湖北省部分重点中学2020届高三数学(理)新起点联考考试试题(含答案)
湖北部分协作体2020届高三统一联考理科数学(含答案)
湖北部分协作体2020届高三统一联考数学(理科)一、选择题：1．已知集合A ＝{（x ，y ）|（x ﹣3﹣4cosq ）2+（y ﹣5﹣4sinq ）2＝4，θ∈R}，B ＝{（x ，y ）|3x+4y ﹣19＝0}．记集合P ＝A∩B ，则集合P 所表示的轨迹的长度为（ ） A ．8√2B ．8√3C ．8√5D ．8√62．已知复数z 满足z ⋅z =4且z +z +|z|＝0，则z 2019的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2 2019C ．1D ．2 20193．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝5√2sin （B +π4），c ＝5且O 为△ABC 的外心，G 为△ABC 的重心，则OG 的最小值为（ ） A ．√2−1B ．5√2−56C ．√2+1D ．10−5√264．在△ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足PA →+PB →+PC →=AB →，QA →+QB →+QC →=BC →，RA →+RB →+RC →=CA →，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：55．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（ ）A ．41πB ．42πC ．43πD ．44π6．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式f （x ）＝a n x n +a n﹣1x n ﹣1+…+a 1x+a 0的值的秦九韶算法，即将f （x ）改写成如下形式：f （x ）＝（…（（a n x+a n ﹣1）x+a n ﹣2）x+…+a 1）x+a 0，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这种算法至今仍是比较先进的算法，将秦九韶算法用程序框图表示如图，则在空白的执行框内应填入（ ）A．v＝vx+a i B．v＝v（x+a i）C．v＝a i x+v D．v＝a i（x+v）7．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）=x(e x−e−x)x−1的图象大致是（）A．B．C．D．8．中华人民共和国的国旗是五星红旗，旗面左上方缀着五颗黄色五角星，四颗小星环拱在一颗大星之后，并各有一个角尖正对大星的中心点，象征着中国共产党领导下的革命人民大团结和中国人民对党的衷心拥护．五角星可以通过正五边形连接对角线得到，如图所示，在正五边形ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A ．√5−14B ．(√5−1)24C ．(√5−1)34D ．(√5−1)449．已知函数f （x ）＝e x （x+1）2，令f 1（x ）＝f'（x ），f n+1（x ）＝f n '（x ），若f n （x ）＝e x （a n x 2+b n x+c n ），记数列{2a n2c n −b n}的前n 项和为S n ，则下列选项中与S 2019的值最接近的是（ ）A ．32B ．53C ．74D ．9510．已知函数f （x ）＝（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1），有下述四个结论：①f （x ）是偶函数；②f （x ）在（π4，π2）上单调递减；③当θ∈[2π3，3π4]时，有|f （x ）|＜75； ④当θ∈[2π3，3π4]时，有|f'（x ）|＜145；其中所有真命题的编号是（ ） A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①④11．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP|．若直线PF 2与双曲线C 只有一个交点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√612．已知函数f （x ）＝ax 3﹣（3a ﹣2）x 2﹣8x+12a+7，g （x ）＝lnx ，记h （x ）＝min{f （x ），g （x ）}，若h （x ）至少有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，−110） B ．（18，+∞） C ．[−110，18）D ．[−110，18]二、填空题13．已知x ，y 均为正数，则x+y2x 2+y 2+6的最大值是 ．14．在中美组织的暑假中学生交流会结束时，中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙和尚、唐三藏、白龙马的彩色陶俑各一个送给来中国参观的美国中学生汤姆、杰克、索菲娅，每个人至少一个，且猪八戒的彩色陶俑不能送给索菲娅，则不同的送法种数为 ． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上不与左右顶点重合的动点，设I ，G 分别为△PF 1F 2的内心和重心．当直线IG 的倾斜角不随着点P 的运动而变化时，椭圆C 的离心率为 ．16．已知函数f （x ）＝2ax 3+（3a ﹣1）x 2+1，当x ∈[0，1]时，f （x ）仅在x ＝1处取得最大值，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题17．已知数列{a n }的中a 1＝1，a 2＝2，且满足∑n i=1√a +√a =1+a ．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =(−1)n a 2n+1a n a n+1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，若|T n +1|＜12020，求n 的最小值．18．如图所示，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，DF ⊥平面ABCD 且DF =√3．（1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）若∠ABC ＝∠BCE ，求二面角A ﹣BF ﹣E 的余弦值．19．已知点P （x ，y ）是平面内的动点，定点F （1，0），定直线l ：x ＝﹣1与x 轴交于点E ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，且满足EP →•EF →=FP →•FQ →．（1）求动点P 的轨迹t 的方程； （2）过点F 作两条互相垂直的直线l 和l ，分别交曲线t 于点AB ，和点C ，D ．设线段AB 和线段CD 的中点分别为M 和N ，记线段MN 的中点为K ，点O 为坐标原点，求直线OK 的斜率k 的取值范围．20．已知函数f （x ）＝a （lnx +2x +2）−e x−1x 2−1在定义域（0，2）内有两个极值点．（1）求实数a 的取值范围；（2）设x 1和x 2是f （x ）的两个极值点，求证：lnx 1+lnx 2+lna ＞0．21．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV ）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n （n ∈N *）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n 次． 方式二：混合检验，将其中k （k ∈N *且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k+1假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （0＜p ＜1）．现取其中k （k ∈N *且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2（1）若E （ξ1）＝E （ξ2），试求关于k 的函数关系式P ＝f （k ）；（2）若P 与干扰素计量x n 相关，其中x 1，x 2，…，x n （n≥2）是不同的正实数，满足x 1＝1且∀n ∈N *（n≥2）都有e−13∑ n−1i=1x n2x i xi+1=x n 2−x i 2x22−x 12成立．（i ）求证：数列{x n }为等比数列；（ii ）当P ＝1√x 3时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k 的最大值． （二）选考题：22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t1−t 2（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+π3）=√54．（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1|PA|+1|PB|的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣|2x+1|，x ∈R ． （Ⅰ）求不等式|f （x ）|≤4的解集；（Ⅱ）设a ，b ，c 为正数，求证：f(x)≤ab+c +bc+a +ca+b ．湖北部分协作体2020届高三统一联考数学(理科)解析一、选择题：1．集合A ＝{（x ，y ）|（x ﹣3﹣4cosq ）2+（y ﹣5﹣4sinq ）2＝4，θ∈R}，圆的圆心（3+4cosq ，5+4sinq ），半径为2，圆的圆心的轨迹方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣5）2＝16，集合A 的图形是图形中，两个圆的圆环部分，圆心C （3，5）到直线3x+4y ﹣19＝0的距离为：d ==2，所以，A∩B 就是|MN|＝2√62−22=2√32=8√2．选：A ．2．设z ＝a+bi （a ，b ∈R ），由z ⋅z =4且z +z +|z|＝0，得{a 2+b 2=42a +2=0，解得a ＝﹣1，b =±√3．∴z =−1±√3i =2(−12±√32i)， 而(−12−√32i)3=−18+3×(−12)2×(−√32i)+3×(−12)×(−√32i)2+(−√32i)3=1，(−12+√32i)3=−18+3×(−12)2×√32i +3×(−12)×(√32i)2+(√32i)3=1．∴z 2019=22019⋅(−12±√32i)2019=22019⋅[(−12±√32i)3]673=22019．选：D ．3．a ＝5√2sin （B +π4），c ＝5，∴a =√2csin （B +π4）， 由正弦定理可得：sinA =√2sinC•√22（sinB+cosB ）， ∴sin （B+C ）＝sinBcosC+cosBsinC ＝sinC•sinB+sinCcosB ， 化为：sinBcosC ＝sinC•sinB ，sinB≠0，∴cosC ＝sinC ，即tanC ＝1，C ∈（0，π）．∴C =π4． ∴△ABC 外接圆的半径R =12•csinC =5√22．如图所示，建立直角坐标系．A （−52，0），B （52，0），O （0，52）．△ABC 外接圆的方程为：x 2+(y −52)2=252．设C （5√22cosθ，52+5√22sinθ）．θ∈（0，π） 则G (5√26cosθ，56+5√26sinθ)．|OG|2=(5√26cosθ)2+(53−5√26sinθ)2=256−25√29sinθ≥25(6−2√8)25， ∴|OG|的最小值为：10−5√26．故选：D ．4．由PA →+PB →+PC →=AB →，得PA →+PC →=AB →−PB →， 即PA →+PC →=AB →+BP →，即PA →+PC →=AP →，∴PC →=2AP →， P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q 、R 的位置，△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为1：3；选：B ． 5．由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为12×√36+4+1=√412，∴该球形容器体积的最小值为：4π×(√412)2=41π．选：A ．6．秦九韶算法的过程是{v 0=a nv k =v k−1x +a n−k（k ＝1，2，…，n ）这个过程用循环结构来实现，应在题目的空白的执行框内填入v ＝vx+a i ，选：A ． 7．函数的定义域为{x|x≠±1}，f （﹣x ）=−x(e −x −e x )x 2−1=x(e x −e −x )x 2−1=f （x ），则函数f （x ）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，当x ＞1时，f （x ）＞0恒成立，排除B ，D ，选：C ． 8．∵sin36°＝cos54°，∴2sin18°cos18°＝4cos 218°﹣3cos18°，化为：4sin 218°+2sin18°﹣1＝0，解得sin18°=√5−14．不妨设A 2E 2＝1．根据题意知，△B 1A 1E 2∽△A 1A 2E 2，∴A 2E2A 1E 2=A 1E2A 1B 1=√5−12．∴A 1E 2=√5+12，A 1B 1=3+√52．∴S△A1A2E2=S2=12×1×√5+12×sin72°．S△A1A2B1=S2=12⋅A1B1⋅A2B1sin36°．正五边形A1B1C1D1E1的面积S1，正五边形A2B2C2D2E2的面积为S3，S3 S1=(A2E2A1B1)2=(√5−12)4．S△A1B1E2=S4=12A1B12•sin36°．S3＝5×12(12cos54°)2•sin72°，∴在正五边形ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率=5S2+S3S1=(√5−1)34．故选：C．9．由f（x）＝e x（x+1）2＝e x（x2+2x+1），得f1（x）＝f′（x）＝e x（x2+4x+3），f2（x）＝f1'（x）＝e x（x2+6x+7），f3（x）＝f2'（x）＝e x（x2+8x+13），…f n+1（x）＝f n'（x）＝e x[x2+2（n+1）x+（n+1）（n+2）+1]．又f n（x）＝e x（a n x2+b n x+c n），∴a n＝1，b n＝2n，c n＝n（n+1）+1．∴2a n2c n−b n =22n+2=1n+1．令d n=2a n2c n−b n =1n+1＜1n＜1(n−1)n=1n−1−1n（n≥2），则S2019＝d1+d2+d3+…+d n＜12+(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)=32−1n＜32．∴与S2019的值最接近的是32．故选：A．10．①函数的定义域为R，∵f （﹣x ）＝（cosθ+1）cos2（﹣x ）+cosθ[cos （﹣x ）+1]＝（cosθ+1）cos2x+cosθ（cosx+1）＝f （x ），∴f （x ）是偶函数，即①正确；②f （x ）＝2（cosθ+1）cos 2x+cosθcosx ﹣1， 设t ＝cosx ，则f （t ）＝2（cosθ+1）t 2+tcosθ﹣1， ∵2（cosθ+1）＞0，∴二次函数的开口向上，函数的对称轴为t =−cosθ4(cosθ+1)，且t 的正负与cosθ的取值有关， ∴f （x ）在（π4，π2）上不一定单调递减，即②错误； ③当θ∈[2π3，3π4]时，cosθ∈[−√22，−12]，f （x ）＝2（cosθ+1）cos 2x+cosθcosx ﹣1有|f （x ）|＜75；④当θ∈[2π3，3π4]时，有|f （x ）|＜145；故选：C ．11．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP|．可得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与双曲线C 只有一个交点， 可得PF 2的斜率：−ba ，设PF 1＝m ，PF 2＝n ，可得mn =ba ，m ﹣n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2， 消去m ，n ，可得：a 2(b−a)2=1，解得b ＝2a ，即c 2﹣a 2＝4a 2， 所以双曲线的离心率为：e =ca =√5． 故选：C ．12．当a ＝0时，函数f （x ）＝ax 3﹣（3a ﹣2）x 2﹣8x+12a+7， 化为：f （x ）＝2x 2﹣8x+7，函数的对称轴为x ＝2，f （2）＝﹣1＜0，f （1）＝1＞0，结合已知条件可知：h （x ）＝min{f （x ），g （x ）}，若h （x ）有三个零点，满足题意，排除A 、B 选项， 当a =18时，f （x ）=18x 3﹣（38−2）x 2﹣8x +32+7，f′（x ）=3x 2+26x−648，令3x 2+26x ﹣64＝0，解得x ＝2或x =−323，x ∈（﹣∞，−323），x ∈（2，+∞），f′（x ）＞0，函数是增函数， x ∈（−323，2），f′（x ）＜0，函数是减函数，所以x ＝2时函数取得极小值，f （2）＝0，所以函数由3个零点，满足题意，排除C ，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请在答题卷的相应区域答题.）13．x+y2x2+y2+6=x+y2x2+2+y2+4≤√22=x+y4(x+y)=14，当且仅当x＝1，y＝2时，等号成立．故函数的最大值为14．故答案为：1414．因为索菲娅特殊，所以优先安排他，分为三类：i）索菲娅由3个陶俑时，有C43，还有2个彩陶再排列，即共有C43⋅A22=4×2＝8；ii）索菲娅由2个陶俑时，有C42=6，还有3个彩陶，有2个人，C32⋅A22=3×2＝6，共有6×6＝36；iv）索菲娅由1个陶俑时有C41=4，还有4个彩陶分给2人，有2类，3，1分组，有C43⋅A22=4×2＝8，或2，2分组时，平均分组问题有顺序时C42=6，所以这种情况共有4×（8+6）＝56，综上所述：不同的送法种数为8+36+56＝100．故答案为：100．15．当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示：设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上，连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N，则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E，可得重心G（x03，y03）所以I的横坐标也为x03，|ON|=x03，由内切圆的性质可得，PG＝PA，F1Q＝F1N，NF2＝AF2，所以PF1﹣PF2＝（PG+QF1）﹣（PA+AF2）＝F1N﹣NF2＝（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）＝2ON=2x03，而PF1+PF2＝2a，所以PF1＝a+x03，PF2＝a−x03，由角平分线的性质可得PF1PF2=F1MMF2=a+x03a−x03=c+OMc−OM，所以可得OM=cx03a，所以可得MN＝ON﹣OM=x03−cx03a=(a−c)x03a，所以ME＝OE﹣OM＝x0−cx03a =(3a−c)x03a，所以INPE =MNOE=a−c3a−c，即IN=a−c3a−c•PE=a−c3a−c•y0，s△PF1F2=12（PF1+F1F2+PF2）•IN=12F1F2⋅PE，即12（2a+2c）⋅a−c3a−c⋅y0=12⋅2c⋅y0，所以整理为：ca =13，故答案为：13．16．由题意可得，f（1）＞f（0），所以a＞15，∵f′（x）＝6ax2+2（3a﹣1）x＝6ax（x−1−3a3a）①当≥13时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）在[0，1]上单调递增，满足题意；②15＜a＜13时，易得函数在[0，1−3a3a）上单调递减，在[1−3a3a，1]上单调递增且f（1）＞f（0），符合题意；综上，a＞15故答案为：（15，+∞）．三、解答题17．（1）∵数列{a n}的中a1＝1，a2＝2，且满足∑n i=1√a+√a =1+a．∴当n≥2时，∑n−1i=1√a+√a =√a+√a，两式作差整理得a n＝a1+（n﹣1）（a2﹣a1），n≥2，∴a n ＝n ，n≥2，当n ＝1时，a 1＝1满足上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n ．（n ∈N *）． （2）b n =(−1)n a 2n+1a n a n+1=(−1)n (2n+1)n(n+1)=（﹣1）n （1n+1n+1）=(−1)n n−(−1)n+1n+1，∴数列{b n }的前n 项和： T n ＝（−11−12）+（12−−13）+（−13−14）+…+[(−1)n n−(−1)n+1n+1]＝﹣1−(−1)n+1n+1，n ∈N *，∵|T n +1|＜12020，∴|T n +1|=1n+1＜12020，解得n ＞2019． ∴n 的最小值为2020．18．（1）过点E 作EH ⊥BC ，连接HD ，EH =√3， 因为平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ， 平面ABCD∩平面BCE ＝BC ， 所以EH ⊥平面ABCD ， 因为FD ⊥ABCD ，FD =√3，所以FD ∥EH ，FD ＝EH ，故平行四边形EHDF ， 所以EF ∥HD ，由EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ；（2）连接HA ，根据题意，AH ⊥BC ，以H 为原点，HB ，HA ，HE 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，√3，0），B （1，0，0），E （0，√3，√3），F （2，√3，√3）， 则BA →=（﹣1，√3，0），BE →=（﹣1，0，√3），BF →=（﹣3，√3，√3）， 设平面BAF 的法向量为m →=（x ，y ，z ），{m →⋅BA →=−3x +√3y +√3z =0m →⋅BF →=−x +√3y =0，得m →=（√3，1，2）， 设平面BEF 的法向量为n →=(a ，b ，c)，由{n →⋅BE →=−a +√3c =0n →⋅BF →=−3a +√3b +√3c =0，得n →=(√3，2，1)，由cos ＜m →，n →＞=3+2+28=78，所以二面角A ﹣FB ﹣E 的余弦值为−78．19．（1）根据条件可知EP →=（x+1，y ），EF →=（2，0），FP →=（x ﹣1，y ），FQ →=（﹣2，y ）， 因为EP →•EF →=FP →•FQ →．所以2x+2＝﹣2x+2+y 2，即y 2＝4x ， 所以P 的轨迹方程为y 2＝4x ；（1）设直线AB ：x ＝my+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y 2=4x x =my +1，整理得y 2﹣4my ﹣4＝0，且y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，△＝16（m 2+1），所以M （2m 2+1，2m ），同理，N （2m 2+1，−2m ），所以K （m 2+1m 2+1，m −1m ）， 所以当k =m−1m m 2+1m2+1=m−1m (m−1m)2+3=1m−1m +3m−1m，令t ＝m −1m ≠0，则k =1t+3t，当t ＜0时，t +3t =−（﹣t −3t ）≤﹣2√3，当且仅当t =−√3时取等号， 当t ＞0时，t +3t ≥2√3，当且仅当t =√3时取等号， 则k =1t+3t∈[−√36，0）∪（0，√36]． 20．（1）函数f （x ）的定义域为（0，2），f′(x)=(e x−1−ax)(2−x)x 3，记g （x ）＝e x ﹣1﹣ax ，则g′（x ）＝e x ﹣1﹣a ，①当a ≤1e 时，g′（x ）＞0，故g （x ）在（0，2）上单增，则g （x ）至多有一个零点，不合题意； ②当a ＞1e 时，令g′（x ）＝0得x ＝1+lna ， （i ）当1+lna ＜2且g （2）＞0，即1e ＜a ＜e2时，g （x ）在（0，1+lna ）上单减，在（1+lna ，2）上单增， 此时需g （x ）min ＝g （1+lna ）＝﹣alna ＜0，解得a ＞1， 注意到g （0）＞0，故由零点存在性定理可知，g （x ）在（0，1+lna ）及（1+lna ，2）上各有一个零点； （iii ）当1+lna≥2，即a≥e 时，g （x ）在（0，2）上单减，则g （x ）至多有一个零点，不合题意；综上，实数a 的取值范围为(1，e2)； （2）证明：不妨设0＜x 1＜1+lna ＜x 2＜2，由题意得，{e x 1−1−ax 1=0e x 2−1−ax 2=0，两边同时取自然对数得{x 1−lnx 1=1+lnax 2−lnx 2=1+lna ，要证lnx 1+lnx 2+lna ＞0，只需证x 1+x 2＞2+lna ，即证x 1＞1﹣lnx 2，由上可知，g （x ）在（0，1+lna ）上单减，则证明g （1﹣lnx 2）＞g （x 1）＝0即可， 有e −lnx 2−e x 2−1x 2(1−lnx 2)＞0，化简后即证明lnx 2+e 1−x 2＞1即可，构造函数h （x ）＝lnx+e 1﹣x ，x ∈（1+lna ，2），则h′(x)=1x −1e ，注意到不等式e x ﹣1＞x （x ＞0），则h′（x ）＞0在（1+lna ，2）恒成立，即h （x ＞h （1+lna ）＞h （1）＝1，故求证成立．21．（1）由已知可得E （ξ1）＝k ，ξ2的所有取值为1，k+1，P （ξ2＝1）＝（1﹣p ）k ，P （ξ2＝k+1）＝1﹣（1﹣p ）k ，E （ξ2）＝（1﹣p ）k +（k+1）[1﹣（1﹣p ）k ]＝k+1﹣k （1﹣p ）k ， 由E （ξ1）＝E （ξ2），可得k ＝k+1﹣k （1﹣p ）k ，即（1﹣p ）k =1k，即1﹣p ＝（1k ）1k，即p ＝1﹣（1k ）1k，可得f （k ）＝1﹣（1k ）1k，k ∈N*，k≥2；（2）（i ）证明：当n ＝2时，e −13•x 22x1x 2=x 22−x 12x22−x 12=1，即x 2x 1=e13，可令q =x 2x 1=e13＞0，则q≠1，由x 1＝1，下面证明对任意的正整数n ，x n ＝en−13，①当n ＝1，2时，显然成立；②假设对任意的n ＝k ，x k ＝e k−13，下面证明n ＝k+1时，x k+1＝ek 3，由题意可得e −13•∑ki=1x k+12x i xi+1=x k+12−x 12x 2−x 1，则e−13•x k+12（1x 1x 2+1x 2x 3+⋯+1x k−1x k+1x k x k+1）=x k+12−1e 23−1，则e −13•x k+12{e −13[1−(e −23)k−1]1−e −23+1e k−13⋅x k+1}=x k+12−1e 23−1，x k+12(1−e−2(k−1)3)e 23−1+e−k 3•x k+1=x k+12−1e 23−1，e−2(k−1)3•x k+12{+（e−k 3−e−k 3+23）x k+1﹣1＝0，即（e−k 3•x k+1﹣1）（e −k 3+23•x k+1+1）＝0，可得x k+1＝e k 3或x k+1＝﹣e k−23（舍去），即x k+1＝ek 3成立，由①②可得数列{x n }为等比数列，且x n ＝e n−13；（ii ）由（i ）可知p ＝1√x 3=1√e3，E （ξ1）＝E （ξ2），可得k ＞k+1﹣k （1﹣p ）k ，即1k ＜（1﹣p ）k ＝（√e 3）k ，所以lnk ＞13k ，设f （x ）＝lnx −13x ，x ＞0，f′（x ）=3−x 3x，当x≥3时，f′（x ）＜0，f （x ）递减，又ln 4≈1.3863，43≈1.3333，则ln4＞43；ln5≈1.6094，53≈1.6667，则ln5＜53，可得k 的最大值为4．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（1）曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t1−t 2（t 为参数）．转化为直角坐标方程为x 2﹣4y 2＝1， 直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+π3）=√54．转化为直角坐标方程为：12x −√32y =√54．（2）由于直线与x 轴的交点坐标为（√52，0），所以直线的参数方程为{x =√52+√32t y =12t（t为参数），代入x 2﹣4y 2＝1得到：t 2−2√15t −1=0， 所以：t 1+t 2=2√15，t 1•t 2＝﹣1， 则：1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=8．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣|2x+1|={x +2，x ≤−12−3x ，−12＜x ＜1−x −2，x ≥1，画出f （x ）的图象如图所示；所以f （x ）在区间（﹣∞，−12）内单调递增，在区间（−12，+∞）内单调递减； 对应f （x ）的最大值为f （−12）=32≤4， 且f （﹣6）＝﹣4，f （2）＝4，所以不等式|f （x ）|≤4的解集为{x|﹣6≤x≤2}； （Ⅱ）证明：因为a ，b ，c 为正数，则ab+c+ba+c +ca+b =（a+b+c ）（1b+c +1c+a +1a+b ）﹣3 =12[（b+c ）+（c+a ）+（a+b ）]（1b+c +1c+a +1a+b ）﹣3 ≥12（1+1+1）2﹣3=32，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”； 又f （x ）的最大值为32， 所以f(x)≤a b+c+b c+a+ca+b．。
湖北省部分重点中学2020届高三第二次联考(带答案)
湖北省部分重点中学2020届高三第二次联考高三数学试卷（理科）命题学校：武汉市第十一中学命题教师：审题教师： 考试时间：2020年1月16日下午15：00-17：00：试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}|1A x y x ==-，{}|(1)(3)0B x x x =+-<，则()RA B =⋂（ ）A ．[)1,3B ．()1,3C ．(][)1,01,3-⋃D ．(]()1,01,3-⋃2．复数z 满足(1)|2|i z i +=-，则z =（ ）． A ．22i +B ．1i +C ．22i -D ．1i -3．若实数x ，y 满足221xy+=，则x y +的最大值是（ ） A ．4-B ．2-C ．2D ．44．非零向量a ，b 满足||7||a b a +=，且()0a b a -⋅=，a ，b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．在魅力江城武汉举行的第七届世界军人运动会开幕式上，最激动人心的时刻是“升国旗、唱国歌”环节．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，如图所示，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为102米，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（ ）（米/秒）A ．33B ．5323C ．7323D ．836．《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为：公、侯、伯、子、男，共有五级．若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则甲比乙获封等级高的概率为（ ）A ．25B ．15C ．45D ．357．已知()()0.80.8aaππ<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0),-∞B ．()0,1C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞8．已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2α=（ ） A ．43-B ．23-C ．43D ．239．已知函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，那么()33sgn 31y x x x =-++的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知A ，B 为椭圆22143x y +=上的两个动点，()1,0M -，且满足MA MB ⊥，则MA BA ⋅的取值范围为（ ） A ．[]3,4B ．9,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,9D ．9,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．设数列{}n a 的前项和为n S ，且11a =，()*2(1)nn a n N S n n=+-∈，则22n nS n -的最小值是（ ） A ．1-B ．2C ．23D ．312．如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E ，F 分别是棱AD 、BC 的中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A ．32B ．4C ．42D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清均不给分． 13．设D 为ABC 所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=________．14．若62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则ab =________．15．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点M ，若124F MF π∠=，则双曲线的离心率为________．16．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫．蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）．该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：*,x y N ∈，且30x y +=）．若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望值大，则x 的最小值是________． 前8小时内销售量15 16 17 18 19 20 21 频数10x16161513y三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n S a n n N =-+∈．（Ⅰ）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（Ⅱ）求数列{}1n a -的前n 项和n T ．18．（本题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PD AB ==，E 为PC 上一点，当F 为DC 的中点时，EF 平行于平面PAD ．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCB ； （Ⅱ）求二面角E BD P --的余弦值．19．（本题12分）已知椭圆C ：2221(1)x y a a+=>6（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点()1,0M 且与椭圆C 相交于A ，B 两点．过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D ．证明直线BD 过x 轴上的定点．20．（本题12分）已知函数()ln f x ax x =-．（Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若1a =-，1b ≥，()()xg x f x be =+，求证：()0g x >．21．（本题12分）在三棱锥A BCD -中，已知BCD 、ACD 均是边长为2的正三角形，BCD 在平面α内，侧棱3AB =1至8的八个标签中的四个，并记对应的标号为()fη（η取值为A 、B 、C 、D ），E 为侧棱AB 上一点．（Ⅰ）求事件“()()f C f D +为偶数”的概率1P ；（Ⅱ）若()()BE f B EA f A =，求“二面角E CD A --的平面角θ大于4π”的概率2P ． 选考题：请在下面两道题中选择一题作答，多选不得分．22．（本题10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x m ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ l ⊥，垂足为Q ，若PQ 的最小值为2，求m 的值． 23．（本题10分）已知函数()|2|||f x x a x a =---，a R ∈．（Ⅰ）若()11f >，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a <，对,(,]x y a ∀∈-∞，都有不等式221,42x y +=恒成立，求a 的取值范围．湖北省部分重点中学2020届高三第二次联考高三数学试卷答案（理科）1．B 2．D 3．B 4．C 5．B 6．A 7．A 8．A 9．D 10．C 11．A 12．B 13．3- 14．1 1516．2517．（Ⅰ）2n n S a n =-+，当2n ≥时，1121n n S a n --=-+-，两式相减，得121n n n a a a -=-++，即11133n n a a -=+．1111232n n a a -⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列． （Ⅱ）由1121S a =-+，得113a =．由（Ⅰ）知，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16-为首项，13为公比的等比数列．所以11111126323n n n a -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，111232nn a ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，1111232nn a ⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭，111631111243213nn n n n T ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-．18．（Ⅰ）证明：PD ⊥平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又∴正方形ABCD 中，CD BC ⊥，PD CD D =，BC ∴⊥平面PCD ，又DE ⊂平面PCD ，BC DE ∴⊥，PD CD =，当F 为DC 的中点时，EF 平行平面PAD ，所以E 是PC 的中点，DE PC ⊥，PCBC C =，DE ∴⊥平面PCB ．（Ⅱ）以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：(0,0,0)D ，(0,0,2)P ，(2,2,0)B ，(0,1,1)E ，(2,2,0)DB =，(0,1,1)DE =，设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则0n DB ⋅=，0n DE ⋅=，220x y y z +=⎧∴⎨+=⎩，令1z =，得到1y =-，1x =，(1,1,1)n ∴=-． 又(0,2,0)C ，(2,0,0)A ，(2,2,0)AC =-，且AC ⊥平面PDB ，∴平面PDB 的一个法向量为(1,1,0)m =-．设二面角E BD P --的平面角为α，则1cos |cos ,|m n α+=<>==．∴二面角E BD P --． 19．（Ⅰ）解：由题意可得22213b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =1b =，所以椭圆C 的方程为2213x y +=． （Ⅱ）直线BD恒过x 轴上的定点()2,0N ．证明如下（a ）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，不妨设1,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,3B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，3,3D ⎛ ⎝⎭． 此时，直线BD 的方程为：)2y x =-，所以直线BD 过点()2,0． （b ）当直线l 的斜率存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 为()1y k x =-，()13,D y ．由()22133y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()2222136330k x k x k +-+-=．所以2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+．……（*）直线BD ：()211233y y y y x x --=--，只需证明直线BD 过点()2,0即可． 令0y =，得()122133y x x y y --=--，所以21121212212212121333343y y y x y y y x x x x x y y y y x x --+---===---即证21221432x x x x x --=-，即证()211223x x x x +-=．将（*）代入可得()222211222212339323313131k k k x x x x k k k -++-=-==+++． 所以直线BD 过点()2,0综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点()2,0． 20．（Ⅰ）()()10f x a x x'=->， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，则()f x 在()0,+∞上单调递减，()f x 无极值； 当0a >时，令()0f x '>，得1x a >；令()0f x '<，得10x a <<，则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，()f x 有极小值为1ln a +，无极大值． （Ⅱ）当1a =-，1b =时，()()ln 0xg x e x x x =-->，()11x g x e x'=--，令()()h x g x '=，则()210xh x e x=+>'， 所以()h x 在()0,+∞上单调递增．又1302h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()120h e =->，所以01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()000110xh x e x =--=，即0011x e x =+， 所以函数()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以函数()g x 的最小值为()00000001ln 1ln x g x e x x x x x =--=+--， 又函数11ln y x x x =+--在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是单调减函数，所以()011ln1110g x >+--=>， 又1b ≥，()()x x f x be f x e +≥+，故()0g x >．21．（Ⅰ）用1M 表示“()f C 、()f D 均为奇数”的事件，用2M 表示“()f C 、()f D 均为偶数”的事件．由题意知()241284338714A P M A ⨯===⨯，()242284338714A P M A ⨯===⨯．记“()()f C f D +为偶数”为事件Q ．则12Q M M =+． 故()()112332147P P M P M =+=⨯=． （Ⅱ）如图，取边CD 的中点F ，连结BF 、AF 、EF ．因为BCD 、ACD 均是边长为2的正三角形，所以，AF CD ⊥，BF CD ⊥． 因此，CD ⊥平面ABF ．从而，AFE ∠是二面角E CD A --的平面角θ．又AF BF AB ===，则3AFB π∠=．故()()sinsin sin 41sin sinsin 123f A AE AFEf B BEBFEπθππθ∠===>=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭． 当()1f B =时，()3f A ≥，则()f A 可取3，4，…，8共六个值； 当()2f B =时，()6f A ≥，则()f A 可取6，7，8共三个值； 当()3f B ≥时，()9f A ≥，则()f A 不存在． 综上，2289956P A ==． 22．（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式并化简得22142x y +=， 所以曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=，消去参数t 可得直线l的普通方程为0x m --=．（Ⅱ）设()2cos P θθ，由点到直线的距离公式得|)|||m PQ πθ+-==0m ≠， 当0m >时，min ||2PQ ==，得m = 当0m <时，min ||2PQ ==，得m =-所以m =m =- 23．（Ⅰ）由题意知，()1|12||1|1f a a =--->，若12a ≤，则不等式化为1211a a --+>，解得1a <-； 若112a <<，则不等式化为()2111a a --->，解得1a >，即不等式无解； 若1a ≥，则不等式化为2111a a -+->，解得1a >， 综上所述，a 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞；（Ⅱ）由题意知，要使得不等式()()2020||f x y y a ≤++-恒成立，只需()()max min 2020||f x y y a ⎡⎤≤++-⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当(],x a ∈-∞时，|2|||x a x a a ---≤-，()max f x a =-⎡⎤⎣⎦，因为|2020||||2020|y y a a ++-≥+，所以当()(2020)0y y a +-≤时，[]min |2020||||2020|y y a a ++-=+，即|2020|a a -≤+，解得1010a ≥-，结合0a <，所以a 的取值范围是[)1010,0-．。
湖北省重点中学2020届高三数学上学期期末联考试题理(含解析)
23. 已知函数 f（x）=|2x+1|+|x-4|． （1）解不等式 f（x）≤6； （2）若不等式 f（x）+|x-4|＜a2-8a 有解，求实数 a 的取值范围．
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答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：i2020=i4×505=（i4）505=1． 故选：A． 直接利用虚数单位 i 的运算性质求解． 本题考查虚数单位 i 的运算性质，是基础的计算题． 2.【答案】B 【解析】解：由 A 中不等式变形得：log21=0＜log2x＜2=log24，即 1＜x＜4， ∴A=（1，4）， 由 B 中 y=3x+2＞2，得到 B=（2，+∞）， 则 A∩B=（2，4）， 故选：B． 求出 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 中 y 的范围确定出 B，找出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 3.【答案】A
20. 椭圆 C 焦点在 y 轴上，离心率为 ，上焦点到上顶点距离为 2- ． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）直线 l 与椭圆 C 交与 P，Q 两点，O 为坐标原点，△OPQ 的面积 S△OPQ=1，则| |2+| |2 是否为 定值，若是求出定值；若不是，说明理由．
21. 已知函数 f（x）=excosx-xsinx，g（x）=sinx- ex，其中 e 为自然对数的底数． （1）∀x1∈[- ，0]，∃x2∈[0， ]，使得不等式 f（x1）≤m+g（x2）成立，试求实数 m 的取值范围； （2）若 x＞-1，求证：f（x）-g（x）＞0．
线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若∠PAQ=60°，且 =3 ，则双曲线的离心率为______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
武汉市部分重点中学2020届新高三起点考试数学(理)试题(PDF版有答案)
湖北省部分重点中学2019-2020学年度上学期新高三起点考试理科数学参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.全集U=R，A={)1(log |2018-=x y x },B={84|2++=x x y y },则 A （）A.[1,2]B.[1,2)C.(1,2]D.(1,2)【解析】D 略2.y x ,互为共轭复数，且i xyi y x 643)(2-=-+，则=+||||y x A.2 B.22 C.1 D.4【解析】选B 设,x a bi y a bi =+=-，代入得()()2222346a a b i i -+=-，所以()()22224,36a a b =+=，解得1,1a b ==，所以22x y +=.3.是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地3月1日到12日指数值的统计数据，图中点A 表示3月1日的指数值为201．则下列叙述不正确．．．的是（）A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是4月9日C.这12天的指数值的中位数是90.5D.从3月4日到9日，空气质量越来越好【答案】C【详解】由3月1日到12日指数值的统计数据，指数值不大于100的共有6天，故A 正确；由3月1日到12日指数值的统计数据，4月9日的指数值为67，空气质量最好，故B 正确；由3月1日到12日指数值的统计数据，这12天的指数值的中位数是90，故C 错误；由3月1日到12日指数值的统计数据，从3月4日到9日，指数值逐渐变小，空气质量越来越好，故D 正确.故选C.4.下列说法中，正确的是（）A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题B.命题“存在2000,0x R x x ∈->”的否定是“对任意的2,0x R x x ∈-≤”C.命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D.已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件答案：B 5.已知2121,21ln -==e x x ，3x 满足33ln x e x -=，则（）A.123x x x << B.132x x x << C.213x x x << D.312x x x <<【答案】A 解：∵0x e ->；∴3ln 0x >；∴31x >；又1021ln ln10,012e e -<=<<=；∴123x x x <<．故选：A ．6．函数f(x)＝e x ＋1x （1－e x ）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为(A)【解】当x>0时，e x >1，则f(x)<0；当x<0时，e x <1，则f(x)<0，所以f(x)的图象恒在x 轴下方，选A.7.已知向量与的夹角为，=2，=5，则在方向上的投影为()A. B. C. D.【答案】B 【解】∵=2，=5，向量与的夹角为，∴，∴在方向上的投影为．8．函数f(x)＝2x －14的图象的一个对称中心的坐标是(A)【解析】f(x)＝2x －14＝32cos 2x ＋12sin 2x sin 2x －14＝32sin 2xcos 2x ＋12sin 22x －14＝34sin 4x ＋12·1－cos 4x 2－14＝12sin令4x －π6＝k π，求得x ＝k π4＋π24，＋π24k ∈Z ，当k ＝1时，故选A.9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是__________．A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】2222223412log log log ......log log 34522n S n n +=++++=++，当22log 22n =-+时，6n =，7n =时，2S <-，此时18n n =+=，故填：8.10.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【详解】由题意可得A （a ，0），A 为线段OB 的中点，可得B （2a ，0），令x ＝2a ，代入双曲线的方程可得y ＝±b ，可设P （2a ，b ），由题意结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点（﹣a ，0），即|AP |＝2a ，即有2a，可得a ＝b ，e ，故选：A ．10.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且，若，则tanB 的值为（）A.31- B.31 C.3- D.3【答案】-3【详解】∵，∴,即，又，由余弦定理可得,解得，,,解得,故答案为-3.11.如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点分别为线段、上的动点，已知当取最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B 【分析】在上取与点对应的点，显然当为的中点时，，计算棱锥的高，利用勾股定理计算出球的半径，进而可得出结果.【详解】在上取点，使得，则，当时，取得最小值，即的最小值为，因为此时，恰为的中点，所以，因此，，设外接球的半径为，则，解得，因此，外接球的表面积为.故选B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在的展开式中的系数为_____.【答案】-8414.已知实数x ，y 满足210102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则2z x y =-的取值范围是______．【答案】[0,5)【详解】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线:20l x y -=，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最小，联立21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得C 12,33⎛⎫⎪⎝⎭，同理B(2,-1)即z 的取值范围是[0,5).15.已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M，延长FA ，,与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:2FM MN =，则实数a 的值为______．【答案】433【详解】依题意得焦点F 的坐标为,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过M 作抛物线的准线的垂线且垂足为K ，连接MK ，由抛物线的定义知MF MK =，因为||:||1:2FM MN =，所以||:||3:1KN KM =，又01404FN k a a -==--，N ||3||F KN k KM =-=，所以43a -=，解得433a =.故答案为43316.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为______．【答案】【详解】由题意可知，函数的定义域，，即，∴函数为偶函数，若函数有4个零点，即函数在有2个零点，当x＞0时，,易知：函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，且时，，故只需：的最小值∴，解得∴的取值范围为.故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．(本题满分12分)已知数列是等比数列，为数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，且为递增数列，若，求证：.【答案】（1）或.（2）详见解析【解析】（1）设数列的公比为，当时，符合条件，，，当时，，所以，解得，.，综上：或.注：列方程组求解可不用讨论.（2）证明：若，则，与题意不符；，，，.18.(本题满分12分)在五边形AEBCD中，，C，，，（如图）.将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O(如图）.（1）求证：平面ABE⊥平面DOE；（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）45°【详解】（1）由题意，O是线段AB的中点，则.又，则四边形OBCD为平行四边形，又，则，因，，则.，则AB⊥平面EOD.又平面ABE，故平面ABE⊥平面EOD.（2）由（1）易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，△EAB为等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC，则，取，则O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），则，，设平面ECD的法向量为，则有取，得平面ECD的一个法向量，因OD⊥平面ABE.则平面ABE的一个法向量为，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，则，因为，所以，故平面ECD与平面ABE所成的镜二面角为45°.19．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x ＋y －2＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】(1)由椭圆的离心率e ＝22，得c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝12，得b ＝c.上顶点为(0，b)，右焦点为(b ，0)，以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为x －b 22y －b 22a 2＝b 22，∴|b －2|2＝22b ，即|b －2|＝b ，得b ＝c ＝1，a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1..........................5分(2)椭圆C 上不存在这样的点Q ，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P x 3，53Q(x 4，y 4)，MN 的中点为D(x 0，y 0)，y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，....7分故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3＜t ＜3.由PM →＝NQ →，得x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53..........................9分(也可由PM →＝NQ →知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －159.)又－3＜t ＜3，所以－73＜y 4＜－1，.........................11分与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．故椭圆C 上不存在这样的点Q.12分20.(本题满分12分)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅单位（一套住宅为一户）.阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：（1）若规定第一阶梯电价每度元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度元，第三阶梯超出第二阶梯每度元，式计算居民用电户用电度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的用户数的分布与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全是居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.【答案】（1）227元（2）（3）【解析】分析：（1）10户共有3户为第二阶梯电量用户，所以可取0,1,2,3，分别求其概率，即可列出分布列，计算期望；（2）由题意抽到的户数符合二项分布，设抽到K 户概率最大，解不等式组，再根据即可求出.试题解析：（1）元设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3居民用电编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410故的分布列是123所以可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知,解得，所以当时，概率最大，所以21.(本题满分12分)已知函数（为自然对数的底数，为常数，并且）.（1）判断函数在区间内是否存在极值点，并说明理由；（2）若当时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）无极值点；（2）0.【详解】（1），令，则f'（x）＝e xg（x），恒成立，所以g（x）在（1，e）上单调递减，所以g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以f'（x）＝0在（1，e）内无解．所以函数f（x）在区间（1，e）内无极值点．（2）当a＝ln2时，f（x）＝e x（﹣x+lnx+ln2），定义域为（0，+∞），，令，由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上单调递减，又，h（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在，使得h（x 1）＝0，且当x∈（0，x 1）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，当x∈（x 1，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0．所以f（x）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，+∞）上单调递减，所以．由h（x 1）＝0得，即，所以，令，则恒成立，所以r（x）在上单调递增，所以，所以f（x）max ＜0，又因为，所以﹣1＜f（x）max ＜0，所以若f（x）＜k（k∈Z ）恒成立，则k 的最小值为0．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做和，则按所做的第一题记分。
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湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：“，”，故选C.2．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】：焦点在x轴时，焦点在y3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为5，则输出v的值为A． B．C． D．【答案】B【解析】：依次运行程序框图中的程序，可得①满足条件，；②满足条件，；③满足条件，；……⑨满足条件，；⑩满足条件，．而不满足条件，停止运行，输出．故选B．4．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则因为所以故选B.5．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加侧视方向ACA 1B 1C1CBAC ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l 0月份，故A ，B ，C 错.本题选择D 选项.6．已知棱长都为2的正三棱柱111ABC A B C -的直观图如图，若正三棱柱111ABC A B C -绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为【答案】B 【解析】无7．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点M在C 上，直线MF 与l 交于点N ．若3MFO π∠=，则MF MN =A ．14B ．13C ．21D ．23【答案】C【解析】作MQ 垂直l 于Q ，则RT △MQN 中，2MQN π∠=，6MNQ π∠=，所以12MF MQ MNMN==．选C ． 8．函数的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C ；因此选B.9．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移125π后关于原点成中心对称 【试题简析】由图易得点C 的横坐标为3π，所以()f x 的周期T π=． 不妨令0A >，0<<ϕπ．因为周期T π=，所以2ω=，又()06f π-=，所以3πϕ=，因此()sin(2)3f x A x π=+．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称．故选B ．10．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．e BC ．1eD ．1【答案】A【解析】2112x x x x <，即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x x x x <， 故()ln xf x x =在()0,m 上为增函数，()21ln 00e x f x x x>⇒'-=<<， 故m 的最大值为e ，故选A ．11．已知,A B 为椭圆上的两个动点，,且满足MA MB ⊥,则MA BA ⋅的取值范围为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C12.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，2,AB E F =，分别是,AD BC中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）.A.1 D. 2 【答案】A【解析】补成正方体，如图.,EF ⊥∴αQ 截面为平行四边形MNKL ,可得2NK KL +=可得L MNK S NK KL =⋅四边形2()1,2NK KL +≤=当且仅当NK KL =时取等号，选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．13．20191i1i--=_________．【答案】i．【解析】解法一：321i1i(1i)2ii1i1i(1i)(1i)2-++====---+．解法二：3221i(1i)(1i i)1i i i1i1i--++==++=--．14．过坐标原点作曲线的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为【答案】.【解析】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为.15．将正奇数按如图所示的规律排列：13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31………………则2019在第行，从左向右第个数【答案】32 4916．已知直线x t=与曲线()()()=+=分别交于,M N两点，则MN的最小值f x xg x eln1,x为【答案】三、解答题：共70分。
2020届湖北省部分高三上学期联考考数学（理）试题
2020届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考考数学（理）试题一、单选题1．集合{}260A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则AB =（ ）A ．()2,3-B ．(),3-∞C ．()2,2-D ．()0,2【答案】A【解析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<, 解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<, 即AB =()2,3-,故选:A. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题.2．已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则 a 等于（ ）A ．B ．1-CD ．1【答案】D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ++-+++==--+， 1a ii +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．若2sin cos 12x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则cos2x =（ ）A ．89-B ．79-C ．79D ．-1【答案】C【解析】利用诱导公式化简得到sin x ，再结合二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】2sin sin 1x x +=，即1sin 3x =所以22cos 212sin 1799x x =-=-= 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.4．已知{}n a 为等比数列，若3528a a ==，，则78a a +=（ ） A ．-32 B ．96C ．-32或96D ．-96或32【答案】C【解析】设公比为q ，利用等比数列的通项公式表示35,a a ，化简得到1,a q ，即可求出78a a +.【详解】 设公比为q2114112282a a q a q q ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或 1122a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 当11,22a q ==-时 6767781111(2)(2)3222a a a q a q +=+=⨯-+⨯-=-当11,22a q ==时，6777811611229622a a a q a q +=+=⨯+⨯= 故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的计算，属于基础题. 5．点P 是ABC △所在平面上一点，若2355AP AB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（ ） A ．35B ．52C ．32D ．23【答案】C【解析】由向量的线性运算可得32=BP PC ，即点P 在线段AB 上，且32=BP PC ,由三角形面积公式可得:ABP S ∆APC S ∆:3:2BP PC ==，得解. 【详解】解：因为点P 是ABC △所在平面上一点，又2355AP AB AC =+， 所以2233-=-5555AP AB AC AP ,即23=55BP PC ,即32=BP PC ，则点P 在线段BC 上，且32=BP PC ,又1sin 2APC S AP PC APC ∆=∠，1sin 2ABP S AP BP APB ∆=∠,又APB APC π∠+∠=，即sin sin APC APB ∠=∠， 所以点P 在线段BC 上，且32=BP PC , :ABP S ∆APCS ∆1sin :2AP BP APB =∠1sin 2AP PC APC ∠:3:2BP PC ==， 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题. 6．下列说法正确的个数是（ ）①命题“若4a b +，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题 ②命题“设a b R ∈，，若5a b +≠，则3a ≠或2b ≠”是一个真命题 ③“20000x R x x ∃∈-<，的否定是“20x R x x ∀∈->，”④已知x ，y 都是实数，“||||1x y +”是“221x y +”的充分不必要条件 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】判断命题①的逆命题的真假；判断命题②的逆否命题的真假；写出命题③的否定即可判断；利用不等式表示的平面区域，即可判断真假.【详解】命题“若4a b +，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题为:“若a ，b 中至少有一个不小于2，则4a b +”,当2,0a b ==时，为假命题，故①错误；命题“设a b R ∈，，若5a b +≠，则3a ≠或2b ≠”的逆否命题为：“设a b R ∈，，若=3a 且=2b ，则=5a b +”为真命题，故②正确；“20000x R x x ∃∈-<，的否定是“20x R x x ∀∈-≥，”故③错误；||||1x y +表示的区域是以(1,0),(0,1)±±为顶点的正方形及其内部221x y +表示的区域是(0,0)为圆心，1为半径的圆及其内部所以22||||11x y x y +⇒+ 成立，反之不成立，故④正确；故选：B 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及充分条件和必要条件的判断，否定等，属于基础题. 7．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的为（ ） A ．2||y x x =- B ．||2x y =C ．22x xy -=-D ．212log ||y x x =- 【答案】D【解析】由偶函数的判断依据为()()f x f x =-，先判断各选项的奇偶性，再判断函数在()0,∞+的增减性，再利用函数的奇偶性判断函数在(),0-∞的增减性即可.【详解】解：对于选项A, ()||f x x x =-2，则()()f x f x =-，即()y f x =为偶函数，又0x >时，2211()()24f x x x x =-=--，则函数()||f x x x =-2在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为增函数，由函数为偶函数，可得函数()||f x x x =-2在(),0-∞不为增函数，即选项A不合题意；对于选项B, ||()2x f x =，则()()f x f x =-，即()y f x =为偶函数，又0x >时，()2x f x =，则函数||()2x f x =在()0,∞+为增函数，由函数为偶函数，可得函数||()2x f x =在(),0-∞为减函数，即选项B 不合题意；对于选项C, ()22x x f x -=-，则()()f x f x =--，即()y f x =为奇函数，即选项C 不合题意；对于选项D ，212()log ||f x x x =-,则()()f x f x =-，即()y f x =为偶函数，又0x >时，212()log f x x x =-，函数212()log ||f x x x =-在()0,∞+为减函数，由函数为偶函数，可得函数212()log ||f x x x =-在(),0-∞为增函数，即选项D 符合题意；故选：D. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判定及函数单调性的判定，重点考查了函数性质的应用，属中档题.8．已知定义在R 上的奇函数21()2x x f x a-=+，则不等式()2(2)40f x f x -+-<的解集为（ ） A ．（-1，6） B ．（-6，1）C ．（-2，3）D ．（-3，2）【答案】D【解析】利用函数的奇偶性定义求出1a =，结合函数的单调性，对所求不等式化简，即可求解. 【详解】函数21()2x x f x a-=+是定义在R 上的奇函数所以212122x x x xa a----=-++，化简得1a = 即212()12121x x xf x -==-++且()f x 在R 上单调递增 ()()22(2)404(2)f x f x f x f x -+-<⇒-<-242x x ∴-<-，解得：32x -<<故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性的应用，关键是利用函数的单调性来解抽象不等式.9．AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（ ） AB ．2C．D．【答案】A【解析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解. 【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2cos ||||AOB a b ∠=2(||||)4sin |||||||a b AOB a b a b -∴∠==⎪⎭22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即228||||2||||a b a b =+≥所以||||4a b ≤ 所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=32222||||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.10．已知函数log (1),(11)()(2)1,(13)a x x f x f x a x +-<<⎧=⎨-+-<<⎩（0a >且1a ≠），若12x x ≠，且()()12f x f x =，则12x x +的值（ ） A ．恒小于2 B ．恒大于2C ．恒等于2D ．以上都不对【答案】B【解析】设12113x x -<<<<，得到2121x -<-<，利用函数的解析式得出1f x ，2f x ，令()()12f x f x t ==，利用t 表示12x x +，结合指数函数的单调性即可求解.【详解】设12113x x -<<<< ，则2121x -<-<所以()()()22221log 31a f x f x a x a =-+-=-+- 设()()12f x f x t ==所以()1log 1a x t +=，则11tx a =-又()2log 31a x a t -+-=，所以123t ax a+-=-1122t t a a x x a +-=-∴++若01a <<，则xy a =为减函数，且1t t a <+-，所以1t t a a a +->，所以122x x +> 若1a >，则xy a =为增函数，且1t t a >+-，所以1t t a a a +->，所以122x x +>所以12x x +的值恒大于2 故选：B 【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式的求法及其图像的做法，指数函数的单调性，属于难题.11．已知函数22()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0]π，上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．30,5⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】化简函数()f x ，利用正弦函数的图像的性质以及单调性，根据题意列出不等式组，化简即可得出ω的取值范围. 【详解】22cos 1cos 1sin 242x x x ωππωω⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2()sin (1sin )sin sin f x x x x x ωωωω∴=+-=令22x k πωπ=+，即22k x ππωω=+ 因为()f x 在区间[0]π，上恰好取得一次最大值1 所以20,22πππππωωω+>，解得：1522ω<令2222k xk πππωπ-++，解得：2222k k x ππππωωωω-++因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数唯一含原点的递增区间 所以232562ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ，解得：35ω 综上，1325ω 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简以及正弦函数的图像的性质以及单调性，属于中档题. 12．已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】构造函数()()x f x g x e=，求导利用已知条件，得出()(21)xf x x e =-，求导，得出函数()f x 的单调性，令()(1)h x a x =-，利用()h x 过定点(1,0)以及函数()f x 的图像，数形结合列出不等式组，求解即可. 【详解】 令()()x f x g x e=()()2()()()2x x xf x f x e f x f xg x e e'-+-'=== ，即()2g x x c =+，(c 为常数) 则()(2)xf x x c e =+因为(0)1f =-，所以1c =-，即()(21)xf x x e =-()(21)x f x x e '=+1()02f x x '>⇒>- ，1()02f x x '<⇒<-()f x ∴在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 上单调递减，在区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增令()(1)h x a x =-，由于()h x 过定点(1,0)，则函数()f x 和()h x 图像如下图所示要使得()()f x h x <的解集中恰有两个整数，则有253(2)(2)(1)(1)322af eh f h ae⎧-≥-⎪-≥-⎧⎪⎨⎨-<-⎩⎪-<⇒-⎪⎩ 解得：25332a e e≤<故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数构造函数以及求参数范围，关键是看出()h x 过定点(1,0)，结合函数()f x 的图像，数形结合来分析问题，属于难题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为___________.【答案】5-【解析】先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数所对应的直线，观察直线所在的位置求目标函数的最小值即可. 【详解】解：由实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩，作出可行域如图所示，联立2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得(2,1)A -，由简单的线性规划问题可得，当目标函数所对应的直线过点(2,1)A -时，目标函数取最小值，即当2,1x y =-=时，目标函数z 取最小值3(2)15⨯-+=-，故答案为：5-.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 14．非零向量a 和b 满足2a b =，()a ab ⊥+，则a 与b 的夹角为___________. 【答案】23π【解析】先由向量的数量积运算可得2a b a ⋅=-，再利用向量的夹角公式cos a ba bθ⋅=，再将已知条件代入运算即可得解. 【详解】解：由非零向量a 和b 满足()a ab ⊥+，则()20a a b a a b ⋅+=+⋅=，即2a b a ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则2cos aa b a b a bθ-⋅==，又 2a b =，则2cos aa bθ-==22122a a-=-，又[]0,θπ∈， 所以23πθ=， 故答案为：23π.【点睛】本题考查了向量的数量积公式及向量的夹角公式，重点考查了运算能力，属中档题. 15．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间173a π⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调函数，则实数a 的最大值为__________. 【答案】7312π【解析】利用函数sin y x =的单调性求解即可. 【详解】sin y x =的单调增区间为2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦当6k =时，sin y x =的单调增区间为12,1222ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦由于1735212,1233322πππππππ⎡⎤⨯+=∈-++⎢⎥⎣⎦则要使函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间173a π⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调函数 必须732123212a a ππππ+≤+⇒≤ 即实数a 的最大值为7312π故答案为：7312π【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性以及利用单调区间求参数的取值，关键是将正弦型函数化归为正弦函数来处理问题，属于中等题. 16．已知函数21()ln()22x x f x g x e -=+=，，若(0)m R n ∀∈∃∈+∞，，使得()()g m f n =成立则n m -的最小值是__________.【答案】2ln【解析】由()()g m f n =，求出m 的表达式，从而得到n m -的表达式，设2()x h x -=，利用导数得到其最小值，即可求出n m -的最小值. 【详解】由题意()()g m f n = ，即21ln 22m n e-=+ 所以12ln ln22n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以22112ln ln ln ln ln ln 2222n n n n n m n e --⎛⎫⎛⎫-=--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设2()x h x -= ，则2211ln 22()1ln 22x x e x h x x -'⎛⎫+-⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭令()0h x '=，可得11ln022x x +-= 由当0x >时，可得11ln22x x+-递增 当02x <<时，()0h x '<，()h x 递减 当2x >时，()0,()h x h x '>递增即()h x 在2x =处取得极小值且为最小值(22)h =则n m -的最小值是2ln 故答案为：2ln 【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用以及对数和指数的运算，属于难题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，1,2,3n =（1）证明：113n n a a +--=，2,3n =；（2）求和：12233445212122n n n n a a a a a a a a a a a a +--+-+-+【答案】（1）证明见解析（2）293322n n--【解析】（1）由递推式135,1,2,3n n a a n n ++=+=⋅⋅⋅，取n 为1n -，两式做差即可得证；（2）由（1）得{}2n a 为公差为3，首项为7的等差数列，再利用等差数列前n 项和公式求解即可. 【详解】 解：（1）135,1,2,3n n a a n n ++=+=⋅⋅⋅①13(1)5,2,3,4n n a a n n -∴+=-+=⋅⋅⋅②①－②得113,2,3n n a a n +--==⋅⋅⋅ ， 即命题得证；（2）12233445212221n n n n a a a a a a a a a a a a -+-+-+-21343522121()()()n n n a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+- 2462(3)()n a a a a =-⨯+++⋅⋅⋅+由（1）得{}2n a 为公差为3的等差数列，又由11a =，128,a a +=解得27a =，12233445212221n n n n a a a a a a a a a a a a -+∴-+-+-2(1)933(3)(73)222n n n nn -=-⨯+⨯=--，故12233445212122n n n n a a a a a a a a a a a a +--+-+-+293322n n=--. 【点睛】本题考查了利用数列递推式求解数列的性质，重点考查了等差数列前n 项和公式，属中档题.18．如图，在ABC △中，M 是边BC 的中点，57cos BAM ∠=，27cos 7AMC ∠=-.（1）求B 的大小； （2）若7AM =ABC △的面积.【答案】（1）23π（23【解析】（1）由cos cos()B AMC BAM ∠=∠-∠，再结合两角差的余弦公式，将已知条件代入运算即可；（2）在ABM ∆中，由正弦定理，得sin sin AM BMB BAM=∠，求出BM ，再利用2ABC ABM S S ∆∆=求解即可.【详解】解：（1）由721cos 1414BAM BAM ∠=∠=由2721cos ,sin 77AMC AMC ∠=-∠=又AMC BAM B ∠=∠+∠cos cos()cos cos sin sin B AMC BAM AMC BAM AMC BAM∴∠=∠-∠=∠⋅∠+∠⋅∠=2757212117147142-⋅+⋅=-因为(0,)B π∈ 故23B π=； （2）在ABM ∆中，由正弦定理，得sin sin AM BM B BAM =∠sin 1sin AM BAMBM B∠∴==∠ 因为M 是边BC 的中点，所以1MC =． 故212sin 7137ABC AMC S S AM MC AMC ∆∆==⋅⋅∠=⋅⋅=， 故ABC △的面积为3. 【点睛】本题考查了两角差的余弦公式及正弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属中档题. 19．已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点（1）求证：PA 平面MDB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）10【解析】(1) 连结AC ，交BD 于O ，利用中位线定理证明MO PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可；(2)建立空间直角坐标系，利用坐标求出平面P AB 和平面PBC 的法向量，即可求解. 【详解】 （1）连结AC ，交BD 于O ，连接MO ，由于底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点 又M 为PC 的中点，∴MO PA ∥，又MO ⊂面MDB ，PA ⊄面MDBPA ∴平面MDB（2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，由于PAD ∆为正三角形，E 为AD 的中点。
2020届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考考数学(理)试题(解析版)
2020届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考考数学（理）试题一、单选题1．集合{}260A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则AB =（ ）A ．()2,3-B ．(),3-∞C ．()2,2-D ．()0,2【答案】A【解析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<, 解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<, 即AB =()2,3-,故选:A. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题.2．已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则 a 等于（ ）A ．B ．1-CD ．1【答案】D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ++-+++==--+， 1a ii +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．若2sin cos 12x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则cos2x =（ ）A ．89-B ．79-C ．79D ．-1【答案】C【解析】利用诱导公式化简得到sin x ，再结合二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】2sin sin 1x x +=，即1sin 3x =所以22cos 212sin 1799x x =-=-= 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.4．已知{}n a 为等比数列，若3528a a ==，，则78a a +=（ ） A ．-32 B ．96C ．-32或96D ．-96或32【答案】C【解析】设公比为q ，利用等比数列的通项公式表示35,a a ，化简得到1,a q ，即可求出78a a +.【详解】 设公比为q2114112282a a q a q q ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或 1122a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 当11,22a q ==-时 6767781111(2)(2)3222a a a q a q +=+=⨯-+⨯-=-当11,22a q ==时，6777811611229622a a a q a q +=+=⨯+⨯= 故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的计算，属于基础题. 5．点P 是ABC △所在平面上一点，若2355AP AB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（ ） A ．35B ．52C ．32D ．23【答案】C【解析】由向量的线性运算可得32=BP PC ，即点P 在线段AB 上，且32=BP PC ,由三角形面积公式可得:ABP S ∆APC S ∆:3:2BP PC ==，得解. 【详解】解：因为点P 是ABC △所在平面上一点，又2355AP AB AC =+， 所以2233-=-5555AP AB AC AP ,即23=55BP PC ,即32=BP PC ，则点P 在线段BC 上，且32=BP PC ,又1sin 2APC S AP PC APC ∆=∠，1sin 2ABP S AP BP APB ∆=∠,又APB APC π∠+∠=，即sin sin APC APB ∠=∠， 所以点P 在线段BC 上，且32=BP PC , :ABP S ∆APCS ∆1sin :2AP BP APB =∠1sin 2AP PC APC ∠:3:2BP PC ==， 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题. 6．下列说法正确的个数是（ ）①命题“若4a b +…，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题 ②命题“设a b R ∈，，若5a b +≠，则3a ≠或2b ≠”是一个真命题 ③“20000x R x x ∃∈-<，的否定是“20x R x x ∀∈->，”④已知x ，y 都是实数，“||||1x y +…”是“221x y +…”的充分不必要条件 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】判断命题①的逆命题的真假；判断命题②的逆否命题的真假；写出命题③的否定即可判断；利用不等式表示的平面区域，即可判断真假.【详解】命题“若4a b +…，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题为:“若a ，b 中至少有一个不小于2，则4a b +…”,当2,0a b ==时，为假命题，故①错误； 命题“设a b R ∈，，若5a b +≠，则3a ≠或2b ≠”的逆否命题为：“设a b R ∈，，若=3a 且=2b ，则=5a b +”为真命题，故②正确；“20000x R x x ∃∈-<，的否定是“20x R x x ∀∈-≥，”故③错误；||||1x y +…表示的区域是以(1,0),(0,1)±±为顶点的正方形及其内部221x y +…表示的区域是(0,0)为圆心，1为半径的圆及其内部 所以22||||11x y x y +⇒+剟成立，反之不成立，故④正确；故选：B 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及充分条件和必要条件的判断，否定等，属于基础题. 7．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的为（ ） A ．2||y x x =- B ．||2x y =C ．22x xy -=-D ．212log ||y x x =- 【答案】D【解析】由偶函数的判断依据为()()f x f x =-，先判断各选项的奇偶性，再判断函数在()0,∞+的增减性，再利用函数的奇偶性判断函数在(),0-∞的增减性即可.【详解】解：对于选项A, ()||f x x x =-2，则()()f x f x =-，即()y f x =为偶函数，又0x >时，2211()()24f x x x x =-=--，则函数()||f x x x =-2在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为增函数，由函数为偶函数，可得函数()||f x x x =-2在(),0-∞不为增函数，即选项A不合题意；对于选项B, ||()2x f x =，则()()f x f x =-，即()y f x =为偶函数，又0x >时，()2x f x =，则函数||()2x f x =在()0,∞+为增函数，由函数为偶函数，可得函数||()2x f x =在(),0-∞为减函数，即选项B 不合题意；对于选项C, ()22x x f x -=-，则()()f x f x =--，即()y f x =为奇函数，即选项C 不合题意；对于选项D ，212()log ||f x x x =-,则()()f x f x =-，即()y f x =为偶函数，又0x >时，212()log f x x x =-，函数212()log ||f x x x =-在()0,∞+为减函数，由函数为偶函数，可得函数212()log ||f x x x =-在(),0-∞为增函数，即选项D 符合题意；故选：D. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判定及函数单调性的判定，重点考查了函数性质的应用，属中档题.8．已知定义在R 上的奇函数21()2x x f x a-=+，则不等式()2(2)40f x f x -+-<的解集为（ ） A ．（-1，6） B ．（-6，1）C ．（-2，3）D ．（-3，2）【答案】D【解析】利用函数的奇偶性定义求出1a =，结合函数的单调性，对所求不等式化简，即可求解. 【详解】函数21()2x x f x a-=+是定义在R 上的奇函数所以212122x x x xa a----=-++，化简得1a = 即212()12121x x xf x -==-++且()f x 在R 上单调递增 ()()22(2)404(2)f x f x f x f x -+-<⇒-<-242x x ∴-<-，解得：32x -<<故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性的应用，关键是利用函数的单调性来解抽象不等式.9．AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（ ） AB ．2C．D．【答案】A【解析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解. 【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2cos ||||AOB a b ∠=2(||||)4sin |||||||a b AOB a b a b -∴∠==⎪⎭22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即228||||2||||a b a b =+≥所以||||4a b ≤ 所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=3222||||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.10．已知函数log (1),(11)()(2)1,(13)a x x f x f x a x +-<<⎧=⎨-+-<<⎩（0a >且1a ≠），若12x x ≠，且()()12f x f x =，则12x x +的值（ ） A ．恒小于2 B ．恒大于2C ．恒等于2D ．以上都不对【答案】B【解析】设12113x x -<<<<，得到2121x -<-<，利用函数的解析式得出()1f x ，()2f x ，令()()12f x f x t ==，利用t 表示12x x +，结合指数函数的单调性即可求解.【详解】设12113x x -<<<< ，则2121x -<-<所以()()()22221log 31a f x f x a x a =-+-=-+- 设()()12f x f x t ==所以()1log 1a x t +=，则11tx a =-又()2log 31a x a t -+-=，所以123t ax a+-=-1122t t a a x x a +-=-∴++若01a <<，则xy a =为减函数，且1t t a <+-，所以1t t a a a +->，所以122x x +> 若1a >，则xy a =为增函数，且1t t a >+-，所以1t t a a a +->，所以122x x +>所以12x x +的值恒大于2 故选：B 【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式的求法及其图像的做法，指数函数的单调性，属于难题.11．已知函数22()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0]π，上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．30,5⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】化简函数()f x ，利用正弦函数的图像的性质以及单调性，根据题意列出不等式组，化简即可得出ω的取值范围. 【详解】22cos 1cos 1sin 242x x x ωππωω⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2()sin (1sin )sin sin f x x x x x ωωωω∴=+-=令22x k πωπ=+，即22k x ππωω=+ 因为()f x 在区间[0]π，上恰好取得一次最大值1 所以20,22πππππωωω+>剟，解得：1522ω<…令2222k xk πππωπ-++剟，解得：2222k k x ππππωωωω-++剟 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数唯一含原点的递增区间 所以232562ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩…… ，解得：35ω… 综上，1325ω剟故选：B 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简以及正弦函数的图像的性质以及单调性，属于中档题. 12．已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】构造函数()()x f x g x e=，求导利用已知条件，得出()(21)xf x x e =-，求导，得出函数()f x 的单调性，令()(1)h x a x =-，利用()h x 过定点(1,0)以及函数()f x 的图像，数形结合列出不等式组，求解即可. 【详解】 令()()x f x g x e=()()2()()()2x x xf x f x e f x f xg x e e'-+-'=== ，即()2g x x c =+，(c 为常数) 则()(2)xf x x c e =+因为(0)1f =-，所以1c =-，即()(21)xf x x e =-()(21)x f x x e '=+1()02f x x '>⇒>- ，1()02f x x '<⇒<-()f x ∴在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 上单调递减，在区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增令()(1)h x a x =-，由于()h x 过定点(1,0)，则函数()f x 和()h x 图像如下图所示要使得()()f x h x <的解集中恰有两个整数，则有253(2)(2)(1)(1)322af eh f h ae⎧-≥-⎪-≥-⎧⎪⎨⎨-<-⎩⎪-<⇒-⎪⎩ 解得：25332a e e≤<故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数构造函数以及求参数范围，关键是看出()h x 过定点(1,0)，结合函数()f x 的图像，数形结合来分析问题，属于难题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩………则3z x y =+的最小值为___________. 【答案】5-【解析】先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数所对应的直线，观察直线所在的位置求目标函数的最小值即可. 【详解】解：由实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩………，作出可行域如图所示，联立2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得(2,1)A -，由简单的线性规划问题可得，当目标函数所对应的直线过点(2,1)A -时，目标函数取最小值，即当2,1x y =-=时，目标函数z 取最小值3(2)15⨯-+=-，故答案为：5-.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 14．非零向量a 和b 满足2a b =，()a ab ⊥+，则a 与b 的夹角为___________. 【答案】23π【解析】先由向量的数量积运算可得2a b a ⋅=-，再利用向量的夹角公式cos a ba bθ⋅=，再将已知条件代入运算即可得解. 【详解】解：由非零向量a 和b 满足()a ab ⊥+，则()20a a b a a b ⋅+=+⋅=，即2a b a ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则2cos aa b a b a bθ-⋅==，又 2a b =，则2cos aa bθ-==22122a a-=-，又[]0,θπ∈， 所以23πθ=， 故答案为：23π.【点睛】本题考查了向量的数量积公式及向量的夹角公式，重点考查了运算能力，属中档题. 15．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间173a π⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调函数，则实数a 的最大值为__________. 【答案】7312π【解析】利用函数sin y x =的单调性求解即可. 【详解】sin y x =的单调增区间为2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦当6k =时，sin y x =的单调增区间为12,1222ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦由于1735212,1233322πππππππ⎡⎤⨯+=∈-++⎢⎥⎣⎦则要使函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间173a π⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调函数 必须732123212a a ππππ+≤+⇒≤ 即实数a 的最大值为7312π故答案为：7312π【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性以及利用单调区间求参数的取值，关键是将正弦型函数化归为正弦函数来处理问题，属于中等题. 16．已知函数21()ln()22x x f x g x e -=+=，，若(0)m R n ∀∈∃∈+∞，，使得()()g m f n =成立则n m -的最小值是__________.【答案】2ln【解析】由()()g m f n =，求出m 的表达式，从而得到n m -的表达式，设2()x h x -=，利用导数得到其最小值，即可求出n m -的最小值. 【详解】由题意()()g m f n = ，即21ln 22m n e-=+ 所以12ln ln22n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以22112ln ln ln ln ln ln 2222n n n n n m n e --⎛⎫⎛⎫-=--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设2()2x h x -= ，则2211ln 22()1ln 22x x e x h x x -'⎛⎫+-⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭令()0h x '=，可得11ln022x x +-= 由当0x >时，可得11ln22x x+-递增 当02x <<时，()0h x '<，()h x 递减 当2x >时，()0,()h x h x '>递增即()h x 在2x =处取得极小值且为最小值(22)h =则n m -的最小值是2ln 故答案为：2ln 【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用以及对数和指数的运算，属于难题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，1,2,3n =（1）证明：113n n a a +--=，2,3n =；（2）求和：12233445212122n n n n a a a a a a a a a a a a +--+-+-+【答案】（1）证明见解析（2）293322n n--【解析】（1）由递推式135,1,2,3n n a a n n ++=+=⋅⋅⋅，取n 为1n -，两式做差即可得证；（2）由（1）得{}2n a 为公差为3，首项为7的等差数列，再利用等差数列前n 项和公式求解即可. 【详解】 解：（1）135,1,2,3n n a a n n ++=+=⋅⋅⋅①13(1)5,2,3,4n n a a n n -∴+=-+=⋅⋅⋅②①－②得113,2,3n n a a n +--==⋅⋅⋅ ， 即命题得证；（2）12233445212221n n n n a a a a a a a a a a a a -+-+-+-21343522121()()()n n n a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+- 2462(3)()n a a a a =-⨯+++⋅⋅⋅+由（1）得{}2n a 为公差为3的等差数列，又由11a =，128,a a +=解得27a =，12233445212221n n n n a a a a a a a a a a a a -+∴-+-+-2(1)933(3)(73)222n n n nn -=-⨯+⨯=--，故12233445212122n n n n a a a a a a a a a a a a +--+-+-+293322n n=--. 【点睛】本题考查了利用数列递推式求解数列的性质，重点考查了等差数列前n 项和公式，属中档题.18．如图，在ABC △中，M 是边BC 的中点，cos BAM ∠=cos AMC ∠=.（1）求B Ð的大小；（2）若AM =ABC △的面积.【答案】（1）23π（2【解析】（1）由cos cos()B AMC BAM ∠=∠-∠，再结合两角差的余弦公式，将已知条件代入运算即可；（2）在ABM ∆中，由正弦定理，得sin sin AM BMB BAM=∠，求出BM ，再利用2ABC ABM S S ∆∆=求解即可.【详解】解：（1）由cos BAM BAM ∠=∠=由cos ,sin 77AMC AMC ∠=-∠=又AMC BAM B ∠=∠+∠cos cos()cos cos sin sin B AMC BAM AMC BAM AMC BAM∴∠=∠-∠=∠⋅∠+∠⋅∠=17147142-+=-因为(0,)B π∈ 故23B π=； （2）在ABM ∆中，由正弦定理，得sin sin AM BM B BAM =∠sin 1sin AM BAMBM B∠∴==∠ 因为M 是边BC 的中点，所以1MC =．故2sin 1ABC AMC S S AM MC AMC ∆∆==⋅⋅∠==故ABC △【点睛】本题考查了两角差的余弦公式及正弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属中档题. 19．已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点（1）求证：PA 平面MDB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2） 【解析】(1) 连结AC ，交BD 于O ，利用中位线定理证明MO PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可；(2)建立空间直角坐标系，利用坐标求出平面P AB 和平面PBC 的法向量，即可求解. 【详解】 （1）连结AC ，交BD 于O ，连接MO ，由于底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点 又M 为PC 的中点，∴MO PA ∥，又MO ⊂面MDB ，PA ⊄面MDBPA ∴平面MDB（2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，由于PAD ∆为正三角形，E 为AD 的中点。
2020届湖北部分重点中学高三新起点联考数学(理)试卷及答案
2020届湖北部分重点中学高三新起点联考
数学（理）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．命题“，”的否定是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：
“，”，
故选C.
2．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】：焦点在x轴时，，
焦点在y
3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多
项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图
给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为5，则输出v的值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】：依次运行程序框图中的程序，可得
①满足条件，；
②满足条件，；
③满足条件，；
……
⑨满足条件，
；
⑩满足条件，
．而不满足条件，停止运行，输出
．
故选B．
4．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种
若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B。
湖北省重点中学2020届高三年级新起点联考(理数)参考答案
湖北省重点中学2020届高三年级新起点联考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：“，”，故选C.2．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】：焦点在x轴时，焦点在y轴3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为5，则输出v的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】：依次运行程序框图中的程序，可得①满足条件，；②满足条件，；③满足条件，；……⑨满足条件，；⑩满足条件，．而不满足条件，停止运行，输出．故选B．4．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则因为所以故选B.5．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月CA 1B 1C 1DCBAD ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l 0月份，故A ，B ，C 错.本题选择D 选项. 6．已知棱长都为2的正三棱柱111ABC A B C -的直观图如图，若正三棱柱111ABC A B C -绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为【答案】B 【解析】无7．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点M 在C上，直线MF 与l 交于点N ．若3MFO π∠=，则MF MN = A ．14 B ．13 C ．21 D ．23【答案】C【解析】作MQ 垂直l 于Q ，则RT △MQN 中，2MQN π∠=，6MNQ π∠=，所以12MF MQ MNMN==．选C ．8．函数的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C ；因此选B.9．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增D ．函数()f x 的图象向右平移125π后关于原点成中心对称 【试题简析】由图易得点C 的横坐标为3π，所以()f x 的周期T π=． 不妨令0A >，0<<ϕπ．因为周期T π=，所以2ω=，又()06f π-=，所以3πϕ=，因此()sin(2)3f x A x π=+．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称．故选B ． 10．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．e BC ．1eD ．1【答案】A【解析】2112x x x x <，即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x x x x <， 故()ln xf x x =在()0,m 上为增函数，()21ln 00e x f x x x>⇒'-=<<， 故m 的最大值为e ，故选A ．11．已知,A B 为椭圆上的两个动点，,且满足MA MB ⊥,则MA BA ⋅的取值范围为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C12.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，2,AB E F =，分别是,AD BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）. A.1C.D. 2【答案】A【解析】补成正方体，如图.,EF ⊥∴αQ 截面为平行四边形MNKL ,可得2NK KL +=可得L MNK S NK KL =⋅四边形2()1,2NK KL +≤=当且仅当NK KL =时取等号，选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．13．20191i 1i--=_________．【答案】i ． 【解析】解法一：321i 1i (1i)2ii 1i 1i (1i)(1i)2-++====---+． 解法二：3221i (1i)(1i i )1i i i 1i 1i--++==++=--．14．过坐标原点作曲线 的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为【答案】.【解析】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为.15．将正奇数按如图所示的规律排列：13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31………………则2019在第行，从左向右第个数【答案】32 4916．已知直线x t=与曲线()()()ln1,x=+=分别交于,M N两点，则MN的最小值为f x xg x e【答案】三、解答题：共70分。
湖北省部分重点中学2020届高三数学第一次联考试题 理(含答案)
l i 15.已 知画数 f ( x )
= 2sin ( 2x ＋一 π3 ）在区间
\／1－7一3π－ ， a
1
I
上是单调画数，
则实 数a的最大 值 为
16.已知函数 f(x) ＝ 咛＋乞 g(x) = e＂＇ 气若 't/m εR,3nE(O,+oo） ， 使得 g(m) = f(n） 成
立 ， 则 n-m的最小值是 三、解答题｛本大题共6小题，共70分．解答应写出证明过程或演算步骤｝ 17. （本题满分10分）已知数列lan j满足a1 =1,an+an +1 = 3n+5, n =1,2,3 • • •
湖北省部分重点中学2020届高三第一次联考
高三数学试卷（理科）
命题学校：武汉六中
命题教师：袁泉润考试时间：201来自年11月8上午8:00-10:00
审题教师：张霞
试卷满分：150分
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的．）
1.集合 A = l x I x2 - x 6<0 f，集合 B = lxllogz工＜11，则A UB = (
A. ( －… 2,3)
B. （一 00,3)
C. (-2,2)
D. (0,2)
2已知α是实数，节是纯虚数，则α等于（
A.一1
B. 1
C. fJ.
D. fJ.
3若2sinx 一 叫？十工） = 1，则叫工 工 （
-t A.
B. -J9
C〔 -.·
7
9
4.已知lan i 为等比数列，若α3 = 2，α5 = 8，则 α1+as= (
湖北省部分重点中学2020届高三数学上学期起点考试试题 理
湖北省部分重点中学2020学年度上学期高三起点考试数 学 试 卷（理 科）【试卷综评】全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求.突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 . i 为虚数单位，512iz i=+, 则z 的共轭复数为 ( ) A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i 【知识点】复数代数形式的乘除运算;共轭复数. 【答案解析】A 解析 ：解：因为()()()51252121212i i iz i i i i -===+++-，故z 的共轭复数为2i -，故选A.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.2．若二项式82ax x骣琪+琪桫的展开式中的常数项为70，则实数a 可以为（ ）DA ．2B ．12C ．【知识点】二项式定理；二项式系数的性质．【答案解析】B 解析 ：解：二项式定理的通项公式可得：()888218822rrr r r r r r a T C x C x a x ---+骣琪==琪桫，令820,4r r -==，所以常数项为4448270C a =，解得1a =. (第3题图)【知识点】程序框图，等差数列的前n 项和公式.【答案解析】C 解析 ：解：框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1， 执行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4； 判断4＞20不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9； 判断9＞20不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16； …由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和， 由()2121202n n p n+-==>，且n ∈N *，得n=5．故选C ．【思路点拨】框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p ＞20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n 的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n 项和问题．当前n 项和大于20时，输出n 的值．4.直线:1l y k x =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“△ABO 的面积为12”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件【知识点】充分、必要条件的判断.【答案解析】A 解析 ：解：若1k =，则直线与圆交于()()0,1,1,0两点，所以111122ABO S =创=V ,充分性成立；若△ABO 的面积为12，易知1k =?，必要性不成立，故选A.【思路点拨】看两命题是否能够互相推出，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．5． 已知函数 y = 2sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a 的值不可能是( ) A.56π B.π C . 76πD. 2π 【知识点】正弦函数的图象;利用图象求函数的值域. 【答案解析】D 解析 ：解：函数2sin y x =在R 上有22y-＃函数的周期T=2p ,值域[]2,1-含最小值不含最大值，故定义域[],a b 小于一个周期b a 2p -＜,故选D【思路点拨】结合三角函数R 上的值域，当定义域为[],a b ，值域为[]2,1-，可知[],a b 小于一个周期，从而可得结果．6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为－2，则k 的值为（ ） A. 1 B.－1 C.2 D. --2【知识点】简单线性规划．【答案解析】B 解析 ：解：由约束条件20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩作出可行域如图，由20kx y -+=，得2x k =-，∴B 2,0k -．由z y x =-得y x z =+． 由图可知，当直线y x z =+过B 2,0k骣琪-琪桫时直线在y 轴上的截距最小，即z 最小． 此时z m i n ＝0+2k-=−2，解得：k=-1．故选B. 【思路点拨】由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(12D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D A B C -在xO y ，yO z ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）A 123S S S ==B 12S S =且 31S S ≠C 13S S =且 32S S ≠D 23S S =且 13S S ≠【知识点】空间直角坐标系．【答案解析】D 解析 ：解：设()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(12D ，则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy 坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），8．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C，则2C 的渐近线方程为( )A . 0x ?0y ±= C.20x y ±= D.20x y ±=【知识点】椭圆、双曲线的几何性质.【答案解析】A 解析 ==0?选A.【思路点拨】由已知椭圆、双曲线的几何性质可得双曲线的渐近线方程.9.已知向量 ,a b r r 满足1,a =r a r 与b r 的夹角为3p，若对一切实数x , 2xa b a b +?r r r r恒成立，则b r的取值范围是( )。
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湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：“，”，故选C.2．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】：焦点在x轴时，焦点在y轴时，求得结果为623．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为5，则输出v的值为A． B．C． D．【答案】B【解析】：依次运行程序框图中的程序，可得①满足条件，；②满足条件，；③满足条件，；……⑨满足条件，；⑩满足条件，．而不满足条件，停止运行，输出．故选B．4．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】BA 1B 1C 1【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付， 则因为所以故选 B.5．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l 0月份，故A ，B ，C 错.本题选择D 选项. 6．已知棱长都为2的正三棱柱111ABC A B C -的直观图如图，若正三棱柱111ABC A B C -绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为DCBA22331222【答案】B 【解析】无7．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点M 在C 上，直线MF 与l 交于点N ．若3MFO π∠=，则MF MN = A ．14 B ．13 C ．21 D ．23【答案】C【解析】作MQ 垂直l 于Q ，则RT △MQN 中，2MQN π∠=，6MNQ π∠=，所以12MF MQ MNMN==．选C ． 8．函数的图像大致为 ( )第6题图A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C ；因此选B.9．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移125π后关于原点成中心对称【试题简析】由图易得点C 的横坐标为3π，所以()f x 的周期T π=． 不妨令0A >，0<<ϕπ．因为周期T π=，所以2ω=，又()06f π-=，所以3πϕ=，因此()sin(2)3f x A x π=+．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称．故选B ． 10．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112x x x x <恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．eB ．eC ．1eD ．1【答案】A【解析】2112x x x x <，即2112ln ln x x x x <化为1212ln ln x x x x <， 故()ln xf x x =在()0,m 上为增函数，()21ln 00e x f x x x >⇒'-=<<， 故m 的最大值为e ，故选A ．11．已知,A B 为椭圆上的两个动点，,且满足MA MB ⊥,则MA BA ⋅的取值范围为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C12.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，2,AB E F =，分别是,AD BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）. A.1 B.2 C. 3 D. 2 【答案】A【解析】补成正方体，如图.,EF ⊥∴α截面为平行四边形MNKL ,可得2NK KL +=可得L MNK S NK KL =⋅四边形2()1,2NK KL +≤=当且仅当NK KL =时取等号，选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．13．20191i 1i--=_________．【答案】i ． 【解析】解法一：321i 1i (1i)2ii 1i 1i (1i)(1i)2-++====---+． 解法二：3221i (1i)(1i i )1i i i 1i 1i--++==++=--．14．过坐标原点作曲线的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为【答案】.【解析】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为.15．将正奇数按如图所示的规律排列： 1 3 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31 ………………则2019在第 行，从左向右第 个数 【答案】32 4916．已知直线x t =与曲线()()()ln 1,x f x x g x e =+=分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为【答案】三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【解析】（1）设的公比为，由题设得．由已知得，解得（舍去），或．故或．…………………………………………………………………………5分（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得．综上，．…………………………………………………………………………………………5分点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题。
18．（本小题满分12分）在中，，（1）若.求；（2）若面积为1，求.【解析】；由题设知，，…………………………………………………………2分所以. . ……………………………………………………………4分大边对大角，所以6ACB π∠= (6)分（2）1sin 12ABC S bc A ∆==，容易得出2b =，………………8分在中，由余弦定理得所以.…………………………………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）如图四棱锥中，底面是正方形，，且，为中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值.【解析】（1）证明：∵底面为正方形，∴，又，∴平面，∴.同理，∴平面.…………4分（2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2则，设为平面的一个法向量，又，……………………6分∴令，得.同理是平面的一个法向量，……10分则.∴二面角的正弦值为.………………12分20．（本小题满分12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.（1）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕.①求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n的函数解析式；②求当天的利润不低于600元的概率.（2）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？【解析】；（1）当天的利润Y 关于当天需求量n 的函数解析式为：100850(16)()850(17)n n Y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩ …………………………4分②设“当天利润不低于600”为事件A ，由①知，“当天利润不低于600”等价于“需求量不低于15个”1222()110025P A ∴=-=，所以当天的利润不低于600元的概率为：2225．………………6分 （2）若一天制作16个蛋糕，则平均利润为：11(600127001880070)758100x =⨯+⨯+⨯=；若一天制作17个蛋糕，则平均利润为：21(55012650187501885052)760100x =⨯+⨯+⨯+⨯=； 12x x <，∴蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕.…………12分21．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221y x C a b+=：（0a b >>）的上顶点为(03A ，，圆2224a O x y +=：经过点()01M ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ． 若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．【解析】；（1）因为椭圆C的上顶点为(0A，所以b = 又圆22214O x y a +=：经过点()01M ，，所以2a =． …… 2分所以椭圆C 的方程为22143y x +=． …… 4分 （2）若1l 的斜率为0，则PQ =，2MN =，所以△PQN，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． …… 5分设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得22(34)880k x kx ++-=， 设()11P x y ，，()22Q x y ，，则1x =，2x ，所以PQ12x -=． …… 8分 直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=，所以MN = …… 9分 所以△PQN 的面积12S PQ MN =⋅132==， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． …… 12分第（2）小题的若没有讨论“若1l 的斜率为0”，则扣一分（原因是直线2l 的方程使用） 22 ．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 22 ．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()210x ax f x x x'++=>，……1分对于函数210y x ax =++≥，①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立． ()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数；……2分②当0Δ>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <x >，0<，()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数，……4分 当2a >时，由()210x ax f x x ++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．……5分综上，当2a <-时，()f x 在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．……………………5分（2）由（1）知2a <-，且1212,1x x a x x +=-=，………………6分 故()()()()21222111222*********11ln ln 222ln 2222221ln +228x x x x ax x x ax f x f x x x x x x x f a a a +⎛⎫+++++ ⎪++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=--- ⎪⎝⎭……9分故只需证明ln 1022a a⎛⎫----> ⎪⎝⎭，令2at =-，故1t >，原不等式等价于ln 1t t <-对1t >成立，容易得证.……12分。