函数的奇偶性、对称性与周期性总结-史上最全

函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全

函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。

1.奇偶函数：

设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。

①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,

1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。()()-()0,

1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：

对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

《

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量

)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f

/

函数周期性的几个重要结论

2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=

3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=

4、)(1)(x f a x f =+

⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1

)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=

6、)

(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= "

7、 1)(1)(+-

=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2=

8、)

(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=

10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则

推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=

推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=

、

函数的对称性：

（1）中心对称即点对称：

①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --

②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--

③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=

④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-

⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--=

（2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。

" ①))(2,)(2(),(),(2222//B

A C By Ax

B y B A

C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于直线成轴对称；0=++C By Ax ②函数))(2()(2)(2222B A C By Ax A x f B A C By Ax B y x f y +++-=+++-

=与关于直线 0))(2,)(2(0),(2222=+++-+++-=B

A C By Ax

B y B A

C By Ax A x F y x F 与0=++C By Ax 成轴对称。 ③关于直线

0=++C By Ax 成轴对称。

{

二、函数对称性的几个重要结论

、

（一）函数)

y=图象本身的对称性（自身对称）

(x

f

若()()

f x具有对称

+=±-，则()

f a x f b x

f x a f x b

+=±+，则()

f x具有周期性；若()()

性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

推论1：)

x=对称

=

+⇔)

f-

y=的图象关于直线a

(x

f

)

a

(x

(

x

f

a

推论2、)

x=对称

=⇔)

f-

f

y=的图象关于直线a

(x

)

2(

(x

a

f

x

推论3、)

x=对称

-⇔)

(x

=

y=的图象关于直线a

f

(x

)

2(

a

f

x

f+