分形几何的数学基础
分形分析方法在时间序列预测中的应用研究
分形分析方法在时间序列预测中的应用研究随着科学技术的不断发展，时间序列的预测已经成为许多领域研究的重要方向之一。
而分形分析方法在时间序列预测中的应用也越来越受到研究者的重视。
下面将从分形分析方法的基础理论、方法模型以及应用案例等方面探讨分形分析方法在时间序列预测中的应用研究。
一、分形分析基础理论分形分析是一种用于研究非线性系统的数学工具。
分形是一种具有特殊的几何形状和分布特征的数学模型。
分形的形态可以被认为是由其子部分的形态重复自身而生成的，这一过程被称为自相似性。
分形具有不同于欧几里得几何学的特殊几何性质，在几何结构上进行的分形分析某种意义上被认为是一种对于普通线性分析的一种补充。
分形分析的一项重要工具就是分形维数。
分形维数是描述分形几何结构复杂度的重要指标，它反映了自相似性的特点和系统变化的不确定性。
分形分析可以被应用在许多实际问题中，如金融市场的股价预测、环境污染的预测、人体健康等方面。
二、分形分析方法模型1、分形图模型分形图模型通常被用来显示时间序列数据的特征。
分形图由X轴和Y轴组成，其中Y轴表示变量值，X轴表示时间。
分形图由不规则线条和形态组成，这种很难观测出的图像反映了时间序列变量间的内在关系。
分形图模型使得我们可以定量的分析时间序列间的自相似特征。
2、分形维数模型分形维数可以被作为时间序列的特征用来预测未来的趋势。
分形维数代表了分形结构的复杂程度，如果分形维数越大，则表示分形结构越复杂，时间序列的变化越大。
利用分形维数模型进行时间序列预测时，需要先使用分形方法对时间序列建模。
根据变量所具有的分形特征，使用差分方程、自回归模型、非线性回归模型等方法进行预测分析。
三、分形分析方法在时间序列预测中的应用案例1、分形分析在物价预测中的应用各种商品和服务的价格是宏观经济发展的重要指标之一，因此对于物价的预测和分析具有很大的实际意义。
利用分形分析方法，研究者可以对于物价变化的历史数据进行分析和建模，通过对于分形维数的预测来预判未来的价格变化趋势。
湖南师大数学培养方案
基础数学专业硕士研究生培养方案一、培养目标本专业主要培养从事数学基础理论及应用研究和教学的高层次人才；要求学生掌基础数学领域的基础知识、具有宽广的知识面，并深入了解某一子学科的专业知识；能熟练地掌握一门外国语；身体健康；毕业后能独立地从事教学、科研及其它实际工作。
二、本专业总体慨况、优势与特色基础数学（Pure Mathematics）是数学学科的基础和核心部分，它不仅是其它数学学科的基础，而且也是自然科学、技术科学和社会科学等必不可少的语言、工具和方法，同时高科技的发展和计算机的广泛应用也为基础数学的研究提供了更广阔的发展前景。
我校具有数学一级学科博士学位授予权，具有数学博士后流动站。
在代数、函数论、微分方程、组合数学、拓扑学等领域具有很好的研究基础。
各方向都建立了一支年龄机构合理、研究水平高、稳定的研究队伍，各方向均取得了许多重要的科研成果。
三、本专业研究方向及简介1. 代数学2. 函数论3. 拓扑学4. 微分方程5. 组合与优化五、专业课程开设具体要求课程编号：课程名称：泛函分析英文名称：Functional Analysis任课教师：徐景实适应学科、方向：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论预修课程：数学分析、实变函数主要内容：熟悉距离空间、赋范线性空间、Banach空间、Hilbert空间的基本定理，熟练掌握线性算子和线性泛函的表示、弱收敛性和线性算子的谱等。
了解广义函数的概念和运算。
主要教材及参考文献：1、张恭庆．泛函分析讲义（上、下册）[M]．科学出版社．*****2、夏道衍．实变函数论与泛函分析[M]．高等教育出版社．3.、定光桂．巴那赫空间引论[M]．科学出版社，1999．4、J.B.Conway．A Course in Functional Analysis （2nd Ed.）[M]．GTM. 96 Springer-Verlag，1990．C-algebras and Operator theory[M]．Academic Press，1990．**********5、G.J.Murphy．课程编号：课程名称：代数拓扑英文名称：Algebraic Topology任课教师：郭瑞芝适应学科、方向：基础数学、应用数学预修课程：点集拓扑、近世代数主要内容：商空间、基本群、多面体及其单纯同调、奇异同调、范畴与函子、奇异同调群相对奇异同调、正合同调序列、切除定理、多面体的同调群及其应用、CW-复形、上同调群。
分形几何
分形几何作者：来源：《初中生世界·九年级》2014年第08期分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学. 相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，分形几何学的研究对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72. 因为它的研究对象普遍存在于自然界中，比如云彩、闪电、山脉、树枝、蕨叶以及生物细胞等，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”.康托尔三分集1883年，德国著名数学家康托尔构造了一个奇异的集合：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，将剩下的两段各再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段各再三等分，这样一直继续操作下去，直至无穷，便可得到康托尔三分集.皮亚诺曲线取一个正方形并把它分成4个相等的小正方形，然后从左上角的正方形开始至左下角的正方形结束，依次将小正方形的中心连接起来；下一步把每个小正方形再分成4个相等的正方形，然后按上述方式把其中心连接起来……如此继续不断作下去，以至无穷，也便形成了一条皮亚诺曲线.一般来说，一维的直线是不可能填满二维的平面的，但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例.谢尔宾斯基三角形垫片1915～1916年，波兰数学家谢尔宾斯基构造了这样一种图形：将边长为1的等边三角形均分成四个小等边三角形，去掉中间的一个小等边三角形，再对其余3个小等边三角形进行相同操作，这样操作继续下去直至无穷，所得图形称为谢尔宾斯基三角形垫片. 我们可以发现，剩下的三角形面积在不断操作下趋近于零，但它的周长却趋近于无限大.谢尔宾斯基地毯谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的. 将一个实心正方形划分为3×3的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯.门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔奥地利数学家门杰从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰海绵（1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵）；谢尔宾斯基用与构造谢尔宾斯基三角形垫片类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔. 这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗. 这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型.海岸线有多长1967年，数学家曼德尔布罗在著名的《科学》杂志上发表了一篇奇怪的文章《英国的海岸线有多长》，使人们大吃一惊. 原来海岸线长度不是一个固定不变的数值. 海岸线的长短取决于人们所用的尺. 如果用1千米的尺子测量，小于1千米的弯弯曲曲的海岸线便会被忽略；如果用1米的尺子测量，便会增加许多弯曲的部分，海岸线必然大大增大；如果让蜗牛来测量，海岸线必然大得惊人.曼德尔布罗波兰裔法国数学家曼德尔布罗是分形几何的创始人. 他的科学兴趣极其广泛，具有极强的创造能力和形象思维能力，利用计算机开创了一门崭新的分形几何学.。
《分形理论及其应用》课件
群算法等，这些算法在人工智能领域有重要的应用价值。
03
分形在机器学习中的应用
分形理论在机器学习中也有一定的应用价值，如分形神经网络、分形特
征提取等，这些方法有助于提高机器学习的性能和效率。
05
分形理论的未来展望
分形理论与其他学科的交叉研究
物理学
分形理论在物理学的多个领域，如混沌理论、量子力学和统计物理中有着广泛的应用。通过与其他学科的交叉研究， 可以进一步揭示分形现象的本质和规律。
分形在时间序列分析中的应用
时间序列数据中往往存在分形现象，利用分形理论可以更准确地预测和分析时间序列数据 的未来趋势。
分形在人工智能领域的应用
01
分形在计算机图形中的应用
分形理论在计算机图形学中有着广泛的应用，如分形图像的生成、分形
自然现象的模拟等。
02
分形优化算法
分形理论为优化算法的设计提供了新的思路和方法，如遗传算法、粒子
在规律。
迭代函数系统由一组压缩映射和 转移函数组成，通过迭代地应用 这些函数，可以生成复杂的分形
图形。
分数布朗运动
分数布朗运动是一种随机过程，其轨 迹具有分形结构。
分数布朗运动通过随机游走的方式， 在时间和空间上呈现出连续但非光滑 的轨迹，具有长期依赖性和自相似性 等特征。
它模拟了布朗运动的特性，但适用于 描述具有非整数维度的分形现象。
分形理论在解决实际问题中的应用前景
图像处理
增强等方面具有优异的表现。 随着数字图像处理技术的发展 ，分形理论在图像处理领域的 应用前景将更加广阔。
分形理论在处理非线性数据和 预测复杂系统行为方面具有独 特的优势。在金融、气象、交 通等领域，分形理论可以帮助 我们更好地理解和预测数据的 内在规律和趋势。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何【摘要】分形几何是一门独特的数学领域，它以非整数维度的几何形状为研究对象。
本文将深入探讨分形几何的历史、基本概念和数学原理，以及在自然界中的展现和艺术中的运用。
分形几何不仅仅是一种数学理论，它还具有广泛的应用价值，在自然界的各个领域中都有着重要作用。
分形几何的未来发展也备受关注，展示着一种新颖的数学思维和艺术创意。
几何里的艺术家——分形几何，展现着独特的美学魅力，引领着无限的想象力和创造力，让我们一起探索分形几何的奥秘与魅力。
【关键词】分形几何、艺术家、几何、应用、历史、基本概念、数学原理、自然界、展现、艺术、运用、未来发展、魅力1. 引言1.1 什么是分形几何分形几何是一种研究自然和人造现象中形态结构的几何学领域，它研究的是那些不规则、复杂、自相似的图形或结构。
分形几何的研究对象不同于传统几何学中的简单几何图形，而是更接近自然界和人类创造的复杂形态。
分形几何通过数学建模和图形分析，试图揭示自然现象中隐藏的规律和结构。
在分形几何中，“分形”一词来源于拉丁文中的“fractus”，意为“破碎的”或“不规则的”。
分形几何的主要特点是自相似性和尺度不变性，即无论放大还是缩小，图形的结构都保持不变。
这种自相似性使得分形几何能够描述复杂的、非线性的系统，例如云彩、海岸线、树木等自然现象，以及数字信号处理、人工智能等人造结构。
通过分形几何的研究，人们可以更好地理解自然界中丰富多样的形态结构，探索规律和规律背后的美学。
分形几何的应用领域也越来越广泛，涵盖了物理学、生物学、经济学、艺术等多个领域。
在当今数字化时代，分形几何不仅是一门独具魅力的数学学科，更是连接自然、艺术和科学的桥梁。
1.2 分形几何的应用价值分形几何的应用价值非常广泛，涉及到许多领域，包括科学、工程、医学和艺术等。
在科学领域，分形几何被广泛应用于天文学、气象学、地质学和生物学等领域。
在天文学中，分形几何被用来研究星系和星云的形态，帮助科学家更好地理解宇宙的结构和演化过程。
分形几何学
2分形几何学的基本概念本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。
2.1自相似性与分形几何学无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。
欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。
自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。
它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。
一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。
这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。
显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。
这就是分形几何学产生的基础。
1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。
分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。
这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。
分形原理及其应用
分形原理及其应用
分形是一种几何图形，它具有自相似的特性，即整体的形状和局部的形状都具
有相似性。
分形原理最早由法国数学家Mandelbrot提出，他认为自然界中的许多
现象都可以用分形来描述。
分形原理不仅在数学领域有着广泛的应用，还在生物学、物理学、经济学等领域都有着重要的意义。
在数学领域，分形可以用来描述自然界中的许多复杂现象，比如云彩的形状、
树叶的脉络、河流的分布等。
利用分形原理，我们可以更好地理解这些现象背后的规律。
而在生物学领域，分形原理也有着广泛的应用。
比如，我们可以利用分形原理来研究植物的生长规律，动物的群体分布等。
在物理学领域，分形可以用来描述许多复杂的物理现象，比如分形几何可以用来描述分形维度，分形维度可以用来描述物体的复杂程度。
除了在基础科学领域有着广泛的应用之外，分形原理还在工程技术领域有着重
要的意义。
比如，在图像处理领域，我们可以利用分形原理来进行图像的压缩和识别。
在信号处理领域，分形原理也可以用来进行信号的分析和处理。
在金融领域，分形原理可以用来描述股票价格的波动规律，从而帮助投资者进行风险管理。
总的来说，分形原理是一种非常有用的数学工具，它不仅可以用来描述自然界
中的复杂现象，还可以在工程技术领域有着广泛的应用。
随着科学技术的不断发展，相信分形原理会有更多的应用场景被发现，为人类的发展带来更多的帮助和便利。
希望本文的介绍能够让读者对分形原理有更深入的了解，并且能够在实际应用
中发挥更大的作用。
分形原理的应用领域还在不断扩大，希望大家能够关注并且深入研究，为人类的发展做出更大的贡献。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用【摘要】分形理论是一种新兴的数学理论，通过研究自相似的结构和规律，揭示了自然界复杂而规律的现象。
在机械工程领域，分形理论为工程师提供了新的视角和方法，可以优化设计、改善材料性能和实现振动控制。
分形几何在机械设计中的应用可以帮助设计出更加紧凑和高效的结构，提高机械设备的性能。
在材料科学中，分形理论可以帮助工程师设计出更加稳定和高效的材料，提高材料的力学性能。
分形模型在振动控制中的应用则可以帮助工程师设计出更加精确和有效的控制系统，减少振动对机械设备的损害。
未来，分形理论在机械工程领域的研究将继续深入，为工程师提供更加丰富和有效的工具，推动机械工程的发展。
分形理论在机械工程领域的重要性日益凸显，将对机械设备的设计、制造和维护产生深远影响。
【关键词】分形理论、机械工程、意义、应用、分形几何、材料科学、振动控制、未来发展方向、重要性1. 引言1.1 分形理论及其在机械工程中的应用分形理论是一种描述复杂自然现象的数学理论，其应用范围涵盖了各个领域，包括机械工程。
分形在机械工程中的应用主要体现在优化设计和振动控制两个方面。
分形理论可以帮助工程师更好地理解和优化机械系统的设计。
通过分析系统的分形特征，可以发现系统中的隐藏规律和优化空间，进而提高系统的效率和性能。
特别是在微机电系统（MEMS）和纳米技术领域，分形理论可以帮助设计出更加紧凑、高效的微型机械系统。
分形理论还可以应用于振动控制领域。
分形几何的不规则性和复杂性可以帮助设计出具有多频率阻尼效应的结构，对振动进行有效控制。
这种分形模型在汽车、航空航天等领域的振动控制中存在巨大的潜力，可以大幅提高系统的稳定性和安全性。
分形理论在机械工程中的应用为工程师提供了新的思路和方法，有助于解决复杂系统设计和振动控制中的难题。
未来随着理论的进一步发展和技术的不断创新，分形在机械工程领域的应用前景将更加广阔，对于推动机械工程领域的发展具有重要意义。
分形理论的发展及其研究前景111
分形理论的发展及其研究前景摘要：分形理论是现代非线性科学中的一个重要的分支，是科学研究中一种重要的数学工具和手段,分形理论的数学基础是分形几何。
本文介绍了分形理论的创始、发展、应用领域、研究前景，并且给出了经典分形图形如Koch曲线、Seirpniski缕垫的分形维数值。
关键词：分形理论；分形几何；自相似性；分形维数引言欧氏几何、三角学、微积分学使我们能够用直线、圆、抛物线等其他简单曲线来建立现实世界中的形状模型。
而在自然界中存在着大量的复杂事物：变幻莫测的云彩、雄浑壮阔的地貌、回转曲折的海岸线、动物的神经网络、不断分叉的树枝、纵横交流的血管、烧结过程中形成的各种尺寸的聚积团等等。
面对这些事物和现象，传统科学显得束手无策。
因为目前还没有哪一种几何学能更好地描述自然形态，象山、云、火这类的自然形态尚缺少必要的数学模型。
近30年来，科学家们朦胧地“感觉”到了另一个几何世界，即关于自然形态的几何学，或者说分形几何学。
这种几何学把自然形态看作是具有无限嵌套层次的逻辑结构，并且在不同尺度之下保持某种相似的属性，例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。
这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
于是在变换与迭代的过程中得到描述自然形态的有效方法(其中L系统和IFS 方法便是典型的代表)1[。
]分形理论是非线性科学的一个重要分支，主要研究的就是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的具有自相似性且没有特征长度的形状和现象。
二、分形理论的创始和发展“分形”(fractal)一词由美籍法国数学家曼德尔布罗特(Benoit B.mandelbrot)教授在1975年首次提出，其源于拉丁文fractus，原意为“分数的，不规则的，破碎的”。
我们通常以曼德尔布罗特发表在1967年《科学》杂志上的“英国的海岸线有多长·统计自相似性与分数维数”一文作为“分形”学科诞生的标志。
计算机图形学之 分形几何
8.1 8.2 8.5 8.6
分形和分维 递归模型 本章小结 习题
8.1分形和分维
真实的世界并不规则，闪电不是直线，海 岸线不是弧线，云团不是球体，山峦也不是锥 体。自然界的许多对象是如此不规则和支离破 碎，以致欧氏几何学不能真实有效地再现大自 然。 为了再现真实世界，必须选择新的工具， 分形几何学应运而生。分形几何是以非规则物 体为研究对象的几何学。由于闪电、海岸线、 云团、山峦、海浪、野草、森林、火光等非规 则物体在自然界里比比皆是，因此分形几何学 又被称为描述大自然的几何学。
先绘制第一段直线，然后改变夹角，分别绘制其余3段直线
8.2.3 Peano-Hilbert曲线
意大利数学家皮亚诺（Peano， 1858～1932），通过对一些古代装饰图 案的研究，于1890年构造出一种奇怪的 平面曲线，这条曲线蜿蜒向前，一笔绘 成，并能充满整个平面。接着德国数学 家希尔伯特(Hilbert，1862～1943)于 1891年也构造出一种类型相同但比较简 单的曲线。这种曲线被称为PeanoHilbert曲线。
n＝0 n ＝2 n ＝1
Peano-Hilbert曲线的出现，当时曾令当时的 数学界大吃一惊： 它是一条曲线，但又是一个平面； 皮亚诺曲线的方程只有一个参数，但它却能确定 了一个平面；而在欧氏几何学中，确定一条曲线需
要一个参数，确定一个平面需要两个参数。
8.2.4 Sierpinski垫片、地毯和海绵
分形山
8.1分形和分维
8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.1.4
分形的诞生 分形的基本特征 分形的定义 分形维数的定义
8.1.1 分形的诞生
分形（Fractal）这个词，是由美籍法国 数学家曼德尔布罗特（Benoit B.Mandelbrot） 自己创造出来的，此词来源于拉丁文fractus， 意为不规则、支离破碎。1967年曼德尔布罗特 在美国《科学》杂志上发表了划时代的论文 《英国海岸线有多长？统计自相似与分数维》， 成为其分形思想萌芽的重要标志。1973年，在 法兰西学院讲学期间，曼德尔布罗特提出了分 形几何学的整体思想，并认为分数维是个可用 于研究许多物理现象的有力工具。1982年曼德 尔布罗特出版了《大自然的分形几何学》，引 起了学术界的广泛重视，曼德尔布罗特也因此 一举成名。
简述科赫法则的基本内容
简述科赫法则的基本内容科赫法则，又称为科赫曲线，是一种分形几何中的重要概念。
它由波兰数学家维尔纳·冯·科赫于20世纪初提出，被广泛应用于数学、物理、计算机图形学等领域。
科赫法则的基本内容是通过无限次迭代的方式，将一条线段分割成若干段等长的线段，并在每个等分点处添加一个等边三角形，再对每个等分线段重复进行相同的分割和添加，从而得到一个无限细分的曲线。
这条曲线具有自相似性和无穷长度的特点。
科赫法则的具体实现可以通过迭代和递归的方法来实现。
首先，从一条线段开始，将它分成三个等长的线段，然后在中间的线段上添加一个等边三角形。
接下来，对剩余的两个线段分别进行相同的操作，再次将它们分成三个等长的线段，并在中间的线段上添加一个等边三角形。
如此反复进行下去，直到无限次迭代。
最终，得到的曲线就是科赫曲线。
科赫曲线的特点之一是自相似性。
无论我们选择曲线的任何一部分，都可以发现它们的形状与整条曲线是相似的。
这意味着曲线的局部结构与整体结构具有相同的特征，从而呈现出无限的细节和复杂性。
这种自相似性使得科赫曲线成为了一种具有美学价值的图形。
另一个特点是科赫曲线的无穷长度。
虽然曲线的初始线段长度是有限的，但通过无限次迭代，曲线的长度会无限增长。
这是因为每次迭代都会在曲线的每个线段上添加新的线段和三角形，使得曲线的长度越来越大。
这种无穷长度的特性使得科赫曲线成为了一种抽象的数学概念，超越了我们通常对线段长度的理解。
科赫曲线的应用十分广泛。
在数学领域，科赫曲线被用作研究分形几何的基础，揭示了自然界中很多复杂结构的形成原理。
在物理学中，科赫曲线被用来描述各种分形结构，如海岸线的形状、树叶的纹理等。
在计算机图形学中，科赫曲线被用来生成各种复杂的图形和模式，如分形艺术、自然景观的模拟等。
除了科学研究和艺术创作外，科赫曲线还具有一些实际应用。
例如，在电子设备的电路板设计中，科赫曲线可以用来设计高频电路的导线路径，以减少信号的衰减和干扰。
经典的分形算法 (1)
经典的分形算法小宇宙2012-08-11 17:46:33小宇宙被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。
它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。
它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。
1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。
1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。
这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。
1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。
1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。
1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。
1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。
以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。
数学科学中的分形几何学
数学科学中的分形几何学分形几何学是一种可视化的、有关于形态相似度的研究。
在1975年前后，它引起了人们的越来越多的关注，研究者不断地寻找着新的分形体现，并且对其进行了广泛的研究。
分形几何学以1960年代末兴起的分形理论为基础，是一种重要的新分支，不仅在纯数学中产生出多种应用，而且还带有很多涉及与物理、天文、地质、气象等领域的实际问题。
分形几何学的发展历程分形几何学的历史可以追溯到19世纪的德国，当时考古学家路德维希•谷巴尔（Ludwig Schläfli）从数学角度研究了20种多面体，把多面体的外形、大小、形态的相似性进行了比较。
后来的数学家们在此基础上，又从各自的角度进行了探索与研究。
比如，俄国的莫斯科数学家亚历山大·叶赛尼亚去研究特殊的比例题，发现了分形概念的重要性。
瑞典的奥托·察克拉芙特等也作出了较为重要的贡献。
但是，分形几何学真正的开端是在1960年代，当时马赛克模型的出现，给了分形几何学一个坚实的基础，也就是分形的数学形式和公式。
然后，分形几何学从理论研究到了实验研究，在科学研究、文化艺术、自然美学等方面发挥出了巨大的作用。
分形几何学与自然美学分形几何学在科学研究领域的应用相对来说比较多，尤其是在物理、天文、地质等领域。
但是，近年来，人们越来越意识到，分形几何学在文化艺术和自然美学领域的应用也是非常广泛的。
分形几何学强调递归和自相似性，在繁杂的自然现象中找到了类似的滋生和变化规律，阐述了丰富的美学和人类价值。
自然美学是一种研究自然和人与自然关系的美学，强调生命之动的自然性、多元性、无常性。
分形的数学模型不仅为自然美学提供了丰富的表现形式，而且还帮助人们更好的理解生态学、生物医学等方向。
分形几何学的应用实例分形几何学在自然界中的表现是广泛的，比如，在地理学中，分形几何可以用来研究地衣的分布，而在气象学中，分形几何可用来计算降雨的分布规律和湍流的能量分布情况，对于理解飓风、龙卷风和干旱等自然灾害方面也具有指导意义。
分形几何概述
分形几何的应用
图像，数据压缩方面的研究。 如：对某一个静态场景的分形压缩。
自然景物的模拟 如：雪花，海岸线，分形山，分形树叶
分形生长模型
整理课件
对某一个静态场景的分形压缩
原图
分形压缩得到的图形
整理课件
分形山
整理课件
分形树叶
整理课件
分形树叶(续1)
整理课件
整理课件
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
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Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
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Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
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Koch曲线的一些基本性质
Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫 片类似的性质.
长度等于无穷.
一般地，E的“分形维数”（以某种方式 定义）大于它的拓扑维数。
在大多数令人感兴趣的情形下，E以非常 简单的方式定义，可能由迭代产生。
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分形几何的研究方法 ——维数和测度
我们仅讨论维数 传统意义下的维数：
点是0维的，线是1维的，平面是2维的， 立方体是三维的，… 用这个维数去刻画分形集合时的困难：
空紧子集所组成的集合。 H(X)上的度量h如下定义：
d ( x , B ) m d ( x , y ) |y i B n ,x X , B H ( X ).
d(x,B )0 x B
d ( A , B ) m d ( x , B ) | a x A , x A , B H ( X ).
是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派 生
出来.
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分形几何的历史(续)
发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础 及其应用》.
分形几何超级介绍
分数维
现在我们从测量的角度引入了维数概念， 将维数从整数扩大到分数。即： 如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的 ｋ个图形所组成，有：ｋ= λ^D D即维数 D = logｋ/logλ 其中：（ λ 为线度的放大倍数 ｋ为“体积”的放大倍数）
Sierpinski垫圈的分数维
• 如右下角的垫圈 ，它是由原图缩小1/2的相 似的3个图形组成。 • 故其维数为D=log3/log2
分维数的多种定义
• 分数维可用于定量描述分形集的复杂性。 • 分维数已有多种定义。 • 豪斯道夫维数是基于豪斯道夫测度而建立起来的 一种分形维数，它是分形几何的维数理论的基础； • 盒维数或称盒计数维数是一个具有广泛应用的维 数，计算一个分形的盒维数是相对简单的。 • 其他分维数有：柯尔莫哥诺夫熵、熵维数、容量 维数、对数维数和信息维数等。
•
自相似性
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特 征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似 的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构 与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分 与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下 自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域 放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。
分形几何
数理基础试验班 李道坚 范宇航
分形几何的起源
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗特 （B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可 追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续 但处处不可微的函数，集合论创始人康托构造了有许多奇 异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺构造 了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫设计出类似 雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾 斯基设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解 决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形 几何思想的源泉。1975年，他创立了分形几何学。在此 基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形 理论。
分形几何学.ppt
一、什么是分形几何学
通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的 自相似图形和结构的几何学。 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层 次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方 面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁 铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去， 每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次 结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。 又如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上 没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相 似关系；一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质； 动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛 的全部生长信息；还有高山的表面，无论怎样放大其局部，它都 如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何 揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
随机康托尔集都是随机分形，著名的随机分形还有布朗 （R.Brown）粒子运动的轨迹
（2）Sierpinski地毯： 三分康托尔集等数学怪物的出现，使相当一部分传统数学 家感到“直觉的危机”的同时，也引起了一些数学家的兴 趣.1915~1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三 分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基 “垫片”：设E0是边长为1的等边三角形区域，将它均分成四个 小等边三角形，去掉中间一个得E1，对E1的每个小等边三角形 进行相同的操作得E2，……，这样的操作不断继续下去直到无 穷，所得图形F称为谢尔宾斯基“垫片”（图）.它被用作超导 现象和非晶态物质的模型
⑴ 康托尔三分集 1883年，德国数学家康托尔(G.Cantor)构造了一个奇异集合： 取一条长度为1的直线段E0，将它三等分，去掉中间一段，剩下 两段记为E1，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段， 剩下更短的四段记为E2，……，将这样的操作一直继续下去， 直至无穷，得到一个离散的点集F（图），称为康托尔三分集. 在康托尔三分集的构造过程中，如果每一步都用掷骰子的方法 来决定去掉被分成的三段中的哪一段，或来选择子区间的长度， 就会得到很不规则的随机康托尔集（如图），它被当时在美国 IBM公司任职的曼德尔布罗特用作描述通讯线路中噪声分布的 数学模型，如今在现代非线性动力学的理论研究中有重要地位.
分形几何数学基础及其应用
分形几何数学基础及其应用
分形几何是研究自相似性和尺度不变性的一种几何学分支，它主要研究复杂自然界中出现的几何形态及其规律性。
分形几何的基本概念包括自相似性、分形维数、分形集合等，其中自相似性是分形几何的核心概念，指的是一个对象的不同尺度上呈现出相似的结构和形态，即“自我重复”。
分形几何的应用涵盖众多领域，如自然科学、社会科学、工程技术等。
例如，在自然科学中，分形几何可以用来研究自然界中的分形结构，如云、树叶、山脉等。
在社会科学领域，分形几何可应用于研究经济、金融、社交网络等复杂系统。
在工程技术领域，分形几何可以用于建模和仿真，如制造汽车、航空航天、数字图像等领域。
总之，分形几何是一种充满活力和广泛应用的数学学科，其理论和方法在现代科学和技术中具有重要的地位和作用。
分形几何
度量Koch曲线（续）
现在，长度为１／3的无刻度的尺子来度量 Koch曲线。 此时Koch曲线的近似长度为 L1 = 4/3. 于是 Koch 的长度大于 4/3.
度量Koch曲线（续）
进一步，在每两个相邻的节点间加入三个 节点，这样用由16条长度为1/9的线段组成 的折线逼近Koch曲线。同样发现Koch曲线 的长度大于折线长度 L2 = 16/9 = (4/3)2.
分形几何的提出
由于不规则现象在自然界是普 遍存在的，因此分形几何又称 为描述大自然的几何学。分形 几何建立以后，很快就引起了 许多学科的关注，这是由于它 不仅在理论上，而且在实用上 都具有重要价值。
分形几何的提出
当你用一把固定长度的直尺(没有 刻度)来测量海岸线的长度时，对 海岸线上两点间的小于尺子尺寸的 曲线，只能用直线来近似。因此， 测得的长度是不精确的。
Ａ
则称子集类
i 1 为Ａ的一个
Ｕ
i
｛U i｝
―覆盖。
豪斯道夫(Hausdorff)维数
Hausdorff测度 d ) 设Ａ是度量空间 ( R , 的任一有界子集 ｓ≥0，对于任意的 >0，定义：
H ( A) inf{ | U i | : {U i } A的－覆盖}
分形的定义（续） 分形看作具有下列性质的集合F：
１）F具有精细结构，即在任意小 的比例尺度内着复杂的结构。 ２）F是不规则的，以致于不能用 传统的几何语言来描述。
分形的定义（续）
3）F通常具有某种自相似性，或许是 近似的或许是统计意义下的。 4）F在某种方式下定义的“分维数” 通常大于F的扑维数。 5）F的定义常常是非常简单的，或许 是递归的。
Mandelbrot集(4)
分形几何学的书
分形几何学的书
分形几何学的书有：《分形几何学及其应用》、《分形几何学教程》、《分形几何学基础》、《分形几何学简明教程》等。
这些书籍涵盖了分形几何学的基本理论、应用实例、算法实现等方面，适合不同层次的读者阅读。
此外，还有一些关于分形几何学的经典著作，如《自然界中的分形几何学》、《分形几何学的哲学》等，这些书籍深入探讨了分形几何学的哲学思想、意义和价值等问题，对于想要深入了解分形几何学的读者来说非常值得一读。
分形几何学是一门研究形状和结构的科学，它超越了传统的欧几里得几何学的范畴，涉及更为复杂和精细的领域。
分形几何学的书通常会介绍分形的基本概念、历史背景、研究方法和应用领域。
在这些书中，您将了解到分形几何学的起源和发展，以及它与其他数学领域之间的联系。
您还将学习到如何使用计算机程序来生成各种奇特的分形图形，以及分形几何学在艺术、建筑、自然景观等领域中的应用。
如果您想深入了解分形几何学的高级技术，您可能需要参考一些更专门的书籍或研究论文。
但是，如果您只是初学者或对分形几何学感兴趣，您可以从一些入门级的书籍开始学习，例如《分形几何学导论》或《分形几何学教程》。
无论您是数学家、工程师还是艺术家，分形几何学都为您提供了一个全新的视角来审视形状和结构，以及它们在自然界和人类设计中的应用。
通过阅读这些书籍，您将更好地理解这个令人着迷的领域，
并从中汲取灵感，为您的职业生涯带来新的视角和思考方式。
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课程名称（中文）：分形几何的数学基础
课程名称（英文）：Mathematical foundation of Fractal geometry
一）课程目的和任务：
分形几何的概念是由B.Mandelbrot 1975年首先提出的，数十年来它已迅速发展成为一门新兴的数学分支，它的应用几乎涉及到自然科学的各个领域。
本课程为分形几何研究方向研究生的专业必修课程。
主要内容包括：抽象空间，拓扑空间及度量空间中的测度理论基础、分形的（Hausdorff，packing及box－counting）维数理论及其计算技巧、分形的局部结构、分形的射影及分形的乘积等。
其目的是使学生基本理解并掌握分形几何学基本概貌和基本研究方法及技巧，从而使他们能够阅读并理解本专业的文献资料。
二）预备知识：测度论，概率论
三）教材及参考书目：
教材：分形几何――数学基础及其应用肯尼思.法尔科内著东北大学出版社
参考书目：1）Rogers C.A. Hausdorff measures, Cambridge University Press, Cambridge, 1970.
2）文志英，分形几何的数学基础，上海科技教育出版社，上海，2000.
3）周作领，瞿成勤，朱智伟，自相似集的结构---Hausdorff测度与上凸密度（第二版），科学出版社，2010。
四）讲授大纲（中英文）
第一章数学基础
1）集合论基础
2）函数和极限
3）测度和质量分布
4）有关概率论的注记
第二章豪斯道夫测度和维数
1）豪斯道夫测度
2）豪斯道夫维数
3）豪斯道夫维数的计算――简单的例子
4）豪斯道夫维数的等价定义
5）维数的更精细定义
第三章维数的其它定义
1）计盒维数
2）计盒维数的性质与问题
3）修改的计盒维数
4）填充测度与维数
5）维数的一些其它定义
第四章计算维数的技巧
1）基本方法
2）有限测度子集
3）位势理论方法
4）傅立叶变换法
第五章分形的局部结构
1）密度
2）1－集的结构
3）s－集的切线
第六章分形的射影
1）任意集的射影
2）整数维s－集的射影
3）任意整数维集的射影
第七章分形的乘积
1）乘积公式
Chapter 1 Mathematical background
1) Basic set theory
2) Functions and limits
3) Measure and mass distribution
4) Notes on probability theory
Chapter 2 Hausdorff measure and dimension
1) Hausdorff measure
2) Hausdorff dimension
3) Calculation of Hausdorff dimension----simple examples
4) Equivalent definitions of Hausdorff dimension
5) Finer definitions of dimension
Chapter 3 Alternative definitions of dimension
1) Box-counting dimensions
2) Properties and problems of box-counting dimension
3) Modified box-counting dimension
4) Packing measures and dimensions
5) Some other definitions of dimension
Chapter 4 Techniques for calculating dimensions
1) Basic methods
2) Subsets of finite measure
3) Potential theoretic methods
4) Fourier transform method
Chapter 5 Local structure of fractals
1) Densities
2) Structure of 1-sets
3) Tangents to s-sets
Chapter 6 Projections of fractals
1) Projections of arbitrary sets
2) Projections of s-sets of integral dimension
3) Projections of arbitrary sets of integral dimension Chapter 7 Products of fractals
1) Product formula
五）教学总学时：4学时/周×19周= 76学时。