5.3 一次函数(原卷版)

第5章一次函数

一次函数

知识提要

1.一次函数与正比例函数：一般地，函数y＝kx＋b（k，b都是常数，且k≠0）叫做一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx，叫做正比例函数，常数k叫做比例系数．

2.待定系数法：一般地，已知一次函数的自变量与函数的两对对应值，可以按以下步骤求这个一次函数的表达式：

（1）设所求的一次函数表达式为y＝kx＋b，其中k，b是待确定的常数，k≠0.

（2）把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y＝kx＋b，得到关于k，b的二元一次方程组．

（3）解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值．

（4）把求得的k，b的值代入y＝kx＋b，就得到所求的一次函数表达式．

典型例题

例1：已知函数y＝(m－4)x＋m2－16.

(1)m为何值时，这个函数是一次函数；

(2)m为何值时，这个函数是正比例函数．

例2：设有三个变量x，y，z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数．

(1)求证：z 是x 的正比例函数；

(2)如果z ＝1时，x ＝4，求出z 关于x 的函数关系式．

一、选择题 1．下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为( )

A ．y ＝x 2

B ．y ＝2x

C ．y ＝x 2

D ．y ＝x ＋12

2. 下列函数(1)y ＝πx ；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝22－3x ；(4)y ＝x 2－1中，是一次函数的有( )

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

3. 已知函数y ＝(k －1)xk 2＋1为一次函数，则k 的值为( )

A ．k ≠±1

B ．k ＝±1

C ．k ＝－1

D ．k ＝1

4. 若y=x+2-3b 是正比例函数，则b 的值是 （ ）

A ． 0

B ．32

C ．-32

D ．-2

3 5. 某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x 升．如果每升汽油2.6元，求油箱内汽油的总价y （元）与x （升）之间的函数关系是（ ）

A ．y=2.6x （0≤x≤20）

B ．y=2.6x+26（0＜x ＜30）

C ．y=2.6x+10（0≤x ＜20）

D ．y=2.6x+26（0≤x≤20）

6. 已知y ＝(m －3)x|m|－2＋1是一次函数，则m 的值是( )

A ．－3

B ．3

C ．±3

D ．±2 7. 某水池现有水100m 3，每小时进水20m 3，排水15m 3，t 小时后水池中的水为Qm 3，它的解析式为（ ）

A ．Q=100+20t

B ．Q=100-15t

C ．Q=100+5t

D ．Q=100-5t

练习

8. 小林购买一部手机想入网，中国联通130网收费标准是月租费30元，每月来电显示6元，本地电话费每分钟0.4元；中国电信“神州行”储值卡收费标准是本地电话费每分钟0.6元，月租费、来电显示费全免，小林的亲戚朋友都在本地，他想拥有来电显示服务，且估计他每月通话时间都在3h 以上，则小林应选择（ ）更省钱．

A ．中国联通

B ．“神州行”储值卡

C ．一样

D ．无法确定

9.一个贮水池中贮水100 m 3，若每分钟排水2 m 3，则排水时间t (单位：min)与排水量y (单位：m 3)之间的函数关系式为( )

A ．y ＝2t

B ．y ＝100＋2t

C ．y ＝100－2t

D ．y ＝1002t

二、填空题

2. （凉山州中考）已知函数y ＝2x2a ＋3＋a ＋2b 是正比例函数，则a ＝______，b ＝____.

3. 设0＜k ＜1，关于x 的一次函数y=kx+ k

1 (1-x)，当1≤x≤2时y 的最大值是______． 4. 从2001年2月21日零时起，中国电信执行新的固定电话收费标准，其中本地网营业区内通话费是：前3分钟是0.2元（不足3分钟近3分钟计算），以后每分钟加收0.1元（不足1分钟按1分钟科计算），现有一个学生星期天打本地网营业区内电话t 分钟（t ＞3）应交电话费______元.

5. 小英存入银行2000元人民币，年利率为x ，两年到期时，本息和为y 元，则y 与x 之间的函数关系式是______，若年利率为7%，两年到期时的本息和为______元．

6. 某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出付款金额y （单位：元）与购书数量x （单位：本）之间的函数关系________．

三、解答题

1. [兴化期中]已知一次函数y ＝kx ＋b ，当x ＝2时，y ＝2；当x ＝－4时，y ＝14.

(1)求k 与b 的值；

(2)当y 与x 互为相反数时，求x 的值．

2. 当m ，n 为何值时，y ＝(5m －3)x 2－

n ＋(m ＋n )是关于x 的一次函数？当m ，n 为何值时，y 是关于x 的正比例函数？

3. 已知y 是x 的一次函数，且当x ＝－4时，y ＝9；当x ＝6时，y ＝－1.

(1)求这个一次函数的表达式；

(2)当2

1-=x 时，求函数y 的值； (3)求当1y 3-≤<时，自变量x 的取值范围。

4.[平度期中]一辆汽车在公路上匀速行驶，下表记录的是汽车在加满油后油箱内余油量y(L)与行驶时间x(h)之间的关系：

试求出它们之间的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)；

(2)求汽车行驶4.2 h后，油箱内余油多少升？

5.为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20 t时，按每吨2元计费；每月用水量超过20 t时，其中的20 t仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费．设每户家庭每月用水量为x(单位：t)时，应交水费为y(单位：元)．

(1)分别求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数表达式；

(2)小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元，38元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？