第4章陈鹤鸣激光原理高斯光束

02 02
f f
(F l)(F l)F 2 f f
其中：f


2 o
，f


o2


几何光学中牛顿公式: (F l)(F l) FF
比较可知：几何光线的透镜变换是高斯光束在
0 的情形 0
特例：若入射束腰在物方焦点处，l F ：
u00 ( x,
y, z)

c
0 (z
)
exp


x2 y2
2(z)

exp
i
k(
z


x2 2R(
y2 z)
)


(
z
)

u00
(
x
,
y,
z
)

c
0 (z)
exp
{ik z

x2
2
y2
(1 R(z)
i k 2(

0
F，0(min)

2 0

第四章：高 斯 光 束
高斯光束：所有可能存在的激光波型的概称。 理论和实践已证明，在可能存在的激光束形式中，最重要且 最具典型意义的就是基模高斯光束。
无论是方形镜腔还是圆形镜腔，基模在横截面上的光强 分布为一圆斑，中心处光强最强，向边缘方向光强逐渐减弱， 呈高斯型分布。因此，将基模激光束称为“高斯光束”。
02
, )
| R(z) | 逐渐增加，曲率中心在 ( 02 , 02 )
|R(z)|≈|z|→ ∞ (无限远处等相面为平面）
3. 远场发散角
(z)
F
0
B

0
z
0
F
0

lim 2(z)
z


2
0


0.6367
0

2
f
1.128

f
总结: 基模高斯光束特点
欲获得小值 ，以获得较好的聚焦效果，可采用： 0
1. 短焦距透镜会聚，减小F
2. l 0 ，即把入射高斯光束腰斑放在透镜表面， 并增大入射光束腰，使 f F
3. 增大束腰至透镜前焦点距离
4.3.2 高斯光束的准直
压缩光束发散角使能量集中
小0
0

2 0
大 0 腰斑小，光束发散角大，发散得快；
f z
2
0
f
f


2 0
（共焦参量）

1. 腰斑 0（或共焦参量 f ）与腰位置 z
(z)
0，z


R(
z
)
0
2. 任一 坐标 z处的光斑半径 (z及) 等相面曲率半径 R(z)
(
R(
z) z)

z0
3. 高斯光束的 q 参数

B D
（遵循ABCD变换法则）
（2）经过薄透镜的变换规律
R1 (z) R2 (z)
O1
O2
F
（遵循ABCD变换法则）
1 11
R2 R1 F
A
TF


C
B D




1 1
F
0
1
R2

AR1 CR1
B D
（3）经过球面镜反射
R2

AR1 CR1

F l
0
结论 l F，时， l 越大， F 越小，聚焦效果越好。
（3）l F 0达到极大值
0

0
F

F f
0
且： l F
结论 F f 无聚焦作用；F f 有聚焦作用。
2.
l
一定时，

0
随
F
的变化情况
l

F

F 2(l F (F l)2
) f
x2 y2 z2
R
R x2 y2 z2 ，光源到点 ( x, y, z) 的距离
与坐标原点距离为常数 ，是以原点为球心的一个球面，在这 个球面上各点的位相相等，即该球面是一个等相位面。
近轴（ x, y z，z R ）：
r x2 y2 z2 z x2 y2
（2）高斯光束经过薄透镜的变换
M1
M2
1 1 1 R2 R1 F
1 2
R1 F R2
11

11

q2

R2
i 22
( R1

F ) i 22
( 1 R1
i 12 )
1 F

1 q1

1 F
Aq B q 1 2 Cq D
1
结论：高斯光束q参数经薄透镜的变换规律满足ABCD法则
腰斑大，光束发散角小，发散得慢。
1. 单透镜准直
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

2 0
,
0
0F
(l F )2 f 2
0

2
1
02
(1
l F
)2

1 F2
(0
)2
原则上说，不可能用单透镜将高斯光束转换成平面波。
l

F
时，


0
达到极大值


0
达到极小值
0(max)
l F,
0

0
F
最大值
当物点位于透镜前焦点，像点不在无穷远处，与几何光线不同
4.3 高斯光束的聚焦和准直 4.3.1 高斯光束的聚焦
使激光束会聚为极小点，得到光能集中的小光斑
F
l

F 2(F l) (F l)2 f
2

l

F

F 2(l F ) (F l)2 f
2R
E( x,
y, z)

A0
exp[ik(z
x2

y2 )]
R
2R
3. 高斯光束 激光束既不是均匀的平面光波，也不是均匀的球面光波，
而是一种比较特殊的高斯球面波。
E( x,
y, z)

A0 exp[
(z)
(x2
2
(z
y2 )
)
]

e
xp

ik[
x2 y2 2R(z)


B D

A C
B D



1 2
R
0 1

2. 高斯光束的传输与变换规律
（1） 高斯光束在自由空间的传输
束腰处： z 0，q(0) if i 02

自由空间变换矩阵：
1 TL 0
Z
1

由ABCD法则：q(z) if z
1
3. 实例分析 0
0 c
A B l
C
l
lC
q0
qA qB
qC
方法一：
已知：
0、l、F
求：
C、RC
z=0处：q0 i 02
A处：qA q0 l
B处：1 qB 1 qA 1 F C处：qC qB lC
1
1

RC

Re

qC


1

1
z if
q(z) if
z
f 2 z2
1
i
R(z) 2( )



2
(z
)

02

1

z 02
2


R(z) z
1


f z
2


结论：高斯光束q参数在自由空间的变换规律满足ABCD法则
束），其电矢量为：
E( x, y, z) A0eikz k 2 ，波数
特点：在与光束传播方向垂直的平面上光强是均匀的。
2. 均匀球面波
由某一点光源（位于坐标原点）向外发射的均匀球面光波，
其电矢量为：
E(x, y, z)
A0
exp[ik x2 y2 z2 ] A0 exp(ikr)

B2


(1

lC F
)2
(
0
2

)2

(l

lC

llC F
)2
(
0
2
)2

RC

A2q 2 0
ACq 2 0

B2 BD


1 F
(1

lC F
)2
(
0
2

)2

(l

lC

llC F
)2
(1

lC F
)2
2
(0

)2

(l

lC

llC F
)2 (1

l F
)
特例：求 l、0 （变换后的焦斑大小和焦斑距离）
高阶模激光束的场分布不同于基模，但传输与变换规律和 基模高斯光束相同，称为高阶模高斯光束。
非稳腔输出的基模光束经准直后在远场的强度分布也接近 高斯型。
高斯光束是可能存在的各种激光模式的总称。
4.1 高斯光束的基本性质
4.1.1 高斯光束的特点
1. 均匀平面波 沿某方向（如z轴）传播的均匀平面波（即均匀的平行光
2

2 0

(F
F 2 2 0
l)2
f2

1. F
一定时，

与
0
l
随
l
的变化情况
（1）l F

随
0
l
的减小而减小
l 0 当
时：
0(min)

0
1 ( f )2 F
l
F 2 F
1


F f

腰斑放大率：
k 0 0
1
1
1


f F
2
l 0 时，0 0
不论透镜焦距 F 为多大，都有一定 的聚焦作用；
结论 F越小，聚焦作用越好；
像方腰斑的位置处在透镜后焦点以内。
（2）l F
0随 l 的增大而单调减小
当 l 时：0 0，l F
当
l F，l

f
时：0
k(z

x2 y2 2R
)


0


可将基模高斯光束看作具有复数波面曲率半径的球面波光束
11
i
q(z) R(z) 2(z)

光腰处：
1
1

R(z)

Re

q(
z)


1
2 (z)



Im
1

q(
z
)

11
C
2


Im
1

qC

方法二：
Aq B
q
1
2 Cq D
1
D
D i D
C
(C )
1
q
R 2
q 2

A
1
B

(A
1
B )
1
i B
q
R 2
1
1
1
2
1 1 i
q2

R2


2 2

2 2


A
B R
1


0
0 c
A B l
C
变换前后的束腰大小关系
l
lC
R1 R2
q0
qA qB
qC
02

02
D
2
C
2
f2 0

(F
F 2 2 0
l )2 (02 )2

变换前后的束腰位置关系
F

l

(F
F 2(F l)2
l)
( 0 2
)2


F l F l
1



z f
2
0
1

z 02
2
( z ) 随z以双曲线函数变化
双曲线顶点坐为 ，0 共焦参数
f

L


2 0
2
光能主要分布在双锥体内
2. 波面曲率半径
光波面
(z) F
0
0
F
R(z)
z
z
1


f z
2
z
)
)

i
(z)
11
i
q(z) R(z) 2(z)
q( z )复曲率半径
u00
(
x,
y,
z)

c
0
(z)
exp
i
k(z

x2 y2 2q(z)
)


(z)


均匀球面波：
u( x,
y, z)

u0 R
exp i
2
,
2
F 2 2 0
0 (F l)2 f 2
R(l) l[1 ( f )2 ] l
（1）F

1 2
R(l )
时：0

0，l

l
透镜对高斯光束实现自再现变换
（2）F

1 2
R(l )
时：0

0
有聚焦作用
（3）F 1 R(l) 2
时：0 0
无聚焦作用
z]
i
(z)

振幅因子
相位因子
0 ——基模高斯光束的腰斑半径（束腰）
( z ) ——高斯光束在z处的光斑半径
R(z) ——高斯光束在z处的波面曲率半径
4.1.2 高斯光束的基本性质 1. 振幅分布及光斑半径
A(r)
A0
A0 e
0 r (z) r
(z)
F
0
z 0 F
(z) 0
1
2
2
2

B2
1

R 2



A
B R1
B
A
R 1
C
2

2 1
2


B2

D R
1


2 1
2

BD
入射光束的光腰处：
R 1
C 2

A2
(
0
2
)2

2 0

z
1

(
02 z
)2

Z=0（束腰处） R(z) → ∞ (束腰处等相面为平面）
z



2 0

| z | 02
| z | 02
Z=± ∞
|
R( z )
|
2

2 0
（极小值）

|
R(z) |逐渐减小，曲率中心在
(,

02

U

1
i
q0 q(0) R(0) 2 (0)
q0

i

2 0


if
§4.2 高斯光束的传输与变换规律
1. 普通球面波的传输与变换规律
（1）自由空间传 输
R(z2 ) R(z1 ) z2 z1
A B 1 L
TL


C
D



0
1

R2

AR1 CR1
光波面
(z)
F
0
B

0
z
0
F
高斯光束 非均匀球面波
等相位面为球面； 曲率中心和曲率半径随传播过程而改变； 振幅和强度在横截面内为高斯分布。
幅度非均匀的变曲率中心的球面波。
4.1.3 高斯光束的特征参数
(z) 0
z 2
1
f

R(z)
z
1