几何五大模型

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五大模型

一、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等；

其它常见的面积相等的情况

⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

S1S2

如上图S1:S2a:b

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S

；

△ACD=S△BCD

反之，如果S△ACD S△BCD，则可知直线AB平行于CD。⑷正方形

的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等

底等高的平行四边形面积的一半；

二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角 )两夹边的乘积之比。

如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点(如图1)或D在BA的延长线上，E在AC上(如

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图2)，则S△ABC:S△ADE(AB AC):(AD AE)

图1 图2

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)：

①S1:S2S4:S3或者S1S3S2S4②AO:OC S1 S2:S4 S3

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的

对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

2 2

①S1:S3a:b

②S1:S3:S2:S4a2:b2:ab:ab；

2

③梯形S的对应份数为a b。

2

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四、相似模型

相似三角形性质：

金字塔模型沙漏模型

①AD AE DE AF；

AB AC BC AG

②S△ADE:S△ABC AF2:AG2。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变

它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型

S△ABG:S△AGC S△BGE:S△E

GC BE:EC

S :S S :S AFFC

△BGA△BGC△AGF△FGC :

S :S S :S ADDB

△AGC△BC

G △ADG△DGB : 典型例题精讲

例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积

是21平方厘米。问：长方形的面积是__________平方厘米。

例1图

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例2 如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF＝DC，且＝2。则两块地和的面积比是__________。

ADDE ACF CFB

例2图

【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？

举一反三图

【拓展】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？

拓展图

4

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例3 如图，将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F。如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是__________。

ABC DEF

例3图

【拓展】如图，在

△ABC中，延长AB至D，使BD＝AB,延长BC至E，使CE 1

BC，F是AC的中点，若△2

的面积是 2，则△的面积是多少？

ABC DEF

拓展图

例4如图，在△ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O，若△AOM、△ABO和△BON的面积分别是3、2、1，则△MNC的面积是__________。

例4图

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【秒杀题】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面

积的1，且AO＝2，DO＝3,那么CO的长度是DO的长度的__________倍。

3

秒杀题图

例5如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG，HD＝DA，求四边形ABCD的面积。

例5图

例6 如右图长方形ABCD中，EF＝16，F＝9，求AG的长。

例6图

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【铺垫】图中四边形ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？

铺垫图

例7 如图，长方形 ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，已知AH＝5cm，HF＝3cm，求AG。

例7图

例8 如右图，三角形ABC中，BD∶DC＝4∶9，CE∶EA＝4∶3，求AF∶FB。

例8图

【拓展】如图，三角形ABC的面积是1，BD＝DE＝EC，CF＝FG＝GA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少 ?

拓展图