2019-2020高一数学必修一指数函数
指数函数课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
为增函数，又因为2.5小于3，所以1.7 2.5 <1.7 3 ；
x
y
0.8
（2）同理，因为0﹤0.8﹤1，所以指数函数
是减函数.因为— 2 < 3 ，所
以 0.8
2
<0.8
3
.
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1
所以 f(0)＝ π 1 ，f(1)＝ π ，f(－3)＝ .
π
0
3
思考一下
x
1
x
y
2
画出函数 y 的图象，并与函数
的图象进行比较
2
x
描点法画出 y 2 的图象
2010
y=2x
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
y
0.35
0.71
1.41
2.83
x
1
x
死亡1年后，生物体内碳14含量为(1 − )1
死亡2年后，生物体内碳14含量为(1 − )2
死亡3年后，生物体内碳14含量为(1 − )3
⋯⋯
死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1 − )5730
有条件知(1 −
)5730
=
1
2
x
一般地，函数 y =a (a 0, 且a 1) 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义
地景区的游客人次近似于指数增长.显然，从2001年开始，B地景区游客
人次的变化规律以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
高中数学人教A版(2019)必修第一册第四章4.2《指数函数 》教 案
《指数函数及其性质》教材分析本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图像研究指数函数的性质）等，同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．教学目标1．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，掌握指数函数的性质．2．采用具体到一般、数形结合的思想方法，体会研究具体函数的性质．3．使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实其他学科的联系；感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感．教学重难点【教学重点】掌握指数函数的概念和性质．【教学难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．课前准备引导学生通过实际问题了解指数函数的实际背景，通过本节课导学案的使用和预习，初步理解指数函数的概念和意义，根据图像理解指数函数的性质，带着问题学习．教学过程（一）创设情景，揭示课题1．对任意实数x，3x的值存在吗？（-3）x的值存在吗？1x的值存在吗？2．y=3x是函数吗？若是，这是什么类型的函数？3．（备选引例）（1）思考1：用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的，则漂洗x次后，衣服上的残留污垢y与x的函数关系是什么？（2）（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1．3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．○1按照上述材料中的1．3%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？○2到2050年我国的人口将达到多少？○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？（3）上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1．073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？（4）一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？提出问题：上面的几个函数有什么共同特征？（二）研探新知1．指数函数的概念一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； ○2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1． 巩固练习：利用指数函数的定义解决．（教材P 68例2．3）2．指数函数的图像和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图像，结合图像研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：思考1：在同一坐标系中画出下列函数的图像： （1）1()3x y =（2）1()2x y =（3）2xy =（4）3xy =（5）5xy =思考2：从画出的图像中你能发现函数2xy =的图像和函数1()2x y =的图像有什么关系？可否利用2xy =的图像画出1()2x y =的图像？思考3：从画出的图像（2x y =、3x y =和5xy =）中，你能发现函数的图像与其底数之间有什么样的规律？思考4：你能根据指数函数的图像的特征归纳出指数函数的性质吗？思考5：利用函数的单调性，结合图像还可以看出：（1）在[a ，b ]上，()(01)xf x a a a =>≠且值域是[(),()]f a f b 或[(),()]f b f a ；（2）若0x ≠，则()1f x ≠；()f x 取遍所有正数当且仅当x R ∈；（3）对于指数函数()(01)xf x a a a =>≠且，总有(1)f a =； （三）例题讲解例1．判断下列函数是否为指数函数？321(1)(2)(1)(3)2x x y x y a y +==+=2(4)5(5)3(6)41x xx y y y -===+问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？ 例2．已知函数f （x ）＝a x （a ＞0，a ≠1）的图像过点（3， π），求f （0）， f （1）， f（-3）的值．问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？ 说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式． （四）课堂练习教材对应习题． （五）课堂小结本节主要学习了指数函数的图像，及利用图像研究函数性质的方法． （六） 布置作业 教材对应习题． 教学反思略．。
2019-2020学年新人教A版必修一 指数函数的图象和性质 课件(13张)
4.2.2 指数函数的图象和性质
学习目标： 1.学会画具体指数函数的图象，能根据 指数函数的图象说明指数函数的性质。 2.掌握指数函数的应用。
教学重点 指数函数图象的图象和性质 教学难点 指数函数的应用
类比研究幂函数性质的过程和数的性质。
请完成课本P116函数y=2x中x,y的对应值表，并用 描点法画出函数图象。
比较两个函数图像， 它们有什么关系？
选取底数a(a>0,且a≠1)的若干个不同的值， 在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的 图象。观察这些图象的位置、公共点和变化 趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指 数函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域和性质吗？
如图，选取底数a的若干值,用信 息技术画图,发现指数函数y=ax的 图象按底数a的取值,可分为 0<a<1和a>1两种类型.因此,指数 函数的性质也可以分0<a<1和a>1 两种情况进行研究。
D
B
指数函数与对数函数(知识精讲)-2019-2020高一数学(人教A版必修第一册)(解析版)
专题十一指数函数与对数函数知识精讲一知识结构图二.学法指导1.正确区分na n与(na)n：(1)(na)n已暗含了na有意义，据n的奇偶性可知a的范围；(2)na n中的a可以是全体实数，na n的值取决于n的奇偶性．2. 带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.3．指数幂运算的常用技巧（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.4.判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.5．求指数函数的解析式常用待定系数法．6.利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．7．解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.8.性质alog a N＝N 与log a a b ＝b 的作用 (1)a log a N＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式．(2)log a a b ＝b 的作用在于能把以a 为底的指数转化为一个实数．9.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，底数不同时，利用换底公式把底数换成相同，再找真数间的联系． 10.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量. 11.常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解；(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解.12.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．13．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．三.知识点贯通知识点1 根式运算1.a a nn =)(；2.⎩⎨⎧<-≥==0.0,||a a a a a a n n例题1.(1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________.(2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．【答案】(1)－1 (2) ⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.【解析】(1)∵x <0，∴|x |＝－x ，x 2＝|x |＝－x ，∴x ＋|x |＋x 2x ＝x －x －1＝－1.](2)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3<x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1<x <3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.知识点二 利用分数指数幂的运算性质化简求解1.正分数指数幂：规定：a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)2.负分数指数幂：规定：a －m n ＝1a m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)3.幂的运算性质(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )． (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈R )． (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈R )． 例题2：化简求值：知识点三 指数函数的概念1.一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 例题3 .已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. 【答案】19【解析】设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19知识点四 指数函数的性质及运用 1.指数函数的性质R例题4．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2.【解析】(1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1，所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16.又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (3)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R .因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 例题5. 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1； (4)a 1.1与a 0.3(a >0且a ≠1)．【解析】(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y ＝1.5x 的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y ＝0.6x 的两个函数值，因为函数y ＝0.6x 在R 上是减函数， 且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1， 所以1.70.2>0.92.1.(4)当a >1时，y ＝a x 在R 上是增函数，故a 1.1>a 0.3； 当0<a <1时，y ＝a x 在R 上是减函数，故a 1.1<a 0.3. 知识点五 对数运算性质的应用 对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 例题6.计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.【解析】 (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝12(lg 2＋lg 9－lg 10)lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12.知识点六 对数的换底公式1.若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c blog c a .例题7.(1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)． (2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．【解析】(1)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)＝(log 253＋log 2252＋log 235)·(log 5323＋log 5222＋log 52)＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(1＋1＋1)log 52＝133·3＝13.(2)∵18b ＝5，∴b ＝log 185. 又log 189＝a ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .知识点七 对数函数的概念1.函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 例题8.若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. 【解析】因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.知识点八 对数函数的图象与性质(0，＋∞)例题9.求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)； 【解析】(1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)． 例题10.比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.【解析】 (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 且13>15，所以0>log 213>log 215， 所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y ＝log 15x 的图象，由图易知：log 132<log 152.(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54， 所以log 23>log 54. 五 易错点分析易错一 指数幂运算中的条件求值例题11.已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【解析】(1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14. (2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194. 误区警示已知条件求值时，注意把条件作为整体，找条件与所求结论的关系，根据关系利用合适的公式求解。
2019-2020学年人教版高一数学必修1第18课时指数函数图象及应用(含解析)
．指数函数y ＝a x，当2，a ＝12，a ＝10，时间：45分钟，满分：分) 一、选择题(本大题共小题，每小题5分，共30分)．函数f (x )＝πx与⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx 的图象关于( )，x≥0，所以选B.0<1－1a<1，所以图象与y 轴的交点的纵坐标应在a <1，于是1－1a<0，故D 选项正确．个小题，每小题5分，共15分)⎛⎪⎫33f f，x <0，x，x ≥0，)|＝⎪⎪⎪⎪≥1，即＋1x ＜－1＋1x ≥－1⎭⎪⎫12x ＋1(x ＜－1)的图象作出，而它的图象是由y 2＝2x ＋1(x ≥－1)的图象作出，即将∞，－1]，单调递增区间是的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程x的图象向下平移一个单位后，再把位于的图象无交点，即方程无解；|3x－1|的图象有唯一的交点，即方程有一解；1|的图象有两个不同交点，即方程有两解．能力提升图象的大致形状是( )R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0，－a x，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，因<0时，函数图象与指数函数y ＝a x(x <0)的图象关于＋a －x)(a >0，且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，419.上是增函数．⎭⎪⎫2，419，⎭⎪⎫1a 2＝419.，解得a 2＝9或a 2＝1.＝. ∵0≤x1≤x2，∴31x－32x<0，且。
2019-2020人教A版数学必修一2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质优质课件
1
0
x
图象自左至右逐渐下降
探究点3 指数函数的性质
0<a<1
y ax
y图象ຫໍສະໝຸດ a>1y y ax
(a 1)
定义 域
1
0
x
R
1
x
0
值域
（0，+∞）
（1）过定点（0，1），即x=0时，y=1 性质
（2）在R上是减函数 （2）在R上是增函数
【提升总结】 指数函数图象和性质的巧记 (1)指数函数图象的巧记方法:一定二近三单调, 两类单调正相反. (2)指数函数性质的巧记方法:非奇非偶是单调, 性质不同因为a,分清是(0,1),还是(1,+∞),依 靠图象记性质.
(3)根据函数y=1.7x的性质，1.70.3>1.70=1，
根据函数y=0.9x的性质，0.93.1<0.90=1，
所以1.70.3>0.93.1
【变式练习】
用“＞”或“＜”填空：
（
1
3
）5 ＜
（
1
）0
4
4
5.06
7 4
＜
5.060
（
4
5
）6
＞（
4
）0
3
3
0.19
2 3
＞
0.190
1.下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是( B )
C.m≥1
D.0＜m≤1
解析：∵|1-x|≥0,∴2|1-x|≥1.
∵y=2|1-x|+m≥1+m,
∴要使函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点，
则1+m≤0即m≤-1.
2019-2020学年人教A版数学必修1课件：2.1.2 第2课时指数函数及其性质的应用
4. 关 于 指 数 型 函 数 y ＝ af(x)(a>0 且 a≠1) 的 单 调 性 由 两 点 决 定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性.它由两个函数 y_＝__a_u_，__u_＝__f_(x_)____复合而成.
1.函数 y＝121－x 的单调递增区间为(
)
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
【答案】A 【解析】定义域为 R.设 u＝1－x，y＝12u.∵u＝1－x 在(－
∞，＋∞)上为减函数，y＝12u 在(－∞，＋∞)为减函数，故 y
＝121－x 在(－∞，＋∞)是增函数.故选 A．
，b＝
3 5
－
1 4
，c＝
32－34，则a，b，c的大小关系是(
)
A．c＜a＜b
B．a＜b＜c
C．b＜a＜c
D．c＜b＜a
【答案】D
【解析】因为－
1 3
＜－
1 4
＜0，所以
3 5
－
1 3
＞
3 5
－
1 4
＞
3 5
0＝
1，即a＞b＞1，且
3 2∴y＝12x2－6x＋17在[3＋∞)上是减函数．∴y＝
1 2
x2－6x＋17的单调增区间是(－∞，3]，单调减区间是
[3，＋∞)．
(2)设t＝
2019-2020学年高中数学人教A版必修一课件：2.1.2.1 指数函数及其性质
解析：(1)若函数 y＝(3－2a)x 为指数函数， 则33－ －22aa>≠01，， 解得 a<32且 a≠1. (2)①中指数式( 2)x 的系数不为 1，故不是指数函数；②中 y＝ 2x－1＝12·2x，指数式 2x 的系数不为 1，故不是指数函数；④中底数为 x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是 x， 故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不 是指数函数．故填③. 答案：(1)(－∞，1)∪1，23 (2)③ (1)指数函数系数为 1. (2)底数>0 且≠1.
第十三页，编辑于星期日：点 十四分。
【解析】
a2－3a＋3＝1， (1)由指数函数的定义得a>0，
a≠1.
解得 a
＝2.
(2)设 y＝f(x)＝ax(a>0，a≠1)，所以 a－2＝14，所以 a＝2， 所以 f(4)·f(2)＝24×22＝64.源自【答案】 (1)C (2)64
第十四页，编辑于星期日：点 十四分。
C．y＝3x－1
D．y＝13x
解析：根据指数函数的定义 y＝ax(a>0 且 a≠1)可知只有 D 项
正确．
答案：D
第十页，编辑于星期日：点 十四分。
3．函数 f(x)＝ 2x1－1的定义域为(
)
A．R
B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)
解析：要使函数有意义， 则 2x－1>0，∴2x>1，∴x>0. 答案：B
答案：D
第十二页，编辑于星期日：点 十四分。
类型一 指数函数概念的应用
例 1 (1)若 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则有( )
A．a＝1 或 2
高一数学必修第一册2019(A版)_《指数》教材分析
4.1指数一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：实数指数幂的运算及其性质.难点：用有理数指数幂逼近无理数指数幂.三、教科书编写意图及教学建议指数函数是以指数为自变量的一类函数，其定义域为实数集.为研究指数函数，需要把指数幂运算的范围进一步推广.类似于先把整数推广到有理数，然后把有理数推广到实数一样，本节教科书也是将指数幂由整数指数幂推广到有理数指数幂，然后推广到实数指数幂，进而为指数函数的学习奠定基础.在指数幂运算的推广过程中，“整数指数幂的运算性质在有理数指数幂、实数指数幂中仍然成立”是核心思想.对此，学生在初中学习整数指数幂时，在由正整数指数幂到负整数指数幂的推广过程中已经有所体会，本节教学中要让学生进一步体会.学习指数幂的运算，必须解决无理数指数幂的问题.与对无理数的理解一样，对无理数指数幂的理解是本节教学的难点.对此，教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想引入无理数指数幂.教学中，可以类比初中用有理数逼近无理数的教学，让学生通过经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向，用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；然后在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点，发现这些点逼近一个确定的点，其对应的数就是这个无理数指数幂.由此让学生体会其中的极限思想，并从数和形两个角度认识到.4.1.1n次方根与分数指数幂学生在初中已经学习过整数指数幂，在幂函数的学习中，接触过形如12S的以分数为指数的幂，那么这种以分数为指数的幂的意义是什么？它具有怎样的运算性质？它和整数指数幂有什么联系和区别？这些都是自然而然要研究的问题.教科书就是从这样的问题出发引入本节内容.平方、开平方以及立方、开立方是学生熟悉的运算，它们两两互为逆运算.为了一般化，教科书首先把平方根、立方根的概念推广到n次方根，介绍n次方根的性质；然后在此基础上，建立n次方根与分数指数幂的关系，说明分数（有理数）指数幂的意义，并把整数指数幂的运算性质推广到有理数指数幂的情形.1.n次方根的概念及其性质初中阶段，我们由平方、立方的运算，引入了平方根、立方根.类比平方根、立方根与平方、立方之间的关系，因为4(2)16±=，所以把2±叫做16的4次方根；同样，由于5232=，所以把2叫做32的5次方根.以此类推，就可以得出n次方根的概念.这种推广以具体的例子为载体，由特殊到一般，由具体到抽象，学生理解起来并不困难，通过n次方根的概念，也容易得到其性质，即（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n.（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n负的n次方根用符号表示，正的n次方根与负的n次方根可以合并写成0)a>.（3）负数没有偶次方根.（4）0的任何次方根都是00=.进一步，根据n次方根的意义，可以把实数的n次方根推广到n次根式，实现数到式的推广，而且数的性质可以自然地推广到式，这就是数式通性在n次根式中的表现，由此我们容易得到教科书105页探究栏目中问题的答案：当n a=；当n为偶数时，,0, ||,0.a aaa a⎧==⎨-<⎩2.例1的设计及教学例1的作用是巩固n次方根的概念，.前3个小题涉及的都是具体的数，第4小题涉及字母.解决问题时，要特别注意当n 为偶数时最后结果的准确表示以及化简.例如对于最后一个小题，由于涉及字母a，b，其结果要用绝对值的形式表示，所以需要对这两个字母的大小关系进行分类讨论之后再化简.3.n次方根与分数指数幂的关系以n次方根的概念及其性质为基础，教科书进一步研究了n次方根与分数指数幂的关系.对于根式的被开方数的指数与根指数，存在整除与不能整除两种情况.教科书首先通过具体的实例说明，当根式的被开方数，如10a（看成幂的形式）的指数10能被根指数5整除时，可以表示为分数指数幂105a的形式.这样，就把10a的5次方根与分数指数幂105a联系起来，这种联系是非常自然的.整除的情况研究清楚了，自然就会提出“当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式”的问题.这也就是教科书105页的“思考”提出的问题，这是一个非常重要的问题，这个问题突破了，分数指数幂的推广就顺理成章了.教科书仍然是通过具体的实例，说明根据n次方根的概念及其性质，当根指数不能整除被开方数的指数时，为了使整数指数幕的运算性质，如()n k kna a=仍然成立，根式可以表示为分数指数幂的形式，如23(0)a a=>12(0)b b=>54(0)c c=>.在将n次方根表示为分数指数幂的过程中，核心思想是指数幂的运算性质仍然成立.这种兼容性为运算带来极大的方便，这同时说明了n次方根表示为分数指数幂的合理性.至此，关于正数的正分数指数幂的意义)*0,,,1mna a m n n=>∈>N.就顺理成章了.于是，在条件0a>，m，*n∈N，1n>下，根式都可以写成分数指数幂的形式，指数由整数推广到了正分数.类似正整数指数幂到负整数指数幂的推广，根据正分数指数幂的意义，可以规定正数的负分数指数幂的意义)*10,,,1mnmna a m n na-==>∈>N.负分数指数幂的规定，是完全类比负整数指数幂的规定.这种规定是合理的，它保持了正分数指数幂的运算性质.同样地，与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数幂x a中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数.由上可知，教科书通过具体实例的归纳，由具体到抽象，由特殊到一般，建立了分数指数幂与n次方根的关系：分数指数幂是n次方根的一种表示形式，两者是统一的.同时这种表示为后面的运算带来了极大的方便.另外，通过根式与分数指数幂的互化，可以巩固、加深对于根式和分数指数幂的理解.4.有理数指数幂的运算性质对有理数指数幂的运算性质，下面通过n次方根与有理数指数幂的关系给出证明.我们以（1）为例.首先考虑0r>，0s>的情况.由于r ，s 是有理数，所以n r m=，s p q =，其中m ，n ，p ，q 都是正整数，且m 与n 互质，p 与q 互质，所以q np mq np mqn q nr s r s p mp mp mp m p m a a a a a a a a a +++========.对于0r <，0s <的情形，可以转化为正分数指数幂的情形进行证明.5.例2～例4的设计及说明例2通过具体的数字运算，巩固分数指数幂的概念、意义以及分数指数幂中指数的运算性质.例3通过一般表达式的运算，巩固分数指数幂和n 次方根的互相转化，特别是把n 次方根转化为分数指数幂进行运算，把结果表示为分数指数幂的形式.例4具有一定的综合性，需要综合运用n 次方根、分数指数幂的概念，分数指数幂的运算性质，以及式的加减乘除等进行运算，目的是巩固有理数指数幂的运算性质.例3与例4中，为了考虑问题的方便，而且主要是理解有关概念及运算性质，我们假定作为被开方数的字母均为正数.实际上，考虑到后面学习指数函数及对数函数，字母为负数有时没有意义.4.1.2无理数指数幂及其运算性质1.如何理解无理数指数幂指数幂中的指数由整数推广到有理数，比较自然，理解起来也不难.但是，指数是无理数时，这个指数幂有没有意义？如果有意义，其意义是什么？有理数指数幂的意义比较明显，它可以看成n 次方根，但无理数指数幂的意义就没有那么明显.在有理数扩充到实数的过程中，无理数的产生既有实际的背景，又有数学背景，如单位正方形对角线的长度.但是幂的指数由有理数推广到实数，指数变为无理数，很难有实际背景，这完全是数学理性思维的结果.不过这种推广，从思维的角度看，也是自然的.在有理数推广到实数的过程中，我们通过有理数的不足近似值和过剩近似值，，得出它的近似值，并说明它是无限不循环小数，是无理数的证明.同样，对于无理数指数幂，可以运用有理数推广到无理数的经验，通过有理数指数幂逐步逼近无理数指数幂的方法，认识无理数指数幂的意义.对于无理数指数幂的认识，教科书安排了一个探究栏目，从具体的.假设的不足近似值x （有理数）和过剩近似值y （有理数），根据有理数指数幂的意义，利用计算工具，计算相应的5x ，5y 的值，并填入表中.可以发现，的不足近似值x 和过剩近似值y 时，相应的近似值都趋向于同一个数.这时，从差55x y -趋向于0，也可以进一步说明5x ，5y 都趋向于同一个数，这个数就是也就是说， 1.4 1.41 1.414 1.41425,5,5,5,和另一串逐渐减小的有理数指数幂 1.5 1.42 1.415 1.41435,5,5,5,逐步逼近的结果.由于实数与数轴上的点一一对应，这一过程也可以在数轴上标示出来（如教科书图4.1-1）.逐步逼近后，根据我们的想象和推断，这个点在数轴上存在，而且是唯一的，它是一个确定的实数，这个数就是还是为了认识这些数的意义，我们在数轴上先选取这个数附近一个小区间内的数，通过不断缩小区间的长度，让区间端点的值从区间的左右两个方向——不断增大的方向（单调递增）和不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界数列必有极限”的基本事实支持下，，不仅在数轴上确实存在，而且是唯一的.这种研究问题的方法是现代数学中常用的方法：选取点所在的一个邻域，运用无限分割的方法，将点所在区间不断缩小，得到区间套，然后运用极限，得到研究问题的答案.这种方法在后面学习导数、积分等内容时，学生会感受得更加深刻.教科书通过“探究”中的表格和图4.1-1的数轴这两种方式展示逐步逼近的过程.用表格展示数据，呈现具体的数值，非常醒目；用数轴表示数值，可以从宏观、整体上把握变化的趋势，两者结合，相得益彰.这样逐渐逼近的过程，比较直观，学生不难理解.通过逼近，使学生认识任何正数的实数次幂都是确定的实数这样一个结论.教学时，可以利用计算工具计算，近似值逐步精确，从而更好地看到也可以利用信息技术作图，在数轴上将程，加深学生对于无理数指数幂的理解.教科书接下来安排了一个思考栏目，让学生类比.在上述研究的基础上，教科书给出结论：一般地，无理数指数幂(0,)a a αα>为无理数是一个确定的实数.这个结论使得以后能在实数范围内定义指数函数，在区间(0,)+∞内定义对数函数.这样，我们把指数幂(0)x a a >中指数x 的取值范围由整数拓展到有理数，并进一步拓展到实数，即任何正数的实数指数幂是一个确定的实数.应当注意的是，在指数幂x a 中，通常要限定0a >这个条件.这是为了保证后续的指数函数x y a =对于任意实数x 都有意义.因为只有正数的任何实数次幂才都有意义，如果底数是0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样地，如果底数是负数，指数为12n，仍然没有意义.因此我们限定0a 这个条件.本节中，无理数指数幂的理解是教学的一个难点.高中阶段只需知道任何正数的实数指数幂都是确定的实数即可，只要求能通过逼近的方法直观认识它，并不要求严格的证明.但是逼近的思想、用有理数近似表示无理数的方法，则需要学生掌握.2.实数指数幂的运算性质对实数指数幂的运算性质，我们也可以进行推导，推导的基础是把任何一个实数表示为有理数序列的极限，通过极限运算和有理数指数幂的运算性质进行证明，这里从略.。
2019-2020学年新一线同步人教A版数学必修一课件：4.2 指数函数
探究一Biblioteka 探究二探究三思想方法 随堂演练
课堂篇 探究学习
(1)当m=-2时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域; (2)若对任意x∈[0,+∞),总有|f(x)|≤6成立,求实数m的取值范围.
∵x∈(-∞,0),∴t∈(1,+∞), ∴y=g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3,图象的对称轴为直线t=1,图象开口向
分析:(1)作直线x=1,其与函数图象的交点的纵坐标即为指数函数 底数的值;(2)令幂指数等于0,即x+1=0,即可解得;(3)先讨论x,将函数 写为分段函数,再画出函数的图象,然后根据图象写出函数的值域 和单调区间.
(1)解析:(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底 数越小,图象向下越靠近x轴,故有b<a,③④中函数的底数大于1,在y
4.2 指数函数
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课前篇 自主预习
一二
一、指数函数的定义 1.细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个……设1个细 胞分裂x次后得到的细胞个数为y. (1)变量x与y间存在怎样的关系? 提示:y=2x,x∈N*. (2)上述对应关系是函数关系吗?为什么? 提示:是.符合函数的定义. 2.如果x∈R,等式y=2x还表示y是x的函数吗?如果是,其解析式有 何结构特征? 提示:是.结构特征:等式右边是指数形式,底数为常数,指数是变量. 3.填空: 一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量, 定义域是R.
课堂篇 探究学习
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探究二
探究三
思想方法 随堂演练
6.(一题多空题)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)= ;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为 . 解析:设x<0,则-x>0,∴f(-x)=2-x-4. 又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.
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2019秋季高一数学指数函数
一．指数运算计算公式：()Q s r a ∈>,,0
33223322(1)(2)(3)()()(4)()(0)(5)(6)(0)(7)()()
(8)()()
r r s r s r s r s s r rs r r r
s m
n n m n n
a
a a a a a a a a
b a b a
a a a a a a a n a
b a b a ab b a b a b a ab b +-⋅=====≥⎧==⎨
-<⎩+=+-+-=-++；；；，，，
，为奇数时 1. 化简下列各式的值：
(1).2
113113
3
6
6
2
2
()(3)(4)__.=a b a b a b -÷(2).()
10
212
0.753
3
770.0641622=9_8__.-
⎛⎫⎛⎫
--+++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（3）1
3
04321(4)()0.25___(_)=2
.2---+⨯ （4）3
3526(3)=________.π-+-
（5）
2
6
5
3
4
xy
x y
=⋅_______. (6)
2
13
2
2
1113
3
6
515
()______.()42
x y
x y x y --⋅=-⋅-
2．已知23=a ,5
1
3=
b ，则=-b a 23＝____________. 1122
1
2
2
2
2
11
223.301=____________.x x x x x x x x x x x -----
-+=<<+=+=+；已知，且，则；
4. 若331
12
22
2
112
2
4a a a a
a a
---
-+=-，则
= _________.
二、指数函数的性质
1.2)(f 1
-=+x a x )10(≠>a a 且过定点_____________
2.在同一坐标系下，函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图象如下图，则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的
顺序是__________.
3.函数y =2x
+k －1(a >0,a ≠1)的图象不经过第四象限，则k 的取值范围是__________. 4.求下列函数的值域：
11121(1)()(2)()(3)()21(4)421,()[1,2)(5)()(6)()2x x x x
x x x
x x
x a a f x f x f x a a
f x f x f x x -++---+∈--===++=-=
=；；；
5.函数2
23
()3x
x f x -++=的单调区间为 ，和值域为 .
6.21
2
32513 .x x --⋅+<不等式的解集为 7.0.70.90.80.8,0.8,1
.2.a b c ===比较的大小，则 8. 111
()()1,,,222
.b a a a b b a b a b <<<<<<设，比较的大小为
9.若1
()31x f x a =++是奇函数，则=a ；若()33x x f x a -=+⋅是偶函数，则=a .
10. 若 1()(4)212 .x a x f x R a a
x x ⎧>⎪
=⎨-+≤⎪⎩，是定义在上的增函数，则的取值范围为， 11.已知2
(),()(23)0,x x x
x
e e
f x f a f a a e e
---=-++>+若有则的取值范围为 . 12.已知函数2()131
x f x =-
+.（1）求函数()f x 的值域，并证明函数()f x 在R 是增函数；（2）证明()f x 的奇偶性；（3）解不等式()2(31)230f m m f m -++-<。
13.已知定义在R 上的函数 31
()312
x x f x a =-+是奇函数.(1)求a ；
(2)判断()f x 在R 上的单调性并证明；(3)若关于x 的不等式()2()330.f kx kx k f k R k -++->的解集为，求的取值范围
14.已知函数()(1)(0,1)x x f x a k a a a -=-->≠且是定义在R 上的奇函数。
（1）求k 的值；（2）若(1)0f <，求使得不等式()(1)(0,1)x x f x a k a a a -=-->≠且恒成立的t 的取值范围；（3）
[)223
(1)=()2()()1,2
x x f g x a a mf x g x -=+-+∞，，且在上的最小值为-2，求m 的取值范围。