余弦函数的性质

余弦函数的图像和性质

、教学目标

1. 知识与技能

（1）能根据诱导公式sin（2） cos ，利用正弦函数的图像，

画出余弦函数的图像.

（2）会利用余弦函数的图像进一步理解和研究余弦函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值等性质.

2. 过程与方法

通过利用类比正弦函数性质研究余弦函数性质的学习过程，体会类比的思想方法.

3. 情感、态度与价值观

通过类比、知识迁移的学习方法，提高探究新知的能力，并通过

正弦函数和余弦函数的图像与性质的类比，了解正弦函数、余弦函数的区别与内在联系.

二、教材分析

1. 教材中通过类比正弦函数，展开了对余弦函数相关内容的学习.这

样编写突出了正弦函数与余弦函数的联系，体现了研究问题的一般思路和方法.

2. 余弦函数图像既可以通过诱导公式由正弦函数图像得到，又可以

通过描点法得出，教材中淡化了对后者的讲解

三、重点和难点

本节的重点：余弦函数的图像和性质.

本节的难点：由正弦函数图像得到余弦函数的图像.

四、教学方法与手段

教学方法：启发、引导、发现、概括、归纳

教学手段：多媒体辅助教学.

五、教学过程

（一）创设情境，揭示课题

教师引出课题在上节课中，我们知道正弦函数y＝sinx 的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到.那么，对于余弦函数y＝cosx 的图像，是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？这节课我们来学习余弦函数的图像与性质.

（二）探究新知

1．余弦函数y＝cosx 的图像

由诱导公式有：y＝cosx ＝cos（－x）＝sin[ －（－x）] ＝sin（x ＋）结论：（1）y＝cosx,x R 与函数y＝sin（x ＋2） x R 的图像相同

2)将y＝sinx 的图象向左平移个单位，即得y＝cosx 的图像

3)也同样可用五点法作图：y＝cosx，x [0,2 ] 的五个点关键是(0,1) ( 2 ,0) ( ,-1)

( 32 ,0) (2 ,1)

y

1

x

－1

(4) 类似地，由于终边相同的三角函数性质y ＝cosx x [2k ,2(k+1) ] k Z,k 0 的图像与y ＝cosx x [0,2 ] 图像形状相同只是位置不同 (向左右每次平移2π个单位长度)

2．余弦函数y＝cosx 的性质

观察上图，师生共同讨论余弦函数y＝cosx 的基本性质，得到以下结论：

1)定义域：y=cosx 的定义域为R

2)值域：y=cosx 的值域为[ －1,1] ，即有|cosx| ≤1(有界性)

(3) 最值：1 对于y＝cosx 当且仅当x＝2k ,k Z 时y max＝1

当且仅当时x＝2k ＋π, k Z 时y min＝－ 1

2 当2k - 0

当2k +

教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？通过学生充分讨论后确定，学生若选取区间, ，教师应追问，为什么选区间, ，而不是选区间0,2 ，引导学生思考.

(4) 周期性：y＝cosx 的最小正周期为2

(5) 奇偶性

cos( －x) ＝cosx (x ∈R) y ＝cosx (x ∈R)是偶函数

(6) 单调性

增区间为[ (2k－1)π，2k π] (k∈Z)，其值从－1增至1；

减区间为[2k π，(2k＋1)π] (k∈Z)，其值从1减至－1.

(三)巩固深化，发展思维引导学生分析对比正弦函数、余弦函数的图像，思考这两个函数图像的异同点，思考函数图像的平移对函数性质的影响.

例1．请画出函数y＝cosx －1 的简图，并根据图像讨论函数的性质。解：按五个关键点列表，根据表中数据画出简图

观察图像得出y＝cosx－1 的性质

教材33 页的练习1、2、3、4、5

(四)思考交流

1

根据余弦函数的图像，求满足cos x 1 2的x 的集合.

2

1

分析：先在一个周期, 内解cos x ，得x .

2 3 3

1

再考虑周期性，可得满足cos x 的x 的集合为2k ,2k ,k Z.

2 3 3

五）归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？

（2）在本节课的学习过程中，还有那些不明白的地方，请向老师提出.

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？

（六）课后作业

作业：课本34 页 A 组第2,3,4,5 题

六、教学反思：

本节课，由正弦函数的图像通过平移得出余弦函数的图像，再根据余弦函数的图像得出其性质，使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.