线性方程组的直接解法

第4章 线性方程组的直接解法

本章主要内容

线性方程组的直接解法——消元法（高斯消元法、主元消元法）. 矩阵的三角分解法（ Doolittle 分解、Crout 分解、 LDU 分解） 紧凑格式 改进平方根法.

本章重点、难点

一、消元法（高斯消元法、列主元消元法）

本章求解的是n 阶线性方程组Ax=b 的（即方程的个数和未知量的个数相等的线性方程组）

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++n

n nn n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

3222212111212111

1. 高斯消元法

①高斯消元法的基本思想：通过对线性方程组Ax=b 的进行同解消元变换（也可以用矩阵的初等行变换法进行线性方程组的消元变换），将线性方程组化为上三角形方程组，然后用回代法求出此线性方程组的解。 ②高斯消元法计算公式：

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=-=--==⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎨⎧

+=-=-=====-+=------------∑)1,...,

2,1()1,...,

2,1(,...,1,,,,...,2,1)

,...,2,1,(,)

1(1)1()1()1()

1()

1()1()

1()1()()

1()1()1()1()(,)0()0(n n i a x a b x n n i a b x n

k j i b a a b b a a a a a n k n j i b b a a i ii n

i j j

i ij i i i n nn

n n

n k k k kk k ik k i k i k kj

k kk k ik k ij k ij i i ij ij

对回代公式：

消元公式：

利用高斯消元法进行消元时，消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A 的各阶顺序主子式不为零。或要求),,1(0)

1(n k a k kk =≠-，若0)

1(=-k kk

a （k=1，..，n ）,则消元法过程无法进行；若虽然0)

1(≠-k kk

a ，但很小，用它作除数，会引起很大的误差。所以为了

减小舍入误差、提高数值计算的稳定性，通常采用选主元的消元法（包括列主元消元法和全主元消元法）。

2. 主元消元法

①列主元消元法的计算步骤： 在进行第k （k=1,2,…,n-1）步消元时，首先在第k 列下面的n-k+1个元素中选取绝对值最大的元素)

1()1()

1(max ,-≤--=k ik i

k k pk k pk

a a a 即作为列主元素，然

后将列主元所在方程与第k 个方程交换位置，再按照高斯消元法进行消元、回代计算。 ②全主元消元法的计算步骤： 在进行第k （k=1,2,…,n-1）步消元时， 首先在第k 行至第n 行和第k 列至第n 列的（n-k+1）2

个元素中选取绝对值最大的元素

)

1()1()1(,max ,-≤--=k ij j

i k k pq k pq a a a 即作为全主元素，然后将全主元所在行与第k 行交换，将全主元

所在列与第k 列交换，再按照高斯消元法进行消元、回代计算。

例1 用高斯消元法、列主元消元法解线性方程组

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧-=+-=-+--=+-1

242222321321321x x x x x x x x x

解 1. 高斯消元法 用矩阵的初等行变换法求解

① 消元

[]⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=130023102211763023102211121421122211b A

得同解上三角方程组为 ：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=+--=+-132322332321x x x x x x

② 回代，得：

⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧=⨯-+-==⨯+==313123233132311

23x x x

方程组的解为：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

=

==31331321x x x

2.列主元消元法

① 消元

[]⎥

⎥

⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−→−⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡----−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=3110075.15.175.0012145.105.0075.15.175.00121475.15.175.005.105.0012

14

221121121214121421122211b A 得同解上三角方程组为 ：⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

=-=+--=+-3175.15.175.0124332321x x x x x x

② 回代，得方程组的解为：⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧===31331321x x x

二 矩阵的三角分解(包括Doolittle 分解和Crout 分解) ㈠ 矩阵的三角分解和线性方程组的关系

若线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 能进行三角分解，即A=LR ，则解线性方程组Ax=b 等价于求解两个系数矩阵为三角阵的方程组 LY=b 和 RX=Y 。其中消元法的消元过程就是分解系数矩阵为A=LR ，并解线性方程组LY=b ，而回代过程则是解方程组RX=Y 。

用代入法解方程组LY=b 的计算公式为：⎪⎪

⎩⎪

⎪⎨⎧

⋅⋅⋅=-==∑-=n

k y l b y b y k m m km k k ,,3,21111

再回代解方程组RX=Y 的计算公式为：

⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨⎧

⋅⋅⋅-=-===∑+=1,,1/)(3/1n k r x r y x r y x kk n k m m km k k nn n n

㈡ 矩阵的三角分解是将给定的n 阶矩阵A ，找到一个下三角矩阵L 和上三角矩阵R,使得A=LR.

1. Doolittle 分解:是指将矩阵A 分解为单位下三角矩阵L 和上三角矩阵R,即A=LR.

2. Crout 分解: 是指将矩阵A 分解为下三角矩阵L ~和单位上三角矩阵R ~

,即

3. LDU 分解: 是指将矩阵A 分解为单位下三角矩阵L 、对角矩阵D 和单位上三角矩阵R,即A=LDR.

注意：不是任何方阵都可以进行三角分解。例如二阶非奇异矩阵⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡0110就没有三角分

解。

㈢ 矩阵A 进行三角分解的条件与结论:

若矩阵A 的所有顺序主子式detA k ≠0(k=1,2,…,n-1),则 ①存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R.使得A=LR ；