第七章曲线与曲面积分导学答案12-16(第一、二类曲面积分)

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曲线积分与曲面积分常见题型攻略

曲线积分与曲面积分常见题型攻略以心同学整理一、计算第一类曲线积分步骤：（一）平面曲线积分t t g y t x L ,)()(:1.化简（1）代入化简【常用在k t g t f )](),([ （常数）的情形】Lds y x f ),(Lds t g t f )](),([ kskds L其中s 为积分曲线L 的长度。

（2）利用奇偶对称性化简①若积分曲线L 关于坐标轴y 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L x y x f ds y x f x y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为y 轴右边部分。

②若积分曲线段L 关于坐标轴x 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L y y x f ds y x f y y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为x 轴上边部分。

（3）利用轮换对称性化简若积分曲线L 中把x 与y 互换，积分曲线不变，则有Lds y x f ),( Ldsx y f ),(2.确定积分曲线L 的参数式方程t t g y t x L ,)()(:注：积分曲线一般以)(x f y 或)(y g x 的形式出现，此时参数式为：b x a x f y x x L,)(:，dy c y y y g x L,)(:3.套公式（一代二换三定限）化为定积分Lds y x f ),(dtt g t t g t f )()()](),([22注意：上限大于下限 4.计算定积分例1【2017-2018期末】设L 是直线)40(1243 x y x 的一段，则Lds y x )43(60；解：Lds y x )43( Lds12代入化简6012 s 。

例2【2018-2019期末】计算Lds x y)(2，其中L 为圆周422 y x .解：法一：L 的参数方程为sin 2cos 2y x （ 20 ），d d ds 2)cos 2()sin 2(22 ，于是Lds x y )(22022)cos 2sin 4(d 0sin 8202d822148 .法二：由对称性有Lds y 2 Lds x 2（轮换对称），0 Lxds （奇偶对称）所以Lds x y )(2 Lds y 2L ds y x )(2122 Lds 421（代入化简）8422 Lds .例3【2019-2020期末】计算曲线积分Lds y xy x )(22，其中L 为平面区域}0,1|),{(22 y y x y x D 的边界曲线。

曲线积分曲面积分总结

第十三章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.第一节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ∆∆∆．取其中的一小段弧i i M M 1-来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点(),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于(),i i i s ρξη∆．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i s y x M 1,ρ．用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到1lim (,).ni i i i M s λρξη→∞==∆∑即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入一点图13-1列n M M M ,...,,21将曲线分为n 个小段. 设第i 段的长度为i s ∆(1,2,,i n =L )，又()i i ηξ,为第i 个小段上任意取定的一点，作乘积()i i i s f ∆ηξ,，并作和()iiini s f ∆∑=ηξ,1，若当各小段的长度λ的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数()y x f ,在曲线L 上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作()⎰L ds y x f ,, 即1(,)lim (,)n i i i Li f x y ds f s λξη→==∆∑⎰,其中()y x f ,叫做被积函数，L 称为积分弧段．当L 是光滑封闭曲线时，记为()⎰Lds y x f ,．类似地，对于三元函数()z y x f ,,在空间的曲线L 上光滑，也可以定义()z y x f ,,在曲线L 上对弧长的曲线积分()⎰Lds z y x f ,,．这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为(,).LM x y ds ρ=⎰由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质：性质1（线性性）若,f g 在曲线L 上第一类曲线积分存在，,αβ是常数, 则(,)(,)f x y g x y αβ+在曲线L 上第一类曲线积分也存在，且()()()()(),,,,LLLf x yg x y ds f x y ds g x y ds αβαβ±=±⎰⎰⎰；性质２（对路径的可加性）设曲线L 分成两段12,L L . 如果函数f 在L 上的第一类曲线积分存在，则函数分别在1L 和2L 上的第一类曲线积分也存在. 反之，如果函数f 在1L 和2L 上的第一类曲线积分存在，则函数f 在L 上的第一类曲线积分也存在. 并且下面等式成立1212L L L L fds fds fds +=+⎰⎰⎰．(12L L +表示L )对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出．二、第一类曲线积分的计算定理设有光滑曲线():,[,].()x t L t y t ϕαβψ=⎧∈⎨=⎩ 即'()t ϕ,'()t ψ连续. 若函数(,)f x y 在L 上连续，则它在L 上的第一类曲线积分存在，且()()()(,,Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰证明如前面定义一样，对L 依次插入121,,...,n M M M -，并设0((),())M ϕαψα=，((),())n M ϕβψβ=. 注意到01.n t t t αβ=<<<=L 记小弧段1i i M M -的长度为i s ∆，那么,1,2,.ii t i t s i n -∆==⎰L1,(').i i t i i i i t s t t τ--∆=<<⎰所以, 当('')i i x ϕτ=,('')i i y ψτ=时,ii i 11(,)((''),(t ,n niiii i f x y s f ϕτψτ==∆=∑∑这里i 1i i i t ',''t .ττ-≤≤ 设ni i i 1f ((''),(i t σϕτψτ==∆∑则有n niiiii i i 1i 1f (x ,y )s f ((''),(t .ϕτψτσ==∆=+∑∑令12n t max{t ,t ,,t },∆=∆∆∆L 要证明的是t 0lim 0.σ∆→=因为复合函数f ((t),(t))ϕψ关于t 连续，所以在闭区间[,]αβ上有界，即存在M ，对一切t [,]αβ∈有|f ((t),(t))|M.ϕψ≤再由[,]αβ上连续，所以它在[,]αβ上一致连续. 即当任给0ε>，必存在0δ>，当t δ∆<时有|.ε≤从而1||().ni i M t M σεεβα=≤∆=-∑所以lim 0.t σ∆→=再从定积分定义得n22i i i i i 0i 1lim f ((''),(''))'('')'('')t t ϕτψτϕτψτ∆→=+∆∑22((),())'()'().f t t t t dt βαϕψϕψ=+⎰所以当n n22iiiii i i i i 1i 1f (x ,y )s f ((''),(''))'('')'('')t ϕτψτϕτψτσ==∆=+∆+∑∑两边取极限后，即得所要证的结果.特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为(),,y y x a x b =≤≤则()()()()()2,,1'b Laf x y ds f x y x y x dx =+⎰⎰．例计算曲线积分⎰Lds y ，其中L 是抛物线2x y =上的点()0,0A 与点()1,1B 之间的一段弧．（如图）图13-2解：积分曲线由方程[]1,0,2∈=x x y给出，所以()()⎰⎰+=1222'1dx x x ds y L12014x dx =+⎰()1241121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x =()155121-.例计算积分()22nLxyds +⎰Ñ，其中L 为圆周:sin ,x a t =cos ,y a t =02t π≤≤.解：由于L 为圆周：π20,cos ,sin ≤≤==t t a y t a x ，所以()()()()222220sin cos nnLxyds a t a t π+=+⎰⎰Ñ⎰==ππ20222nn a dt a ．对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线L 由参数方程()()()t z z t y y t x x ===,,，βα≤≤t 确定，则有()()()dt t z t y t x ds 222'''++=，从而()()()()()()()()dt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L⎰⎰++=βα222''',,,,．例13.３计算曲线积分()⎰Γ++ds z y x222，其中Γ是螺旋线cos ,x a t = sin ,y a t =z kt =上相应于t 从0到π2的一段弧．解：由上面的结论有()()()()()()()dt k t a t a kt t a t a ds z y x⎰⎰++-++=++Γπ20222222222cos sin sin cos()()2222220222224332k a k a dtk a t k aπππ++=++=⎰例计算2Lx ds ⎰, 其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周.解：由对称性可知222,LLLx ds y ds z ds ==⎰⎰⎰所以22222312().333L L L a x ds x y z ds ds a π=++==⎰⎰⎰习题1. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度1μ=）.2. 计算曲线积分222()x y z ds Γ++⎰，其中Γ为螺旋线cos x a t =，sin y a t =，z kt=上相应于t 从0到2π的一段弧.3. 计算,x Cye dS -⎰其中C 为曲线2ln(1),23x t y arctgt t =+=-+由0t =到1t =间的一段弧.4. 求L xydS ⎰，其中L 是椭圆周22221x y a b+=位于第一象限中的那部分。

曲线与曲面积分应用

曲线与曲面积分应用曲线与曲面积分是数学中重要的概念和工具，被广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。

本文将介绍曲线与曲面积分的基本概念、计算方法和应用实例。

一、曲线积分曲线积分是通过将曲线分割成无穷小的线段，并对每个线段上的函数值进行累加来计算整条曲线上的函数积分。

曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分是函数在曲线上的积分，常用符号表示为∫f(x,y) ds。

其中f(x,y)表示曲线上的函数，ds表示曲线的弧长差。

第一类曲线积分可以应用于计算质量、重心和功等物理量。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分是向量场在曲线上的积分，常用符号表示为∫F·ds。

其中F表示向量场，ds表示曲线的弧长差。

第二类曲线积分可以应用于计算流量、环量和曲线的平均速度等物理量。

二、曲面积分曲面积分是通过将曲面分割成无穷小的面元，并对每个面元上的函数值进行累加来计算整个曲面上的函数积分。

曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分是函数在曲面上的积分，常用符号表示为∬f(x,y,z) dS。

其中f(x,y,z)表示曲面上的函数，dS表示曲面的面积元。

第一类曲面积分可以应用于计算质量、电荷和电通量等物理量。

2. 第二类曲面积分第二类曲面积分是向量场在曲面上的积分，常用符号表示为∬F·dS。

其中F表示向量场，dS表示曲面的面积元。

第二类曲面积分可以应用于计算通量、旋度和曲面的平均速度等物理量。

三、曲线与曲面积分的应用实例1. 物理学中的应用曲线与曲面积分在物理学中有广泛的应用。

例如，通过计算电场在闭合曲面上的曲面积分，可以求解闭合曲面内的电荷总量。

又如，通过计算磁场在闭合曲线上的曲线积分，可以求解闭合曲线内的电流总量。

2. 工程学中的应用曲线与曲面积分在工程学中也有许多实际应用。

例如，在流体力学中，通过计算流速场在曲面上的曲面积分，可以求解通过曲面的流体质量。

高等数学曲线积分和曲面积分 (10.2.2)--第二类曲线积分和第二类曲面积分

习题10.21. 把下列第二类曲线积分化为第一类曲线积分.(1) 2d d Cx y x x y -⎰, 其中C 为曲线3y x =上从点(1,1)--到点(1,1)的弧段； (2) d d d LP x Q y R z ++⎰, 其中L 为曲线32===t z t y t x ,,上相应于参数t 从0变到1的弧段.2. 计算曲线积分22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,1)：(1) OA 为直线段x y =； (2) OA 为抛物线段2=x y ； (3) OA 为0=y ,1=x 的折线段. 3. 计算下列第二类曲线积分：(1)d d ||||C x yx y ++⎰，其中C 为1||y x =-上从点(1,0)经点(0,1)到点(1,0)-的折线段；(2) d d C y x x y +⎰, 其中C 为⎩⎨⎧==t a y t a x sin ,cos π:04t ⎛⎫→ ⎪⎝⎭； (3) 222()d 2d d Ly z x yz y x z -+-⎰, 其中L 为⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x ,,(:01)t →.(4) ()d ()d ()d L z y x x z y y x z -+-+-⎰, 其中L 为椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩且从z 轴正向看去, L 取顺时针方向.4. 计算下列变力F 在质点沿指定曲线移动过程中所作的功.(1) ),(2xy y x -=F , 沿平面曲线34()(,)t t t =r 从参数0t =到1t =的点. (2) ),,(22z xy x =F , 沿空间曲线2()(sin ,cos ,)t t t t =r 从参数0t =到π2t =的点. 5. 设变力F 在点(,)M x y 处的大小||||||||k =F r ，方向与r 成2π的角, 其中OM =r (图10-38)，试求当质点沿下列曲线从点)0,(a A 移到点),(a B 0时F 所作的功：(1) 圆周222=+a y x 在第一象限内的弧段； (2) 星形线323232=+a y x 在第一象限内的弧段.6. 在过点(0,0)O 和(π,0)A 的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线C ，使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)d (2)d Cy x x y y +++⎰的值最小.7. 把第二类曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化为第一类曲面积分：(1) ∑为平面x z a +=被柱面222x y a +=所截下的部分, 并取上侧；图 10-38xyOM (x , y )Fr(2) ∑为抛物面222y x z =+被平面2y =所截下的部分, 并取左侧. 8. 计算下列第二类曲面积分：(1) 2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分, 并取上侧；(2) 22d d xy z x y ∑⎰⎰, 其中∑为球面2222=++R z y x 的下半部分, 并取外侧；(3)2e d d e d d d d yxy z y z x xy x y ∑++⎰⎰, 其中∑为抛物面22z x y =+ (01x ≤≤,1≤≤0y ), 并取上侧；(4)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2221xy z ++=位于第二卦限部分,并取外侧； (5)d d d d d d xy y z yz z x zx x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(6) 2222d d d d x y z z x y x y z ∑+++⎰⎰, 其中∑为圆柱面222x y R +=与平面z R =和z R =- (0)R >所围立体的表面, 并取外侧；(7)d d (1)d d y z x z x y ∑-++⎰⎰, 其中∑为圆柱面4=+22y x被平面2=+z x 和0=z 所截下的部分, 并取外侧； (8)2d d d d d d y y z x z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为螺旋面cos x u v =，sin y u v =，z v =，(01u ≤≤, 0πv ≤≤), 并取上侧.9. 计算下列流场在单位时间内通过曲面∑流向指定侧的流量：(1) ),(),,(222z y x z y x =v , ∑为球面1=++222z y x 第一卦限部分, 流向上侧； (2) ),,(),,(22y xy x z y x =v , ∑为曲面22+=y x z 和平面1=z 所围立体的表面, 流向外侧.。

曲线积分与曲面积分17398

曲线积分与曲面积分曲线积分1 计算曲线积分⎰+Lds y x )(, 其中L 是x x y --=|1|,20≤≤x .解曲线参数化.曲线L 是一条折线. 要分段计算. 以x 为参数.⎰+Lds y x )(=)15(21)1(5)21(2110+=-+-+⎰⎰dx x dx x x 2计算曲线积分⎰++Γds z y x)(222, 其中Γ是曲面与的交线.解代入化简被积函数.曲面和的交线是一个圆. 坐标原点到平面的距离等于, 于是这个圆的半径等于, 周长等于π4. 又因为曲线Γ是曲面和的交线, 所以Γ上所有点满足球面方程. 代入, 得⎰++Γds z y x )(222=⎰Γds 29= 3 计算曲线积分, 其中L 是双纽线θ2cos 2a r =.解曲线参数化. 奇偶对称性.选极角为参数. 利用奇偶对称性. 计算在第一象限的部分, 则θ2cos )(22ar r ='+, 代入公式, 得=θθθθπd aa ⎰402cos sin 2cos 4=a )224(-4 计算曲线积分⎰Γds x 2, 其中Γ是曲面与的交线. 解轮换对称性. 代入化简被积函数.因为曲线Γ关于平面x y =及x z =都对称, 所以⎰Γds x 2⎰++=Γds z y x )(3122232323a ds a πΓ==⎰ 结论：设分段光滑曲线)(x y y =关于y 轴对称, 将它从左到右定向记作L . 是它的位于右半平面的部分. 又设函数在L 上连续, 且满足, , 则⎰Ldx y x P ),(=⎰1),(2L dx y x P ,⎰=Ldy y x Q 0),(.5. 计算曲线积分⎰+--+Lyx dy y x dx y x 22)()(, 其中L 是圆周222a y x =+的正向. 解曲线参数化.将t a x cos =,t a y sin =代入, 得⎰+--+L yx dy y x dx y x 22)()(ππ220-=-=⎰dt 6. 计算曲线积分, 其中L 是由曲线和围成的区域的边界的正向.解曲线参数化. 奇偶对称性.不考虑方向, 曲线L 关于y 轴对称, 被积函数关于变量y 是偶函数, 用奇偶对称性, 有. 被积函数关于变量x 是偶函数, 曲线和在右半平面的部分分别记作和, 则=+两段曲线具有不同的表达式, 需分别计算. 计算在+1L 上的积分时, 以x 为参数; 计算在上的积分时, 以极角为参数. 代入公式, 得=+⎰+-20sin 2cos 2sin 22πθθθθd =2)234ln(32π-+格林公式1. 计算曲线积分, 其中L 是由曲线, , 围成区域D 的正向边界.解用格林公式计算. 根据格林公式, 有=⎰⎰Dxd σ2用二重积分的换元法. 令, 则区域D 变成平面上的矩形. 雅可比行列式, 代入公式, 得==2. 计算曲线积分, 其中L 是曲线上从点)0,(π到点)0,2(π的弧.解添加一段弧成闭路, 用格林公式计算.添加x 轴上从点)0,2(π到点)0,(π的直线段, 记它们共同围成的区域为D , 用格林公式, 得=σd y x y y x y y D ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++22222⎰-ππ2xdx =22394π+ 3. 计算曲线积分⎰+++-L x yx dy y x dx y e 2233)sin ()(, 其中222:R y x L =+的正向. 解化简被积函数, 用格林公式计算.因为被积函数在原点没有定义, 不能直接用格林公式. 将曲线方程代入被积函数的分母, 得⎰⎰++-=+++-LxLx dy y x dx y eRy x dy y x dx y e )sin ()(1)sin ()(3322233这时可以使用格林公式了. 记222:R y x D =+, 则⎰⎰⎰+=++-D Ld y x Rdy y x dx y e R σ)33(1)sin ()(12223322223R π= 4. 设函数有连续的偏导数, 求证: ⎰≥-L dx x f ydy y xf π2)()(, 其中L 是圆周的正向. 证用格林公式证明不等式. 用格林公式, 有=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+D d x f y f σ)(1)(. 因为区域D 关于直线对称, 用轮换对称性, 有⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+D d x f y f σ)(1)(=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+D d x f x f σ)(1)(πσ22=≥⎰⎰D d5. 求极限⎰++++→Lt dy ny mx dx by ax t )()(1lim20, 其中L 是圆周222t y x =+的正向.解用格林公式求极限.设L 围成的区域为D , 根据格林公式, 有⎰++++→Lt dy ny mx dx by ax t )()(1lim 20⎰⎰-=+→Dt d b m t σ)(1lim2)()(1lim220b m t b m tt -=-=+→ππ6. 设函数有连续导数, 则曲线积分与路径无关.证用曲线积分与路径无关的条件.计算可得, , 满足曲线积分与路径无关的条件. 7. 求函数)(x p , 使得曲线积分⎰+++Ly ydy x xe dx y xp e)()]([2与路径无关.解用曲线积分与路径无关的条件.根据曲线积分与路径无关的条件, 有)(2y p x e x e y y '+=+, 即2)(='y p . 积分, 得C y y p +=2)(. 8. 计算曲线积分⎰+-+-L y c x ydydx c x 2/322])[()(, 其中L 是曲线上从点到点的弧.解曲线积分与路径无关. 选择比较简单的路径. 计算可得xQ y c x c x y y P ∂∂∂∂=+---=2/522])[()(3, 满足曲线积分与路径无关的条件. 因此, 选择容易计算的积分路径: 先从点沿直线到点),(b a , 再从点),(b a 沿直线到点.⎰+-+-L y c x ydy dx c x 2/322])[()(=⎰+-b y c a ydy 02/322])[(+⎰+--02/322])[()(a b c x dxc x=9. 计算曲线积分, 其中函数有连续导数,点.解用条件判定曲线积分与路径无关. 选择比较简单的路径.计算可得x Qyxy f xy xy f y P ∂∂∂∂=-'+=21)()(, 满足曲线积分与路径无关的条件. 因此, 选择容易计算的积分路径: 沿曲线2=xy 从点)32,3(A 到点)2,1(B .⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+AB dy y x xy xf dx xy yf y 2)()(1 dx x f x f xx ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=132)2(2)2(22413-==⎰dx x10. 计算曲线积分, 其中L 是包含坐标原点在其内部的正向闭曲线.证用复连通区域的格林公式. 选择比较简单的闭路.积分式在坐标原点无意义, 取0>ε足够小, 使得圆周222:ε=+y x C 在L 的内部. 因为被积函数满足微分方程xQy P ∂∂=∂∂, 所以在L 与C 之间的区域上的二重积分等于零. 于是在用多连通区域的格林公式时, 相当于换成另一条闭路,==πθεθεθεπ2sin cos 2022222=+⎰d 11. 验证是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数.解用全微分的条件. 计算可得xQy e y P x ∂∂∂∂=-=sin , 满足全微分的条件. 选坐标原点为始点, 则⎰⎰-=yx xxydy e dx e y x u 0sin ),(1cos cos 1-=-+-=y e e y e e x x x x验算: 0)0,0(=u .曲面积分结论1.设光滑曲面∑关于xoy 平面对称, 1∑是∑在上半空间的部分. 函数),,(z y x f 在曲面∑上连续, 且满足),,(z y x f -=),,(z y x f , 则⎰⎰⎰⎰=1),,(2),,(∑∑dS z y x f dS z y x f .2.设函数),,(z y x f 在光滑曲面∑上连续,∑的面积记作A , 则存在点∑ζηξ∈),,(M , 使得⎰⎰∑dS z y x f ),,(=A f ),,(ζηξ.1. 计算曲面积分⎰⎰+∑dS y x )(22, 其中∑是锥面z x y z =+≤221,.解向坐标平面投影.向xoy 平面的投影区域为D x y :221+≤. 1222++=z z x y . 用计算公式, 得⎰⎰+∑dS y x )(22=()x y dxdy D222+⎰⎰=222012πθπ=⎰⎰rdr r d2. 计算曲面积分()x y z dS ++⎰⎰∑, 其中∑是z x y z =+≤221,.解奇偶对称性.曲面关于xoz 平面和yoz 平面对称, 因此0)(=+⎰⎰∑dS y x .⎰⎰⎰⎰+++=Ddxdy y x y xzdS 2222441)(∑⎰⎰+=πθ2012341dr r r d)1525(60+=π3. 计算曲面积分⎰⎰++∑dS z y x)32(222, 其中∑是球面2222R z y x =++解轮换对称性.因为球面2222R z y x =++关于平面x z =和y z =都对称, 所以⎰⎰∑dS x2=⎰⎰∑dS y 2=⎰⎰∑dS z 2于是,⎰⎰++∑dS z y x )32(222=⎰⎰++∑dS z y x )(2222=28R π结论设光滑有向曲面∑关于yoz 平面对称, 函数),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 在∑上连续, 且),,(),,(z y x P z y x P =-, ),,(),,(z y x Q z y x Q -=-,),,(),,(z y x R z y x R -=-, 则⎰⎰=∑dydz z y x P ),,(⎰⎰=∑dzdx z y x Q ),,(⎰⎰=∑0),,(dxdy z y x R . 4. 计算曲面积分⎰⎰+∑zdxdy dydz x 2, 其中∑是锥面z x yz =+≤221,的下侧.解向坐标平面投影. 奇偶对称性.曲面∑关于yoz 平面对称, 被积函数2x 关于x 是偶函数, 于是⎰⎰=∑02dydz x.⎰⎰⎰⎰+-=∑D dxdy y x zdxdy 22πθπ3220102-=-=⎰⎰dr r d5. 计算曲面积分⎰⎰-+-+-∑dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(, 其中∑是圆锥面22y x z +=, h z ≤的下侧.解轮换对称性.曲面∑关于平面x y =对称, 用轮换对称性, 得⎰⎰-+-+-∑dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(=⎰⎰-+-+-∑dxdy x y dzdy y z dxdz z x )()()(于是⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(=06.计算曲面积分)()1(⎰⎰+++∑dxdy dzdx dydz yz x , 其中∑是柱面y x =2, y ≤1,10≤≤z 的右侧.解向坐标平面的投影是曲线弧.因为曲面∑在xoy 平面的投影是一条曲线, 所以0)1(=+⎰⎰∑yzdxdy x .曲面∑关于yoz 平面对称, 函数yz 关于x 的是偶函数, 所以0=⎰⎰∑yzdydz ; 函数xyz 关于x 的是奇函数, 所以0=⎰⎰∑xyzdzdx .记1∑是∑在第一卦限的部分, D 1是1∑在yoz 平面上的投影, 2D 是1∑在zox 平面上的投影, 用计算公式, 得)()1(⎰⎰+++∑dxdy dzdx dydz yz x=⎰⎰⎰⎰+1122∑∑yzdzdx xyzdydz ⎰⎰⎰⎰+=2122/322D D zd x zd yσσ=⎰⎰1012/32zdy ydz+⎰⎰10122zdx x dz =1511。

第七章曲线与曲面积分导学答案13-16(第一、二类曲面积分联系及高斯公式)

第七章曲线与曲面积分7.2.6 第二类曲面积分及一、二类曲面积分的联系（计算）7.2.7 Gauss 公式（导学解答）一、相关知识1．高斯公式的两种表示方法答：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成, 函数P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x ,y , z )在Ω上具有一阶连续偏导数, 则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z Ry Q x P )(, 或 dS R Q P dv z R y Q xP )cos cos cos ()(⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂γβα二、对坐标的曲面积分及应用高斯公式时的有关问题1．坐标曲面积分的实质是什么?答：其实质是将曲面积分中的曲面，进行有向投影，进而转化为平面上的二重积分. 2．坐标曲面积分过程中对称性的应用?(1)设分片光滑的曲面∑关于xoy 坐标面对称，且∑在xoy 上半空间的部分曲面1∑取定上侧，在xoy 下半空间的部分曲面2∑取定下侧，则()()()()10,,,,,d d 2,,d d ,,,R x y z z R x y z x y R x y z x y R x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于是偶函数,关于是奇函数. 类似的有分片光滑的曲面∑分别关于,xoz yoz 平面对称的结论. （2）若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1(,,)(,,)(,,)3p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑++⎰⎰ 3.高斯公式的实质是什么？答：高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 4.高斯公式添加辅助面的技巧？答：辅助面一般取为坐标面或平行于坐标面的平面，并且应给出所选定的侧. 5. 两类曲面积分的联系其联系表达式为：(,,)(,,)cos R x y z dxdy R x y z dS γ∑∑=⎰⎰⎰⎰，(,,)(,,)cos P x y z dydz P x y z dS α∑∑=⎰⎰⎰⎰(,,)(,,)cos P x y z dydz P x y z dS β∑∑=⎰⎰⎰⎰其中 221cos yx xz z z ++-=α, 221cos yx yz z z ++-=β, 2211cos yx z z ++=γ,若有向曲面∑指定一侧的法向方向余弦为cos α、cos β、cos γ，则两类曲面积分的关系为：(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰三、练习题1.计算sxdydz ydxdy zdxdy ++⎰⎰，其中S 是球面2222xy z R ++=的外侧解： ∵球面2222x y z R ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴sssxdydz ydxdz zdxdy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰先计算sxdydz ⎰⎰为此应分别考虑前半球面（记为1S）及后半球面（记为2S ）上的曲面部分1S的方程为x =它在oyz 平面上的投影域y D 为圆域222y z R +≤，因此，若用1w S 表示前半球面的外侧则有：1S wDyxdydz σ=⎰⎰=230023R d r R πθπ=⎰⎰对于在后半球面2S 上的曲面积分，由于2S的方程为：x =外侧，故关于后半球面外侧（记为2w S ）的曲面积分为：2S wxdydz =⎰⎰Dyσ=323R π因此Sxdydz =⎰⎰31243S w S wxdyxz xdydz R π+=⎰⎰⎰⎰ 3SSxdydz ydxdz zdxdy xdyxz ++=⎰⎰⎰⎰334343R R ππ=⋅=2.计算y x r z x z r y z y rx I d d d d d d 333++=⎰⎰∑，其中222z y x r ++=，∑为球面2222R z y x =++的外侧.解: 因为∑关于z y x ,,具有轮换对称性，所以y x rzI d d 33⎰⎰∑=,又因为∑关于xoy 面上下对称，上∑与下∑方向相反，且3r z 是z 的奇函数，则y x rzy x r z d d 2d d 33⎰⎰⎰⎰∑∑=上，故有 πθπ4d d 6d d 6d d 602220322233222=-=--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑a R y x r r r R R y x y x R R y x r z I 上3.利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰∑-++=dxdy zdzdx y dydz x I )1(322233, 其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧。

高等数学课后答案第七章习题详细解答

习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠；（2）{}22(,)14x y x y <+≤；（3）{}2(,)x y y x >；（4）{}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且.解（1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0x y x =或0}y =. （2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+= .（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}x y y x =. （4）集合是闭集，有界集；边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=2.已知函数(,)v f u v u =，试求(,)f xy x y +. 解 ()()(,)x y f xy x y xy ++=.3.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f tx ty t f x y =.解)222(,)222f tx ty t xy t t xy t xy ===2(,)t f x y =.4.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解由于y f x ⎛⎫==⎪⎝⎭，则()f x =5.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y+=-；（2）ln()arcsin y z y x x =-+；（3）ln()z xy =；（4）z =；（5）z =（6）u =.解（1）定义域为{}(,)x y y x ≠±；（2）定义域为{}(,)x y x y x <≤-；（3）定义域为{}(,)0x y xy >，即第一、三象限（不含坐标轴）；（4）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭；（5）定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥；（6）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠.6.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++；（2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy →+；（4）(,)(2,0)sin()lim x y xy y→；（5）1(,)(0,1)lim (1)xx y xy →+；（6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）22(,)(2,0)4lim (2,0)22x y x xy y f x y →++===+；（2）(,)(0,0)00112lim lim 2x y u u u u →→→===；（3）因为22(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，且1s i n1xy≤有界，故22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y xy →+=；（4）(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim 212x y x y xy xy x y xy →→==⋅=；（5）111(,)(0,1)(,)(0,1)lim (1)lim (1)y xyxx y x y xy xy e e ⋅→→+=+==；（6）当0x N >>，0y N >>时，有222()()0x y x yx y x y e e ++++<<，而()22(,)(,)22limlim lim lim 0x yu u u x y u u u x y u u e e e e+→+∞+∞→+∞→+∞→+∞+==== 按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.x y x y x y e --→+∞+∞+=7.证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)limx y x yx y →+-；（2）设2224222,0,(,)0,0,x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)(0,0)lim (,)x y f x y →.证明（1）当(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim 1x y x y kxx y x kx kx y x kx k →→=+++==--- 与k 有关，上述极限不存在.（2）当(,)x y 沿直线y x =和曲线2y x =趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00lim lim lim 01x y x x y x y xx y x x x x y x x x →→→=====+++， 2222442444(,)(0,0)001lim lim lim 22x y x x y xy xx y x x x x y x x x →→→=====++，故函数(,)f x y 在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+；（2）212z y x=-. 解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点；（2）函数在抛物线22y x =上无定义，故22y x =上的点均为函数212z y x=-的间断点.9.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证22102ρ=≤=(,)P x y ，其中||OP ρ==，于是，0ε∀>，20δε∃=>；当0ρδ<<时，0ε-<成立，由二重极限定义知(,)lim0x y →=.10.设(,)sin f x y x =，证明(,)f x y 是2R 上的连续函数.证设2000(,)P x y ∈R .0ε∀>，由于sin x 在0x 处连续，故0δ∃>，当0||x x δ-<时，有0|sin sin |x x ε-<.以上述δ作0P 的δ邻域0(,)U P δ，则当0(,)(,)P x y U P δ∈时，显然 00||(,)x x P P ρδ-<<，从而000|(,)(,)||sin sin |f x y f x y x x ε-=-<，即(,)sin f x y x =在点000(,)P x y 连续.由0P 的任意性知，sin x 作为x 、y 的二元函数在2R 上连续.习题7－21.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)limh f x h y f x y h →+-；（2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-；（4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解（1）0000000(,)(,)lim(,)x h f x h y f x y z x y A h→+-==；（2）000000000000(,)(,)(,)(,)limlim (,)y h h f x y f x y h f x y h f x y z x y B h h→→----===-；（3）0000000000(,2)(,)(,2)(,)limlim 222h h f x y h f x y f x y h f x y B h h→→+-+-=⋅=；（4）00000(,)(,)limh f x h y f x h y h→+--[][]0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim 2.h h h h f x h y f x y f x y f x h y hf x h y f x y f x h y f x y h f x h y f x y f x h y f x y h h A A A →→→→+-+--=+----=+---=+-=+= 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）x z xy y=+；（2）ln tan x z y =；（3）e xyz =；（4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+；（6）z = （7）sec()z xy =；（8）(1)y z xy =+；（9）arctan()z u x y =- （10）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解（1）1z y x y ∂=+∂，2z x x y y∂=-∂；（2）12211tan sec cot sec z x x x x x y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 12222tan sec cot sec z x x x x x x y y y y y y y-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）xy xy z e y ye x ∂=⋅=∂，xy xy ze x xe y∂=⋅=∂；（4）()2222222222()2()1z x xy x y y x y x y y y x x y y x xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂， ()2222222222()2()1z y xy x y x xy x y x x y x y x y xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂；（5）232222222222ln()22ln()z x x x x y x x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++， 22222222z x x yy y x y x y∂=⋅=∂++；（6）1z y x xy ∂=⋅=∂1z x y xy ∂=⋅=∂ （7）tan()sec()tan()sec()zxy xy y y xy xy x∂=⋅=∂， tan()sec()tan()sec()zxy xy x x xy xy y∂=⋅=∂；（8）121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂， ln(1)(1)ln(1)1y xy z xy e y xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+⋅++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦；（9）11221()()1()1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-， 11221()()(1)1()1()z z z zu z x y z x y y x y x y --∂-=⋅-⋅-=-∂+-+-， 221()ln()()ln()1()1()z zz zu x y x y x y x y z x y x y ∂--=⋅-⋅-=∂+-+-；（10）111z z ux z x z x y y y y --⎛⎫⎛⎫∂=⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭，12z zux x z x z y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ln z u x x y y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. 3.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f . 解法一由于(,0)ln f x x =，所以1(,0)x f x x=，(1,0)1x f =；由于(1,)ln 12y f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以11(1,)212yf y y =⋅+，1(1,0)2y f =.解法二 21(,)122x y f x y y x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+，11(,)22y f x y y x x x=⋅+， 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+. 4.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解法一由于(,1)(11)arcsinf x x x =+-，(,1)()1x f x x '==. 解法二1(,)1x f x y y =，(,1)1x f x =. 5.设2(,)xt yf x y e dt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)x x f x y e -=，2(,)y f x y e -=-. 6.设yxz xy xe =+，证明z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂. 解由于21y y yx x x z y y y e xe y e x x x ⎛⎫∂⎛⎫=+-⋅=+-⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 1y y x x z x xe x e y x∂=+⋅=+∂，所以1()yy y yx x x xz z y x y x y e y x e xy e x y xy ye x y x ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫+=+-++=+-++ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭yxxy xe xy xy z =++=+.7.（1）22,44x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？（2）1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩在点(1,1处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？解（1）按偏导数的几何意义，(2,4)x z 就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x 轴正向所成倾角的斜率，而21(2,4)12x x z x ===，即tan 1k α==，于是倾角4πα=. （2）按偏导数的几何意义，(1,1)y z就是曲线在点(1,1处的切线对于y 轴正向所成倾角的斜率，而11(1,1)3y z ===，即1tan 3k α==，于是倾角6πα=.8.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂；（2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =+，求22z x ∂∂和2zx y∂∂∂；（4）arctan y z x =求22z x ∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2zy x∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x ∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y∂=+∂∂；（2）ln ln 1ln ln x x z y y y y x x x∂=⋅=∂， 2ln ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )xx x z y y x y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭；（3）1z x ⎛⎫∂==∂==，()232222zxx xy∂-==∂+，()23222z yx y xy∂-==∂∂+；（4）222211z y y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222111z x y x x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xyy x y ∂-=∂+，()()2222222222222z x y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++，()()2222222222222z x y x y x y x x y x y ∂+--==∂∂++. 9.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解因为22x f y xz =+，2xx f z =，2xz f x =， 22y f xy z =+，2yz f z =，22z f yz x =+，2zz f y =，0zzx f =，所以(0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.10.验证：（1）2esin kn ty nx -=满足22y yk t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.证（1）因为22e sin kn t y kn nx t -∂=-∂，2e cos kn t y n nx x -∂=∂，2222e sin kn ty n nx x-∂=-∂ 所以()2222e sin kn ty y k n nx k t x-∂∂=-=∂∂；（2）因为r x x r ∂==∂，2222231r x x x r x x x r r r r r ∂∂-⎛⎫==-⋅= ⎪∂∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性，得22223r r y y r ∂-=∂，22223r r z z r ∂-=∂，所以 2222222222223332r r r r x r y r z x y z r r r r∂∂∂---++=++=∂∂∂. 习题7－31.求下列函数的全微分：（1）2222s tu s t+=-；（2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）arcsin(0)xz y y=>；（4）ey x x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=；（5）222ln()u x y z =++；（6）yzu x =.解（1）()()222222222222()2()4u s s t s s t st s s t s t ∂--+==-∂--， ()()222222222222()2()4u t s t t s t s tt s t s t ∂-++==∂--， ()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----；（2）22222222244222222()2()2x y x y x y xyxyxyzx y x y yx y xe x y eex xx y x y +++⎛⎫∂-+-=++=+ ⎪∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性可得224422x y xyzy x e y yxy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 22444422d 2d 2d x y xyx y y x z ex x y y x y xy +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（3）21d d arcsind d x x x z x y y yy y ⎛⎫⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎭)d d y x x y =-；（4）d d d y x y x x y x y y x z e e x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211d d y x x y y x ex y y x x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（5）()2222222221d d ln()d u x y z x y zx y z ⎡⎤=++=++⎣⎦++2222222d 2d 2d 2(d d d )x x y y z z x x y y z z x y z x y z++==++++++；（6）()1d d d ln d ln d yz yz yz yzu x yzx x x z x y x y x z -==++()1d ln d ln d yz x yz x xz x y xy x z -=++.2.求下列函数的全微分：（1）22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分；（2）2arctan 1xz y=+在1x =，1y =处的全微分. 解（1）因为2222222211d d ln(1)d(1)(2d 2d )11z x y x y x x y y x y x y ⎡⎤=++=++=+⎣⎦++++ 所以12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+；（2）因为22221d d arctand 1111x x z y y x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪+⎝⎭()22222222211212d d d d 11111y xy xy x y x y y x y y x y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥++++++⎝⎭+⎣⎦ 所以()1222111121d d d d d 113x y x y xy z x y x y y x y ====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭. 3. 求函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分.解因为()23322322d d 2d 3d 23z x y xy x x y y xy x x y y ==+=∆+∆所以当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时全微分为d 4120.080.120.2z x y =-∆+∆=--=-.4.求函数22xyz x y=-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解因为()()222222222d()d()d d x y xy xy x y xy z x y x y ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()()()()()222332222222(d d )(2d 2d )d d x y y x+x y xy x x y y x y y x+x +xy y xyx y -----==-- 所以当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时全微分的值为()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-，而当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦，全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.习题7－41.设2e x yu -=，sin x t =，3y t =，求d d u t. 解3222sin 22d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t u u x u ye t e t e t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂. 2.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d z x. 解2d d d 123d d d z z u z v x x u x v x ∂∂=+=+∂∂2314x -=3.设22z u v uv =-，cos u x y =，sin v x y =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解()()222cos 2sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-，()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂ 33232(sin 2sin cos cos 2cos sin )x y y y y y y =-+-.4.设2ln z u v =，而32u x y =+，y v x =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解 222ln 3z z u z v u y u v x u x v x v x ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭216(32)ln(32)y x y x y x x=+-+， 22112ln 24(32)ln (32)z z u z v u y u v x y x y y u y v y v x x y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+++∂∂∂∂∂. 5. 设2(,,)ln(sin )z f u x y u y x ==+，ex yu +=，求z x ∂∂，zy∂∂. 解22112cos sin sin x y z z u f u e y x x u x x u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222cos sin x y x y e y xe y x+++=+， 22112sin sin sin x y z z u f u e x y u y y u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222sin sin x y x y e xe y x+++=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，ut∂∂. 解[]22222()2cos()u u x u y u z x y s t zst x y z r x r y r z r∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u zx y r t zrt x y z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u z x y s r zrs x y z t x t y t z t∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦.7.设arctanxz y=，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，z v ∂∂，并验证：22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+.解222221111111z z x z y x y xu x u y uy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222221111111z z x z yx y xv x v y vy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂+=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅-= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222222222()()()z z y x y x u v u vu v x y x y u v u v u v ∂∂-+--+=+==∂∂++++-+. 8.设22(,,)z f x y t x y t ==-+，sin x t =，cos y t =，求d d z t. 解d d d 2cos 2(sin )12sin 21d d d z z x z y f x t y t t t x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+=--+=+∂∂∂. 9.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）：（1）22()z f x y =-；（2）,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭；（3）(,,)u f x xy xyz =；（4）22(,,ln )xy u f x y e x =-. 解（1）222()z xf x y x ∂'=-∂，222()zyf x y y∂'=--∂；（2）111f u f x y y '∂'=⋅=∂，12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭， 2222u y y f f z z z ∂⎛⎫''=⋅-=- ⎪∂⎝⎭；（3）123u f yf yzf x ∂'''=++∂，23uxf xzf y ∂''=+∂，3u xyf z ∂'=∂；（4）12312xy u xf ye f f x x ∂'''=++∂，122xy u yf xe f y∂''=-+∂. 10.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂.证 ()()()z z u u xy x y F u xF u y x xF u x y x y ⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤''+=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ []()()()yx y F u F u y x F u x ⎡⎤''=+-++⎢⎥⎣⎦()xy xF u xy z xy =++=+. 11.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证sin()[cos()]sin()z z y x y x y y x y x yϕϕϕ∂∂''+=--+-+-∂∂ [cos()]z x y yϕ=-=. 12.设,kz y u x F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证： u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂. 证11222k k u z y kx F x F F x x x -∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1221k k ux F x F y x -∂''=⋅=∂， 1111k k u x F x F z x-∂''=⋅=∂， 11111111k k k k k u u u xy z kx F x zF x yF x yF x zF ku x y z----∂∂∂''''++=--++=∂∂∂. 13.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证cos z f x x ∂'=∂，cos (cos )zy y f y∂'=+-∂， sec sec sec cos sec cos sec (cos )1z zxy x xf y y y y f x y∂∂''+=++-=∂∂. 14.求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =；（2）22()z f x y =+；（3）22(,)z f x y xy =；（4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=. 解（1）令s xy =，t y =，则(,)z f xy y =，s 和t 是中间变量.11z s f yf x x ∂∂''=⋅=∂∂，1212d d z s tf f xf f y y y∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂. 因为(,)f s t 是s 和t 的函数，所以1f '和2f '也是s 和t 的函数，从而1f '和2f '是以s 和t 为中间变量的x 和y 的函数.故()22111112z z s yf yf y f x x x x x∂∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()211111211112d d z z s t yf f y f f f xyf yf x y y x y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫'''''''''''===+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，()212111221222d d d d z z s t s t xf f x f f f f y y y y yy y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''''''''==+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 21112222x f xf f ''''''=++. （2）令22s x y =+，则22()z f x y =+是以s 为中间变量的x 和y 的函数.2z s f xf x x ∂∂''=⋅=∂∂，2z sf yf y y∂∂''=⋅=∂∂. 因为()f s 是s 的函数，所以f '也是s 的函数，从而f '是以s 中间变量的x 和y 的函数.故()()222222224z z xf f xf x f x f x x x x∂∂∂∂⎛⎫'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()()22224z z xf xf y xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()()222222224z z yf f yf y f y f y y y y⎛⎫∂∂∂∂'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. （3）令2s xy =2t x y =，则212122z s t f f y f xyf x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂，212122z s tf f xyf x f y y y∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂. ()221222z z y f xyf x x x x∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭211122212222s t s t y f f yf xy f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2221112221222222y y f xyf yf xy y f xyf '''''''''=++++ 43222111222244yf y f xy f x y f '''''''=+++， ()22122z z y f xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 21111222122222s t s t yf y f f xf xy f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()222111122212222222yf y xyf x f xf xy xyf x f ''''''''''=+++++ 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++， ()221222z z xyf x f y y y y⎛⎫∂∂∂∂''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 211112212222s t s t xf xy f f x f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2221111221222222xf xy xyf x f x xyf x f '''''''''=++++ 22341111222244xf x y f x yf x f '''''''=+++. （4）令sin u x =，cos v y =，x yw e +=，则1313d cos d x y z u w f f xf e f x x x +∂∂''''=+=+∂∂，2323d sin d x y z v w f f yf e f y y y+∂∂''''=+=-+∂∂. ()2132cos x y z z xf e f x x x x+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1111333133d d sin cos d d x y x y u w u w xf x f f e f e f f x x xx ++∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()1111333133sin cos cos cos x yx y x y x y xf x xf e f e f e xf e f ++++''''''''''=-+++++ ()2231111333sin cos 2cos x y x yx y ef xf xf e xf e f +++''''''''=-+++， ()213cos x y z z xf e f x y y x y+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭121333233d d cos d d x y x y v w v w x f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂'''''''''=++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()121333233cos sin sin x yx y x y x y x yf e f e f e yf e f ++++'''''''''=-+++-+ ()2312133233cos sin cos sin x y x yx y x y ef x yf e xf e yf e f ++++'''''''''=-+-+， ()2232sin x y z z yf e f y y y y+⎛⎫∂∂∂∂''==-+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2222333233d d cos sin d d x y x y v w v w yf y f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''=--++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2222333233cos sin sin sin x yx y x y x y yf y yf e f e f e yf e f ++++''''''''''=---+++-+ ()2232222333cos sin 2sin x y x yx y e f yf yf e yf e f +++''''''''=-+-+.习题7－51.设2cos e 0x y x y +-=，求d d yx. 解设2(,)cos e x F x y y x y =+-，则22d e 2e 2d sin sin x x x y F y xy xyx F y x y x --=-=-=--+. 2.设ln ln 1xy y x ++=，求1d d x yx =. 解设(,)ln ln 1F x y xy y x =++-，则221d 1d x y y F y xy y x x F x y x x y++=-=-=-++. 当1x =时，由ln ln 1xy y x ++=知1y =，所以1d 1d x yx ==-. 3.设arctany x =，求d d y x. 解设(,)ln arctan y F x y x=，则2222222222211d11d1xyyx x yyFy x yx y x yxy xx F x yx x y x yyx⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=-=-=-=--⋅-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.设222cos cos cos1x y z++=，求zx∂∂，zy∂∂.解设222(,,)cos cos cos1F x y z x y z=++-，则2cos sin sin22cos sin sin2xzFz x x xx F z z z∂-=-=-=-∂-，2cos sin sin22cos sin sin2yzFz y y yy F z z z∂-=-=-=-∂-.5.设方程(,)0F x y z xy yz zx++++=确定了函数(,)z z x y=，其中F存在偏导函数，求zx∂∂，zy∂∂.解1212()()xzF F y z Fzx F F y x F''++∂=-=-∂''++，1212()()yzF F x z Fzy F F y x F''++∂=-=-∂''++.6.设由方程(,,)0F x y z=分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z=，(,)y y x z=，(,)z z x y=，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证因为yxFxy F∂=-∂，zyFyz F∂=-∂，xzFzx F∂=-∂，所以1y xzx y zF FFx y zy z x F F F⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-⎪⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设(,)u vϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bzϕ--=所确定的函数(,)z f x y=满足z za b cx y∂∂+=∂∂.证令u cx az=-，v cy bz=-，则x u u u c x ϕϕϕ∂=⋅=∂，y v v vc yϕϕϕ∂=⋅=∂，z u v u v u v a b z z ϕϕϕϕϕ∂∂=⋅+⋅=--∂∂. x u z u v c z x a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+，y v z u vc zy a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+. 于是 u v u v u vc c z zab a bc x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=⋅+⋅=∂∂++. 8.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解设(,,)zF x y z e xyz =-，则x F yz =-，z z F e xy =-. 于是x zz F z yzx F e xy ∂=-=∂-， ()222()z z zz z ye xy yz e y z z x x x x x e xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪∂∂∂⎝⎭-()22z z zyzy z yz e y e xy e xy ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭=-()2322322z zzy ze xy z y z e exy --=-.9.设(,)z z x y =是由方程2e 0zxz y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解设2(,,)e z F x y z xz y =--，则x F z =-，e z z F x =-，2y F y =-. 于是x z z F z z x F e x ∂=-=∂-，2y zz F z yy F e x∂=-=∂-， ()()22z z zz z e x z e z z y yx y y x ex ∂∂--⋅⋅∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭-()()222z zz zz y y e x ze e x e x e x ----=-()()322z zzy e x yze ex --=-.由20ze xz y --=，知(0,1)0z =，得2(0,1)2zx y∂=∂∂.10.求由方程xyz +=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解设(,,)F x y z xyz =x z F zx F xy ∂=-==∂+，y z F zy F xy ∂=-==∂+，d d d z zz x y x y x y ∂∂=+=∂∂，(1,0,1)d d z x y -=.11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x；（2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy ∂∂；（3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy∂∂. 解（1）分别在两个方程两端对x 求导，得d d 22,d d d d 2460.d d zy x y x xy z x y z x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩称项，得d d 22,d d d d 23.d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 在 2162023y D yz y y z-==+≠的条件下，解方程组得213d 6(61)d 622(31)x x z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 222d 2d 6231y xy x z xy xx D yz y z --===++. （2）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，将所给方程的两边对x 求导并移项，得,.uv x y u x xu v y x v xx ∂∂⎧-=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩ 在220x yJ x y y x-==+≠的条件下，22u y v x u xu yvx y x x y y x ---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xvx y x x yy x--∂-==-∂+. 将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在220J x y =+≠的条件下可得22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yv y x y ∂+=-∂+. （3）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =是已知函数的反函数，令(,,,)sin u F x y u v x e u v =--，(,,,)cos u G x y u v y e u v =-+.则 1x F =，0y F =，sin u u F e v =--，cos v F u v =-， 0x G =，1y G =，cos u u G e v =-+，sin v G u v =-.在sin cos (,)(sin cos )0(,)cos sin u u u e v u v F G J ue v v u u v e v u v---∂===-+≠∂-+-的条件下，解方程组得1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+， sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu u e v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+.习题7－61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1）2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处；（2）1t x t =+，1t y t+=，2z t =在1t =的对应点处；（3）sin x t t =-，1cos y t =-，4sin2t z =在点2π⎛- ⎝处；（4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解（1）因为2t x t '=，1t y '=-，23t z t '=，而点(1,0,1)所对应的参数1t =，所以(2,1,3)=-T .于是，切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.（2）因为2211(1)(1)t t t x t t +-'==++，22(1)1t t t y t t -+'==-，2t z t '=，1t =对应着点1,2,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以 1,1,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .于是，切线方程为 1212148x y z ---==-. 法平面方程为 281610x y z -+-=.（3）因为1cos t x t '=-，sin t y t '=，2cos 2t t z '=，点1,12π⎛- ⎝对应在的参数为2t π=，所以(=T .于是，切线方程为112x y π-+=-=. 法平面方程为402x y π++--=. （4）将2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩的两边对x 求导并移项，得 d 22,d d d 220,d d yy x xy z y z xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此得 2002d 420d 422x z y xz x y x yz y y z --===-，2220d 420d 422y x y z xy xy x yz z y z-===.(1,1,3)d 1d y x =-，(1,1,3)d 1d 3z x =.从而 1,1,3=- ⎪⎝⎭T . 故所求切线方程为113331x y z ---==-. 法平面方程为 3330x y z -+-=.2.在曲线x t =，2y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面24x y z ++=.解因为1t x '=，2t y t '=，23t z t '=，设所求点对应的参数为0t ，于是曲线在该点处的切向量可取为200(1,2,3)t t =T .已知平面的法向量为(1,2,1)=n ，由切线与平面平行，得0⋅=T n ，即2001430t t ++=，解得01t =-和13-.于是所求点为(1,1,1)--或111,,3927⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程：（1）222327x y z +-=在点(3,1,1)处；（2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处；（3）arctany z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处. 解（1）222(,,)327F x y z x y z =+--，(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==-n ，(3,1,1)(18,2,2)=-n .所以在点(3,1,1)处的切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=. 法线方程为311911x y z ---==-. （2）22(,,)ln(12)F x y z x y z =++-，222224(,,),,11212x y z x yF F F x y x y ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n ，(1,1,ln 4),1,12=- ⎪⎝⎭n .所以在点(1,1,ln 4)处的切平面方程为2234ln 20x y z +--+=.法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）(,,)arctanyF x y z z x=-， 2222(,,),,1x y z y xF F F x y x y ⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭n ， 1,1,411,,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n . 所以在点1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程为 202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程.解设222(,,)2321F x y z x y z =++-，则曲面在点(,,)x y z 处的一个法向量(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z ==.已知平面的法向量为(1,4,6)，由已知平面与所求切平面平行，得246146x y z ==，即12x z =，y z =. 代入曲面方程得 22223214z z z ++=. 解得 1z =±，则12x =±，1y =±. 所以切点为 1,1,12⎛⎫±±± ⎪⎝⎭. 所求切平面方程为 21462x y z ++=±5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）.证曲面(,)0F x az y bz --=的法向量为1212(,,)F F aF bF ''''=--n ，而直线的方向向量(,,1)a b =s ，由0⋅=n s 知⊥n s ，即曲面0F =上任意点的切平面与已知直线x yz a b==平行. 6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解令222(,,)316F x y z x y z =++-，曲面的法向量为(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==n ，曲面在点(1,2,3)--处的法向量为1(1,2,3)(6,4,6)--==--n n ，xOy 面的法向量2(0,0,1)=n ，记1n 与2n 的夹角为θ，则所求的余弦值为1212cos θ⋅===n n n n . 7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证设3(,,)F x y z xyz a =-，曲面上任一点(,,)x y z 的法向量为(,,)n yz xz xy =，该点的切平面方程为()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，即 33yzX xzY xyZ a ++=.这样，切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题7－71.求函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2的方向的方向导数.。

曲面积分曲线积分总结(推荐3篇)

曲面积分曲线积分总结第1篇对坐标积分，第二型积分是有方向的，对应的物理意义是力沿曲线做功两种方法1.根据对称性、代入性 2.采用化为参数方程例题一、曲线L为 \begin {cases} x^2+y^2+z^2=R^2 \\ x+y+z=0 \end{cases} ，计算\int_{L}xyds (代入性、对称性)例题二、L为 \begin {cases} 2x^2+y^2=2\\ z=x \end {cases} ,计算 \oint_{L}(x^2+y^2)ds (转空间曲线为参数方程形式)\oint_{L}\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2} ,其中L为 x^2+y^2=a^2 的正向直接使用xxx就是“经典错误，标准错误”当 \frac{\partial P}{dy}=\frac{\partial Q}{dx}证明与路径无关，则可以重新选择简单路径，注意选择新的路径时，一定不能含有奇点。

计算 \int_{L} \frac{x-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x+y}{x^2+y^2}dy ,L是从A（-a，0）到B（a，0）的椭圆 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(y\geq0,a>0,b>0)的一段。

①当区域里面还有奇点，就采用挖洞法②挖洞有讲究，不能乱挖，最好挖得和分母式子是一样的，比如分母是4x^2+y^2 ,那就挖一个椭圆 4x^2+y^2=\xi^2③挖洞的方向要和所求区域是一致的同学问的题，发现这方面的题还没做到，就写一下例题：计算曲面积分 \oint_{c}(x^2+y^2)^2ds ,其中曲线c为 \begin{cases} x^2+y^2+z^2=1 \\ x=y \end{cases}解释：1投是把积分曲面投影到相应的平面，2代是把需要变的值代换，3微变是变换积分例题、求 \iint_{\Sigma}x\sqrt{y^2+z^2}dS , \Sigma 为 x=\sqrt{y^2+z^2}与x=1围成立体的边界曲面思路：这题不是常规的直接投影到xoy平面，但我们可以通过改变坐标轴来改变积分解释：1投求那个面上的积分就往那个面上投影，2代把不在平面的值代换，3定号看与z轴的夹角，若为锐角则正号，若为钝角，则是负值。

曲线积分与曲面积分习题及答案

第十章曲线积分与曲面积分(A)1．计算()⎰+Ldx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。

2．计算⎰+Lds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。

3．计算()⎰+Lds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=，()π20≤≤t 。

4．计算⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界。

5．计算⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+L ds y x 3434，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。

6．计算⎰+Lds yx z 222，其中L 为螺线t a x c o s =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。

7．计算⎰Lxydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。

8．计算⎰-+Lydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线段AB 。

9．计算()⎰-+++Ldz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直线。

10．计算()()⎰---Ldy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)：11．计算()()⎰-++Ldy x y dx y x ，其中L 是：1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧；2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。

12．把对坐标的曲线积分()()⎰+Ldy y x Q dx y x P ,,化成对弧和的曲经积分，其中L 为：1）在xoy 平面内沿直线从点()0,0到()4,3； 2）沿抛物线2x y =从点()0,0到点()2,4； 3）沿上半圆周x y x 22=+2从点()0,0到点()1,1。

(完整版)(整理)第一类曲面积分

第四节对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分．一对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件∑的物体，在点(,,)x y z 处的密度为()z y x f ,,，求此物体的质量．求解的方法是, 将曲面∑分为若干个小块i ∆∑(1,2,i n =)，其面积分别记为i S ∆(1,2,i n =)，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若密度函数()z y x f ,,是连续变化的则可以用点()i i i M ςηξ,,处的密度近似小块i S ∆上的密度．于是小块i ∆∑的质量为()i i i f ςηξ,,i S ∆，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i i S f m 1,,ςηξ当n 个小的曲面的直径的最大值0→λ时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量．即()∑=→∆=ni i i i i S f m 1,,lim ςηξλ．总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分．定义13.3 设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数．将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,,i n =)，其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆，在小块曲面i∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若极限()∑=→∆ni i i i i S f 1,,lim ςηξλ存在，则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为()⎰⎰∑ds z y x f ,,．即()⎰⎰∑ds z y x f ,,=()∑=→∆ni iiiiS f 1,,lim ςηξλ．其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面．对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,；2) ()()⎰⎰⎰⎰∑∑=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,；3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f ．二对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数()y x z z ,=确定，曲面在坐标面xoy 上的投影为xy D ，函数()y x z z ,=在xy D 具有连续偏导数（即曲面∑是光滑曲面）．按照对面积的曲面积分的定义有()()iiiini S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1．设对曲面∑的第i 块i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()i σ∆，则i S ∆可以表示为下面的二重积分：()()()⎰⎰∆++=∆idxdy z y x f z y x f S y x i σ,,,,122有二重积分的中值定理有()()i i i i y i i i xi z z S σςηξςηξ∆++=∆,,,,122其中()i i i ςηξ,,是小曲面i S ∆上的任意一点，()i i ηξ,为()i σ∆内任意一点，所以()()i i i ni f dS z y x f ςηξλ,,lim ,,1∑⎰⎰=→∑=()()i i i i y i i i xz z σςηξςηξ∆++,,,,122 注意到()i i i z ηξς,=，从而得到二重积分的计算公式()()()()()⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22．这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面∑的方程是()y x z z ,=，曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 221++=，曲面在坐标面XOY 上的投影是xy D ，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ； 2) 用dxdy z z y x 221++换dS ；3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D ．简单地说就是“一代二换三投影”．例13.16 计算曲面积分dSz ∑⎰⎰，其中曲面∑是由平面()a h h z <<=0截球面 2222a z y x =++的顶部．图13-16 解：曲面∑的方程为222y x a z --=，它在坐标面xoy 上的投影为圆形的闭区域：2222h a y x -≤+．222221yx a a z z y x --=++，所以dS z ∑⎰⎰＝222xyD adxdy a x y --⎰⎰ 利用极坐标计算上面的积分，得到()2222222220022012ln 2ln2xya h D a h dS ardrd ardrd d z a r a r aa a r a hπθθθππ-∑-==--⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.17 计算曲面积分()⎰⎰∑++21y x dS，其中曲面∑是由平面1=++z y x 以及三个坐标面所围成的四面体的表面．图13-17解：如上图，曲面∑由曲面4321,,,∑∑∑∑组成，其中4321,,,∑∑∑∑分别是平面1=++z y x ，0,0,0===z y x 上的部分．()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑212ln 31311021021xy x dydx y x dS；()()2ln 1111021022-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zy dydz y x dS；()()2ln 1111021023-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zx dxdz y x dS；()()212ln 11102124-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑xy x dydx y x dS．所以()()()()2ln 13233212ln 3212ln 2ln 12ln 112-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=++⎰⎰∑y x dS习题13.41. 计算()x y z dS ∑++⎰⎰. 其中∑为上半球面222z a x y =--. 2. 计算||I xyz dS ∑=⎰⎰. 其中∑为曲面22z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分. 3. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰. 其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=.5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算21(1)dS x y ∑++⎰⎰. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界面.参考答案1. 3a π2.3.4.21)15π 5. 4043a πρ6.1)ln 2+. 第五节对坐标的曲面积分一对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明． 1. 曲面的侧在曲面∑上的任意一点P 处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向n ，当点P 在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量n 也随着连续变动，这种连续变动又回到P 时，法线向量n 总是不改变方向，则称曲面∑是双侧的，否则，称曲面是单侧的．如著名的M o bius 带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面()y x z z ,=，如果z 轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧．又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分．我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧．例如对于曲面()y x z z ,=，若取定的法向量n 是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量n 是由内指向外的，则取定的曲面是外侧．选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面． 2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度()()()k z y x R j z y x Q i z y x P v ,,,,,,++=流向有向曲面∑，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量．其中函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,都是曲面∑上的连续函数．如果流体流过平面上的一个面积为A 的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v ，又设n 是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A ，斜高为||v 的斜柱体，其体积即流量为n v A v A V ⋅==θcos这就是通过闭区域A 流向n 所指的一侧的流量．对于一般的曲面∑，我们可以将它划分为若干个小块i ∆∑，在∑是光滑的和v 是连续的前提下，只要i ∆∑的直径很小，我们就可以用i ∆∑上任意一点()i i i ςηξ,,处的流速()()()()k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i ςηξςηξςηξςηξ,,,,,,,,++==近似替代i ∆∑上各点处的流速，以此点处的曲面∑的单位法向量k j i n i i i γβαcos cos cos ++=代替i ∆∑上各点处的单位向量，从而得到通过i ∆∑流向指定侧的流量的近似值为i i i S n v ∆⋅()n i ,...,2,1=，（i S ∆为i ∆∑的面积）于是通过曲面∑指定侧的流量近似地为()()()ii i i i ni ii i i i i i i ini i i S R Q P S n v ∆++=∆⋅≈Φ∑∑==]cos ,,cos ,,cos ,,[11γςηξβςηξαςηξ注意到()yz i i i S S ∆=∆αcos ；()zx i i i S S ∆=∆βcos ；()xy i i i S S ∆=∆λcos ．因此上式可以写为()()()()()()],,,,,,[1xy i i i i ni xz i i i i yz i i i i S R S Q S P ∆+∆+∆=Φ∑=ςηξςηξςηξ当所有小块的直径的最大值0→λ时，上面和的极限就是流量Φ的精确值．在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义． 3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4 设∑是逐片光滑的有向曲面，函数()z y x R ,,在曲面∑上有界，将∑划分为若干个小块i ∆∑，i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆，取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ，若各个小块的直径的最大值0λ→时，极限()()∑=→∆ni xy i i i i S R 1,,lim ςηξλ存在，称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，即()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,＝()()∑=→∆ni xyi iiiS R 1,,lim ςηξλ．类似地，可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dydz z y x P ,,，以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,如下：()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＝()()∑=→∆ni yziiiiS P 10,,lim ςηξλ；()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＝()()∑=→∆ni zxi iiiS Q 1,,lim ςηξλ．在应用中通常是上面三种积分的和，即()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＋()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＋()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，简记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,．如果∑是有向封闭曲面，通常记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,，并规定取曲面的外侧．4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+++++=++1221.,,,,,,Pdxdy Qdxdz Pdydz Pdxdy Qdxdz Pdydz dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有()()()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑-++-=++dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,,,,,,二对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法下面以计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面∑的上侧,且曲面由方程()y x z z ,=给出,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为锐角，曲面∑的面积元素dS 在坐标面xoy 上的投影dxdy 为正值．若xy D 为曲面∑在坐标面xoy 上的投影区域．由对坐标的曲面积分的定义()()()xy i iiini S R dxdy z y x R ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1可以得到()()()⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．如果积分曲面取∑的下侧，那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面∑在坐标面xoy 上的投影dxdy 为负值，从而有()()()⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．类似地，如曲面∑由方程()z y x x ,=给出，则有()()(),,,,,yzD P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑=±⎰⎰⎰⎰；等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号．如曲面∑由方程()z x y y ,=给出，则有()()()⎰⎰⎰⎰±=∑xzD dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,．等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号．对于曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ； b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上，得到xy D ；c) 对曲面∑定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号．简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算．例13.18 计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ，其中∑是半球面1222=++z y x ，0≥z 的上侧．解：球面上点()z y x ,,处的单位法线向量为},,{z y x n =，速度},,{z y x v =，所以()222{,,}{,,}2xdydz ydzdx zdxdy x y z x y z dSx y z dS π∑∑∑++=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.19 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分．解：将曲面∑分为21,∑∑两部分，1∑的方程为2211y x z ---=；2∑的方程为2221y x z --=．2xyD xyzdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰(1xy xyD D xyzdxdy xy dxdy∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以15212sin 21cos sin 212102320222=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dr r r d rdrd r r r dxdy y x xy xyzdxdy xyxyD D πθθθθθ习题13.51. 计算2xz dydz ∑⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰. 其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外侧. 3. 计算2(1)()z x y dxdy ∑++⎰⎰. 其中∑为半球面2221xy z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++穿过在第一卦限中的球面2221x y z ++=外侧的通量.5. 计算22x y zdxdy ∑⎰⎰. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.参考答案 1. 5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 316π 5.72105R π 第六节两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑有方程()y x z z ,=给出，∑在坐标面xoy 上地投影区域为xy D ，函数()y x z z ,=在区域xy D 上具有连续的一阶偏导数，()z y x R ,,是曲面∑上的连续函数。

曲线曲面积分部分难题解答

曲线、曲面积分部分难题解答1．（P201,第1题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）：（ⅰ）⎰lxyds ，l 为抛物线x y 22=上从原点)0,0(O 到点)2,2(A 的弧⋂OA ；（ⅱ）()⎰+l ds y x 22，l 为联结点)0,0(O 、)0,2(A 和)1,0(B 的三角形围线；（ⅲ）⎰+l s d y x 22，l 为圆周()022>=+a ax y x ；（ⅳ）()⎰++l ds z y x 222，l 为螺线()0,sin ,cos >===b bt z t a y t a x 的一段弧()π20≤≤t ；（ⅴ）⎰l zds ，l 为曲线()⎩⎨⎧>===0,2222a ax y z y x 上从点)0,0,0(O 到)2,,(a a a A 的一段弧.解：（ⅰ）[]2,0,,21:2∈⎪⎩⎪⎨⎧==y y y y x l ，.1122dy y dy dy dx ds +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dy y y y xyds l 22201..21+=⎰⎰（令t y tan =）()()t td t sec sec .1sec 21222arctan 0-=⎰|2arctan 035sec 31sec 5121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t t .151355+= （ⅱ）解：()⎰+l ds y x 22⎰⎰⎰++=OA AB OB()()3801.022222222==++=+⎰⎰⎰dx x dx x ds y xOA; .20,,0:≤≤⎩⎨⎧==x x x y OA()()[]()dy y y ds y xAB21222221.22-++-=+⎰⎰().535485512=+-=⎰dy y y .10,,22,:≤≤⎩⎨⎧-==y y x y y AB()().3101.02102222=++=+⎰⎰dy y ds y xBO，.10,,0:≤≤⎩⎨⎧==y y y x BO .3535+=++=⎰⎰⎰OA AB OB I（ⅲ）解法一：.20,sin 2,cos 22:π≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t t a y t a a x l ()().2cos 2sin 22222dt a dt t a t a dt t y t x ds =⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=所以，()dt a t a t a s d y x l2sin 4cos 1420222222⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+πdt t a ⎰=π20222sin 2.24dt t a ⎰=π2022sin 2.22cos 22sin 2202202|a t a t d t a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰ππ解法二：化l 为极坐标表示：().2,2,cos :⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππθθθa r l()().22,s i n .c o s s i n ,c o s c o s :2πθπθθθθθθθ≤≤-⎩⎨⎧====a r y a r x l()()()().sin cos 2222θθθθθad dt a a dt r r ds =-+='+=所以，()()[]θθθθππad a a s d y x l⎰⎰-+=+2222222sin cos cosθθππd a a ⎰-=2222cos .2sin 2cos 2220222|a a d a===⎰ππθθθ（ⅳ） ()()()()()dt b a dt b t a t a dt t z t y t x ds 22222222cos sin +=++-='+'+'=()()()()[]dt b a bt t a t a ds z y x l2220222222.sin cos +++=++⎰⎰π()|203222220222223ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=⎰t b t a b a dt t b a b a[].433222222b a b a ++=ππ2．（P201,第2题）设有某种物质分布在椭圆1:2222=+by a x l 上，其密度().,y y x =μ求它的总质量.解：不妨假设.b a >⎰⎰==14l l yds ds y M ，其中.2,0,sin ,cos ;1⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧==πt t b y t a x l()()()().cos sin cos sin 22222222dt t b t a dt t b t a dt t y t x ds +=+-='+'=dt t b t a t b yds M l 222220cos sin sin 441+==⎰⎰π()()t d t b a a b cos cos 4202222⎰---=π()du u b a a b 222214---=⎰()du u b a a b 222214--=⎰du u ba a ba b ⎰---=202222224π（公式） |102222222222222arcsin .2.4⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---=u b a a u b a a u b a a b a b .arcsin ..222222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=b a b a b a a b 3．（P202,第3题）设曲线l 的长度为L ，而函数f 在包含l 的某个区域内连续.证明：()().max .P f L ds P f lP l∈≤⎰证明：由第一型曲线积分的定义()()i ni i d ls P f ds P f ∆=∑⎰=→.lim 1故()()ini id lsP f ds P f ∆=∑⎰=→.lim 10()i ni i d s P f ∆=∑=→.lim 1()i ni i d s P f ∆≤∑=→.lim 1()i ni lp d s P f ∆≤∑=∈→.m a x lim 1().m a x .P f L lP ∈=4．（P202,第4题）从原点()0,0O 到点()2,1A 沿下列不同路径分别计算第二型曲线积分 .⎰⋂-OAydx xdy（1）.⋂OA 为直线段；（2）.⋂OA 为抛物线22x y =上的弧；（3）.⋂OA 为从点()0,0O 经点()0,1B 到点()2,1A 的折线⋂OBA .解：（1） .1~0:,,2:x xx x y OA ⎩⎨⎧==⋂[].022.1=-=-⎰⎰⋂dx x x ydx xdy OA（2）.1~0:,,2:2x xx x y OA ⎩⎨⎧==⋂[].323224.|10312==-=-⎰⎰⋂x dx x x x ydx xdy OA（3）.220=+=+=+⎰⎰⎰⋂OBBAOAydx xdy.1~0:,.,0:x x x y OB ⎩⎨⎧==();000.10=-=-⎰⎰dx x ydx xdy OB.2~0:,.,1:y y y x BA ⎩⎨⎧==().20.12=-=-⎰⎰dy y ydx xdy BA5．（P202,第5题）计算曲线积分 .⎰+lxdy ydx（1）.l 为从点()0,a 点()0,a -的上半圆周()022>-=a x a y ；（2）. l 为从点()0,a 点()0,a -的直线段()0>a ；（3）. l 为逆时针方向的圆周.222a y x =+解：（1） .~0:,sin ,cos :πt t a y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l⎰⎰+-=+πcos .cos sin .sin ==⎰dt t aπ22cos 02sin 2|02=πt a .（2）.~:,,0:a a x x x y l -⎩⎨⎧==().00.0=+=+⎰⎰-dx x xdy ydx aal（3）.2~0:,sin ,cos :πt ta y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l⎰⎰+-=+π20cos .cos sin .sin==⎰dt t aπ2022cos 02sin 2|202=πt a .6．（P202,第6题）计算沿逆时针方向的圆周()222a y x =+的曲线积分()().22⎰+--+ly x dy y x dx y x解：π2~0:,.sin ,cos :t t a y t a x l ⎩⎨⎧==，所以，()()⎰+--+ly x dyy x dx y x 22()()()()dt a t a t a t a t a t a t a ⎰---+=π202cos .sin cos sin sin cos.22022ππ-=-=⎰dt a a 7．（P202,第7题）计算下列曲线积分，曲线的方向与参数增加方向：（ⅰ）()()d y xy y dx xy x l⎰-+-2222，l 为抛物线()112≤≤-=x x y ；（ⅱ）()()d y y x dx y x l ⎰-++2222，l 为折线()2011≤≤--=x x y ；（ⅲ）()dz x yzdy dx z y l ⎰-+-2222，l 的参数方程为().10,,3,2≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t t z t y t x ；解：（ⅰ）.1~1:,:2-⎩⎨⎧==x xy x x l ()()d y xy y dx xy xl⎰-+-2222()()[]d x x x x x x x x⎰--+-=1124222..2.2 [].151454324|10531142-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰-x x dx x x （ⅱ）设点().0,1A 则()()dy y x dx y xL2222-++⎰()()d y y x d x y xOA2222-++=⎰()()d y y x d x y xAB2222-+++⎰.1~0:,,:x x x x y OA ⎩⎨⎧==()()()()[]321022222222=-++=-++⎰⎰dx x x x x dy y x dx y x OA;.2~1:,,2:x x x x y AB ⎩⎨⎧=-=()()()()()()()[]d xx x x x dy y x dx y xAB⎰⎰---+-+=-++21222222221.22()().3232222|213212=-=-=⎰x dx x 原式.343232=+=（ⅲ）()dz x yzdy dx z y l ⎰-+-2222 ()[]d t t t t t t t t ⎰-+-=102232643.2 (2)[].351527323|10571046=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰t t dt t t8．（P202,第8题）设曲线l 的长度为L ，而函数()P f 在包含l 的某个区域内连续.证明：())....P L P f lP l∈≤⎰证明：设()()(){}.,21P f P f P f = 由第二型曲线积分的定义及柯西不等式()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i iid ly P f xP f r d P f 121..lim .故()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i iid ly P f xP f P f 121..lim .()()[]∑=→∆+∆≤ni i i i i d y P f x P f 1210..lim ()()()()22122210.lim i i ni i i d y x P f P f ∆+∆+≤∑=→)()()221.lim i i ni i d y x P ∆+∆==→)()())⎰∑=→=∆+∆≤li i ni d ds P y x P ..lim 221)P L =m a .9．（P209,第1题）求下列曲面块的面积：（ⅰ）球面2222a z y x =++包含在圆柱面()a b b y x ≤<=+0222内的那部分面积；（ⅱ）圆锥面22y x z +=被圆柱面x y x 222=+截下的那一部分；（ⅲ）圆柱面222a y x =+被圆柱面222a z y =+截下的那一部分.解：（ⅰ）画出示意图222:b y x D xy ≤+. 将曲面方程化为:z ∑=d S d x d d x d y==. dxdy yx a a S S xyD ⎰⎰--==22222上 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰⎰|022022202.2122b br a a ra a r d rd πθπ极().422b a a a --=π（ⅱ）画出示意图x y x D xy 2:22≤+. 由曲面方程22:y x z +=∑，得,2122d x d y d x d y y z x z dS =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.().222π===⎰⎰xy D D S dxdy S xy（ⅲ）利用对称性（仅在第一卦限内计算）18S S =，曲面1∑（1∑为∑在第一卦限的那部分，其面积设为1S ）向yoz 面上的投影区域为222:a z y D yz ≤+. 将曲面1∑方程化为22y a x -=，则,22y a y yx --=∂∂,0=∂∂zx，所以，d y d zya a d y d z z x y x d S 22221-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.dydz y a a S S yzD ⎰⎰-==22188 ⎰⎰--=2202208y a a dz y a a dy .8820a adz a==⎰10．（P209,第2题）求下列曲面积分：（ⅰ）()⎰⎰++Sy x dS21，式中S 为四面体()1,0,0,0≤++≥≥≥z y x z y x 的表面；（ⅱ）()d S y x S⎰⎰+22，式中S 为圆柱体()h z a y x ≤≤≤+0,222的表面；（ⅲ）()dS z y x S⎰⎰++，式中S 为球面()2222a z y x =++的表面.解：（ⅰ）.4321S S S S S +++=其中 ,0:1=z S d x d y dS =1，()()()dy y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++1010222111111dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-101010211111| 212ln -=； ,0:2=x S d y d z dS =2，()()()dz y dy dydz y y x dSyD S yz⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++10102221101112()()dy y y dy y y⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+-=10212111211 ()2ln 11ln 12||1010-=+-+-=y y ； ,0:3=y S d z d x dS =3，()()()dz x dx dzdx x y x dSxD S zx ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++10102221101113()()dx x x dx x x⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+-=10212111211 ()2ln 11ln 12||1010-=+-+-=x x； ,1:4y x z S --= d x d y dS 34=，()()()dz y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++101022211311314dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-101010********| ().212ln 33211ln 321113|1010⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎰x dx x ； ()⎰⎰++S y x dS 21()+++=⎰⎰121S y x dS()+++⎰⎰221S y x dS()⎰⎰++321S y x dS ()⎰⎰++421S y x dS()()().32ln 2213212ln 32ln 12ln 1212ln +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（ⅱ）.321S S S S ++=其中 ,0:1=z S d x d y dS =1，()()r d r r d d x d y y xdS y xaD S xy.42222221⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ 24a π=；,:2h z S = d x d y dS =2，()()r d r r d d x d y y xdS y xaD S xy.420222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ24a π=；,:2223a y x S =+其向yoz 面上的投影区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤.,0:a y a h z D yz . 将曲面3S 方程化为22y a x -±=，则,22y a y yx --=∂∂,0=∂∂zx，所以， d y d z ya a d y d z z x y x d S 22221-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= ()()dydz ya a y y a dS y x yz D S ⎰⎰⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+222222322.23⎰⎰-=-haadz y a dy a22312..2arcsin 4303|h a a y h a aπ==或者()..22..32232233h a ah a dS a dS y xS S ππ===+⎰⎰⎰⎰()⎰⎰++S y x dS21()++=⎰⎰122S dS y x ()++⎰⎰222S y x()d S y xS ⎰⎰+322().22223344h a a h a a a+=++=ππππ（ⅲ）由积分区域的对称性，及被积函数的奇偶性知，显然()dS z y x S⎰⎰+++=⎰⎰dS x SdS y S⎰⎰().0=+++⎰⎰dS z y x S11．（P210,第3题）证明泊松公式()()d uc b a uf dS cz by ax f S⎰⎰⎰-++=++112222π其中S 为球面0,1222222>++=++c b a z y x ，f 为连续函数.证明：取新的空间直角坐标系Ouvw ，其中原点不变，使坐标平面Ouvw 与平面0=++cz by ax 重合，并使Ou 轴垂直于平面0=++cz by ax .则有其实根据坐标系Ouvw 选取方法的描述，我们不难看出Ou 轴上的单位向量就可取作平面0=++cz by ax 的单位法线向量.则222cb a cz by ax u ++++=（注意到，显然222cb a cz by ax u ++++=为点()z y x P ,,到平面0=++cz by ax 的距离）.则 ()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222显然在新坐标系下，球面的形状并未改变（仍记为S ），且它的方程应为 1222=++w v u（因为在新的坐标系下，任何一个球面上的点到原点的距离仍然为1.）得： ()22221u w v -=+当u 固定时，1222=++w v u 表示垂直于Ou 轴平面上的一个圆周. 进一步，我们把S 化为参数方程表示：.20,11,sin 1,cos 1,22πθθθ≤≤≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧-=-==u u w u v u u,1='uu ,cos 12θuu v u --=';sin 12θuu w u--=',0='θu ,sin 12θθu v --='.cos 12θθu w -=' ;112222u w v u E u u u-='+'+'= ;0...=''+''+''=θθθw w v v u u F u u u.12222u w v u G -='+'+'=θθθ因此，曲面的元素dS =dudv =故()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222()d u c b a u f d ⎰⎰-++=πθ2011222().211222⎰-++=du c b a u f π12（P210,第4题）设某种物质均匀分布在球面2222a z y x =++上（认为分布密度1=ρ）.求它对于oz 轴的转动惯量.解：由公式 ()d Sy x J S⎰⎰+=22 由对称性 ()d S y x J S ⎰⎰+=1228其中2221:y x a z S --=，则2z z x y ∂∂==∂∂，所以，d S d x d d x d y==. 因此 ()d x d y yx a a y x S S xyD ⎰⎰--+==222221.88r d r ra r d a a.8022220⎰⎰-=πθ极()r d rra a a ra a .4022222⎰-+-=π r d r r a a a.4022⎰--=πr d r ra a a.140223⎰-+π()22022.2ra d r a a a--=⎰π()220223.12r a d ra a a ---⎰π()|232232.2a r a a -=π|2232.2ar a a --π434aπ-=44a π+ .384a π=13（P217,第1题）沿圆锥面()122≤=+z y xS的下侧，求曲面积分d S.⎰⎰，其中{}.,,z y x =解：⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdy ydzdx xdydz d .化为第一型曲面积分计算.S 的向下的法向量{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++=-''=1,,1,,2222y x y y x x z z yx ，所以{}.c o s ,c o s ,c o s 21,2,222220γβα=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++==y x y y x x n 故⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdy ydzdx xdydz d .()⎰⎰++=SdS z y x γβαcos .cos .cos .⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=S dS z y x y yx x 222222222⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=S dS z y x 2222（根据第一型曲面积分的计算方法） ⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=xy D dxdy y x y x .02222222 14（P217,第2题）沿椭球面1222222=++cz b y a x 的外侧，求曲面积分.⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++S z dxdy y dzdx x dydz解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，222211:b y a x c z S --=（上侧）；222221:by a x c z S ---=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为.1:2222≤+by a x D xy故dxdy b ya x c z dxdyxyD S ⎰⎰⎰⎰--=2222111作变量代换： ⎩⎨⎧==.s i n ,c o s θθbr y ar x由二重积分的换元法dr abrd rc dxdy b y a x c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111.其中 ()()abr br b ar a y r yxrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,10:πθr D 所以=⎰⎰1S zdxdydr abrd rc dxdy b y a x c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111dr r r d c ab ⎰⎰-=πθ2010211dr r r d c ab ⎰⎰-=πθ2010211所以， ().212111|1022102πππc ab r c ab rd rc ab =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---=⎰ 由轮换对称性，知：πa bcx dzdy S 4=⎰⎰； .4πb acy dzdx S=⎰⎰ 故⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++S z dxdy y dzdx x dydz +=⎰⎰S z dxdy+⎰⎰S x dzdy⎰⎰Sy dzdx+=πc ab 4πabc4().44222222a c c b b a abc b ac ++=+ππ15（P217,第3题）沿球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-的外侧，求曲面积分.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx ydydz x解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，()()2221:b y a x R c z S ----+=（上侧）；()()2222:b y a x R c z S -----=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为:xy D ()()222R b y a x ≤-+-故 ()()dxdy b y a x R c dxdy z xyDS ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=222221作变量代换： ⎩⎨⎧+=+=.s i n ,c o s θθr b y r a x由二重积分的换元法()()[]r d rr R c d x d y b y a x R c D D xy⎰⎰⎰⎰'-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+2222222. 其中 ()()r r r y r yxrx r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,0:πθR r D 所以=⎰⎰12S dxdy z []rdr r R c D 222⎰⎰'-+()dr r rR c d R⎰⎰-+=πθ20222()rdr rR c R2222⎰-+=π()r dr r R r R c c R⎰-+-+=02222222πrdr r R c rdr c RR⎰⎰-+=02202222ππ()rdr r R R⎰-+0222π()()|||0222023220222132.222RR R r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ.2344322R cR R c πππ++=（1）同理 ()()dxdy b y a x R c dxdy z xyDS ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=222221()dr r r R c d R⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πθ20222()rdr r R c R 20222⎰---=πrdr r R c rdr cRR⎰⎰-+-=0222222ππ()rdr r R R⎰--0222π()()|||0222023220222132.222RR R r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ .2344322R cR R c πππ-+-= =⎰⎰Sdxdy z 2+⎰⎰12S dxdy z 32382cR dxdy z S π=⎰⎰ ；由轮换对称性，知：=⎰⎰Sdydz x 2338aR π； =⎰⎰Sdzdx y 2.383bR π故.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰=Sdydzx 2⎰⎰Sdzdx y 2⎰⎰Sdxdy z 2().383c b a R ++=π16（P217,第4题）设S 为长方体()c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的表面.沿外侧求曲面积分⎰⎰Sxyzdxdy解：把S 分割为654321,,,,,S S S S S S 六个部分.其中 ()b y a x c z S ≤≤≤≤=0,0:1的上侧； ()b y a x z S ≤≤≤≤=0,00:2的下侧； ()c z b y a x S ≤≤≤≤=0,0:3的前侧； ()c z b y x S ≤≤≤≤=0,00:4的后侧； ()c z a x b y S ≤≤≤≤=0,0:5的右侧； ()c z a x y S ≤≤≤≤=0,00:6的左侧.注意到除21,S S 外，其余四片曲面在xoy 面上的投影为零，因此=⎰⎰Sxyzdxdy +⎰⎰1S xyzdxdy ⎰⎰2S xyzdxdy⎰⎰=xyD xycdxdy ⎰⎰-xyD dxdy xy 0.c b a yd y x d x c ab.4022⎰⎰==17（P225第1题）利用格林公式计算下面的曲线积分（l 的方向为正方向）：（ⅰ）()dy xy dx y x l22+-⎰，l 为圆周()222a y x =+；（ⅱ）()()dy y x dx y x l--+⎰，l 为椭圆⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+12222b y a x ；（ⅲ）()xdy dx y l+-⎰，l 为曲线()1=+y x ；（ⅳ）()()dy y y e dx y e x lx sin cos 1---⎰，l 为区域().sin 0,0x y x D <<<<π；18（P225第2题）求()()dy m y e dx my y eI x xL-+-=⎰cos sin ，（m 为常数）其中l 是自点()0,a A 经过圆周()022>=+a ax y x 的上半部分到点O(0,0)的半圆周.（提示：作辅助线后用格林公式）.解：cos ,cos x x P Q e y m e y y x∂∂=-=∂∂. 所以，由格林公式：221...428A O O A D D Q P a dxdy mdxdy m ma x y ππ⋂⎡⎤∂∂+=-===⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰.所以，2220.888AOOAma ma ma I πππ⋂==-=-=⎰⎰ （因为，⎰⎰==OAadx 0.00）19（P225第5题）设函数()x f 在正半轴()0>x 上有连续导数()x f '且().21=f 若在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx x l求函数().x f解：()y x y x P 34,=，()()x xf y x Q =,都是右半平面上的连续函数，由于在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx x l故有xQy P ∂∂=∂∂即 ()()x f x x f x '+=34 化简，得 ()()241x x f xx f =+' （1）为一阶线性微分方程，其通解为 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c ex e x f dx xdx x 1214().1134xc x c x x +=+=代入条件()21=f ，得 .1=c故 ().13xx x f +=20（P226第6题）设D 是以光滑曲线l 为正向边界的有界闭区域，而函数()y x u u ,= 在闭区域D 上具有连续的二阶偏导数且记2222yux u u ∂∂+∂∂=∆证明： ⎰⎰⎰∆=∂∂Dl udxdy ds nu其中()()y n yu x n x u n u ,cos ,cos ∂∂+∂∂=∂∂ 表示函数()y x u u ,=沿边界曲线l 外法线方向的方向导数.证明：设为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos τ、()y ,cos τ，则有 ()()y x n ,,=，()().,,x y n π-=故 ()()y x n ,c o s ,c o s =，()().,cos ,cos x y n -=()()ds x y uy x u ds n u l l ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系）dx y udy x u l ⎰∂∂-∂∂=（格林公式） ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=D dxdy y u y x u x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=⎰⎰D dxdy y u x u 2222.⎰⎰∆Dudxdy21（P226第7题）在第6题的假设和记号下，证明：.22d s n uu u d x d y u d x d y y u x u D l D ⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 证明：仿上题 ()()ds x y uy xu u ds n u ul l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系） dx yuu dy x u ul⎰∂∂-∂∂=（格林公式） ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=D dxdy y u u y x u u x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=D dxdy y u u y u y u x u u x u x u 2222....dxdy y u x u u dxdy y u x u D D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰222222 udxdy u dxdy y u x u D D ∆+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰22 移项，即得 .22ds n uu udxdy u dxdy y u x u D l D ⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 22（P227第8题）格林第二公式若函数()y x u u ,=和()y x v v ,=都满足第6题中的假设，证明：ds vu n v n u dxdy vuv u lD⎰⎰⎰∂∂∂∂=∆∆ 证明： ()()ds xy u y x u v ds n u vl l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos （由两型曲线积分之间的联系）dx yuv dy x u vl⎰∂∂-∂∂=（格林公式） ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=D dxdy y u v y x u v x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=D dxdy y u v y u y v x u v x u x v 2222....⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=D D dxdy y u x u v dxdy y v y u x v x u 22.....⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=D D udxdy v dxdy y v y u x v x u （1）由轮换对称性，知 ds n vul⎰∂∂ ...⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DD vdxdy u dxdy y v y u x v x u （2）于是ds n v u n uv ds vu n vnul l ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=⎰⎰⎰⎰D D udxdy v dxdy y v y u x v x u ..⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎰⎰⎰⎰D D vdxdy u dxdy y v y u x v x u .. ()⎰⎰∆-∆=Ddxdy v u u v .dxdy vuv u D⎰⎰∆∆=23（P227第9题）计算高斯(Gauss)积分 ()(b a I =,其中l 为简单（光滑）闭合曲线，为不在l 上的点()b a ,到l 上动点()y x ,的向量，而n 为l 上动点()y x ,处的法向量.解：设为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos 、()y ,cos ，则有 ()()y x n ,,=，()().,,x y n π-=又设()(){}y x n ,cos ,,cos 0= ，{}b y a x --=,，则()()()()()()().,c o s .,c o s .,c o s ,c o s 220b y a x y b y x a x n r n r -+--+-==⎪⎭⎫ ⎝⎛= 故(()()()()()().,cos .,cos .22b y a x y n b y x n a x -+--+-= ()()()()()()()[]d s y n b y x n a x b y a x b a I l,cos ,cos .1,22-+--+-=⎰()()()()()()[]d s x b y y a x b y a x l,cos ,cos .122ττ----+-=⎰ ()()()().22⎰-+----=lb y a x dx b y dy a x 记 ()()(),,22b y a x b y y x P -+---=()()().,22b y a x ax y x Q -+--=则()()()(),2222b y a x a x b y y P-+-----=∂∂()()()().2222b y a x a x b y x Q -+-----=∂∂它们在xoy 平面内除点 ()b a ,外处处连续，且.0=∂∂-∂∂yP xQ（一）若点()b a ,在l 所包围的区域D 外，原式=0；（二）若点()b a ,在l 所包围的区域D 内，以点()b a ,为中心作一个充分小的圆()()).0(:222>=-+-εεεb y a x l 取逆时针方向，使之完全包含在l 为边界的区域内.记介于εl 和l 之间的区域为'εD .则在'εD 由格林公式可得：()()()()⎰-+----l b y a x dx b y dy a x 22()()()()⎰-+-----εl b y a x dx b y dy a x 22.0⎰⎰'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=εDdxdy y P x Q所以，()()()()⎰-+----=l b y a x dx b y dy a x I 22()()⎰---=εεldx b y dy a x 2()()⎰---=εεl dx b y dy a x 21（格林公式）()()ππεεεεε2.22112222===⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-∂-∂-∂=⎰⎰⎰⎰DD dxdy dxdy y y b x a x .24（P227第10题）利用斯托克斯公式重新计算积分（例3） ()()(),⎰-+-+-=ld z y x d y z x d x y z I 其中l 是曲线⎩⎨⎧=+-=+.2,122z y x y x方向为从oz 轴正方向往负方向看去是顺时针方向. 解一：由斯托克斯公式d x d y y x z x y z z y x d x d y d z d x d y d z 2=---∂∂∂∂∂∂.取∑为平面2=+-z y x 上由椭圆所围成的那一小块曲面.（取下侧），因此{}1,1,1-=,.31,33,330⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=n ）()()()dS dxdy dz y x dy z x dx y z I l⎰⎰⎰⎰⎰∑∑-=-=-+-+-=3122.2.23.312⎰⎰⎰⎰-=-=-=xyxyD D dxdy dxdy π解二：（直接计算）()()()⎰⎰⎰∑=-+-+-=dxdy dz y x dy z x dx y z I l2其中，.1:22≤+y x D xy所以，.22π-=-=⎰⎰dxdy I xyD .25（P238第1题）下面的向量场是否为保守场？若是，并求位势:u(){};sin cos 2,sin cos 2122y x x y x y y x f --=解：（1）这里()x y y x y x P sin cos 2,2-=，().sin cos 2,2y x x y y x Q -=因为xQ x y y x y P ∂∂=--=∂∂sin 2sin 2，()2,R y x ∈ 所以{}y x x y x y y x f sin cos 2,sin cos 222--=是定义在全平面上的保守场.所以，()+-dx x yy x sin cos 22()dy y x x y sin cos 22-是某一个函数()y x u ,的全微分.故可取()()()()()dyy x x y dx x y y x y x u y x sin cos 2sin cos 2,2,0,02-+-=⎰()()dy y x x y dx x x yx ⎰⎰-+-=0202sin cos 2sin 00cos 2.cos cos 22y x x y +=则，所求的位势为 ().cos cos ,22c y x x y c y x u ++=+(){}.sin ,cos ,222z y e x z xe f y y --=--解：这里()()().sin ,,,cos ,,,2,,2z y z y x R e x z z y x Q xe z y x P y y -=-==--x Q xe y P y ∂∂=-=∂∂-2；y R z z Q ∂∂=-=∂∂sin ；.0zP x R ∂∂==∂∂ ().,,3R z y x ∈ 所以，{}z y e x z xe f y y sin ,cos ,22--=--为定义在全空间上的保守场.所以，+-dx xe y 2()zdz y dy e x z y sin cos 2---是某一个函数()z y x u ,,的全微分. （二）现取()()()()zdz y dy e x z dx xe z y x u y z y x y sin cos 2,,2,,0,0,0--+=--⎰ 取0M M 如图所示，从()0,0,00M 沿x 轴到点()0,0,1x M 再沿平行于y 轴的直线到点()0,,2y x M 最后沿平行于z 轴的直线到点(),,.M x y z 于是()()⎰⎰⎰-+-+=--z yyxzdz y dy ex dx xe z y x u 02sin 0cos 2,,[]|||022c o szy yx z y e x y x+++=-()[]()y z y x e x y x y-+-++=-c o s 222.c o s2z y e x y +=- 则，所求的位势为 ().cos ,,2c z y e x c z y x u y ++=+- 26（P238第2题）证明式（14-31），并由此求下面的曲线积分：()();).1(2,11,22⎰-xxdy ydx ()()⎰++1,1,63,2,1.).2(xydz zxdy yzdx解：（一）要证式（14-31）成立，即要证若平面区域D 内保守力场()(){}y x Q y x P f ,,,=有位势()y x u ,，则对D 内的任意两点()()222111,,,y x M y x M ，有 ()()()()()().,,,.1122,,2211y x u y x u dy y x Q dx y x P y x y x -=+⎰事实上，因为()(){}y x Q y x P f ,,,=为保守力场，故()()dy y x Q dx y x P l,.+⎰在D 内与路径无关，而只取决于路径的起点、终点.令 ()()()()()dy y x Q dx y x P y x v y x y x ,.,,,11+=⎰（1）则可证明()y x v ,也是f 在D 内的一个势函数.故()()C y x v y x u ≡-,, ，对任意()D y x ∈,成立（2）取()()11,,y x y x =，并注意到()0,11=y x v （因为沿闭合曲线的积分为零），得()()()111111,,,y x u y x v y x u C =-=（2）式中再取()()22,,y x y x =，并注意到(),0,11=y x v 得()()C y x v y x u =-2222,, 即 ()()()()().,,3,,11222222y x u y x u C y x u y x v --============又由（1）式，注意到()y x v ,的记号，得 ()()()()()().,,,.1122,,2211y x u y x u dy y x Q dx y x P y x y x -=+⎰（二）()()⎰-2,11,22).1(x xdyydx 中，()2,x y y x P =，().1,2x xx y x Q -=-= 因为 xQx y P ∂∂==∂∂21，().0,,2≠∈x R y x 所以，2xxdyydx -是某一个函数()y x u ,的全微分. 故可取()()()⎰-=y x x xdy ydx y x u ,0,12,dy x dx y x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=0110.x y -=所以()()()().2321121,22,12,11,22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-⎰u u xx d y yd x()()⎰++1,1,63,2,1.).2(xydz zxdy yzdx 中，()()().,,,,,,,,xy z y x R zx z y x Q yz z y x P ===因为x Q z y P ∂∂==∂∂；y R x z Q ∂∂==∂∂；.zP y x R ∂∂==∂∂ ().,,3R z y x ∈ 所以，+yzdx xydz zxdy +是某一个函数()z y x u ,,的全微分. （二）现取()()()xydz zxdy dx yz z y x u z y x ++=⎰,,0,0,0,,取0M M 如图所示，从()0,0,00M 沿x 轴到点()0,0,1x M 再沿平行于y 轴的直线到点()0,,2y x M 最后沿平行于z 轴的直线到点(),,.M x y z 于是()⎰⎰⎰++=zy x xydz dy x dx z y x u 000.00,,.xyz =所以()()()().03,2,11,1,61,1,63,2,1=-=++⎰u u x y d z z x d y y z d x27（P238第5题）验证下列方程我全微分方程，并求通解：()();04332).1(=-++dy y x dx y x ()().03223).2(2222=+-++-dy y xy x dx y xy x解：()();04332).1(=-++dy y x dx y x这里，()()y x y x Q y x y x P 43,,32,-=+=.因为，xQy P ∂∂==∂∂3，是全微分方程. 故：()()()()()dyy x dx y x y x u y x 4332,,0,0-++=⎰()()dy y x dx x yx ⎰⎰-++=04302[]||02223yxy xy x -+=.2322y xy x -+=通解为：c y xy x =-+2223.()().03223).2(2222=+--+-dy y xy x dx y xy x这里，()().32,,23,2222y xy x y x Q y xy x y x P -+-=+-=. 因为，xQ y x y P ∂∂=+-=∂∂22，所以方程是全微分方程. 故：()()()()()dy y xy x dx y xy xy x u y x 22,0,0223223,+--+-=⎰()()dy y xy x dx x y x⎰⎰-+-+=022023203[]||032203yxy xy y x x -+-+=.3223y xy y x x -+-=因此，所求方程的通解为：.3223c y xy y x x =-+-.28（P238第6题）设函数()y x u u ,=在凸区域（即包含区域内任意两点间的连线）2R ⊂Ω内连续可微分且K gradu ≤（常数）.证明：对于Ω内任意两点B A ,，都有 ()()().,.B A d K B u A u ≤- 其中()B A d ,表示点B A ,之间的距离.证明：由于Ω为凸区域，故线段AB 整个属于Ω.设点B 的坐标为()000,,z y x ，点A 的坐标为()111,,z y x ，且令.,,010101z z z y y y x x x -=∆-=∆-=∆ 考虑一元函数()()z t z y t y x t x u t f ∆+∆+∆+=000,, ().10≤≤t （1）显然， ()()()().1,0A u f B u f == （2）且()t f 在[]1,0上可微，并且 ()()x z t z y t y x t x u t f x ∆∆+∆+∆+'='.,,000 ()y z t z y t y x t x u y ∆∆+∆+∆+'+.,,000()z z t z y t y x t x u z ∆∆+∆+∆+'+.,,000 （3）于是，由微分学中值定理知()()()()()ξf f f B u A u '=-=-01()()=3 ()x z z y y x x u x ∆∆+∆+∆+'.,,000ξξξ ()y z z y y x x u y ∆∆+∆+∆+'+.,,000ξξξ()z z z y y x x u z ∆∆+∆+∆+'+.,,000ξξξ ()..,,000z z y y x x gradu ∆+∆+∆+=ξξξ （4）由（4）式可知 ()()(z z y y x x gradu B u A u ,,000∆+∆+∆+=-ξξξ ()().,..,,000B A d K z z y y x x gradu ≤∆+∆+∆+≤ξξξ29（P238第7题）求向量场⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y grad f arctan 沿下列曲线l 的环量：（ⅰ）l 为圆周()()12222=-+-y x ；l 为圆周422=+y x （分为左、右半圆周分别计算）. 解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y y x y x x y grad f arctan ,arctan arctan.,2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-=y x x y x y （ⅰ）2222.y x xdyy x ydx d f ll+++-=⎰⎰（格林公式）d x d y y x y y y x x x D ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=2222 ()().022********=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+-=⎰⎰dxdy y x x y y x x y D （ⅱ）⎰⎰+-=l ly x ydx xdy d f 22.[].22.241412ππ==-=⎰l ydx xdy 30（P238第8题）求,f rot 其中().2,3,32x y z x y z f ---=解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y P x Q x R z P z Q y R f rot ,,{}.6,4,2=31（P238第9题）证明： ()f gradu f urot f u rot ⨯+=. 解：设()()(){}z y x R z y x Q z y x P f ,,,,,,,,=，则()()(){}.,,,,,.,,,z y x uR z y x Q u z y x uP uf =()()()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y uP x uQ x uR z uP z uQ y uR f rot ,, ,,{⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=x u R x R u z u P z P u z u Q z Q u y u R y R u },⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y u P y P u x u Q x Qu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y P x Q x R z P z Q y R u ,,。

求曲线、曲面积分的方法与技巧

求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有:利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法.例一．计算曲线积分⎰+Lxdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

解1:A O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,2,2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212dx x x x dy --= ⎰+Lxdy ydx dx x x x x x x ⎰--+-=2022]2)1(2[ dx xx x x dx xx x x x x x ⎰⎰--+----=2220222)1(2)1(220.00442=--=分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解2:在弧A O上取)1,1(B 点，B O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12dy y y dx -= A B 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,11,2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12dy y y dx --= ⎰+Lxdy ydx dy y y y dy y y y ⎰⎰-++--+--+-=012221222)111()111(dy yy ⎰-=102212dy y ⎰--1212dy yy ⎰-=1221210212yy --dyyy ⎰--+102212.0)011(2=---=分析:解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的,在方法类型上与解1相同。

第二型曲面积分

显然有 m a x S 的直径 . 这里 d ix ( y )
| || T |m a x S 的直径 0 d 0 . i
由于 R 在 S 上连续, z 在 D( xy) 上连续(曲面光滑), 据
( x ,y , zx ( ,y ) ) 在 D ( x y ) 上也连续. 复合函数的连续性, R

[ P ( , , ) c o s Q ( , , ) c o s i i i i i i i i

R ( ,, ) c o s ] S , i i i i i
其中 M (, , ) S 是任意取定的一点; i i i i i

S D z x
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一一侧为正侧.
例1 计算 xyzd xd y ,
S
z
2 2 2 y z 1 其中 S 是球面 x
S
O
1
部分并取球面在x 0 ,y 0 的外侧（图22-6）. 解曲面 S 在第一、五卦限部分的方程分别为
x
y
S
2
图22 6
S1 : z1 1 x y ,
2 2
S2 : z2 1 x2 y2 .
它们在 x y 平面上的投影区域都是单位圆在第一象限
的上侧和 S 部分. 因积分是沿 S 的下侧进行, 故 1 2
x y z d x d y x y z d x d y x y z d x d y
定义1返回返回返回返回返回返回返回返回在曲面所指定一侧上的第二型曲面积分记作的选取无关则称此极限中的三个极限都存在且与分割返回返回返回返回据此定义某流体以速度从曲面又如若空间中的磁场强度为则按指定方向穿过曲面的磁通量磁力线总数为返回返回返回返回的另一侧由定义易知则有返回返回返回返回所组成则有返回返回返回返回三

曲线积分与曲面积答案

曲线积分与曲面积分例1计算曲线积分⎰ABxydl ，弧AB 为圆周222R y x =+在第二象限的部分。

解：法1取x 为积分变量，积分路径弧AB 是圆周22x R y -=，)0(≤≤-x R ，于是得dx xR R dx y dl 2221-='+=，故232222R xdx R dx xR Rx R x xydl R R AB -==-⋅-=⎰⎰⎰--。

法2 取y 为积分变量，积分路径弧AB 是圆周22y R x --=， )0(R y ≤≤，于是dy yR R dy x dl 2221-='+=，故2)(32222R ydy R dy yR R y R y xydl RRAB-=-=-⋅--=⎰⎰⎰。

法3 将弧AB 化为参数方程 )2(sin cos πθπθθ≤≤ ⎩⎨⎧==R y R x ，θRd dy dx dl =+=22)()(，⎰⎰⎰⎰-===ππππππθθθθθθθθ23232cos cos sin cos sin cos d R d R Rd R R xydl AB2]2cos [3223R R -=-=ππθ。

例2计算⎰Ldl xy ||，L 是圆周222R y x=+的闭路。

解：由对称性，设1L 是第一象限的部分，则32032sin cos 44||1R tdt t R xydl dl xy L L===⎰⎰⎰π例3设L ：cos ,=sin ,02=≤≤x a t y a t t π，则第一型曲线积分2L=2⎰ds aπ例4计算⎰++ABCDA y x dydx ||||，ABCDA 是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶点的正方形。

（1|||:|=+y x ABCDA ）解：在弧AB 上，y=1—x,x 从1变到0；在弧BC 上，y=1+x,x 从0变到 —1；在弧CD 上，y=—1—x,x 从—1变到0；在弧DA 上，y=—1+x,x 从0变到1；于是22)]1([2)]1([)1(2)1(11010011001=+=+--++---+--+++-+-+-=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---dx dx x x dx x x dx dx x x dxx x dx dx DA CD BC AB ABCDA例5计算⎰+--+Lyx dyy x dx y x 22)()(，其中L 是原点为中心的单位圆，沿逆时针方向。

曲线积分与曲面积分复习提纲

ϕ ( x) = x 2 + C ，因为 ϕ (0) = 0 ，所以 C = 0 ，于是 ϕ ( x) = x 2 。
∫
(1, 2 )
( 0, 0)
xy 2 dx + x 2 ydy =
设
1 2 2 (1, 2 ) x y |( 0, 0) = 2 。 2
2
例题 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∫ ϕ ( x) + y
L
xdy − ydx
≡ A(≠ 0) ，其中 L 是绕过原点的正向闭曲线， ϕ ( x) 可导且
ϕ (1) = 1 。
（1）求 ϕ ( x) ；（2）求 A 。
解答：（1） P ( x, y ) =
−y x ， , Q ( x, y ) = 2 ϕ ( x) + y ϕ ( x) + y 2
0 0
t
因为
∫
( t ,1)
( 0,0 )
2
2 xydx + Q( x, y )dy = ∫
1 t 0 0
(1,t )
(0,0)
2 xydx + Q( x, y )dy ，
所以 t +
∫ ϕ ( y)dy = t + ∫ ϕ ( y)dy ，两边对 y 求导得 ϕ (t ) = 2t − 1 ，
2
故 Q ( x, y ) = x + 2 y − 1 。例题 4 设曲线积分
∫
( t ,1)
( 0,0 ) (1,t )
2 xydx + Q( x, y )dy = ∫ Q(t , y )dy = ∫ [t 2 + ϕ ( y )]dy = t 2 + ∫ ϕ ( y )dy ，

曲线积分与曲面积分知识点

曲线积分与曲面积分知识点【篇一：曲线积分与曲面积分知识点】曲线积分与曲面积分是考研数一考生要求掌握的内容，数二数三考生不要求掌握，老师以高数教程为例，分章节归纳所要求掌握的内容要点，希望对2016 考研人有所帮助。

9.1 第一类曲线积分内容要点：(1)第一类曲线积分的概念和性质；(2)第一类曲线积分计算测试点：计算第一类曲线积分(包含平面曲线和空间曲线)9.2 第二类曲线积分内容要点：(1)第二类曲线积分的概念和性质；(2)第二类曲线积分计算；(3)两类曲线积分之间的关系测试点：计算第二类曲线积分9.3 格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件内容要点：(1)格林公式；(2)平面曲线积分与路径无关的条件；(3)全微分法则；(4)全微分方程测试点：(1)格林公式；(2)计算曲线积分；(3)全微分方程的求解9.4 第一类曲面积分内容要点：(1)第一类曲面积分的概念和性质；(2)第一类曲面积分计算测试点：计算第一类曲面积分9.5 第二类曲面积分内容要点：(1)第二类曲面积分的概念和性质；(2)第二类曲面积分计算；(3)两类曲面积分之间的关系测试点：(1)直接计算第二类曲面积分(2)通过两类曲面积分之间的关系计算第二类曲面积分9.6 高斯公式与散度内容要点：(1)高斯公式；(2)散度测试点：(1)高斯公式(熟练掌握)；(2)散度(记住公式即可)9.7 斯托克斯公式与旋度内容要点：(1)斯托克斯公式；(2)旋度测试点：(1)斯托克斯公式(熟练掌握)；(2)旋度(记住公式即可)9.8 综合例题针对本章所学内容复习巩固，每个例题独立求解，然和和答案对比，对自己所学情况进行简单的测评。

老师以高数教程为基础，把曲线积分和曲面积分所要求掌握的知识点落实到每一章的某一节，希望考生在复习的过程中复习全面，不要出现遗漏知识点的现象。

【篇二：曲线积分与曲面积分知识点】第十章曲线积分与曲面积分一、一、重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。

曲线曲面积分(单元练习题)答案

曲线积分与曲面积分单元练习题一、填空题：1设L为x'+y2=1上点（1,0）到（_1,0）的上半弧段，贝U ]2ds = 2兀;x = 2 cost2.f_ ds = —兀2,其中C是曲线《y = 2sint介于t = 0到t =兀一段；C X + y 8--------- z = t3.L为逆时针方向的圆周：（x -2）2• （y • 3）2=4 ,贝y J ydx_ xdy= _8兀；L4.设C是由x轴、y轴与直线x + y =1围成的区域的正向边界，贝U :，ydx_ xdy =C5.第一类曲面积分dS^的面积；6.设曲面为：x2y2z^a2,则11 （x2y2z2）dS 二4 a4；Z7•设 3 ：x2y2z2= a2.则■j'：i z2dS = - ~ a4；i J—&格林（Green）公式指出了下列两类积分：「平面上第二类曲线积分和二重积分之间关系。

高斯（Gauss）公式指出了下列两类积分：空间上的第二类曲面积分与三重积分—之间关系。

二、计算题：1.计算.yds,其中L是抛物线y =x2上自点（0, 0）到（1, 1）的一段弧。

L1 2 1 2 于 1 5 5「1解x 1 4 x dx （1 4x ）2|0=012 122.计算.xyds,其中L为从（0, 0）到（2, 0）的上半圆弧：x2• y2二2x（ y 一0）。

L解jxyds= （（1 +cost）sintdt = 2L 33 .已知平面曲线弧段L是圆x2y^4上从点2,0到0,2的有向弧段，试计算I = L xydx解 I 22cost2sintd 2cost = -8 ^costsin 2tdt =4•计算|二j (x 2 2xy)dx (x 2 y 4)dy ,其中L 为由点0(0,0)到点A(1,1)的曲线JIy = sin — x .2I = j (x 22xy)dx (x 2y 4)dy1 1 二 0x 2dx0(1 y4)dy解法二：根据第二类曲线积分计算。

曲面积分精解

第一节第一类曲面积分内容要点一、第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积),,2,1(),,(n i S f i i i i =∆⋅ζηξ并作和,),,(1∑=∆⋅ni i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在,则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为∑⎰⎰=→∑∆=ni i i i i S f dS z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法.),(),(1)],(,,[),,(22⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3)例题选讲例 1 计算曲面积分,⎰⎰∑z dS其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部.解 ∑的方程为.222y x a z --=∑在xOy 面上的投影区域:xy D {}.),(2222h a y x y x -≤+又,122222yx a a z z y x --=++利用极坐标故有⎰⎰⎰⎰-=∑xyD r a adxdy z dS 22 220202222ra rdr d a r a ardrd ha Dxy-=-=⎰⎰⎰⎰-θθπ22022)(212h a r a In a -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=π.2h aaIn π=例2（E01）计算,)(⎰⎰∑++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部分.解积分曲面∑-=,5:y z 其投影域},25),({22≤+=y x y x Dxy,2)1(011222dxdy dxdy dxdy z z dS y x =-++=++=故⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-++=++∑xyxyD D dxdy x dxdy y y x dS z y x )5(2)5(2)(.2125)cos 5(2520πθθπ=+=⎰⎰rdr r d例3（E02）计算,⎰⎰∑xyzdS 其中∑是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围四面体的整个边界曲面.解如图(见系统演示)，.2341xyzdS xyzdS ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑注意到在321,,∑∑∑上，被积函数,0),,(==xyz z y x f 故上式右端前三项积分等于零. 在4∑上，,1y x z --=所以,3)1()1(112222=-+-+=++y x z z从而⎰⎰⎰⎰∑∑=4xyzdS xyzdS ⎰⎰--=xyD dxdy y x xy ,)1(3其中xy D 是4∑在xOy 面上的投影区域.=⎰⎰∑xyzdS ⎰⎰---=xdy y x y xdx 1010)1(3dx y y x x x-⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10103232)1(3dx x x ⎰-⋅=1036)1(3.1203)33(634312=-+-=⎰dx x x x x 例4计算,dS xyz ⎰⎰∑其中∑为抛物面).10(22≤≤+=z y x z解根据抛物面22y x z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+++=∑=∑2222)2()2(1)(441⎰⎰⎰⎰+=+⋅=20125122220412sin 241sin cos 4ππdr r r tdt rdr r rt t r dt.420151254141512-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰du u u 例 5 计算,⎰⎰∑xdS 其中∑是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间立体的表面.解，＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑+∑∑321∑∑12，在xOy 面上得投影域.1:22≤+y x D xy于是⎰⎰⎰⎰∑==1,0xyD xdxdy xdS ⎰⎰⎰⎰∑=+=2,011xyD dxdy xxdS将)1:,(313223∑∑∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域.10,11:+≤≤≤≤-x y x D xydxdz y y xxdS xdS xdS zxD z x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=∑+∑=∑221232313,12112211222π=-=-+=⎰⎰⎰⎰+-x D dz x xdxdz x x x xz所以.00ππ=++=∑⎰⎰xdS例6（E03）计算,)(222⎰⎰∑++dS z y x∑为内接于球面2222a z y x =++的八面体a z y x =++||||||表面.解被积函数222),,(z y x z y x f ++=关于三个坐标面和原点均对称.积分曲面∑也具有对称性,故原积分⎰⎰⎰⎰∑∑=1,8其中),0,,(:1>=++∑z y x a z y x 1∑在xOy 面上的投影为,0:a x D xy ≤≤,0x a y -≤≤而,y x a z --=所以.3122dxdy dxdy z z dS y x =++=dS z y x dS z y x ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++1)(8)(222222dxdy y x a y xxyD 3])([8222⎰⎰--++=dy y x a y x dxxa a ⎰⎰---++=022203])([8.324a =例7（E04）求球面2222a z y x =++含在圆柱体ax y x =+22内部的那部分面积. 解由对称性知，所求曲面面积A 是第一卦限上面积1A 的4倍.1A 的投影区域),0,(:22≥≤+y x ax y x D xy曲面方程,222y x a z --=故,122222yx a a z z y x --=++所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--=++=20cos 022222224414πθθa D D yxra rdr d a yx a adxdy dxdy z z A xyxy.42)1(sin 422202a a d a -=-=⎰πθθπ例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面∑是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分.∑的方程为,222y x R z --=它在xOy 面上的投影区域.sin :2222αR y x D xy ≤+于是通讯卫星的覆盖面积为).cos 1(22απ-=R A将h R R +=αcos 代入上式得 .21222h R h R h R R R A +⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为%.5.4242≈RAπ 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dS z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算⎰⎰∑+dS y x )(22, 其中∑为锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分..3. 求半径为a 的球的表面积.第二节第二类曲面积分内容要点一、有向曲面：双侧曲面单侧曲面在科学幻想故事“一列名叫麦比乌斯的地铁”②中，故事情节围绕一列从波士顿地铁系统中神秘消逝的第86号列车而展开. 这个地铁系统前一天才举行通车仪式, 但是现在第86号却消失了, 什么痕迹也没有留下.事实上, 很多人都报告说他们听到了列车在它们的正上方或正下方飞驰的声音, 但是谁也没有真正地看到过它. 当确定这列火车为止的所有努力都失败之后, 哈佛的数学家罗杰.图佩罗给交通中心打电话, 并且提出了一个惊人的理论:这个地铁系统非常复杂, 以至于它可能变成了一个单面典面(麦比乌斯带)的一部分, 而那列在当时丢失的火车可能正在这条带子的“另一个”面上跑它的正常路线. 面对极度惊愕的市政官员, 他耐心地解释了这种系统的拓扑奇异性. 在经过一段时间——确切地说是十星期之后——这列丢失的列车又重新出现了，它的乘客都安然无恙，只是有一点累.二、第二类曲面积分的概念与性质定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量,cos cos cos k j i nγβα++= 又设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A),,(),,(),,(),,(++=其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数γβαc o s c o s c o s R Q P n v ++=⋅则∑上的第一类曲面积分⎰⎰∑⋅dS n v.)cos cos cos (⎰⎰∑++=dS R Q P γβα (5.5)称为函数),,(z y x A在有向曲面∑上的第二类曲面积分. 三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(. (5.9)上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定.例题选讲第二类曲面积分的计算法例1 (E01) 计算曲面积分,222⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 其中∑是长方体 }0,0,0|),,{(c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω的整个表面的外侧.解如图(见系统演示), 把有向曲面∑分成六部分.除43,∑∑外，其余四片曲面在yOz 面上的投影值为零,因此⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=34222dydz x dydz x dydz x .0222bc a dydz dydz a yzyzD D ⎰⎰⎰⎰=-=类似地可得,22ac b dzdx y ⎰⎰∑=.22ab c dxdy z =⎰⎰∑于是所求曲面积分为.)(abc c b a ++例2 (E02) 计算,⎰⎰∑xyzdxdy 其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分.解把∑分成1∑和2∑两部分,1:2211y x z --=∑,1:2222y x z ---=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdydxdy y x xy dxdy y x xy xyxyD D )1(12222------=⎰⎰⎰⎰dxdy y x xy xyD ⎰⎰--=2212利用极坐标.1521sin 222=-=⎰⎰θθrdrd r r xyD 例3 (E03) 计算,)(2⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z 其中∑是旋转抛物面2/)(22y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧.解.cos cos )(dS cos )()(222dxdy x z x z dydz x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=+=+γαα 在曲面∑上，有.11c o s c o s x x z x -=-=-=γα ⎰⎰⎰⎰∑--+=-+∑dxdy z x x z zdxdy dydz x z ]))([()(22dxdy y x x x y x xy D ⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)(21)()(412222.821cos )(212020222222πθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰rdr r r d dxdy y x x xy D 课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dxdy z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算曲面积分,⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为平面,0=x ,0=y 1=++z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.第三节高斯公式通量与散度内容要点一、高斯公式定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P (6.1)这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为.)cos cos cos (⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβα二、通量与散度一般地，设有向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A),,(),,(),,(),,(++=,其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，n 是曲面∑的单位法向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=⋅=⋅=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A称为向量场A通过曲面∑流向指定侧的通量. 而zR y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂ 称为向量场A 的散度，记为A div，即zR y Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂= . (6.5)例题选讲利用高斯公式计算例1（E01）计算曲面积分,)()(⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x 其中∑为柱面122=+y x 及平面3,0==z z 所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧（图10-6-2）.解 ,)(x z y P -=,0=Q ,y x R -=,z y x P -=∂∂,0=∂∂y Q ,0=∂∂zR利用高斯公式，得原式=⎰⎰⎰Ω-dxdydz z y )(（利用柱面坐标）⎰⎰⎰Ω-=dz rdrd z r θθ)sin (rdz z r dr d ⎰⎰⎰-=10320)sin (θθπ.29π-=例2（E02）计算 ,)()(22⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z其中∑为旋转抛物面221y x z --=在10≤≤z 部分的外侧.解作辅助平面∑=1,0:z 则平面∑1与曲面∑围成空间有界闭区域,Ω由高斯公式得⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z)()(22⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-+---+-=11)()()()(2222dxdy z x dzdx y z dxdy z x dzdx y z ⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω---=1)()2(2dxdy z x dv⎰⎰⎰⎰⎰--=-xyD r d x rdz dr d σθπ22011022.434cos 0)1(42012212πππθθππ-=+-=⋅--=⎰⎰⎰rdr r d dr r r例3（E03）计算,)cos cos cos (222⎰⎰∑++dS z y x γβα 其中∑为锥面222z y x =+)0(h z ≤≤, γβαcos ,cos ,cos 为此曲面外法线向量的方向余弦.解补充平面),(:2221h y x h z ≤+=∑取1∑的上侧，则1∑+∑构成封闭曲面，设其所围成空间区域为.Ω 于是⎰⎰∑+∑++1)cos cos cos (222dS z y x γβα ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x )(2⎰⎰⎰+++=h y x D dz z y x dxdy xy22)(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=--==+ππθ200422222.21)()(222h D D hy x h rdr r h d dxdy y x h zdz dxdy xyxy而⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑===++11,)cos cos cos (422222xyD h dxdy hdxdy z dS z y xπγβα故.2121)c o s c o s c o s (444222h h h dS z y x πππγβα-=-=++⎰⎰∑例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∆dV z v z u y v y u x v x u dS n uvudV v 其中nu∂∂为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u ,v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导数，符号222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.证因为=∂∂n u γβαcos cos cos z u y u xu∂∂+∂∂+∂∂n u ⋅∇=，其中}cos ,cos ,{cos γβα=n 是∑在点),,(z y x 处的外法线的方向余弦，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⋅∇=⋅∇=∂∂dS n u v dS n u v dS nuv)[()(dS z u v y u v x u v ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=γβαcos cos cos dv z u v z y u v y x u v x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=.dv z v z u y v y u x v x u udv v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎝⎛⎪⎭⎫∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∆=将上式右端移至左端即得所要证明的等式.通量与散度例5（E05）求向量场k z j y i x r++=的流量(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.解设21,S S 及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量 Q ⎰⎰+⋅=S S d r⎰⎰⎰=Vdv r div⎰⎰⎰=Vdv 3.3h π=(1)穿过底面向上的流量 1Q ⎰⎰+⋅=S S d r⎰⎰=≤+=hz z y x zdxdy 222⎰⎰≤+=222z y x hdxdy .3h π=(2)穿过侧表面向外的流量2Q 1Q Q -=.0=课堂练习1.利用高斯公式计算,)()()(222⎰⎰+-+-+-S dxdy xy z dzdx xz y dydz yz x其中+S 为球2222)()()(R c z b y a x =-+-+-面的外侧.第四节斯托克斯公式环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系.分布图示★ 斯托克斯公式★ 例1 ★ 例2★ 例3★ 空间曲线积分与路径无关的条件 ★ 三元函数的全微分求积 ★ 环流量与旋度★ 例4 ★ 例5★ 例6★ 斯托克斯公式的向量形式 ★ 向量微分算子 ★ 内容小结 ★课堂练习★ 习题11-7★返回内容要点一、斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑.⎰++=LRdz Qdy Pdx (7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx RQ P zy x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成.c o s c o s c o s ⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx dS RQ P zy x γβα二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A++= 则沿场A中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分⎰++=ΓCRdz Qdy Pdx称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,称为向量场A 的旋度，记为A rot，即.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=旋度也可以写成如下便于记忆的形式：RQ P z y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=.四、向量微分算子：,k zj y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇例题选讲利用斯托克斯公式计算例1（E01）计算曲线积分,⎰Γ++ydz xdy zdx 其中Γ是平面1=++z y x 被三坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解按斯托克斯公式，有,⎰⎰⎰∑++=++Γdxdy dzdx dydz ydz xdy zdx由于∑的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知:,3⎰⎰⎰⎰=∑++xyD d dxdy dzdx dydz σ所以.23=++⎰Γydz xdy zdx例 2 计算曲线积分,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-⎰Γ其中Γ是平面2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看法，取逆时针方向.解取∑为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,3}3,1,1{=n即,31cos cos cos ===λβα原式dS y x x y z y z y x z⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222313131⎰⎰∑++-=dS z y x )(34.293322334-=-=∑⋅-=⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dS例3（E02）计算,)()()(222222⎰Γ+++++dz y x dy z x dx z y 式中Γ是).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方.解由斯托克斯公式，有原式⎰⎰∑-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2γβαdS R z y x R y x z R x z y ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=)()(1)( ⎰⎰∑-=dS y z )(2(利用对称性)⎰⎰⎰⎰∑=∑=dS R zdS γcos ..2222R rd R Rdxdy rxy x πσ==∑=⎰⎰⎰⎰≤+例4 求矢量场k z j xy i x A 222+-=在点()2,1,10M 处的散度及旋度. 解 A div z A y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=z x x 2)2(2+-+=.2z =故0M A div.4= A rot k y A x A j x A z A i z A y A x y z x x z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂= k y j i)02()00()00(--+-+-= .2k y -= 故0M Arot .2k -=例5（E03）设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ； div(grad u )；rot(grad u ). 解 g r a d u ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -= div(gradu)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂-∂+∂∂+∂∂=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -=rot(gradu).,,222222⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂=x y u y x u z x u x z u y z u z y u因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故rot(gradu).0=注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A=grad u 为势量场或保守场，而u 称为场A的势函数.例6（E04）设一刚体以等角速度k j i z y xωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一点M 的线速度v的旋度.解取定轴l 为z 轴，点M 的内径rOM =,k z j y i x ++= 则点M 的线速度v r⨯=ωzyx kji z yx ωωω =,)()()(k x y j z x i y z y x x z z yωωωωωω-+-+-=于是v rot x y z x y z z y x kj i y x x z z y ωωωωωω---∂∂∂∂∂∂=)(2k j i z y x ωωω++=.2ω =即速度场v 的旋等于角速度ω的 2 倍.课堂练习1. 计算,)()()(222⎰-+-+-AmBdz xy z dy xz y dx yz x 其中AmB 是螺线πϕϕϕ2,sin ,cos h z a y a x ===从)0,0,(a A 到),0,(h a B 的一段曲线. 2. 物体以一定的角速度ω依逆时针方向绕Oz 轴旋转, 求速度v 和加速度w在空间点),,(z y x M 和已知时刻t 的散度和旋度.。

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第七章曲线与曲面积分7.2.5第一类曲面积分 7.2.6 第二类曲面积分（导学解答）一、相关知识1．物质曲面的质量问题?答：设∑为面密度非均匀的物质曲面, 其面密度为ρ(x , y , z ), 求其质量，把曲面分成n 个小块: ∆S 1, ∆S 2 , ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n (∆S i 也代表曲面的面积);求质量的近似值:i i i i ni S ∆=∑),,(1ζηξρ((ξi , ηi , ζi )是∆S i 上任意一点); 取极限求精确值: i i i i ni S M ∆==→∑),,(lim 10ζηξρλ(λ为各小块曲面直径的最大值).2.空间曲面在坐标面上的有向投影？答：空间面积为S ∆的有向平面在坐标面上的投影将有向平面S ∆投影到xoy 坐标面，所得投影记为xy S )(∆，投影区域的面积记为()xy σ∆；设平面S ∆的法向量n 与z 轴正向的夹角为γ，则()xy S ∆()c o s 00c o s 0()c o s 0xy xy σγγσγ⎧∆>⎪=≡⎨⎪-∆<⎩即()cos xy S S γ∆=∆；如果20πγ<≤，0cos >γ（上侧），则xy xy S )()(σ∆=∆；如果πγπ≤<2，0cos <γ（下侧），则xy xy S )()(σ∆-=∆；如果2πγ=，0cos =γ，则0cos )(=∆=∆S S xy γ。

同理可以定义S ∆在yoz 、zox 坐标面上的投影为()yz S ∆及()zx S ∆为：()cos 0()0cos 0()cos 0yzyz yz S σαασα⎧∆>⎪∆=≡⎨⎪-∆<⎩()c o s 0()0c o s 0()c o s 0zxzx zx S σββσβ∆>⎧⎪∆=≡⎨⎪-∆<⎩3．流向曲面一侧的流量？答：设空间有一稳定的（流速与时间无关）不可压缩的（密度为1）流体，流速为(,,)v v x y z =Pi Qj Rk =++，从曲面∑的一侧流向另一侧。

其中,,P Q R 在曲面∑上连续，用n 表示曲面∑上指向流动一侧的单位法向量。

若v 是常向量，∑是平面（则n 也是常向量），且∑的面积为S ，则流量为：||cos S v θΦ=⋅||||cos(,)S v n v n =⋅，即()v n S Φ=；对于一般的光滑曲面∑，采用分割、求和、取极限的方法，其流量为：1lim (,,)(,,)n i i i i i i i i v n S λξηζξηζ→=Φ=∆∑01lim ()ni i i i v n S λ→==∆∑；又因为：(,,)(,,)(,,)(,,)i i i i i i i i i i i i v P i Q j R k ξηζξηζξηζξηζ=++，(,,)cos cos cos i i i i i i n i j k ξηζαβγ=++，记cos ()i i i yz S S α∆=∆，cos ()i i i zx S S β∆=∆，cos ()i i i xy S S γ∆=∆则流量可以表示为：1lim {(,,)()(,,)()(,,)()}ni i i i yz i i i i zx i i i i xy i P S Q S R S λξηζξηζξηζ→=Φ=∆+∆+∆∑二、对面积曲面积分的有关问题1．对面积的曲面积分的实质是什么？答：其实质是将曲面积分中的曲面投影为平面，进而转化为二重积分. 2．对曲面的曲线积分过程中对称性的应用规则？答：(1)若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上部的曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.曲面关于xoz yoz ,平面对称也有类似的结论.(2) 若光滑曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+,且关于原点对称，则（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=，为关于z (或x ,或y )的奇函数（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=81(,,)s f x y z ds ⎰⎰,),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数(3) 若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1(,,)(,,)(,,)3f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3．对曲面的所对应不同投影平面的公式演变？（1）如果曲面为∑：(,)y y x z =，在xoz 坐标面上的投影区域为D ，(,)y x z 在D 一阶偏导数连续，则对面积曲面积分计算公式为(,,)(,(,),Df x y z dS f x y x z z σ∑=⎰⎰⎰⎰（2）如果∑恰好是xoy 坐标面的平面区域，即D ∑=：0z =1=，从而(,,)(,,0)Df x y z dS f x y d σ∑=⎰⎰⎰⎰.4.曲面面积积分在实际应用中的定义（1）曲面面积表达式？曲面的面积：S dS ∑=⎰⎰；（2）曲面质量的表达式？曲面的质量：(,,)M x y z dS ρ∑=⎰⎰（3）曲面转动惯量的表达式？转动惯量：22()(,,)z I x y x y z dS ρ∑=+⎰⎰（4）曲面重心坐标的表达式？(,,)x x y z dSMx ρ∑⎰⎰=(,,)(,,)x x y z dSx y z dS ρρ∑∑⎰⎰=⎰⎰，y =，z =；特别当(,,)x y z ρ=常数时，重心在对称面上或对称轴上，此时重心也称为形心，且xdS xdSS dS x ∑∑∑⎰⎰⎰⎰==⎰⎰ y d S S y ∑⎰⎰= zdS S z ∑⎰⎰=三、练习题1. 计算积分1dS z∑⎰⎰，∑是球面2222x y z R ++=被平面z h =（0h R <<）截出的顶部.解：∑：z =xoy 面上的投影区域D ：2222x y R h +=-，==1dS z ∑⎰⎰2σ=⎰⎰222D Rd R x y σ=--⎰⎰22D R rdrd R r θ=-⎰⎰22200r R d dr R r πθ=-⎰⎰2212(ln(2R R r π=⋅--(2ln 2ln )2ln R R R h R h ππ=⋅-=2. 计算积分xydS ∑⎰⎰，∑是圆柱面221x y +=与平面0z =，2x z +=围成的立体的全表面.解：123∑=∑+∑+∑1∑：0z =，1D ：221x y +≤；1110D DxydS xyd σσ∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰2∑：2z x =-， 2D ：221x y +≤2220D D xydS xyd σσ∑==⎰⎰⎰⎰3∑：221x y +=，33132∑=∑+∑，31∑：y =32∑：y =，其中 31∑、32∑在xoz 面上的投影区域均为3D ，且3D 由2x z +=，1x =，1x =-，0z === xydS ∑⎰⎰123xydS ∑∑∑=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰33132xydS xydS xydS ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰33(D D x σσ=+⎰⎰⎰⎰32D xd σ=⎰⎰1112x dx xdz --=⎰⎰11242(1)2()33x x dx -=-=-=-⎰3. 22222(),.I ax by cz d ds x y z R ∑=+++∑++=⎰⎰计算曲面积分其中是球面解：2()I ax by cz d ds ∑=+++⎰⎰ 2222[()()()222222]ax by cz d abxy aczx bcyz adx bdy cdz ds∑=+++++++++⎰⎰根据曲面积分的对称性及被积函数的奇偶性可知：0xds yds zds xyds yzds xzds ∑∑∑∑∑∑=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222,,x y z R x y z x ds y ds z ds ∑∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为球面关于具有对称性所以2()I ax by cz d ds ∑=+++⎰⎰因此222222221()()43a b c x y z ds R a π∑=+++++⎰⎰ 22222214[()]3R Ra b c a π=+++ 4.计算下列面积的曲面积分，()x y z ds ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥)0(a h <<的部分.解：利用对称性知xds yds ∑∑=⎰⎰⎰⎰0=设xy D ={|),(y x 2222x y a h +≤-} 则()x y z ds ∑++⎰⎰=zds ∑⎰⎰=⎰⎰=aDxydxdy ⎰⎰=22()a a h π-5. 计算曲面积分()xy yz zx dS ∑++⎰⎰，∑为锥面z =被圆柱面222x y ay+=（0a >）所截下的部分.解：因为锥面、圆柱面均关于yoz 面对称，故曲面∑关于yoz 面对称，而xy xz +关于x 恰好是奇函数，yz 关于x 是偶函数，从而()xy yz zx dS ∑++⎰⎰yzdS ∑=⎰⎰12yzdS ∑=⎰⎰1∑：z =，1D 如图所示。

()xy yz zx dS ∑++⎰⎰12yzdS ∑=⎰⎰12D σ=⎰⎰1D σ=1sin D r r rdrd θθ=⋅⋅22sin 3sin a d r d πθθθθ=⎰24(2sin )sin 4a d πθθθ=22y ay =sin a θ2508sin ad πθθ=44285315a a =⋅=四、思考题1.计算曲面积分2z ds ∑⎰⎰，其中s 是球面2222xy z a ++=解：如果按照常规方法来解，计算量比较大，如果利用对称函数的特性，非常简捷∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性 ∴222x ds y ds z ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴2z ds ∑⎰⎰=2221()3x y z ds ∑++⎰⎰ =21133a ds ds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 22214.433a a a ππ==。