三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总

课题三角函数的图像及性质

1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( π2/±α , π的±正α弦、余弦、正切)

教学目标 2.利用单位圆中的三角函数线作出y sin x,x R的图象，明确图象的形状；

3.根据关系cosx sin(x ) ，作出y cosx,x R的图象；

2

4.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；

重点、难点

1、正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值

2、作余弦函数的图象。

教学内容

、正弦函数和余弦函数的图象：

-1

正弦函数y sin x 和余弦函数y cos x图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，, ,3 ,2 22

的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

二、正弦函数y sin x(x R) 、余弦函数y cosx(x R) 的性质：

( 1)定义域：都是R。

(2)值域：

1、都是1,1 ，

2、y sinx ，当x 2k k

2

3、y cosx ，当x 2k k Z 例：

( 1)若函数y a bsin(3 x

Z 时，y 取最大值1 ；当x

时，y 取最大值1，当x 2k

) 的最大值为3，最小值为

62

3

2k 3 k Z 时，y 取最小值－1；

2

k Z 时，y 取最小值－ 1 。

1，则 a __， b ＿

2

3

y

-2

1

y=cosx

-3

-5

-32

-4 -7 -2 -3

22

1

答： a 1

2,b 1或b 1)；

⑵ 函数 y=-2sinx+10 取最小值时，自变量 x 的集合是

3）周期性 ：

（正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心为图象与 x 轴的交 点）。

5）单调性 ：

别忘了 k Z ！

⑴函数 y=sin2x 的单调减区间是（

① y sin x 、 y cos x 的最小正周期都是 2 ；

② f ( x) A sin(

x

)和 f (x) Acos(

2 x ） 的最小正周期都是 T 2

sin 3x ，则 f （1） f （2） ⑵．下列函数中，最小正周期为

例： (1)若 f (x) f (3) L

的是（

A. y cos 4x

B. y sin 2x

C.y

f (2003) ＝

答： 0）；

x sin

2

D.y

x

cos

4

（ 4）奇偶性与对称性 ：

1、正弦函数 y sin x （ x R ） 是奇函

数，

对称中心是 k ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z ；

2

2、余弦函数 y cosx （x R ） 是偶函数， 对称中心是 k 2 ,0

k Z ，对称轴是直线 x k k Z

5

例：（1） 函数 y sin 5

2

2x 的奇偶性是

答：偶函数）；

2）已知函数 f （ x ） a x bsin 3 x 1( a,b 为常数)， 且 f (5 ) 7， 则 f ( 5)

答：－ 5）；

y sin x 在

2k

, 2k 2

k Z 上单调递增，在

2k

, 2k

2

3

k Z 单调递减； 2

y cosx 在 2k ,2 k

Z 上单调递减，在 2k

,2k

k Z 上单调递增。 特别提醒 ，

2k . 3 2k (k z)

22 4,k (k z)

A. B.

(5)研究函数 y Asin( x )性质的方法：类比于研究 y sin x 的性质 ，只需将 y Asin( x ) 中的 x 看成 y sin x 中的 x ，但在求 y Asin( x ) 的单调区间时，要特别注意 A 和 的符号， 通过诱导公式先将 化正。 如(1)

函数 y sin( 2x ) 的递减区间是 __

5

____ (答： [ k 5

,k

]( k Z))；

3

12

12

( 2) y

x

log 1 cos( ) 的递减区间是 _____ 3

__(答： [ 6k 3 ,6k 3

]( k Z ) )；

1

2 3

4 4

4

( 3)函数 y Asin( x ) 图象的画法 ： 3

① “五点法”――设 X x ，令 X ＝0， , ,3 ,2 求出相应的 x 值，计算得出五点的坐标， 22 描点后得出图象；

② 图象变换法：这是作函数简图常用方法。

⑴ 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的 x 的集合：

1

1 5 (1)sin x ; (2)cos x ,(0 x ).

2

2

2

6.形如 y Asin( x

) 的函数：

1

1)几个物理量 ：A ―振幅； f 1 ―频率(周期的倒数) ； x ―相位； ―初相；

C. ＋2k ,3 2k (k z)

D. k

4,k 4 (k z)

⑵ . 用五点法作函数 y 2cos(x 3),x [0,2 ] 的简图 .