第二章 无源单口网络的综合

1 99 2 s 9 s 19 3 19 19s 91s
剩余未综 合导纳
按福 斯特 综合
2.2 LC策动点函数的综合 – 例2-3 混合法综合阻抗函数
第二章 无源单口网络的综合 2.3 无源RC单口网络的综合
2.3 无源RC单口网络的综合
• 2.3.1 RC策动点函数的性质
– RC网络与LC网络的关系
各项都是对应的导纳函数 拓扑关系明确 任意处的极 点由串联谐 振电路综合
2.2 LC策动点函数的综合
C K
L0 1 K0 Li 1 Ki
∞
Ci
2 pi
Ki
K 0 m Ki s YLC (s) K s 2 2 s i 1 s pi
m s Li 1 YLC (s) C s 2 sL0 i 1 s 1 LiCi
• RC单口网络策动点函数的性质
– 性质1
• 单口无源RC网络函数FRC(s)的可实现充要条件
– FRC(s)是有理正实函数 – FRC(s)所有零极点都在负实轴上(含原点)
• 策动点阻抗函数在原点处可能有单阶极点(串臂电 容阻抗无穷大) • 策动点导纳函数在s=∞处可能有极点(并臂电容导 纳无穷大)
• 串联LC电路
Z LC ( s) sL 1 1 s( L 2 ) sC sC
• 串联RC电路
Z RC ( s ) R 1 sC
2.3 无源RC单口网络的综合 – RC网络与LC网络的关系
• 并联LC电路
Z LC (s) 1 sC 1 sL sL 1 s 2 LC
2.2 LC策动点函数的综合
• 考尔II型综合法
– 首先移出串臂容抗(电容)，再移出并臂感纳( 电感)的方法
串臂容抗 A 剩 余 阻 抗 A‘ 阻抗函数 并 臂 感 纳 A‘ 导纳函数 A B 剩 余 导 纳 B‘ B‘ 阻抗函数 B
串臂容抗
剩 余 阻 抗
2.2 LC策动点函数的综合
• 考尔II型综合法
• 2-1a根据P20最后的表达式得到
| U1 ( s) |2 | I1 ( s) |2 | Z LC ( s) |2 | I1 ( s) |2 Z LC ( s) Z LC ( s) | U1 ( s) |2 | I1 ( s) |2 Z LC ( s) Z LC ( s ) | I1 ( s) |2 Z LC ( s) YLC ( s) | U1 ( s) |2
1 n s s 2 s
1 Z ij ( s ) |s 2 s s
且
1 11 n 1 11 s s 2 s
那么
Z RC ( s)
1 1 Z LC ( s) 11 s 11 s2 s s s 2 s
并且
YRC (s) [sYLC (s)] s2 s
• 2.2.1 福斯特综合法
– 福斯特I型电路
• 策动点阻抗综合法 • 根据阻抗函数的串联性质得到 • 阻抗函数：根据有理正实函数和2-5的一般表达式 可写为
K 0 m Ki s Z LC (s) K s 2 2 s i 1 s pi
各项都是对应的阻抗函数 拓扑关系明确
任意处的极 点由并联谐 振电路综合
2.3 无源RC单口网络的综合
剩 余 阻 抗
2.2 LC策动点函数的综合
• 考尔I型综合法
– 本质：每次移出的都是该部分函数(阻抗与导 纳交替)在s=∞处的极点 – 策动点阻抗函数Z(s)按连分式展开为
Li Ki , i 1,3,5
C j Kj , j 2, 4,6
2.2 LC策动点函数的综合
• 考尔I型综合法
s 4 26s 2 25 Z ( s) s 3 9s
• 考尔I型，按照正常的连分式展开过程，辗转相除
• 考尔II型，将多项式按照从低次项到高次项排列， 再进行辗转相除
s 4 26s 2 25 Z ( s) s 3 9s
2.2 LC策动点函数的综合
• 2.2.3 福斯特-考尔混合型网络综合法
• 并联RC电路
Z RC ( s) 1 1 sC R 1 C s 1 RC
2.3 无源RC单口网络的综合 – RC网络与LC网络的关系
• 规律总结
– 当L用等值的R替换后，ZRC(s)与ZLC(s)有如下关系
– 同样结构的RC网络阶数比LC网络低
1 Z RC ( s ') Z LC ( s ) |s2 s ' s
2.2 LC策动点函数的综合
2.2 LC策动点函数的综合
2.2 LC策动点函数的综合
• 考尔I型综合法
– 首先移出串臂阻抗(电感)，再移出并臂导纳( 电容)的方法
串臂阻抗 A 剩 余 阻 抗 A‘ 阻抗函数 并 臂 导 纳 A‘ 导纳函数 A B 剩 余 导 纳 B‘ B‘ 阻抗函数 B
串臂阻抗
– 网络综合的结果一般不唯一 – 可以综合采用多种综合方法设计电路结构 – 采用混合方法综合时，必须明确当前正在综 合的是阻抗函数还是导纳函数，以确定是串 臂元件还是并臂元件
2.2 LC策动点函数的综合 – 例2-3 混合法综合阻抗函数
s5 29s3 100s Z ( s) 4 s 10s 2 9
m s Ci 1 Z LC ( s) L s 2 sC0 i 1 s 1 Li Ci
2.2 LC策动点函数的综合 – 福斯特I型电路
∞
2.2 LC策动点函数的综合 – 福斯特II型电路
• 策动点导纳综合法 • 根据导纳函数的并联性质得到 • 导纳函数可以表示为 K 0 m Ki s YLC (s) K s 2 2 s i 1 s pi
– 本质：每次移出的都是该部分函数(阻抗与导 纳交替)在s=0处的极点 – 策动点阻抗函数Z(s)按连分式展开为
Ci 1/ K0i , i 1,3,5 Lj 1/ K0 j , j 2, 4,6
2.2 LC策动点函数的综合
• 例题2-2
– 综合策动点阻抗函数
s 4 26s 2 25 Z ( s) s 3 9s
– 证明：令s=jω，其电抗特性函数为
–其导数为
Ki X LC ( ) K 2 i 1 pi 2 K0
m
2 2 dX LC ( ) K 0 m Ki ( pi ) K 2 0 2 2 2 d i 1 ( pi )
其中 仍然Baidu Nhomakorabeas来表示复变量，则
2 i pi
K 0 , K , Ki 0
K 0 m Ki Z RC (s) K , s i 1 s i
同理
K 0 , K , Ki 0
YRC (s) K s K0
i 1
m
Ki s s i
2.3 无源RC单口网络的综合
即对任意RC与LC网络该关系都成立
2.3 无源RC单口网络的综合 – RC网络与LC网络的关系
LC单口网络阻抗函数 RC单口网络阻抗函数
K 0 m Ki s Z LC (s) K s 2 2 s i 1 s pi
K0 m Ki 1 Z RC (s) Z LC (s) K , s s s s 2 s i 1 i
i 1
根据有理正实函 数的性质，分子、 分母（奇偶次项） 幂次相差1
2.1.2 LC单口无源网络策动点函数的性质
• FLC(s)可以展开成
K 0 m Ki s FLC ( s) K s 2 2 s i 1 s pi
• 性质1 LC单口网络策动函数的电抗频率特 性曲线的斜率为正。
第二章 无源单口网络的综合 2.1 无源LC单口网络的实现条件
本章与第一章的关系
• 第一章的有理正实函数是本章的理论基础
无源单口网络
有理正实函数
2.1.1 LC单口网络的实现条件
• 定理2-1函数F(s)作为单口网络的策动函数 ，可以用LC元件实现的充分必要条件是：
– 1. F(s)是s的有理正实奇函数; – 2. F(s)的全部零极点在虚轴上。 – 必要性证明要点
– 理解：采用考尔综合法，无论用策动点阻抗 函数还是导纳函数，得到的网络是相同的
• 当分母的幂次高于分子的幂次时，第一个应当移 出的元件不存在(串臂阻抗为0，并臂导纳为0)，因 此接下来移出第二个原件时即按照其倒函数进行 • 因此最后综合得到的网络，与从其倒函数开始综 合得到结果是一致的 • 即无论采用哪种函数，综合的网络都是一致的
奇函数
s ( s ) N ( s) i 1 FLC (s) K m , | 2n 1 2m | 1 2 D( s ) ( s 2 pi )
2 2 zi i 1 n
n
零点
或
2 ( s 2 zi )
极点
N ( s) 1 FLC (s) K i m , | 2n 1 2m | 1 2 D( s ) s ( s 2 pi )
s 4 10s 2 9 | s 5 29s 3 100s | s s 5 10s 3 9s
按考尔I型综合
Z (s) s
19s 3 91s | s 4 10s 2 9 | s /19 1.串臂电感 91 s4 s2 19 99 2 2.并臂电容 s 9 19
• 例2-1
– 解题要点 – 按Z(s)倒数的福斯特II型导纳函数综合
解得
2.2 LC策动点函数的综合 • 2.2.2 考尔综合法
– 按照连分式展开的综合方法 – 综合网络形式为梯形(Ladder-type)网络 – 部分、逐渐展开示意图
策动点阻抗=移除阻抗+剩余阻抗（串联） 策动点导纳=移除导纳+剩余导纳（并联）
2.1.1 LC单口网络的实现条件 – 定理2-1 必要性证明要点
• V0(s)是电容的储能， M0(s)是电感的储能，因此为 非负实数 • 根据储能函数的非负性，奇函数的证明显然成立 • 根据储能函数的非负性，零极点的证明显然成立
2.1.2 LC单口无源网络策动点函数的性质
• LC单口网络的策动点函数可以写为
• 证明
– 对于单口网络，只有1个电压源作用时，LC网络N的回 路方程为
Z11 I1 Z12 I 2 Z I Z I 21 1 22 2 Z n1 I1 Z n 2 I 2
Z1n I n U1 Z 2n I n 0 Z nn I n 0
2.2 LC策动点函数的综合
• 例2-1
– 解题要点 – 1. 验证Z(s)的可综合条件
• 有理正实奇函数
– 实性、正性（只在虚轴上有零极点） – 严格霍氏多项式验证（连除法）
2.2 LC策动点函数的综合
• 例2-1
– 解题要点 – 按福斯特I型的阻抗函数综合
缺无穷远 处的极点 解得
2.2 LC策动点函数的综合
2.3 无源RC单口网络的综合 – RC网络与LC网络的关系
• 证明
解得
I1 11 U1
因此
Z LC
U1 I1 11
具有相同拓扑结构的RC网络，其策动点阻抗为 U Z RC 1 I1 11 对每一个支路，已证明有如下关系 Z ij ( s) 则
2.2 LC策动点函数的综合 – 福斯特I型电路
L K
∞
C0 1 K0
Li
2 pi
Ki
无穷远处的极点; 频率为无穷大时 的阻抗极点
零点处的极点 频率为0时的阻 抗极点
任意极点 并联LC电路 的阻抗极点
K 0 m Ki s Z LC (s) K s 2 2 s i 1 s pi
虚轴上极点的留数为正
2.1.2 LC单口无源网络策动点函数的性质
• 性质2 LC单口网络策动点函数的零极点在 jω轴上相间排列。 • 性质3 在s=0和s=∞处，必定有单阶零点或 单阶极点。
– 参见P21正实函数等价条件及式2-4
第二章 无源单口网络的综合 2.2 LC策动点函数的综合
2.2 LC策动点函数的综合