高中数学必修一[人教A版] 《幂函数》课件
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f (x)在（0,)单调递减
m2 2m 3 0小结：根据幂函数结构特
代入检验得m征数和值 幂时2函,可数先的列单方调程性求求参参数，
再检验参数值 。
深 化 理 解：
构造函数
3. 比较大小。
(1)5.21.5 与2. 11.5
(2)1.9 2.5 与1. 93
3
4
（3）0.75 与0.55
(1)5.21.5 与2.11.5
解：1.92.5 与1. 93 可以看作函数
y y1.91x的.9两x 是个增函函数数值
且2.5 3
1.92.5 1.93
结论：“同底不同指”型 的幂比大小时，可构造指 数函数利用单调性比较
巩 固 提 高：
已知大小 求范围
1
1
4、若（a 1)3 (3 2a)3 ,
求a的取值范围。
1
1
4、若（a 1)3 (3 2a)3 ,求a的取值范围。
1
解：y x3在R上是增函数
1
1
(a 1)3 (3 2a)3
a 1 3 2a
因此a 2 3
小结：已知同指不同 底的幂的大小，利用 相应幂函数的单调性 创建不等式
变式：
若（a
1） 13
1
(3 2a) 3 ,
求a的取值范围。
思考：指数 的正负对创 建不等式有 影响吗？
幂函数概念
结构特征
幂函数
拓展 幂函数一般情况的图像和性质
p
q
P、q都是奇数
P为奇数 q为偶数 P为偶数 q为奇数
0 0 1 1
y
5.2x
y
2.1x
解：5. 21.5 与2. 11.5 可看作函数
y x1.5的两个函数值
y x1.5在（0,)上是增函数 1
且5.2 2.1 5.21.5 2.11.5
0 x 1.5
x
结论：“同指不同底”型 的幂比大小时，可构造幂 函数，利用单调性比较大 小
(2)1.92.5与1.9 3
利用待定系数法,设 y x 根
据已知条件求出 。
基 础 练 习：
结构特征
2、如果函数 f (x) (m2 m 1)xm22m3 是幂函数，且在区间（0，+∞） 内是减函数，求满足条件的实数 m的值。
2、解：由题意得 m2 m 1 1
化简为m2 m 2 0
解得m 2或m 1
<0
尝 试 练 习： 1、下面几个函数中，
哪几个函数是幂函数？
1 (1) y x2 x2 (3)y x2 x
(2) y 2x2
3
(4) y 5 x3 x5
(5) y 2（x指数函数） （6）y (2x)3
答案（1）（4）
判断依据
1、幂函数的解析式必须是 y x 的形式.
2、幂函数特征可归纳为
形的边长
a
1
S2
5、如果某人t 秒内骑车走了1 km,那么他骑车的平均
速度V t 1 km/ s
y x1
若将它们的自变量全部用x表示,函数值用y表示
则它们的函数关系式是什么？
共同特征 y x
新课 一、幂函数的概念
一般地，函数 y x 叫做幂函数，
其中x是自变量， 是常数。
问题：你能举几个学过的幂函数的例子吗？ 如何判断一个函数是否为幂函数呢？
1 0 1
yx
1
y x2
x
y y x1
1 01 x
yx
y x2
y x3
1
y x2
y x1
定义域
值域 奇偶性
单调性 公共点
y x2
y
y x3
1 0 1
yx
1
y x2
x
y y x1
1 01 x
yx
定义域 值域 奇偶性
y x2
y x3
1
y x2
[0，+∞）
[0，+∞）
奇函数 非奇非偶
→总结幂函数性质
二、幂函数的性质：
在同一坐标系中作出幂函数 1
y x, y x2 , y x1, y x 2 , y x3,
的图象。
(-2,4)
y x2
（-1,1）
y x1
(-1,-1)
y
(2,4)
yx
1
y x2
(4,2)
(1,1)
o
x
y x3
你画对了吗?
y x2
y
y x3
2.3 幂 函 数
问题引入： 我们先看几个具体问题:
1、 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么y 她 需x
要支付 p __w___ 元
2、如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 S
y
a 2x2
3、如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V y a 3x3
4、如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方
y x1
单调性 公共点
y x2
y
y x3
1 0 1
yx
1
y x2
x
y y x1
1 01 x
yx
y x2
y x3
1
y x2
y x1
定义域 R
R
R
[0，+∞）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ{x| x ≠ 0}
值域 R
[0，+∞） R
[0，+∞） {y| y≠ 0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
“系数为１,只有１项” ．
问题：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？
函数式
指数函数:
y ax
幂函数:
y x
自变量 x
指数 底数
结论：判断一个函数是幂函数还是指数函数
关键看自变量x的位置是指数还是底数
指数函数
幂函数
问题：结合前面研究指数函数的方法，我们应 如何研究幂函数的性质呢？
作具体幂函数的图象→观察图象特征
<0时, (1)图象都经过点（1，1） (2)图象在第一象限是减函数.
基 础 练 习：
求解析式
1、已知幂函数y f (x)的图象过点 (2, 2), 试求出这个函数的解析式.
1、解：设所求函数为 y x
（2，2）在函数图像上
2 2 1 因此所求函数为 y x 2
即 1
2
小结∶求幂函数的解析式时，
幂函数图像 幂函数性质
作图识图
无图想图
应
用 不同指数对幂
函数性质的影响
思想方法
类比 类比指数函数的研究方法 数形结合 研究函数图像和性质 待定系数法 求函数解析式 构造函数法 比较大小
探究
1、我们所学的性质是通过图象观察得到的， 幂函数的性质能不能用推理的方法得到呢？
2、 幂函数的奇偶性和它的指数有什么关系呢？ 3、你能进一步研究一般幂函数的图像和性质吗？
R上是 单调性 增函数
(－∞,0) (0, +∞）
R上是
（0,+∞）
（ －∞,0） (0, +∞）
增函数
公共点
（1，1）
探究:归纳总结幂函数的性质 所有的幂函数在 x>0时,都有y>0, 并 且图象都通过点(1,1)
>0时, (1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数.
m2 2m 3 0小结：根据幂函数结构特
代入检验得m征数和值 幂时2函,可数先的列单方调程性求求参参数，
再检验参数值 。
深 化 理 解：
构造函数
3. 比较大小。
(1)5.21.5 与2. 11.5
(2)1.9 2.5 与1. 93
3
4
（3）0.75 与0.55
(1)5.21.5 与2.11.5
解：1.92.5 与1. 93 可以看作函数
y y1.91x的.9两x 是个增函函数数值
且2.5 3
1.92.5 1.93
结论：“同底不同指”型 的幂比大小时，可构造指 数函数利用单调性比较
巩 固 提 高：
已知大小 求范围
1
1
4、若（a 1)3 (3 2a)3 ,
求a的取值范围。
1
1
4、若（a 1)3 (3 2a)3 ,求a的取值范围。
1
解：y x3在R上是增函数
1
1
(a 1)3 (3 2a)3
a 1 3 2a
因此a 2 3
小结：已知同指不同 底的幂的大小，利用 相应幂函数的单调性 创建不等式
变式：
若（a
1） 13
1
(3 2a) 3 ,
求a的取值范围。
思考：指数 的正负对创 建不等式有 影响吗？
幂函数概念
结构特征
幂函数
拓展 幂函数一般情况的图像和性质
p
q
P、q都是奇数
P为奇数 q为偶数 P为偶数 q为奇数
0 0 1 1
y
5.2x
y
2.1x
解：5. 21.5 与2. 11.5 可看作函数
y x1.5的两个函数值
y x1.5在（0,)上是增函数 1
且5.2 2.1 5.21.5 2.11.5
0 x 1.5
x
结论：“同指不同底”型 的幂比大小时，可构造幂 函数，利用单调性比较大 小
(2)1.92.5与1.9 3
利用待定系数法,设 y x 根
据已知条件求出 。
基 础 练 习：
结构特征
2、如果函数 f (x) (m2 m 1)xm22m3 是幂函数，且在区间（0，+∞） 内是减函数，求满足条件的实数 m的值。
2、解：由题意得 m2 m 1 1
化简为m2 m 2 0
解得m 2或m 1
<0
尝 试 练 习： 1、下面几个函数中，
哪几个函数是幂函数？
1 (1) y x2 x2 (3)y x2 x
(2) y 2x2
3
(4) y 5 x3 x5
(5) y 2（x指数函数） （6）y (2x)3
答案（1）（4）
判断依据
1、幂函数的解析式必须是 y x 的形式.
2、幂函数特征可归纳为
形的边长
a
1
S2
5、如果某人t 秒内骑车走了1 km,那么他骑车的平均
速度V t 1 km/ s
y x1
若将它们的自变量全部用x表示,函数值用y表示
则它们的函数关系式是什么？
共同特征 y x
新课 一、幂函数的概念
一般地，函数 y x 叫做幂函数，
其中x是自变量， 是常数。
问题：你能举几个学过的幂函数的例子吗？ 如何判断一个函数是否为幂函数呢？
1 0 1
yx
1
y x2
x
y y x1
1 01 x
yx
y x2
y x3
1
y x2
y x1
定义域
值域 奇偶性
单调性 公共点
y x2
y
y x3
1 0 1
yx
1
y x2
x
y y x1
1 01 x
yx
定义域 值域 奇偶性
y x2
y x3
1
y x2
[0，+∞）
[0，+∞）
奇函数 非奇非偶
→总结幂函数性质
二、幂函数的性质：
在同一坐标系中作出幂函数 1
y x, y x2 , y x1, y x 2 , y x3,
的图象。
(-2,4)
y x2
（-1,1）
y x1
(-1,-1)
y
(2,4)
yx
1
y x2
(4,2)
(1,1)
o
x
y x3
你画对了吗?
y x2
y
y x3
2.3 幂 函 数
问题引入： 我们先看几个具体问题:
1、 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么y 她 需x
要支付 p __w___ 元
2、如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 S
y
a 2x2
3、如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V y a 3x3
4、如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方
y x1
单调性 公共点
y x2
y
y x3
1 0 1
yx
1
y x2
x
y y x1
1 01 x
yx
y x2
y x3
1
y x2
y x1
定义域 R
R
R
[0，+∞）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ{x| x ≠ 0}
值域 R
[0，+∞） R
[0，+∞） {y| y≠ 0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
“系数为１,只有１项” ．
问题：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？
函数式
指数函数:
y ax
幂函数:
y x
自变量 x
指数 底数
结论：判断一个函数是幂函数还是指数函数
关键看自变量x的位置是指数还是底数
指数函数
幂函数
问题：结合前面研究指数函数的方法，我们应 如何研究幂函数的性质呢？
作具体幂函数的图象→观察图象特征
<0时, (1)图象都经过点（1，1） (2)图象在第一象限是减函数.
基 础 练 习：
求解析式
1、已知幂函数y f (x)的图象过点 (2, 2), 试求出这个函数的解析式.
1、解：设所求函数为 y x
（2，2）在函数图像上
2 2 1 因此所求函数为 y x 2
即 1
2
小结∶求幂函数的解析式时，
幂函数图像 幂函数性质
作图识图
无图想图
应
用 不同指数对幂
函数性质的影响
思想方法
类比 类比指数函数的研究方法 数形结合 研究函数图像和性质 待定系数法 求函数解析式 构造函数法 比较大小
探究
1、我们所学的性质是通过图象观察得到的， 幂函数的性质能不能用推理的方法得到呢？
2、 幂函数的奇偶性和它的指数有什么关系呢？ 3、你能进一步研究一般幂函数的图像和性质吗？
R上是 单调性 增函数
(－∞,0) (0, +∞）
R上是
（0,+∞）
（ －∞,0） (0, +∞）
增函数
公共点
（1，1）
探究:归纳总结幂函数的性质 所有的幂函数在 x>0时,都有y>0, 并 且图象都通过点(1,1)
>0时, (1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数.