(完整word版)数学选修椭圆练习题及详细答案(含准线练习题)
(完整word版)椭圆的方程练习题
(完整word版)椭圆的方程练习题椭圆的方程练题
1. 根据椭圆的定义，椭圆是平面上到两个定点距离之和等于常数的点的集合。
椭圆的标准方程可以表示为：
其中，(h, k)是椭圆的中心坐标，a是椭圆长半轴的长度，b是椭圆短半轴的长度。
2. 练题一：
已知椭圆的中心坐标为(2, 3)，长半轴的长度为4，短半轴的长度为2。
求解该椭圆的方程。
解答：
根据标准椭圆方程的形式，代入已知条件可以得到方程：
即：
3. 练题二：
已知椭圆的方程为:
求解该椭圆的中心坐标以及长半轴和短半轴的长度。
解答：
根据标准椭圆方程的形式，可以得到椭圆的中心坐标为(1, 4)，长半轴的长度为3，短半轴的长度为4。
4. 练题三：
已知椭圆的中心坐标为(-2, 5)，长半轴与短半轴的比值为2。
求解该椭圆的方程。
解答：
假设长半轴的长度为a，短半轴的长度为b，则b/a=1/2。
代入标准椭圆方程可以得到方程：
即：。
2020年高中数学人教A版选修优化练习第课时椭圆的简单几何性质Word版含解析
[A 组 基础巩固]1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( )A ．(－1,0)，(1,0)B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)解析：方程化为x 2＋y 26＝1， ∴a 2＝6，a ＝6，长轴的端点坐标为(0，±6)．答案：D2．正数m 是2和8的等比中项，则椭圆x 2＋y 2m ＝1的离心率为( ) A.32 B. 5 C.32或52 D.32或 5解析：由题意得m 2＝2×8＝16，∵m 是正数，∴m ＝4，∴c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，∴e ＝32.故选A.答案：A3．若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( ) A.53 B.23 C.13 D.12解析：在Rt △PF 1F 2中，设PF 2＝1，则PF 1＝2，F 1F 2＝5，故此椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝53.答案：A4．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)有( ) A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴解析：对椭圆C 1，c 1＝a 21－b 21＝4，对椭圆C 2，∵0＜k ＜9，∴25－k ＞9－k ＞0. 其焦点在y 轴上，∴c 2＝25－k －(9－k )＝4，故选B答案：B 5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为23，离心率为33，则该椭圆的方程为( )A.x 212＋y 28＝1B.x 212＋y 28＝1或y 212＋x 28＝1C.x 23＋y 22＝1D.x 23＋y 22＝1或y 23＋x 22＝1解析：由题意知a ＝3，又∵e ＝33，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所求椭圆方程为x 23＋y 22＝1或y 23＋x 22＝1.故选D.答案：D6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________．解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴方程是y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x 248＝17．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________．解析：直线与x 轴，y 轴的交点分别为A (2,0)，B (0,1)，由题意a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝3，故椭圆的焦点坐标为(±3，0)． 答案：(±3，0)8．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则该椭圆的离心率为________．解析：如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3. 由椭圆定义知2c 3＋4c 3＝2a ， ∴e ＝c a ＝33.答案：339．设椭圆方程为mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．解析：椭圆方程可化为x 24＋y 2m ＝1.(1)当0<m <4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，∴e ＝c a ＝4－m 2＝12， ∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是4,23，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m >4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4，∴e ＝c a ＝m －4m ＝12，解得m ＝163， ∴a ＝433，c ＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－233，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎪⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)． 10．已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝32，求k 的值． 解析：(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋8，b 2＝9，得c 2＝k －1.由e ＝32，可得k －1k ＋8＝34，即k ＝28. (2)当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k .由e ＝32，得1－k 9＝34，即k ＝－234.故满足条件的k 值为k ＝28或－234. [B 组 能力提升]1．我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，设其近地点A 距地面为n 千米，远地点B 距地面为m 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋R )(n ＋R )千米 B.(m ＋R )(n ＋R )千米C ．mn 千米D ．2mn 千米 解析：设运行轨道的长半轴长为a ，焦距为2c ，由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝n ＋R ，a ＋c ＝m＋R ，解得a ＝m ＋n 2＋R ，c ＝m －n 2，故b ＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 22＝R 2＋(m ＋n )R ＋mn ＝(m ＋R )(n ＋R ).即2b ＝2(m ＋R )(n ＋R ).答案：A2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1， F 2，过F 2的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点A ，并与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，如图，若A ，F 2为线段PQ 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A.23B.33C.53 D.73解析：连接PF1，由题意知OA ＝b ，∴|PF 1|＝2b ，∴|PF 2|＝2a －2b ，∴|AF 2|＝a －b .在Rt △OAF 2中有b 2＋(a －b )2＝c 2，将b 2＝a 2－c 2代入整理得3a 2－3c 2－2a a 2－c 2＝0，即3－3e 2＝21－e 2，即9e 4－14e 2＋5＝0，解得e 2＝59或e 2＝1(舍去)，∴e ＝53.故选C.答案：C3．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________．解析：由条件知，2a ＝20，c a ＝35，∴a ＝10，c ＝6，b ＝8，故标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝14．(2015·高考浙江卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b c x 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点，∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝b c ，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bc a ，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a .由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a ＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 答案：225．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2＝π2.记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，求该椭圆的离心率．解析：依题知，F 1P ⊥F 2P ，所以△F 1QO ∽△F 1F 2P ，因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ的面积之比为1∶2，所以SF 1OQ SF 1F 2P ＝13，所以OF 1F 1P ＝13，设椭圆的焦距为2c ， 则F 1P ＝3c ，F 2P ＝F 1F 22－F 1P 2＝c ，由椭圆的定义可得：3c ＋c ＝2a ，所以，e ＝c a ＝23＋1＝3－1.6.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F 作平行于AB 的直线交椭圆于C 、D 两点．作平行四边形OCED ，E 恰在椭圆上．(1)求椭圆的离心率； (2)若平行四边形OCED 的面积为6，求椭圆的方程．解析：(1)∵焦点为F (c,0)，AB 斜率为b a ，故CD 方程为y ＝b a (x －c )．与椭圆联立后消去y 得2x 2－2cx －b 2＝0.∵CD 的中点为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ， 将E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a 代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2， ∴e ＝c a ＝22.(2)由(1)知CD 的方程为y ＝22(x －c )，b ＝c ，a ＝2c .与椭圆联立消去y 得2x 2－2cx －c 2＝0. ∵平行四边形OCED 的面积为 S ＝c |y C －y D |＝22c (x C ＋x D )2－4x C x D ＝22c c 2＋2c 2 ＝62c 2＝6，∴c ＝2，a ＝2，b ＝ 2.故椭圆方程为x 24＋y 22＝1.。
高中数学选修2-1《椭圆》综合练习含答案
椭圆一、以考查知识为主试题 【容易题】1．椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为（ ） （A ）－21 （B ）21 （C ）1925-或21 （D ）1925或21【答案】C2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A.x236＋y216＝1 B.x216＋y236＝1 C.x26＋y24＝1 D.y26＋x24＝1 【答案】A3. 若焦点在x 轴上的椭圆x22＋y2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A.3 B.32 C.83 D.23【答案】B4. 已知1F 、2F 分别为椭圆C 的两个焦点,点B 为其短轴的一个端点,若12BF F ∆为等边三角形,则该椭圆的离心率为( )AB ．12C ．2D 【答案】B5. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴长的最小值为 （ ）A.1B.2C.2D.22【答案】D6. 椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上且线段1PF 的中点M 在y 轴上，则点M 的纵坐标为 （ ） A.3± B.3± C.2± D.34±【答案】A7.过椭圆左焦点F 且斜率为3的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心e=__ 【答案】328.椭圆 )0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2。
若1AF ，21F F ，B F 1 成等比数列，则此椭圆的离心率为_____________.【答案】559.设F1,F2分别是椭圆22x y 12516+=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F1P 的中点，|OM|=3，则P 点到椭圆左焦点距离为_________. 【答案】410．已知椭圆22195x y +=的右焦点为F , P 是椭圆上一点，点(0,A ，当点P 在椭圆上运动时， APF ∆的周长的最大值为____________ . 【答案】1411．若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 ，则此椭圆的离心率为__________．【答案】312．设 ， 为椭圆 ：的焦点，过 所在的直线交椭圆于 ， 两点，且 ，则椭圆 的离心率为__________．13．已知椭圆的左、右焦点分别为 、 ，且 ，点 在椭圆上，， ，则椭圆的离心率 等于__________．二、以考查技能为主试题 【中等题】14. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是_________ 【答案】111(,)(,1)32215．已知椭圆方程，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是________ 【答案】416.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______. 【答案】5717．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a c - =3, 那么椭圆的方程是 ．【答案】191222=+y x18.如图，椭圆C ：(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A,B 两点的直线，是否存在上述直线l 使成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
(完整word版)椭圆基础训练题(含答案提示)(2),推荐文档
椭圆基础训练题1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2＝12．椭圆5x 2＋4y 2＝1的两条准线间的距离是（ ）（A ）52 （B ）10 （C ）15 （D ）3503．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）21（B ）22（C ）23（D ）334．椭圆25x 2＋9y 2＝1上有一点P ，它到右准线的距离是49，那么P 点到左准线的距离是（ ）。
（A ）59（B ）516 （C ）441 （D ）5415．已知椭圆x 2＋2y 2＝m ，则下列与m 无关的是（ ）（A ）焦点坐标 （B ）准线方程 （C ）焦距 （D ）离心率6．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（ ）（A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或17．椭圆的中心为O ，左焦点为F 1，P 是椭圆上一点，已知△PF 1O 为正三角形，则P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是（ ）（A ）3－1 （B ）3－3 （C ）3 （D ）18．若椭圆my 12m 3x 22-+=1的准线平行于y 轴，则m 的取值范围是 。
9．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。
10. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为354，求此椭圆的方程。
11．证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。
12. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。
（A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36y 2=1（C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5x 2+9y 2=113. 椭圆25x 2＋16y 2=1的焦点坐标是（ ）。
人教版高中数学选择性必修第一册-3.1 椭圆 习题课测试卷(含解析)
3.1椭圆测试卷（原卷版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝12．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.23273．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12D.3－14.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.325．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝4237．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．8．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．11．过点M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为()A ．2B ．－2C.12D ．－1212．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，下顶点为B ，离心率为32，且△BF 1F 2的面积为3.则椭圆C 的标准方程为________，若点P 在椭圆C 上，且以AP 为直径的圆过B 点，则直线AP 的斜率为________．13．已知中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆M 的焦距为4，且椭圆M 过点(1，3)．(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点C (0，1)的直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且AC →＝2CB →，求直线l 的方程．1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4D.433或433．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.34．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C的方程；(2)若AM→＝2MB→，且直线l与圆O(O为坐标原点)：x2＋y2＝47相切于点N，求MN的长．11．已知椭圆C过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．3.1椭圆测试卷（解析版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1答案D2．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.2327答案A 3．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12 D.3－1答案D解析在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1.所以离心率e ＝ca ＝21＋3＝3－1.故选D.4.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.32答案B解析设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为2sin 60°＝433，即长半轴长为233，所以半焦距为33，故离心率为12.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，答案C解析依题意，以F 1，F 2为直径且过点M 的圆在椭圆内，得c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2.故－22＜e ＝c a <22，又0<e <1，所以0<e <22.6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案BD解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)＋y 124＝1，＋y 224＝1，两式相减，得x 12－x 222＋y 12－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2，即k AB ·k OM ＝－2，所以A 不正确；对于B ，由k AB ·k OM ＝－2，M (1，1)，得k AB ＝－2，所以直线l 的方程为y －1＝－2(x －1),即2x ＋y －3＝0，所以B 正确；对于C ，若直线l 的方程为y ＝x ＋1，k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 不正确；对于D ，由x ＋2，＋y 24＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝－43，所以|AB |＝1＋12|－43－0|＝423，所以D 正确．故选BD.7．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．答案x 215＋y 210＝18．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．答案35解析2＋4y 2＝16，＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0，Δ＞0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－212所以弦长|MN |x 1－x 2|＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54×（4＋24）＝35.9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．答案x ＋y －3＝0[2，8＋42]解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 124＝1，＋y 224＝1，即x 12－x 22＋2(y 12－y 22)＝0，变形为y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.又AB 的中点为点Q (2，1)，则有x 1＋x 22＝2，y 1＋y 22＝1，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，即直线AB 的斜率为－1，所以弦AB 所在直线的方程为y ＝－(x －2)＋1，即x ＋y －3＝0.设P (x 0，y 0)，又F (－2，0)，所以OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋2，y 0)，所以OP →·FP →＝2x 0＋x 02＋y 02＝2x 0＋x 02＋4－x 022＝12(x 0＋2)2＋2.又－22≤x 0≤22，所以当x 0＝－2时，OP →·FP →有最小值2；当x 0＝22时，OP →·FP →有最大值8＋42，所以OP →·FP →∈[2，8＋42]．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．解析(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝2 3.则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，x ＋m ，＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①由Δ＝(6m )2－4×4×(3m 2－12)＞0，得m 2＜16.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB的中点为E(x0，y0)，则x1＋x2＝－3m2，则x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1，解得m＝2，满足Δ＞0.此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322.所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.11．过点M(－2，0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.12D．－12答案D解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)y12＝1，①y22＝1.①－②，得（x1＋x2）（x1－x2）2＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.即2x·（x1－x2）2＋2y(y1－y2)＝0.∴k1＝y1－y2x1－x2＝－x2y.又k2＝yx，∴k1·k2＝－12.12．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，下顶点为B，离心率为32，且△BF1F2的面积为3.则椭圆C的标准方程为________，若点P在椭圆C上，且以AP为直径的圆过B点，则直线AP的斜率为________．答案x24＋y2＝1310解析由题意可知ca＝32，S△BF1F2＝bc＝3.又a2－b2＝c2，所以b＝1，c＝3，a＝2，所以椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.以AP为直径的圆过B点，即AB⊥BP.因为k AB＝－ba＝－12，所以k BP＝2.所以直线BP的方程为y＝2x－1.2x－1，y2＝1，＝0，＝－1＝1617，＝1517，所以点PAP的斜率k AP＝1517－01617＋2＝310.13．已知中心为坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4，且椭圆M过点(1，3)．(1)求椭圆M的方程；(2)若过点C(0，1)的直线l与椭圆M交于A，B两点，且AC→＝2CB→，求直线l的方程．解析(1)设椭圆M的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．∵2c＝4，∴c＝2，∴a2－b2＝c2＝4.又椭圆M过点(1，3)，∴3a2＋1b2＝1.b2＝4，＋1b2＝1，解得a2＝6，b2＝2.∴椭圆M的方程为y26＋x22＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0.设此时点A，B的坐标为(0，－6)和(0，6)，不满足AC→＝2CB→，∴直线l的斜率一定存在．设直线l的方程为y＝kx＋1，kx＋1，＋x22＝1，消去y并整理，得(3＋k2)x2＋2kx－5＝0.则Δ＝4k2＋20(3＋k2)＝24k2＋60>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2k3＋k2，x1x2＝－53＋k2.又∵AC→＝2CB→，∴(－x 1，1－y 1)＝2(x 2，y 2－1)，∴x 1＝－2x 2，∴x 1＋x 2＝－x 2＝－2k3＋k 2，x 1x 2＝－2x 22＝－53＋k 2，∴8k 2（3＋k 2）2＝53＋k 2，即8k 23＋k 2＝5，解得k 2＝5，∴k ＝± 5.故直线l 的方程为y ＝±5x ＋1.1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关答案B2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4 D.433或43答案D解析由正弦定理得|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2×4＝8，∴sin ∠F 1PF 2＝32.∴cos ∠F 1PF 2＝±12，符合题意．由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝8，∴|PF 1||PF 2|＝16或163.∴S △F 1PF 2＝12PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝433或4 3.3．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.3答案A 解析不妨令A (－a ，0)，B (a ，0)．设M (x ，y )，N (x ，－y )(－a <x <a )，则k 1＝y x ＋a ，k 2＝y a －x.又椭圆的离心率为32，所以b a ＝1－e 2＝12，所以|k 1|＋|k 2|＝|y |x ＋a ＋|y |a －x≥2y 2a 2－x 2＝2b a ＝1(当且仅当|y |x ＋a ＝|y |a －x，即x ＝0时等号成立)．故选A.4．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案B解析可求出|AB |＝5，设P (4cos θ，3sin θ)，θ∈[0，2π)，则P 点到AB 的距离为d ＝|12（cos θ＋sin θ）－12|5＝245.∴θ＝π或3π2，∴这样的点P 有2个．5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．答案x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1解析依题意可得a ＝2c ，a －c ＝3，∴c ＝ 3.∴a ＝23，b 2＝9.故椭圆的方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．答案75275＋R解析由题意得a －c ＝200＋R ，a ＋c ＝350＋R ，求得a ＝275＋R ，c ＝75.所以离心率e ＝c a ＝75275＋R.7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．答案22解析设椭圆的左焦点为F 1，O 为坐标原点，连接OQ ，QF 1，QF ，由F 关于直线l ：y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |.又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF .所以F 1Q ∥l .不妨设|QF 1|＝ck (k ＞0)，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．答案33解析利用直线与直线、直线与椭圆的位置关系求交点坐标，再利用两直线垂直时斜率的关系列式以确定离心率．直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.不妨令∴kBF 1＝－b 2a －0c －（－c ）＝－b 2a 2c＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac(x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a.∴k AD ＝b 2a ＋b 22a c＝3b 22ac .∵AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac＝－1.∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac .∴3e 2＋2e －3＝0.∴e ＝－2±4－4×3×（－3）23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝33.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析(1)∵2a ＝4，∴a ＝2.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2b2＝1.∵椭圆C，∴14＋94b2＝1.∴b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设O 到l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，则d ＝r ＝1.即|m |1＋k2＝1，∴m 2＝1＋k 2.①＋y 23＝1，kx ＋m ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.则Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝192k 2－48m 2＋144＝144k 2＋96＞0.设A ，B 坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k2.∴y 1·y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2.②将①代入②，得x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k 23＋4k 2.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32，∴－5－5k 23＋4k 2＝－32，∴k ＝±22.10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM →＝2MB →，且直线l 与圆O (O 为坐标原点)：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求MN 的长．解析(1)2＝3，1，解得a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，∴原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1.由AM →＝2MB →，得y 1＝－2y 2.y 2＝1，ty ＋m ，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，则Δ＝16(t 2－m 2＋4)＝12m 2＋48＞0.∴y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.∵y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2，∴y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，即m 2－4t 2＋4＝－，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2.m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，＝74m 2－1，消去t 2，得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，∴±233，连接ON ，在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121，∴MN 的长为42121.11．已知椭圆C 过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解析(1)由题意，得c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1(b ＞0)．因为点A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3或b 2＝－34(舍去)．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋－12＝0.由Δ＝36(2k ＋1)2＞0，得k ≠－12.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A所以x E y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得k ≠12，且x F y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k （x F ＋x E ）＋2k x F －x E＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。
2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1《椭圆》同步练测及答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-11 椭圆同步练测建议用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）A.14B.12C.2D.42.已知椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>，O为原点，F为右焦点，点M是椭圆右准线l上（除去与x轴的交点）的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，则线段ON的长为（）A.cB.bC.aD.不确定3.已知曲线C上的动点M(x,y)和向量a=(x+2,y),b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则曲线C的离心率是( )A.23B.C.33D.134.平面内有两定点,A B及动点，设命题甲：“||PA+是定值”，命题乙：“点的轨迹是以,A B为焦点的椭圆”，那么（）A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的既不充分也不必要条件5.如果椭圆上两点间的最大距离是，那么（）A.32B.16C.8D.46.中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为12，则椭圆方程为（） A.B. C.D.7.已知点P 是椭圆221625400x y +=上一点，且在x 轴上方，12F ,F 分别是椭圆的左、右焦点，直线2PF 的斜率为43-，则12PF F △的面积是（ ） A.243 B.123 C.63 D.338.椭圆222212x y a a +=与连接两点的线段没有公共点，则正数的取值范围是（）A. B. C.D.二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）9.椭圆22221(0)x y a b a b+>>＝的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于A,B 两点，若FAB △的周长最大时，FAB △的面积为ab ，则椭圆的离心率为.10.若焦点在轴上的椭圆2221(0)45x y b b +=>上存在一点，它与两焦点的连线互相垂直，则的取值范围是.11.已知点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，是圆22142：F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为．12.已知椭圆长轴上一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是．三、解答题（本题共3小题，共36分）13.（本小题满分12分）已知椭圆221259y x +＝的上、下焦点分别为2F 和1F ，点(13)A -，. （1）在椭圆上有一点M ，使2F M MA +的值最小，求最小值； （2）当2F M MA +取最小值时，求2AMF △的周长14.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心22e=.3（1）求椭圆的方程；（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为1-，求直线倾2斜角的取值范围.15.（本小题满分12分）已知向量，，，(其中是实数).又设向量，，且∥，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程；（2）设直线与曲线交于两点，当42||MN 时，求直线的方程3一、选择题1.A 解析：椭圆方程可化为22111x y m+=,由焦点在轴上可得长半轴长为1m ,短半轴长为1，所以1m ，解得14m =. 2.C 解析：由题意可设(0)F c ，，点2a M ,m c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2OM mc k a =.由题意可得OM FN ⊥，∴FN 的方程为20()a y x c mc-=--，整理方程，得2()a my x c c =--，即22a my x a c+=.①∵过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，∴ON NM ⊥，即1ON NM k k =-•.设()N x y ，，则21y y m • a x x c-=--.整理，得222a x y x my c +=+.② 联立①②，得2222a x y x my a c+=+=，∴ 22ON x y a =+=．3.A 解析：|a|+|b|=6表示动点M 到两定点(-2,0),(2,0)的距离之和为6,所以曲线C 是以(-2,0),(2,0)为焦点,以6为长轴长的椭圆,故离心率e==.4.B 解析：若点的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆,则是定值；当时，是定值，但此时点的轨迹是线段,所以甲是乙成立的必要不充分条件.5.B 解析：由题意得.将椭圆方程化为2214x y k k +=.由04kk >>，得. 6.C 解析：由题意设椭圆方程为221(0)50x y m m m +=>+,与直线方程联立，得22150320x y m m x y ⎧+=⎪+⎨⎪--=⎩，，消去并整理，得.由弦的中点的横坐标为12,可得1211050m m =+,解得.所以椭圆方程为2212575x y +=. 7.C 解析：∵ 椭圆221625400x y +=化成标准形式为22=12516x y +，∴ 222516a b ==，，可得223c a b =-=.∴ 椭圆的焦点为130F -（，），230F （，）.设位于椭圆x 轴上方弧上的点为(,)m n ，则22=125160=433m n n m ⎧+⎪⎪⎨-⎪-⎪-⎩，，解得5223m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，（负值舍去）. ∴ △12PF F 的面积1623632S =⨯⨯=. 8.A 解析：由题意得，当点在椭圆222212x y a a +=的外部或点在椭圆222212x y a a +=的内部时，椭圆222212x y a a +=与连接两点的线段没有公共点，所以221412a a +>或224912a a +<,解得或. 二、填空题 9.22解析：设椭圆的右焦点E ． 由椭圆的定义得FAB △的周长为(2)(2)AB AF BF AB a AE a BE ++=+-+-4a AB AE BE =+--.∵ AE BE AB +≥,∴ 0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号.∴ FAB △的周长44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤. ∴ FAB △的周长的最大值是4a .此时FAB △的面积为21222b c ab a⨯⨯=，∴ 22a bc =.平方,得42224()a a c c =-,即424410e e -+=，∴ 22e =. 10.3100,2⎤⎛⎥ ⎥⎝⎦解析：设椭圆222145x y b +=的上顶点为，焦点为,椭圆2221(0)45x y b b +=>上存在一点与两焦点的连线互相垂直,则1290F AF ∠︒≥.由余弦定理可得2222112|||||0AF AF F F +-≤，即22240a a c +-≤,所以222222()a c a b =-≤，即2245b ≤，解得31002b <≤. 11.22413x y +=解析：由题意可得.又，所以点的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，其中12c =，,213144b =-=,所以椭圆方程为22413x y +=.12.1625解析：原方程可化为2214x y +=,，，所以，，.不妨设A 为右顶点，设所作的等腰直角三角形与椭圆的一个交点为，可得，代入曲线方程得45y =，所以21162225S y =⨯=. 三、解答题13.解：由题意知534a ,b ,c ===，1(04)F -，，2(04)F ，，12AF =. ∵ M 是椭圆上任一点，∴ 12210MF MF a +==，∴2111210()10102≥=F M MA a MF MA MF MA AF +=-+=----. 等号当且仅当11MF MA AF -=时成立，此时点1M ,A,F 共线． ∴2F M MA +的最小值为102-.（2）当2F M MA +取最小值时，点1M ,A,F 共线．2AMF △的周长2210 2 5 2 1042l MF MA AF =++=-+=-．14.解：（1）设椭圆方程为22221y x a b+=.，223c a =，所以，所以. 故所求椭圆方程为2219y x +=.（2）设直线的方程为，代入椭圆方程整理，得.由题意得222122(2)4(9)(9)0,21,9kb k b kbx x k ⎧=-+->⎪⎨+=-=-⎪+⎩∆解得或. 又直线与坐标轴不平行，故直线倾斜角的取值范围是πππ2π,,3223⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 15.解：（1）由题意得22(0,)(2,2)(2,2)x y y x =+=+m ，(,0)(2,2)(2,2)x x =-=--n .因为∥m n ，所以2()(222)2(0)y x x --+-=，即所求曲线的方程是2212x y +=.（2）由22121x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去，得，解得12240,12kx x k ==-+.由2212244112123k MN k x x k k =+-=+=+,解得. 所以直线的方程为或。
完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)
完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)A组基础过关1.选择题1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于多少？A。
2B。
2/3C。
1/2D。
1/3解析：由题意得2a=2b，所以a=b，又a²=b²+c²，所以b=c，所以a=2c，e=c/a=1/2，答案为C。
2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是什么？A。
(x²/81)+(y²/72)=1B。
(x²/81)+(y²/9)=1C。
(x²/81)+(y²/45)=1D。
(x²/81)+(y²/36)=1解析：依题意知2a=18，所以a=9，2c=3×2a，所以c=3，所以b=a-c=81-9=72，所以椭圆方程为(x²/81)+(y²/72)=1，答案为A。
3.椭圆x²+4y²=1的离心率是多少？A。
2/3B。
2C。
1/2D。
3解析：先将x²+4y²=1化为标准方程，得(x/1)²+(y/(1/2))²=1，所以a=1，b=1/2，所以c=√(a²-b²)=√(3)/2，所以e=c/a=√(3)/2，答案为A。
2.解答题1.设F₁、F₂分别是椭圆4x²+y²=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF₁⊥PF₂，则点P的横坐标为多少？解析：由题意知，点P即为圆x²+y²=3与椭圆4x²+y²=1在第一象限的交点，解方程组x²+y²=3和4x²+y²=1，得点P的横坐标为√(2/3)，答案为√(2/3)。
2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程是什么？解析：依题意设椭圆G的方程为a²x²+b²y²=1(a>b>0)，因为椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以2a=12，所以a=6，又因为椭圆的离心率为2，所以c=a/2=3，所以b=√(a²-c²)=3√5，所以椭圆G的方程为36x²+45y²=1，答案为C。
高中数学 椭圆专题(经典例题 考题 练习)附答案
高中数学椭圆专题一．相关知识点1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。
这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。
2．椭圆的标准方程和几何性质3．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。
(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。
(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。
一、细品教材1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1 C.y225＋x216＝1 D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝12．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22 B.2－12C．2－ 2 D.2－1走进教材答案1．A; 2．D 二、双基查验1．设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8 C．6 D．182．方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________。
2020年高中数学人教A版选修1-1练习6 椭圆及其标准方程 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( ) A ．(±4,0) B ．(0，±4) C ．(±3,0)D ．(0，±3)【解析】 根据椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在y 轴上，所以对应的焦点坐标为(0，±3)，故选D.【答案】 D2．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2【解析】 由a 2>a ＋6>0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2.【答案】 D3．已知a ＝13，c ＝23，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 213＋y 212＝1B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1C.x 213＋y 2＝1D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y213＝1【解析】 a ＝13，c ＝23， ∴b 2＝(13)2－(23)2＝1， a 2＝13，而由于焦点不确定， ∴D 正确． 【答案】 D4．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P ′，则PP ′的中点M 的轨迹方程是( )A ．4x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y214＝1C.x 24＋y 2＝1D ．x 2＋y24＝1【解析】 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0.∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.①将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①， 得4x 2＋y 2＝1. 故选A. 【答案】 A5．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D.32【解析】 如图，F 2为椭圆的右焦点，连接MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10， ∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4. 【答案】 B 二、填空题6．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．【解析】 当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1.∴m －4＝1，m ＝5.当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ， ∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3. 【答案】 3或57．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________.【导学号：26160032】【解析】 法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝18．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【解析】 由|PF 1|＋|PF 2|＝6，且|PF 1|＝4，知|PF 2|＝2. 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12. ∴∠F 1PF 2＝120°. 【答案】 2 120° 三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆上一点P (3,2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9或15.【解】 (1)①若焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意知2a ＝8，∴a ＝4， 又点P (3,2)在椭圆上， ∴916＋4b 2＝1，得b 2＝647. ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1.②若焦点在y 轴上，设椭圆标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． ∵2a ＝8，∴a ＝4， 又点P (3,2)在椭圆上， ∴416＋9b 2＝1，得b 2＝12. ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.由①②知椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1或y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2c ＝16,2a ＝9＋15＝24， ∴a ＝12，c ＝8，b 2＝80.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上， ∴所求方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1.10．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长为18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．【解】 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)． 由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18， 得|AB |＋|AC |＝10＞|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．[能力提升]1．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1【解析】 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23， ∴c ＝ 3.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝23，∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 故选B. 【答案】 B2．(2016·银川高二检测)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 24＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 设A 为椭圆的左焦点，而BC 边过右焦点F ，如图．可知|BA |＋|BF |＝2a ，|CA |＋|CF |＝2a ，两式相加得|AB |＋|BF |＋|CA |＋|CF |＝|AB |＋|AC |＋|BC |＝4a .而椭圆标准方程为x 24＋y 2＝1，因此a ＝2，故4a ＝8，故选C.【答案】 C3．(2016·苏州高二检测)P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，左、右焦点分别为F 1，F 2，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，由椭圆定义，得r 1＋r 2＝20.①由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°， 即r 21＋r 22－r 1r 2＝144，②由①2－②，得3r 1r 2＝256，∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin 60°＝12×2563×32＝6433. 【答案】64334．(2016·南京高二检测)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1→|·|PF 2→|的最大值； (2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF 1→＝λCF 1→，求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值.【导学号：26160033】【解】 (1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 所以a ＝2，b ＝1，c ＝3， 即|F 1F 2|＝23，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4，即|PF 1→|·|PF 2→|的最大值为4. (2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)，由BF 1→＝λCF 1→得x 0＝3(1－λ)λ，y 0＝－1λ. 又x 204＋y 20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1，又BF 1→与CF 1→方向相反，故λ＝1舍去，即λ＝－7.(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|， 所以△PBF 1的周长≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8，所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，△PBF 1的周长最大，最大值为8......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：2.1.1椭圆及其标准方程 Word版含答案
►基础梳理1．椭圆的定义及标准方程．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)：焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)焦点 (±c ，0) (0，±c )a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 22.只有当||PF 1＋||PF 2＝2a >||F 1F 2时，点P 的轨迹才是椭圆； 当||PF 1＋||PF 2＝2a ＝||F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2； 当||PF 1＋||PF 2＝2a <||F 1F 2时，点P 的轨迹不存在． 3．正确理解椭圆的两种标准形式． (1)要熟记a ，b ，c 三个量的关系．椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离和的一半，正数a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．(2)通过标准方程可以推断焦点的位置，其方法是：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作推断：依据条件推断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述推断设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1．②在不能确定焦点位置的状况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，依据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求．,►自测自评1．到两定点F 1(－4，0)和F 2(4，0)的距离之和为8的点M 的轨迹是线段F 1F 2．2．椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1． 3．已知a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为x 27＋y 216＝1．4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)．1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是(C ) A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是(D ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 解析：由题意知，所求椭圆的焦点在x 轴上，可以排解A 、B ；再把点⎝⎛⎭⎫52，－32代入方程，可知应选D. 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．答案：2 24．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＝4，b ＝3焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2焦点在y 轴上；(3)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1.答案：(1)x 216＋y 29＝1；(2)y 225＋x 221＝1；(3)x 2＋y 29＝1.5．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1，(a ＞b ＞0)的左右两焦点，若椭圆C上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1、F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标．解析：椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1，0)．。
数学选修椭圆练习题及详细答案(含准线练习题)
1 / 3 数学选修2-1椭圆练习题及详细答案（含准线练习题）1．若椭圆my 12m 3x 22-+=1的准线平行于y 轴，则m 的取值范围是 。
答案：－3<m <02．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。
答案：9x 2＋y 2=13. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为354，求此椭圆的方程。
答案：4x 2＋5y 2=24提示：∵椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距, ∴4c 2=(a ＋c )(a －c ),解得a 2=5c 2, ∴b 2=4c 2, 将4 x 2＋5y 2=m 与2x －y －4=0联立，代入消去y 得24x 2－80x ＋80－m =0, 由弦长公式l =2k 1+|x 1－x 2|得354=5×1840m 3-,解得m =24,∴椭圆的方程是4x 2＋5y 2=24 4．证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。
|PF1|²=(x - c)² + y²=[a²(x - c)² + a²y²]/a²=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² /***--根据b²x² + a²y² = a²b² ***/=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²=[(a²-b²)x² - 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²=(a² - cx)²/a²∴PF1 = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex同理可证：PF2 = a + ex5. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。
数学选修2-1椭圆练习题含答案
数学选修2-1椭圆练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下图是圆锥曲线的知识结构图，在空白处应填入（ ）A.圆B.直线C.共轭双曲线D.椭圆2. 过原点作直线AB 与椭圆C ：x 220+y 24=1交于不同两点A ，B ，点F 为椭圆左焦点，则|AF|+|BF|的值为( ) A.√5 B.2√5 C.3√5 D.4√53. 双曲线3x 2−4y 2=−12的焦点坐标为（ ） A.(±5, 0) B.(0, ±√5) C.(±√7, 0) D.(0, ±√7)4. 若椭圆mx 2+ny 2=1与y =1−x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点连线的斜率为√2，则mn 的值等于( ) A.√33 B.√22C.√3D.√25. 已知椭圆的方程为x 2a 2+y 225=1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=8，弦AB 过F 1，则△ABF 2的周长为( ) A.10 B.20 C.2√41 D.4√416. 设F 1，F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若MF 1→=3F 1N →，且cos ∠MNF 2=45，则椭圆C 的离心率为（ ） A.√22 B.√33C.√2−12D.√2−137. 如图，F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，O为坐标原点，P是椭圆上的一点，且满足|F1F2|=2|OP|，若∠PF2F1=5∠PF1F2，则椭圆的离心率为（）A.√32B.√63C.√22D.√238. 已知F1,F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点(1,√22)在椭圆上，且点(−1,0)到直线PF2的距离为4√55，其中点P(−1,−4)，则椭圆E的标准方程为( )A.x2+y24=1 B.x24+y2=1 C.x2+y22=1 D.x22+y2=19. 如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4, 2)平分，则这条弦所在的直线方程是()A.x−2y=0B.5x+2y−4=0C.x+2y−8=0D.2x+3y−12=010. 如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )A.(0, +∞)B.(0, 2)C.(1, +∞)D.(0, 1)11. 已知椭圆x29+y25=1的两个焦点分别是F1、F2，△MF1F2的重心G恰为椭圆上的点，则点M的轨迹方程为________．12. 椭圆x23+y24=1的离心率是________．13. 在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α（α为锐角），l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行时，记β=0)，则：当π2>β>α时，平面π与圆锥面的交线为________．14. 已知椭圆C:x 216+y 212=1，F 1，F 2分别为椭圆的两焦点，点P 椭圆在椭圆上，且|PF 2|=3，则△PF 1F 2的面积为________．15. 已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，若直线x =a 2c上存在点P ，使△PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是________.16. 已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >0,b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120∘，则C 的离心率为________.17. 已知椭圆x 2m +y 29=1的离心率是13，则实数m 的值是________.18. 已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点F 恰为圆F:x 2+y 2−10√2y =0的圆心，直线l:y =3x −2截C 所得弦AB 的中点的横坐标为12，则C 的短轴长为_________.19. 过点(2, −3)且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同的焦点的椭圆的标准方程为________．20. 过点M(1, 1)且与椭圆x 216+y 24=1交于A ，B 两点，则被点M 平分的弦所在的直线方程为________．21. 已知椭圆M 的中心原点O ，点F(−1, 0)是它的一个焦点，直线L 过点F 与椭圆M 交于P 、Q 两点，当直线L 的斜率不存在时，OP →⋅OQ →=12．（1）求椭圆M 的方程；（2）设A 、B 、C 是椭圆M 上的不同三点，且OA →+OB →+OC →=0，证明直线AB 与OC 的斜率之积为定值．22. 已知离心率为√22的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)经过抛物线x 2=−4y 的焦点F ，斜率为1的直线l 经过(1,0)且与椭圆交于C ，D 两点． (1)求△COD 面积；(2)动直线m 与椭圆有且仅有一个交点，且与直线x =1，x =2分别交于A ，B 两点，F 2为椭圆的右焦点，证明|AF 2||BF 2|为定值．23. 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为√22，一个焦点为 (−2,0)． (1)求椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距；(2)求椭圆C 的方程.24. 已知以椭圆短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形为正三角形，并且焦点到椭圆的最短距离为3，求椭圆的标准方程．25. 设 F 1 ，F 2为椭圆 C:x 29+y 25=1 的两个焦点，M 为C 上一点， 且M 在第一象限，若△MF 1F 2 为等腰三角形，则 M 的坐标为________．26. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√63，焦距是2√2． (1)求椭圆的方程；(2)若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，|CD|=6√25，求k 的值．27. 在①C 的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为8，②长轴长与短轴长之和为6，焦距为2√3；③离心率为√32，点M(2,√3)在C 上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，________，求C 的标准方程． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．28. 已知椭圆C:4x 2+y 2=16. (1)求椭圆C 的长轴长和短轴长 ;(2)求椭圆C 的焦点坐标和离心率;(3)直线l:y =−2x +4与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AB 的长． 29. 椭圆x 24+y 23=1的左焦点为F 1，过右焦点F 2的直线与椭圆相交于点A ,B ,则△AF 1B 的周长是________．30. 椭圆C 的中心在原点，左焦点F 1(−1, 0)，长轴为2√2． （1）求椭圆C 的标准方程（2）过左焦点F 1的直线交曲线C 于A ，B 两点，过右焦点F 2的直线交曲线C 于C ，D 两点，凸四边形ABCD 为菱形，求直线AB 的方程．31. 根据下列条件，求椭圆的标准方程．（1）两个焦点的坐标分别为(−4, 0)和(4, 0)，且椭圆经过点(5, 0)；（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2, 0)和(0, 1)两点；（3）经过点(2, −3)且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同的焦点．32. 求下列椭圆的标准方程：(1)焦点在x 轴上，离心率e =35，且经过点A(5√32,−2)；(2) 以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3, 0)．33. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，离心率e =12，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l垂直于x轴且垂足为(√2a2,0)时，△AOB的面积为4√3（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AOB的面积为定值4√3，求弦AB中点的轨迹方程．34. 如图，B，A是椭圆C：x24+y2=1的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是k BQ，k AQ，k AP．（1）求证：k BQ⋅k AQ=−14；（2）若直线PQ过定点(65,0)，求证：k AP=4k BQ．35. 中心在原点O、焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y−1=0交于A，B两点，C是AB的中点，若以AB为直径的圆过圆点，且OC的斜率为12，求椭圆的方程．36. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y2a +x2b=1(a>b>0)的离心率为√22，两个焦点分别为F1，F2，右顶点为M，且△MF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上存在A，B两点关于直线l：x+ky=12(k≠0)对称，求实数k的取值范围．37. 如图，我区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆x 2a2+y2b2=1(x≤0)和y2b2+x281=1(x≥0)组成，其中a>b>9，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）．（1）求“挞圆”的方程；（2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0.15)，求该网箱所占水面面积的最大值．38.如图，A，B是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线l是椭圆的右准线．(1)若椭圆C的离心率为12，直线l:x=4，求椭圆C的方程；(2)设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于Q，若直线PQ恰好过原点，求椭圆C 的离心率．39. 已知椭圆的焦点为F1(−t, 0)，F2(t, 0)，(t>0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项．(1)求椭圆方程；(2)如果点P在第二象限且∠PF1F2=120∘，求tan∠F1PF2的值．40. 过椭圆C:x225+y29=1右焦点F的直线l交C于两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，且A不在x轴上．(Ⅰ)求|y1y2|的最大值；(Ⅱ)若|AF||FB|=14，求直线l的方程．参考答案与试题解析数学选修2-1椭圆练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】圆锥曲线的实际背景及作用【解析】此题暂无解析【解答】解：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线.故选D.2.【答案】D【考点】椭圆的简单几何性质椭圆的定义【解析】设F1为椭圆的右焦点，由椭圆对称性可知|AF|+|BF|=12(|AF|+|BF|+|AF1|+|BF1|)，再结合椭圆定义，则|AF|+|AF1|=2a,|BF|+|BF1|=2a,即可求解.【解答】解：设F1为椭圆的右焦点，则由椭圆的对称性以及定义可得：|AF|+|BF|=12(|AF|+|BF|+|AF1|+|BF1|)=12(|AF|+|AF1|+|BF|+|BF1|)=12(2a+2a)=2a.由椭圆方程可知a2=20,所以a=2√5.即|AF|+|BF|=4√5.故选D.3.【答案】D【考点】圆锥曲线的实际背景及作用双曲线的特性【解析】把双曲线3x2−4y2=−12化为标准方程，然后利用双曲线的基本性质求解即可．【解答】解：把双曲线3x2−4y2=−12化为标准方程：y23−x24=1，∴a2=3，b2=4，c=√7，∴双曲线3x2−4y2=−12的焦点坐标是(0, ±√7)．故选：D．4.【答案】D【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】设A(x,y1)B(x2,y2)，线段AB的中点M(x0,y0)由题意可得y1+y2x1+x2=y2x0=√2y2−y1x2−x1=−1（1）因为A，B在椭圆上所以mx12+ny12=1mx22+ny22=1两式相减可得m(x1−x2)(x1+x2)+n(y1−y2)(y1+y2)=0（2）（1）（2）联立可得mn=√2.【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点M(x0,y0)，由题意可得y1+y2x1+x2=y0x0=√2，y2−y1x2−x1=−1①，因为A，B在椭圆上所以mx12+ny12=1，mx22+ny22=1，两式相减可得m(x1−x2)(x1+x2)+n(y1−y2)(y1+y2)=0②，①②联立可得mn=√2.故选D.5.【答案】D【考点】椭圆的定义【解析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意得：b=5，c=4，则a=√b2+c2=√41.由椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a . 即有△ABF 2的周长为： |AB|+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2| =4a =4√41． 故选D ． 6.【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 【解析】设|NF 1|＝m ，因为MF 1→=3F 1N →，及由椭圆的定义可得|MF 1|，|MF 2|，|NF 2|的值，在两个三角形中由余弦定理可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率． 【解答】设|NF 1|＝m ，因为MF 1→=3F 1N →，所以|MF 1|＝3m ，由椭圆的定义可得|MF 2|＝2a −3m ，|NF 2|＝2a −m ，在△MNF 2中，由余弦定理可得|MF 2|2＝|MN|2+|NF 2|2−2|MN|⋅|NF 2|cos ∠MNF 2，即(2a −3m)2＝(4m)2+(2a −m)2−2⋅4m ⋅(2a −m)⋅45，整理可得m =a3①在△NF 1F 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2＝|NF 1|2+|NF 2|2−2|NF 1|⋅|NF 2|⋅cos ∠MNF 2，即(2c)2＝m 2+(2a −m)2−2m ⋅(2a −m)⋅45， 即4c 2=a 29+25a 29−2a 3⋅5a 3⋅45，整理可得：c 2a 2=12，所以椭圆的离心率e =ca =√22， 7.【答案】B【考点】 椭圆的定义 【解析】根据题意可知∠F 1PF 2=90∘，∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，进而求得∠PF 1F 2和∠PF 2F 1，在Rt △PF 1F 2分别表示出|PF 1|和|PF 2|，进而根据椭圆的定义表示出a ，进而求得a 和c 的关系，即椭圆的离心率． 【解答】解：∵ |F 1F 2|=2|OP|，O 是F 1F 2的中点， ∴ ∠F 1PF 2=90∘∵ ∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，∴ ∠PF 1F 2=15∘，∠PF 2F 1=75∘∴ |PF 1|=|F 1F 2|sin ∠PF 2F 1=2c ⋅sin 75∘， ∴ |PF 2|=|F 1F 2|sin ∠PF 1F 2=2c ⋅sin 15∘， ∴ 2a =|PF 1|+|PF 2|=2c ⋅sin 75∘+2c ⋅sin 15∘=4c sin 45∘cos 30∘=√6c , ∴ a =√62c , ∴ e =c a=√63. 故选B ． 8.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 【解析】左侧图片未给出解析． 【解答】解：设F 2的坐标为(c,0)(c >0)， 则k PF 2=4c+1，故直线PF 2的方程为y =4c+1(x −c)， 即4c+1x −y −4c c+1=0，点(−1,0)到直线PF 2的距离 d =|−4c+1−4c c+1|√(4c+1)2+1=√(4c+1)2+1=4√55，即(4c+1)2=4，解得c =1或c =−3（舍去）， 所以a 2−b 2=1，① 又点(1,√22)在椭圆E 上， 所以1a 2+12b 2=1，②由①②可得{a 2=2,b 2=1,所以椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1.故选D ． 9. 【答案】 C【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题 【解析】设这条弦的两端点为A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{x 1236+y 129=1x 2236+y 229=1，两式相减再变形得x 1+x236+ky 1+y 29=0，又由弦中点为(4, 2)，可得k =−12，由此可求出这条弦所在的直线方程．【解答】解：设这条弦的两端点为A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，斜率为k ，则{x 1236+y 129=1，x 2236+y 229=1，两式相减再变形得x 1+x 236+ky 1+y 29=0,又弦中点为(4, 2)，故k =−12，故这条弦所在的直线方程y −2=−12(x −4)， 整理得x +2y −8=0；故选C ． 10.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 椭圆的定义【解析】利用椭圆的定义求解． 【解答】解：∵ x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆， 把x 2+ky 2=2转化为椭圆的标准方程，得x 22+y 22k=1，∴ 2k >2，解得0<k <1．∴ 实数k 的取值范围是(0, 1)． 故选D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11.【答案】x 281+y 245=1(x ≠±9) 【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线的实际背景及作用 椭圆的应用 【解析】设重心(x 1, y 1)，M(x 0, y 0) 而F 1(2, 0)，F 2(−2, 0)由重心坐标公式得x 1=2+(−2)+x 03=x 03，y 1=y 03，因为重心在椭圆上，所以(x 03)29+(y 03)25=1，由此可知M 的轨迹方程．【解答】解：设重心(x 1, y 1)，M(x 0, y 0) 而F 1(2, 0)，F 2(−2, 0)由重心坐标公式得 x 1=2+(−2)+x 03=x 03，y 1=y 03，∵ 重心在椭圆上． ∴x 129+y 125=1，所以(x 03)29+(y 03)25=1，即x 0281+y 0245=1， 所以M 的轨迹方程为：x 281+y 245=1(x ≠±9)．答案：x 281+y 245=1(x ≠±9)． 12. 【答案】12【考点】 椭圆的定义圆锥曲线的实际背景及作用 【解析】先根据由椭圆的标准方程求的a 和b ，再根据c =√a 2−b 2求得c ，进而根据离心率的公式求得答案． 【解答】解：由椭圆的标准方程x 23+y 24=1可知，a =2，b =√3，∴ c =√a 2−b 2=1 ∴ e =ca =12． 故答案为：12．13.【答案】 椭圆 【考点】平面与圆锥面的截线圆锥曲线的实际背景及作用【解析】根据平面π与圆锥的轴成角的大小，利用从不同角度截圆锥体得到的截面的形状，判断出相应的不可能的截面即可． 【解答】解：不同倾角的截面截割圆锥，无论是两个对顶的圆锥，还是一个单个的圆锥，都有下面的关系：(1)β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；(2)β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线；(3)β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．由于题中条件：π2>β>α，故平面π与圆锥面的交线为椭圆．故答案为：椭圆．14.【答案】6【考点】椭圆的定义【解析】本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质以及根据一些性质求面积，利用椭圆的定义，结合|PF1|+|PF2|=8，|PF2|=3可得|PF1|，进而|PF2|⊥|F1F2|，则△PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意椭圆C:x 216+y212=1，a=4，|PF1|+|PF2|=8，∵|PF2|=3，∴|PF1|=5，∵|F1F2|=4，∴PF2⊥F1F2，∴△PF1F2的面积为12×4×3=6，故答案为：6．15.【答案】(√33,1)【考点】椭圆的离心率【解析】由已知P(a 2c ,y)，可得F1P的中点Q的坐标，求出斜率，利用k F1P⋅k F2Q＝−1，可得y2＝2b2－b4c2，由此可得结论。
(完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)
椭圆练习题1A 组 基础过关一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )．A.12B.22C. 2D.32解析 由题意得2a ＝22b ⇒a ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2⇒b ＝c ⇒a ＝2c ⇒e ＝22. 答案 B2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.答案 A3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A.32 B.34 C.22 D.23解析 先将x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 21＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝32.离心率e ＝c a ＝32. 答案 A4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.263解析 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24＋y 2＝1在第一象限的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2＝1，得点P 的横坐标为263.答案 D5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )． A.x 24＋y 29＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 236＋y 29＝1 D.x 29＋y 236＝1解析 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12， ∴2a ＝12，∴a ＝6， ∵椭圆的离心率为32. ∴a 2－b 2a ＝32， ∴36－b 26＝32.解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为：x 236＋y 29＝1. 答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________．解析 由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以点P 到其另一个焦点F 2的距离为|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－6＝4. 答案 47．(2011·皖南八校联考)已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________． 解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3， ∴离心率e ＝2c 2a ＝33. 答案 338．(2011·江西)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析 由题可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)， 即2k x －2y －2k ＋1＝0， 由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34， 所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0， 求得切点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2＝5， 故得所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1. 答案 x 25＋y 24＝1 三、解答题(共23分)9．(11分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2.试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF 1F 2的面积． 解 (1)∵P 点在椭圆上， ∴9a 2＋16b 2＝1.① 又PF 1⊥PF 2，∴43＋c ·43－c ＝－1，得：c 2＝25，②又a 2＝b 2＋c 2，③由①②③得a 2＝45，b 2＝20. 椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×4＝5×4＝20.10．(12分)(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得 x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝ 4125×41＝415.B 级 提高题一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·丽水模拟)若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.12解析 在Rt △PF 1F 2中，设|PF 2|＝1，则|PF 2|＝2.|F 1F 2|＝5，∴e ＝2c 2a ＝53. 答案 A2．(2011·汕头一模)已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )． A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个． 答案 C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·镇江调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________． 解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )· (c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2，∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，224．(2011·浙江)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．解析 根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)、(2，0)，可得F 1A →＝(m ＋2，n )，F 2B →＝(c －2，d )，∵F 1A →＝5F 2B →，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 52＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案 (0，±1) 三、解答题(共22分)5．(10分)(2011·大连模拟)设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距． (1)求椭圆的方程；(2)设P (4，x )(x ≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角．(1)解 (1)依题意，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，设椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1，将⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，得c 2＝1，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由(1)，知A (－2,0)，B (2,0)，设M (x 0，y 0)，则－2＜x 0＜2，y 20＝34(4－x 20)，由P ，A ，M 三点共线，得x ＝6y 0x 0＋2， BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，6y 0x 0＋2， BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)＞0，即∠MBP 为锐角，则∠MBN 为钝角．6．(★)(12分)(2011·西安五校一模)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A →·PB →＝PM →2若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0，所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为P A →·PB→＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54， 所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54. 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .【点评】 解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为：,第一步：假设结论成立.,第二步：以存在为条件，进行推理求解.,第三步：明确规范结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确.若推出矛盾，即否定假设.,第四步：回顾检验本题若忽略Δ＞0这一隐含条件，结果会造成两解.椭圆练习题2一、填空题1．椭圆63222=+y x 的焦距为______________。
高二数学选修2-1椭圆练习含答案人教实验A版
2013高二数学（选修2-1）椭圆练习(含答案人教实验A版)2.2椭圆同步练测建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的方程是（）A.B.C.D.2．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（）A．B.C.D.3．若AB是过椭圆(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAMkBM=（）A．B.C．D．4．“-3m5”是“方程表示椭圆的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题（每小题5分，共10分）5.如果椭圆的离心率是，那么实数k的值为.6.已知点，是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为．三、解答题(共70分)7.（15分）已知点A(－2,0)、B(2,0)，过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与圆x2＋y2＝1相切，求该椭圆的方程8.（20分）如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D 是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被轨迹C所截线段的长度9.（15分）已知椭圆:的右焦点为，离心率为.(1）求椭圆的方程及左顶点的坐标；（2）设过点的直线交椭圆于两点，若△PAB的面积为，求直线的方程10.（20分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点P的坐标为(2，)，点F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程（2）（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为，，且+=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标一、选择题1.D解析：由长轴长为12，离心率为，可得,所以.又焦点在轴上，所以椭圆的方程为.2.B解析：∵a=2b,故选B.3.B解析：设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（x1，y1），则kAMkBM=.∵A，M在椭圆上，∴，两式相减，可得kAMkBM=，故选B．4.B解析：由方程表示椭圆知即-3m5且m≠1.故选B.二、填空题5.4或-解析：①当焦点在x轴上时，，，∴=k-10.∴k1且e====.解得k=4.②当焦点在y轴上时，=9，=k+80，∴=9-k-8=1-k0.∴-8k1且e====.解得k=-.6.解析：由题意可得.又，所以点的轨迹是椭圆，其中，,所以椭圆方程为.三、解答题7.解：易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．①又设椭圆方程为(a24)．②因为直线l与圆x2＋y2＝1相切，故＝1，解得k2＝13. 将①代入②整理，得(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝13，即(a2－3)x2＋a2x－34a4＋4a2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，由题意有＝2×45(a23)，求得a2＝8.经检验，此时∆0.故所求的椭圆方程为.8.解：(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xP，yP)，由已知得∵点P在圆上，∴x2＋2＝25，即轨迹C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入椭圆C的方程，得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝3－412，x2＝3＋412.∴线段AB的长度为|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1625x1－x22＝4125×41＝415.9.解：（1）由题意可知，，所以.所以.所以椭圆的标准方程为，左顶点的坐标是.(2）根据题意可设直线的方程为,,由可得.所以∆所以△PAB的面积.因为△PAB的面积为，所以.令，则.解得（舍去），.所以.所以直线的方程为或.10.解：（1）由椭圆C的离心率e=，得，其中c=.∵椭圆C的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上，∴|F1F2|=|PF2|，∴(2c)2=()2+(2-c)2，解得c=1，a2=2，b2=1.∴椭圆的方程为+y2=1．（2）由题意，知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m．由消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，且，由已知α+β=π，得即化简，得∴整理得m=2k．（3）∴直线MN的方程为y=k（x2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）。
人教A版 高中数学 选修2-1 椭圆 知识点+讲测练(含答案解析)
人教A版高中数学选修2-1 椭圆知识点+讲测练知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有和；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。
e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
椭圆练习及参考答案
椭圆练习及参考答案一、单选题(共 50 分)1.椭圆x 29+y28=1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则ΔMF1N的周长为（）A.8B.10C.16D.22【详解】因为F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N,所以PF2为△F1MN的中位线,所以MF1+MN=2PF1+2PF2=2(PF1+PF2)=2×2a=12,F1N=2F1F2=4c=4√9−8=4,所以ΔMF1N的周长为12+4=16.【点睛】本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题.2.已知定圆C1:(x+5)2+y2=1，C2:(x−5)2+y2=225，动圆C满足与C1外切且与C2内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（）A.x 264+y239=1 B.x239+y264=1 C.x2256+y2241=1 D.x2241+y2256=1【详解】解：设动圆圆心C的坐标为(x,y)，半径为r，则|CC1|=r+1,|CC2|=15−r，∴|CC1|+|CC2|=r+1+15−r=16>|C1C2|=10，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，则2a=16,a=8,c=5，b2=82−52=39，椭圆的方程为：x264+y239=1【点睛】考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，中档题．3.设F1、F2是椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=3a2上一点，ΔF2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则E的离心率为（）A.12B.23C.34D.45试题分析：如下图所示，ΔF2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则有|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=∠F2PF1=30∘所以∠PF2A=60∘,∠F2PA=30∘，所以|PF2|=2|AF2|=2(32a−c)=3a−2c又因为|F1F2|=2c，所以，2c=3a−2c，所以e=ca =34所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.4.椭圆x 29+y26=1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则ΔPF1F2的面积为（）A.2√3B.3√2C.√32D.√23【详解】解：∵椭圆x29+y26=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，|PF1|＝4，∴F1（−√3，0），F2（√3，0），|PF2|＝6﹣4＝2，|F1F2|＝2√3，则△PF1F2是直角三角形，∴△PF1F2的面积为S=12×2×2√3=2√3．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，三角形的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．5.已知椭圆x 24+y2=1的焦点分别是F1，F2，点M在该椭圆上，如果F1M⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F2M⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，那么点M到y轴的距离是()A.√2B.2√63C.3√22D.1【详解】设M（x，y），则椭圆x24+y2=1…①，∵椭圆x24+y2=1的焦点分别是F1，F2，∴F1（−√3，0），F2（√3，0）∵F 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x −√3，y)，F 2M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x +√3，y)， F 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F 2M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴x 2+y 2=3…②由①②得x 2=83，x =±2√63， ∴点M 到y 轴的距离为2√63，故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的方程及向量运算，属于中档题． 7.已知直线l 与椭圆x 216+y 22=1交于A,B 两点，AB 中点是M (−2,1)，则直线l 的斜率为（ ）A.-4B.-14C.14D.4【详解】设交点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则{x 1216+y 122=1x 2216+y 222=1，两式相减得，(x 1+x 2)(x 1−x 2)16+(y 1+y 2)(y 1−y 2)2=0 ，故y 1−y2x 1−x 2=−2(x 1+x 2)16(y 1+y 2)=−2×(−2×2)16×(1×2)=14 ，故选C【点睛】本题考查了直线与椭圆的相交弦问题，一般涉及弦的中点和直线斜率问题时，可采用“点差法”，建立中点坐标与斜率的关系求解.8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =b2与椭圆交于B,C 两点，且∠BFC =90°，则该椭圆的离心率为( )A.√63B.2√33C.12D.√22【详解】将y =b2代入椭圆方程得：B (−√32a,b2)，C (√32a,b2)又椭圆焦点F (c,0) ∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(c +√32a,−b 2)，CF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(c −√32a,−b 2) ∵∠BFC =90∘∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CF⃑⃑⃑⃑⃑ =c 2−34a 2+b 24=c 2−34a 2+a 2−c 24=34c 2−12a 2=0∴e 2=c 2a 2=23 ∴e =√63，故选A 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于a,c 的齐次方程，从而根据e =ca 求得离心率.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |+|PF 1|的最大值为（） A.13B.15C.16D.25【详解】如图所示，由椭圆x 225+y 216=1，可得a =5,b =4,c =√a 2−b 2=3，所以F 1(−3,0),F 2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a =10，所以|PM |+|PF 1|=|PM |+2a −|PF 2|=10+(|PM |−|PF 2|)≤10+|MF 2|=10+√32+42=15,则|PM |+|PF 1|的最大值15．故选B ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程的应用，以及三角形三边大小关系的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F （3，0）为椭圆C 的右焦点，则OP ⃑⃑⃑⃑⃑ •PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为（ ） A.(−16,−10)B.(−10,−394)C.(−16,−394]D.(−∞,−394]【详解】因为椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列 所以2a +2c =4b ，即a +c =2b F(3,0)为椭圆C 的右焦点，所以c=3 在椭圆中，a 2=c 2+b 2所以{a 2=c 2+b 2a +c =2bc =3 ，解方程组得{a =5b =4c =3所以椭圆方程为x 225+y 216=1设P(m,n) (0<m <5)则m 225+n 216=1，则n 2=16−1625m 2 OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(m,n )(3−m,−n ) =3m −m 2−n 2=3m −m 2−(16−1625m 2) =−925m 2+3m −16=−925(m −256)2−394因为0<m <5，所以当m =256时，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最大值为−394当m 趋近于0时，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值趋近于-16 ，所以OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为(-16,-394] 【点睛】本题考查了椭圆性质的综合应用，向量在解析几何中的用法，属于中档题． 二、填空题(共 25 分) 11.已知椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点为F 1，F 2，则椭圆的离心率为_____，过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，则|F 1A |＝_____． 【详解】椭圆x 24+y 23=1，可得a ＝2，b =√3，则c ＝1，所以椭圆的离心率为：e =c a =12．过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，所以|AF 2|=b 2a=32，由椭圆的定义可知：|F 1A |＝2a ﹣|AF 2|＝4−32=52．故答案为12；52．【点睛】本题考查椭圆的离心率和椭圆的定义，解题时由椭圆标准方程确定出a,b 再计算出c ，可求离心率，而求椭圆上的点到焦点的距离时，可以与椭圆定义联系起来．12.如果椭圆x 2144+y 236=1上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是______． 【详解】由椭圆x 2144+y 236=1，可得a =12，由椭圆的定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a =24，因为椭圆x 2144+y 236=1上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是：24-10=14．故答案为14．【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．属于基础题. 13.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(−2√3,0)，且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为______；其标准方程是________． 【详解】解：已知{a =2b,c =2√3a 2−b 2=c 2∴{b 2=4a 2=162a =8则该椭圆的长轴长为8；其标准方程是x 216+y 24=1．故答案为椭圆的长轴长为8；其标准方程是x 216+y 24=1．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．14.已知P 是椭圆x 210+y 2=1上的一点，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，当∠F 1PF 2=2π3时，则ΔPF 1F 2的面积为_____．【详解】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则m +n =2a =2√10在ΔPF 1F 2中，由余弦定理得：F 1F 22=m 2+n 2−2mncos∠F 1PF 2即：36=(m +n )2−2mn −2mncos2π3=40−mn ，解得：mn =4∴S ΔPF 1F 2=12mnsin 2π3=√3 【点睛】本题考查焦点三角形面积的求解，关键是能够利用余弦定理构造出关于焦半径之积的方程，属于常考题型.15.已知P 是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上异于点A(−a,0)，B(a,0)的一点，E 的离心率为√32，则直线AP 与BP 的斜率之积为__________．【解析】设P (x 0,y 0)，有x 02a 2+y 02b 2=1，且c a =√32，得b a =12，k AP k BP =y 0x+a ⋅y 0x−a=y 02x 02−a 2=y 02(1−y 02b 2)a 2−a 2=−14．点睛：本题考查椭圆的几何性质．由离心率，得到a,b,c 的比例关系．本题中由题意可知，题目由点P 的位置决定，所以设P (x 0,y 0)，得到斜率关系k AP k BP =y 0x 0+a ⋅y 0x0−a=y 02x02−a 2=y 02(1−y 02b 2)a 2−a 2=−14，为定值．三、解答题(共 34 分)16.已知点A(0,−2)，椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点P(0，√3)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两M、N，且|MN|=8√27，求k的值.【详解】解：（1）由离心率e=ca =√22，则a=√2c，直线AF的斜率k=0−(−2)c−0=2，则c＝1，a=√2，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆E的方程为x 22+y2=1；（2）设直线l：y＝kx﹣√3，设M（x1，y1），N（x2，y2），则{y=kx−√3x22+y2=1，整理得：（1+2k2）x2﹣4√3kx+4＝0，△＝（﹣4√3k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即k2＞1，∴x1+x2=4√3k1+2k2，x1x2=41+2k2，∴|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=4√(1+k2)(k2−1)1+2k2=8√27，即17k4−32k2−57=0,解得：k2=3或−1917（舍去）∴k＝±√3，【点睛】考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的求法，弦长的计算，考查转化思想以及计算能力．17.设O为坐标原点，动点M在椭圆E:x 24+y22=1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2NM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ .(1)求点P的轨迹方程；(2)设A(1,0)，在x轴上是否存在一定点B，使|BP|=2|AP|总成立？若存在，求出B点坐标；若不存在，说明理由.【详解】（1）设P(x,y)，M(x1,y1)，则N(x1,0)∵M 在椭圆E 上 ∴x 124+y 122=1…①由NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2NM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 知：{x =x 1y =√2y 1 ，即：{x 1=x y 1=√22y ，代入①得：x 2+y 2=4即点P 的轨迹方程为：x 2+y 2=4…② （2）假设存在点B (m,0)满足条件，设P (x,y )由|BP |=2|AP |得：√(x −m )2+y 2=2√(x −1)2+y 2 即：3x 2+3y 2+(2m −8)x =m 2−4此方程与(1)中②表示同一方程，故：{2m −8=0m 2−4=12，解得：m =4∴存在点B (4,0)满足条件【点睛】本题考查椭圆的综合应用问题，涉及到动点轨迹的求解、定点问题的求解等知识；求解定点问题的关键是能够通过假设存在的方式，利用已知中的等量关系建立起关于变量的方程，通过求解方程确定变量的取值，从而得到定点是否存在.18.已知点M (2√33,√33)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，且点M 到C 的左、右焦点的距离之和为2√2.（1）求C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点O ，M ）上，求OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围.【详解】（1）由条件知43a 2+13b 2=1，2a =2√2，所以a =√2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.（2）设点A 、B 的坐标为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则AB 中点(x 1+x 22,y 1+y 22)在线段OM 上，且k OM =12，∴x 1+x 2=2(y 1+y 2)，又x 122+y 12=1，x 222+y 22=1，两式相减得(x 1−x 2)(x 1+x 2)2+(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，易知x 1−x 2≠0，y 1+y 2≠0，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x22(y 1+y 2)=−1，即k AB =−1. 设AB 方程为y =−x +m ，代入x 22+y 2=1并整理得3x 2−4mx +2m 2−2=0.由Δ=8(3−m 2)>0解得m 2<3，又由x 1+x 22=2m 3∈√3)，∴0<m <√3.由韦达定理得x 1+x 2=4m 3，x 1x 2=2(m 2−1)3，故OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(−x 1+m )(−x 2+m ) =2x 1x 2−m (x 1+x 2)+m 2=4(m 2−1)3−4m 23+m 2 =m 2−43.而0<m <√3，所以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是(−43,53). 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.19.已知Q 为圆x 2+y 2=1上一动点，Q 在x 轴，y 轴上的射影分别为点A ，B ，动点P 满足BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点(0,−35)的直线与曲线C 交于M ，N 两点，判断以MN 为直径的圆是否过定点？求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【详解】（1）设Q(x 0,y 0)，P (x,y)，则x 02+y 02=1，由BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，可得{x 0=x2y 0=−y，代入x 02+y 02=1，得x 24+y 2=1，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1； （2）假设存在满足条件的定点，由对称性可知该定点必在y 轴上，设定点为H(0,m)， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx −35，联立{y =kx −35x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2−245kx −6425=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=24k5(1+4k 2)，x 1x 2=−6425(1+4k 2)，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)−65=−65(1+4k 2)，y 1y 2=(kx 1−35)(kx 2−35)=k 2x 1x 2−35k(x 1+x 2)+925=9−100k 225(1+4k 2)， 因为HM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1,y 1−m)，HN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2,y 2−m)，所以HM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅HN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2−m(y 1+y 2)+m 2=100(m 2−1)k 2+25m 2+30m−5525(1+4k 2)=0，对任意的k 恒成立，所以{100(m 2−1)=025m 2+30m −55=0 ，解得m =1，即定点为H(0,1)， 当直线l 的斜率不存在时，以MN 为直径的圆也过点(0,1)， 故以MN 为直径的圆过定点(0,1).【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．20.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，直线bx −y +√2a =0经过椭圆C 的左焦点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线bx −y +4=0与y 轴交于点P ，A 、B 是椭圆C 上的两个动点，且它们在y 轴的两侧，∠APB的平分线在y 轴上，|PA |≠|PB ||，则直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【详解】（1）在直线方程bx −y +√2a =0中令y =0，则x =−√2ab ，故c =√2ab ，又c a=√22，故b =2，所以a =4，所以椭圆标准方程为：x 28+y 24=1.（2）因为A 、B 在在y 轴的两侧，故AB 的斜率必存在， 设AB 的方程为y =kx +b ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 因为P 在y 轴上且P 在直线2x −y +4=0，故P (0,4). 因为∠APB 的平分线在y 轴上，所以y 1−4x 1+y 2−4x 2=0，而y 1=kx 1+b,y 2=kx 2+b ，代入整理得到：2kx 1x 2+(b −4)(x 1+x 2)=0. 由{y =kx +b x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+4kbx +2b 2−8=0，所以x1+x2=−4kb1+2k2,x1x2=2b2−81+2k2，所以2k×2b 2−81+2k2+(b−4)(−4kb1+2k2)=0，化简得到k(b−1)=0，所以对任意的k，总有b=1，故直线AB过定点(0,1).【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1x2,x1+x2或y1y2,y1+y2，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.21.已知椭圆的离心率为√32，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得{a=2ca=√32，解得{a=2c=√3，………2分所以b2=a2−c2=4−3=1，故所求椭圆C的方程为．…………..4分（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线l的方程代入，并整理，得．（*）………………………………….6分则，．………………………………………8分因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即．又,于是，…………….10分解得k =±√112，………………………………..11分经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当k =±√112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．………………12分考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程22.设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，两个焦点分别是是F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4.（1）求E 的标准方程；（2）设E 的左顶点为D ，若直线l ：y =kx +m 与曲线E 交于两点A ，B （A ，B 不是左右顶点），且满足|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ −DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题意{2a =42c =2 ，即{a =2c =1，∴b =√a 2−c 2=√3， ∴椭圆E 的方程是x 24+y 23=1.（2）由（1）可知D (−2,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立{y =kx +m x 24+y 23=1 ，得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，Δ=(8mk)2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=16(12k 2−3m 2+9)>0，即3+4k 2−m 2>0，∴x 1+x 2=−8mk 3+4k 2，x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2，又y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2 =3m 2−12k 23+4k 2，∵|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ −DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，∴DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，即DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 即(x 1+2,y 1)⋅(x 2+2,y 2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=0， ∴4m 2−123+4k 2+2×−8mk 3+4k 2+4+3m 2−12k 23+4k 2=0，∴7m 2−16mk +4k 2=0， 解得m 1=2k ，m 2=27k ，且均满足即3+4k 2−m 2>0，当m 1=2k 时，l 的方程为y =kx +2k =k (x +2)，直线恒过(−2,0)，与已知矛盾；当m 2=27k ，l 的方程为y =kx +27k =k (x +27)，直线恒过(−27,0).【点睛】考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题、椭圆中直线过定点问题．对直线与椭圆相交问题，一般设交点为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由直线方程与椭圆方程联立消元用韦达定理得x 1+x 2,x 1x 2，再把这个结论代入题中另一条件可得参数k,m 的关系，求得定点．23.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 为椭圆上一动点，当ΔMF 1F 2的面积最大时，其内切圆半径为b 3，设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l ⊥x 轴时，|RS |=3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，P,Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线AP,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1k 2=−14，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【详解】解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得12⋅2c ⋅b =12(2a +2c)⋅b 3，得c a =12① 将x =c 代入x 2a 2+y 2b 2=1，结合a 2=b 2+c 2②，得y =±b 2a ，所以2b 2a =3③，由①②③得a =2,b =√3故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1（2）设点P,Q 的坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得P （1，32），Q （1，−32）或P （1，−32），Q （1，32）， 直线PQ 的方程为x =1②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，联立得{x24+y23=1y=kx+m，消去y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2−12=0，由Δ=64k2m2−4(4k2+3)(4m2−12)=48(4k2−m2+3)>0，得4k2+3>m2x1+x2=−8km4k2+3,x1x2=4m2−124k2+3.(1)）由k1k2=y1y2(x1+2)(x2+2)=−14,可得4y1y2+(x1+2)(x2+2)=0，得4(kx1+m)(kx2+m)+(x1+2)(x2+2)=0，整理得(4k2+1)x1x2+(4km+2)(x1+x2)+4m2+4=0,(2)由（1）和（2）得m2−km−2k2=0，解得m=2k或m=−k当m=2k时，直线PQ的方程为y=kx+2k，过定点(−2,0)，不合题意；当m=−k时，直线PQ的方程为y=kx−k，过定点(1,0)，综上直线PQ过定点，定点坐标为(1,0).【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题以及直线过定点问题，属于综合题．。
高中人教B版数学选修1-1练习：2.1.1 椭圆及其标准方程 Word版含解析
2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程课时过关·能力提升1.椭A.(5,0),(-5,0)B.(0,5),(0,-5)C.(0,12),(0,-12)D.(12,0),(-12,0)解析:由题易知焦点在y轴上,a2=169,b2=144,则c.答案:B2.在椭圆的标准方()A.a=100,b=64,c=36B.a=10,b=6,c=8C.a=10,b=8,c=6D.a=100,c=64,b=36答案:C3.已知a=4,b=1,焦点在x轴上的椭圆的标准方程是()A=1 B.xC=1 D.x答案:C4.化简方AC解析:由题意可知,方程表示点(x,y)与两个定点(0,3)和(0,-3)之间的距离之和为10,又两定点之间的距离为6,6<10,它符合椭圆的定义,即2a=10,2c=6,从而可求得b2=16.答案:C5.已知椭y轴上,若焦距为4,则m=()A.4B.5C.7D.8解析:因为焦点在y轴上,所⇒6<m<10.又焦距2c=4,所以m-2-10+m=22⇒m=8.答案:D6.设F1,F2是椭P为椭圆上的一点,则△PF1F2的周长为()A.10B.12C.16D.不确定答案:B7.椭M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于()A.2B.4C.8 D解析:设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=10,知|MF2|=10-2=8.又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON||=4.答案:B★8.已知椭圆C=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满|PF1|+|PF2|的取值范围为.解析:∵点P(x0,y0)满P在椭圆内且不过原点,∴2c≤|PF1|+|PF2|<2a.又∵a2=2,b2=1,∴a b=1,c2=a2-b2=1,即c=1,∴2≤|PF1|+|PF2|<答案:[29.已知圆A:(x+3)2+y2=1及圆B:(x-3)2+y2=81,动圆P与圆A外切,与圆B内切,求动圆圆心P的轨迹方程.分析:利用椭圆的定义先判断出动圆圆心P的轨迹是椭圆,再求其方程.解:设动圆P的半径为r.由所给圆的方程知,A(-3,0),B(3,0),由题意,可得|PA|=r+1,|PB|=9-r,故|PA|+|PB|=r+1+9-r=10>|AB|=6.由椭圆的定义知动点P的轨迹是椭圆.其中2a=10,2c=6,即a=5,c=3,所以b2=16.故动圆圆心P的轨迹方程.★10.已知椭P,F1,F2为椭圆的焦点,若∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.分析:计算三角形的面积有多种公式可供选择,其中与已知条件联系最密切的应|·|PF2|·sin θ,所以应围绕|PF1|·|PF2|进行计算.解:如图,由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=2a,而在△F1PF2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2=4c2,∴(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|=4c2,即4(a2-c2)=3|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2||·|PF2|sin 60.。
高中数学选修2-1同步练习-2.2.2椭圆的简单几何性质word版含答案
2.2.2椭圆的简单几何性质一、选择题(每小题5分，共20分)1．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为( )A.x 24＋y 29＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 24＋y 213＝1 D.x 213＋y 24＝1 解析： 由椭圆中a ＞b ，a ＞c ＝3，且一个顶点坐标为(0,2)知b ＝2，b 2＝4，且椭圆焦点在x 轴上，a2＝b 2＋c 2＝13.故所求椭圆的标准方程为x 213＋y 24＝1.故选D. 答案： D2．椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) A ．8,2B ．5,4C ．9,1D ．5,1 解析： 因为a ＝5，c ＝4，所以最大距离为a ＋c ＝9，最小距离为a －c ＝1.答案： C3．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 24＝1 C.x 216＋y 212＝1 D.x 216＋y 23＝1 解析： 由题意知4a ＝16，即a ＝4，又∵e ＝32，∴c ＝23， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－12＝4，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1. 答案： B4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32C.34D.64解析： 依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ，∴c a ＝12， 即椭圆的离心率e ＝12，故选A. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________． 解析： 依题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， ∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，即a ＝6. ∵椭圆的离心率为32， ∴a 2－b 2a ＝32， ∴36－b 26＝32， ∴b 2＝9，∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1. 答案： x 236＋y 29＝1 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 解析： 设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2c ，由题意可得2a ＋2c ＝4b ，a ＋c ＝2b ，又b ＝a 2－c 2， 所以a ＋c ＝2a 2－c 2，整理得5e 2＋2e －3＝0，e ＝35或e ＝－1(舍去)． 答案： 35三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63.过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32，求椭圆的标准方程．解析： e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝63，∴a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，即a ＝3b .过A (0，－b )，B (a,0)的直线为x a －y b ＝1.把a ＝3b 代入，即x －3y －3b ＝0， 又由点到直线的距离公式得|－3b |1＋ －3 2＝32，解得b ＝1，∴a ＝3，∴所求方程为x 23＋y 2＝1.8.如图所示，F1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析： 方法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c ，则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，23b ，则△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59， ∴e ＝53. 方法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，23b ，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1， 所以c 2a 2＝59， 所以c a ＝53，即e ＝53.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)设P (x ，y )是椭圆x 225＋y 216＝1上的点且P 的纵坐标y ≠0，点A (－5,0)、B (5,0)，试判断k PA ²k PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解析： 因为点P 的纵坐标y ≠0，所以x ≠±5.设P (x ，y )．所以k PA ＝y x ＋5，k PB ＝y x －5. 所以k PA ²k PB ＝y x ＋5²y x －5＝y 2x 2－25.因为点P 在椭圆x 225＋y 216＝1上， 所以y 2＝16³⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 225＝16³25－x 225. 把y 2＝16³25－x 225代入k PA ²k PB ＝y 2x 2－25，得 k PA ²k PB ＝16³25－x 225x 2－25＝－1625. 所以k PA ²k PB 为定值，这个定值是－1625.。
高二人教A版数学选修1-1单元综合测试-椭圆、双曲线-Word版含答案
椭圆、双曲线综合能力测试时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆x 23＋y 22＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5，0) B ．(0，±5) C ．(±1,0) D ．(0，±1)2．已知双曲线方程为x 220－y 25＝1，那么它的半焦距是( ) A ．5 B ．2.5 C.152 D.153．平面内两定点的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为( )A ．双曲线B ．线段C ．射线D ．不存在4．设P 是椭圆x 2169＋y 225＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于 ( )A ．22B ．21C ．20D ．135．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4 D.147．双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，，则|AB |等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．88．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆9．3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的( ) A ．充分但非必要条件 B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件10．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )A ．[6,10]B ．[6,8]C ．[8,10]D ．[16,20]11．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝2412．(2010·辽宁文，9)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3,32)的双曲线方程为__________． 14．双曲线x 24－y 23＝1的焦点到渐近线的距离为______． 15．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为e ＝22，则实数m 的值等于________．17．(本题满分12分)求下列双曲线的标准方程． (1)与椭圆x 216＋y 225＝1共焦点，且过点(－2，10)的双曲线； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线．18．(本题满分12分)方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．[分析] 根据焦点在y 轴上的椭圆的标准方程的特点，先将条件方程化为标准式，得到关于α的关系式，再求α的取值范围．19．(本题满分12分)已知动圆M 与⊙O 1：x 2＋(y －1)2＝1和⊙O 2：x 2＋(y ＋1)2＝4都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．20．(本题满分12分)如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴位于x 轴下方的端点，过A 作斜率为1的直线交椭圆于B 点，P 点在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的方程；(2)若P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围．21．(本题满分12分)设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，其中c ＝a 2＋b 2，求双曲线的离心率．22．(本题满分14分)若椭圆的中心为原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．1[答案] C[解析] ∵a 2＝3，b 2＝2，∴c 2＝1.又焦点在x 轴上，故选C.2[答案] A[解析] ∵a 2＝20，b 2＝5，∴c 2＝25，∴c ＝5.3[答案] D[解析] 设两定点为A 、B ，则平面内到两定点A 、B 的距离的差的绝对值小于或等于这两定点的距离．4[答案] A[解析] 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝22.5[答案] D[解析] 将x 24－y 212＝－1化为y 212－x 24＝1，易知双曲线的焦点在y 轴上，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)，所以椭圆的a ＝4，c ＝23，因此b 2＝16－12＝4，所以椭圆方程为x 24＋y 216＝1.6[答案] A[解析] 双曲线mx 2＋y 2＝1的方程可化为：y 2－x 2－1m ＝1， ∴a 2＝1，b 2＝－1m，由2b ＝4a ， ∴2－1m ＝4，∴m ＝－14. 7[答案] A[解析] ∵c a ＝62，2b ＝4，∴a 2＝8，a ＝22，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝42，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝42，两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝82，又∵|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |，|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴|AB |＝8 2.8[答案] D[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A (－3,0)和定圆的圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选D.9[答案] A[解析] 当3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6>0，∴方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线． 若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线，则 (m －5)(m 2－m －6)<0，∴m <－2或3<m <5，故选A.10[答案] C[解析] 由题意知a ＝10，b ＝8，设椭圆上的点M (x 0，y 0)，由椭圆的范围知，|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20，又因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝925x 20＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，所以8≤d ≤10.故选C.11[答案] D[解析] ∵椭圆x 216＋y 264＝1的焦点(0，±43)为双曲线焦点，又它的一条渐近线为y ＝－x ， ∴双曲线方程为y 2－x 2＝24.12[答案] D[分析] 考查双曲线的渐近线方程及如何用a ，b ，c 三者关系转化出离心率[解析] 设F (－c,0) B (0，b )则K FB ＝b c与直线FB 垂直的渐近线方程为y ＝－b ax ∴b c ＝a b，即b 2＝ac 又b 2＝c 2－a 2，∴有c 2－a 2＝ac两边同除以a 2得e 2－e －1＝0∴e ＝1±52∵e ＞1，∴e ＝1＋52，选D. 13[答案] y 22－8x 29＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 29－y 216＝λ(λ≠0) 又点(－3,32)在双曲线上，∴λ＝－18. 故双曲线方程为y 22－8x 29＝1. 14[答案] 3[解析] 双曲线x 24－y 23＝1的一条渐近线方程为：y ＝32x ，焦点F (7，0)到该渐近线的距离为：3×73＋4＝ 3. 15[答案] 10或52[解析] 若m <5，则e ＝22＝5－m 5，解得m ＝52；若m >5，则e ＝22＝m －5m，解得m ＝10.16．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．16[答案] 2 3[解析] 由题意可知12×c ×32c ＝3，∴c ＝2， 故P (1，3)在椭圆x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1上，即1b 2＋4＋3b2＝1，解得b 2＝2 3. 三、解答题(共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17[解析] (1)∵椭圆x 216＋y 225＝1的焦点为(0，±3)， ∴所求双曲线方程设为：y 2a 2－x 29－a 2＝1， 又点(－2，10)在双曲线上，∴10a 2－49－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝18(舍去)． ∴所求双曲线方程为y 25－x 24＝1. (2)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)， ∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a 2＝1， 又点(32，2)在双曲线上，∴18a 2－420－a2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1. 18[解析] ∵x 2sin α－y 2cos α＝1，∴x 21sin α＋y 2－1cos α＝1. 又∵此方程表示焦点在y 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1sin α>0－1cos α>01sin α<－1cos α，即⎩⎨⎧sin α>00<－cos α<sin α， ∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )．故所求α的范围为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )． 19[解析] 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题意得|MO 1|＝1＋r ，|MO 2|＝2＋r ，∴|MO 2|－|MO 1|＝2＋r －1－r ＝1<|O 1O 2|＝2，由双曲线定义知，动圆圆心M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为1的双曲线的上支，双曲线方程为：4y 2－43x 2＝1.(y ≥34) 20[解析] (1)A (0，－b )，l 的方程为y ＋b ＝x ，P (0,1)，则B (1＋b,1)， AB →＝(1＋b,1＋b )，AP →＝(0，b ＋1)，又∵AB →·AP →＝9，∴(1＋b,1＋b )·(0，b ＋1)＝9，即(b ＋1)2＝9，∴b ＝2，∴点B (3,1)在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，∴a 2＝12， 所求的椭圆方程为x 212＋y 24＝1. (2)P (0，t )，A (0，－b )，B (t ＋b ，t )，AB →＝(t ＋b ，t ＋b )，AP →＝(0，t ＋b )，AB →·AP →＝9，∴(t ＋b )2＝9，∴b ＝3－t ，B (3，t )，代入椭圆9a 2＋t 2(3－t )2＝1，∴a 2＝3(t －3)23－2t， ∵a 2>b 2，∴3(t －3)23－2t>(3－t )2，∴0<t <32. 21[解析] 由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52，即双曲线的离心率为1＋52. 22[解析] 令x ＝－c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a. 设P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，而椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )． ∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a， ∴b ＝c ；而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5，∴所求的椭圆方程为：x 210＋y 25＝1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 / 3 数学选修2-1椭圆练习题及详细答案（含准线练习题）
1．若椭圆m
y 12m 3x 22-+=1的准线平行于y 轴，则m 的取值范围是 。
答案：－3<m <0
2．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。
答案：9
x 2＋y 2=1
3. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为3
54，求此椭圆的方程。
答案：4x 2＋5y 2=24
提示：∵椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距, ∴4c 2=(a ＋c )(a －c ),解得a 2=5c 2, ∴b 2=4c 2, 将4 x 2＋5y 2=m 与2x －y －4=0联立，代入消去y 得24x 2－80x ＋80－m =0, 由弦长公式l =2k 1+|x 1－x 2|得3
54=5×1840m 3-,解得m =24,∴椭圆的方程是4x 2＋5y 2=24 4．证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。
|PF1|²
=(x - c)² + y²
=[a²(x - c)² + a²y²]/a²
=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² /***--根据b²x² + a²y² = a²b² ***/
=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²
=[(a²-b²)x² - 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²
=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²
=(a² - cx)²/a²
∴PF1 = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex
同理可证：PF2 = a + ex
5. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =3
2，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。
（A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36
y 2=1 （C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5x 2+9y 2=1 答案：D
6. 椭圆25x 2＋16y 2=1的焦点坐标是（ ）。
（A ）(±3, 0) （B ）(±31
, 0) （C ）(±203, 0) （D ）(0, ±20
3) 答案：D
题目：14. 椭圆4x 2＋y 2=4的准线方程是（ ）。
（A ）y =334±
x （B ）x =334±y （C ）y =334± （D ）x =33
4± 答案：C
2 /
3 7. 椭圆22a
x ＋22b y =1 (a >b >0)上任意一点到两个焦点的距离分别为d 1,d 2,焦距为2c ，若d 1, 2c , d 2,成等差数列则椭圆的离心率为（ ）。
（A ）12 （B ）22 （C ）32
（D ）34 答案：A
提示：4c =d 1＋d 2=2a , ∴e =2
1
8. 曲线25x 2＋9y 2=1与曲线k 25x 2－＋k 9y 2-=1 (k <9)，具有的等量关系是（ ）。
（A ）有相等的长、短轴 （B ）有相等的焦距
（C ）有相等的离心率 （D ）一相同的准线
答案：B
9. 椭圆22a
x ＋22b y =1的两个焦点F 1, F 2三等分它的两条准线间的距离，那么它的离心率是（ ）。
（A ）32 （B ）33 （C ）63 （D ）66
答案：B
10. P (x , y )是椭圆16
x 2＋9y 2=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线PD ，D 是垂足，M 是PD 的中点，则M 的轨迹方程是（ ）。
（A ）4x 2＋9y 2=1 （B ）64x 2＋9y 2=1 （C ）16x 2＋9y 42=1 （D ）16
x 2＋36y 2=1 答案：C 提示：设M (x , y )为轨迹上一点，则P (x , 2y )，代入到16x 2＋9y 2=1得方程16
x 2＋9y 42=1
11. 已知椭圆的准线为x =4，对应的焦点坐标为(2, 0)，离心率为2
1, 那么这个椭圆的方程为（ ）。
（A ）8x 2
＋4y 2=1 （B ）3x 2＋4y 2－8x =0 （C ）3x 2－y 2－28x ＋60=0 （D ）2x 2＋2y 2－7x ＋4=0
答案：B
提示：设椭圆上的点P (x , y )，则21x 4y )2x (2
2=-+-, 化简得3x 2＋4y 2－8x =0 12. 椭圆100
x 2＋36y 2=1上的一点P 到它的右准线的距离是10，那么P 点到它的左焦点的距离是（ ）。
（A ）14 （B ） 12 （C ）10 （D ）8
答案：B
13. 椭圆4x 2＋9y 2=144内有一点P (3, 2)，过P 点的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在的直线方程是（ ）。
（A ）3x －2y －12=0 （B ）2x ＋3y －12=0
（C ）4x ＋9y －144=0 （D ）4x －9y －144=0
答案：B
提示：设弦AB 的两个端点坐标A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 则4x 12＋9y 12=144，4x 22＋9y 22=144, 两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)=0, 有x 1＋x 2=6, y 1＋y 2=4, ∴AB 的斜率是－3
2, AB 的方程是2x ＋3y －12=0
3 / 3
14. 椭圆4x 2＋16y 2=1的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦点坐标是 ，准线方程是 。
答案：1；21；23；(±43, 0)；x =±3
π
15. 已知两点A (－3, 0)与B (3, 0)，若|P A |＋|PB |=10,那么P 点的轨迹方程是 。
答案：116
y 25x 2
2=+
16. 椭圆3x 2＋y 2=1上一点P 到两准线的距离之比为2 : 1,那么P 点坐标为 。
答案：(
610, ±66)或(－610, ±6
6)
17. 已知椭圆2x 2＋y 2=1的两焦点为F 1, F 2,上顶点为B ，那么△F 1BF 2的外接圆方程为 。
答案：x 2＋y 2=1
提示：焦点的坐标为F 1(－1, 0), F 2(1, 0), B 点坐标为(0, 1), ∴外接圆的方程是x 2＋y 2=1
18. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上，两准线间的距离为
5185，焦距为25，则椭圆的方程
为 。
答案：14y 9x 22=+或19y 4x 2
2=+
19. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上，和椭圆14
y 9x 2
2=+共焦点，并经过点P (3, －2)，则椭圆的方程为 。
答案：110
y 15x 2
2=+ 20. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上，经过A (0, 2)与B (2
1, 3)则椭圆的方程为 。
答案：x 2＋4y 2
=1。