分形几何 PPT

分形几何
分形几何
分形几何
3. 康托三分集合 取一条长度为1的直线段E0，将它三等分，去掉中间一 段，剩下两段记为E1，将剩下的两段再分别三等分，各 去掉中间一段，剩下更短的四段记为E2，……，将这样 的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃 过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小， 在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三 分集。
分形几何
分形几何
仿射变换 仿射变换是一种实现几何变换的公式，平移、 比例、旋转、对称和错切变换是二维仿射变 换的特例，任何常用的二维仿射变换总可表 示为这五种变换的组合。
分形几何
❖ 其数学表达为： 一个二维仿射变换ω：R2→ R2
xyac dbxyef
a,b,c,d,e,f均为实数。 这是一种最广泛的线性变换。
❖ f(z) = |z2|
分形几何
分形几何
❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了， 等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
分形几何
❖ 复数与复数之间不但可以相加相减，还可以相乘相除。(a + b i) + (c + d i) 就等于 (a + c) + (b + d) i ，而 (a + b i) (c + d i) 则等于 (ac - bd) + (bc + ad) i 。需要注意的是，我 们不能讨论一个复数乘以另一个复数后是变大了还是变小 了，因为复数根本没有大小之分。如果真的要比较它们的 大小，我们可以比较它们的模。复数 a + b i 的模就是 a2 + b2 的平方根，也就是它到复平面原点的距离。
分形几何
分形几何
分形几何
分形几何
分形几何
分形几何
分形几何
5. Julia集合 在复平面上，对于复数Z和C， 如果存在变换 Zn+1= Zn2+C，那么所有这 些初始的复数Z所构成的集合称为Julia集， 它随着C的变化而变化。
分形几何
❖ 经迭代后，最后的Z值有三种可能： 1、Z值没有界限增加（趋向无穷）； 2、Z值衰减（趋向于0）； 3、Z值是变化的，即非1或非2 ❖ Julia集的形状基本上分三种：象尘埃一样的结构、
分形几何
❖ 我们用不同的颜色来表示不同大小的模，那么整个复平面 大致如下图所示。
❖如果我们用 |z| 来表示复数 z 的模，那么上图也就 是函数 f(z) = |z| 的“等高线地图”。
❖ 复数的模有一个重要的性质：乘积的模等于模的 乘积，即 |a·b| = |a|·|b| 。
❖我们对复平面上的所有点都进行平方，画出 f(z) = |z2| 的等高线地图。
分形几何
❖ 我们照这个思路（加0.2然 后平方）迭代12次后，可 得到右图图形。可以看见 整个图形已经具有了分形 图形的复杂程度（图形的 “黑边”其实是密集的等 高线）。
分形几何
❖ 上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直 达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数， 至少目前还不算太大。
❖ 这给出了上图的另外一种解读方法：随着迭代次 数的增加，复平面上各个点的模的发散速度。
分形几何
分形几何
❖ 接下来，我们再对所得的 图形进行平方，继续加剧 模的变化。
分形几何
❖ 然后，再给每个点的实数 部分加上 0.3 ，于是得到 f(z) = |(z2 + 0.3)2 + 0.3| 的 图像。
❖ 再加上 0.3
分形几何
❖ 再平方
分形几何
分形几何
❖ 再加上0.3.这也就是函数 f(z) = |(((z2 + 0.3)2 + 0.3)2 + 0.3)2 + 0.3| 的图像，它 反映了对复平面上的各个 复数“平方再加 0.3 ”迭代 4 次后模的大小情况。
稳定的固态型或象树枝状。
分形几何
分形几何
❖ 分析的获取 1. 关于复数
由于承认“负数也能开平方”将会带来很多幽雅 和便利的结论，因此我们发明了虚数，用 i 来表 示 -1 的平方根（即虚数单位），并把实数扩展为 复数（即一切形如 a + b i 的数）。
分形几何
❖ 正如实数可以用数轴上的点来表示一样，复数可 以用平面直角坐标系上的点来表示。令 x 轴表示 复数的实数部分，令 y 轴表示复数的虚数部分， 则 a + b i 就对应了平面上的点 (a, b) 。我们把这 个平面直角坐标系叫做“复平面”。
分形几何 ❖我们可以通过一系列的收缩仿射变换，使某
图形具备自相似性，从而得到分形结构。
分形几何
2. 科赫曲线 给定线段AB，科赫曲线可以由以下步骤生成：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角
形DMC ； ③ 将线段CD移去； ④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
分形几何
❖ 有没有什么复数，随着迭代次数的增加，最终并 不会趋于无穷呢？当然有。比如方程 z2 + 0.3 = z 的两个复数解，它是这个迭代下的不动点，每次 迭代后都维持原来的值，自然不会趋于无穷。我 们把所有这种迭代后不会趋于无穷的点所组成的 集合就叫做 Julia 集，它是以法国数学家 Gaston Julia 命名的。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
分形几何
分形几何
❖康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于 非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。
➢ 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
分形几何
分形几何
❖ 上图是曼德布洛特集最常见的表现形式，它给我 们提供了一种理解周围世界的粗糙程度的方式。 这一以数学家贝努瓦·曼德布洛特命名的理论观察 到，不管是在物理、生物和经济等各种领域中的 许多复杂现象，都可以“以严格而有力的定量形 式逼近。”