数学建模浅谈层次分析法

浅谈层次分析法摘要本文主要阐述层次分析法的定义、特点、基本步骤以及它的优缺点。

层次分析法是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。

由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围内得到重视。

它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。

关键词：层次分析多目标多准则成对比较一致性检验前言数学是一切科学和技术的基础，是研究现实世界数量关系、空间形式的科学。

随着社会的发展，电子计算机的出现和不断完善，数学不但运用于自然科学各学科、各领域，而且渗透到经济、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。

众所周知，利用数学解决实际问题，首先要建立数学模型，然后才能在该模型的基础上对实际问题进行分析、计算和研究。

数学建模(Mathematical Modeling)活动是讨论建立数学模型和解决实际问题的全过程，是一种数学思维方式。

从学术的角度来讲，数学建模就是利用数学技术去解决实际问题；从价值的角度来讲，数学建模是一个思维过程，它是一个解决问题的过程（创新），更是一个升华理论方法的过程（总结）；从哲学的角度来讲，数学建模是认识世界和改造世界的过程。

1 数学建模过程和技巧数学建模的过程是通过对现实问题的简化、假设、抽象，提炼出数学模型；然后运用数学方法和计算机工具等，得到数学上的解答；再把它反馈到现实问题，给出解释、分析，并进行检验。

若检验结果符合实际或基本符合，就可以用来指导实践；否则就再假设、再抽象、再修改、再求解、再应用。

构造数学模型不是一件容易的事，其建模过程和技巧具体主要包括以下步骤：⑴模型准备在建模前要了解实际问题的背景，明确建模的目的和要求；深入调研，去粗取精，去伪存真，找出主要矛盾；并按要求收集必要的数据。

⑵模型假设在明确目的、掌握资料的基础上，抓住复杂问题的主要矛盾，舍去一些次要因素；对实际问题作出几个适当的假设，使复杂的实际问题得到必要的简化。

⑶建立模型首先根据主要矛盾确定主要变量；然后利用适当的数学工具刻划变量间的关系，从而形成数学模型。

模型要尽量简化、不必复杂，以能获得实际问题的满意解为标准。

⑷模型检验建模后要对模型进行分析，用各种方法(主要是数学方法，包括解方程、逻辑推理、稳定性讨论等；同时利用计算机技术、计算技巧)求得数学结果；将所求得的答案返回到实际问题中去，检验其合理性；并反复修改模型的有关内容，使其更切合实际，从而更具有实用性。

⑸模型应用用建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。

总之，数学建模是一种创造性劳动，数学建模的分析方法和操作途径不可能用一些条条框框规定得十分死板，成功的模型往往是科学与艺术的结晶。

一个“好”的数学模型应该具有以下特点：①考虑全面，抓住本质；②新颖独特，大胆创新；③善于检验，结果合理。

而模型检验一般包括下列几个方面：①稳定性和敏感性分析；②统计检验和误差分析；③新旧模型的比较；④实际可行性检验。

2 层次分析法简述层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP）是将与决策问题有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。

该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂（Saaty）于本世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

2.1 层次分析法定义所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。

2.2 层次分析法的特点层次分析法是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。

尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。

层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备择方案的顺序分解为不同的层次结构，然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。

这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。

层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。

其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值及其所对应的特征向量ω，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。

2.3 层次分析法的基本步骤2.3.1 建立层次结构模型在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下一层因素的作用。

最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。

当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。

2.3.2 构造成对比较阵从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1-9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。

此时，我们要比较从属于（或影响）上一层每个因素的同一层的n 个因素对目标Z 影响的大小，即要确定这n 个因素1x 、2x 、…、n x 对目标Z 的相对重要性。

我们用两两比较法将各因素“重要性”量化。

每次取两个因素i x 与j x ，用正数ij a 表示i x 与j x 的重要性之比。

由全部结果得到矩阵()ij a A =，称为成对比较阵。

显然有jiij a 1a =，ij a >0，1≤i ，j ≤n. ij a 的取值方法可参考萨蒂的方法。

萨蒂引用了数字1、2、…、9及它们的倒数作为标度，其意义是2.3.3 计算权向量并做一致性检验对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。

若检验通过，特征向量(归一化后)即为权向量：若不通过，需重新构造成对比较阵。

若对n 个决策因素的比较具有逻辑的一致性，则成对比较阵中的元素ij a 之间应有关系：ij a .j k a =ik a ，1≤i ，j ，k ≤n. （1）其实每个因素的重要性都有一个重要性指标。

设因素i x 的重要性指标为i ω，则根据ija 表示i x 与j x 的重要性之比，即即是说i x 与j x 的重要性之比乘上j x 与k x 的重要性之比应为i x 与k x 的重要性之比，即我们称满足（1）的成对比较阵A 为一致矩阵。

然而实际上由于人的思维活动不可避免地带有主观性和片面性，故所构造出来的成对比较阵A 常常不是一致阵。

因此，必须对成对比较阵A 进行一致性检验。

直接对一切可能的i ，j ，k 验证等式（1）是非常繁琐的，故我们一般不采用此方法。

设A 是一致矩阵。

用对应的由简单的计算可以得到即：n 是矩阵A 的特征值，其对应的特征向量是1ω2ω…Tn ω.可证明：n 阶成对比较阵A 是一致阵，当且仅当A 的最大特征值()n A max =λ.因此，只需计算A 的最大特征值就可判断A 是否一致阵。

如果A 不具有一致性，可以证明()n A max >λ.而且()A max λ越大，不一致程度越严重。

此时()A max λ对应的特征向量Y 就不能真实反映}{n x x x X ,,...,21=在目标Z 中所占的比重。

令将CI 作为衡量一个成对比较阵A 不一致程度 的标准，称CI 为一致性指标。

当成对比较阵A 的最大特征值()A max λ稍大于n ，这时称A 具有满意的一致性。

萨蒂提出用平均随机一致性指标RI 检验成对比较阵A 是否具有满意的一致性。

即：对于固定的n ，随机构造成对比较阵A '，其中'ij a 是从1、2、…、9及它们的倒数中随机抽取的。

这样的A '一般是不一致的，取充分大的子样得到A '的最大特征值的平均值max λ'，定义对于1-9阶成对比较阵A ，萨蒂用大小为100～500的子样，对于不同的n 算出RI 值如下则CR 称为随机一致性比率，可以用CR 代替CI 作为一致性检验的临界值。

当CR<0.1时，认为成对比较阵具有满意的一致性，否则就必须重新调整成对比较阵A ，直至达到满意的一致性为止。

这时计算A 的最大特征值）（A max λ对应的特征向量Y （可以证明，适当选择Y 可以使其各分量非负），再求得Y 的标准化向量‘Y （各分量之和为1的特征向量），‘Y就可以作为各因素的相对权值。

在实践中，也可以采用下述方法计算m ax λ和相应特征向量的近似值。

对成对比较阵）（ij a A =，令称Tn 21u u u U ），，，（⋅⋅⋅=为n 个因素1x 、2x 、…、n x 的权向量，它反映n 个决策对象的优劣、主次等的对比。

它们的相对重要性可由权向量U 所确定。

2.3.4 层次总排序及其一致性检验计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。

下面就一个选拔干部模型进行讨论。

假设有三个干部候选人321y y y 、、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下的层次分析模型选拔干部考虑5个条件：品德1x ，才能2x ，资历3x ，年龄4x 及群众关系5x 。

某决策人用成对比较法，得到成对比较阵在上述矩阵A 中12a =2，表明品德1x 与才能2x 的重要性之比为2，即决策人认为品德比才能更为重要。

对于上述矩阵，073.5A max=）（λ，018.0155A CI max =--=）（λ。

查表得RI=1.12，1.0016.012.1018.1RI CI CR <===.这说明A 不是一致阵，但A 具有满意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。

其对应的权向量为T126.0103.0051.0263.0457.0U ），，，，（=它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系、年龄因素，最后才是资历。