华东师范大学数学系《数学分析》讲义重积分【圣才出品】
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第12章 数项级数12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 名校考研真题详解第13章 函数列与函数项级数13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 名校考研真题详解第14章 幂级数14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 名校考研真题详解第15章 傅里叶级数15.1 复习笔记15.2 课后习题详解15.3 名校考研真题详解第16章 多元函数的极限与连续16.1 复习笔记16.2 课后习题详解16.3 名校考研真题详解第17章 多元函数微分学17.1 复习笔记17.2 课后习题详解17.3 名校考研真题详解第18章 隐函数定理及其应用18.1 复习笔记18.2 课后习题详解18.3 名校考研真题详解第19章 含参量积分19.1 复习笔记19.2 课后习题详解19.3 名校考研真题详解第20章 曲线积分20.1 复习笔记20.2 课后习题详解20.3 名校考研真题详解第21章 重积分21.1 复习笔记21.2 课后习题详解21.3 名校考研真题详解第22章 曲面积分22.1 复习笔记22.2 课后习题详解22.3 名校考研真题详解第23章 向量函数微分学23.1 复习笔记23.2 课后习题详解23.3 名校考研真题详解第12章 数项级数12.1 复习笔记一、级数的收敛性1．相关定义（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式u1＋u2＋…u n＋… （12-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑u n．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u n．若{S n}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．2．重要定理。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)-第十五章至第十七章(圣才出品)
第15章傅里叶级数15.1复习笔记一、傅里叶级数1．三角级数·正交函数系（1）称（15-1）是由三角函数列（也称为三角函数系）1，cos x，sin x，cos2x，sin2x，…，cos nx．sin nx，…（15-2）所产生的一般形式的三角级数．（2）若级数收敛，则级数（15-1）在整个数轴上绝对收敛且一致收敛．（3）若两个函数与在[a，b]上可积，且则称函数与在[a，b]上是正交的．由此，三角函数系（15-2）在[－π，π]上具有正交性，或称（15-2）是正交函数系．2．以2π为周期的函数的傅里叶级数（1）若在整个数轴上（15-3）且等式右边级数一致收敛．则有如下关系式：（15-4）（2）若f是以2π为周期且在[－π，π]上可积的函数，则按公式（15-4）计算出的a n 和b n称为函数f（关于三角函数系）的傅里叶系数．以f的傅里叶系数为系数的三角级数称为f（关于三角函数系）的傅里叶级数，记作（15-5）3．收敛定理（1）傅里叶级数收敛定理若以2π为周期的函数f在[－π，π]上按段光滑，则在每一点x∈[－π，π]，f的傅里叶级数（4）收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值，即其中a n，b n为f的傅里叶系数．（2）按段光滑若f的导函数在[a，b]上连续，则称f在[a，b]上光滑．但若定义在[a，b]上除了至多有有限个第一类间断点的函数f的导函数在[a，b]上除了至多有限个点外都存在且连续．在这有限个点上导函数f′的左、右极限存在，则称f在[a，b]上按段光滑．根据上述定义，若函数f在[a，b]上按段光滑，则有如下重要性质：①f在[a，b]上可积；②在[a，b]上每一点都存在f（x±0），且有③补充定义f′在[a，b]上那些至多有限个不存在点上的值后（仍记为f′），f′在[a，b]上可积．（3）若f是以2π为周期的连续函数，且在[－π，π]上按段光滑，则f的傅里叶级数在（－∞，＋∞）上收敛于f．二、以2l为周期的函数的展开式1．以2l为周期的函数的傅里叶级数设f是以2l为周期的函数，则F的傅里叶级数展开式是（15-6）与（15-7）这里（15-7）式是以2l为周期的函数f的傅里叶系数，（15-6）式是f的傅里叶级数．若函数ｆ在[－l，l]上按段光滑，则同样可由收敛定理知道（15-8）2．偶函数与奇函数的傅里叶级数（1）设f是以2l为周期的偶函数，或是定义在[－l，l]上的偶函数，则在[－l，l]上，f （x）cos nx是偶函数，f（x）sin nx是奇函数．因此，f的傅里叶系数（15-7）是（15-9）于是f的傅里叶级数只剩有余弦函数的项，即（15-10）（15-10）式右边的级数称为余弦级数．（2）同理，若f是以2l为周期的奇函数，或是定义在[－l，l]上的奇函数，则可推得（15-11）所以当f为奇函数时，它的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即（15-12）（12）式右边的级数称为正弦级数．三、收敛定理的证明1．预备定理1（贝塞尔（Bessel）不等式）若函数f在[－π，π]上可积，则（15-13）其中a n，b n为f的傅里叶系数，（15-13）式称为贝塞尔不等式．2．推论①黎曼-勒贝格定理若f为可积函数，则（15-14）②若f为可积函数，则（15-15）3．预备定理2若f（x）是以2π为周期的函数，且在[－π，π]上可积，则它的傅里叶级数部分和S n （x）可写成当t＝0时，被积函数中的不定式由极限来确定．4．收敛定理若以2π为周期的函数，在[－π，π]上按段光滑，则在每一点x∈[－π，π]，f的傅里叶级数（15-5式）收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值，即其中a n，b n为f的傅里叶系数．15.2课后习题详解§1傅里叶级数1．在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数：解：（1）（i）f（x）及其周期延拓的图像如图15-1所示，图15-1显然f（x）在（－π，π）内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数，因为。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(名校考研真题 不定积分)【圣才出品】
解：f（x）的原函数为
．当 x≤1 时，有
当 x＞1 时，有
所以 f（x）的原函数为
．
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un
n1
收敛，从而 un
0 ，即
f
(xn )
0 ，也即
f (xn ) 0 ，故对上述的 ，存在 N N¢ ，使得
当 n N 时，
f (xn )
2
.
取 X a N ，则当 x X 时，因
x a, Ua (k 1) ,a k k 0
故存在惟一的 k N¢ ，使得 x a (k 1) , a k ，易见 k N ，且
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第 8 章 不定积分
1．设 f (x) d x 收敛,且 f (x) 在 a,上一致连续，证明 lim f (x) ＝ 0. [上海
a
x
交通大学 2004 研]
证明：因 f (x) 在 a,上一致连续，故对于 0 ， 0 ，使得当
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4．求不定积分 解：
[华东师范大学研]
5．求不定积分 解：令 t＝lnx，则
[四川大学研]
6．求
（a 为常数）．[西安交通大学研]
解：（1）当 a＝－1 时，
（2）当 a≠－1 时，
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x2
x台2 )
dx
ln(1 x2 )d 1 x
ln(1 x2 )
1
2x dx
x
x 1 x2
ln(1 x2 ) 2 1 dx
x
21-9——华东师范大学数学分析课件PPT
第3步： D J(u,v)dudv.
第4步： D J (u,v)dudv.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第1步的证明 设(u0,v0 ) int , 0,取正数
J u0,v0 满足1 2 J u0,v0 J u0,v0 .
v
dudv
4n
,
由定理16.2，存在u0,v0 In int . 于是 0,
J u0,v0 I
J u,vdudv I .
I
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第2步的证明 若有正方形I int 使
T I J u,vdudv 0,
I
将I等分为4个小正方形，则4个小正方形中必有一个
a xu,v x u,v b yu,v y u,v
a b a b .
2 2M 2 2M 2M 2M 2
同理
v1
v
2
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
设 I1 是与 I同中心的正方形，边长是1 ，从而
(u1,v1) I .于是
u1 v1
u v
,
由此
u1 v1
u v
a c
b d
x y
u1 u1
, ,
v1 v1
x y
u, u,
v v
.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
于是
u1 u a x u1,v1 x u,v b y u1,v1 y u,v a xu,v xu,v b yu,v yu,v
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-重积分(圣才出品)
证明：假设 f 在 D 上可积，但在 D 上无界，那么，对 D 的任一分割
，
必在某个小区域 上无界．
当 i≠k 时，任取
令
由于 f 在 上无界，从而存在 从而
使得
另一方面，由 f 在 D 上可积知：存在
对任一 D 的分割
当
时，T 的任一积分和
都满足
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时）．即 f（x，y）在 D 上不可积．
因此
的极
7．证明：若 f（x，y）在有界闭区域 D 上连续，g（x，y）在 D 上可积且不变号，则
存在一点
使得
证明：不妨设
令 M，m 分别是 f 在 D 上的最大、最小值，从而
若
＝0，则由上式
若
则必大于 0，于是
于是任取
即可．
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为D内
证明：设 D 在 x 轴和 y 轴上的投影区间分别为[a，b]和[c，d]．
考虑
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由于
因此
所以
，同理可证
得
到
7．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 表示有理数 x 化成既约分数后的分母．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分存在而两个
同理可证先 y 后 x 的累次积分不存在．
8．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 意义同第 7 题．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在．
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证明：因为在正方形的任何部分内，函数 f 的振幅等于 1．所以二重积分不存在．对固
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-曲面积分(圣才出品)
的上半部分并取外侧为正向；
其中 S 是球面
并取外侧
为正向。
解：（1）因
所以原积分 （2）由对称性知只需计算其中之一即可。 由于
因此原积分＝3 × 8＝24。 （3）由对称性知，
（4）作球坐标变换，令
则
故
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（5）由轮换对称知只计算
面所围的立方体表面并取外侧为正向； 其中 S 是以原点为中心，边长为 2 的立方体
表面并取外侧正向； 其中 S 是由平面 x＝y＝z＝0 和 x＋y＋z＝1 所围的四面
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体表面并取外侧为正向；
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其中 S 是球面
解：（1）因
从而
（2）面积 S 由两部分 组成，其中 面上的投影区域都是
由极坐标变换可得
它们在：xOy
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2．求均匀曲面 解：设质心坐标为
x≥0，y≥0，z≥0 的质心。 ，由对称性有：
其中 S 为所求曲面的面积， 而
解：
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由柱面坐标变换
z＝z，0≤0≤2π，0≤r≤h，r≤z≤h
（5）原曲线不封闭，故添加辅助曲面
有
2．应用高斯公式计算三重积分
≤1 与
所确定的空间区域。
解：
其中 V 是由 x≥0，y≥0，0≤z
3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分： 其中 L 为 x＋y＋z＝1 与三坐标面的交线，
则
D 为 S 在 xOy 面投影
所以质心坐标为
华东师范大学数学系《数学分析》讲义-第二十章至第二十二章【圣才出品】
第20章曲线积分[视频讲解]20.1本章要点详解本章要点■第一型曲线积分的定义■第一型曲线积分的性质■第一型曲线积分的计算■第一型曲线积分的几何意义■第二型曲线积分的定义■第二型曲线积分的主要性质■第二型曲线积分的计算■两类曲线积分的联系重难点导学一、第一型曲线积分1．第一型曲线积分的定义设L 为平面上可求长度的曲线段，f （x ，y ）为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i （i ＝1，2，…，n ），L i 的弧长记为Δs i ，分割T 的细度为1max i i nT S ≤≤=∆，在L i 上任取一点（ζi ，ηi ）（i ＝1，2，…，n ）,若有极限且J 的值与分割T 与点（ζi ，ηi ）的取法无关，则称此极限为f （x ，y ）在L 上的第一型曲线积分，记作(,)d L f x y s⎰若L 为空间可求长曲线段，f （x ，y ，z ）为定义在L 上的函数，则可类似地定义f （x ，y ，z ）在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记作(,,)d Lf x y z s ⎰2．第一型曲线积分的性质（1）线性性质设L 为平面上可求长度曲线，f （x ，y ）、g （x ，y ）在L 上的第一型曲线积分存在，k 1、k 2为常数，则k 1f （x ，y ）＋k 2g （x ，y ）在L 上的第一型曲线积分也存在，且1212(,)(,)d (,)d (,)d L L Lk f x y k g x y s k f x y s k g x y s +=+⎰⎰⎰（2）可加性设L 1，L 2为平面上可求长度的曲线，且L 1的终点是L 2的起点（两条曲线首尾相接），f （x ，y ）在L 1，L 2上的第一型曲线积分存在，则f （x ，y ）在12L L L =⋃上的第一型曲线积分存在，且12(,)d (,)d (,)d L L L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰（3）积分不等式若(,)d L f x y s ⎰与(,)d Lg x y s ⎰都存在，且f （x ，y ）≤g （x ，y ），则(,)d L f x y s ⎰≤(,)d L g x y s ⎰（4）绝对值不等式若(,)d L f x y s ⎰存在，则(,)d Lf x y s ⎰也存在，且(,)d (,)d L L f x y s f x y s ≤⎰⎰（5）若(,)d L f x y s ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)d L f x y s cs=⎰这里(,)(,)sup inf L Lf x y c f x y ≤≤3．第一型曲线积分的计算（1）设有光滑曲线L ，其参数方程为如果函数f （x ，y ）在L 上连续，则f （x ，y ）在L 上的第一型曲线积分一定存在，且（2）设曲线L 由直角坐标系的方程()y x φ=表示，其中()x φ在[],a b 具有连续的导函数，则[][]2(,)d ,()1()d b L a f x y s f x x x x φφ'=+⎰⎰（3）设曲线L 由直角坐标系的方程()x y φ=表示，其中()y φ在[],c d 具有连续的导函数，则[][]2(,)d ,()1()d b L a f x y s f y y y y φφ'=+⎰⎰（4）设有空间光滑曲线L ，其参数方程为(),(),()()x x t y y t z z t t b a ≤=≤==如果f （x ，y ，z ）在L 上连续，则f （x ，y ，z ）在L 上的第一型曲线积分一定存在，且[][][][]222(,,)d (),(),()()()()d b L a f x y z s f x t y t z t x t y t z t t '''=++⎰⎰4．第一型曲线积分的几何意义设L 为xOy 面上的光滑曲线，其方程为(,)00x y z φ=⎧⎨=⎩在L 上定义连续函数f （x ，y ）≥0，它的图形是空间曲线(,):(,)0z f x y x y φ=⎧Γ⎨=⎩在柱面(,)0x y φ=上介于L 与Γ之间的曲面的面积是(,)d L f x y s ⎰．二、第二型曲线积分1．第二型曲线积分的定义设函数P（x，y）与Q（x，y）定义在平面有向可求长度曲线L：上，对L的任一分割T，它把L分成n个小弧段（i＝1，2，…，n）其中M0＝A，M n＝B．记各小弧段的弧长为Δs，分割T的细度又设T的分点M i的坐标为（x i，y i），并记．在每个小弧段上任取一点（ζi，ηi），若极限存在且与分割T与点（ζi．ηi）的取法无关，则称此极限为函数P（x，y），Q（x，y）沿有向曲线L上的第二型曲线积分．记为（20-1）积分（20-1）也可写作或为书写简洁起见积分（20-1）常简写成2．第二型曲线积分的主要性质（1）若（i ＝1，2，…，k ）存在，则也存在，且其中c i （i ＝1，2，…，k ）为常数．（2）若有向曲线L 是由有向曲线L 1，L 2，…，L k 首尾相接而成，且d d i L P x Q y +⎰（i ＝1，2，…，k ）存在，则d d L P x Q y +⎰也存在，且3．第二型曲线积分的计算设平面曲线。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 实数的完备性)【圣才出品】
§1 关于实数集完备性的基本定理1．证明数集有且只有两个聚点和解：令数集数列则数列都是各项互异的数列，根据定义2，1和－1是S的两个聚点．对任意且令由得取，则当n＞N时，或者有或者有总之由定义2知x0不是S的聚点，故数集有且只有1和－1两个聚点．2．证明：任何有限数集都没有聚点．证明：用反证法．设S是一个有限数集．假设ζ是S的一个聚点，按照定义2，在ζ的任何邻域内都含有S中无穷多个点，这个条件是不可能满足的，因为S是一个有限集．故任何有限集都没有聚点．3．设是一个严格开区间套，即满足且证明：存在惟一的一点ξ，使得证明：由题设知，是一个闭区间套．由区间套定理知，存在惟一的点ξ，使n以…，即4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立．解：（1）设则S是有界集，并且但故有理数集S在Q内无上、下确界，即确界原理在有理数集内不成立．（2）由的不足近似值形成数列这个数列是单调有上界的，2是它的一个上界．它的上确界为于是它在有理数集内没有上确界．因此，单调有界原理在有理数集内不成立．（3）设M是由的所有不足近似值组成的集合．则1.4是M的一个下界，2是M 的一个上界．即M是一个有界无限集，但它只有一个聚点故在有理数集内不存在聚点．因此，聚点定理在有理数集内不成立．（4）的不足近似值形成的数列满足柯西条件（因为当m，n＞N时，但其极限是而不是有理数，于是这个满足柯西条件的数列在有理数集内没有极限．因此，柯西收敛准则在有理数集内不成立．5．设问（1）H能否覆盖（0，1）？（2）能否从H中选出有限个开区间覆盖（i）解：（1）有有所以即故H 能覆盖（0，1）．（2）设从H 中选出m 个开区间，它们是令则并集的下确界为于是的子集，实际上故不能从H 中选出有限个开区间来覆盖从H 中选出98个开区间因为所以这些开区间覆盖了故可以从H 中选出有限个开区间覆盖6．证明：闭区间的全体聚点的集合是本身．证明：设的全体聚点的集合是M ．设不妨设则由实数集的稠密性知，集合中有无穷多个实数，故a 是的一个聚点．同理，b也是的一个聚点．设不妨设则故x 0的任意邻域内都含有中的无穷多个点，故x 0为的一个聚点．总之设令则即不是的聚点，即故M．综上所述，M＝，即闭区间的全体聚点的集合是本身．7．设为单调数列．证明：若存在聚点，则必是惟一的，且为的确界．证明：设是一个单调递增数列．假设ξ，η是它的两个不相等的聚点，不妨设ξ＜η．令δ＝η－ξ，则δ＞0，按聚点的定义，中含有无穷多个中的点，设则当n＞n1时，x n 于是中只能含有{x n }中有穷多个点，这与ξ是聚点矛盾．因此，若存在聚点，则必是惟一的．假设无界，则即任给M＞0，存在正整数N，当n＞N时，x n＞M，于是小于M 的只有有限项，因此不可能存在聚点，这与已知题设矛盾，故有界．对任给的ε＞0，由聚点定义，必存在x N，使按上确界定义知综上，若有聚点，必惟一，恰为的确界．8．试用有限覆盖定理证明聚点定理．证明：设S 是实轴上的一个有界无限点集，并且假设S没有聚点，则任意都不是S 的聚点，于是存在正数使得中只含有S中有穷多个点．而开区间集是的一个开覆盖．由有限覆盖定理知，存在的一个有限覆盖，设为它们也是S的一个覆盖．因为每一个中只含有S 中有穷多个点，故S 是一个有限点集．这与题设矛盾．故实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点．9．试用聚点定理证明柯西收敛准则．证明：设收敛，令于是，对任给的ε＞0，存在正整数N，使得当n，m ＞N时，有于是设数列满足柯西收敛准则的条件．如果集合只含有有限多个不同的实数，则从某一项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立．此时，这个常数就是数列的极限．如果集合含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的．于是由聚点定理，集合至少有一个聚点假如有两个不等的聚点ξ，η，不妨设η＞ξ，令δ＝η－ξ，则与都含有集合中无限多个点．这与取，存在正整数N ，当n ，m ＞N 时，有矛盾．故的聚点是惟一的，记之为ξ．对于任意ε＞0，存在N ，使得当n ，m ＞N 时，又因为ξ是的聚点，所以存在n0＞N ，使得因而，当n ＞N 时，故数列收敛于ξ．10．用有限覆盖定理证明根的存在性定理．证明：根的存在定理：若函数f 在闭区间上连续，且f （a ）与f （b ）异号，则至少存在一点，使得f （x 0）＝0．假设方程f （x ）＝0在（a ，b ）内无实根，则对每一点有由连续函数的局部保号性知，对每一点存在x 的一个邻域，使得f （x ）在内保持与f （x ）相同的符号．于是，所有的形成的一个开覆盖．根据有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间来覆盖．把这些开区间的集合记为S ，则点a 属于S 的某个开区间，设为它的右端点x 1＋δ1又属于S的另一个开区间，设为以此类推，经过有限次地向右移动，得到开区间，使得δn ）这n 个开区间显然就是的一个开覆盖．f （x ）在每一个内保持同一个符号．在内f （x ）与f （a ）具有相同的符号．因为所以f （x ）在内也具有f （a ）的符号．以此类推，f （b ）与f （a ）具有相同的符号．这与f （a ）与f （b ）异号矛盾．故至少存在一点，使得f （x 0）＝0．11．用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理．证明：一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，则f 在上一致连续．因为f 在上连续，所以任绐任意ε＞0，存在对任意有取．则H 是的无限开覆盖．由有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为取对任意不妨设，即当时，由于因此由一致连续定义，f 在上一致连续．§2 上极限和下极限1．求以下数列的上、下极限。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 不定积分)【圣才出品】
第8章 不定积分§1 不定积分概念与基本积分公式1．验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照（1）（2）（3）式为（4）式为解：（1）因为，所以它是对f（x）先求导再积分，等于f（x）＋C，（3）式是对f（x）先积分再求导，则等于（2）因为，由（1）可知它是对f（x）先微分后积分，则等于f（x）＋C；而（4）式是对f（x）先积分后微分，则等于f（x）dx．2．求一曲线y＝f（x），使得在曲线上每一点（x,y）处的切线斜率为2x，且通过点（2，5）．解：由题意，有f'（x）＝2x，即又由于y＝f（x）过点（2，5），即5＝4＋C，故C＝1．因而所求的曲线为y＝f（x）＝x2＋1．3．验证是|x|在（－∞,＋∞）上的一个原函数．证明：因为所以而当x ＝0时，有即y'（0）＝0．因而即是在R 上的一个原函数．4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?解：设x 0为f （x ）在区间I 上的第一类间断点，则分两种情况讨论．（1）若x 0为可去间断点．反证法：若f （x ）在区间I上有原函数F （x ），则在内由拉格朗日中值定理有，ξ在x 0和x 之间．而这与x 0为可去间断点是矛盾的，故F （x ）不存在．（2）若x 0为跳跃间断点．反证法：若f（x ）在区间I 上有原函数F （x ），则亦有成立．而这与x0为跳跃间断点矛盾，故原函数仍不存在．5．求下列不定积分：解：6．求下列不定积分：解：（1）当x≥0时，当x＜0时，由于在上连续，故其原函数必在连续可微．因此即，因此所以（2）当时，由于在上连续，故其原函数必在上连续可微．因此，即，因此所以7．设，求f（x）．解：令，则即8．举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数．解：x＝0是此函数的第二类间断点，但它有原函数另外，狄利克雷函数D（x），其定义域R上每一点都是第二类间断点，但D（x）无原函数．§2 换元积分法与分部积分法1．应用换元积分法求下列不定积分：。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)章节题库-曲面积分(圣才出品)
第22章曲面积分1．设S是椭圆面的上半部分，点，Ⅱ为S在点P的切平面， （x，y，z）为点O（0，0，0）到平面Ⅱ的距离，求．解：设（X，Y，Z）为Ⅱ上任意一点，则Ⅱ的方程为由此易知由S的方程有，于是其中是S在xOy平面上的投影．作极坐标变换容易求出：2．计算积分其中S：x＋y＋z＝t，解：将z＝t－x－y代入整理可得：由此可知，当时，平面S在球内；当时，平面S在球之外，所以显然当时．F（t）＝0，所以只需计算时的积分：其中D是式（1）所表示的区域．作变换则D变为，其中．于是对式（3）右边进一步计算得所以3．设曲面S由方程所确定，求曲面S的面积．解：在球坐标变换：x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ之下，曲面S的方程是，其参数方程为通过计算易知，由此得由曲面的对称性，只需求第一卦限部分的面积即可．而此时，并且由曲面方程知cos2θ≥0，所以0≤θ≤π/4．故S的面积为4．计算曲面积分，其中S是曲面x2＋y2＝R2及两个平面z＝R，z＝－R（R>0）所围的立体的表面的外侧（数学Ⅰ，Ⅱ）．解：设S1，S2，S3分别为S的上、下底面和圆柱侧面，则记S1＋S2在xOy平面上的投影区域为D xy，则在S3上，而S3在yOz平面上的投影区域D yz：－R≤y≤R，－R≤z≤R，故从而曲面积分5．求，其中S是球面x2＋y2＋z2＝a2（x>0，y≥0，z≥0）的第一卦限部分，取外侧．解：球面在点（x，y，z）处的法向量为，由两类曲面积分的关系，有（利用轮换对称性）其中，x≥0，y≥0．作极坐标变换，有6．计算曲面积分S是闭曲面|x－y＋z|＋|y－z＋x|＋|z－x＋y|＝1，方向取外侧．解：由高斯公式，可得其中Ω是由闭曲面S所围的空间区域．作变换：u＝x－y＋z，v＝y－z＋x，w＝z－x＋y，则区域力变成Ω1：|u|＋|v|＋|w|≤1．由对称性，有7．计算第二型曲面积分其中f（x，y，z）为连续函数，∑是平面x－y＋z＝1在第四卦限部分，方向取上侧．解：设曲面∑的单位法向量为（cosα，cosβ，cosγ），则dydz＝cosαdS，dzdx＝cosβdS，dxdy＝cosγdS．由此可得具体到本例，，因而dydz＝dxdy，dzdx＝－dxdy．于是其中D xy＝{（x，y）1≤x≤1＋y，－1≤y≤0}是曲面∑在xOy平面的投影。
《数学分析》(第3版)(上下册) 华东师范大学 第21章重积分 21-4
但是仍然有下面的结论.பைடு நூலகம்
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y
2
E
F
2
O
A
D B
A
x
B
C
D
O
Rr
(a )
(b )
图2126
定理21.14 设 f (x, y) 满足定理21.13 的条件, 且在
极坐标变换 (8)下, x y 平面上的有界闭域 D 与 r 平
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一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u,v)(x,y)0, (u,v) , (u,v)
则有
f ( x ,y ) d x d y f ( x ( u ,v ) ,y ( u ,v ) ) |J ( u ,v ) |d u d v .
D
证 用曲线网把 分成 n 个小区域 i , 在变换 T 作用
为 的扇形 BBAA后所得的区域(图21-26(a)),则
在变换 (8)下,D 对应于 [,R ] [ 0 ,2 ] ,且
D 与 之间是一一对应的( 图 21-26 (b) ). 又因在
上 J(r,)0,于是由定理21.13, 有
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f ( x ,y ) d x d y f ( r c o s,r s i n ) r d r d .( 1 0 )
n
f(x (u i,v i),y (u i,v i))|J (u i,v i)| ( i).
i 1
这个和式是可积函数 f ( x ( u ,v ) ,y ( u ,v ) ) |J ( u ,v ) |
在 上的积分和. 又由变换 T 的连续性可知, 当 的分割 T :{ 1 , 2 , n } 的细度 ||T ||0时, D 的 相应分割 T D :{ D 1 ,D 2 , D n } 的细度|| T D || 也趋于零. 因此得到
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 定积分)【圣才出品】
第9章 定积分§1 定积分概念1．按定积分定义证明：证明：对于[a ，b]的任一分割，任取，f （x ）＝k 相应的积分和为从而可取δ为任何正数，只要使，就有根据定积分定义有2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：解：（1）因f （x ）＝x 3在[0，1]上连续，所以f （x ）在[0，1]上可积．对[0，1]进行n 等分，记其分割为，取为区间的右端点，i ＝1，2，…，n ，得（2）同（1），有（3）由在[a，b]上连续知，f（x）在[a，b]上可积，对[a，b]进行n等分，记其分割为，则，取为区间的右端点，i＝1，2，…，n，得（4）同（3），取，得§2 牛顿-莱布尼茨公式1．计算下列定积分：解：（7）先求原函数，再求积分值：2．利用定积分求极限：解：（1）把极限化为某一积分的极限，以便用定积分来计算，为此作如下变形：这是函数在区间[0，1]上的一个积分和的极限．这里所取的是等分分割，，而恒为小区间的右端点，i＝1，2，…，n．所以有（2）不难看出，其中的和式是函数在区间[0，1]上的一个积分和．所以有（3）（4）3．证明：若f在[a，b]上可积，F在[a，b]上连续，且除有限个点外有F'（X）＝f（x），则有证明：对[a，b]作分割，使其包含等式F'（x）＝f（x）不成立的有限个点为部分分点，在每个小区间上对F （x ）使用拉格朗日中值定理，则分别存在，使于是因为f 在[a ，b]上可积，所以令，有§3 可积条件1．证明：若T '是T 增加若干个分点后所得的分割，则证明：设T 增加p 个分点得到T '，将p 个新分点同时添加到T ，和逐个添加到T ，都同样得到T '，所以我们只需证p ＝1的情形．在T 上添加一个新分点，它必落在T 的某一小区间内，而且将分为两个小区间，记作与．但T 的其他小区间（i≠k）仍旧是新分割T 1所属的小区间，因此，比较的各个被加项，它们之间的差别仅仅是前者中的一项换为后者中的两项．又因函数在子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅，即有．故即一般的，对增加一个分点得到，就有这里，故2．证明：若f（x）在[a，b]上可积，[α，β][a，b]，则f（x）在[α，β]上也可积．证明：已知f（x）在[a，b]上可积，故任给ε＞0，存在对[a，b]的某分割T，使得，在T上增加两个分点α，β，得到一个新的分割T'，则由上题结论知分割T'在[α，β]上的部分，构成[α，β]的一个分割，记为T*，则有故由可积准则知，f（x）在[α，β]上可积．3．设f、g均为定义在[a，b]上的有界函数．证明：若仅在[a，b]中有限个点处f（x）≠g（x），则当f在[a，b]上可积时，g在[a，b]上也可积，且证明：设f（x）与g（x）在[a，b]上的值仅在k个点处不同，记，由于f （x ）在[a ，b]上可积．存在，使当时，有令，则当时，有当时，，所以上式中至多仅有k项不为0，故这就证明g（x）在[a，b]可积，且。
数学分析第四版华东师大版21章_重积分
设d max B(x),c min A(x).
x[ a ,b ]
x[ a ,b ]
D [a,b][c, d ] R.
构造一个定义在矩形区域
[a,b][c, d ] R上的二元函数
{f (x, y),(x, y) D,
F (x, y) 0, (x, y) R \ D.
证明
F (x, y)在矩形区域[a,b][c, d ] R上可积,且
a
I
(
x)dx也存
在,
并且
b dx d
a
c
f
(x,
y)dy
D
f
(x, y)d .
证明
对闭区间[a, b]作分割 a x0 x1 xm b, 对闭区间[c, d ]作分割 c y0 y1 yl d , 由此构成矩形区域D [a,b][c, d ]上的一个分割T , 它将矩形D分解为ml个小矩形. 记ik 为小矩形[xi1, xi ][ yk1, yk ], i 1,2, , m; k 1,2, ,l. xi xi xi1, yk yk yk1, ik的面积为| ik | xi yk ,|| T || maxi,k{d (ik )}
i1 k 1
i 1
i1 k 1
f (x, y)在D上的二重积分存在,
故 lim ||T ||0
i,k
mik • | ik
| lim ||T ||0
i,k
M ik • |
ik
|
f (x, y)dxdy.
D
m
lim
||T ||0
i 1
I (i )xi
f (x, y)dxdy.
D
b
bd
a I (x)dx a dxc f (x, y)dy D f (x, y)dxdy.
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)章节题库-重积分(圣才出品)
显然当 p>1 时，积分收敛，且积分值为
．
13．计算广义三重积分
其中 D 为 解：作变换：
．
，则
，
所以
．
其中 D′为
．
再作球坐标变换
则
．且
．而
故
其中 作变换：
．由上式可见，积分是存在的，下面展开计算． ，则
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其中在 内
．在
内
，所以
原式
（3） 所以
，其中
（4）积分区域为 y 是奇函数，所以
，D 关于 x 轴对称，而函数
从而原式 令 原式
，则
所以
关于
（5）方法一 积分区域关于直线 y=x 对称，所以
故
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方法二 作变换 x＋y=u，x－y=v，则 D 变为
于是
，所以
（6）积分区域关于 y=x 对称，所以
于是
故
3．作极坐标变换，将二重积分
化为定积分，其中 解：如图 21-1 所示：
图 21-1
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令
，则
4．计算积分
其中 解：因为积分区域 D 关于 x 轴对称，而
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因此球体Ω的重心坐标为
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．
10．求由
所围的立体的体积．
解：显见立体关于 xOy 平面、yOz 平面对称．在上半空间 y≥0 上，用 表示位于第一
华东师范大学数学系《数学分析》讲义-第十六章至第十九章【圣才出品】
是二元函数 f 的图像．z＝f（x，y）的图像是一空间曲面，f 的定义域 D 是该曲面在 xOy 平 面上的投影．
4．n 元函数 所有有序实数组（x1，x2，…，xn）的全体称为 n 维向量空间，简称 n 维空间，记作 Rn．其中每个有序实数组（x1，x2，…，xn）称为 Rn 中的一个点，n 个实数 x1，x2，…，xn 是这个点的坐标． 设 E 为 Rn 中的点集，若有某个对应法则 f，使 E 中每一点 P（x1，x2，…，xn）都有唯 一的一个实数 y 与之对应，则称 f 为定义在 E 上的 n 元函数（或称 f 为 E R2 到 R 的一个 映射），记作
f：E→R 也常把 n 元函数简写成
y＝f（x1，x2，…，xn），（x1，x2，…，xn）∈E 或
y＝f（P），P∈E
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圣才电子书 十万数的极限 1．二元函数的极限
（1）设 f 为定义在 D R2 上的二元函数，Pn 为 D 的个聚点，A 是一个确定的实数， 若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当 P U 0 (P0; ) D 时，都有
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第 16 章 多元函数的极限与连续[视频讲解] 16.1 本章要点详解 本章要点
■点和点集之间的关系 ■R2 上的完备性定理 ■二元函数的极限 ■累次极限 ■累次极限与重极限的关系 ■有界闭域上连续函数的性质
重难点导学
f：D→R 且称 D 为 f 的定义域 P∈D 所对应的 z 为 f 在点 P 的函数值，记作 z＝f（P）或 z＝f（x，y）
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华东师范大学数学系《数学分析》讲义-第十二章至第十五章【圣才出品】
或一般项．
数项级数（12-1）也常写作
或简单写作∑un．
（2）数项级数（12-1）的前 n 项之和，记为
称它为数项级数（12-1）的第 n 个部分和，也简称部分和． （3）若数项级数（12-1）的部分和数列{Sn}收敛于 S，则称数项级数（12-1）收敛，
称 S 为数项级数（12-1）的和，记作
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①若对一切 n＞N0，不等式
成立，则级数∑un 收敛； ②若对一切 n＞N0，不等式
成立，则级数∑un 发散． （4）根式判别法的极限形式 设∑un 为正项级数，且
则 ①当 l＜1 时，级数∑un 收敛； ②当 l＞1 时，级数∑un 发散． 注：若 l＝1，则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判断． 3．积分判别法 设 f 为[1，＋∞）上非负减函数，则正项级数∑f（n）与反常积分
成立，则级数∑un 发散． （2）比式判别法的极限形式 若∑un 为正项级数，且
则 ①当 q＜1 时，级数∑un 收敛； ②当 q＞1 或 q＝＋∞时，级数∑un 发散． 注：若 q＝1 时，用比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，
也可能是发散的． （3）柯西判别法，或称根式判别法 设∑un 为正项级数，且存在某正数 N0 及正常数 l
（2）去掉、增加或改变级数的有限个项，不改变级数的敛散性． （3）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．
二、正项级数
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若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数，对于同号级数，各项都是由正数组
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(章节题库 定积分的应用)【圣才出品】
3．求曲线
的全长．
解：将曲线改写成参数方程，并计算微弧：
因此
4．已知抛物叶形线 作 M．求
如图 10-3 所示，其中当 0≤x≤3 时的叶形部分记
（1）M 的面积；
（2）M 的周长；
（3）M 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积
（4）M 绕 x 轴旋转所得旋转体的侧面积
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图 10-1 则
的切线，切线与 x 轴交点的横坐标是
即切点的横坐标是
于是切线斜率为
（2）所求的旋转体的体积为
切线方程是
Hale Waihona Puke 2．求圆的渐伸线和连接
两个端点：起点 A（a，0）与终点 B（a，-2πa）的直线段 AB 所围成图形的面积，并求
渐伸线的弧长
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第 10 章 定积分的应用
1．过点（4，0）作曲线
的切线．
（1）求切线的方程；
（2）求由这条切线与该曲线及 x 轴所围成的平面图形（如图 10-1 所示）绕 x 轴旋转
一周所得的旋转体的体积．
解：（1）令 过点（4，0）作曲线
（5）M 的重心．
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解：（1）由对称性，只要求出 果，即
图 10-3 与 x 轴所围成的面积，两倍即得结
（2） 由此即得
（3） （4） （5）由对称性，
5．求抛物体
的重心和绕 z 轴的转动惯量（已知抛物体的密度为 1）．
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华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)-第二十一章至第二十三章(圣才出品)
①Δi 上的点都是 P 的内点；
②Δi 上的点都是 P 的外点，即
；
③Δi 上含有 P 的边界点；
图 21-1
将所有介于直线网 T 的第①类小矩形（图 21-1 中阴影部分）的面积加起来，记这个和
数为 sp（T），则有
（这里ΔR 表示包含 P 的那个矩形 R 的面积）；将所有第①
类与笫③类小矩形（图 21-1 中粗线所围部分）的面积加起来，记这个和数为 Sp（T），则有
二、直角坐标系下二重积分的计算 1．定义在矩形区域 D＝[a，b]×[c，d]上二重积分计算问题 （1）设 f（x，y）在矩形区域 D＝[a，b]×[c，d]上可积，且对每个 x∈[a，b]，积分
存在，则累次积分
也存在，且
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三、格林公式、曲线积分与路线的无关性 1．格林公式 （1）设区域 D 的边界 L 中一条或几条光滑曲线所组成边界曲线的正方向规定为：当人 沿边界行走时，区域 D 总在它的左边；如图 21-2 所示，与上述规定的方向相反的方向称为 负方向，记为－L．
图 21-2 （2）若函数 P（x，y），Q（x，y）在闭区域 D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则
（21-3）
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则称 f（x，y）在 D 上可积，数 J 称为函数 f（x，y）在 D 上的二重积分，记作
（21-4） 其中 f（x，y）称为二重积分的被积函数，x，y 称为积分变量，D 称为积分区域．
（2）f（x，y）在 D 上可积的充要条件是： （3）f（x，y）在 D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在 D 的某个分割 T， 使得 （4）有界闭区域 D 上的连续函数必可积． （5）设ε在有界闭域 D 上有界，且其不连续点集 E 是零面积集，则 f（x，y）在 D 上 可积． 3．二重积分的性质 （1）若 f（x，y）在区域 D 上可积，k 为常数，则 kf（x，y）在 D 上也可积，且
华东师范大学数学系《数学分析》讲义定积分【圣才出品】
第9章定积分9.1本章要点详解本章要点■定积分的概念■牛顿-莱布尼茨公式■可积条件■定积分的性质■微积分基本定理/定积分计算重难点导学一、定积分概念1．问题提出背景类似计算曲边梯形面积的几何问题和求变力做功的力学问题，求解的思想方法可以用“分割，近似求和，取极限”来概括，这也是产生定积分概念的背景．2．定积分的相关定义（1）设闭区间[,]a b 上有1n +个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，它们把[,]a b 分成n 个小区间1[,],1,2,,i i i x x i n -∆==L ，这些分点或这些闭子区间构成对[,]a b 的一个分割，记为{}01,,,n T x x x =L 或{}12,,,n ∆∆∆L小区间i ∆的长度为1i i i x x x -∆=-并记1||||max{}i i nT x ≤≤=∆称为分割T 的模．（2）设f 是定义在[,]a b 上的一个函数，对于的[,]a b 一个分割12{,,,}n T =∆∆∆L ，任取点,1,2,,i i i n ξ∈∆=L ，并作和式1()n i i i f x ξ=∆∑，称此和式为函数f 在[,]a b 上的一个积分和，又称黎曼和．（3）设f 是定义在[,]a b 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[,]a b 的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要||||T δ<，就有1|()|ni i i f x J ξε=∆-<∑，则称函数f 在区间[,]a b 上可积或黎曼可积．数J 称为f 在[,]a b 的定积分或黎曼积分，记作()d ba J f x x =⎰其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[,]ab 称为积分区间，,a b 分别称为这个定积分的下限和上限．二、牛顿-莱布尼茨公式若函数f 在[,]a b 上连续，且存在原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈，则f 在[,]a b 上可积，且()d =()()ba f x x Fb F a -⎰上式称为牛顿-莱布尼茨公式．它也常写成()d =()b ba a f x x F x ⎰三、可积条件1.可积的必要条件若函数f 在[,]a b 上可积，则f 在上[,]a b 必定有界．2.可积的充要条件（1）可积准则函数f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给0ε>，总存在相应的一个分割T ，使得()(T)S T s ε-<（2）可积准则的改述函数f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给0ε>，总存在相应的某一分割T ，使得i i T xωε∆<∑3.可积的充分条件（1）若f 为[,]a b 上的连续函数，则f 在[,]a b 上可积．（2）若是f 区间[,]a b 上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[,]a b 上可积．（3）若f 是[,]a b 上的单调函数，则f 在[,]a b 上可积．四、定积分的性质1.定积分的基本性质（1）若f 在[,]a b 上可积，k 为常数，则kf 在[,]a b 上也可积，且()()d d b b a a kf x x k f x x =⎰⎰（2）若f ，g 都在[,]a b 上可积，则f g ±在[,]a b 也可积，且()()[()()]d d d b b ba a a f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰（3）若,f g 都在[,]ab 上可积，则f ·g 在[a ，b ]上也可积．（4）f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给(,)c a b ∈，f 在[,]a c 与[,]c b 上都可积，此时又有等式()()()d d d b c ba a c f x x f x x f x x =+⎰⎰⎰（5）设f 为[,]a b 上的可积函数，若()0,[,]f x x a b ≥∈，则()d 0ba f x x ≥⎰推论：积分保不等式性若f 与g 为[,]a b ]上的两个可积函数，且()g(x),[,]f x x a b ≤∈，则有()()d d b ba a f x x g x x ≤⎰⎰（6）若f 在[,]ab 上可积，则||f 在[,]a b 上也可积，且()()d d b b a a f x x f x x≤⎰⎰2．积分中值定理（1）积分第一中值定理若f 在[,]a b 连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()d =()()b a f x x f b a ξ-⎰（2）推广的积分第一中值定理若f 与g 都在[,]a b 上连续，且()g x 在[,]a b 上不变号，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()()g()d =()d bba a f x x x f g x x ξ⎰⎰五、微积分学基本定理·定积分计算1．变限积分与原函数的存在性（1）定义设f 在[a ，b ]上可积，根据定积分的性质，对任何x ∈[a ，b ]，f 在[a ，x ]上也可积．于是，由（9-1）定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分．类似地，又可定义变下限的定积分Φ与ψ统称为变限积分．（2）变限积分的性质①若f在[a，b]上可积，则由式（9-1）所定义的函数φ在[a，b]上连续．②原函数存在定理（微积分学基本定理）若f在[a，b]上连续，则由式（9-1）所定义的函数函在[a，b]上处处可导，且（3）重要定理①积分第二中值定理设函数f在[a，b]上可积，则：a．若函数g在[a，b]上减，且g（x）≥0，则存在ξ∈[a，b]，使得b．若函数g在[a，b]上增，且g（x）≥0，则存在η∈[a，b]，使得②推论设函数f在[a，b]上可积．若g为单调函数，则存在ξ∈[a，b]，使得2．换元积分法与分部积分法（1）定积分换元积分法若函数f在[a，b]上连续，φ在[α，β]上可积，且满足则有定积分换元公式（2）定积分分部积分法若u（x），ν（z）为[a，b]上的可微函数，且u′（x）和ν′（x）都在[a，b]上可积，则有定积分分部积分公式3．泰勒公式的积分型余项设函数f在点x0的某邻域U（x0）上有n＋1阶连续导函数．令x∈U（x0），则（1）积分型余项（2）拉格朗日型余项。
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第21章重积分
21.1本章要点详解
本章要点
■二重积分的概念
■二重积分的定义、存在性及性质
■格林公式
■曲线积分与路径无关的定义
■二重积分的变量替换
■三重积分的定义、计算
■重积分的应用
重难点导学
一、二重积分的概念
1．平面图形的面积
（1）设P是一平面有界图形，用某一平行于坐标轴的一组直线网T分割这个图形（如图21-1所示）这时直线网T的网眼——小闭矩形Δi可分为三类
①Δi上的点都是P的内点；
②Δi上的点都是P的外点，即；
③Δi上含有P的边界点．
图21-1
将所有介于直线网T 的第①类小矩形（如图21-1中阴影部分）的面积加起来，记这个和数为s p （T ），则有（这里ΔR 表示包含P 的那个矩形R 的面积）；将所有第①类与笫③类小矩形（如图21-1中粗线所围部分）的面积加起来，记这个和数为S p （T ），则有s p （T ）≤S p （T ）．
由确界存在定理可以推得，对于平面上所有直线网，数集{s p （T ）}有上确界，数集{S p （T ）}有下确界，记
显然有
通常称I P 为P 的内面积，P I 为P 的外面积．
（2）若平面图形P 的内面积I P 等于它的外面积P I ，则称P 为可求面积，并称其共同值P P P I I I ==为P 的面积．
（3）平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给的ε＞0，总存在直线网T ，使得
S p （T ）－s p （T ）＜ε
（4）平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积0P I =，即对任给的ε＞0，存在直线网T ，使得S p （T ）＜ε或对任给的ε＞0，平面图形P 能被有限个面积总和小于ε的
小矩形所覆盖．
（5）平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零．
（6）若曲线K为定义在[a，b]上的连续函数f（x）的图像，则曲线K的面积为零．（7）参数方程所表示的光滑曲线K的面积为零．
（8）由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的．
2．二重积分的定义及其存在性
（1）设f（x，y）是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数，J是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D的任何分割T，当它的细度时，属于T的所有积分和都有
则称f（x，y）在D上可积，数J称为函数f（x，y）在D上的二重积分，记作
其中f（x，y）称为二重积分的被积函数，x，y称为积分变量，D称为积分区域．
（2）f（x，y）在D上可积的充要条件是：．（3）f（x，y）在D上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D的某个分割T，使得S（T）－s（T）＜ε．
（4）有界闭区域D上的连续函数必可积．
（5）设ε在有界闭域D上有界，且其不连续点集E是零面积集，则f（x，y）在D上可积．
3．二重积分的性质
（1）若f （x ，y ）在区域D 上可积，k 为常数，则kf （x ，y ）在D 上也可积，且
(,)d (,)d D D
kf x y k f x y σσ
=⎰⎰⎰⎰（2）若f （x ，y ），g （x ，y ）在D 上都可积，则f （x ，y ）±g （x ，y ）在D 上也积，且
（3）若f （x ，y ）在D 1和D 2上都可积，且D 1与D 2无公共内点，则f （x ，y ）在D 1∪D 2上也可积，且
（4）若f （x ，y ）与g （x ，y ）在D 上可积，且
f （x ，y ）≤
g （x ，y ），（x ，y ）∈D
则
（5）若f （x ，y ）在D 上可积，则函数|f （x ，y ）|在D 上也可积，且
（6）若f （x ，y ）在D 上可积，且
则
这里S D 是积分区域D 的面积．
（7）中值定理
若f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则存存（ξ，η）∈D ，使得
这里S D 是积分区域D 的面积．
二、直角坐标系下二重积分的计算
1．定义在矩形区域D ＝[a ，b ]×[c ，d ]上二重积分计算问题
（1）设f （x ，y ）在矩形区域D ＝[a ，b ]×[c ，d ]上可积，且对每个x ∈[a ，b ]，积分(,)d d
c f x y y ⎰存在，则累次积分
d (,)d b d
a c x f x y y ⎰⎰也存在，且(,)d d (,)d
b d
a c D f x y x f x y y σ=⎰⎰⎰⎰（2）设f （x ．y ）在矩形区域D ＝[a ，
b ]×[
c ，
d ]上可积，且对每个y ∈[c ，d ]，积分(,)d b
a f x y x
⎰存在，则累次积分d (,)d d
b
c a y f x y x ⎰⎰也存在且(,)
d d (,)d d b
c a D f x y y f x y x σ=⎰⎰⎰⎰2．定义在一般区域的二重积分计算问题
若f （x ，y ）在x 型区域D 上连续，其中y 1（x ），y 2（x ）在[a ，b ]上连续，则
21()()(,)d d (,)d b y x a y x D f x y x f x y y
σ=⎰⎰⎰⎰即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分．
三、格林公式、曲线积分与路线的无关性
1．格林公式
（1）设区域D 的边界L 中一条或几条光滑曲线所组成边界曲线的正方向规定为：当人
沿边界行走时，区域D总在它的左边；如图21-2所示，与上述规定的方向相反的方向称为负方向，记为－L．
图21-2
（2）若函数P（x，y），Q（x，y）在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有
（21-1）这里L为区域D的边界曲线，分段光滑，并取正方向．
（3）格林公式沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系．格林公式（21-1）也可写成下述形式
2．曲线积分与路线的无关性
（1）若对于平面区域D上任一封闭曲线，皆可不经过D以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域．否则称为复连通区域．
（2）设D是单连通闭区域，若函数P（x，y），Q（x，y）在D内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价
①沿D内任一按段光滑封闭曲线L，有。