高中数学必修1 幂函数新旧教材的对比

幂函数新旧教材的对比

旧教材：幂函数()y x Q αα=∈，α的情况比较复杂，α=0，1正偶数，正奇数，负奇数，负偶数正分数，负分数，其中还包括分母为奇数，分子为偶数；分子为奇数，分母为偶数；分子分母均为奇数，综合起来从函数的图像来分类有九种情况：

α的变化繁多，学生学习起来难度较大，最终从教材中删减。

对于函数的奇偶性最早的教材中是作为一个单独的知识点学习的，是先给出定义，根据定义通过具体函数的性质研究得到函数奇偶性的相关性质。后来教材改革把函数的奇偶性的学习放在了三角函数的学习当中，依然是先给出定义，然后通过三角函数的学习研究得到函数奇偶性的相关性质。但是由于函数的奇偶性

在研究当中会给问题的研究带来很大的方便，从另外一个角度来说，早晚要学习这个内容而且这个内容的学习对学生不困难，有些老师也有把这个内容提前学习，放在函数性质研究中进行，从现在的新教材来看这种选择是正确的。

新教材：此次新课改革，幂函数又被重新编入教材，名称改为简单的幂函数（课时为一课时）。教材考虑到学生已有的数学知识基础只从12,,y x y x y x -===等指数是整数的情况引入幂函数()y x αα=为常数而把α是实数的情况放在今后的学习当中。对幂函数的教学目标定格为：了解指数是整数的简单幂函数的概念。通过研究简单的幂函数的图像和性质，发挥图形在数学学习中的作用，挖掘函数图形对函数概念的性质的理解以及数学思考的辅助功能。教材重在对简单幂函数图像的观察，着重从对称的角度引出函数的奇偶性。教学目标要求通过学习使学生会利用定义证明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图像的的方法，培养学生从特殊归纳出一般的意识，学会利用图像研究函数奇偶性等能力。课程标准明确规定了对幂函数教学的原则：通过实例，了解幂函数的概念。结合函数

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121,,,y x ,y=x ,x y x y x y x -=====的图像，了解它们的变化情况，了解奇偶性的含义。习题不可搞得过分。

对新教材安排的理解：人类对量的认识是从常量、等量开始的，但是事物是变化的，是在等与不等的对立统一中发展的，而函数就反映了人们的认识的一次重大飞跃：研究两个量依赖中的变化，研究它们的等与不等，所以数学是人类认识世界，改造世界的重要工具。虽然幂函数本身情况比较繁杂，但是从培养学生的数学思维品质和能力来说，从让学生通过简单的幂函数的研究，对学生体会研究函数加深学生对函数的理解很有必要。函数的奇偶性无论怎么改教材，它在研究函数问题时所起到的作用是无可替代的。

简单幂函数教案

1．教学目标

知识目标：（1）掌握幂函数的形式特征，掌握简单幂函数的图像和性质。

（2）通过简单幂函数的图像了解函数奇偶性的概念。

能力目标：培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。

情感目标：（1）加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。

（2）渗透辨证维物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法分析问题、解决问题的能力。

（3）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．2．教学重点：从具体函数归纳认识幂函数的概念以及简单幂函数的一些性质；利用一些简单幂函数的图像引出函数奇偶性的概念。

教学难点：引导学生概括出简单幂函数的性质；函数奇偶性的引出；体会图像的变化规律．

3．教学方法和教学手段：探索发现法。

4．教学过程：

（一）问题情境

方案（一）

问题：写出下列y关于x的函数解析式：

①正方形边长x、面积y

②正方体棱长x、体积y

③正方形面积x、边长y

④某人骑车x秒内匀速前进了1m,骑车速度为y

①2y x = ②3y x = ③12

y x = ④1y x -=

方案（二）

问题：（I ）(0)1y ax a a y x =≠=⇒=当时

（2）22(0)1y ax a a y x =≠=⇒=当时

（3）(0)k y k x

=≠当11k y x -=⇒=时 师：观察这些函数从形式上有什么共同特点？

生：x 为底数，指数为常数

（二）新知探究

1.幂函数的定义：形如()y x αα=为常数的函数叫做幂函数。

说明：只有这种形式的函数才叫做幂函数，这种形式是幂函数的标准形式。

2.实践理解：下列函数哪些是幂函数？

（1）2y x = （2）212y x = （3） 3y x = （4） 2y x

-= 小结：一个函数是否是幂函数，要看这个函数的解析式是否符合幂函数的标准形式。幂函数的幂指数不仅仅可以去整数和分数，也可以取其它的实数，这些情况会在今后的学习中慢慢接触到，我们目前只要掌握指数为整数的简单的幂函数的图像及性质，了解研究幂函数的方法即可。

3，探索简单幂函数的图形及性质

师；请同学们思考，我们目前研究函数一般从哪些方面入手？

生：我们目前研究函数一般是从函数的定义域、值域、图像、单调性这几个方面对函数进行研究。

师：我们现在讨论问题中的那几个幂函数的性质。（学生说，教师板书） 师：实践理解中我们判断3y x =是幂函数，我们可以作出它的函数图像吗？ 动动手：做出3y x =的函数图像。

师：整数是怎么分类的？

生：正整数、负整数。

师：还可以怎样细分？

生：正负奇数、正负偶数。

师：指数如果取4、6………的时候可以分别得到哪些幂函数？它们具有哪些性质？与幂函数2y x =之间什么关系？当指数分别取3、5…….的时候分别得到哪些幂函数？它们具有哪些性质？与幂函数3y x =之间有哪些性质？当指数取-1、-3....呢？当指数取-2、-4....呢？

师：请同学们仔细观察，指数为偶数时图像有什么特点？当指数为奇数时有什么特点？

学生观察，师生共同归纳小结：幂指数是偶数时图像关于y 轴对称；幂指数是奇数时图像关于原点对称。

4.函数奇偶性的学习

（1）定义：一般地，图像关于原点对称的函数叫奇函数。在奇函数()f x 中，()f x 和()f x -的绝对值相等，符号相反，即()f x =-()f x -，反之，满足()()f x f x -=-的函数()y f x =一定是奇函数；图像关于y 轴对称的函数叫偶函数。在偶函数()y f x =中，()()f x f x --和的值相等，即 ()()f x f x -=，反之，满足()()f x f x -=的函数()y f x =一定是偶函数。

当函数()y f x =是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性。

师：请同学们思考在实际问题解决当中，如何判断给定的函数的奇偶性？