2012上海市高考数学试卷及答案(理数)

2012年上海高考数学（理科）试卷

一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：

i

i

+-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A = .

3．函数1

sin cos 2)(-=

x

x x f 的值域是 .

4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角

函数值表示）.

5．在6

)2(x

x -的二项展开式中，常数项等于 .

6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21

为公比的等比数列，体积分别记为

V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞

→)(lim 21n n V V V .

7．已知函数|

|)(a x e

x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范

围是 .

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9．已知2

)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角

6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则

=)(θf .

11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π

, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别

是边BC 、CD |

|||CD CN BC BM =

，则AN AM ⋅的取值范围是 . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).

函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .

14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.

若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为

常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+

是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则

（ ）

（A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b . 16．在ABC ∆中，若C B A 2

2

2

sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是

（ ）

（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定.

17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5

510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的

概率均为0.2，随机变量2ξ取值

2

21x x +、

2

3

2x x +、

2

4

3x x +、

2

5

4x x +、

2

15x x +的概率也为0.2.

若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则

（ ）

（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD . （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.

18．设251sin π

n n n a =，n n

a a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是 （ ） （A ）25. （B ）50. （C ）75.

（D ）100. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求：

（1）三角形PCD 的面积；（6分）

（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）

20．已知函数)1lg()(+=x x f .

（1）若1)()21(0<--

（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数

)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）

A

B

C

D

A

B

C

P

E

21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线

24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救

援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.

（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时

两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8

22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:2

21=-y x C .

（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；（4分）

（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆12

2

=+y x 相切，求证： OP ⊥OQ ；（6分）

（3）设椭圆14:2

2

2=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ， 求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分）

23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集

},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X

具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P .

（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）

（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）

（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通 项公式.（8分）