追赶法解边值条件微分方程(C++)
matlab追赶法解常微分方程
研究领域：数学、计算机科学文章标题：深入探讨matlab追赶法解常微分方程在数学和计算机科学领域中，常微分方程是一个重要且广泛应用的课题。
而matlab追赶法作为常微分方程的求解方法，在实际应用中具有重要意义。
本文将以深度和广度兼具的方式，对matlab追赶法解常微分方程这一主题展开全面评估，并撰写一篇有价值的文章，同时结合个人观点和理解，为读者提供深刻的思考。
一、matlab追赶法解常微分方程简介1.1 matlab追赶法基本原理matlab追赶法，又称托马斯算法，是一种用于求解三对角线性方程组的方法。
在常微分方程的数值解法中，常常会遇到需要求解三对角线性方程组的情况，而matlab追赶法正是针对这一问题而提出的高效算法。
1.2 追赶法在常微分方程求解中的应用常微分方程在实际问题中有着广泛的应用，而求解常微分方程的过程中往往需要用到追赶法。
追赶法不仅可以提高计算效率，还可以有效地解决数值稳定性和精度的问题，因此在工程和科学计算中得到了广泛的应用。
二、深入探讨matlab追赶法解常微分方程2.1 算法实现及优化matlab追赶法的实现涉及到矩阵运算、追赶过程和追赶系数的求解等关键步骤。
如何针对不同类型的方程组进行算法优化，是一个需要深入探讨的问题。
通过优化算法，可以提高追赶法的计算效率和数值稳定性，使其在常微分方程求解中发挥更大的作用。
2.2 算法的数值分析通过数值分析，可以更加深入地了解matlab追赶法在解常微分方程过程中的数值特性。
包括收敛性、稳定性、误差分析等方面，这些都是影响算法性能和应用效果的重要因素，需要进行深入的研究和分析。
三、对matlab追赶法解常微分方程的个人观点和理解3.1 算法的优势与局限性matlab追赶法作为一种高效的求解算法，具有较好的稳定性和精度，特别适合于大规模的常微分方程求解。
但在某些特定问题上，追赶法的适用性和效率仍然存在局限性，需要进行合理的选择和应用。
第三章 线性方程组解法1_追赶法(2)
从而有 x4 = 2,
x3 = 1,
x2 = 1,
x1 = 0
(1 (3 ( ( 作业习题三 P68 2, 1) 3)
�
追
赶
注意:当 ak , ck 中有一元素为 0,方程组可化为两个三对 角方程组.由于追赶法在计算过程中只涉及系数矩阵的 非零元,大大节约了计算机内存与计算量. 例:用追赶法求解如下的三对角方程组 2 1 x1 1 1 3 1 x 2 2 = 1 1 1 x3 2 2 1 x4 0 解:①直接利用上面公式有 p1 1 1 q1 2 1 1 3 1 1 q2 p2 2 → 1 q 3 p3 1 1 1 2 1 p4 2 1 0 p1 = 1 / 2 , q1 = 1 / 2 p2 = 3 / 5 , q2 = 2 / 5 p = 7/3, q = 5/3, p = 2 3 3 4 x4 = 2 , x3 = 1 , x2 = 1 , x1 = 0 ②利用 LR 分解
( k = 1, 2, , n ) q k = ck / tk
然后回代求解得
xn = pn xk = pk qk xk +1
(k = n 1, n 2,,1)
追赶法(2)的流程图 输入方程阶数 n ,系数与右端常数 ai , bi , ci , di (i = 1, 2,, n) (令 a 1 = cn = 0 )
p1 = d1 / b1 , q1 = c1 / b1 k = 2, , n t = bk ak qk 1
pk = (d k ak pk 1 ) / t , qk = ck / t xn = pn k = n 1, ,1 xk = pk qk xk +1 输出 x1 , x2 , , xn ,结束
2 1 1 1 3 1 α 1 = 2 1 1 1 α3 1 α4 2 1 β1 1 c1
用列主元消去法和追赶法求解带有边值问题的线
重庆理工大学数学与统计学院数值分析课程设计成绩评定书设计题目：用列主元消去法和追赶法求解带有边值问题的线性方程组专业班学号学生姓名指导教师用列主元消去法和追赶法求解线性方程组摘要：根据高斯消去法的理论知识，通过MATLAB 工具编写函数，运用列主元消去法和追赶法来求解线性方程组。
在消元过程中可能出现)(a k kk0 的情况，这时就可以用列主元消去法来解决，它的特点是每次在系数矩阵中依次按列在主对角线及以下的元素中，选取绝对值最大的元素作为主元，将它调到主对角线上，然后用它消去主对角线以下的元素，最后化为同解的上三角形方程组去求解；而在实际问题中，如求解系数矩阵为对角占优的三对角线性方程组，用追赶法求解就显得更方便。
可以看出，两种方法对于求解线性方程组都具有可行性和准确性。
关键词：高斯消去法；列主元消去法；追赶法；MA TLAB一、问题提出. 考虑两点边值问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+.11,00,10,22y y a a dx dy dx y d ε容易知道它的精确解为.1111ax e ea y x+⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--εε为了把微分方程离散，把[]1,0区间n 等分，令nh 1=，ih x i =，,1,,2,1-=n i 得到差分方程,21211a hy y hy y y ii i i i =-++-++-ε简化为()(),2211ah y y h y h i i i =++-+-+εεε从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-=h h h hh hh A εεεεεεεεεε2222对1=ε，6.0=a ，100=n ，分别用列主元消去法和追赶法求解线性方程组，然后比较与精确解的误差，对结果进行分析。
改变n ，讨论同样问题。
二、问题求解2.1列主元消去法2.1.1方法思想高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，但它的改进、变形得到的主元素消去法仍然是计算机上常用的计算方法，高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。
微分方程数值解追赶法
微分方程数值解追赶法追赶法，也称为三对角矩阵算法，是一种用于求解线性微分方程的数值方法。
这种方法主要基于矩阵分解和迭代的思想，能够有效地解决微分方程的数值求解问题。
在微分方程的数值解法中，追赶法通常用于求解形如 (y' = f(x, y)) 的常微分方程。
其基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后通过迭代的方式逐步逼近微分方程的解。
具体来说，追赶法的步骤如下：矩阵分解：首先，将微分方程 (y' = f(x, y)) 转化为差分方程的形式。
然后，将差分方程中的系数矩阵进行分解，将其分解为一个下三角矩阵 (L)、一个对角矩阵 (D) 和一个上三角矩阵 (U)。
这样，差分方程可以转化为(D^{-1}Lx = D^{-1}b) 的形式。
迭代求解：接下来，使用迭代法求解 (D^{-1}Lx = D^{-1}b)。
通常，可以选择Gauss-Seidel迭代法或者SOR（Successive Over-Relaxation）迭代法等。
在每次迭代中，先求解下三角矩阵 (L) 的部分，然后求解对角矩阵(D) 的部分，最后求解上三角矩阵 (U) 的部分。
通过不断迭代，逐步逼近差分方程的解。
收敛性判断：在迭代求解的过程中，需要判断迭代的解是否收敛。
通常，可以通过比较相邻两次迭代的解的差值来判断是否收敛。
当差值小于某个预设的阈值时，认为迭代收敛。
解的输出：当迭代收敛后，可以得到微分方程的数值解。
此时，可以将解输出到控制台或者保存到文件中。
追赶法的优点在于其算法简单、易于实现，并且对于大规模的微分方程求解问题具有较高的计算效率和精度。
然而，追赶法也存在一些局限性，例如对于某些特殊类型的微分方程可能不适用，需要进行特殊处理。
一维水动力模型追赶法
一维水动力模型追赶法一维水动力模型追赶法研究一、一维水动力模型及其在水资源管理中的应用一维水动力模型是一种用于模拟水流运动的数学模型，它在一维空间中描述水流速度、水位、水质等参数的变化。
这种模型广泛应用于水资源管理、水文学、环境科学等领域。
通过一维水动力模型，我们可以预测在不同条件下的水流情况，从而更好地管理水资源，优化调度，减少污染，提高水资源的可持续利用。
二、追赶法原理及其在一维水动力模型中的应用追赶法是一种数值求解偏微分方程的算法，尤其适用于一维问题的求解。
在一维水动力模型中，追赶法能够有效地解决方程中的非线性问题，并且在处理边界条件和初始条件时具有很大的灵活性。
追赶法的核心思想是将偏微分方程转化为差分方程，通过迭代的方式逐步逼近真实解。
在每一步迭代中，算法会根据已知的信息，逐步求解出未知的状态变量。
具体操作过程如下：首先，将一维空间离散化，将连续的问题转化为离散的问题。
然后，将偏微分方程转化为差分方程，通过迭代的方式逐步求解。
在每一步迭代中，根据已知的信息，逐步求解出未知的状态变量。
最后，通过边界条件和初始条件对模型进行约束，得到最终的解。
三、模型应用实例下面以某河流的径流变化规律为例，介绍一维水动力模型的应用。
首先，我们需要收集该河流的历史数据，包括水位、流量、降雨量等信息。
然后，将这些数据输入到一维水动力模型中，通过追赶法进行求解。
在求解过程中，我们需要设置合适的边界条件和初始条件，以保证模型的准确性和可靠性。
通过对历史数据的模拟和预测，我们可以得到该河流的径流变化规律。
根据这些规律，我们可以更好地管理水资源，优化调度，提高水资源的可持续利用。
此外，一维水动力模型还可以应用于城市供水调度、防洪减灾等领域。
四、模型参数估计与验证在应用一维水动力模型时，我们需要估计和验证模型的参数。
这些参数包括水流速度、水容量、扩散系数等。
我们可以通过历史数据来估计这些参数，并使用当前数据进行验证。
在估计和验证过程中，我们需要考虑数据的准确性和可靠性，并采用合适的统计方法对参数进行优化和调整。
(完整版)2.6追赶法
第16讲 追赶法、误差分析在实际应用问题中，经常会遇到解三对角线方程组。
例如：用三次样条函数的插值问题中得到的三转弯及三弯矩方程组，当时说可用追赶法来求解。
还有用差分法解二阶线性常微分方程边值问题，若用三点插值格式也得到解三对角线方程组，本节介绍该类方程组中的特例及该种方程组的解法：追赶法。
优点：1.计算量小。
2.方法简单，存贮量小。
3.数值稳定的（对舍入误差来说）。
1 追赶法三对角线方程组的一般表示方法：可见，对A 的分解只需求i i u l ,且按n n n l u l u l u l −→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−--112211.....的递推过程进行，形象地称为“追”的过程⎩⎨⎧=-==-),....2(/)(/1111n i l y a f y l f y i i i i⎩⎨⎧-=-==+)1,2,.....1(1n i x u y x y x i i i inn 形象地称回代求解过程为“赶”的过程追赶法的计算量为5n-4次乘除法，可用4个 一 维数组存放{}{}{}{}i i i i f c b a ,,,。
共占用4n-2个单元，在计算过程中{}{}{}i i i y u l ,,依次覆盖掉{}{}{}i i i f c b ,,最后，{}i x 覆盖掉{}i y ，所以，追赶法具有计算量小，占用内存单元少的特点。
2、误差分析⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n n l u u u U 121....111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nl a l a l a l L ....33221)1,...,3,2,1(-=n i ⎪⎩⎪⎨⎧+===+++11111i i i i ii i lu a b u l c l b ⎪⎩⎪⎨⎧-===+++ii i i ii i u a b l l c u b l 11111/)1,...,3,2,1(-=n i病态方程组与条件数一个线性方程组Ax=b 是由它的系数矩阵A 和它的右端项b 所确定，在实际问题中，由于各种原因，A 或b 往往有误差，从而使得解也产生误差。
简单微分方程求解及导弹追踪问题
-75
0.5
1
1.5
简单微分方程求解及导弹追踪问题
• 通过实际操作可知，除了上述两类方程外，用精 确求解都比较困难，为此必须考虑数值解问题。
• 微分方程数值解
• 在区间[1，4]上求出微分方程 ,的数值 xy'x2ysin x10
@@D@DHLHL@DD 解，并作出数值解的图形。 xx11
简单微分方程求解及导弹追踪问题
• 运行即可（图39）。 这里要注意的是：1） 要使得到的数值能运 算，必须使用命 令”Evalute”;2）得 到的数值解只在求解 范围内才意义（这里 即为区间[1，4]）。
15 10 5
-1 -0.5 -5
0.5 1 1.5 2
实验 8 简单微分方程求解及导弹追踪问题
• 内容提要 • 在实际问题中，我们要要研究的往往是变动的量
以及它们之间的关系，由于这些量是时刻变，而 要用微分方程来表达，从而寻求微分方程的解成 为一个十分重要的任务，这里我们首先给出利用 Mathematia解微分方程的方法，以及求微分方程 数值解的方法，最后给出“导弹追踪及其模拟” 的演示。
• 解 打开Mathematica后键入： DSolve y ' x Š E ^ y x , y x , x
• 并运行，即得到微分方程得解为
y x ® -Log -x + C 1
• 下面我们在同一坐标系中作出这个微分方程的积 分曲线（对应C=-3,-2,-1,0,1,2,3）,我们键入
• 运行即得积分曲线图37（我们将在下册利用多元 函数等值线同样可以作出微分方程的积分曲线）.
@@@HD8L8 <D<D • 为在同一坐标系中作出这个微分方程的积分曲线（对 应），只须键入： t = Table c * E ^ E ^ x , c, -3, 3 ; Plot Evaluate t , x, -1, 1.5
追赶法的数学理论
1、 追赶法的数学理论设系数矩阵为三对角矩阵则方程组Ax=f称为三对角方程组。
设矩阵A非奇异，A有Crout分解A=LU，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵，记可先依次求出L，U中的元素后，令Ux=y，先求解下三角方程组Ly=f 得出y，再求解上三角方程组Ux=y。
事实上，求解三对角方程组的2追赶法将矩阵三角分解的计算与求解两个三角方程组的计算放在一起，使算法吏为紧凑。
其计算公式为：二、追赶法的算法和流程图算法:1) u(1)=r(1)/a(1),v(1)=c(1)/a(1).2)dui k=2,3,…n-1,zuo yi xia cao zuo:(1)u(k)=(r(k)-u(k-1)*b(k))/(a(k)-v(k-1)*b(k)).(2)v(k)=c(k)/(a(k)-v(k-1)*b(k)).3)u(n)=r(n)-u(n-1)*b(n))/(a(n)-v(n-1)*b(n)).4)x(n)=u(n).5)dui k=n-1,…,2,1,ji suan x(k)=u(k)-v(k)*x(k+1).三、追赶法的Matlab实现functionx=chase (a,b,c,f)chasen=length(b);ifn-1==length(a)fori=n-1:-1:1a(i+1)=a(i);endend%将a设置为n维向量c(1)=c(1)/b(1);f(1)=f(1)/b(1);fori=2:n-1b(i)=b(i)-a(i)*c(i-1);c(i)=c(i)/b(i);f(i)=(f(i)-a(i)*f(i-1))/b(i);endf(n)=(f(n)-a(n)*f(n-1))/(b(n)-a(n)*c(n-1)); fori=n-1:-1:1f(i)=f(i)-c(i)*f(i+1);endx=f;四、追赶法的算例实现clear all;a=[-4,-4,-4,-4];b=[1,1,1];c=[1,1,1];r=[1,1,1,1]; n=length(a);b=[0,b];u(1)=r(1)/a(1);v(1)=c(1)/a(1);for k=2:n-1u(k)=(r(k)-u(k-1)*b(k))/(a(k)-v(k-1)*b(k)); v(k)=c(k)/(a(k)-v(k-1)*b(k));endu(n)=(r(n)-u(n-1)*b(n))/(a(n)-v(n-1)*b(n)); x(n)=u(n);for k=n-1:-1:1x(k)=u(k)-v(k)*x(k+1);endfprintf('Èý¶Ô½Ç·½³Ì×éµÄ½âΪ\n') for k=1:nfprintf('x(%1d)=%10.8f\n',k,x(k)) end>> li10_24fun三对角方程组的解为x(1)=-0.36363636x(2)=-0.45454545x(3)=-0.45454545x(4)=-0.36363636>>。
数值分析追赶法实验报告
x(4) = y(4)
For k = 3 To 1 Step -1
x(k) = y(k) - m(k) * x(k + 1)
—2—
Next For n = 1 To 4 Print "方程组的解为"; x(n) Next End Sub 实验结果：
—3—
xn yn xi yi ixi1
(i n 1,n 2,,2,1)
—1—
实验报告
辽宁科技大学 研究生 学院（系）
课名：数值分析
题目：追赶法
2012 年 10 月 9 日
班级：研 12 姓名：
学号：
专业：机械工程 任课教师：
实验程序：
Private Sub Command1_Click()
Dim y(4), x(4), m(4), c(3), b(4), a(4), f(4)
For i = 2 To 3
m(i) = c(i) / (b(i) - a(i) * m(i - 1))
Next
y(1) = f(1) / b(1)
For j = 2 To 4
y(j) = (f(j) - a(j) * y(j - 1)) / (b(j) - a(j) * m(j - 1))
Next
1、分解系数公式
1 c1 / b1 i ci / (bi aii1) (i 2,3,,n 1) i bi ii1 (i 2,3,,n) i i
2、方程组求解公式
解 Ly f
y1 f1 / b1 yi ( fi i yi1) / (bi ii1) 解 Ux y
(i 2,3,,n)
实 验 : 追赶法
实验目的：
1. 熟悉追赶法的程序设计；
3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题)
D
化简：
d y dt x 2 a dx dx
2
（1）
0
x
x (c, 0) 微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
d2y dt x 2 a dx dx
ds 又 b dt
s表示弧长
dt dt ds 1 dy 2 1 ( ) dx ds dx b dx
(2)
结合(1)、(2)得到如下微分方程：
微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
y
(4) 用MATLAB软件仿真法
R (0, at)
D
当建立动态系统的微分方程模型很困难时， 我们可以用计算机仿真法对系统进行分析研究。 所谓计算机仿真就是利用计算机对实际动态系 y 统的结构和行为进行编程、模拟和计算，以此 0 来预测系统的行为效果。
(c, 0) 走私船初始位在点 (0,0)，方向为y轴正方向，缉私艇的初始位在点 (c,0)，
dsolve('Dy=x+x*y','x') Ans=-1+exp(1/2*x^2)*C1 Matlab
dy 1 x r c r dx 2 c x y (c ) 0
dsolve('Dy=1/2*((x/c)^r-(c/x)^r)','y(c)=0','x') ans=1/2*exp(-r*(log(c)-log(x)))*c^r*(1/c)^r/(r+1)*x+ 1/2*exp(r*(log(c)-log(x)))/(-1+r)*x1/2*c*(-(1/c)^r*c^r+c^r*(1/c)^r*r+r+1)/(r^2-1)
第4节 追赶法
b1 a 2
2 n 1 1 第3列
i 2,3,, n
于是，由以上结果： ci i i , i 1,2,, n
bi i i 1 i , i 1,2,, n ai i , i 2,3,, n
1 1 1 b2 c2 2 2 1 a 3 b3 3 3 c n 1 a n bn n n 0 0 ai ai i 1 0,,0, i , i ,0,,0 i 2 i, 1 i-1列 i -1行 0 0 i-1列 c1
2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2
1 2 1 0 0
0 2 3 1 0
0 0 3 4 1
求解方程组Ly＝y，即
2 1 0 0 0 3 2 1 0 0 0 4 3 1 0 1 0 y1 y 2 0 0 y 3 0 5 y4 1 4
i ai , i 2,3,, n 1 b1 i bi i i 1 , i 2,3,, n
i i
ci , i 1,2, , n 1
1 ． 2
1 b1
对于i＝1，2，…，n－1，计算
i
3
i i 1 bi 1 ai 1 i y1 b1 / a1
5. 如何实现解三对角矩阵方程组的追赶法的计算程序? 如何用该算法进行三次样条函数的构造？
此时，在完成并存贮矩阵L和U后，右端项第改变一次仅 需增加 n2 次运算。
微分方程的边值问题【最新】
微分方程边值问题的数值方法本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。
二阶常微分方程为(,,),y f x y y a x b '''=≤≤(1.1)当(,,)f x y y '关于,y y '为线性时，即(,,)()()()f x y y p x y q x y r x ''=++，此时(1.1)变成线性微分方程()()(),y p x y q x y r x a x b '''--=≤≤(1.2)对于方程(1.1)或(1.2)，其边界条件有以下3类： 第一类边界条件为(),()y a y b αβ==(1.3)当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。
第二类边界条件为(),()y a y b αβ''==(1.4)当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。
第三类边界条件为0101()(),()()y a y a y b y b ααββ''-=+=(1.5)其中00000,0,0αβαβ≥≥+>，当10α=或者10β=称为齐次的，否则称为非齐次的。
微分方程(1.1)或者(1.2)附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。
1 打靶法介绍下面以非线性方程的第一类边值问题(1.1)、(1.3)为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。
【原理】假定()y a t '=，这里t 为解()y x 在x a =处的斜率，于是初值问题为(,,)()()y f x y y y a y a t α'''=⎧⎪=⎨⎪'=⎩(1.6)令z y '=，上述二阶方程转化为一阶方程组(,,)()()y zz f x y z y a z a tα'=⎧⎪'=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (1.7)原问题转化为求合适的t ，使上述初值问题的解(,)y x t 在x b =的值满足右端边界条件(,)y b t β=(1.8)这样初值问题(1.7)的解(,)y x t 就是边值问题(1.1)、(1.3)的解。
解三对交线方程组的追赶法
VS
矩阵元素的微小变化
在三对交线方程组中，矩阵元素的微小变 化可能会导致解的巨大变化。这种敏感性 使得追赶法在面对某些问题时表现出数值 不稳定性。
提高数值稳定性和减小误差方法
选择合适的算法参数
在追赶法中，可以通过选择合适的算法参数来提高数值稳定性。例如，可以采用部分选主元策略来避免矩阵元素的微 小变化对解的影响。
优缺点分析
优点
追赶法具有计算量小、存储量低、易于编程实现等优点。对于大规模的三对角 线性方程组，追赶法通常比其他方法更加高效。
缺点
追赶法的适用范围有限，仅适用于系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组。此外， 当系数矩阵不满足对角占优等条件时，追赶法可能无法收敛或收敛速度较慢。
Part
02
三对交线方程组数学模型建立
问题描述与定义
三对交线方程组
在二维平面上，给定三对直线，每对直线相交于一个点，这三对交线构成的方程组称为三对交线方程 组。
求解目标
通过给定的三对交线信息，求解出这三对直线的交点坐标。
数学模型构建方法
直线方程表示
在二维平面上，一条直线可以用一般式方程 $Ax + By + C = 0$ 表示，其中 $A, B$ 不同时为0。
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回代过程
从最后一个方程开始，依次将已知量代入方程求 解，得到未知量的值。此过程称为回代过程。
关键算法实现技巧
存储优化
追赶法中的系数矩阵是三对角 的，因此可以采用一维数组进 行存储，节省存储空间。
消元技巧
在消元过程中，需要注意消元 顺序和消元系数的选择，以确 保消元过程的稳定性和效率。
回代技巧
在回代过程中，需要按照正 确的顺序将已知量代入方程 求解，避免计算错误。
实验五常微分方程及追击问题
从此结果可以看出，当 k 267 时迭代结束，此时追赶的时间为 t 0.1335 小时， y267 0.667497 说明敌艇航行了 0.667497 海里被缉 私艇追上，这和前面的结果基本上一致。
另外，可以在程序中将 v0 改变进行模拟，而从运行结果来看 v0 不 会改变敌艇被追上时的航行路程，改变的只是被追击上的时间。
y1 y2 2v0t sin1
方向由
P2
点指向
M2
点，即2
arctan
v0 2t 1 x2
y2
；
于是，可以得到仿真的迭代格式为：
xk1 xk 2v0t cosk
yk 1
yk
2v0t
sink
其中
k
arctan kv0t yk 1 xk
e2x
即方程的通解为 y ln( 2 C) 。
2
实验五 常微分方程及追击问题
下面在同一坐标系中做出这个微分方程的 6 条积分曲线，如 图 1（其中分别对应 C 0,1, 2, 3, 4, 5 ）。
2019/5/19
3.5 3.0 O u t [ 3 ] = 2.5 2.0
1.2
1.4
1.6
运行后也可得
y(1)
2 3
，即走私船航行
2 3
海里时被缉私艇追上。
2019/5/19
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实验五 常微分方程及追击问题
（二）仿真方法：即模仿真实事件的行为和过程。
在这个问题上，就是一步步地以时间间隔为 t 来模拟缉私艇追踪
敌艇的实际过程。
如图，当 t 0 时，敌艇在 M 0 (1, 0) 处，缉私艇在 P0 (x0 0, y0 0) 处，
追赶法
追赶法例题
例 用追赶法解下面三对角方程组
3 1 0 0 x1 10
1
4
1
0
x2
11
0 0
1 0
6 2
1 8
x3 x4
30
4 8
5
此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两次对角线
上，称为三对角矩阵。方程组称为三对角方程组。
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追赶法（续）
定理：设三对角方程组系数矩阵满足下列条件：
b1 bi
c1 ai
0 ci
bn
an
0
则它可分解为
aici 0(i 2,3,
, n 1)
1
l
2
1
u1 c1
u2 c2
A LU
l3 1
ln 1 cn1u n 其 中 ci (i 1, 2, , n 1)为 已 给 出 的 ， 且 分 解 是 唯 一 的
2
追赶法的计算公式
A LU 分解公式：
u1 li
b1 ai
/
u i 1
(i 2,3,
,m)
ui bi ci1li
解Ly d得：
y1 d1
yk
iiiiinnnnnnnnnxdbcxdabcxdabcaxdabcxdabxd?????????????????????????????????????????????????????????????????????????在数值计算中如三次样条插值或用差分方法解常微分方程边值问题常常会遇到求解以下形式的方程组简记此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两次对角线上称为三对角矩阵
算 量 。 可 证 ,当 系 数 矩 阵 为 严 格 对 角 占 优 时,此 方 法 具 有 良 好 的
追赶法(经典计算)
一、算法理论在一些实际问题中，例如解常微分方程边值问题，解热传导方程以及船体数学放样中建立三次样条函数等，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角线方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n n n n n n n n n f f f f x x x x b a c b a c b a c b 12112111122211M M O O O ， 简记为f Ax =. 求解f Ax =等价于解两个三角形方程组：y f Ly 求,=；x y Ux 求,=.从而得到解三对角线方程组的追赶法公式：(1)计算{}i β的递推公式();1,,3,2,/,/111-=-==n i a b c b c i i i i i Λβββ(2) 解f Ly =()();,,3,2,/,/11111n i a b y a f y b f y i i i i i i i Λ=--==--β(3)解y Ux =.1,2,2,1,,1Λ--=-==+n n i x y x y x i i i i n n β我们将计算系数的过程称为追的过程，及n n y y y →→→→→→-ΛΛ21121βββ将计算方程组的解的过程称为赶的过程。
11x x x n n →→→-Λ二、算法框图三、算法程序#include <stdio.h>#include <math.h>#include<stdlib.h>#define N 20double a[N], b[N], c[N-1], f[N], r[N];int n;void LUDecompose(); // LU分解void backSubs(); // 回代void main(){printf("请输入方程的维数n＝");scanf("%d",&n);getchar();if(n>N||n<=0){printf("由于该维数过于犀利, 导致程序退出!");return;}printf("\n输入下三角元素\n");printf("输入%d个a值: ", n-1);for (int i=1; i<n; i++)scanf("%lf", &a[i]);getchar();printf("\n输入主对角线元素\n");printf("输入%d个b值: ", n);for (i=0; i<n; i++)scanf("%lf", &b[i]);getchar();printf("\n输入上三角元素\n");printf("输入%d个c值: ", n-1);for (i=0; i<n-1; i++)scanf("%lf", &c[i]);getchar();printf("\n输入%d个方程组右端项: \n", n);for (i=0; i<n; i++)scanf("%lf", &f[i]);getchar();LUDecompose();backSubs();printf("\n线性方程组的解为: \n");for (i=0; i<n; i++)printf("x%d=%lf\n", i+1, f[i]);}void LUDecompose(){ //α被b取代, β被c取代, 以节省存储空间c[0]=c[0]/b[0];for(int i=1;i<n-1;i++){r[i]=a[i];b[i]=b[i]-r[i]*c[i-1];c[i]=c[i]/b[i];}r[i]=a[i];b[i]=b[i]-r[i]*c[i-1];}void backSubs(){ // y被f取代, x也被f取代, 以节省存储空间f[0]=f[0]/b[0];for(int i=1; i<n; i++)f[i]=(f[i]-r[i]*f[i-1])/b[i];f[n-1]=f[n-1];for(i=n-2;i>=0;i--)f[i]=f[i]-c[i]*f[i+1];}四、 算法实现例1．用该程序计算三对角线方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2100012100012100012100012A －－－－－－－－＝， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00001b 计算其方程组的解。
拉格朗日追踪法
拉格朗日追踪法是一种求解常微分方程的数值方法。
这种方法基于拉格朗日方程，通过对系统的动态追踪来求解微分方程。
以下是这个方法的基本原理和应用实例。
原理：拉格朗日追踪法的基本思想是，通过追踪一个与原微分方程相切的路径来求解微分方程。
这个路径是由一组拉格朗日方程定义的，这些方程描述了系统在给定初始条件下的动态行为。
这种方法的关键在于找到一个合适的追踪路径，使其在足够短的时间内接近微分方程的解。
应用：假设我们正在求解如下的一阶常微分方程：dy/dx = 2x，初始条件是y(0) = 1。
首先，我们需要找到一个合适的追踪路径。
在这个例子中，我们可以选择一个拉格朗日函数L(x, y) = y - x，它满足拉格朗日方程dL/dx = 2x - dx/dy。
这使我们能够使用拉格朗日追踪法求解这个微分方程。
我们可以用迭代的方式来找到这个追踪路径。
设初始猜测值为(x0, y0)，初始迭代点为(x1, y1)。
迭代过程如下：1. 计算新的追踪路径的坐标(x1, y1)，根据拉格朗日函数和当前迭代点的微分结果，得到：(x1, y1) = (x0 + dx, y0 + dL(x0, y0)/dx)。
2. 如果满足停止条件（例如，迭代点的改变量小于某个阈值），则退出迭代，输出最终的追踪路径(x1, y1)。
否则，更新初始猜测值(x0, y0) = (x1, y1)。
在迭代过程中，我们不断调整初始猜测值以接近真实的解。
这种方法对于求解初值敏感的一阶常微分方程非常有效。
总结：拉格朗日追踪法是一种求解常微分方程的有效方法，通过追踪一个与原微分方程相切的路径来求解微分方程。
这种方法的关键在于找到一个合适的追踪路径，使其在足够短的时间内接近微分方程的解。
在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的拉格朗日函数和停止条件，以提高求解的精度和效率。
请注意，这只是一种可能的解释和应用，具体的实现方法可能会因问题而异。
在使用这种方法时，需要理解其原理并根据实际情况进行调整。