数的图像.
（2）会利用余弦函数的图像进一步理解和研究余弦函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值等性质.
2. 过程与方法
通过利用类比正弦函数性质研究余弦函数性质的学习过程，体会类比的思想方法.
3. 情感、态度与价值观
通过类比、知识迁移的学习方法，提高探究新知的能力，并通过
正弦函数和余弦函数的图像与性质的类比，了解正弦函数、余弦函数的区别与内在联系.
二、教材分析
1. 教材中通过类比正弦函数，展开了对余弦函数相关内容的学习.这
样编写突出了正弦函数与余弦函数的联系，体现了研究问题的一般思路和方法.
2. 余弦函数图像既可以通过诱导公式由正弦函数图像得到，又可以
通过描点法得出，教材中淡化了对后者的讲解
三、重点和难点
本节的重点：余弦函数的图像和性质.
本节的难点：由正弦函数图像得到余弦函数的图像.
四、教学方法与手段
教学方法：启发、引导、发现、概括、归纳
教学手段：多媒体辅助教学.
五、教学过程
（一）创设情境，揭示课题
教师引出课题在上节课中，我们知道正弦函数y＝sinx 的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到.那么，对于余弦函数y＝cosx 的图像，是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？这节课我们来学习余弦函数的图像与性质.
（二）探究新知
1．余弦函数y＝cosx 的图像
由诱导公式有：y＝cosx ＝cos（－x）＝sin[ －（－x）] ＝sin（x ＋）结论：（1）y＝cosx,x R 与函数y＝sin（x ＋2） x R 的图像相同
2)将y＝sinx 的图象向左平移个单位，即得y＝cosx 的图像
3)也同样可用五点法作图：y＝cosx，x [0,2 ] 的五个点关键是(0,1) ( 2 ,0) ( ,-1)
( 32 ,0) (2 ,1)
y
1
x
－1
(4) 类似地，由于终边相同的三角函数性质y ＝cosx x [2k ,2(k+1) ] k Z,k 0 的图像与y ＝cosx x [0,2 ] 图像形状相同只是位置不同 (向左右每次平移2π个单位长度)
2．余弦函数y＝cosx 的性质
观察上图，师生共同讨论余弦函数y＝cosx 的基本性质，得到以下结论：
1)定义域：y=cosx 的定义域为R
2)值域：y=cosx 的值域为[ －1,1] ，即有|cosx| ≤1(有界性)
(3) 最值：1 对于y＝cosx 当且仅当x＝2k ,k Z 时y max＝1
当且仅当时x＝2k ＋π, k Z 时y min＝－ 1
2 当2k - <x<2k + (k Z) 时y=cosx>0
当2k + <x<2k + 3 (k Z) 时y=cosx<0
教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？通过学生充分讨论后确定，学生若选取区间, ，教师应追问，为什么选区间, ，而不是选区间0,2 ，引导学生思考.
(4) 周期性：y＝cosx 的最小正周期为2
(5) 奇偶性
cos( －x) ＝cosx (x ∈R) y ＝cosx (x ∈R)是偶函数
(6) 单调性
增区间为[ (2k－1)π，2k π] (k∈Z)，其值从－1增至1；
减区间为[2k π，(2k＋1)π] (k∈Z)，其值从1减至－1.
(三)巩固深化，发展思维引导学生分析对比正弦函数、余弦函数的图像，思考这两个函数图像的异同点，思考函数图像的平移对函数性质的影响.
例1．请画出函数y＝cosx －1 的简图，并根据图像讨论函数的性质。
解：按五个关键点列表，根据表中数据画出简图
观察图像得出y＝cosx－1 的性质
教材33 页的练习1、2、3、4、5
(四)思考交流
1
根据余弦函数的图像，求满足cos x 1 2的x 的集合.
2
1
分析：先在一个周期, 内解cos x ，得x .
2 3 3
1
再考虑周期性，可得满足cos x 的x 的集合为2k ,2k ,k Z.
2 3 3
五）归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不明白的地方，请向老师提出.
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
（六）课后作业
作业：课本34 页 A 组第2,3,4,5 题
六、教学反思：
本节课，由正弦函数的图像通过平移得出余弦函数的图像，再根据余弦函数的图像得出其性质，使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.。