高中数学选修椭圆公式大全(精选课件)
高中数学椭圆的公式有哪些
高中数学椭圆的公式有哪些高中数学椭圆的公式1、椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)2、椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差.3、椭圆面积公式：s=πab4、椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率t,但这两个公式都是通过椭圆周率t推导演变而来。
高中数学常考知识及解题技巧1、函数函数题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2.方程或不等式如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法;3.初等函数面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
如所过的定点，二次函数的对称轴或是……;4.选择与填空中的不等式选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法;5.参数的取值范围求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法;6.恒成立问题恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏;7.圆锥曲线问题圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;8.曲线方程求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点);9.离心率求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可;10.三角函数三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答;解三角形的题目，重视内角和定理的使用;与向量联系的题目，注意向量角的范围;11.数列问题数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法;注意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特殊数列;解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想;12.立体几何问题立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成;注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化;锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ;与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题;13.导数导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃;重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上;14.概率概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略;如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径;15.换元法遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成;16.二项分布注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等;17.绝对值问题绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义;18.平移与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成;19.中心对称关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。
椭圆基本知识PPT课件
(2)第二定义：动点 M 到定点 F 的距离和它到定直 线 l 的距离之比等于常数 e(0<e<1)，则动点 M 的轨 迹是椭圆，定点 F 是椭圆的焦点，定直线 l 叫做椭 圆的准线，常数 e 是椭圆的离心率． 这里要注意：一是动点 M 到定点的距离除以它到定 直线的距离，其商是常数 e；二是这个常数 e 的取 值范围是(0,1)；三是定点 F 不在定直线 l 上． 2．椭圆的两种标准方程 ax22＋by22＝1，ay22＋bx22＝1. (1)a>b>0；(2)a2－b2＝c2.
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3.椭圆的几何性质
标准 方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
图形
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范围 对称性
顶点
-a≤x≤a -b≤y≤b
对称轴：坐标轴
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)
-b≤x≤b -a≤y≤a
对称中心：原点
[8分]
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
由题意x1≠x2,
x12 y12 1
①
94
x22 y22 1 94
②
由①-②得：
(x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0.
60°=
3 b2 , 3
即△PF1F2的面积只与短轴长有关.
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探究提高 （1）椭圆上一点与两焦点构成的三角
形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的
高二数学选修课件时椭圆及其标准方程
01
02
03
例题1
已知椭圆C的方程为 x^2/4 + y^2/3 = 1，直 线l的方程为y = kx + m 。若直线l与椭圆C有两个 不同的交点，求m的取值 范围。
分析
联立直线与椭圆方程消元 后得到一元二次方程，根 据判别式Δ>0求得m的取 值范围。
分析
利用点差法或中点坐标公 式和弦长公式证明AB的斜 率等于椭圆在点P处的导 数。
两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距， 用2c表示。
椭圆上任意一点性质
到两焦点的距离之和等于长轴长度
对于椭圆上任意一点P，有PF1 + PF2 = 2a。
到焦点的距离与到准线的距离之比等于离心率
对于椭圆上任意一点P和任一焦点F，有PF/PD = e，其中PD是点P到准线的距离，e是椭圆的离心率。
椭圆标准方程形式
• 例题1：已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$的 左、右焦点分别为$F_1, F_2$，点$P$在椭圆上且满足$PF_1 \perp PF_2, PF_1 \cdot PF_2 = 0$，求椭圆的离心率$e$。
• 分析：根据题意，点$P$在以原点为圆心、焦距$c$为半径的圆上，同时也在 椭圆上。因此，可以通过联立圆和椭圆的方程求解离心率$e$。具体步骤为： 设$P(x_0, y_0)$，则有$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$和 $x_0^2 + y_0^2 = c^2$，联立解得离心率$e = \sqrt{1 \frac{b^2}{a^2}}$。
三维空间中椭球面方程形式
人教A版高中数学选修椭圆及其标准方程PPT精品课件
O
y F2
x M F1
a2c2b2
椭圆的标准方程 y
y M
F1 O F2
x
F2
x M F1
x2y21(ab0) a2 b2
y2x21(ab0) a2 b2
焦 :F 1 ( 点 c ,0 )F 2 ,( c ,0 ) 焦 :F 1 ( 0 , 点 c )F 2 ,( 0 ,c )
a2c2b2
椭圆方程有特点 系数为正加相连
M
F1
F2
F1
F2
探究2：椭圆的标准方程
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
椭圆的焦距2c(c>0)，则F1、F2的坐标分别 是(c,0)、(c,0)
M与F1和F2的距离的和等于正常数2a
(2a>2c)
y
|M 1| F |M 2| F 2 a
M
|M 1| F(xc)2y2
|M 2| F(xc)2y2
1 36 32
当堂训练
2.写出适合下列条件的椭 圆的标准方程： （2）焦点坐标分别为（ 0,4）, (0,4), a 5;
解：由题意知 c： 4,a5
b 2 a 2 c 2 2 1 5 9 6
练一练：求曲线的方程
1.两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离平方和为26， 求点M的轨迹方程.
解：两定点分别记为点A、B，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立直角坐标系，得A（-3,0）、B(3,0)，设M（x,y）.
由题意 M知 A 2M ：B 2 26
y M（x,y）
MA (x3)2(y0)2 MB (x3)2(y0)2
A（-3,0）o
x B (3,0)
代入得：
高中数学椭圆公式大全
高中数学椭圆公式大全椭圆的标准方程有两种,取决于焦点所在的坐标轴：1)焦点在X轴时,标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)2)焦点在Y轴时,标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1(a>b>0)其中a>0,b>0.a、b中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴,对称轴被椭圆所截,有两条线段,它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当a>b时,焦点在x 轴上,焦距为2*(a^2-b^2)^0.5,焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c又及：如果中心在原点,但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时,方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m≠n).既标准方程的统一形式.椭圆的面积是πab.椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是：x=acosθ,y=bsinθ标准形式的椭圆在x0,y0点的切线就是：xx0/a^2+yy0/b^2=1椭圆的面积公式S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).椭圆的周长公式椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式.椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和.如L=∫[0,π/2]4a*sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2)[椭圆近似周长],其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则e=PF/PL椭圆的准线方程x=±a^2/C椭圆的离心率公式e=c/a椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c椭圆焦半径公式|PF1|=a+ex0|PF2|=a-ex0椭圆过右焦点的半径r=a-ex过左焦点的半径r=a+ex椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离,数值=2b^2/a点与椭圆位置关系点M(x0,y0)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1点在圆内：x0^2/a^2+y0^2/b^2<1点在圆上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1点在圆外：x0^2/a^2+y0^2/b^2>1直线与椭圆位置关系y=kx+m①x^2/a^2+y^2/b^2=1②由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1相切△=0相离△<0无交点相交△>0可利用弦长公式：A(x1,y1)B(x2,y2)|AB|=d=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2-4y1y2]椭圆通径(定义：圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦)公式：2b^2/a1、范围：焦点在轴上，;焦点在轴上，2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
人教版高中数学选修2-1第二章椭圆及其标准方程(二)(共19张PPT)教育课件
圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什 么？为什么？
解 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)，
则 x＝x0，y＝y20.因为点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上，
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
人教版高中数学选修2-2-1椭圆及其标准方程ppt课件
6 2 ( ) 2 3 ( 3) a2 ＋ b2 ＝1 所以 2 2 2 12 ( 3 ) ＝1 2＋ 2 a b
2 a ＝9， ，所以 2 b ＝1.
y2 所以所求的椭圆的标准方程为 9 ＋x2＝1.
解法二：设所求椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)， 6 2 2 因为椭圆过点( ， 3)和( ，1) 3 3 ( 6)2A＋( 3)2B＝1 3 所以 2 2 2 ( ) A＋B＝1 3 2 3A＋3B＝1 ，即 8A＋B＝1 9
椭圆4x2＋3y2－12＝0的焦点坐标为________． [答案] (0,1)和(0，－1)
x2 y2 标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．依题意有 (1)2 (1)2 3 ＋ 3 ＝1， a2 b2 (－1)2 2 ＝1， 2 b 2 1 a ＝5， 解得 b2＝1. 4
因为 a>b，所以方程组无解．
y2 x2 (2)当椭圆的焦点在 y 轴上时， 设它的标准方程为a2＋b2＝ 1(a>b>0)．依题意有 (1)2 (1)2 3 ＋ 3 ＝1， a2 b2 (－1)2 2 ＝1， 2 a 2 1 a ＝4， 解得 b2＝1. 5
2．2ห้องสมุดไป่ตู้
椭圆
1．平面内与两个定点F1，F2的 距离的和 等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆 两焦点 焦点 的 ， 间的距离叫做椭圆的焦距．
x2 y2 2．焦点在 x 轴上的椭圆标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)； y2 x2 焦点在 y 轴上的椭圆标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)； 其 a，b，c 的关系为 a2＝b2＋c2.
高中数学选修(人教版)椭圆公式大全
高中数学选修(人教版)椭圆公式大全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
高中数学人教B版选修2-1 第二章2.2.2 椭圆的几何性质(共76张PPT)
b 越大 1, 椭圆 圆， a
当e c 越小 0, c 0, a
20:52:52
离心率 反映椭 圆的圆 扁程度
y
o
x
离心率越大，椭圆越扁 离心率越小，椭圆越圆
67
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 线又是 什么？
e=0，这时两个焦点重合，图形变为圆．
e=1,为线段。
[3]e与a,b的关系: e c a2 b2 1 b2
20:52:52
59
二、椭圆的顶点与长短轴
x2 a2
y2 b2
=1 （a＞b＞0）
椭圆顶点坐标为：
椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点.
A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b).
20:52:52
y
B2(0,b)
A1(-a, 0)
o
A2 (a, 0)
x
B1(0,-b)
y2
2
b
=1
20:52:52
30
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
20:52:52
31
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
20:52:52
32
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
20:52:52
33
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
o F2
人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1椭圆及其标准方程 课件(22张ppt)
想一想
生活中或是
自然界中有哪些 常见的椭圆图形？
观察以下几组图片
我们了解了生活中的椭圆后，再进一步学习数 学中的椭圆及其标准方程
椭圆定义：
第一定义：
平面内于两定点F1、F2距离之和等于 常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距 离叫做椭圆的焦距。
x2 a2
y2 a2 5
1
.
由点(－3,2)在椭圆上知
9 a2
4 a2 5
1，所以
a ＝2 15.所以所
求椭圆的标准方程为
x2 y2 1
15 10
人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1 椭圆及 其标准 方程 课件(22张ppt)【精品】
人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1 椭圆及 其标准 方程 课件(22张ppt)【精品】
a
（1）+（2）得：
（xc)2 y2
=
xc a
+a
（3）
对（3）两边平方可得椭圆的标准方程。
人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1 椭圆及 其标准 方程 课件(22张ppt)【精品】
几何性质
椭圆方程 图形特征
范围
几何 性质
顶点
焦点
人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1 椭圆及 其标准 方程 课件(22张ppt)【精品】
12
12
e
c a
(0e1)
e
c a
(0e1)
|M 1| F ae0,x |M 2| F ae0x|M 1| a F e y 0 ,|M 2| a F e y 0
人教A版高中数学选修2-1第二章2.2.1 椭圆及 其标准 方程 课件(22张ppt)【精品】
高二数学选修课件第一部分第章椭圆的标准方程
椭圆是一种圆锥曲线，它描述了一个点到一个固定点的距离与它到一 条固定直线的距离之比为常数（离心率$e$）的点的集合。当$e$在 $0$和$1$之间时，轨迹为椭圆。
焦点、焦距和长短轴
03
焦点
焦距
椭圆有两个焦点，分别位于椭圆的长轴上 ，且关于椭圆中心对称。
两焦点间的距离称为焦距，用$2c$表示 ，其中$c$为半焦距。
椭圆绕其中心旋转任意角度后，其形状和大小均保持不变。
旋转改变椭圆方向
椭圆旋转后，其长轴和短轴的方向发生变化，但长度不变。
04
求解技巧与案例分析
利用定义法求解问题
定义法步骤
首先根据椭圆的定义，确定椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长，然后利用这个性质列出方程，最后 解方程求出未知量。
案例分析
椭圆上点坐标特征
设椭圆上任意坐一标点表为$示P(x,y)$，则点
$P$到两焦点的距离之和等于长轴的 长度，即$sqrt{(xc)^2+y^2}+sqrt{(x+c)^2+y^2}=2 a$。
对称性
对于标准方程范围限制
$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 $（其中$a>b>0$），点$P(x,y)$的 坐标满足$-aleq xleq a$和$-bleq yleq b$。
例如，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且经过点 M(2,1)，直线l:x-y+1=0交椭圆C于A、B两点，P为AB的 中点，且OP的斜率为1/2，求椭圆C的方程。我们可以通 过图形分析得到AB的中点P的坐标满足直线l和OP的方程 ，然后利用待定系数法求出椭圆C的方程。
05
知识拓展与延伸
人教版高中数学选修一3.1.1椭圆的标准方程(二)-课件
平面直角坐标系,则 B( 3, 0), C (3, 0) .
设顶点 A 的坐标为 ( x , y )
∵ AB AC BC 16 ,
∴ BA CA 10 .
2
2
x
y
∴由椭圆定义及标准方程知识可知
1
25 16
又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
2
2
x
y
∴所求的点的轨迹方程为
则 b 2 的值是____________.
2 3
5
例题讲评
例 2⑴已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离之和为 12,求
动点 P 的轨迹方程.
解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆,且焦点是
F1 (0, 2) , F2 (0, 2) ,∴c=2.
∵ 1 + 2 = 12,∴2 = 12,∴ = 6,
分析条件发现:
AP BP 4
∴点 P 的轨迹是以 A、B 为
2
焦点的椭圆. x 2
y
4
3
1
这种求轨迹方程的方法称为定义法.
10
巩固练习
已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长等于
16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立
3
复习练习
2
2
x y
+ =1表示焦点在x轴
4 m
已知方程
上的椭圆，则m的取值范围是
x2
y2
+
=1
m -1 3 - m
变1：已知方程
则m的取值范围是 (1,2) .
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高中数学选修椭圆公式大全
椭 圆
1.
点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2.
PT 平分△PF 1F ２在点Ｐ处的外角，则焦点在直线ＰＴ上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点。
...文档交流 仅供参考...
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离．
4.
以焦点半径ＰF １为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。
5. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=上，则过0P 的椭圆的切线方程
是00221x x y y a b
+=．
6. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切
线切点为P １、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b
+=．
7. 椭圆22
221x y a b
+= （a 〉ｂ＞0）的左右焦点分别为F 1，Ｆ 2，
点Ｐ为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1
2
2tan 2
F PF S b γ∆=.
8. 椭圆22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+，20||MF a ex =-(1(,0)F c - ， 2(,0)F c 00(,)M x y ）。
9.
设过椭圆焦点Ｆ作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和ＡＱ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、Ｎ两点，则ＭＦ⊥NF ．...文档交流 仅
供参考...
10.
过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Ｑ, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A １P 和A ２Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N,则M Ｆ⊥NF 。
...文档交流 仅供参考...
11. A Ｂ是椭圆22
221x y a b
+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为
AB 的中点，则2
2OM AB b k k a
⋅=-，
即020
2y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则被
Po 所平分的中点弦
的方程是22
00002222x x y y x y a b a b +=+.
13. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内,则过
Po 的弦中点的轨迹方
程是22002222x x y y
x y a b a b
+=+。
推 导
1. 椭圆22
221x y a b
+=（a 〉ｂ＞o)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,
与y 轴平行的直线交椭圆于Ｐ1、P ２时A 1P 1与A 2P 2交
点的轨迹方程是22
221x y a b
-=。
...文档交流 仅供参考...
2. 过椭圆22
221x y a b
+= （a ＞0， b ＞０）上任一点00(,)A x y 任
意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且20
20
BC
b x k a y =（常数)．...文档交流 仅供参考... 3.
若P
为椭圆22
221x y a b
+=（a 〉b ＞0)上异于长轴端点的任
一点,F 1, F ２是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
tan t 22
a c co a c αβ
-=+。
4. 设椭圆22
221x y a b
+=（ａ＞ｂ>0）的两个焦点为
F １、F 2，
Ｐ（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F
２
中，记
12F PF α
∠=,
12PF F β
∠=，
12F F P γ
∠=，则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+。
...文档交流 仅供参考...
5. 若椭圆22
221x y a b
+=（ａ＞b 〉0)的左、右焦点分别为
F 1、
F 2，左准线为L ，则当0<e ≤21-时,可在椭圆上求
一点P,使得ＰＦ１是P 到对应准线距离ｄ与ＰF 2的比例中项....文档交流 仅供参考...
6.
P
为椭圆22
221x y a b
+=（ａ>b ＞0)上任一点，F 1,F 2为二焦
点，A 为椭圆内一定点,则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+，当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立....文档交流 仅供参
考...
7. 椭圆22
0022
()()1x x y y a b
--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2
2
22200()A a
B b Ax By
C +≥++。
8. 已知椭圆22
221x y a b
+=(a 〉b>0）,O
为坐标原点，Ｐ、Q
为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥．（1）2222
1111
||||OP OQ a b +=+；
(2）|OP ｜２
+｜O Ｑ｜
2
的最大值为22
22
4a b a b
+；（3）OPQ
S
∆的
最小值是22
22a b a b +....文档交流 仅供参考...
9. 过椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点
F 作直线交该
椭圆右支于Ｍ,N 两点,弦MN 的垂直平分线交ｘ轴于
P ，则||||
2
PF e MN =.
10. 已知椭圆22
221x y a b
+=( a ＞b 〉０） ,A 、Ｂ、是椭圆上
的两点,线段A Ｂ的垂直平分线与x 轴相交于点
0(,0)P x ， 则2222
0a b a b x a a
---<<。
11.
设P
点是椭圆22
221x y a b
+=（ a>b ＞0）上异于长轴端点
的任一点，F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则（1）
2
122||||1cos b PF PF θ
=
+.(2） 12
2tan
2
PF F
S b γ
∆=.
12.
设
A 、Ｂ是椭圆22
221x y a b
+=( a 〉b ＞0）的长轴两端点，
Ｐ是椭圆上的一点,PAB α∠=， PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、
e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有（1）
222
22|cos |||s ab PA a c co αγ
=-。
（2）
2
tan tan 1e αβ=-。
（3)
22222cot PAB
a b S b a
γ∆=-．...文档交流 仅供参考...
13. 已知椭圆22
221x y a b
+=( a 〉ｂ〉０）的右准线l 与
x 轴相
交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、Ｂ两点，点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴，则直线ＡC 经过线段E Ｆ 的中点．...文档交流 仅供参考...
14.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直。
15.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直。
16.
椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率)。
(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点。
）
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分
成定比e．
18.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心
的比例中项.。