几何五大模型汇总
几何的五大模型
几何的五大模型一、等积变换模型(1)等底等高的两个三角形面积相等(2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比(3)两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如左图S1：S2=a:b(4)夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图，S△ABC= S△BAD反之，如果S△ABC= S△BCD，则可知直线AB平行于CD （AB∥CD）二、鸟头定理(共角定理)模型(1)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
(2)共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点如图.(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则S△ABC：S△ADE=(AB×AC):(AD×AE)推理过程连接BE，再利用等积变换模型即可。
证明：图（1）中设：过顶点D做底边AE的高为H1；过顶点B做底边AC的高为H2△ABE中S△ADE：S△ABE=AD：AB同理S△ADE：S△ABE=H1：H2 AD：AB= H1：H2又因S△ADE=AE*H1*1/2S△ABC=AC*H2*1/2 得出S△ADE：S△ABC=AE*H1：AC*H2 所以S△ADE：S△ABC=(AB×AC):(AD×AE)图（2）中设过顶点D作底边AE的高为H1，过顶点B做底边AC的高为H2△DBE中，S△ADE：S△ABE=AD：ABS△ADE：S△ABE= H1：H2 AD：AB= H1：H2又因S△ADE=AE*H1*1/2S△ABC=AC*H2*1/2 得出S△ADE：S△ABC=AE*H1：AC*H2所以S△ADE：S△ABC=(AB×AC):(AD×AE)三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)①S1:S2=S4:S3 或者 S1×S3=S2×S4②AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)证明（1）：在△ABD中，S1：S2=DO:OB在△DCB中，S4：S3=DO：OB 得到S1:S2=S4:S3或者 S1×S3=S2×S4(十字相乘法)证明（2）：设过D点作底边AC的高为H1，过B点作底边AC的高为H2(S1+S2):(S4+S3)=（AO*H1*1/2+AO*H2*1/2）：（OC*H1*1/2+ OC*H2*1/2）约分得到：(S1+S2):(S4+S3)=AO：OC蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
几何五大模型
1.共边模型（等积变形）
·两个三角形，如果底边相等，高也相等，那么它们的面积相等。
·拓展：夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。
·两个三角形，如果底相等，一个的高是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍·两个三角形，如果高相等，一个的底是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍
小结：边比=面积比，找等高最常见
2.共角模型（鸟头模型）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，S?abc: S?ade=(AB×AC):(AD×AE)
3.蝴蝶模型（风筝模型）重点！！！
(②理解记忆(羊肉串1))
4.梯形蝴蝶模型
梯形中的比例关系：
①S?=S?
②S?:S?:S?:S?=a2+b2:ab:ab
5.燕尾模型
在三角形ABC中，AD,BE,CF相交同一点O，那么S?abo: S?aco = BD:DC。
几何五大模型
⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学数学五大几何模型
小学数学五大几何模型知识框架一、等积模型DC BA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DC BA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A BC DO baS 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
小学奥数几何五大模型
（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？GFE D CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。
把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。
这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。
因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。
例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。
小学数学几何必考五大模型
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米 ，那么长方形的宽为几厘米？
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可 以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
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【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米 ，那么长方形的宽为几厘米？
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解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图： 这样阴影部分的面积就是△DEF的面积，
根据鸟头定理，则有：
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【巩固】
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五、燕尾定理（共边定理、燕尾模型和风筝模型）
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么
．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴， 所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于 ，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的 途径.
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典型例题
【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE= 1.5，CF= 2．长方形EFGH的面积
为？
H
H
A
D
A
D
E
E
G
G
B FC
B FC
【 解 析 】 连 接 DE ， DF ， 则 长 方 形 EFGH 的 面 积 是 三 角 形 DEF 面 积 的 二 倍．
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△五大模型1S 2S图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
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小学平面几何五大模型
一、
共角定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC
△中，,D E分别是,
AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():()
S S AB AC AD AE
=⨯⨯
△△
证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出
若△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°，
则
ADE
ABC
S
S
∆
∆
=
AE
AD
AC
AB
⨯
⨯
二、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如下图
12
::
S S a b
=
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
ACD BCD
S S=
△△
；
反之，如果
ACD BCD
S S
=
△△
，则可知直线AB平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
b
a
S2
S1
D
C
B
A
三、蝶形定理
1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面
可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．
四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
G
F E A
B
C
D
A
B C
D
E
F G
①AD AE DE AF AB
AC
BC
AG
===；
②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．
相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
A B
C
D
O b
a S 3
S 2
S 1S 4
S 4
S 3
S 2
S 1O D
C
B
A
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在∆ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕
子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
O F
E D C B A
附件1：鸟头模型例题及习题：
例8：
法1：无敌设高法。
法2：反复使用鸟头定理：求出E点、F点的特殊性；
简述：以上这一题是中环杯决赛题，作为我们讲义的例8。
我们介绍的法一“无敌设高法”主要是从代数的角
度死算，这是我们以后学习解复杂问题的通用方法，作为五年级的同学可以多多接触一些；法二“鸟头模型”让我们确定特殊点，从而找线段的比例关系。
让面积比转换成求线段比。