常用积分表

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常用积分表

41．22dxxa+∫＝2231()
3xaC++
42．222dxxa+∫＝
4222222(2)ln()
88xaxaxaxxaC++.+++
43．22dxaxx+∫＝
2222lnxaaxaaCx+.
+++
44．222dxaxx+∫＝
2222ln()xaxxaCx+
.++++
71．22daxxx.∫＝
2222lnaaxaxaCx..
.++
72．222daxxx.∫＝
22arcsinaxxCxa.
..+
（九）含有2axbxc±++(0a>的积分
73．2dxaxbxc++∫＝21ln22axbaaxbxcCa+++++
74．2daxbxcx++∫＝224axbaxbxca+
xxax.∫＝
221Cax+
.
63．222dxxax.∫＝
222arcsin22xaxaxCa..++
64．2223d()
xxax.∫＝
22arcsinxxCaax.+
.
65．22dxxax.∫＝
221lnaaxCax..
+
66．222dxxax.∫＝
222axCax.
2()2()
abxabxCabab++.+

基本积分公式表

1 2
u 2x
2x e d (2 x )

1 u e du 2 1 u e C 2 1 2x e C 2
一般情况下：设 f (u) 有原函数 F (u) , 即 F ' (u) f (u) f (u)du F ( u) C
F ( u ) F [ ( x )] 若u ( x )可导 d F [ ( x )] F ' ( u) ' ( x ) dx f ( u) ' ( x ) f [ ( x )] ' ( x ) F[ ( x )]是 f [ ( x )] ' ( x ) 的原函数 f [ ( x )] ' ( x )dx F [ ( x )] C F ( u) C f ( u)du 这样, 我们就得到下面的定理 :
例20

x (1 x )3 dx . x 11 (1 x )3 dx
例3
sec
2
2
( 3 x 4)dx

1 3
1 sec (3 x 4) d (3 x 4) 3

sec2 (3 x 4) d (3 x 4)
1 3
令u 3 x 4

se c2 u du

1 tan u C 3 1 tan (3 x 4) C 3
例4
x
1 x dx
2
2

1 x
1 2 1 x 2 d (1 x 2 ) 1 令u 1 x 2 u du 2 3 1 2 2 2 3u C 3 3 1 2 1 2 2 u C (1 x ) C 3 3

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表1、基本积分公式： (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (8)(8) (10) (11)2、积分定理：（1）()()x f dt t f x a ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f ba b a -==⎰3、积分方法()()b ax x f +=1；设：t b ax =+()()222x a x f -=；设：t a x sin =()22a x x f -=；设：t a x sec =()22x a x f +=；设：t a x tan =()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv附：理解与记忆对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有 .当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 .是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 )例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）。

积分公式表

积分公式表在数学中，积分是微积分的重要概念之一。

积分公式是积分运算的基础，它们可以帮助我们简化积分运算过程，求解各种函数的不定积分和定积分等。

本文将介绍一些常用的积分公式和它们的应用。

一、基本积分公式1. 幂函数的积分1.1 $∫x^n \\,dx= \\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$其中C为常数。

1.2 $∫k \\,dx= kx + C$其中k为常数。

2. 三角函数的积分2.1 $∫\\sin(x) \\,dx= -\\cos(x) + C$2.2 $∫\\cos(x) \\,dx= \\sin(x) + C$2.3 $∫\\sec^2(x) \\,dx= \\tan(x) + C$其中C为常数。

3. 指数函数和对数函数的积分3.1 $∫e^x \\,dx= e^x + C$3.2 $∫\\ln(x) \\,dx= x \\ln(x) - x + C$其中C为常数。

4. 反三角函数的积分4.1 $∫\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}} \\,dx= \\arcsin(x) + C$ 4.2 $∫\\frac{1}{1+x^2} \\,dx= \\arctan(x) + C$其中C为常数。

二、常用积分公式1. 分部积分法分部积分法用于求解两个函数的乘积的积分。

公式：$∫u \\,dv= uv - ∫v \\,du$2. 替换积分变量法替换积分变量法是通过引入新的变量替换原有变量，以简化积分运算过程。

3. 常见积分公式以下是一些常见的积分公式：3.1 $∫\\frac{1}{a^2+x^2} \\,dx= \\frac{1}{a}\\arctan(\\frac{x}{a}) + C$3.2 $∫\\frac{1}{\\sqrt{a^2-x^2}} \\,dx= \\arcsin(\\frac{x}{a}) + C$3.3 $∫\\frac{1}{\\sqrt{x^2 \\pm a^2}} \\,dx= \\ln(x +\\sqrt{x^2 \\pm a^2}) + C$3.4 $∫e^{ax} \\sin(bx) \\,dx =\\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\\sin(bx)-b\\cos(bx)) + C$以上公式仅为一部分常用积分公式，对于更多的积分公式和具体的积分操作，可以参考相关的数学教材或网上资源。

常用积分表

常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠)1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a++ 2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a+-++ 4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +⎰＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++ 9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++的积分10．x C11．x ⎰＝22(3215ax b C a-+12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a -++ 13．x＝22(23ax b C a -+ 14．2x＝22232(34815a x abx b C a -++ 15．＝(0)(0)C b C b ⎧+>+< 16．2a b 17．d x x ⎰＝b +18．2d x x ⎰＝2a + （三）含有22x a ±的积分19．22d x x a +⎰=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+⎰ 21．22d x x a -⎰=1ln 2x a C a x a-++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)x C b C b ⎧+>⎪⎪⎨+<23．2d xx ax b +⎰＝21ln 2ax b C a ++24．22d x x ax b +⎰＝2d x b xa a axb -+⎰25．2d ()xx ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b ++26．22d ()x x ax b +⎰＝21d axbx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx +-+28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b +++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)Cb ac Cb ac +<+> 30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b xax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分31．＝1arsh xC a+＝ln(x C ++ 32．C +33．x C +34．x ＝C +35．2x 2ln(2a x C -++36．2x ＝ln(x C +++37．1ln a C a x +38．C +39．x 2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C ++++41．x ⎰C42．x x ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．x ＝a C ++44．x ＝ln(x C +++(0)a >的积分45．＝1arch x x C x a+=ln x C + 46．C +47．x C +48．x ＝C +49．2x ＝2ln 2a x C ++50．2x ＝ln x C +++ 51．1arccos a C a x+52．2C a x +53．x 2ln 2a x C ++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．x x ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．x arccos a a C x +58．x ＝ln x C +++(0)a >的积分59．＝arcsin x C a+ 60．C +61．x ＝C62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x arcsin x C a-+65．1ln a C a x +66．2C a x -+67．x 2arcsin 2a x C a +68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a -++69．x ⎰＝C +70．x x ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-++71．x ＝ln a a C x-+72．x ＝arcsin x C a-+(0)a >的积分73．＝2ax b C +++74．x22ax b C ++++75．x2ax b C -+++76．＝C +77．x 2C ++78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C --++80．x ＝((x b b a C --81．C ()a b <82．x 2()4b a C -+ ()a b < （十一）含有三角函数的积分83．sin d x x ⎰＝cos x C -+84．cos d x x ⎰＝sin x C +85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42x C π++＝ln sec tan x x C ++88．csc d x x ⎰＝ln tan2x C +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C +90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C +92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+ 93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++ 95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n ----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n ---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n x n x n x ----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n x n x n x ---⋅+--⎰ 99．cos sin d m n x x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n-+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n +----+++⎰100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++- 101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++- 102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++- 103．d sin x a b x +⎰tan x a b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C +22()a b < 105．d cos x a b x +⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )b x C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x-⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++- 109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++ 111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a +-+ （十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a++114．arcsin d x x x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d x x a ⎰＝arccos x x C a-117．arccos d x x x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a -118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+ 119．arctan d x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d x a x ⎰＝1ln x a C a+ 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a+124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+ 125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a --⎰ 126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n x n x a x a x a a--⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b+++ 130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n --+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+133．d ln x x x⎰＝ln ln x C + 134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰（十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ⎰＝ch x C +138．ch d x x ⎰＝sh x C +139．th d x x ⎰＝lnch x C +140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++（十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n≠⎧⎨π=⎩ 145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰ n I ＝21n n I n--1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝113312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-（n 为正偶数），0I ＝2π换元积分法一、第一换元积分法(凑微分法).二、常用凑微分公式注: 以上使用的多为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有a) 可令b) 可令c) 可令当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换.三、第二换元积分法,例题：凑微分法例1求不定积分.例2 求不定分例3计算不定积分.例4 计算不定积分例5求不定积分.例6 求下列不定积分(1) (2)例7 求下列不定积分:(1) ; (2)例8 求下列不定积分:(1) ; (2)例9求不定积分.例10 求下列不定积分:(1) ; (2) 例11求下列不定积分(1) (2)例12求不定积分.例13求不定积分.例14求下列不定积分:(1) (2)例15 求下列不定积分:(1) (2)例16求不定积分.例17求.例18 用换元法求不定积分例19 试用换元法求不定积分例20试用换元法求不定积分例21求不定积分.例22 求不定积分第二换元法例23求不定积分例24求不定积分例25计算.例26 求不定积分例27求不定积分例28求不定积分.例29求不定积分例30求不定积分.例31求不定积分.练习：求下列不定积分2.设, 求。

常用积分表

常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a++ 2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a+-++ 4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()xx ax b +⎰＝1lnax b C b x +-+ 6．2d ()xx ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++ 9．2d ()xx ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++的积分10．xC + 11．x ⎰＝22(3215ax b C a - 12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+ 13．x＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．＝(0)(0)C b C b ⎧+><16．2a b - 17．d x x ⎰＝b ⎰18．x＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan xC a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰ 21．22d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a-++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++ 24．22d x x ax b +⎰＝2d x b x a a ax b -+⎰25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a xbx b ax b--+⎰ 27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx+-+ 28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac Cb ac +<+>30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分 31．＝1arsh xC a+＝ln(x C + 32．C +33．xC34．x＝C +35．2x2ln(2a x C ++ 36．2x＝ln(x C +++37．1C a + 38．C + 39．x2ln(2a x C ++ 40．x＝2243(25ln(88x x a a x C +++ 41．x ⎰C 42．x x ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．d x x ⎰ln a a C x+44．2d x x ⎰＝ln(x C x-+++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C +++50．2x ＝ln x C +++51．1arccosaC ax+52．C +53．x 2ln 2a x C ++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．x x ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．d x x⎰arccos a a C x -+58．2d x x ⎰＝ln x C x-+++(0)a >的积分59．＝arcsin xC a+ 60．C +61．x ＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x arcsinxC a-+65．1C a +66．C +67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a-+69．x ⎰＝C +70．x x ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．d x x ⎰ln a a C x ++72．2d x x ⎰＝arcsin xC x a--+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x75．x 76．＝C +77．x 2C +78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C -+-81．C ()a b <82．x 2()arcsin 4b a C -+ （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+ 84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42x C π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m n x x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m nm x x x x x m n m n-+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n +----+++⎰100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰＝tanxa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C +22()a b <105．d cos xa b x+⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a+108．2222d cos sin xa xb x-⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++- 109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d xx a ⎰＝arcsin x x C a+114．arcsin d xx x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d xx x a⎰＝3221arcsin (239x x x a C a +++116．arccos d xx a ⎰＝arccos x x C a-117．arccos d xx x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --+118．2arccos d xx x a⎰＝3221arccos (239x x x a C a -++119．arctan d xx a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+121．2arctan d xx x a⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++（十三）含有指数函数的积分122．d x a x ⎰＝1ln xa C a + 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a +124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a -+125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax nx x x a a--⎰126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x xx a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n xn x a x a x a a --⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b+++130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++（十四）含有对数函数的积分 132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+133．d ln xx x⎰＝ln ln x C + 134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n nx x n x x --⎰ 136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝lnch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224xx C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0 144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n≠⎧⎨π=⎩146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩147． n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅-L （n 为大于1的正奇数），1I ＝ 1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-L （n 为正偶数），0I ＝2π换元积分法一、第一换元积分法(凑微分法).二、常用凑微分公式注: 以上使用的多为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有a) 可令b) 可令 c)可令当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换.三、第二换元积分法,例题：凑微分法例1求不定积分.例2 求不定分例3计算不定积分.例4 计算不定积分例5求不定积分. 例6 求下列不定积分(1) (2)例7 求下列不定积分:(1) ; (2)例8 求下列不定积分:(1) ; (2)例9求不定积分.例10 求下列不定积分:(1) ; (2)例11求下列不定积分(1) (2)例12求不定积分.例13求不定积分.例14求下列不定积分:(1) (2)例15 求下列不定积分:(1) (2)例16求不定积分.例17求.例18 用换元法求不定积分例19 试用换元法求不定积分例20试用换元法求不定积分例21求不定积分.例22 求不定积分第二换元法例23求不定积分例24求不定积分例25计算.例26 求不定积分例27求不定积分例28求不定积分.例29求不定积分例30求不定积分.例31求不定积分. 练习：求下列不定积分2.设, 求。

常用积分表

8
8
a
∫ 71． a2 − x2 dx ＝ a2 − x2 + a ln a − a2 − x2 + C
x
x
∫ 72．
a2 − x2
x2
dx
＝
−
a2 − x2 − arcsin x + C
x
a
（九）含有 ±ax2 + bx + c (a > 0) 的积分
∫ 73．
dx
＝ 1 ln 2ax + b + 2 a ax2 + bx + c + C
常用积分公式
（一）含有 ax + b 的积分( a ≠ 0 )
1． ∫
dx ax +
b
＝
1 a
ln
ax
+
b
+
C
∫ 2． (ax + b)μdx ＝ 1 (ax + b)μ+1 + C （ μ ≠ −1 ）
a(μ + 1)
∫ 3． x dx ＝ 1 (ax + b − b ln ax + b ) + C ax + b a2
x2 ax2 + b
+C
∫ ∫ 26．
dx ＝ − 1 − a x2 (ax2 + b) bx b
dx ax2 + b
∫ 27．
dx x3(ax2 + b)
＝
a 2b2
ln
ax2 + b x2
−
1 2bx2
+C
∫ ∫ 28．
dx ＝
x

基本积分表-新版.pdf

sin(- α ) =-sin α cos( -α ) = cos α tan (- α )=- tan α sin( π /-2α ) = cos α cos( π /2-α ) = sin α sin( π /2+ α ) = cos αc os( π /2+ α ) =-sin α sin( π-α ) = sin α cos( π-α ) =-cos α sin( π +α ) =-sin α cos( π +α ) =-cos α tanA= sinA/cosA tan（ π /2＋ α）＝－ cot α tan（π /2－α）＝cot α tan（π－α）＝－ tan α tan （π＋α）＝ tan α 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一：设 α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sin α cos （ 2kπ＋α）= cos α tan （ 2kπ＋α）= tan α cot （ 2kπ＋α）= cot α 公式二：设 α为任意角， π+α的三角函数值与 α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）= -sin α cos（π＋ α）= -cosα tan（ π ＋ α）= tan α cot（π＋α）= cot α 公式三：任意角 α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（ -α）= -sin α cos（-α）= cos α tan（-α）= -tan α cot （ -α）= -cot α 公式四：利用公式二和公式三可以得到 π-α与 α的三角函数值之间的关系： sin（π-α）= sin α cos（π-α）= -cosα tan（ π-α）= -tan α cot（π-α）= -cot α 公式五：利用公式 -和公式三可以得到 2π-α与 α的三角函数值之间的关系： sin（ 2π-α）= -sin α cos（ 2π-α）= cos α tan（2π-α） = -tan α cot（2π-α）= -cot α 公式六： π /2 ±及α 3π /2 ±与α α的三角函数值之间的关系： sin（π/2+ α）= cos α cos（π/2+ α）= -sin α tan（ π/2+ α） = -cot α co（t π /2+ α）= -tan α sin（ π /2-α）= cos α cos（π /2-α）= sin α tan （ π/2-α）= cot α cot（π/2-α）= tan α sin（3π/2+ α）= -cosα cos（ 3π/2+ α） = sin α tan（ 3π /2+ α）= -cot α cot（ 3π /2+ α）= -tan α sin（3π /2-α）= -cos α cos （ 3π /2-α）= -sin α tan （3π /2-α）= cot α cot（ 3π /2-α）= tan α (以上 k∈Z) A· sin( ω t+ θ )+ B · sin( ω t+√φ{()A=2 +B2 +2ABcos( -φθ)} · sin{ ω t + arcsin[ (A · sin θ +B· sin φ ) / √ {A^2 +B^2; +-2φAB)}c}os(√表θ示根号 ,包括 { ……｝中的内容诱导公式

常用积分表

44. ( ) 45.
46.
47. 48.
√ x dx = x 2 − a2 + C x 2 − a2 x (x2 − a2 )3 dx = − √ x2 1 +C − a2
49.
√
√ a2 x2 x√ 2 2+ x − a x 2 − a2 | + C dx = ln | x + 2 2 x 2 − a2 x2 (x2 − a2 )3 dx = − √ √ x + ln | x + x 2 − a2 | + C x 2 − a2
( )
ax + b
1.
dx 1 = ln |ax + b| + C ax + b a 1 (ax + b)µ+1 + C a(µ + 1) (µ = −1)
2. (ax + b)µ dx = 3. 4. 5. 6. 7.
1 x dx = 2 (ax + b − b ln |(x + b)|) + C ax + b a x2 1 1 dx = 3 (ax + b)2 − 2b(ax + b) + b2 ln |ax + b| + C ax + b a 2 1 ax + b dx = − ln +C x(ax + b) b x x2 (ax dx 1 a ax + b = − + 2 ln +C + b) bx b x
14.
15.
dx √ = x ax + b

√ √ 1 √ √ax+b−√b + C ln b ax+b+ b 2 ax+b √ arctan + −b − −b

高等数学常用积分公式查询表

导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x aa a ctgx x x tgx x x xctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，（一）含有ax b +的积分(0a ≠)1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +⎰＝1ln ax b C b x+-+ 6．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x+-++ 7．2d ()xx ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax bC b ax b b x+-++的积分10．x C11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．2a bx b --17．x＝b 18．x＝2a +（三）含有22x a ±的积分19．22d x x a +⎰=1arctan xC a a+ 20．22d ()n xx a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d x x a -⎰=1ln 2x a C a x a-++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++24．22d x x ax b +⎰＝2d x b xa a axb -+⎰25．2d ()xx ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()xx ax b +⎰＝21d a x bx b ax b --+⎰27．32d ()xx ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx +-+ 28．22d ()xax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰ （五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+>30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．＝C +33．x＝C +34．x＝C +35．2x ＝2ln(2a x C -++36．2x ＝ln(x C ++37．1C a +38．C +39．x 2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰C +42．xx ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．x a C +44．x ＝ln(x C +++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C + 46．C +47．x ＝C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C +++50．2x ＝ln x C +++51．1arccos aC a x +52．C +53．x ＝2ln 2a x C ++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -+++55．x ⎰C +56．xx ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．x x⎰＝arccos a a C x +58．x ＝ln x C +++(0)a >的积分59．＝arcsinxC a+ 60．C +61．x ＝C62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a ++ 64．2x arcsinxC a-+65．1C a +66．C +67．x ＝2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a -+69．x ⎰＝C70．xx ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．d x x⎰a C +72．2d x x ⎰＝arcsin xC x a--+(0)a >的积分73．2ax b C +++08070141常用导数和积分公式74．x ＝2n 2a x b c C+++75．xn 2a x b c C+++ 76．C +77．x ＝2C +78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C -+-81．C ()a b <82．x 2()4b a C -+ ()a b <（十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan 2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2secd x x ⎰＝tan x C +90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d nx x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰99．cos sin d m nx x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n -+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin x a b x +⎰tan xa b C ++22()a b >104．d sin x a b x+⎰C+22()a b <105．d cos xa b x +⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a+114．arcsin d x x x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a +++116．arccos d x x a ⎰＝arccos x x C a-117．arccos d x x x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+ 119．arctan d x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+ 121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d x a x ⎰＝1ln x a C a+ 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a+ 124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+ 125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a --⎰ 126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n x n x a x a x a a--⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b-++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b +++130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e s i n d a x n n n b b x x a b n--++⎰ 131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e c o s d a x n n n b b x x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C + 134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰ 136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝ln ch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0 144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147．n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n -- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅- （n 为正偶数），0I ＝2π。

完整word版,高等数学常用积分公式查询表

导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　（一）含有ax b +的积分(0a ≠)1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()xx ax b +⎰＝1ln ax b C b x+-+ 6．2d ()xx ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++ 9．2d ()xx ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++的积分10．x C11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．＝(0)(0)C b C b ⎧+><16．＝2a bx b --⎰17．d x x ⎰＝b 18．2d x x ⎰＝2a +（三）含有22x a ±的积分19．22d x x a +⎰=1arctan xC a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a -++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++24．22d x x ax b +⎰＝2d x b xa a ax b-+⎰ 25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a xbx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx +-+28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰ （五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac Cb ac +<+>30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分31．＝1arshxC a +＝ln(x C ++ 32．＝C +33．x＝C34．x＝C +35．2x ＝2ln(2a x C ++36．2x ＝ln(x C +++37．＝1ln aC a x +38．C +39．x 2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰C +42．x x ⎰＝422(2ln(88x a x a x C+++43．d x x ⎰a C +44．x ＝ln(x C +++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x ＝C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C ++50．2x ＝ln x C +++51．＝1arccos aC a x +52．2C a x+53．x 2ln 2a x C -++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -+++55．x ⎰C +56．x x ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．x ＝arccos aa C x -+58．x ＝ln x C ++(0)a >的积分59．＝arcsinxC a + 60．C +61．x ＝C +62．x ＝C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a ++ 64．2x arcsinxC a-+65．＝1C a +66．2C a x -+67．x 2arcsin 2a x C a++68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a-+69．x ⎰＝C70．x x ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．x ln a a C x +72．x ＝arcsin xC a-+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x22ax b C +++75．x2ax b C +++76．＝C +77．x 2C +78．x ＝C ++79．x ＝((x b b a C -+-+80．x ＝((x b b a C -+-+81．2arcsinC +()a b <82．x 2()4b a C - ()a b <（十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42x C π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan 2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2secd x x ⎰＝tan x C +90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n x n x n x----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m nx x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n-+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tanx a b C ++22()a b >104．d sin xa b x +⎰C+22()a b <105．d cos xa b x +⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin xa xb x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a+114．arcsin d x x x a⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a +++116．arccos d x x a ⎰＝arccos x x C a117．arccos d x x x a⎰＝22()arccos 24x a x C a --+118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -++ 119．arctan d x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+ 121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d x a x ⎰＝1ln x a C a+ 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a+ 124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+ 125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a --⎰ 126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n x n x a x a x a a--⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b-++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b +++130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C +134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰ 136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝lnch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147．n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n -- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-（n 为正偶数），0I ＝2π。

函数积分公式表

函数积分公式表函数积分公式表1. 常数函数积分公式∫c dx = cx + C（其中c为常数，C为任意常数）2. 幂函数积分公式∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C （其中n为实数，C为任意常数）3. 正弦函数积分公式∫sin(x) dx = -cos(x) + C （其中C为任意常数）4. 余弦函数积分公式∫cos(x) dx = sin(x) + C （其中C为任意常数）5. 指数函数积分公式∫e^x dx = e^x + C （其中C为任意常数）6. 对数函数积分公式∫(1/x)dx = ln|x| + C （其中C为任意常数）7. 三角函数积分公式(a) ∫tan(x) dx = ln|sec(x)| + C （其中C为任意常数）(b) ∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C （其中C为任意常数）(c) ∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C （其中C为任意常数）(d) ∫csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C （其中C为任意常数）8. 三角函数的积分公式(a) ∫ sin^n(x) cos^m(x) dx （其中m和n为非负整数，且其中至少一个为奇数。

详细公式略。

）(b) ∫ e^x sin(x) dx = (1/2)(e^x sin(x) - e^x cos(x)) + C（其中C为任意常数）(c) ∫ e^x cos(x) dx = (1/2)(e^x sin(x) + e^x cos(x)) + C（其中C为任意常数）9. 分部积分法公式∫u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫u'(x) v(x) dx （其中u(x)和v(x)均为可导函数，C为任意常数）10. 代换积分法公式∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫f(u) du （其中u=g(x)，C为任意常数）。

常用积分表

常用积分公式（一）含有的积分()1．＝2．＝（)3．＝4．＝5．＝6．＝7．＝8．＝9．＝（二)含有的积分10．＝11．＝12．＝13．＝14．＝15．＝16．＝17．＝18．＝（三）含有的积分19．=20．=21．=（四）含有的积分22．＝23．＝24．＝25．＝26．＝27．＝28．＝（五）含有的积分29．＝30．＝(六）含有的积分31．＝＝32．＝33．＝34．＝35．＝36．＝37．＝41．＝42．＝43．＝44．＝（七）含有的积分45．＝=46．＝47．＝48．＝49．＝50．＝51．＝52．＝53．＝54．＝55．＝56．＝57．＝58．＝（八）含有的积分59．＝60．＝61．＝62．＝63．＝64．＝65．＝66．＝67．＝68．＝69．＝70．＝71．＝72．＝(九）含有的积分73．＝74．＝75．＝76．＝77．＝78．＝(十）含有或的积分79．＝(十一）含有三角函数的积分83．＝84．＝85．＝86．＝87．＝＝88．＝＝89．＝90．＝91．＝92．＝93．＝94．＝95．＝96．＝97．＝98．＝99．＝＝100．＝101．＝102．＝103．＝104．＝105．＝106．＝107．＝108．＝109．＝110．＝111．＝112．＝（十二）含有反三角函数的积分（其中) 113．＝114．＝115．＝116．＝117．＝118．＝119．＝120．＝121．＝(十三)含有指数函数的积分125．＝126．＝127．＝128．＝129．＝130．＝131．＝（十四)含有对数函数的积分132．＝133．＝134．＝135．＝136．＝（十五)含有双曲函数的积分137．＝138．＝139．＝140．＝141．＝（十六）定积分142．＝＝0143．＝0144．＝145．＝146．＝＝147．＝＝＝（为大于1的正奇数),＝1（为正偶数），＝换元积分法一、第一换元积分法（凑微分法).二、常用凑微分公式注: 以上使用的多为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有a）可令b) 可令c) 可令当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换。

高等数学常用积分公式查询表

导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，（一）含有ax b +的积分(0a ≠)1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()xx ax b +⎰＝1ln ax b C b x+-+ 6．2d ()xx ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++ 9．2d ()xx ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++的积分10．x C11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．＝(0)(0)C b C b ⎧+><16．＝2a bx b --⎰17．x＝b 18．x＝2a +（三）含有22x a ±的积分19．22d x x a +⎰=1arctan xC a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a -++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+< 23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++ 24．22d x x ax b +⎰＝2d x b xa a ax b-+⎰精品文档25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a xbx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx +-+28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰ （五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac Cb ac +<+>30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．＝C +33．x＝C34．x＝C +35．2x＝2ln(2a x C ++37．＝1lnaC a x +38．C +39．x 2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰C +42．x x ⎰＝422(2ln(88x a x a x C+++43．d x x ⎰a C +44．2d x x ⎰＝ln(x C x-+++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x ＝C48．x ＝C +250．2x ＝ln x C +++51．＝1arccos aC a x +52．C +53．x 2ln 2a x C -++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -+++55．x ⎰C +56．x x ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．x ＝arccos a a C x -+58．x ＝ln x C ++(0)a >的积分59．＝arcsinxC a+ 60．C +61．x ＝C62．x ＝C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a ++ 64．2x arcsinxC a-+65．＝1C a +66．2C a x -+67．x 2arcsin 2a x C a++68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a-+69．x ⎰＝C70．x x ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．x a C +72．x ＝arcsin xC a-+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x22ax b C +++75．x2ax b C -+++76．＝C +77．x 2C +78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C -+-+80．x ＝((x b b a C -+-+81．2arcsinC +()a b <82．x 2()4b a C - ()a b <（十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+ 84．cos d x x ⎰＝sin x C +85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42x C π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d nx x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n x n x n x----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m n x x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m nm x x x x x m n m n-+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tanx a b C ++22()a b >104．d sin xa b x +⎰C+22()a b <105．d cos xa b x +⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin xa xb x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a+114．arcsin d xx x a⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a +++116．arccos d x x a ⎰＝arccos x x C a117．arccos d x x x a⎰＝22()arccos 24x a x C a --+118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+ 119．arctan d x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+ 121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d x a x ⎰＝1ln x a C a+ 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a+ 124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+ 125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a --⎰ 126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n x n x a x a x a a--⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b-++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b+++ 130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n --+22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n--++⎰ 131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C +134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰ 136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝lnch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147．n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n -- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅-L （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-L （n 为正偶数），0I ＝2π。