人教版数学选修1 2第二章212演绎推理
人教版高中数学选修1-2(A版)课件：第二章 2.1.2演绎推理 (共87张PPT)
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理》优质课教案_26
§2.1.2演绎推理教学设计【教材分析】本章内容属于数学思维方法的范畴，即把过去渗透在具体数学内容中的思维方法以集中显示的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识的使用。
推理是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
而应用演绎推理可以使人们产生新的创意或新的发现。
在解决问题的过程中通过本节的学习，有利于发展学生的思维能力，提高学生的数学素养，让学生感受演绎推理在数学以及日常生活中的作用，从而架起数学与生活的桥梁，形成严谨的理性思维和科学精神。
一．教学目标：㈠知识与技能目标①了解演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与区别。
②能正确运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理。
㈡过程与方法目标①通过了解和体会演绎推理在日常生活和学习中的应用，引出演绎推理的概念。
②通过对实际例子的分析，培养学生的逻辑推理能力，使学生学会观察，大胆猜想，敢于归纳，挖掘其中所包含的推理思路和思想；③通过一些证明题的实例，明确演绎推理的“三段论”的推理形式，提高学生的创新能力。
㈢情感、态度与价值观目标通过本节课的学习，让学生体验演绎推理源于实践，又应用于实践的思想，感受演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、创新的个性品质。
二．教学重点与难点重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理证明。
难点：掌握演绎推理的基本方法，应用演绎推理产生新的创意或新的发现。
三．教学方法本节课采用范例分析、媒体演示、分层教学等启发发现法进行教学；课堂学习上，鼓励学生采取回顾复习、分组讨论、归纳总结等课堂讨论法进行学习；教法与学法协助提高，从而达到举一反三、触类旁通、提高课堂学习效率的效果。
四．教学过程（一）、创设情境，引入新课1.复习：合情推理的分类，应用归纳推理和类比推理的一般步骤（提问学生，多媒体展示）2. 在世界四大文明古国之一---印度，流传着一个古老的婚俗。
高中数学选修1-2课件-2.1.2 演绎推理(2)-人教A版
观察、思考
刚才的推理有什么特点？结构形式上
呢？ 由一般到特殊的推理。
“鼻饰”是印度妇女婚否的标志。大前提 索菲亚是佩戴鼻饰的印度妇女， 小前提
所以索菲亚已婚
结论
形成概念：
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 下的结论，这种推理称为演绎推理．
演绎是P) S……M (S是M) S……P (S是P)
大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使 用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行 为。其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额 没有要求。 小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。
结论：小明犯了抢劫罪。
我们学习知识的目的是 为了使用，如果没有使用， 不是知识没有用，而是我们 没有用。
结论不一定正确，有待进一步证明。
在大前提、小前提 和推理形式都正确 的前提下，得到的 结论一定正确。
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎 推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。
布置作业：
1.P84 A组6题（用三段论证明）
2.练习册：A层同学做变式训练 B层同学做基础巩固
小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于 虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱 ，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人 抢取钱财。但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应 该不会很严重吧？？如果你是法官，你会如何判决呢？
P SM
大前提---已知的一般原理； 小前提---所研究的特殊对象； 结论---据一般原理，对特殊
对象做出的判断．
应用举例
例1、把下列问题写成三段论的形式．
（1）2018是偶数，所以2018能被2整除。
•
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理》优质课教案_18
2．1.2演绎推理教学设计整体设计教材分析《演绎推理》是高中数学中的基本思维过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考热点．演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法．本节内容相对比较抽象，教学中应紧密结合已学过的生活实例和数学实例，让学生了解演绎推理的含义，并在上一节学习的基础上，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，同时纠正推理过程中可能犯的典型错误，增强学生的好奇心，激发出潜在的创造力，使学生能正确应用合情推理和演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论．课时划分1课时．教学目标1．知识与技能目标了解演绎推理的含义，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，能正确地运用演绎推理，进行简单的推理．2．过程与方法目标了解和体会演绎推理在日常生活和学习中的应用，培养学生的逻辑推理能力，使学生学会观察，大胆猜想，敢于归纳、挖掘其中所包含的推理思路和思想；明确演绎推理的基本过程，提高学生的创新能力．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，体验推理源于实践，又应用于实践的思想，激发学生学习的兴趣，培养学生勇于探索、创新的个性品质．重点难点重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理证明．难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学过程引入新课观察与思考：新学期开始了，班里换了新的老师，他们是林老师、王老师和吴老师，三位老师分别教语文、数学、英语．已知：每个老师只教一门课；林老师上课全用汉语；英语老师是一个学生的哥哥；吴老师是一位女教师，她比数学老师活泼．问：三位老师各上什么课？活动设计：让学生带着浓厚的兴趣，先独立思考，然后小组交流．引导分析：启发学生把自己的思考过程借助于下列表格展示出来，从而解决问题．注意与学生交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在其他学生的不断补充、纠正下，会趋于准确．活动结果：林老师——数学，王老师——英语，吴老师——语文．设计意图本着“兴趣是最好的老师”的原则，结合生活中具体的实例，激发学生学习的兴趣，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，体会演绎推理的现实意义．探究新知判断下列推理是合情推理吗？分析推理过程，明确它们的推理形式．(1)所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电．(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以，(2100＋1)不能被2整除．(3)三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数．活动设计：学生口答，教师板书．学情预测：学生积极思考片刻，有学生举手回答且回答准确．活动结果：以上推理不是合情推理，它们的推理形式如下：(1)所有的金属都能导电，第一段铜是金属，第二段所以，铜能够导电．第三段(2)一切奇数都不能被2整除，第一段(2100＋1)是奇数，第二段所以，(2100＋1)不能被2整除．第三段(3)三角函数都是周期函数，第一段tanα是三角函数，第二段所以，tanα是周期函数．第三段提出问题：对于上面的三个推理，它们的推理形式有什么特点？活动设计：学生独立思考，并自由发言．学情预测：通过观察和分析，学生有足够的能力来解决上面所提问题．活动结果：上面的例子都有三段，是以一般的判断为前提，得出一些个别的、具体的判断：(1)所有的金属都能导电，大前提铜是金属，小前提所以，铜能够导电．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(2100＋1)是奇数，小前提所以，(2100＋1)不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提tanα是三角函数，小前提所以，tanα是周期函数．结论教师：演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．1．演绎推理是由一般到特殊的推理；2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．设计意图通过对演绎推理概念的学习，体会以“三段论”模式来说明演绎推理的特点，从中概括出演绎推理的推理过程，对演绎推理是一般到特殊的推理有一个直观的认识，训练和培养学生的演绎推理能力．理解新知提出问题：在应用“三段论”进行推理的过程中，得到的推理结论一定正确吗？为什么？例如：(1)所有阔叶植物都是落叶的，葡萄树是阔叶植物，所以，葡萄树都是落叶的．(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，而菱形是所有边长都相等的凸多边形，所以菱形是正多边形．(3)英雄难过美人关，我难过美人关，所以，我是英雄．活动设计：学生独立思考，先有学生自由发言，然后教师小结并形成新知．学情预测：学生们在积极思考，对(2)(3)两个小题的结论产生分歧，意见不统一．活动结果：(1)推理形式正确，前提正确，结论正确．(2)推理形式正确，大前提错误，结论错误．(3)推理形式错误(大、小前提没有连接起来)，结论错误．教师：通过上面的学习，学生们对演绎推理和“三段论”模式都有了更深的了解，其中特别注意：(1)三段论的基本格式M—P(M是P)(大前提)S—M(S是M)(小前提)S—P(S是P)(结论)(2)三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S 是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.(3)在演绎推理中，只有前提和推理形式都正确，结论才是正确的．设计意图通过所举的例子，教师可以了解学生对演绎推理和三段论模式的理解程度，明确概念的内涵和外延，加深理解，及时更正学生在认识推理中产生的错误和偏差．提出问题：合情推理与演绎推理有什么区别与联系？活动设计：学生独立思考，先由学生自由发言，然后教师小结并形成新知．活动结果：设计意图通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，有助于学生更清晰地理解和掌握这两种推理方法，并能灵活应用．运用新知例1如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等．思路分析：根据三段论的推理过程进行证明．证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提 在△ABC 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，——小前提 所以△ABD 是直角三角形．——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提 因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线，——小前提 所以DM ＝12AB.——结论同理EM ＝12AB.所以DM ＝EM.点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”．巩固练习由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理得出一个结论，则这个结论是( )A ．正方形的对角线相等B ．平行四边形的对角线相等C ．正方形是平行四边形D ．其他 答案：A例2证明函数f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．思路分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间(a ，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增．小前提是f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内有f ′(x)>0，这是证明本例的关键． 证明：f ′(x)＝－2x ＋2，因为当x ∈(－∞，1)时，有1－x>0， 所以f ′(x)＝－2x ＋2＝2(1－x)>0，于是，根据“三段论”，可知f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，并加深对演绎推理的认识．教师：许多学生能写出证明过程，但不一定非常清楚证明的逻辑规则，因此在表述证明过程时往往显得杂乱无章，通过这两个例子的教学，应当使这种状况得到改善．变练演编(1)已知a ，b ，m 均为正实数，且b<a ，求证：b a <b ＋ma ＋m.(2)已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，则1＋ <1＋.思路分析：(1)中根据演绎推理的证明过程进行证明；(2)中不必证明，答案不唯一． 证明：(1)不等式两边乘以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b<a ，m>0，——小前提 所以mb<ma.——结论不等式两边加上同一个数，不等式仍成立，——大前提 mb<ma ，ab ＝ab ，——小前提所以ab ＋mb<ab ＋ma ，即b(a ＋m)<a(b ＋m)．——结论 不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b(a ＋m)<a(b ＋m)，a(a ＋m)>0，——小前提所以，b (a ＋m )a (a ＋m )<a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a <b ＋m a ＋m .——结论(2)c 1＋c <a ＋b 1＋a ＋b (答案不唯一，例如a1＋a <c ＋b 1＋c ＋b)． 点评：通过证明(1)中不等式成立，感知条件与结论的不唯一性，例如：已知a ，b ，m 均为正实数，若a<b ，求证：a b <a ＋mb ＋m.(2)中加强学生思维的灵活性、分析问题的深刻性．活动设计：学生讨论交流并回答问题，老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结论一一列举，并由学生予以评价．设计意图通过变练演编，使学生对演绎推理的认识不断加深，同时培养学生逻辑思维的严谨性． 达标检测1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线；已知直线平面α，直线平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 答案：1.D 2.C 3.A课堂小结1．知识收获：(1)演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．方法收获：利用演绎推理判断进行证明的方法与步骤：①找出大前提；②找出小前提；③根据“三段论”推出结论．3．思维收获：培养和训练学生严谨缜密的逻辑思维．布置作业课本本节练习1、2、3.补充练习基础练习1．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论．2．下面说法正确的有()(1)演绎推理是由一般到特殊的推理；(2)演绎推理得到的结论一定是正确的；(3)演绎推理的一般模式是“三段论”形式；(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列几种推理过程是演绎推理的是()A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图4．已知△ABC，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论5．用演绎推理法证明y＝x是增函数时的大前提是______．答案：1.解：二次函数的图象是一条抛物线(大前提)，函数y＝x2＋x＋1是二次函数(小前提)，所以，函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线(结论)．2．C 3.A 4.B 5.增函数的定义拓展练习6．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.证明：如图，作AE⊥SB于E.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.∵AB⊂平面SAB，∴AB⊥BC.设计说明由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学方式会使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是上好本节课的关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去总结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．学生对于演绎推理和三段论的理解，需要经过一定时间的体会，先给出学生常见问题的解决步骤，结合以前所学的知识来解决问题，在教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析问题．引导学生从日常生活中的推理问题出发，激发学生的学习兴趣，结合学生熟知的旧知识归纳新知识，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使学生的认知结构更趋于合理．备课资料例1小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论．小王说：“我肯定考上重点大学．”小刘说：“重点大学我是考不上了．”小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题．”发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反．可见() A．小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学B．小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学C．小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学D．小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上解析：根据推理知识得出结论．答案：C例2已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m∥β，给出下列四个命题：(1)若α∥β，则l⊥m；(2)若l⊥m，则α∥β；(3)若α⊥β，则l∥m；(4)若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：根据演绎推理的定义，逐一判断结论的正误．由直线和平面、平面和平面平行和垂直的判定定理、性质定理，可知应选B.答案：B点评：以准确、完整地理解条件为基础，才能判断命题的正误．例3函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是______．解析：根据函数的性质进行判断．∵函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，∴0＜x＋2＜2，即－2＜x＜0.∴函数y＝f(x＋2)在(－2,0)上是增函数．又∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x＋2)在(0,2)上是减函数．由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)．故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)．答案：f(2.5)>f(1)>f(3.5)点评：根据函数的基本性质，结合三段论的推理模式可得．例4已知lg2＝m，计算lg0.8.分析：利用所学的推理知识解决问题．解：lga n＝nlga(a>0)，——大前提lg8＝lg23，——小前提lg8＝3lg2.——结论lg ab＝lga－lgb(a>0，b>0)，——大前提lg0.8＝lg 810，——小前提所以lg0.8＝lg8－1＝3lg2－1＝3m－1.——结论点评：找出三段论的大前提与小前提即可得到答案．设计者：李效三2018年5月22日星期二。
2019-2020人教A版数学选修1-2 第2章 2.1 2.1.2 演绎推理课件PPT
B [对于 A，小前提与大前提之间逻辑错误，不符合演绎推理三段论 形式；对于 B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于 C，大小前提 颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于 D，大小前提及结论颠倒，不符 合演绎推理三段论形式．]
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用三段论证明几何问题 【例 2】 如图所示，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出 “三段论”形式的演绎推理．
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[解] (1)大前提：平行四边形的对角线互相平分，小前提：菱形是平 行四边形，
结论：菱形的对角线互相平分． (2)大前提：等腰三角形的两底角相等， 小前提：∠A，∠B 是等腰三角形的底角， 结论：∠A＝∠B.
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(3)大前提：数列{an}中，如果当 n≥2 时，an－an－1 为常数，则{an}为 等差数列，
“①小宏在 2018 年的高考中考入了重点本科院 中，②是大前提，③
校；②小宏在 2018 年的高考中只要正常发挥就能考 是小前提，①是结论．] 入重点本科院校；③小宏在 2018 年的高考中正常发
挥”中，“小前提”是________(填序号)．
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3．下列几种推理过程是演绎推理的是________． ① [①是演绎推 ①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相 理；②是归纳推理； 等，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的内错角，则∠A ③④是类比推理．] ＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以 一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科 学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
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1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π 是无理数；结论： π 是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π 是无限不循环小 数；结论：π 是无理数 C．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理 数；结论：π 是无理数 D．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：π 是无理数；结论：无 限不循环小数是无理数
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理》优质课教案_16
§2.1.2演绎推理教学设计一、学习目标1、知识目标①让学生知道演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异。
②能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理。
①结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念。
②通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程。
③通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式。
3、情感态度与价值观目标：让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲。
二、①重点：知道演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.；②难点：利用三段论证明一些实际问题。
三、学习方法：问题诱思法四、教学过程1、引入:问题1：在美丽的云南大理，居住着一个古老的少数民族——白族，那里的人们都把未婚女孩叫做“金花”，未婚男孩叫做“阿鹏哥”。
小李家在大理，大家平时都叫她“金花”，那么小李（ ）A ：是个女孩，已婚B ：是个男孩，已婚C ：是个女孩，未婚D ：是个男孩，未婚生答： 选C设问：上述推理是合情推理吗？为什么？生答（1）：是，因为上述例子是从特殊到一般的推理。
生答（2）：不是，上述例子是从一般到特殊的推理，所以不是合情推理。
【师点评】：第一位同学回答错误，上面这个例子它是从一般到特殊的推理，因此它并不是合情推理。
2、概念的提炼问题2：请同学们思考下列推理有何特点？① 所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能导电。
② 太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行。
③ 一切奇数都不能被2整除，)12(100+是奇数，所以)12(100+不能被2整除。
④ 三角函数都是周期函数，∂tan 是三角函数，因此∂tan 是周期函数。
⑤ 两条直线平行，同旁内角互补。
如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°生答：上述例子都是从一般到特殊的推理。
人教版高中数学选修1-2课件 《演绎推理》2
2．1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演 绎 推 理
1
栏 目 链 接
2
1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理
的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些
简单推理.
栏
目
差异.2.通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和链接
3
栏 目 链 接
4
基础
11
2．合情推理与演绎推理的区别与联系
区别：从推理形式和推理所得的结论上讲，二者有差异.
栏 目 链 接
12
栏 目 链 接
13
题型一 “三段论”模式及其理解
例1 将下列的演绎推理写成“三段论”的形式．
(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角
线相互垂直．
(2)奇数不能被 2 整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被 2 栏
∴MD∥AP，
又 MD⊄平面 APC，AP⊂平面 APC，
∴MD∥平面 APC.
(2)∵△PMB 为正三角形，且 D 为 PB 中点，
栏
∴MD⊥PB.
目
又由(1)知 MD∥AP，
链
∴AP⊥PB.
求 证 ： ∠ACD ＞ ∠BCD.① 证 明 ： 在 △ABC 中 ，
∵CD⊥AB，AC＞BC ②∴AD＞BD ③∴∠ACD
栏
＞∠BCD.则在上面证明过程中错误的是________(只 目
链
填序号).
接
解析：AD，BD不在同一个三角形中，③错误． 答案：③
9
栏 目 链 接
10
1．“三段论”的表示形式
和是 180°
·
高中数学人教A版选修1-2第二章《2.1.2 演绎推理》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
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【省级名师教案】
1教学目标
1.了解演绎推理的含义。
2.能正确地运用演绎推理进行简单的推理。
3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
2学情分析
学生熟悉三段论推理过程,但对推理形式是否正确存在误区。
3重点难点
重点:正确地运用演绎推理、进行简单的推理。
难点:了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】导入新课
现在冰雪覆盖的南极大陆,地质学家说它们曾在赤道附近,是从热带飘移到现在的位置的,为什么呢?原来在它的地底下,有着丰富的煤矿,煤矿中的树叶表明它们是阔叶树。
从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候。
所以南极大陆曾经在温湿的热带。
被人们称为世界屋脊的西藏高原上,一座座高山高入云天,巍然屹立。
西藏高原南端的喜马拉雅山横空出世,雄视世界。
珠穆郎玛峰是世界第一高峰,登上珠峰顶,一览群山小。
谁能想到,喜马拉雅山所在的地方,曾经是一片汪洋,高耸的山峰的前身,竟然是深不可测的大海。
地质学家是怎么得出这个结论的呢?
科学家们在喜马拉雅山区考察时,曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石。
还发现了鱼龙的化石。
地质学家们推断说,鱼类贝类生活在海洋里,在喜马拉雅山上发现它们的化石,说明喜马拉雅山曾经是海洋。
科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法,就是一种名叫演绎。
高中数学人教A版选修1-2第二章 2.1 2.1.2 演绎推理课件
(3)模式：三段论．
2．三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
[点睛] 用集合的观点理解三段论 若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子 集，那么 S 中所有元素也都具有性质 P.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
2．1.2 演绎推理
预习课本 P30～33，思考并完成下列问题
(1)什么是演绎推理？它有什么特点？ (2)什么是三段论？一般模式是什么？ (3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系？
[新知初探]
1．演绎推理
(1)概念：从一般性的原理 出发，推出某个特殊情况 下的 结论 ，我们把这种推理称为演绎推理．
演绎推理在几何中的应用
[典例] 如图所示，D，E，F 分别是 BC， CA，AB 边上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求 证：DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
[解] (1)同位角相等，两直线平行，(大前提) ∠BFD 和∠A 是同位角，且∠BFD=∠A，(小前提) 所以 DF∥AE.(结论)
D．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：π 是无理数；结论： 无限不循环小数是无理数
解析：选 B 对于 A，小前提与大前提间逻辑错误，不 符合演绎推理三段论形式；对于 B，符合演绎推理三段 论形式且推理正确；对于 C，大小前提颠倒，不符合演 绎推理三段论形式；对于 D，大小前提及结论颠倒，不 符合演绎推理三段论形式.
演绎推理在代数中的应用 [典例] 已知函数 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a＞1)，求证：函数 f(x)在 (－1，＋∞)上为增函数． [证明] 对于任意 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，若 f(x1) ＜f(x2)，则 y＝f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．(大前提) 设 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
人教A版高中数学选修12 2. 演绎推理教学课件
三段论可以表示为
大前提：M是P 小前提：S是M 结 论：S是P
用集合的观点来理 解三段论
S
M
例1：用三段论的形式写出下列演绎推理。 二次函数 yx22x1 的图像是 一条抛物线
大前提 小前提 结论
二次函数的图像是一条抛物线
yx22x1是二次函数
二次函数 yx22x1
的图像是一条抛物线
练习：1、菱形的对角线互相平分 2、函数y＝2x＋5的图象是一条直线。
A
B D
小前提错，本题省略了大前提“在一个三角形中，大边 对大角”，而解答过程中，小前提“AD＞BD”中AD和 BD两条线段不在同一三角形中.所以推理不正确.
练习：(1)求证：四边形的内角和等于360°.
证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个 角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝ 90°＋90°＋90°＋90°＝360°.所以， 四边形的内角和等于360°.
（ A）
A 是男孩，并受到家里的重视
B 与父母的关系搞的好
C 有头脑，接受了新思想
D 纯粹是为了赚钱而上学
2．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，若 某奇数(S)是9的倍数(M)，故该奇数(S)是3
D 的倍数（P）。”上述推理是( )
A．小前提错误
B．大前提错误
C．结论错误
D．正确的
3 .因为指数函数 y a x是增函数 ,
▪
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
▪
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
▪
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：2.1.2 演绎推理 教学能手示范课
综上所述，函数f(x)的值恒为正数。
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4.完全归纳推理 在这个证明中，对x的所有可能的取值
都给出了f(x)为正数的证明，所以断定f(x) 恒为正数。
这种把所有情况都考虑在内的演绎推理 规则叫做完全归纳推理。
在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确
联系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的
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练习2.
1.下列推理的两个步骤分别遵循哪种推理规则？
因为AB∥CD 所以∠1＝∠2
1
A
B
又因为∠2＝∠3 所以∠1＝∠3
2
C
D
3
2.已知函数 f (x） x10 x7 x4 x 1
立,则函数f(x) 是区间D上的增函数.
大前提
f /(x)=-2x+2= -2(x-1)
因为 x<1 所以 x-1<0
所以 f / (x)>0
小前提
所以函数f (x)=－x2＋2 x在(-∞,1)是增函数. 结论
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说明：
在用三段论推理证明时，大前提的实质是使 推理得以进行下去的依据。大前提往往省略.
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3.传递性关系推理
例3.求证：当a>1时，有loga(a+1)>log(a+1)a
证明：因为 a>1
所以loga(a+1)>logaa=1
【数学课件】高二数学选修1-2《演绎推理》课件(人教版)
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
三段论的基本格式
M—P（M是P） S—M（S是M） S—P（S是P）
（大前提） （小前提）
（结论）
演绎推理
例1、把“函数y x2 x 1的图象是一条抛物线” 恢复成完全三段论。
高中数学选修1-2《2.2.1 演绎推理》教案
第三课时2.1.2 演绎推理教案教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。
.教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.教学过程：一、复习准备：1. 练习： ① 对于任意正整数n ，猜想（2n -1）与(n +1)2的大小关系？②在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则.2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？3. 导入：① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ； ③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .（填空→讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？→课题：演绎推理）二、讲授新课：1. 教学概念：① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
要点：由一般到特殊的推理。
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；演绎推理：由一般到特殊. P——所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断. ④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.2. 教学例题：① 出示例1：证明函数2()2f x x x =-+在(],1-∞-上是增函数.板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论.② 出示例2：在锐角三角形ABC 中，,AD BC BE AC ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.分析：证明思路 →板演：证明过程 → 指出：大前题、小前题、结论.③ 讨论：因为指数函数x y a =是增函数，1()2x y =是指数函数，则结论是什么？ （结论→指出：大前提、小前提 → 讨论：结论是否正确，为什么？）④ 讨论：演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确）3. 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）三、巩固练习：1. 练习：P 42 2、3题 2. 探究：P 42 阅读与思考 3.作业：P 44 6题，B 组1题.。
人教B数学选修1-2课件：第2章2.12.1.2演绎推理
第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理学习目标1 .理解演绎推理的意义.（重点）2. 掌握演绎推理的基本模式，并 能运用它们进行一些简单推 理.（难点）3. 了解合情推理和演绎推理之间 的区别和联系.（易混点）通过学习演绎推理及利用演绎推 理证明数学问题，提升学生的逻辑 推理素养.知1^嘗L匚新知初探口一'演绎推理1.含义由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做演绎推理.2 •特点当前提为真时，结论必然为真.二\三段论匚初试身手二1.判断(正确的打“J”，错误的打“X”)⑴演绎推理一般模式是“三段论”形式.(2)演绎推理的结论是一定正确的.(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.［解析］(1)正确.演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提利结论.(2)错误.在演绎推理中，只有“大前提” “小前提”及推理形式都正确的情况下，其结论才是正确的.(3)错误.演绎推理是由一般到特殊的推理.［答案］(1)7 ⑵ X (3)X2（锐角三角形ABC 中，求证sinA+sin B+sin C>cos A+cos B +cos C.［证明］V MBC为锐角三角形,71.)?=sinx在0,亍上是增函数,.\sinA>sin^-5 =cos B.& )司理可得sin B>cos C, sin C>cos A, •: sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.F严严护\类型\J把演绎推理写成三段论的形式【例1】将下列演绎推理写成三段论的形式.⑴一切奇数都不能被2整除,75不能被2整除，所以75是奇数.(2)三角形的内角和为180°, RtAABC的内角和为180°.(3)菱形的对角线互相平分.(4)通项公式为偽=3〃+2(心)的数列｛偽｝为等差数列.［思路探究］三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果冃C, 5,则Qc・”其中，冃C为大前提,提供了已知的 -般性原理；刊为小前提，提供了-个特殊情况；Kc为大前提和小前提联合产生的逻辑结果.［解］⑴一切奇数都不能被2整除.（大前提）75不能被2整除.（小前提）75是奇数.（结论）是三角形.（小前提）（3）平行四边形的对角线互相平分・（大前提）菱形是平行四边形.（小前提）菱形的对角线互相平分.（结论）（4）数列｛酣中，如果当论2时，偽-如为常数，则｛偽｝为等差数列.（大前提）通项公式偽=3"+2, “22时’a厂偽一i=3"+2—[3（〃_1）+2]=3（常数）.（小刖提）通项公式为偽=3〃+2Q2）的数列｛偽｝为等差数列.（结论）规律方袪1.三段论推理的根据，从集合的观点来讲，若集合M的所有元素都具有性质P, S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2.演绎推理最常用的模式是三段论，在大前提和小前提正确，推理形式也正确时，其结论一定是正确的.1. (1)三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，② 这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是()A.①B.②C.①②D.③(2)将推断“若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若上1和上2是对顶角，则上1和上2相等”改写三段论的形式.［解析］（1）大前提为①，小前提为③，结论为②.［答案］D（2）两个角是对顶角，则这两个角相等，（大前提）上1和Z2是对顶角，（小前提）上1和Z2相等.（结论）【例2】证明»=%3+x在R上为增函数，并指岀证明过程中所运用的“三段论” •［思路探究］可利用函数单调性定义证明.［解］在R 上任取q,匕，且QS ，则兀2一浙＞0・即他)和)，所以yw=『+x 在R 上是增函数.+卷+1>0,所以加2)-加1)>0,因为 »=x 3+x, =（%2一%1）（X ；+兀2%1+#+ 1） =（%2一%1）・在证明过程中所用到的“三段论”：大前提是“增函数的定义”，小前提是“题中的血）经过正确的推理满足增函数的定义”，结论是“/⑴是增函数”.规律方袪1.应用二段论解决冋题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.2.数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.2.如图所示，D, E, F分别是BC, CA, AB 边上的点，ZBFD二ZA, DE//BA,求证: DE二AF.写岀“三段论”形式的演绎推理.［证明］①因为同位角相等，两直线平行，（大前提）/BFD和Z4是同位角，且ZBFD=ZA,（小前提）所以DF 〃血（结论）②因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）DE//BA且DF〃胡，（小前提）所以四边形AFDE为平行四边形.（结论）DE和肚为平行四边形的对边, 所以DE=AF.（结论）（大前提）（小前提）合情推理与演绎推理的综合应用［探究问题］1.我们己经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数列”，请你给岀“等积数列”的定义.［提示］如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积合情推理与演绎推理的综合应用是同一个常数,那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积.2-若｛加是等积数列,1首项0=2,公积为6,试写岀阀的通项公式及前〃项和公式.［提示］由于｛偽｝是等积数列,且首项0=2,公积为6,所以© =3,偽=2,偽=3,岛=2,佻=3,・•・，即｛偽｝的所有奇数项都等于2, 所有偶数项都等于3,因此血｝的通项公式为偽』嘗$3, 〃为偶数.S/7罗，〃为偶数,其前诃和公式S占弓+2二丁〃为奇数.3.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A, B, C三个城市时, 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为A, B, C三个城市中的哪一个？［提示］由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多, 而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A, C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A,由此可知，乙去过的城市为A.【例3］如图所示，三棱锥人-BCD 的三条 侧棱AB, AC, AD 两两互相垂直，0为点人在 底面BCD 上的射影.⑴求证：0为△BCD 的垂心；⑵类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的A C个关系，并给岀证明.［思路探究］⑴利用线面垂直与线线垂直的转化证明0为△BCD的重心.(2)先利用类比推理猜想岀一个结论，再用演绎推理给出证明.［解］(1)证明:TAB丄AD, AC丄AD, ABHAC=A,・・・AD丄平面ABC.又TBCU平面ABC, :.ADLBC,又TAO丄平面BCD, ：・AO丄BC,,：ADM0=A,・・・BC丄平面AOD,・：BC丄DO,同理可证CD丄BO,・：O为ABCD的垂A证明如下: 连接DO 并延长交BC 于E, 连接AE, BO, CO, 由⑴知AD 丄平面ABC, AEU 平面 ABC, :.ADLAE,又AO 丄ED, :.AE —EOED,⑵猜想:二S1BCD-2S^ABD = S 5B0D・ SABCD-• r 2I c 2 I c 2 _• • J AABC I J AACD I J AABD —S/XBCD\S^BOC +S HOD +S^BOD)即处ABC=S5B0C S/\BCD・同理可证: SL ICD=S 乂0卩SABCD ‘S HBCD S'BCD= S 纟BCZ)・规律方进一A JMC L _ I J BB L I iE合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真•但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）.3.已知命题：“若数列｛偽｝是等比数列，且為＞0,则数列九=S0GN+）也是等比数列” •类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.［解］类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是： 若数列｛©｝是等差数列，则数列九/+葺…+偽也是等差数列. 证明如下： 设等差数列也｝的公差为d,则你/+叮…+偽=所以数列血｝是以0为首项，辛为公差的等差数列.,n(n~l)d〃山+ 2nd_十 2（" 一1.演绎推理中的“一般性原理”包括（）①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经验.A.①②B.①③C.②③D.①②③［解析］演绎推理中的“一般性原理”包括“已有的事实” “定义、定理、公理等” •［笞案］A2.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行，同旁内角互补，如果ZA与是两条平行直线的同旁内角，则ZA+Z5=180°B.某校高三⑴班有55人，(2)班有54人,(3)班有52人,由此得岀高三所有班级中的人数都超过50人C.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质, 1( 1 ] 、D.在数列｛偽冲，偽=1,偽1+ —(〃$2),通过计算°2,企偽-1丿〃3，猜想岀偽的通项公式。
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特点 由_一__般___到__特__殊__的推理
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第二章 推理与证明
2．三段论
大前提 小前提
结论
一般模式 已知的一般原理 所研究的特殊情况 根据一般原理，对特殊 情况做出的判断
常用格式 M是P S是M
S是P
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第二章 推理与证明
[注意 ] 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理， 类比推理是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特 殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定 正确，有待进一步证明，演绎推理在大前提、小前提和推理 形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
mb<ma，(小前提 )
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第二章 推理与证明
所以，mb＋ab<ma＋ab，即 b(a＋m)<a(b＋m)．(结论) 因为不等式两边同除以一个正数， 不等号不改变方向，(大前 提) b(a＋ m)<a(b＋m)，a(a＋m)>0，(小前提 ) 所以， ba（（aa＋＋mm） ）<aa（ （ba＋＋mm）），即 ba<ba＋＋mm.(结论 )
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第二章 推理与证明
[解] (1)等腰三角形的两底角相等， (大前提) ∠A，∠B 是等腰三角形的底角， (小前提) ∠A＝∠B.(结论) (2)数列{an}中，如果当 n≥2 时，an－an－1 为常数，则 {an}为 等差数列， (大前提) 通项公式为 an＝2n＋3 时，若 n≥2，则 an－an－1＝2n＋3－[2(n －1)＋3]＝2(常数 )， (小前提 ) 通项公式为 an＝2n＋3 的数列{an}为等差数列． (结论)
第二章 推理与证明
2．1.2 演绎推理
第二章 推理与证明
1.理解演绎推理的意义． 2.掌握演绎推理的基本模 式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．
第二章 推理与证明
1．演绎推理
含义
从一般性的原理出发，推出 _某__个__特__殊___情__况__下___
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第二章 推理与证明
用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中 的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊 情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内 在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提 都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件 作为大前提．
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第二章 推理与证明
探究点二 演绎推理在证明代数中的应用 已知函数 f(x)＝22xx－ ＋11(x∈R)． (1)判断函数 f(x)的奇偶性；
(2)判断函数 f(x)在 R 上的单调性，并证明．
[解]
(1)因为
f(－
x)＝22－－xx－ ＋11＝11－＋22xx＝－
2x－ 2x＋
1 1
＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数．
证明：因为∠ A＝30°，∠B＝60°，所以∠A＜∠B．
所以 a＜b.其中，划线部分是演绎推理的 ( )
A．大前提
B．小前提
C．结论 答案： B
D．三段论
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第二章 推理与证明
3．自然数是整数，4 是自然数，所以 4 是整数，以上三段论 推理( ) A．正确 B．推理形式正确 C．两个自然数概念不一致 D．两个整数概念不一致 答案： A
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第二章 推理与证明
4．正弦函数是奇函数， f(x)＝sin x2 是正弦函数，所以 f(x) ＝sin x2 是奇函数，以上“三段论”中的 ________是错误的．
答案：小前提
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第二章 推理与证明
探究点一 用三段论的形式表示演绎推理 将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)等腰三角形的两底角相等，∠ A，∠B 是等腰三角形的底 角，则∠ A＝∠ B. (2)通项公式为 an＝2n＋3 的数列{an}为等差数列．
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第二章 推理与证明
(2)f(x)在 R 上为单调递增函数，证明如下：
设 x1>x2，则 f(x1)－f(x2)＝22xx11－＋11－22xx22－＋11
（2x1－1）（2x2＋1）－（2x2－1）（2x1＋1）
＝
（2x1＋1）（2x2＋）（2x2＋
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第二章 推理与证明
解：(1)推理形式是正确的，但大前提是错误的．因为对数函 数 y＝logax 的单调性与底数 a 的取值有关，若 0＜a＜1，则
y＝logax 为减函数；若 a＞1，则 y＝logax 为增函数，所以 推理的结论是错误的． (2)推理形式是正确的，但小前提是错误的．因为若三点共线， 则可确定无数个平面，只有不共线的三点才满足题意，所以 推理的结论是错误的．
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第二章 推理与证明
2.已知 a，b，m 均为正实数， b<a，用三段论
形式证明
b b＋m a<a＋m.
证明：因为不等式两边同乘以一个正数， 不等号不改变方向，
(大前提 ) b<a，m>0， (小前提 ) 所以， mb<ma.(结论 ) 因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提 )
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第二章 推理与证明
1．判断下列命题 (正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)“三段论”就是演绎推理． ( ) (2)演绎推理的结论一定是正确的． ( ) (3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理． ( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
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第二章 推理与证明
2．已知△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.
1）.
因为 x1>x2，所以 2x1>2x2>0.
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第二章 推理与证明
所以 2x1－2x2>0，2x1＋1>0，2x2＋1>0.
所以
（
2（2x1－2x2） 2x1＋1）（2x2＋1）>0.
所以 f(x1)>f(x2)．
所以 f(x)在 R 上为单调递增函数．
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第二章 推理与证明
演绎推理是数学推理证明的常见方法，在大小前提和推理形 式都正确的前提下，由演绎推理所得到的结论一定为真 .
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第二章 推理与证明
1. 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确 吗？为什么？ (1)因为对数函数 y＝logax 是增函数．大前提 而 y＝log1x 是对数函数， 小前提
3
所以 y＝log1x 是增函数． 结论
3
(2)因为过不共线的三点有且仅有一个平面， 大前提 而 A，B，C 为空间三点， 小前提 所以过 A，B，C 三点只能确定一个平面． 结论