直梁的弯曲

x1 0,
m M1 RA x1 x1 l
M1 0
(0 x1 a)
41
m x1 a, M1 a l
BC段： M 2 RA x2 m m x2 m m x2 l l l b x2 a, M 2 m l
x2 l , M2 0
(a x2 b)
AC、CB段：直线 BD段：开口向下的抛物线，多取几点画之。
④找危险截面B，|Mmax|=1/2qa2
48
49
例8 图示外伸梁，试作梁的剪力图和弯矩图。 q P=qa A B C RA a a RB a 解：1）求支承反力
D
M 0
a RA 2a qa qa 0 2
4. 梁支座反力
利用静力学平衡方程求支座反力：
X 0, Y 0, M 0
y
R Ax A
P
l/2
Bx
RBy
X 0 Y 0
M
A
R Ay
RAx 0
l
RAy RBy P 0
RBy l P l / 2 0
0
RBy P / 2 RAy P / 2
RAy
l
B RB
求剪力和弯矩
y
q
A RAy x l
x
B RB
Q RAy qx ql / 2 qx
1 M R Ay x qx x 2 1 1 2 qx qlx qx (l x) 2 2 2
弯矩方程与弯矩图
画弯矩图时，先要建立弯矩方程，再根据弯矩方程 画弯矩图。
Q3 565N
Q4 865N
M1 935x
Q (N)
M 2 435x 125
M 3 565x 625
M 4 865x 865
x
M (Nm)
x
【例4】一简支梁AB长l，受均布载荷q作用。试画弯矩 图。 解： ①求支座反力
载荷均布，支座对称布置， 两支座反力相等。
解： ①求支座反力
m
A
(F ) 0 RBl Pa 0 (F ) 0 Pb RAa 0
m
B
Pb RA l
Pa RB l
②建立弯矩方程 集中力作用在C，C点两侧弯矩方程不同，应分2段 考虑。
31
AC段：
Pb M1 RA x1 x1 (0 x1 a) l Pa M 2 RB (l x2 ) (l x2 ) (a x2 l) l
一、弯矩方程
弯矩一般随着梁的截面位置x而变化，M是x函数， 用函数关系式表示：
M=f(x)
——弯矩方程
29
二、弯矩图
以横坐标x表示梁 的截面位置，纵坐 标表示弯矩所做图 形成为弯矩图。
在 机械工程中 习惯将：正弯矩画在 x 轴上面，负弯 矩画在x轴下面。 30
【例 1 】简支梁在 C 处受集中载荷 P 作用，试画出它的 弯矩图。
AC段：
Q1 RA 935N
A
RA
a
P1
C l/2
P2 P3 b
D
E
B
RB
M1 RA x 935x
l
Q2 RA P CD段： 1 435N
M 2 RA x P 1 ( x a) 435x 125
Q3 RA P DE段： 1P 2 565N
M 0 Y 0
A
RB a 5Fa F 2a RAa 0
RB RA F
RB 2 F RA F
y F 1A2 1 2
Me =5Fa a
3 4 3 4 B
RA=-F 2a
Q1 F
M1 Fa
Q2 2F
a
x
RB =2F
截面1-1 F 1 C1 截面2-2 F 1 Q1 C2 2
Q4
4
RB
M 4 RB a 2Fa
例3. 求图示简支梁 x 截 A 面的剪力和弯矩。 解：求支座反力 X 0 RAx 0
y
q
x
B
l
x
q
Y 0
RAy ql RB 0
RA
x
A
M 0
l ql RAy l 0 2 RAy RB ql / 2
M 3 RA x P 1 ( x a) P 2 ( x l / 2) 565x 625
Q4 RB 865N EB段：
M 4 RB (l x) 865x 865
a
A
RA
P1
C l/2
P2 P3 b
D
E
B
RB
l
Q1 935N
Q2 435N
②画弯矩图 集中力偶作用处，弯 矩发生突变。
突变大小=力偶矩
a b ab m (m ) m m l l l
42
③找最大弯矩
最大弯矩在力偶作用 的截面上。
当 a＞ b时
a | M max | m l
当 b＞ a时
M max
b m l
43
画弯矩图总结归纳
梁受集中力作用时，弯矩图必为直线，并且在集 中力作用处，弯矩发生转折。 梁受力偶作用时，弯矩图也是直线，但在力偶作 用处，弯矩发生突变，突变的大小等于力偶矩。 梁受均布载荷作用时，弯矩图必为抛物线，如均 布载荷向下，则抛物线开口向下，均布载荷向上， 则抛物线开口向上。 44
③变形后梁的轴线在纵向对称面内弯成平面曲线。 平面弯曲是工程中最常见也是最简单的一种弯曲。本 章讨论平面弯曲。 10
梁的外力、梁的支座及分类
1. 外力
（1）集中力P 作用面积很小时可视为集中力（N） （2）分布力q 沿梁轴线分布较长（N/m） （3）集中力偶m 力偶的两个力分布在很短的一段梁上 （Nm）
截开取左侧，弯矩 一律按正向画
M1 qlx1
（2）求2-2截面弯矩。
1 M 2 q( x2 a)2 qlx2 2
q(x2-a)
(x2-a)/2 23
例 2 求图示外伸梁在截面 1-1 、 2-2 、 3-3 和 4-4 横截 面上的剪力和弯矩。 y Me =5Fa F B 1A2 3 4 1 2 3 4 x a a RB RA 2a 解：支座反力为
45
【例6】用简捷方法画出悬臂梁的弯矩图。
MA 0
M B左 M B右 Pa
M c P 2a 2P a 0
46
【例7】外伸梁受载荷如图所示，已知q和a值，画出此 梁的弯矩图。 解 ①求支座反力
m
A
(F ) 0
5a RB 2a Pa qa 0 2 7 RB qa 4
Q2 RA P
21
a
F
y
0 RA P Q2 0
Q2 RA P
注意这里Q2为负
m
O
(F ) 0 M 2 RA x2 P( x2 a) 0
M 2 RA x2 P( x2 a)
思考：如果取右半段如何？ 数值相同，方向相反
22
例1用简便方法求梁截面1-1、2-2处的弯矩。 解 （1）求1-1截面弯矩。
33
例2 已知：l=1m，P1=500N，P2=1000N，P3=300N， a=0.25m，b=0.2m，求：剪力图和弯矩图 解：支座反力 RA RB P 1P 2 P 3 0 Y 0
M 0
RBl P 1a P 2l / 2 P 3 (l b) 0
RA 935N RB 865N
F
y
0 RA Q1 0
Q1 RA
20
内力偶矩M1—弯矩(在纵向对称 面内，作用在横截面上)
m
O
(F ) 0 M1 RA x1 0
O — 横截面的形心
M1 RA x1
（3）用截面法求2-2上的内力。 截面2-2上也有剪力弯矩
F
y
0 RA P Q2 0
M1
RA 2 Q 2
M2
M 2 Fa
y F 1A2 1 2
Me =5Fa
a
截面3-3 F
3 4 3 4
B
RA=-F 2a
a
x
RB =2F
RA
截面4-4 4C4 M4
M3 Q3 F RA 2F 3 C3 3 Q M 3 F 2a RA a 3Fa 3
Q4 RB 2F
Fy 0
RA RB P qa 0 1 RA qa 4
47
②求ABCD点的弯矩
C’
D’ A’
1 2 M C RA a qa 4 M B RA 2a Pa
MA 0
1 1 2 qa 2a qaa qa 4 2 B’ MD 0 ③在弯矩图上定出A’ C’B’ D’各点，直接画弯矩图
+
_
【例】有一简支梁AB，梁上有集中载荷P，求截面上 1-1与2-2的内力。
18
（1）以梁为研究对象，先求支座反力RA、RB
m
A
(F ) 0 RBl Pa 0
Hale Waihona Puke Baidu
Pa RB l
F
y
0 RA RB P 0
RA P RB P
l a l
19
（2）用截面法求1-1上的内力。 内力 Q1— 剪力（平行横截面）
32
CB段：
③画弯矩图
Pb M1 RA x1 x1 (0 x1 a) l Pa M2 (l x2 ) (a x2 l ) l
A点弯矩： M A 0
Pab C点弯矩： M C l B点弯矩： M B 0
④ 找最大弯矩
最大弯矩产生在C截面上，截面C是危险截面。 Pab 若a=b, Mmax=Pl/4 M max l
4. 梁支座反力 Rx
MA
y
A Ry
q
B
l
x
X 0
Rx 0
Y 0
M
A
Ry q l 0
l M A ql 0 2
Ry ql
1 2 M A ql 2
0
梁弯曲时横截面上的内力分析
梁横截面上的内力仍用截面法求。
剪力计算法则：梁任一横截面上的剪力等于该截面 一侧（左侧或右侧都可）所有横向外力的代数和。 截面左侧向上的外力和截面右侧向下的外力取正值； 截面左侧向下的外力和截面右侧向上的外力取负值。
ql RA RB 2
②列弯矩方程 x ql qx 2 M RA x qx x 2 2 2 可见M是x的二次抛物线，弯矩图是抛物线。
39
③画弯矩图 画二次抛物线，确定几个特征点。
ql qx 2 M x 2 2
x M
0 0
l/4
3 2 ql 32
l/2
1 2 ql 8
3l/4
P Q=P>0
Q Q
P
P Q=-P<0
Q Q
Q=P>0
P Q=-P<0
左上右下为正，左下右上为负
弯矩计算法则：梁在外力作用下，其任意截 面上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中 性轴取矩的代数和。
凡是向上的外力，其矩取正值；凡是向下的 外力，其矩取负值；若梁上有集中力偶，截面左 侧顺时针方向的力偶或截面右侧逆时针方向的力 偶取正值，反之取负值。 下凹为正，上凸为负
3 2 ql 32
l 0
④找最大弯矩
dM ql 0, qx 0 dx 2 l x 2 1 2 故有： M max ql 8
40
【例5】一简支梁AB，中部C点受力偶m作用，跨度为l。 力偶离左端A点距离为a，离右端B点距离为 b，试画出 梁的弯矩图。 解： ①求支座反力 载荷是力偶，两支座反力 组成力偶。 m RA RB l ②列弯矩方程 AC段：
直梁的弯曲
1
拉（压）杆：承受轴向拉、压力 轴 ：承受扭矩
墙
桥板 楼板 梁：承受横向力
工程实际中的弯曲问题
P
P
P
P
梁的弯曲实例与概念
受力特点：力垂直于构件的轴线(力偶在轴线平面)； 变形特点：杆的轴线将由直线变成曲线 以弯曲变形为主的杆件在工程上统称为梁。
4
桥式吊车
5
火车轮轴
6
车削工件
7
纵向对称面：通过梁的轴线和截面对称轴的平面。 矩形截面梁有一个纵向对称面
q q(x) 集中力偶 T T 集中力
P
均匀分布力 非均匀分布力 分布力
T
还有支座反力
梁的外力、梁的支座及分类
2. 支座 A A A
a) 活 动 铰 链 支 座
b) 固 定 铰 链 支 座
c) 固 定 端
3. 梁的类型
①简支梁 ：一端是固定铰链支座，另一端是活动铰 链支座。
②外伸梁：一个固定铰链支座和一个活动铰链支 座，有一端或两端伸出支座以外 ③悬臂梁：一端固定，另一端自由。
纵向对称面
工程中的梁一般都有纵向对称面，如：矩形、 圆、环、工字、T形截面梁。
平面弯曲：具有纵向对称面的梁，当梁上的外 力均垂直于梁的轴线，并作用在纵向对称面内， 梁的轴线将弯成此平面内的一条平面曲线，这种 弯曲称为平面弯曲。
平面弯曲的概念
P
M
q
RA
RB
①梁有纵向对称面；
②载荷均作用在纵向对称面内，各个力垂直梁轴线；