正弦余弦函数性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性1、(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2、A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．3、由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．知识点三 正弦、余弦函数的单调性[－1,1][－1,1]对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 1、求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．2、下列函数是以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin x ＋2C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －13．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．类型二 三角函数的奇偶性对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．1、判断下列函数的奇偶性．(1) f (x )＝sin(－x )（2）f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (3)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.2、若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( )A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )3、已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．2、已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．3、设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.类型四 求正弦、余弦函数的单调区间用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．1．函数y ＝sin2x 的单调递减区间。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
三角函数的正弦和余弦关系
三角函数的正弦和余弦关系三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何、物理、工程等领域中都具有广泛的应用。
其中，正弦函数和余弦函数是最常见和基础的三角函数，它们之间存在着紧密的关系。
一、正弦和余弦的定义和性质正弦函数和余弦函数是定义在单位圆上的函数。
在单位圆上，以原点为中心作一个半径为1的圆，对于任意一点P(x,y)，该点到x轴的距离为x，到y轴的距离为y，这时角OPx的弧度就是点P的角度。
定义:对于单位圆上的任意一个点P(x, y)，它的角度为θ，则点P的正弦和余弦值分别定义为：sinθ = ycosθ = x性质:1. 在单位圆上，正弦值的取值范围在[-1, 1]之间，而余弦值的取值范围也在[-1, 1]之间。
2. 当角θ为0或2π的整数倍时，正弦值为0，余弦值为1。
当角θ为π的奇数倍时，正弦值为-1，余弦值为0。
3. 对于任意的角θ，有sin^2θ + cos^2θ = 1，这一关系被称为三角恒等式。
二、正弦和余弦的图像特点正弦函数和余弦函数的图像是周期性的波形图，其周期为2π。
正弦函数的图像是一条上下振荡的曲线，而余弦函数的图像则是一条左右偏移的曲线。
1. 正弦函数图像特点：正弦函数图像在θ = 0, π, 2π 等处过零点，即sin(0) = 0, sin(π) = 0, sin(2π) = 0。
在θ = π/2, 3π/2 等处达到最大值1，即sin(π/2) = 1, sin(3π/2) = 1。
在θ = π, 2π 等处达到最小值-1，即sin(π) = -1, sin(2π) = -1。
2. 余弦函数图像特点：余弦函数图像在θ = 0, 2π 等处达到最大值1，即cos(0) = 1, cos(2π) = 1。
在θ = π/2, 3π/2 等处过零点，即cos(π/2) = 0, cos(3π/2) = 0。
在θ = π, 2π 等处达到最小值-1，即cos(π) = -1, cos(2π) = -1。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
正弦余弦知识点总结
正弦余弦知识点总结一、正弦和余弦函数的定义1. 正弦函数的定义正弦函数是周期函数，它的周期是2π。
正弦函数的定义域是整个实数集，值域是区间[-1, 1]。
正弦函数的定义如下：y = sin(x) = A * sin(ωx + φ)其中，A 是振幅，ω 是角速度，φ 是初相位。
在一般情况下，A=1，ω=1，φ=0。
2. 余弦函数的定义余弦函数也是周期函数，它的周期也是2π。
余弦函数的定义域是整个实数集，值域是区间[-1, 1]。
余弦函数的定义如下：y = cos(x) = A * cos(ωx + φ)同样，A 是振幅，ω 是角速度，φ 是初相位。
在一般情况下，A=1，ω=1，φ=0。
二、正弦函数和余弦函数的性质1. 周期性正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是2π，即在一个周期内，函数值会重复出现。
2. 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)，图像关于原点对称；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)，图像关于y轴对称。
3. 极值正弦函数的最大值是 1，最小值是 -1；余弦函数的最大值是 1，最小值是 -1。
4. 函数图像正弦函数的图像是一条周期为2π的波浪线，而余弦函数的图像也是一条周期为2π的波浪线，但相位不同，形状相似但位置不同。
三、正弦和余弦函数的图像特点1. 正弦函数的图像正弦函数的图像是一条周期为2π的波浪线，在区间[0, 2π]上，它的图像从原点开始，向右上方偏移，并不断震荡上下，形成波浪状的曲线。
2. 余弦函数的图像余弦函数的图像也是一条周期为2π的波浪线，但它的图像在区间[0, 2π]上，从最大值1开始，并向下偏移，然后不断震荡上下，形成波浪状的曲线。
四、正弦和余弦函数的导数和积分1. 正弦函数的导数和积分正弦函数的导数是余弦函数，即(sin(x))' = cos(x)；正弦函数的积分是-余弦函数，即∫sin(x)dx=-cos(x)。
正弦和余弦的图像和性质
y sin x, x [0, 2 ]的图象 作法: (1) 等分
(2) 作正弦线
问题：如何作出比较精确的正弦函数图象？ (3) 平移
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
(4) 连线
y
B
1
用光滑曲线将这些正弦线 的终点连结起来!
A
O1
O 2 5 7 4 3 5 11 22
2
(
,1)
(
2 ,1)
(
2
,1)
(
2
,1)
( 2( ,21),1) ( 2 ,1)
,0) 3
(
2
( ,0) 2
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32),1(33,)(212(3(323)2,21-,1,-),-1)-11)))
2 ,0) x
2 ,0)
解： x
3
0
2
2
2
sinx
0
1
0
-1
0
1+sinx
1
2
1
0
1
y
2
y=1+sinx，x[0, 2]
1
o
2
-1
2
3
2
x
2
典型例题：
例1（2） 画出函数y= -cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx
1
0
-1 0
1
-cosx
-1
0
1
0
-1
y
1
y=-cosx，x[0, 2]
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦、余弦函数的性质
2k ,2 2k k Z 递增
2k , 2k k Z 递减
x 2k , k Z
x 2k , k Z
ymax 1
ymin 1
奇函数
偶函数
对称中心:k ,0, k Z
x k , k Z
对称轴：
2
对称中心:
k
2
,0 ,
k
Z
x k , k Z
对称轴：
课堂小结
2、新课程导学P66 3,4
,k
Z
函数y
3sin
2x最大值是-3.
因为有负 号，结论 要相反呀！
求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合， 并写出最大值、最小值各是多少。
（教材P39页例4）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小.
(1) sin( )与sin( )
18
10
(2) cos( 23 )与cos( 17 )
下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出它们取最大值、 最小值的自变量的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？
(1) y cosx 1, x R;
(2) y 2sin 3x, x R;
解：(1)使函数y cos x 1, x R取得最大值的x的集合， 就是使函数y cos x, x R
2
最小值：当x 2k , k Z时，有最小值y 1.
2
知识点二、余弦函数的对称性与奇偶性
y
y cos x的图像
1
3 5
2
2 3
2
2
O 1
2
3 2
2
5 3
2
x
单调性：
在区间 [ 2k , 2k ], k Z 上是增函数
在区间 [2k , 2k ], k Z 上是减函数 最大值：当x 2k , k Z时，有最大值 y 1; 最小值：当x 2k , k Z时,有最小值y 1.
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和物理中都有着广泛的应用。
在学习正弦函数和余弦函数时，了解它们的性质是非常重要的。
单调性是其中一条重要的性质。
在本文中，我们将重点介绍正弦函数和余弦函数的单调性，帮助读者更好地理解这两个函数。
让我们先来了解一下正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数和余弦函数都是周期函数，其定义域是实数集，值域是[-1,1]。
正弦函数的定义如下：\[ y = \sin(x) \]而余弦函数的定义如下：\[ y = \cos(x) \]接下来，让我们来探讨正弦函数和余弦函数的单调性。
我们来看正弦函数的单调性。
正弦函数的图像是一条波浪线，其周期为2π。
从图像上可以直观地看出，正弦函数在0到2π的区间上是单调递增的。
在0到π之间，正弦函数的值是逐渐增大的，而在π到2π之间，正弦函数的值是逐渐减小的。
我们正弦函数在0到2π的区间上是单调的。
根据正弦函数的奇函数的性质，我们可以推断出，正弦函数在整个定义域上都是奇函数，即在任何一个对称的区间上，正弦函数都是单调的。
除了图像直观地展示了正弦函数和余弦函数的单调性之外，我们还可以通过导数来证明它们的单调性。
我们知道，函数的导数可以表示函数的增减性。
通过计算正弦函数和余弦函数的导数，我们可以得出它们的单调性。
通过以上的探讨，我们可以得出结论：正弦函数和余弦函数在其定义域上都是单调的。
这是它们的一个重要性质，对于学习和应用这两个函数都有着重要的意义。
在物理学中，正弦函数和余弦函数经常用于描述周期性变化。
在机械振动学中，正弦函数和余弦函数分别可以描述弹簧振子和单摆的运动规律。
在电磁学中，正弦函数和余弦函数也可以用来描述电流和电压的变化规律。
在工程技术中，正弦函数和余弦函数也有着广泛的应用，比如在通信领域中的信号处理和调制解调领域。
正弦,余弦函数的性质
例4：求下列函数的周期
(1) a π y = 2 sin( x + ) , ( a ≠ 0) 3 3
( 2) y =| sin x |
( 3) y = sin ωx cos ωx , (ω > 0)的最小正周期为 则ω = _______
( 4) “a = 1”是“ y = cos 2 ax − sin 2 ax的最小正周期 为π ”的 _______ 条件 ?
sin( sin(
π
6
+ 2π ) = sin + 2π ) = sin
π
6 3
π
3
π
sin( x + 2π ) = sin x
自变量每增加 2π ，函数值重复出现
具有这种性质的函数叫做周期函数
一般地, 对于函数 f ( x ), 如果存在一个常数 T (T ≠ 0) 使得当 x取定义域 D内的任意值时 , 都有 f ( x + T ) = f ( x) 成立, 那么函数 f ( x )叫做
例1：求下列函数的周期
(1) ( 2)
( 3)
y = 3 sin( 2 x +
π
6
)
1 π y = 2 cos(− x + ) 2 3
y = A sin(ωx + ϕ ), ( A ≠ 0, ω ≠ 0)
2π y = A sin(ωx + ϕ ), ( A ≠ 0, ω ≠ 0)的周期 T = |ω | 2π y = A cos(ωx + ϕ ), ( A ≠ 0, ω ≠ 0)的周期 T = |ω |
π
4
,
课后作业： 课后作业：
(1)
( 3) y = −2 sin(
正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调性)
) <0
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x ) 解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
函数在 [
2 2
+2k, +2k,
4
2 3 2
+2k],kZ 上单调递减 +2k],kZ上单调递增
2 k
(2) y=3sin(2x解：k 2
23 5
17 4
)
3 5
)=cos
3 5
23 5
=cos
cos(
3 5
17 4
)=cos
4
17 4
=cos
0
cos
3 5
4
又 y=cosx 在 [ 0 , ] 上是减函数
4
<cos
即： cos
17 4
– cos
<0
从而 cos( 235 ) - cos(
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 7 )sinx 6
解：
(4) 当
0 tan
7 6
tan
6
3 3
1
单调减区间为 单调增区间为
y log
1 2 1 2 cos( x
[2k [2k
3 )
,2 k ,2 k
], ( k Z ) ], ( k Z )
2
函数
单调性（单调区间）
+2k, 2 +2k],kZ 单调递增
正弦函数、余弦函数的性质(经典)
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分， 可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系 ，复数可以用三角函数的形式表示， 而三角函数也可以用复数进行计算和 分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表 示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的 定义非常相似，因此可以将复数的运算 转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于 任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。 相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$， 即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大 值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性 质和应用，例如：傅里叶变换、拉普 拉斯变换、Z变换等。这些变换在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的 应用。
正弦函数_余弦函数的性质 ppt课件
(2)y 3sin2x, xR.
解（：2）令t=2x,因为使函{t数|ty 3si2nkt,t, k RZ取}最大值的t的集合是
由 2xt2k2 得 xk
2
4
所以使函数 y3sin2x,x R 取最大值的x的集合是
{x|xk,kZ}
4 同理，使函数 y3sin2x,x R取最小值的x的集合是
3 5
2
2 3
2
P' 2
y 1P
O 3 2
2
2
1
5 3 x
2
对称轴：x L5,3,1,1,3L
2 2 222
xk,kZ
2
对称中心： L ( , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( , 0 ) , ( 2 , 0 ) L
(k,0) k Z
ppt课件
27
余弦函数的图象 y
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果 不加特别说明，一般都p是pt课件指的最小正周期。 5
正弦函数 ys ixn(xR)
y
· · -2
-
o
· · · ·x
2 3
4
x 结合图像：在定义域内任取一个 ，
由诱导公式可知： s ix n2 (k)s ixn
即 f(x2k)f(x)
☺正弦函数ys ixn(xR ppt课)是件 周期函数，周期是 2k6
3
A.x 4
3
B.x 2
C .x
12
y
D.x0
1
3 5
2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
解：经验证，当
正弦函数和余弦函数的性质
正弦函数和余弦函数的性质
1 正弦函数及其性质
正弦函数也称曲线函数，是坐标系中把角度和弧度的定义用一般的数学形式来表示的函数。
正弦函数的视觉影响可以归结为一条垂直于极轴的曲线。
正弦函数的特征有：
1. 正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π，也就是说，它在每个2π的区间里会重复出现相同的函数形式。
2. 正弦函数具有范围称属性，它的值始终在-1和1之间，也就是它以0为中心围绕-1和1旋转2π。
3. 正弦函数具有导数特性，它的导数与其幅值成反比关系，公式为(d/dx)*sin(x)=cos(x)。
2 余弦函数及其性质
余弦函数是正弦函数的镜面对称函数，它以直角坐标系中的水平轴（y轴）为镜面中心反射得到的。
正弦函数和余弦函数有以下相同的性质：
1. 都是周期函数，周期性问题都是2π，且在每个2π的区间里重复出现函数形式相同的函数形式。
2. 都具有范围称属性，它们的值始终在 -1 和 1 之间。
3. 具有导数特性，余弦函数的导数与它的幅值成反比关系，公式为（d/dx）*cos(x)=-sin(x)。
就正弦函数和余弦函数的性质而言，它们都有着类似的特征，这突出了它们是一种互补的函数关系。
正弦函数和余弦函数具有极大的应用性，广泛应用于力学，信号处理，通信等领域。
正弦函数余弦函数的性质
正弦函数余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质(1)知识点包括周期性、正、余弦函数的奇偶性、求函数周期的三种方法、利用定义判断函数奇偶性的三个步骤、三角函数周期性与奇偶性的解题策略、探究函数y＝a sin(ωx＋φ)及y＝a cos(ωx＋φ)的周期公式、函数的奇偶性与对称性的拓展等部分，有关正弦函数、余弦函数的性质(1)的详情如下：周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋t)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．(3)正弦函数y＝sin x(x∈r)和余弦函数y＝cos x(x∈r)都是周期函数，最小正周期为2π,2kπ(k∈z且k≠0)是它们的周期．正、余弦函数的奇偶性正弦函数y＝sin x(x∈r)是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数y＝cos x(x∈r)是偶函数，图象关于y轴对称．求函数周期的三种方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋t)＝f(x)的非零常数t.该方法主要适用于抽象函数．(2)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．(3)公式法：利用定义判断函数奇偶性的三个步骤三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝a sin(ωx＋φ)或y＝a cos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．还可以用求周期．(2)判断函数y＝a sin(ωx＋φ)或y＝a cos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝a sin ωx或y＝a cos ωx其中的一个．即y＝a sin(ωx＋φ)，当φ＝kπ时为奇函数，当φ＝时，为偶函数．y＝a cos(ωx＋φ)，当φ＝时为奇函数，当φ＝kπ时为偶函数．探究函数y＝a sin(ωx＋φ)及y＝a cos(ωx＋φ)的周期公式事实上，令z＝ωx＋φ，那么由x∈r得z∈r，且函数y＝a sin z，z∈r及函数y＝a cos z，z∈r的周期都是2π.因为z＋2π＝(ωx＋φ)＋2π＝，所以，自变量x增加函数值就重复出现；并且增加量小于时，函数值不会重复出现．即t＝是使等式a sin[ω(x＋t)＋φ]＝a sin(ωx＋φ)，a cos[ω(x＋t)＋φ]＝a cos(ωx＋φ)成立的最小正数，从而，函数y＝a sin(ωx＋φ)，x∈r及函数y＝a cos(ωx＋φ)，x∈r的周期t＝函数的奇偶性与对称性的拓展y＝sin x，(x∈r)是奇函数，图象关于原点对称，结合周期性其对称中心为(kπ，0)(k∈z)，也是轴对称图形，其对称轴为x＝kπ＋(k∈z)．y＝cos x也是如此，总结如下。
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函数 y A sin(x ), x R 及函数 y A cos(x ), x R 的周期
两 个 函 数
y A sin(x ), x R y A cos(x ), x R
T 2
（其中
A, ,
为常数且A≠0)
的周期仅与自变量的系数有关，那么如何 用自变量的系数来表述上述函数的周期？
-1
o
2
3
4
5
6
x
y=cosx的图象对称中心为： ( k ，0 )， k Z . y 2 1
-4 -3 -2 -
x k， k Z ；
2
3 4
o
-1
5
6
y cos x( x R)
x
练习
为函数 y sin(2 x
3
2
) 的一条对称轴的是（ ）
2 T 4 2 2 T 2 1 2 T 2 3 6 1 3
当堂检测
1 A、y sin x 2 x B、y cos 2 D、y cos2 x
（1）下列函数中，最小正周期是 的函数是（ D ）
C、y cos x
2 。 （2）函数 y sin x 的最小正周期为_____
R
3 { x | 2 k x 2 k , k Z} 2 2
[0,1]
观察下列正弦曲线和余弦曲线的规律， 你有什么发现？ y 1 y=sinx
-6π -4π -5π -3π -1
2
-2π
-π
O
π 2π y
3π 4π
5π 6π
x
2
2 2
o y x o 6π 12π 8π x
3.T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期. (k为非零整数)
概 念
1.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零 的常数T，使得当x取定义域内的每一个值 时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做
周期函数
非零常数T叫做这个函数的周期 2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小 的正数就叫做f(x)的最小正周期。
结论：象这样一种函数叫做周期函数.
周期函数定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零 常数T，使得当x取定义域内的每一个 值时，都有：f (x＋T)＝f(x).那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做 这个函数的周期.
问题：
(1) 对于函数y sin x , x R有
2 sin( ) sin , 6 3 6 2 能否说 是它的周期? 3
cos x 是以2π 为周期的周期函数.
(2)
sin(2 x) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) , y sin 2 x 是以π 为周期的周期函数.
1 1 (3) 2sin( x ) 2sin( x 2 ) 2 6 2 6 1 2sin ( x 4 ) , 6 2 1
课堂练习：
P36 练习1 练习2：求下列函数的周期
3 (1) y sin x, x R 4 (2) y cos4 x, x R 1 (3) y cos x, x R 2 1 (4) y sin( x ), x R 3 4
2 4 8 T 2 3 3 3 4
3
解（1）令
z 2x
则
y sin(2 x
3
) sin z
y sin z
2x
的对称轴为 z
3
2
k , k Z
2
k
x
解得：对称轴为
(2) y sin z
12
k
2
,k Z
的对称中心为 ( k ,0) , k Z
2x
z k
注意: 1.定义是对定义域中的每一个x值来说的, 只有个别的x值满足:f ( x T ) f ( x ) 不能说T 是y f ( x )的周期. 例如 : sin(
4
2
) sin
4 但是 sin( ) sin .
3 2 3
,
就是说 不能对x在定义域内的每一个值使 2 sin( x ) sin x ,因此 不是y sin x的周期. 2 2
2
1
3 2
2
5 2
3
x
中心对称：将图象绕对称中心旋转180度后所得 的曲线能够和原来的曲线重合。
轴对称：将图象绕对称轴折叠180度后所得的曲 线能够和原来的曲线重合。
正弦函数的图象
3 5 2
2 3
2
y
1
P
2
P
' 2
O
1
3 2
2
5 2
3
y 2sin( x ) 2 6
是以４π 为周期的周期函数．
函数
周期
y 3 cos x y sin 2 x 1 y 2 sin( x ) 2 6
1 y 2 sin( x ) 2 6
T 2
2 1
2 2
2 1 2 2
1 2
T
T 4 T 4
正弦、余弦函数的性质
要点回顾. 正弦函数、余弦函数的图象 1)图象作法--- 几何法
2)正弦曲线、余弦曲线
y
1 (0,0) -4 -3 -2 - -1
( ,1)
2
五点法
正弦曲 线
3 4
o y
(0,1) 1
( ,0)
( 2 ,0) 2
5
6
3 ( ,-1) 2
x
-4
T 2
• 3.图象法:
( 0)
二.奇偶性
3 5 2
2 3
2
y
1
2
O
2
(1) f ( x ) sin x , x R 任意x R f ( x ) sin( x ) sin x f ( x ) f ( x ) sin x , x R y 为奇函数
x
5 3 1 1 3 x , , , , 对称轴： 2 2 2 2 2 x
2
k , k Z
对称中心： ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)
( k ,0) k Z
余弦函数的图象
3 5 2
' P 2 3
x
结合图像：在定义域内任取一个 ， 由诱导公式可知： sin(x 2k ) sin x
x
f ( x 2k ) f ( x) 正弦函数y sin x( x R)是周期函数，周期是 2k
即
三角函数的周期性: y
-2
y 4π
y=sinx(x∈R)
0
X
2
x
X+2π
4
自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
(2) y cos z 的对称中心为 1 z k ,
2
1 x k x 2k , k Z 2 4 2 解得：对称轴为 x 2k , k Z 2
( k ,0), k z 2
x k 2 2 4 x 2k , k Z 2 对称中心为 (2k ,0), k Z 2
讲授新课 正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形， 说出函数图象关于有怎样的对称性？其特点 是什么？ y
正弦函数的图象
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
y
1
O
2
余弦函数的图象
3 5 2
2 3
2
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果 不加特别说明，一般都是指的最小正周期。
求下列函数的周期：
(1) y 3 cos x, x R (2) y sin 2 x, x R 1 (3) y 2 sin( x ), x R 2 6
解:(1) ∵对任意实数 x 有
f ( x) 3 sin x 3 sin(x 2 ) f ( x 2 )
y
1
2
O
2
2
1
3 2
2
P
5 2
3
x
对称轴： x ,0, , 2
x k , k Z
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2 (
2
k ,0) k Z
正弦、余弦函数的对称性
y
1 -4 -3 -2 -
3
k
x
6
k
2
对称中心为 (
6
k
2
,0) , k Z
1 • 求 y cos( x ) 函数的对称轴和对称中心 2 4 1 1 解（1）令 z x 则 y cos( x ) cos z 2 4 2 4 y cos z 的对称轴为 z k
C.x
4 A. x 3
B. x