2012上海市高考数学试卷及答案(理数)
2012天津市高考数学试卷及答案(理数)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第n (非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I卷1至2页，第n卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式：•如果事件A, B互斥，那么P(A B) =P(A) P(B) •如果事件A, B相互独立，那么P(AB)二P(A)P(B)•棱柱的体积公式V =Sh 其中S表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高。
4 3 -球的体积公式V R33其中R表示球的半径、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) i是虚数单位，复数=3+i(A) 2 + i (B) 2 -i(C) -2 + i ( D) -2 -i(2 )设R,则“ =0 ”是“ f(x) COS(x •「)(x • R)为偶函数”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分与不必要条件(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为-25时，输出x的值为(A) -1 (B) 1(C) 3 ( D) 9(4)函数f (x) = 2x x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是(A) 0 ( B) 1(C) 2 ( D) 32 1 5(5)在(2x --)的二项展开式中，x的系数为x(A) 10 ( B) -(C) 40 (D) -40(6)在ABC中，内角A，B, C所对的边分别是a,b,c，(B )仁'2(D )(8)设 m, n R ，若直线(m 1)x (n 1)y -2 = 0与圆(x - 1)2 (y -1)2 = 1 相切，则 m + n 的取值范围是(A ) [1 - .3,1、3](D )(-二,2 -2、. 2] [2 2 . 2,二)第口卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
高考成人数学试卷及答案
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，不是无理数的是：A. √2B. πC. 0.333...D. √92. 已知函数f(x) = 2x + 3，若f(2) = 7，则f(3)的值为：A. 11B. 8C. 9D. 103. 在△ABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则△ABC是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形4. 下列不等式中，正确的是：A. 3x > 2x + 1B. 2x < 3x - 1C. 3x ≤ 2x + 2D. 2x ≥ 3x - 25. 若x² - 5x + 6 = 0，则x的值为：A. 2 或 3B. 1 或 4C. 2 或 4D. 1 或 3二、填空题（每题5分，共20分）6. 若|a| = 5，则a的值为______。
7. 函数f(x) = x² - 2x + 1的顶点坐标为______。
8. 若sinθ = 1/2，且θ在第二象限，则cosθ的值为______。
9. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10的值为______。
10. 圆的方程x² + y² = 16的圆心坐标为______。
三、解答题（每题20分，共80分）11. （10分）已知函数f(x) = x³ - 3x² + 4x - 1，求f(x)的对称轴方程。
12. （10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1 = 1，S2 = 3，求数列{an}的通项公式。
13. （10分）在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(-3, 1)，求线段AB的长度。
14. （10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，公差d = 3，求Sn的表达式。
15. （10分）在△ABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，若a=6，b=8，c=10，求角A的正弦值。
2012年上海高考数学试题(理数)
π ， 6
第 3页
【答案】
1 π sin( − θ ) 6 1 ( x − 2) ，将此 2
【解析】根据该直线过点 M ( 2,0) ，可以直接写出代数形式的方程为： y =
化成极坐标系下的参数方程即可 ，化简得 f (θ ) =
1 . π sin( − θ ) 6
【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小 题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可 .对于不常见的曲线的参数方程不作要 求.本题属于中档题，难度适中. 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 【答案】 （结果用最简分数表示）.
1 为公比的等比数列，体积分别记为 2
.
V1，V2， ⋯，Vn， ⋯ ，则 lim (V1 + V2 + ⋯ + Vn ) =
n→∞
【答案】
8 7 1 为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了 2 1 1− 1 8 = 8 . 7
【解析】由正方体的棱长组成以 1为首项，
一个以 1 为首项，
1 为公比的等比数列，因此， lim (V1 + V2 + ⋯ + Vn ) = n →∞ 8
【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义 . 考查知识较综合. 7．已知函数 f ( x) = e | x − a| （ a 为常数）.若 f ( x ) 在区间 [1, +∞) 上是增函数，则 a 的取值范 围是 .
【答案】 (− ∞,1] 【解析】根据函数 f ( x ) = e
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2012高考数学复习最新3年高考2年模拟--极限
【3年高考2年模拟】第十五章 极限第一部分 五年高考荟萃2011年高考题一、选择题1.（重庆理. 3）已知lim()x ax x x →∞2-1+=2-13，则a =（A ）-6 (B) 2 (C) 3 (D) 6 答案 D二、填空题2.（上海文. 2）计算3lim(1)3n nn →∞-+=答案 2- 3. 在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________答案 74 三、简答题4.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设实数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足11,()n n n S a S n N *++=∈（Ⅰ）若122,,2a s a -成等比数列，求2S 和3a ；（Ⅱ）求证：对3k ≥有1403k k a a +≤≤≤解：（Ⅰ）由题意22212222211222S a a S S S a S a a ⎧=-⇒=-⎨==⎩，因为20S ≠所以22S =-； 由22333232213S S a S a S a S +==⇒==-；（Ⅱ）易见11,1n n S a +≠≠，所以1111111,11n n n n n n n n n n n n n S aS a S S a a S a S S a +++++++=⇒+=⇒==--；从而3k ≥时有：11211211211121111111111k k k k k k k k k k k k k k k k a a S a S a a a a S a S a a a a ---------------++-====-+--++--因为22111131()024k k k a a a ----+=-+>，且210k a -≥，所以0k a ≥； 要证43k a ≤，只要证21211413k k k a a a ---≤-+， 即证22221111113444440(2)0k k k k k k a a a a a a ------≤-+⇔-+≥⇔-≥此式显然成立， 所以3k ≥时有43k a ≤。
高考数学真题专题(理数)回归分析与独立性检验
专题十一 概率与统计第三十三讲 回归分析与独立性检验一、选择题1．（2017山东）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为A ．160B ．163C ．166D ．1702．（2015福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归本线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为A ．11．4万元B ．11．8万元C ．12．0万元D ．12．2万元 3．（2014重庆）已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为A ．0.4 2.3y x =+B ．2 2.4y x =-C ．29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+ 4．（2014湖北）根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则 A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b < D ．0a <，0b > 5．（2012新课标）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为A ．−1B ．0C ．12D ．16．（2014江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是7．（2012湖南）设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i =1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0．85x -85.71，则下列结论中不正确．．．的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 8．（2011山东）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、解答题9．（2018全国卷Ⅱ）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，，…，）建立模型①：ˆ30.413.5=-+yt ；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立模型②：ˆ9917.5=+yt ． (1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．10．(2016年全国III)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=≈2.646.参考公式：相关系数()()ni it t y y r --=∑ 回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，=.a y bt -11．（2015新课标1）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中i w =w =1881i i w =∑．（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，⋅⋅⋅，(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 12．（2014新课标2）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121nii i ni i tty y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =- 13．（2012辽宁）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.（I ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？（II ）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性.若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ， 附：。
高考数学试卷模板及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 下列各数中，有理数是：A. √2B. πC. 1/3D. -√3答案：C3. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 若log2x + log2(x + 2) = 3，则x的值为：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B5. 函数y = x^2 - 4x + 4的图像与x轴的交点个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A6. 若sinA + sinB = 1，cosA + cosB = 1，则sin(A + B)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 不确定答案：A7. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的夹角余弦值为：A. 1/2B. 1/√2C. √2/2D. 1答案：C8. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2 + b^2 = 2c^2，则△ABC为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：B9. 已知函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且过点(1, 4)，则a的取值范围为：A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 0答案：A10. 若log2x - log2(2x - 1) = 1，则x的值为：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
）11. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项a10的值为______。
答案：a10 = 2 + 9d = 2 + 9×3 = 2912. 函数y = log2x + 3的图像向右平移2个单位后，得到的函数解析式为______。
高考真题数学试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^2 - 3D. x^2 + 3答案：A2. 下列各数中，不是无理数的是（）A. √2B. πC. 0.1010010001...D. √(9/16)答案：D3. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，2，3，则该数列的公差d = （）A. 1B. 2C. 3D. 0答案：B4. 已知复数z = 1 + 2i，则|z| = （）A. 1B. 2C. √5D. 3答案：C5. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则S3 = a1 + a2 + a3 = （）A. a1q^2B. a1(1 + q + q^2)C. a1(1 - q^3) / (1 - q)D. a1(1 - q^2)答案：B6. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^4答案：C7. 若直角三角形ABC中，∠C = 90°，a = 3，b = 4，则斜边c的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A8. 已知圆C：x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则圆心C的坐标为（）A. (2, 3)B. (2, -3)C. (-2, 3)D. (-2, -3)答案：A9. 若直线l的斜率为k，且直线l与x轴的交点为(1, 0)，则直线l的方程为（）A. y = kx + kB. y = kx - kC. y = -kx + kD. y = -kx - k答案：A10. 已知函数f(x) = e^x - x，则f'(x) = （）A. e^x - 1B. e^x + 1C. e^x - xD. e^x + x答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高考数学 集合与常用逻辑用语考点及知识点总结解析(理科)
②若B≠∅，则2mm＋－11≥≥－m2＋，1， 2m－1≤5.
解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为 (－∞，3]．
[答案] (－∞，3]
[易错提醒] 将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条 件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等 式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把 端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 集合子集个数的判定
含有n真子集的个数为2n－2(除空集 和集合本身，此时n≥1)．
[例1] 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x
＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由
题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的集合C为{1,2}，{1,2,3}，
{1,2,4}，{1,2，3,4}，共4个．
[答案] D
[易错提醒] (1)注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是 任何非空集合的真子集． (2)任何集合的本身是该集合的子集，在列举时千万 不要忘记．
∵
2x
－
3>0
，
∴
x>
3 2
，
∴
B
＝
3 xx>2
.
∴
A∩B
＝
{x|1<x<3}∩xx>32 ＝32，3. [答案] D
高考历年数学试卷及答案
一、选择题1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. 2πC. 0.1010010001…（无限循环小数）D. 3.1415926535…答案：B解析：无理数是不能表示为两个整数比的数，选项A为整数，选项C为无限循环小数，选项D为圆周率，均为有理数。
选项B为2π，π是无理数，所以2π也是无理数。
2. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为（1，2），则a、b、c的取值分别为（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a<0，b<0，c<0D. a<0，b>0，c<0答案：B解析：二次函数的图像开口向上时，a>0。
顶点坐标为（1，2），则代入函数得f(1) = a + b + c = 2。
由于a>0，故b和c的取值可以为任意实数，但题目要求选项中只有一个正确，所以选B。
3. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^4答案：B解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)。
选项A、C、D中，当x=0时，f(0) = 0，不满足奇函数的定义。
选项B中，f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)，满足奇函数的定义。
二、填空题4. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1 + a4 = 20，则a3 = （）答案：14解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中d为公差。
由题意得a1 + a4 = a1 + (4-1)d = 20，代入公差d=2，得a1 + 6 = 20，解得a1 = 14。
所以a3 = a1 + 2d = 14 + 22 = 18。
5. 若log2x + log2(x+2) = 3，则x的值为（）答案：4解析：根据对数的运算法则，log2x + log2(x+2) = log2(x(x+2)) = 3。
2012年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分)1．(4分）(2012•上海）计算：=1﹣2i(i为虚数单位)．考点: 复数代数形式的乘除运算．专题: 计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i,再由进行计算即可得到答案解答：解：故答案为1﹣2i点评:本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2．（4分)（2012•上海）若集合A={x｜2x﹣1＞0}，B={x｜|x|＜1},则A∩B=（,1）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析:由题意,可先化简两个集合A,B，再求两个集合的交集得到答案解答:解：由题意A={x｜2x﹣1＞0｝=｛x｜x＞｝，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B=（，1）故答案为（，1)点评：本题考查交的运算，是集合中的基本题型，解题的关键是熟练掌握交集的定义3．（4分）（2012•上海）函数的最小正周期是π．考点: 二阶矩阵;三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简,最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．解答：解：=sinxcosx+2=sin2x+2∴T==π∴函数的最小正周期是π故答案为:π点评:本题主要考查了二阶行列式,以及三角函数的化简和周期的求解，同时考查了运算求解能力,属于基础题．4．（4分)（2012•上海）若是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）考点: 平面向量坐标表示的应用．专题: 计算题．分析：根据直线的方向向量的坐标一般为(1，k)可得直线的斜率，根据tanα=k，最后利用反三角可求出倾斜角．解答:解：∵是直线l的一个方向向量∴直线l的斜率为即tanα=则l的倾斜角的大小为arctan故答案为:arctan点评:本题主要考查了直线的方向向量，解题的关键是直线的方向向量的坐标一般为（1，k），同时考了反三角的应用，属于基础题．5．(4分）（2012•上海)一个高为2的圆柱,底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．解答：解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为:1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．点评:本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1﹣3=0的解是x=log23．考点: 有理数指数幂的运算性质．专题：计算题．分析：根据指数幂的运算性质可将方程4x﹣2x+1﹣3=0变形为（2x)2﹣2×2x﹣3=0然后将2x 看做整体解关于2x的一元二次方程即可．解答:解：∵4x﹣2x+1﹣3=0∴（2x)2﹣2×2x﹣3=0∴（2x﹣3）（2x+1)=0∵2x＞0∴2x﹣3=0∴x=log23故答案为x=log23点评：本题主要考差了利用指数幂的运算性质解有关指数类型的方程．解题的关键是要将方程4x﹣2x+1﹣3=0等价变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x看做整体再利用因式分解解关于2x的一元二次方程．7．(4分）(2012•上海)有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…,则（V1+V2+…+V n)═．考点: 数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析:由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则(V1+V2+…+v n）==故答案为:点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题8．（4分）(2012•上海）在的二项式展开式中,常数项等于﹣20．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r,从而可求出常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3 常数项为（﹣1)3=﹣20故答案为：﹣20点评:本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．(4分)（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x)+2且g（1)=1，则g(﹣1）=3．考点: 函数奇偶性的性质;函数的值．专题：计算题．分析：由题意y=f（x）是奇函数，g（x)=f（x）+2得到g（x）+g(﹣x）=f（x）+2+f(﹣x)+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4,从而解出答案解答:解:由题意y=f（x）是奇函数，g（x)=f（x）+2∴g（x）+g(﹣x）=f(x)+2+f（﹣x）+2=4又g（1）=1∴1+g（﹣1)=4，解得g（﹣1）=3故答案为：3点评:本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得的恒等式通过赋值求函数值10．(4分）（2012•上海）满足约束条件|x|+2|y｜≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是﹣2．考点: 简单线性规划．分析：作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求解答：解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示由于z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小,z越小结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C（2,0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣2点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．11．（4分）（2012•上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）考点: 古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数,然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远;跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目,表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2种选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评:本题主要考查了古典概型及其概率计算公式,解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．12．（4分）（2012•上海）在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[1，4]．考点：平面向量数量积的运算．专题: 计算题．分析：先以所在的直线为x轴,以所在的直线为x轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系,表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围,做出函数的范围，即要求得数量积的范围．解答：解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为x轴，建立坐标系如图，∵AB=2，AD=1，∴A（0,0)，B（2，0),C（2，1），D（0，1)，设M（2，b），N（x,1），∵，∴b=∴，=(2，)，∴=，∴1，即1≤≤4故答案为：[1，4]点评：本题主要考查平面向量的基本运算，概念，平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是表示出两个向量的坐标形式，利用函数的最值求出数量积的范围，本题是一个中档题目．13．（4分）（2012•上海)已知函数y=f(x）的图象是折线段ABC，其中A（0,0）、、C(1，0）,函数y=xf（x）(0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；压轴题．分析：先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数f（x）的函数解析式，进而求得函数y=xf(x）（0≤x≤1)的函数解析式,最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可解答:解：依题意,当0≤x≤时，f（x）=2x,当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2∴f(x）=∴y=xf（x）=y=xf（x）(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为S=+=x3+（﹣+x2）=+=故答案为：点评：本题主要考查了分段函数解析式的求法，定积分的几何意义，利用微积分基本定理和运算性质计算定积分的方法，属基础题14．（4分）（2012•上海）已知，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1，a n+2=f(a n)，若a2010=a2012,则a20+a11的值是．考点: 数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题．分析：根据，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1，a n+2=f(a n），可确定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（负值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得结论．解答：解：∵，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1,a n+2=f（a n）,∴a1=1,，，a7=,，∵a2010=a2012，∴∴a2010=（负值舍去），由a2010=得a2008=…依次往前推得到a20=∴a20+a11=故答案为：点评：本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念．理解条件a n+2=f（a n），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．（5分）（2012•上海)若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则() A．b=2,c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3考点：复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a,b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解答：解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0,即∴,解得b=﹣2，c=3故选D点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程,本题考查了转化的思想,属于基本计算题16．(5分）（2012•上海）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆,根据椭圆的方程的定义,可以得出mn ＞0,即可得到结论．解答：解：当mn＞0时,方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0,且两个量不相等，得到mn ＞0;由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B．点评：本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等,本题是一个基础题．17．（5分）(2012•上海)在△ABC中,若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定考点: 三角形的形状判断．专题：三角函数的图像与性质．分析:利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2,再结合余弦定理作出判断即可．解答：解：∵在△ABC中，sin2A+sin2B＜sin2C,由正弦定理===2R得，a2+b2＜c2,又由余弦定理得:cosC=＜0，0＜C＜π,∴＜C＜π．故△ABC为钝角三角形．故选A．点评：本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．18．（5分）(2012•上海）若（n∈N＊），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16 B．72 C．86 D．100考点：数列与三角函数的综合．专题: 计算题；综合题；压轴题．分析：由于sin＞0,sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，可得到S1＞0,…S13＞0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．解答：解：∵sin＞0,sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0,∴S1=sin＞0，S2=sin+sin＞0，…，S8=sin+sin+…sin+sin+sin=sin+…+sin+sin＞0，…，S12＞0，而S13=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0，又S15=S14+sin=0+sin=S1＞0,S16=S2＞0，…S27=S13=0，S28=S14=0，∴S14n﹣1=0,S14n=0(n∈N*)，在1，2，…100中，能被14整除的共7项，∴在S1，S2,…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．故在S1，S2,…，S100中，正数的个数是86．故选C．点评:本题考查数列与三角函数的综合，通过分析sin的符号，找出S1，S2,…，S100中,S14n=0,S14n=0是关键，也是难点，考查学生分析运算能力与冷静坚持的态度,属于难题．﹣1三、解答题（本大题共有5题,满分74分）19．(12分)（2012•上海）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点,已知∠BAC=，AB=2，，PA=2，求：(1）三棱锥P﹣ABC的体积;（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示)考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：常规题型；综合题．分析：(1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形ABC的面积：S△ABC=，然后根据PA⊥底面ABC，结合锥体体积公式,得到三棱锥P﹣ABC的体积;（2）取BP中点E，连接AE、DE，在△PBC中，根据中位线定理得到DE∥BC,所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=，所以∠ADE=arccos是锐角，因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．解答：解：（1）∵∠BAC=，AB=2，，∴S△ABC=×2×=又∵PA⊥底面ABC,PA=2∴三棱锥P﹣ABC的体积为:V=×S△ABC×PA=；（2）取BP中点E，连接AE、DE，∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点∴DE∥BC，所以∠ADE(或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．∵在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2∴cos∠ADE==，可得∠ADE=arccos（锐角）因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．点评：本题给出一个特殊的三棱锥，以求体积和异面直线所成角为载体,考查了棱柱、棱锥、棱台的体积和异面直线及其所成的角等知识点,属于基础题．20．（14分）（2012•上海)已知f（x）=lg（x+1）（1)若0＜f(1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f(x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．考点：函数的周期性;反函数；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可;（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．解答：解：（1)f（1﹣2x）﹣f（x）=lg(1﹣2x+1）﹣lg(x+1）=lg(2﹣2x)﹣lg(x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg(x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．(2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈［0，1］，∴y=g（x)=g（x﹣2)=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈［0,lg2］，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2］．点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．21．（14分)（2012•上海)海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合．专题：应用题．分析:（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中,可得P的纵坐标，利用｜AP｜=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船，此时位置为(7t，12t2），从而可得vt=，整理得,利用基本不等式，即可得到结论．解答：解：（1）t=0.5时,P的横坐标x P=7t=,代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP｜=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为,当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键,属于中档题．22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2﹣y2=1．(1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积; （3)设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．考点: 直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质．专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想．分析：（1)求出双曲线的左焦点F的坐标,设M（x,y），利用｜MF｜2=(x+）2+y2，求出x 的范围,推出M的坐标．（2)求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点,然后求出平行四边形的面积．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切,得到b2=k2+1，通过求解=0．证明PO⊥OQ．解答:解：（1）双曲线C1：的左焦点F（﹣)，设M（x,y）,则｜MF|2=(x+)2+y2，由M点是右支上的一点，可知x≥，所以|MF｜==2，得x=,所以M（）．（2）左焦点F（﹣），渐近线方程为：y=±x．过F与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+）,即y=，所以,解得．所以所求平行四边形的面积为S=．(3)设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=k2+1…①，由,得（2﹣k2)x2﹣2bkx﹣b2﹣1=0,设P（x1，y1)，Q（x2,y2）,则，又y1y2=（kx1+b）(kx2+b）．所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==．由①式可知，故PO⊥OQ．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用,设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．23．(18分)（2012•上海）对于项数为m的有穷数列｛a n}，记b k=max｛a1，a2，…，a k｝（k=1，2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列｛b n｝是｛a n}的控制数列，如1，3，2，5,5的控制数列是1,3,3，5,5．(1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的｛a n｝．(2）设｛b n｝是｛a n}的控制数列，满足a k+b m﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…,m),求证:b k=a k （k=1，2，…,m）．（3）设m=100，常数a∈（，1），a n=a n2﹣n，{b n}是｛a n}的控制数列,求（b1﹣a1）+（b2﹣a2)+…+（b100﹣a100）．考点: 数列的应用．专题：综合题；压轴题;点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1)根据题意，可得数列｛a n｝为：2,3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2,3，4，5，4，；2,3，4，5，5;（2）依题意可得b k+1≥b k，又a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，从而可得a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，整理即证得结论；(3）根据，可发现，a4k﹣3=a(4k﹣3）2+（4k﹣3），a4k=a(4k﹣2）2+（4k﹣2）,a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k)2﹣4k,通过比较﹣2大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，a4k＞a4k﹣2，而a4k+1＞a4k，a4k﹣1﹣a4k﹣2=（a﹣1)（8k﹣3），从而可求得(b1﹣a1）+（b2﹣a2)+…+（b100﹣a100）=(a2﹣a3）+(a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1)=2525（1﹣a）．解答:解：（1)数列{a n｝为:2,3，4，5,1；2,3，4，5，2;2，3，4，5，3;2,3，4,5，4，；2,3，4，5，5;…4分（2)∵b k=max{a1，a2，…，a k}，b k+1=max{a1,a2，…，a k+1｝，∴b k+1≥b k…6分∵a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，∴a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，即a k+1≥a k,…8分∴b k=a k…10分(3）对k=1，2，…25，a4k﹣3=a(4k﹣3）2+(4k﹣3)，a4k﹣2=a（4k﹣2）2+（4k﹣2),a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k)2﹣4k，…12分比较大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，∵＜a＜1，∴a4k﹣1﹣a4k﹣2=(a﹣1)(8k﹣3）＜0，即a4k﹣2＞a4k﹣1；a4k﹣a4k﹣2=2（2a﹣1)（4k﹣1）＞0，即a4k＞a4k﹣2，又a4k+1＞a4k,从而b4k﹣3=a4k﹣3，b4k﹣2=a4k﹣2,b4k﹣1=a4k﹣2，b4k=a4k，…15分∴（b1﹣a1)+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100)=（a2﹣a3)+（a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1）=(1﹣a）（8k﹣3）=2525（1﹣a)…18分点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3)观察，分析寻找规律是难点，是难题．。
高三数学试题试卷及答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √252. 函数 f(x) = x^2 - 4x + 3 的图像与x轴的交点个数是（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定3. 已知向量 a = (1, 2)，向量 b = (3, 4)，则向量 a 与向量 b 的夹角余弦值是（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/54. 在等差数列 {an} 中，a1 = 3，公差 d = 2，则第10项 an = （）A. 19B. 20C. 21D. 225. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x^46. 已知三角形的三边长分别为 3, 4, 5，则该三角形的面积是（）A. 6B. 8C. 10D. 127. 函数 y = log2(x - 1) 的定义域是（）A. (1, +∞)B. (-∞, 1)C. (0, +∞)D. (-∞, 0)8. 下列命题中，正确的是（）A. 若 a > b，则 a^2 > b^2B. 若 a > b，则 |a| > |b|C. 若 a > b，则 -a < -bD. 若 a > b，则 a - b > 09. 在等比数列 {an} 中，a1 = 2，公比 q = 3，则第5项 an = （）A. 162B. 243C. 729D. 129610. 函数 y = 2^x 的图像在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、填空题（每小题5分，共25分）11. 函数 f(x) = x^3 - 3x 的极值点是 _______。
12. 已知等差数列 {an} 的前三项分别为 2, 5, 8，则公差 d = _______。
13. 向量 a = (2, -3) 与向量 b = (-1, 2) 的点积是 _______。
2012年高考数学试题及答案(全国卷理数2套)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．（5 分）（2012•新课标）已知集合 A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}， 则 B 中所含元素的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）（2012•新课标）设点 P 在曲线
上，点 Q 在曲线 y＝ln（2x）上，则|PQ|
最小值为（ ）
A．1﹣ln2
B．
C．1+ln2
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．（5 分）（2012•新课标）已知向量
夹角为 45°，且
＝
．
D． ，则
14．（5 分）（2012•新课标）设 x，y 满足约束条件：
A．A+B 为 a1，a2，…，an 的和 B． 为 a1，a2，…，an 的算术平均数
C．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最大的数和最小的数 D．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最小的数和最大的数 7．（5 分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的 三视图，则此几何体的体积为（ ）
21．（12 分）（2012•新课标）已知函数 f（x）满足 f（x）＝f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+ x2；
（1）求 f（x）的解析式及单调区间；
（2）若
，求（a+1）b 的最大值．
四、请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答 时请写清题号． 22．（10 分）（2012•新课标）如图，D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交△
20.三角函数的化简求值
1.广东省2012年高考数学考前十五天每天一练（4） 已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（D ） A ． 43-B ．54C ．34-D ．452.陕西省西工大附中2011届高三第八次适应性训练数学（文） 观察下列几个三角恒等式:①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++= ； ②tan13tan35tan35tan 42tan 42tan131++= ； ③tan 5tan100tan100tan(15)+-tan(15)tan 51+-=；一般地,若tan ,tan ,tan αβγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 .【答案】90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=当时3.陕西省咸阳市2012届高三上学期高考模拟考试（文科数学） sin 330 的值是（ ）A ．12 B. 12- C. D. 【答案】B4.2012北京宏志中学高考模拟训练-数学理cos300= （ ）(A)-12 (C)12【答案】C5.2012北京宏志中学高考模拟训练-数学理 已知2sin 3α=，则cos(2)πα-= （ ）（A ） （B ）19-6..山东省烟台市2012届高三五月份适应性练习 数学文（二）（2012烟台二模）22sin(250)cos 70cos 155sin 25-︒︒︒-︒的值为A ．B ．一12C ．12D 【答案】C7.山东省烟台市2012届高三五月份适应性练习 数学文（三）已知倾斜角为α的直线的值为则平行与直线α2tan 022，y x l =+- A.54 B.34 C.43 D.32 【答案】A4．（福建省厦门市2012年高中毕业班适应性考试）已知a ∈（3,2ππ），且cos 5α=-，则tan α DA ．43B ．一43C ．-2D ．22．（2011年江苏海安高级中学高考数学热身试卷）已知tan 2α=，则s i n ()c o s ()s i n ()c o s ()παπααα++--+-＝ ． 【答案】1贵州省五校联盟2012届高三年级第三次联考试题)10.如果33sin cos cos sin θθθθ->-，且()0,2θπ∈，那么角θ的取值范围是（ ）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭C(贵州省五校联盟2012届高三第四次联考试卷) 5.已知πα<<0，21cos sin =+αα ，则α2cos 的值为 （ ） A．4- B.47 C.47± D.43- A(贵州省2012届高三年级五校第四次联考理) 13.函数sin y x x =-的最大值是 . 2(贵州省2012届高三年级五校第四次联考文) 4. 若4cos ,,0,52παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7 C ．177或D ．177-或-A洋浦中学2012届高三第一次月考数学理科试题13．已知函数22()1xf x x =+，则11(1)(2)(3)()()23f f f f f ++++= .25冀州市中学2012年高三密卷（一）6. 已知角α2的顶点在原点, 始边与x 轴非负半轴重合, 终边过⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21, )[πα2,02∈ 则 =αtan ( )A. 3-B. 3C. 33D. 33±B冀州中学高三文科数学联排试题 10．已知sin θ+cos θ=15，θ∈(0，π)，则tan θ的值为 A ． 43- B ．34- C ．43或43- D ．43-或34-A河北省南宫中学2012届高三8月月考数学（文） 6.已知2tan =α，则ααcos sian 的值为（ ）A.21B.32C.52D.1C冀州中学第三次模拟考试文科数学试题13. 已知2()4f x x x =-，则(sin )f x 的最小值为 -32012年普通高考理科数学仿真试题(三) 12.定义一种运算：⎩⎨⎧≤=⊗a b b a a b a ,,,令()()45sin cos 2⊗+=x x x f ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则函数⎪⎭⎫⎝⎛-2πx f 的最大值是 A.45B.1C.—1D.45-【答案】A2012年普通高考理科数学仿真试题(四) 17.（本小题满分12分）已知函数()().1cos 2267sin 2R x x x x f ∈-+⎪⎭⎫⎝⎛-=π （I ）求函数()x f 的周期及单调递增区间；＞b.（II ）在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,A 经过函数()x f 的图象，b,a,c 成等差数列，且9=⋅AC AB ，求a 的值. 【答案】9（广东省韶关市2012届第二次调研考试）．已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A 的纵坐标为35．则sin α=35_____________; tan(2)πα-=___247____________. 5（广东省深圳市2012高三二模文）. tan 2012︒∈A. (0,3B. (3C. (1,3--D. (3- 【答案】B16(上海市财大附中2012届第二学期高三数学测验卷理）对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是( ) AA ()()2sin cos sin sin αβαβαβ⋅=++-B ．()()2cos sin sin cos αβαβαβ⋅=++-C ．cos cos 2sinsin22αβαβαβ+-+=⋅ D ．cos cos 2coscos22αβαβαβ+--=⋅17.（上海市财大附中2012届第二学期高三数学测验卷文）已知πα<<0，21cos sin =+αα ，则α2cos 的值为( ) A A ．47- B ．47 C ．47± D ．43-3．广东省中山市2012届高三期末试题数学文 已知233sin 2sin ,(,),52cos πθθθπθ=-∈且则的值等于 A ．23 B ．43 C ．—23 D ．—43AB7. 广东实验中学2011届高三考前 已知24sin 225α=-, (,0)4πα∈-，则s i n c o s αα+=A ．15-B ．51 C ．75- D ．5716. 北海市合浦县教育局教研室2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题 已知函数R x x x x f ∈-=,cos sin 3)(，若1)(≥x f ，则x 的取值范围是 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+z k k x k x ,232ππππ 15. 北海市合浦县教育局教研室2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题若⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)0(21)0(6sin )(x x x x x f π，则=)]1([f f 21- 。
2012年新课标高考数学试题(理数)
3 c 3 ∆ F2 PF1 是底角为 30� 的等腰三角形 ⇒ PF2 = F2 F1 = 2( a − c ) = 2c ⇔ e = = 2 a 4
（5）已知 {an 为等比数列， a4 + a7 = 2 ， a5 a6 = −8 ，则 a1 + a10 = （
}
）
( A) 7
【解析】选 D
( B) 5
� �
�
� �
�
�
� � � � �2 � � 2a − b = 10 ⇔ (2a − b)2 = 10 ⇔ 4 + b − 4 b cos 45° = 10 ⇔ b = 3 2 ⎧ x, y ≥ 0 ⎪ (14) 设 x, y 满足约束条件： ⎨ x − y ≥ −1 ；则 z = x − 2 y 的取值范围为 ⎪ x+ y ≤3 ⎩
（10） 已知函数 f ( x ) =
1 ；则 y = f ( x ) 的图像大致为（ ln( x + 1) − x
）
【解析】选 B
x 1+ x ⇒ g ′( x ) > 0 ⇔ −1 < x < 0, g ′( x ) < 0 ⇔ x > 0 ⇒ g (x ) < g (0) = 0 g ( x ) = ln(1 + x) − x ⇒ g ′( x) = −
由图象关于 y = x 对称得： PQ 最小值为 2d min =
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答， 第 22-第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）已知向量 a, b 夹角为 45° ，且 a = 1, 2a − b = 10 ；则 b = _____ 【解析】 b = _____ 3 2
2012年高考理科数学湖北卷(含详细答案)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑.考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选.答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.方程2+6+13=0x x 的一个根是（ ） A .-3+2iB .3+2iC .-2+3iD .2+3i2.命题“0R C Q x ∃∈,30Q x ∈”的否定是（ ）A .0R C Q x ∃∉,30Q x ∈ B .0R C Q x ∃∈,30Q x ∉ C .0R C Q x ∀∉,30Q x ∈D .0R C Q x ∀∈,30Q x ∉3.已知二次函数=()y f x 的图象如图所示,则它与x 轴所围 图形的面积为（ ）A .2π5B .43 C .32D .π24.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积为（ ）A .8π3B .3πC .10π3D .6π5.设a ∈Z ,且013a ≤＜,若201251+a 能被13整除,则=a（ ）A .0B .1C .11D .126.设,,,,,a b c x y z 是正数,且222++=10a b c ,222++=40x y z ,++=20ax by cz ,则++=++a b cx y z（ ）A .B .C .D . 7.定义在(0)(0)-∞+∞，，上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,{{}}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在(0)(0)-∞+∞，，上的如下函数：① 2()=f x x ；② ()=2x f x ；③(f x④ ()=ln||f x x . 则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ）A .① ②B .③ ④C .① ③D .② ④8.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径 作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分 的概率是（ ）A .21π－ B .112π－C .2πD .1π9.函数2()=cos f x x x 在区间[0,4]上的零点个数为（ ）A .4B .5C .6D .710.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈人们还用过一些类似的近似公式.根据 3.141.π59.=⋯判断,下列近似公式中最精确的一个是 （ ）A.d ≈ B.d C.d ≈ D.d ≈二、填空题：本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答．题卡对应题号．．．．．．的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11.设ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若(+-)(++)=a b c a b c ab ,则角=C .12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s = .13.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33,...,99.3位回文数有90个：101,111,121,...,191,202, (999)则（Ⅰ）4位回文数有 个；（Ⅱ）21()n n ∈+N ＋位回文数有 个.14131234()f x --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________14.如图,双曲线2222=1(>>0)x y a b a b－的两顶点为1A ,2A ,虚轴两端点为1B ,2B ,两焦点为1F 2F .若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分别为,A B,C,D .则 （Ⅰ）双曲线的离心率e = ；（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12=S S .（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.） 15.（选修4-1：几何证明选讲）如图,点D 在O 的弦AB 上移动,4AB =,连接OD ,过点D 作 OD 的垂线交O 于点C ,则CD 的最大值为 .16.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线π=4θ与曲线2=+1,=(-1),x t y t ⎧⎨⎩（t 为参数）相交于 A ,B 两点,则线段AB 的中点的直角坐标为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知向量=(c o s -s i n ,x x x ωωωa,=(-cos -sin )x x x ωωωb ,设函数()=+f x λa b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前三项的和为,前三项的积为. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ,3a ,1a 成等比数列,求数列{||}n a 的前n 项和.19.（本小题满分12分）如图1,45ACB =︒∠,3BC =,过动点A 作AD BC ⊥,垂足D 在线段BC 上且异于点 B ,连接AB ,沿AD 将ABD △折起,使90BDC =︒∠（如图2所示）. （Ⅰ）当BD 的长为多少时,三棱锥-A BCD 的体积最大； （Ⅱ）当三棱锥-A BCD 的体积最大时,设点E ，M 分别为棱BC ,AC 的中点,试在 棱CD 上确定一点N ,使得EN BM ⊥,并求EN 与平面BMN 所成角的大小.20.（本小题满分12分）根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表： 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别0.3, 0.7, 0.9，求：（Ⅰ）工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是的条件下,工期延误不超过6天的概率.21.（本小题满分13分）设A 是单位圆22+=1x y 上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足=(>0,1)DM m DA m m ≠且.当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P Q 、两点,其中P 在第一象限,它在y 轴上 的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ,使得对任意的>0k ,都 有PQ PH ⊥？若存在,求m 的值；若不存在,请说明理由.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()=-+(1-)(>0)r f x rx x r x ,其中r 为有理数,且0<<1r .求()f x 的 最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设12,00a a ≥≥,12,b b 为正有理数.若12+=1b b ,则12121122b b a a a b a b ≤＋；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注：当α为正有理数时,有求导公式-1()=r x x ααα.3-8300数学试卷第10页（共42页）故选A．数学试卷 第16页（共42页）（Ⅱ）12S S17.【答案】（Ⅰ）6π5（Ⅱ）1⎡-⎣cos x x ωλ+图像的一条对称轴，可sin 18.【答案】（Ⅰ）35n a n =-+或37n a n =-（Ⅱ）24131110,1n n S n n n =⎧⎪⎨-+>⎪，1(32BD CD x =1111(3)(3)2(3)(3)321212BCD AD S x x x x x x =--=-≤△-3x -即当1x =时，等号成立，且(1,1BM =-数学试卷 第28页（共42页），则1=,EN ⎛ -等价于0EN BM =，()⎫⎪⎭-1,1,1=,0⎪⎭（步骤4）（即N是CD BN BM⊥⊥，及1,BN ⎛=- EN <，3n ≥即EN 与平面BMN 所成角的大小60．（步骤6）20.【答案】（Ⅰ）3 9.8 （Ⅱ）67【解析】（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：(300)0.3P X <=，(300700)(700)(300)=0.70.30.4P X P X P X <<=<-<-= (700900)=(900)700=0.90.70.2P X P X P X ≤<--<-=（）(900)1(900)=10.90.1P X P X ≥=-<-=（步骤1）所以Y 的分布列为：21.【答案】（Ⅰ）曲线C 的方程为2221(0)y x m m +=>≠，且1当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，．（Ⅱ）存在m =221y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥． (0,1)(1,)+∞所以时，曲线C 是焦点在时，曲线C 是焦点在数学试卷 第34页（共42页）于是(2PQ x =-，(PH x =-PQ PH ⊥等价于4(2PQ PH m -=即220m -=，又0m >，得m =故存在m =使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥（步骤5）第21题图【提示】给出圆的方程以及直线与圆的位置关系，从而判断轨迹为何种曲线，根据直线与方程的联立求出满足条件的点．【考点】双曲线的标准方程，直线的方程，直线与双曲线的位置关系，双曲线中的定点问题．22.【答案】（Ⅰ）11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-令()0f x '=，解得1x =当01x <<时，()0f x '<所以()f x 在(0,1)内是减函数； 当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)内是增函数 故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =（步骤1）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)rx rx r ≤+-若12,a a 中有一个不为0，则12121122b ba a ab a b +≤+成立（步骤2）；若12,a a 均不为0，又121b b +=，可得211b b =-，于是1112(1ab b a +-2211ba ab ≤+111212111...1111k k k k k b a b a b b a a b b b +++++++=---1111122k k b b k k a b a b a b a ++-⎫++⎪…（步骤7） 1()kk b a ++1-1111k b k a b ++≤+及导数解决不等式的证明．在利用（Ⅱ）的命题根据数学归纳法得到命题的一般形式进行推广．【考点】导数求函数的单调区间，最值，解不等式问题，数学归纳法．数学试卷第40页（共42页）。
十年(2012-2021)高考数学真题分项汇编(全国通用)-专题02 复数(教师版)
专题02 复数【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i - B ．34i -+C ．34i -D ．34i +【答案】C【分析】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C.2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．1i +D ．1i -【答案】C【分析】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+ D ．32i -- 【答案】B 2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +【答案】C【分析】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C【分析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以 z ==故选：C ．2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【分析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=. 故选：D.3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））（1–i ）4=（ ） A ．–4 B ．4 C ．–4i D ．4i【答案】A【分析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选：A.4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【分析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【分析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D .6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设3i12iz -=+，则z =A ．2B CD ．1【答案】C【分析】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==，故选C ． 7．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C【分析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1y x +-=．故选C ． 8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D【分析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+， 所以12z i =--，选D ．9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 10．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【分析】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. ：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=，则1z =，故选c. 12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））()i 23i += A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+【答案】D 【详解】分析：根据公式21i =-，可直接计算得(23)32i i i +=-+：2i(23i)2i 3i 32i +=+=-+ ，故选D. 13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+【答案】D【详解】详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.14．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）(1)(2)i i +-= A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D【分析】解： ()()21i 2i 2i 2i 3i i +-=-+-=+故选D.15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．i(1+i)2 D ．i(1+i)【答案】A【分析】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z R ∈.其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p【答案】B 【详解】令i(,)z a b a b R =+∈，则由2211i i a b z a b a b-==∈++R 得0b =，所以z R ∈，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z ==-∈R ，而i z =∉R 知，故2p 不正确； 当12i z z ==时，满足121z z ⋅=-∈R ，但12z z ≠，故3p 不正确；对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.17．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））(1i)(2i)++= A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【答案】B 【详解】由题意2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+，故选B.18．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）31ii++＝（ ） A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i【答案】D 【分析】由题意()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++-，故选：D. 19．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【详解】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限. 所以选C. 20．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设复数z 满足(1+i)z =2i ，则Ⅰz Ⅰ= A ．12B．2CD ．2【答案】C【解析】由题意可得2i1i z =+，由复数求模的法则可得1121z z z z =，则2i 1i z ===+故选C. 21．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a = A ．−3 B ．−2C ．2D ．3【答案】A【详解】：(12)()2(12)i a i a a i ++=-++，由已知，得，解得，选A.22．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设，其中x ，y 是实数，则i =x y +A ．1BCD ．2【答案】B 【详解】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i =|1+i x x y x y x x y +==+=所以故故选B.23．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ．12i -+ B ．12i -C ．32i +D ．32i -【答案】C 【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.24．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．(31)-， B ．(13)-， C ．(1,)+∞ D ．(3)-∞-，【答案】A【详解】要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.25．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若43z i =+，则zz=A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-.本题选择D 选项.26．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））若12z i =+，则41izz =- A ．1 B ．-1C ．iD ．-i【答案】C 【详解】 试题分析：441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ．27．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z = A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +【答案】C 【详解】试题分析：Ⅰ(1)1z i i -=+，Ⅰz=212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选C.28．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=A ．1BCD ．2【答案】A【详解】：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A.29．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数,且 2i3i 1ia +=++,则a = A ．4- B ．3-C ．3D ．4【答案】D【详解】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.30．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B 【详解】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．31．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设，则A ．B ．C ．D ．2【答案】B【详解】：根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222i i z i i i i i i i --=+=+=+=+++-，由模的运算可得：2z ==. 32．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】试题分析：由已知得22(1)(1)2(1)1(1)2i i i i i i i+++==----．33．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）计算131ii+=- A ．12i + B ．12i -+C ．12i -D ．12i --【答案】B【详解】：()()()()1311324121112i i i ii i i i +++-+===-+--+34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A ．- 5 B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i【答案】A【详解】：由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ．35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））212(1)ii +=-A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -【答案】B【详解】2121221(1)222i i i ii i ++-===---.36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知复数z 满足(3443i z i -=+），则z 的虚部为 A ．-4 B ．45- C ．4 D ．45【答案】D【详解】：设z a bi =+(34)(34)()34(34)i z i a bi a b b a i -=-+=++-435i +==Ⅰ345{340a b b a +=-= ，解得45b =37．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））21i+=A ．B ．2CD ．1 【答案】C【详解】因为211i i=-+,所以21i =+故选C. 38．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ） A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i 【答案】A【分析】由()12i z i -=得21i z i=-=(1)1i i i +=-+，故选A. 39．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））复数32i z i -+=+的共轭复数是 A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 【答案】D 【详解()()()()3235512225i i i i z i i i i -+--+-+====-+++-,1z i =--,故选D . 40．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p 【答案】C【详解】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.。
2012年上海市春季高考数学试卷答案与解析
2012年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，要求直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分。
1．（4分）（2012•上海）已知集合A={1，2，k}，B={2，5}．若A∪B={1，2，3，5}，则k=3．2．（4分）（2012•上海）函数y=的定义域是[﹣2，+∞）．，3．（4分）（2012•上海）抛物线y2=8x的焦点坐标是（2，0）．4．（4分）（2012•上海）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．5．（4分）（2012•上海）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为π．T=2x+）T=6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1=0的解为x=1．7．（4分）（2012•上海）若，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=1．8．（4分）（2012•上海）若f（x）=为奇函数，则实数m=﹣2．=为奇函数，9．（4分）（2012•上海）函数y=的最大值为5．的导函数在的最大值为=5的最大值为10．（4分）（2012•上海）若复数z满足|z﹣i|≤（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为2π．为圆心，，为半径的实心圆，=2为圆心，11．（4分）（2012•上海）某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为．（结果用数值表示）则其概率为；故答案为12．（4分）（2012•上海）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，2]．=1+x13．（4分）（2012•上海）已知等差数列{a n}的首项及公差均为正数，令．当b k是数列{b n}的最大项时，k=1006．，由，根据（，（14．（4分）（2012•上海）若矩阵满足a11，a12，a21，a22∈{﹣1，1}，且=0，则这样的互不相等的矩阵共有8个．可以是、、二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分。
2012年上海市春季高考数学试卷【全解全析版+详细解答】
2012年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，要求直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分。
1．（2012•上海）已知集合A={1，2，k}，B={2，5}．若A∪B={1，2，3，5}，则k=_________．2．（2012•上海）函数y=的定义域是_________．3．（2010•安徽）抛物线y2=8x的焦点坐标是_________4．（2012•上海）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=_________．5．（2012•上海）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为_________．6．（2012•上海）方程4x﹣2x+1=0的解为_________．7．（2012•上海）若，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=_________．8．（2012•上海）若f（x）=为奇函数，则实数m=_________．9．（2012•上海）函数y=的最大值为_________．10．（2012•上海）若复数z满足|z﹣i|≤（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为_________．11．（2012•上海）某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为_________．（结果用数值表示）12．（2012•上海）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是_________．13．（2012•上海）已知等差数列{a n}的首项及公差均为正数，令．当b k是数列{b n}的最大项时，k=_________．14．（2012•上海）若矩阵满足a11，a12，a21，a22∈{﹣1，1}，且=0，则这样的互不相等的矩阵共有_________个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分。
2009年高考上海数学试题答案(理数)
2009年高考上海数学试题答案（理数) 一、（第一题至第14题）1. i2. 1a ≤3. 83x > 4. 2,12,1x x y x x ⎧≤=⎨->⎩5 47=9. 3 10.3411. 1k ≤ 12. 14 13.()3,3 14. 2arctan 3二．（第15题至第18题）三. （第19题至第23题） 19.解：如图，建立空间直角坐标系。
则 A ()2,0,0，C ()0,2,0，A 1()2,0,2，B 1()0,0,2，C 1()0,2,2， …… 2分设AC 的中点为M ， BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴ BM ⊥平面11AC C ，即BM=（1，1，0）是平面11AC C 的一个法向量。
……5分设平面A 1B 1C 的一个法向量是n=(),,x y z ，1AC =()2,2,2--，11A B =()2,0,0-， …… 7分∴n ⋅11A B=2x -=0，∴n ⋅1AC =2220x y z -+-=，令1z =，解得0,1x y ==。
∴n=()0,1,1， …… 10分设法向量n 与BM的夹角为ϕ，二面角111B AC C --θθ的大小为，显然为锐角。
1cos cos 2|n BM n BM θ⋅=ϕ==⋅ ，解得3πθ=∴二面角111B AC C --的大小为3π…… 14分20. 证明：（1）当≥x7时，0.4(1)()(3)(4)f x f x x x +-=--而当≥x 7时，函数(3)(4)x x --y=单调递增，且(3)(4)0x x --> ……3分故(1)()f x f x +-单调递减。
所以，当≥x 7，掌握程度的增长量(1)()f x f x +-总是下降 ……6分解：（2）由题意可知0.115ln0.856aa +=- ……9分 整理得0.056ae a =- ……13分 解得(]0.050.05620.506123.0,123.0121,1271e a e =⋅≈⨯=∈- ……14分 由此可知，该学科是乙学科 21.解：（1）双曲线C的渐近线0m y =，即0x = …… 2分 ∴直线l的方程0x += …… 6分∴直线l 与m的距离d =…… 8分 （2）证法一：设过原点且平行于l 的直线:0,b kx y -=则直线l 与b 的距离d =，当2k >时，d >。
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2012年上海高考数学（理科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A = .3．函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是 .4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7．已知函数||)(a x ex f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）（A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b . 16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定.17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则（ ）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD . （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设251sin πn n n a =，n na a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是 （ ） （A ）25. （B ）50. （C ）75.（D ）100. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）ABCDABCPE21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（822．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证： OP ⊥OQ ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ， 求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分）23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P .（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通 项公式.（8分）2012年上海高考数学（理科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii+-13= 1-2i （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A =)3,(21- . 3．函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是],[2325-- .4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 arctan2 （结果用反三角函数值表示）. 5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 -160 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 78 .7．已知函数||)(a x ex f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 (-∞, 1] .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为π33 .9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g -1 .10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf )sin(16θπ- . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是32（结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 [2, 5] . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为45. 14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是12232--c a c . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则 （ B ） （A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b .16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是 （ C ） （A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定.ABCD17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则（ A ）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD . （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设251sin πn n n a =，n na a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是 （ D ） （A ）25. （B ）50. （C ）75. （D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求： （1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分） [解]（1）因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ， 从而CD ⊥PD . ……3分 因为PD=32)22(222=+，CD =2，所以三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯. （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)，)1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . ……8 设AE 与BC 的夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分 [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2知AEF ∆是等腰直角三角形，所以∠AEF =4π.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分 （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分AB CD PE yA B CDP EF由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程y =中，得P 的纵坐标y P =3. 由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证： OP ⊥OQ ；（6分） （3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ， 求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分） [解]（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……2分所以所求三角形的面积1为8221||||==y OA S . ……4分（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切，故12||=b ，即22=b . ……6分由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x . 又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ . ……10分（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM . ……13分 设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+， 所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33.综上，O 到直线MN 的距离是定值. ……16分 23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P . （1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分） （3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通 项公式.（8分）[解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. ……2分 所以x =2b ，从而x =4. ……4分 （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X . ……7分 假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ， 则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1. ……10分（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……12分记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n . 先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ； 当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P. ……15分现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以kk q x =+1. 综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……18分[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于 原点对称. ……14分注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数， 所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x 注意到12111x x x x x x n n >>>- ，所以12211x x x x x x n n n n ===--- ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x xk q x x ，k =1, 2, …, n . ……18分。