解三角形 角度、高度问题
解三角形应举例(2)(3)高度和角度的测量
B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
A
D
解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根 BC AB 据正弦定理， sin( ) sin(90 )
BC sin(90 ) BC cos 所以，AB sin( ) sin( )
5 3 sin 38 14
0
解：设巡逻船沿 AB方向经过x小时后在B处 追上走私船，则 CB 10x, AB 14x, AC 9 ACB 750 450 1200 由余弦定理得 AB 2 AC 2 BC 2 2 AC BC cos 120 0
即 (14 x) 2 9 2 (10 x) 2 2 9 10 x cos 120 0
BC cos sin 解RtABD, 得，BD AB sin BAD sin( ) 28cos30 sin 60 42(m) sin(60 30 )
CD=BD-BC=42-28=14(m) 答：山的高度约为14米。
例2 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶， 到A处时测得公路北测远处一山顶D在西偏北15º的方向上， 行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25º的方向上， 仰角为8º，求此山的高度CD. sin 150 0.26, sin 100 0.17,
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
解：在⊿ABC中， ∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理，
CD=BD-BC≈177-27.3=150(m) 答：山的高度约为150米。
练习1: 在山顶铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角α＝ 60° ，在塔 底C处测得A处的俯角β＝30°。 已知铁塔BC部分的高为28m，求 出山高CD. 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
解三角形角度、高度问题
第 2 课时 角度、高度问题学习目标 1.准确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念 .2.掌握测量高度的常见方法 .3.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题 . 知识点一 测量仰角 （或俯角 ） 求高度问题思考 如图， AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，如果能测出点 C ，D 间的距离 m 和由 C 点，D 点观察 A 的仰角， 怎样求建筑物高度 AB ？ （已知测角仪器的高是h)在 Rt △AEC 中，AE ＝ ACsin α，AB ＝AE ＋h. 梳理 问题的本质如图，已知 ∠AEC 为直角，CD ＝m ，用 α，β，m 表示 AE 的长，所得结果再加上 h.知识点二 测量方向角求高度答案 解题思路是：在△ 所以 msin β sin α－βACD 中， AC ＝ m sin β sin α－ β.思考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行A 处时测得公路北侧远处一山顶驶，到D 在北偏西 75 °的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山顶在北偏西 65°的方向上，仰角为 8°，怎样求此山的高度 CD?5sin 15 °BC ＝5s s i i n n 1105 ，°°再在 Rt △DBC 中求 DC ＝BCtan 8.° 梳理 问题本质如图，已知三棱锥 D －ABC ，DC ⊥平面 ABC ，AB ＝m ，用 α，β，m ，γ表示DC 的长 .1.在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针 .(× )2.在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影.(√ )类型一 测量仰角 (或俯角 )求高度问题 例 1 如图所示， D ，C ，B 在地平面同一直线上， DC ＝10 m ，从 D ，C 两地测得 A 点的仰角分别为 30°和 45°，则 A 点离地面的高 AB 等于 ( )解析 方法一 设 AB ＝x m ，则 BC ＝x m.答案 先在△ ABC 中，用正弦定理求A.10 mC.5（ 3－1） m考点 解三角形求高度 题点 测量俯角 (仰角 )求高度 答案 D B.5 3 m D.5（ 3＋1） m∴BD ＝（10＋x） m.解得 x ＝5（ 3＋1） m.∴A 点离地面的高 AB 等于 5( 3＋1) m.方法二 ∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝135°， ∴∠CAD ＝ 180°－ 135°－ 30°＝ 15°.∴AB ＝ACsin 45 ＝°5( 3＋1) m.反思与感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形 .(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的 垂足在同一条直线上，观测者一直向 “目标物 ”前进.跟踪训练 1 某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 35°，沿倾斜角为 20°的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 65°，则山的高度为 m.( 精确到 1 m)答案 811解析 如图，过点 D 作 DE ∥AC 交 BC 于E ， 因为 ∠DAC ＝20°， 所以 ∠ADE ＝160°， 于是 ∠ADB ＝360°－160°－ 65°＝135°.又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以 ∠ABD ＝30°.在 △ABD 中，由正弦定理，得ADsin ∠ ADB 1 000×sin 135 °AB ＝ ＝ ＝ 1 000 2(m).sin ∠ ABD sin 30 °在 Rt △ABC 中，BC ＝ABsin 35 ≈°811(m).答 山的高度约为 811 m.类型二 测量方向角求高度问题例 2 如图所示， A ，B 是水平面上的两个点，相距 800 m ，在 A 点测得∴tan ∠ADB ＝ AB ＝ x ＝ 3.DB 10＋ x 3由正弦定理，得 AC ＝·sin ∠ ADC10 ·sin 30 ＝° 20·sin 30 ＝° sin 15 ° 6－ 2山顶 C 的仰角为 45°，∠ BAD ＝120°，又在 B 点测得∠ ABD＝45°，其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度解由于 CD⊥平面 ABD，∠CAD ＝45°，所以 CD＝AD.因此只需在△ABD 中求出 AD 即可，在△ABD 中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，AB AD 由＝， sin15 °sin 45 °2800× 得 AD＝AB si·n s i1n545°＝°6－22＝800( 3＋1)(m).4即山的高度为 800（ 3＋1） m.反思与感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“ 目标物” ，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题跟踪训练 2 如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B的正东＝45°，则塔 AB 的高是（）A.10 mC.10 3 m考点解三角形求高度题点测量方向角、仰角求高度答案 D 解析在△BCD 中， CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝ 15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，方向上，测得点A 的仰角为 60°，再由点C 沿北偏东 15°方向走 10 m 到位置D ，测得∠ BDCB.10 2 mD.10 6 mBC CD 由正弦定理，得 sin ∠BC BDC ＝sin ∠CDDBC ，又∠ABC ∈（0°，60°），∴∠ ABC ＝45°， ∴ B 点在 C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝ 90°＋ 30°＝120°，BD CD在 △BCD 中，由正弦定理得 BD ＝ CD ，sin ∠ BCD sin ∠ CBD∴ 缉私船沿北偏东 60°的方向行驶BC ＝ 10sin 45 °＝°10 2（m ）. 在 Rt △ABC 中， tan 60 ＝° AB ， BC，AB ＝ BC ×tan 60 ＝°10 6（m ）. 类型三 航海问题例 3 如图， 在海岸 A 处发现北偏东 45°方向， 距 A 处 （ 3－1）海里的 B 处 有一艘走私船 .在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处2 海里的 C 处的我方缉私 船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜 .问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求 出所需时间 .考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获 （在 D 点 ）走私船，则 CD ＝ 10 3t ，BD＝10t ，在 △ABC 中，由余弦定理，有 ＝（ 3－ 1）2＋ 22－ 2（ 3－ 1） ·2·cos 120 ＝°6. ∴ BC ＝ 6.又 ∵ BC sin A AC， sin ∠ABC ， sin ∠ABC ＝ AC ·si n A 2·sin 120 ° ＝ 2， 2， ∴ sin ∠ BCD ＝ BD ·sin ∠ CBD CD 10t ·si n 120 10 3t1. 2. 又∵∠BCD ∈（0 °， 60°）， ∴∠ BCD ＝ 30°，又在 △BCD 中， ∠ CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠ D ＝30°，∴BD ＝BC ，即 10t ＝ 6.∴t ＝ 106小时 ≈15分钟 .∴缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟 . 反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角 （方向角 ），二要弄清不动点 （三角形顶点 ），然后根 据条件，画出示意图，转化为解三角形问题 跟踪训练 3 甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60°的 B 处，乙船以每小时 a 海里的速度向北行 驶，已知甲船的速度是每小时 3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进， 才能最快与乙船相遇？ 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 如图所示 .设经过 t 小时两船在 C 点相遇， 则在 △ABC 中，BC ＝ at （海里 ），AC ＝ 3at （海里 ），B ＝90°＋ 30°＝120°，由 BC ＝ AC ，得 sin ∠ CAB sin BBCsin B at ×sin 120 sin ∠ CAB ＝ AC ∵0°<∠CAB<60°，∴∠ CAB ＝30°， ∴∠DAC ＝ 60°－ 30°＝30°，∴ 甲船应沿着北偏东 30°的方向前进，才能最快与乙船相遇1. 某公司要测量一水塔 CD 的高度，测量人员在地面选择了 A ，B 两个 观测点，且 A ，B ， C 三点在同一直线上，如图所示，在 A 处测得该水 塔顶端 D 的仰角为 α，在 B 处测得该水塔顶端 D 的仰角为 β. 若 AB ＝3 ＝ 2 ＝ 1， ＝ 3＝ 2， 3ata,0<β<α<2π，则水塔 CD 的高度为（) A. asin α－ βsin αA. sin βasin β sin α－β答案在△ ABC 中，由正弦定理得 sin A 3B 0 ＝°sin A 1C 35 ， ∴AC ＝ 100 2.AC＝ CD sin θ＋ 90° sin 153.一架飞机在海拔 8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为 ___ m.（精确到 0.1 m ）考点 解三角形求宽度题点 已知高度、俯角 （仰角 ）求宽度答案 5 856.4 B.asin αsin β sin α－ β C. sin α D. sin α－ βsin β考点 解三角形求高度 题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 B解析 根据题意知，在 △ABD 中，∠ ADB ＝ α－ β，由正弦定理， 得 sin αs A in D β，即 AD sin β在 Rt △ACD 中， CD ＝ADsin asin αsin β α＝ . sin α－ β 2. 如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C对于山坡的斜度为 15°，向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山坡的斜度为 45°，若 CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为 θ，则 cos θ等于（A. 3 2B. 22C. 3－ 1D. 2－ 1考点 解三角形求角度题点 解三角形求角度解析在 △ADC 中， ∴ cos θ＝sin(θ＋90°)＝ AC ·sin 15 CD asinasin α－4.甲、乙两楼相距 20 米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°， 则甲、乙两楼的高分别是 ___________ .考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度答案 20 3米， 403 3米3解析 甲楼的高为 20tan 60 °＝20× 3＝20 3（米）， 乙楼的高为 20 3－20tan 30 ＝°20 3－20× 33＝403 3(米).5. _____________________________________ 某船开始看见一灯塔在南偏东 30 °方向，后来船沿南偏东 60 °的方向航行 45 km 后，看见该 灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 _________________________ km.考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距离答案 15 3解析 设灯塔位置为 A ，船的初始位置为 O ，船的终止位置为 B ， 由题意知 ∠ AOB ＝ 30°， ∠OAB ＝ 120°，则∠OBA ＝30°，所以由正弦定理，得 AB ＝ 15 3，即此时船与灯塔的距离是 15 3 km.1.在研究三角形时， 灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐， 如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算 方式 .2. 测量底部不可到达的建筑物的高度问题 .由于底解析宽＝8 000 tan 30 8 000 tan 45 ＝5 856.4(m).a,0<β<α<2π，则水塔 CD 的高度为（)部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题、选择题 1.为了测某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为 30°，塔基的 俯角为 45°，那么塔 AB 的高为 （ 3A.20 1＋ 3 m C.20（1＋ 3） m 考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 A 2.在某个位置测得某山峰仰角为 θ，对着山峰在地面上前进 600 m 后测得仰角为 2θ，继续在 地面上前进 200 3 m 以后测得山峰的仰角为 4θ，则该山峰的高度为 （ ）A.200 mB.300 mC.400 mD.100 3 m 考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 B解析 如图， △BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝ 600 m ， BC ＝ DC ＝ 200 3 m.在 △BCD 中，由余弦定理可得6002＋ 200 3 2－ 200 3 22× 600× 200 3 ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°， 4θ＝60°. 在 Rt △ABC 中， AB ＝ BCsin 4θ＝200 3× 23＝ 300(m) ， 故选 B. 3.海上有 A ，B 两个小岛相距 10 n mile ，从 A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从 B 岛望 C 岛 和 A 岛成 75°的视角，则B ，C 间的距离是 （）解析 塔的高度为 cos 2θ＝D.3020tan 30 °＋20tanA.10 3 n mileB.103 6 n mileC.5 2 n mileD.5 6 n mile 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离 答案 D 解析 在△ ABC 中， C ＝180°－60°－75°＝45°.BC AB BC 10 由正弦定理，得 ＝ ， ∴ ＝ ， sin A sin C sin 60 °sin 45 °解得 BC ＝5 6 n mile. 4.已知两座灯塔 A ，B 与海洋观察站 C 的距离相等， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°， 在观察站 C 的南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( )A. 北偏东 10°B. 北偏西 10°C.南偏东 10°D.南偏西 10°考点 三角形中角度的求解 题点 三角形中角度的求解 答案 B解析 如图，因为 △ ABC 为等腰三角形，45°，灯塔B解析如图所示，BC＝ 3h， AC＝h，∴AB＝ 3h2＋ h2＝2h（米）.45°，此人沿南偏东 40°方向前进 10 m 到 D，6.某人在 C 点测得某塔在南偏西 80°，塔顶仰角为测得塔顶 A 的仰角为 30°，则塔高为（）A.15 mB.5 mC.10 mD.12 m考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度答案 C解析如图，设塔高为 h，在 Rt △AOC中，∠ACO＝45°，则 OC＝OA＝ h.在 Rt △AOD 中，∠ADO＝30°，则 OD ＝ 3h.在△OCD 中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理，得 OD 2＝OC2＋CD2－ 2OC ·CD cos∠ OCD ，即（ 3h）2＝h2＋102－2h×10×cos 120 ，°∴h2－5h－50＝0，解得 h＝10 或 h＝－ 5（舍）.即塔高为 10 m.7.一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 °的方向直线航行， 30 分钟后到达 B处，在 C处有一座灯塔，海轮在 A处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是（）A.10 2 海里B.10 3 海里C.20 3 海里D.20 2 海里考点解三角形求距离题点测量俯角（仰角）求距离答案 A解析 如图所示，易知，在△ABC 中， AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得BC＝ AB ， sin 30 ＝°sin 45 ， 解得 BC ＝10 2.8.要测量河流一侧某建筑物的高度，在河流的另一侧选择甲、乙两个观测点，在甲、乙两点 分别测得该建筑物顶点的仰角为 45°，30°，在水平面上测得该建筑物和甲地连线与甲、乙两解析在△ABC 中，由余弦定理，得地连线所成的角为 120°，甲、 A.100 2 m C.200 3 m 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角 (仰角 )求高度 答案 D 解析 由题意画出示意图， 设高 AB ＝h ，在 Rt △ ABC 中， 在 Rt △ABD 中， 由已知得 BD ＝ 3h. 在 △BCD 中，由余弦定理 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ×CD ×cos ∠BCD ，得 乙两地相距 500 m则该建筑物的高度是 ( )B.400 m D.500m 由已知得 BC ＝h. 答案 3π 4考点 解三角形求距离 题点 测量俯角 （仰角 ）求距离 答案 3 2＋ 6 20解析 在△ ABC 中， ∠BCA ＝60°， ∠ABC ＝75°－60°＝15°，AC ＝0.1 km ，cos ∠ ACB ＝ 32＋ 2 2 2－ 29 2 ＝ 2× 3×2 2 ＝ 2. 2 3π 因为∠ACB ∈（0，π），所以 ∠ACB10.如图，测量河对岸的塔高 AB 时，选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D ，测得∠ BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点 C 测 得塔顶A 的仰角为 60°，则塔高 AB ＝ 米 . 考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 答案 15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝ 180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理，得 BC＝ CDsin∠ BDC ＝ sin ∠ CBD所以 BC ＝3s 0in si n 1 3350 ＝°°15 2.在 Rt △ABC 中，AB ＝BCtan ∠ACB ＝15 2×tan 60 ＝ 15 6（米 ）.11.如图， A ，B ， C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔 顶 .测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°，30°，于水面 C 处测得 B 点和 D 点 的仰角均为 60°，AC ＝0.1 km.若 AB ＝ BD ，则 B ，D 间的距离为 km.由正弦定理，得 sin ∠AB BCA ＝sin ∠AC ABC ，所以 AB ＝0.1sin 60sin°3 2＋ 6 20 (km) ， 又因为 BD ＝ AB ，所以 BD ＝3 22＋06(km).三、解答题 12. 如图所示，在地面上共线的三点 A ，B ， C 处测得一建筑物的仰角分别为 30°，45°，60°，且 AB ＝ BC ＝ 60 m ，求建筑物的高度 .考点 解三角形求高度题点 测量俯角 （仰角 ）求高度 解 设建筑物的高度为 h ，由题图知， ∴在△PBA 和 △PBC 中，分别由余弦定理，22260 ＋2h － 4h 得cos ∠PBA ＝， ①2× 60× 2h2 242∵∠ PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋ cos ∠ PBC ＝0.③由①②③ ，解得 h ＝30 6或 h ＝－ 30 6（舍去 ），即建筑物的高度为 30 6 m. 13. 甲船在 A 处，乙船在 A 的南偏东 45°方向，距 A 有 9海里的 B 处，并以 20 海里/时的速度 沿南偏西 15°方向行驶，若甲船以 28海里 /时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？ 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 如图所示，设用 t 小时甲船能追上乙船，且在 C 处相遇 .在△ABC 中， AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，2 2 2由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BCcos ∠即(28t)2＝92＋(20t)2－2×9×20t× －21，2 3 9128t2－60t－27＝0，∴t＝或 t＝－(舍∴ 甲船用43小时能最快追上乙船四、探究与拓展14.______________________ 某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 m 后，望见塔在东北方向，最大仰角为 30°，则塔高为__________________________ m.考点解三角形求高度题点测量方向角、仰角求高度答案10 3－33解析如图所示，若沿途测得塔的设 AE 为塔， B 为塔正东方向一点，沿南偏西 60 °前进 40 m 到达 C 处，即 BC＝40，∠ CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ ACB＝15°.AC BC在△ABC 中，＝，sin∠ ABC sin∠CAB即AC＝40，∴AC ＝20 2.sin 30 °sin 135 °在△ABC 中，由面积公式知1121×BC×AG＝12×BC×AC×sin∠ACB. AG＝AC×CB×sin∠ACBBC＝ AC × sin ∠ ACB＝ 20 2sin 15 ，∴ AG＝20 2sin(45 °－ 30°)＝20 2 22× 23－22×12＝ 10（ 3－ 1）.在 Rt △AEG 中，∵ AE＝ AG tan∠AGE ，∴AE＝ 10（ 3－ 1）× 33＝10－1033，∴ 塔高为 10－1033 m.15.为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围 1 千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西 3千米有一条北偏东 60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时 12 千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？考点解三角形的实际综合应用题点解三角形的实际综合应用解如图所示，考点为 A，检查开始处为 B ，设检查员行驶到公路上 C， D 两点之间时收不到信号，即公路上两点到C，考点的距离为 1 千米 .在△ABC 中，AB＝ 3（千米），AC＝ 1（千米），∠ ABC＝ 30°，由正弦定理，得 sin∠ACB＝sin A C30×°AB＝23，∴∠ ACB＝ 120°（∠ ACB ＝60°不合题意），∴∠ BAC＝ 30°，∴ BC＝AC ＝1（千米）.在△ACD 中，AC＝AD＝1，∠ACD ＝60°，∴△ ACD 为等边三角形，∴CD＝1（千米）. ∵B1C2×60＝5，∴在BC 上需 5分钟，CD 上需 5分钟.∴最长需要 5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少 5 分钟才算合格1所以∠CBA ＝21(180 °－80°)＝50°，60°－50°＝ 10°，故选 B.5.从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30 °，看正南方向有一只船俯角为则此时两船间的距离为 ( )A.2h 米B. 2h 米C. 3h米D.2 2h 米考点解三角形求距离题点测量俯角 (仰角 )求距离答案 A2 2 23h2＝h2＋5002＋h×500，解得 h＝500(m)( 负值舍去 ).故选 D.、填空题9.如图所示为一角槽，已知 AB⊥AD ，AB⊥BE，并测量得 AC＝3 mm，BC＝2 2 mm，AB＝ 29 mm，则∠ ACB＝________ .考点解三角形求角度题点解三角形求角度。
正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)
正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．【助学·微博】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．考点自测1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________．解析记三角形三边长为a－4，a，a＋4，则(a＋4)2＝(a－4)2＋a2－2a(a－4)cos120°，解得a＝10，故S＝12×10×6×sin 120°＝15 3.答案15 32．若海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．解析由正弦定理，知BCsin 60°＝ABsin(180°－60°－75°).解得BC＝56(海里)．答案5 63．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/时．解析由正弦定理，得MN＝68sin 120°sin 45°＝346(海里)，船的航行速度为3464＝1762(海里/时)．答案176 24．在△ABC中，若23ab sin C＝a2＋b2＋c2，则△ABC的形状是________．解析由23ab sin C＝a2＋b2＋c2，a2＋b2－c2＝2ab cos C相加，得a2＋b2＝2ab sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6.又a 2＋b 2≥2ab ，所以 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6≥1，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，且a ＝b ，C ＝π3时等号成立，所以△ABC 是等边三角形．答案 等边三角形5．(2010·江苏卷)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b a ＋a b＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B 的值是________．解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为b a ＋a b ＝6cos C ，由余弦定理得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2＝32c 2.而tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin Csin A sin B ＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 答案 4考向一 测量距离问题【例1】 如图所示，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.(1)求证：AB ＝BD ；(2)求BD .(1)证明 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .(2)解 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC， 即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，因此，BD ＝32＋620(km)故B 、D 的距离约为32＋620 km.[方法总结] (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．(3)应用题要注意作答．【训练1】 隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C ，D 两点，同时测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．解 如题图所示，在△ACD 中，∵∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°，∴∠CAD ＝30°，AC ＝CD ＝3(千米)．在△BDC 中，∠CBD ＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理，可得BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(千米)．在△ABC 中，由余弦定理，可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠BCA ，即AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23·6＋22cos 75°＝5， ∴AB ＝5(千米)．所以两目标A ，B 间的距离为5千米．考向二 测量高度问题【例2】 (2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？解 (1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD 得H tan α＋h tan β＝H tan β解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124. 因此，算出的电视塔的高度H 是124 m.(2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝H d .由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －h d ，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋H (H －h )d ≤h 2H (H －h )， 当且仅当d ＝H (H －h )d，即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号．所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α－β<π2，所以当d ＝555时，α－β最大．故所求的d 是55 5 m.[方法总结] (1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形应用正、余弦定理．(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CD sin∠BDCsin∠CBD＝s·sin βsin(α＋β)在Rt△ABC中，AB＝BC tan∠ACB＝s tan θsin βsin(α＋β).考向三运用正、余弦定理解决航海应用问题【例3】我国海军在东海举行大规模演习．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1)km的B处有一艘“敌舰”．在A处北偏西75°的方向，距离A 2 km的C处的“大连号”驱逐舰奉命以10 3 km/h的速度追截“敌舰”．此时，“敌舰”正以10 km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问“大连号”沿什么方向能最快追上“敌舰”？解设“大连号”用t h在D处追上“敌舰”，则有CD＝103t，BD＝10t，如图在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即“大连号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”．[方法总结] 用解三角形知识解决实际问题的步骤：第一步：将实际问题转化为解三角形问题；第二步：将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中．第三步：用正弦定理和余弦定理解这个三角形．第四步：将所得结果转化为实际问题的结果．【训练3】(2013·广州二测)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28(海里)．所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．(2)在△ABC中，因为AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.高考经典题组训练1．(四川卷改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝________.解析在Rt△EAD和Rt△EBC中，易知ED＝2，EC＝5，在△DEC中，由余弦定理得cos∠CED＝ED2＋EC2－CD22ED·EC＝2＋5－12×2×5＝31010.∴sin∠CED＝1010.答案10 102．(2011·新课标卷)在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．解析由正弦定理知ABsin C＝3sin 60°＝BCsin A，∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)＝2(sin C＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C)＝2(sin C＋3cos C＋sin C)＝2(2sin C＋3cos C)＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角．由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.答案 273．(湖北卷改编)若△ABC 的三边长为连续三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝________.解析 由A >B >C ，得a >b >c .设a ＝c ＋2，b ＝c ＋1，则由3b ＝20a cos A ，得3(c＋1)＝20(c ＋2)·(c ＋1)2＋c 2－(c ＋2)22(c ＋1)c，即3(c ＋1)2c ＝10(c ＋1)(c ＋2)(c －3)，解得c ＝4，所以a ＝6，b ＝5.答案 6∶5∶44.(2·陕西卷)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船达到D 点需要多长时间？解 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，所以∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△ADB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， 所以DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝103(海里)， 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，所以CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．所以救援船到达D 点需要1小时．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a =5,b =4,cos(A -B )=3231. (Ⅰ) 求sin B 的值;(Ⅱ) 求cos C 的值.分层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)________．答案 13.5 km/h2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析 如图，OM ＝AO tan 45°＝30 (m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝10 3 (m)，由余弦定理得，MN ＝ 900＋300－2×30×103×32＝300＝10 3 (m)． 答案 10 33．某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好 3 km ，那么x 的值为________．解析 如图，在△ABC 中，AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得(3)2＝32＋x 2－2×3x ×cos 30°，即x 2－33x ＋6＝0，解得x 1＝3，x 2＝23，经检测均合题意．答案 3或2 34.如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC ＝60°，则AB 的长为________．解析 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC＝60°，所以AC ＝a .①在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .②在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a .答案 22a5．(2010·新课标全国卷)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________.解析 由A 作垂线AH ⊥BC 于H .因为S △ADC ＝12DA ·DC ·sin 60°＝12×2×DC ·32＝3－3，所以DC ＝2(3－1)，又因为AH ⊥BC ，∠ADH ＝60°，所以DH ＝AD cos 60°＝1，∴HC ＝2(3－1)－DH ＝23－3.又BD ＝12CD ，∴BD ＝3－1，∴BH ＝BD ＋DH ＝ 3.又AH ＝AD ·sin 60°＝3，所以在Rt △ABH 中AH ＝BH ，∴∠BAH ＝45°.又在Rt △AHC 中tan ∠HAC ＝HC AH ＝23－33＝2－3， 所以∠HAC ＝15°.又∠BAC ＝∠BAH ＋∠CAH ＝60°，故所求角为60°.答案 60°6.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析 在△BCD 中，CD ＝10(米)，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝102(米)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC ，AB ＝BC tan 60°＝106(米)．答案 10 6二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·常州七校联考)如图，在半径为3、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N 、M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y ，(1)按下列要求写出函数的关系式：①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式；②设∠POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式；(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y 的最大值．解 (1)①∵ON ＝OP 2－PN 2＝3－x 2，OM ＝33x ，∴MN ＝3－x 2－33x ，∴y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫3－x 2－33x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. ②∵PN ＝3sin θ，ON ＝3cos θ，OM ＝33×3sin θ＝sin θ，∴MN ＝ON －OM ＝3cos θ－sin θ，∴y ＝3sin θ(3cos θ－sin θ)，即y ＝3sin θcos θ－3sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. (2)选择y ＝3sin θcos θ－3sin 2θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－32， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴y max ＝32. 8．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则 S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝ 900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103(海里)，此时v ＝10313＝303(海里/时)．即，小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t 2，∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30海里/时．故v＝30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于2 3.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．。
1.2解三角形应用举例(测量距离、高度、角度)
福建美佛儿学校自主型发展大课堂数学导学案班级姓名设计者日期课题：§1.2应用举例（第一课时测量距离问题）课时：3课时●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程一、课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
二、讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。
人教A高中数学必修五同步课时分层训练：第1章 解三角形 第2课时 含解析
第一章 1.2 应用举例第二课时 高度、角度问题课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1.如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m解析：选C 根据题图，由题意知CM ＝DM . ∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°，∴CM ＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°×10≈37.3(m)，故选C. 2．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( )A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h解析：选C 由物理学知识，画出示意图如图．AB ＝15，AD＝4，∠BAD ＝120°.在▱ABCD 中，D ＝60°.在△ADC 中，由余弦定理，得AC ＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝16＋225－4×15＝181≈13.5(km/h)．故选C.3．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米解析：选C如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ， 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理，得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去)．4．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.1507 minB ．157 hC ．21.5 minD ．2.15 h 解析：选A 设经过x 小时时距离为s ，则在△BPQ 中，由余弦定理知PQ 2＝B P 2＋BQ 2－2BP ·BQ ·cos 120°，即s 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28x 2－20x ＋100，∴当x ＝514 h 时，s 2最小，即当航行时间为514 h ＝1507 min 时，s 最小．5.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 m解析：选D 设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，① cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.② ∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.6．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角为30°，量得AB ＝AC ＝10 m 树根部为C (A 、B 、C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝ .解析：如图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10.∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝103， cos ∠ACB ＝102＋(103)2－1022×10×103＝32， ∴∠ACB ＝30°.答案：30°7.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.解析：根据题图所示，AC ＝100 2.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3.在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)．答案：1508．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正以每小时90海里的速度向它靠近，此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过 分钟，海盗船到达商船．解析：如图，设观测站、商船、分别位于A，B处，开始时，海盗船位于C处，20分钟后，海盗船到达D处．在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC2 2AD·CD＝400＋900－7002×20×30＝12，则∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知，得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，所以BD＝AD＝20，2090×60＝403(分)．答案：40 39.在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.(1)求BC的长；(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中3≈1.732)．解：(1)∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，由正弦定理得BCsin 45°＝4sin 30°，解得BC＝42(米)，即BC的长为4 2 米．(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝42，∴DC＝42sin 75°.∵sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋23，∴CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(米)，即这棵桃树顶端点C 离地面的高度约为7.16米．10．碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B 处．现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．解：如图，设经过t 小时，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD .根据题意，知在△ADC 中，AC ＝8t ，AD ＝20－10t ，∠CAD＝60°.由余弦定理，知CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD cos 60°＝(8t )2＋(20－10t )2－2×8t ×(20－10t )×cos 60°＝244t 2－560t ＋400＝244⎝ ⎛⎭⎪⎫t －70612＋400－244×⎝ ⎛⎭⎪⎫70612， ∴当t ＝7061时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．‖层级二‖|应试能力达标|1．在一座20 m 高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为( )A ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m解析：选B 如图所示，AB 为观测台，CD 为水塔，AM 为水平线．依题意得AB ＝20，∠DAM ＝45°，∠CAM ＝60°，从而可知MD ＝20，AM ＝20，CM ＝203， ∴CD ＝20(1＋3)(m)． 2．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )A.π4B ．π3 C.π6 D ．512π解析：选C 设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π6.故选C. 3.某工程中要将一长为100 m 倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )A ．100 2 mB ．100 3 mC ．50(2＋6)mD ．200 m解析：选A ∠BAC ＝75°－30°＝45°.在△ABC 中，AC ＝100 m ，由正弦定理，得BC sin ∠BAC＝AC sin B ，∴BC ＝AC sin ∠BAC sin B ＝100×sin 45°sin 30°＝1002(m)．故选A.4．如图，在O 点测量到远处有一物体做匀速直线运动，开始时物体位于P 点，1分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过1分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为( )A.12 B ．22 C.32 D ．3解析：选C 由题意知，PQ ＝QR ，设其长为1，则PR ＝2.在△OPR 中，由正弦定理，得2sin 120°＝OP sin R .在△OQR 中，由正弦定理，得1sin 30°＝OQ sin R ，则tan ∠OPQ ＝OQ OP ＝sin 120°2sin 30°＝32.故选C.5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.解析：设两条船所在位置分别为A ，B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30(m)．答案：306．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船 (填“有”或“无”)触礁的危险．解析：如图所示，暗礁位于C 处，开始时，轮船在A 处，航行30海里后，轮船在B 处．由题意在△ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，则∠ACB ＝15°.由正弦定理，得BC＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin 30°sin 15°＝156－24＝15(6＋2)． 在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38.所以，此船无触礁的危险．答案：无7．如图，小明同学在山顶A 处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为 m/s(精确到0.1，参数数据：2≈1.414，5≈2.236)．解析：由题意，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ，在△ABC 中，由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22≈ 316．17 m ，这辆汽车的速度为316.17÷14≈22.6 m/s.答案：22.68.如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B点相距20 3 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意，知AB＝5(3＋3)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得BDsin∠DAB ＝ABsin∠ADB，即BD＝AB sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)sin 45°sin 105°＝5(3＋3)sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝10 3 n mile.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20 3 n mile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝BD2＋BC2－2BD·BC cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×1 2＝30 n mile，则救援船到达D点需要的时间为3030＝1 (h)．。
第一章1.2第2课时解三角形的实际应用举例——高度、角度问题
得20＝BP，∴BP＝20 3. 13
22
栏目
导引
第一章 解三角形
在△BPC 中，BC＝30×80＝40， 60
由已知，∠ PBC＝ 90°， ∴PC＝ BP2＋BC2 ＝ （20 3）2＋402 ＝20 7(海里)． ∴P，C 间的距离为 20 7海里．
栏目 导引
第一章 解三角形
易错警示
实际应用问题中忽视隐含条件致误
2 ＝ 84t2－240t＋400 ＝2 21t2－60t＋100.
栏目 导引
第一章 解三角形
(2)当 t>2 时，如图(2)， 在△APQ 中，AP＝8t，AQ＝10t－20， ∴PQ＝ AQ2＋AP2－2AQ·APcos 60° ＝2 21t2－60t＋100， 综合(1)(2)可知， PQ＝2 21t2－60t＋100(t≥0)， ∴当 t＝30＝10时，PQ 最小．
栏目 导引
第一章 解三角形
解析：在△ABD 中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.
由sinA1B5°＝sinA4D5°，得
AD＝ABs·ins1in5°45°＝8060－×
2 2 2
4
＝800( 3＋1)(m)．
∵CD⊥平面 ABD，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝800( 3＋1) m.
栏目 导引
第一章 解三角形
[解] 如图，设缉私艇 t 小时后在 D 处追上走私船①，则 BD＝10t n mile，CD＝10 3 t n mile.1 分 ∵∠BAC＝45°＋75°＝120°，2 分 ∴在△ABC 中，由余弦定理得： BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝( 3－1)2＋22－2×( 3－1)×2×cos 120°＝6， ∴BC＝ 6.4 分
新课标2017春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第2课时高度角度问题课件新人教A版必修5
『规律总结』
航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解
决这类问题一定要搞清所给的角，画出符合题意的图形，将所给距离和角度标
在图中，然后分析可解的三角形及其与待求角问题的关系，确定解题步骤．
〔跟踪练习 3〕 导学号 54742139 我缉私巡逻艇在一小岛 A 南偏西 50° 的方向，距小岛 A 12 n mile 的 B 处，发 现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北偏西 10° 西方向行驶， 测得其速度为每 小时 10 n mile，问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后 截获该走私船？(参考数据：sin38° ≈0.62)
3．在点 A 处观察一物体的视角为 50° ，请画出示意图. 导学号 54742132
[解析] 如图所示．
4．(2016· 浙江诸暨第一中学期中)为了测量河对岸的塔 AB 的高度，先在河岸 上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，此时测得塔顶 A 的仰角为 60° .再由点 C 沿北偏东 15° 方向走了 20m 到达点 D，测得∠BDC＝45° ，则塔 AB 的高度为 导学号 54742133 ( A ) A．20 6m C．20 2m B．20 3m D．20m
10m 导学号 54742131 30° ，斜坡 AB 的长度是________. 坡角 α 等于________
3 [解析] 由题意知，坡比 i＝tanα＝ . 3 ∵0° <α<90° ，∴坡角 α＝30° . 又∵坡高 BC＝5m， BC 5 ∴斜坡长 AB＝ ＝ ＝10m. sinα sin30°
命题方向3 ⇨测量角度问题
如图所示，当甲船位于 A 处时，获悉在其正东方向相距 20n mile 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救． 甲船立即前往救援， 同时把消息告知在甲船的南偏 西 30° ， 相距 10n mile 的 C 处的乙船， 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前 往 B 处救援(角度精确到 1° )？ 导学号 54742138
第4章 第7节 解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)
第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． (×) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．(×)2．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D 解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3．如图，为测量一棵树OP 的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4.由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度OP＝PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.64解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32(km)，BC＝BD＋CD＝33－12(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km ， 而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，求这条索道AC 的长．解：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ， 所以200sin 30°＝ADsin 120°. 所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3 (m)． 在△ABC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2．若将本例条件“∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“∠ADC ＝135°，∠CAD ＝15°，AD ＝100 m ，作CO ⊥AB ，垂足为O ，延长AD 交CO 于点E ，且CE ＝50 m ，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD 中，∠ADC ＝135°， ∠CAD ＝15°，所以∠ACD ＝30°. 由正弦定理可得AC ＝100×sin 135°sin 30°＝100 2.在△ACE 中，由正弦定理可得sin ∠CEA ＝AC ·sin ∠CAE CE＝3－1，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA －π2＝sin ∠CEA ＝3－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 考向2 测量高度问题如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6 解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°， 所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v . 在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200. 在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ， 所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()A．a sin 53°2sin 47°B．2sin 47°a sin 53°C．a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D．a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin 47°＝ADsin 26.5°，则AD＝a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．在地面上的A ，B 两点测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝50米，则OP 为( )A ．15米B ．25米C ．35米D ．45米B 解析：如图所示：由于∠OAP ＝30°，∠PBO ＝45°，∠ABO ＝60°，AB ＝50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ．设OP ＝x ，则OA ＝3x ，OB ＝x ，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠ABO ， 即(3x )2＝502＋x 2－2×50x ×12，所以x 2＋25x －1 250＝0，解得x ＝25或x ＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．805 解析：如图，在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin 15°sin 30°＝40(6－2)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD ＝3，BC＝ 2.(1)若CD＝1＋3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝325，∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－222×2×(1＋3)＝22. 因为C 为三角形的内角，故C ＝π4， 所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32， S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32， 故四边形ABCD 的面积S ＝1＋232.(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ， 所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos ∠BDC ＝45，在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33， 故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC ＋π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)，AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，AD ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 kmA 解析：在△ACD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC 2＝49.所以AC ＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝26，AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，∠BCD ＝π3.(1)求BD ；(2)求△BCD 周长的最大值．解：在△ABD 中，设BD ＝x ，∠ABD ＝α，则∠ADB ＝2α， 因为AB sin 2α＝AD sin α， 所以cos α＝63.由余弦定理得cos α＝x 2＋24－946x ＝63. 整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5或x ＝3. 当x ＝3时，得∠ADB ＝2α＝π2， 与AD 2＋BD 2≠AB 2矛盾，故舍去， 所以BD ＝5.(2)在△BCD 中，设∠CBD ＝β， 所以BD sin π3＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝CD sin β，所以BC ＝1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β，CD ＝1033sin β，所以BC ＋CD ＝1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β＋32cos β＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－3sin x cos x －12＝12cos 2x －32sin 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，所以－π6<2A －π6<5π6. 又f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1， 所以2A －π6＝π2，即A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．又a ＝2，所以bc ≤4， 所以S △ABC ＝12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R )，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求△ABC 的周长． 解：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 因为f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0且C 为三角形内角，所以C ＝π3. (2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 则sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得cos π3＝a2＋4a2－3 2·a·2a＝12，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋ 3.。
高中数学第一章解三角形1.2第2课时测量高度角度问题课时跟踪训练含解析新人教A版必修
学习资料测量高度、角度问题[A组学业达标]1．某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的()A．北偏西35°B．北偏东55°C．南偏西35°D．南偏西55°答案:D2．如图，从地面上C，D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于(）A．100米B．50错误!米C．50错误!米D．50（错误!＋1）米解析:设AB＝x m，则由题意，∠D＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABC中,BC＝AB＝x，在Rt△ADB中，DB＝CD＋BC＝100＋x，所以DB＝错误!AB，即100＋x＝3x，解得x＝50(错误!＋1）m.所以山AB的高度为50(3＋1)米．答案：D3.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度,在地面上选一长度为40 m的基线AB，若在点A处测得P点的仰角为30°，在B点处的仰角为45°，且∠AOB＝30°，则建筑物的高度为()A．20 m B．20 2 mC．20错误!m D．40 m解析：设高OP＝h，则OA＝h tan 60°＝3h，OB＝h tan 45°＝h。
在△AOB中，由余弦定理得402＝（3h）2＋h2－2·错误!h·h·cos 30°，解得h＝40。
故选D.答案：D4．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为（）A。
错误!B．错误!C.错误!D.错误!π解析：设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝错误!＝错误!＝错误!，又α∈错误!,∴α＝错误!。
答案：C5.在地面上点D处测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物的高度为()A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m解析：如图,设O为建筑物顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20 m,∴OD＝20 3 m．在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60 m，∴AB＝OA－OB＝40 m，故选C。
人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：高度、角度问题(68页)
正弦或余弦定理 计算出建筑物顶部或底部到一个可 但常用_______________
到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
3．角度问题 测量角度就是在三角形内，利用正弦定理和余弦定理
三角函数值 ，然后求角，再根据需要求所求的角． 求角的___________
思考感悟
1．“视角”是“仰角”吗？
第一章
解三角形
1.2 应用举例
第2课时
课前自主预习
高度、角度问题
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.巩固正、余弦定理等基本知识点． 2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解高度和角 度问题.
课 前 自 主 预 习
课 前 预 习 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·明 确 目 标
西南方向 、南 的方向角分别表示北偏东60° 、北偏西30° 、__________
偏东20° .
从某点开始的指北方向线按顺时针转到目 ②方位角：_____________________________________
标方向线为止的水平角 叫方位角． ______________________
AB 在△ABC中，由于∠ABC＝90° ，∴ ＝tanθ. BC sinβ· tanθ ∴AB＝BC· tanθ＝ · s. sinα＋β
类型二 [例2]
顶部不可到达的高度问题 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点
A的俯角为α，在塔底C处测得点A的俯角为β，已知铁塔BC 部分的高为h，求出山高CD.
高考数学 解三角形应用举例
第23讲 解三角形应用举例1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线！！！ 上方 ###的角叫仰角，在水平线！！！ 下方 ###的角叫俯角(如图①).2．方位角从指北方向！！！顺时针 ###转到目标方向线的水平角叫方位角，如B 点的方位角为α(如图②).3．方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)(1)北偏东α，即由指北方向！！！ 顺时针 ###旋转α到达目标方向. (2)北偏西α，即由指北方向！！！ 逆时针 ###旋转α到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似.4．坡度(比)坡角：坡面与水平面所成的！！！ 二面角 ###的度数(如图④，角θ为坡角).坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度(比)). 5．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位、近似计算的要求等.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)公式S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C 适用于任意三角形.( √ )(2)东北方向就是北偏东45°的方向.( √ ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角.( × )(4)方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π2.( √ ) 解析 (1)正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立. (2)正确.数学中的东北方向就是北偏东45°或东偏北45°的方向. (3)错误.俯角是视线与水平线所构成的角.(4)正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为［0,2π)，而方向角大小的范围由定义可知为⎣⎡⎭⎫0，π2. 2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( B )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析 如图所示，∠ACB ＝90°.又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°.3．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( A ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D ．2522m解析 由正弦定理得 AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B＝50×2212＝502(m).4．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C .解析 如图所示，由题意知∠C ＝45°， 由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝222×32＝ 6. 5．一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行！！！ 8 ###海里.解析 如图，由题意知在△ABC 中， ∠ACB ＝75°－60°＝15°，∠B ＝15°，∴AC ＝AB ＝8.在Rt △AOC 中，OC ＝AC ·sin 30°＝4. ∴这艘船每小时航行412＝8(海里).一 距离问题求解距离问题的一般步骤(1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题. (2)明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元素. (3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形.【例1】 要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的点C ，点D ，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则点A ，B ###km.解析 如图，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝3(km). 在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5(km)，即A ，B 之间的距离为 5 km.二 高度问题高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.【例2】 要测量电视塔AB 的高度，在点C 测得塔顶A 的仰角是45°，在点D 测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为！！！ 40 ###m.解析 设电视塔AB 高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x .在Rt △ADB 中，由∠ADB ＝30°，得BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理，得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40 m.三 角度问题解决角度问题的注意点(1)首先应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用. 【例3】 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.解析 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°. 根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.1．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝( B )A ．217B ．2114 C ．32114D ．2128解析 如题图所示，在△ABC 中，AB ＝40海里，AC ＝20海里，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，故BC ＝207(海里).由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217，由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos (∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 第1题图第2题图2．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析 依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中， 由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.3．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ解析 由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°，可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DB sin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin (45°－30°)＝252(3－1)，又25sin 45°＝252（3－1）sin （90°＋θ）， 即25sin 45°＝252（3－1）cos θ，得到cos θ＝3－1． 4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析 依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB .∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB，得600sin 45°＝CB sin 30°，有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006，则此山的高度CD ＝100 6 m.易错点 不注意实际问题中变量的取值范围错因分析：三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题.求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义.【例1】 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度 的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解析 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则 S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos （90°－30°） ＝900t 2－600t ＋400 ＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B 处相遇.则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30， 故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20. 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.【跟踪训练1】 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin ［π－(A ＋C )］＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m). 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙距离最短.(3)由BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m). 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内.课时达标 第23讲［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.一、选择题1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( B )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方.2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为(C)A．1千米B．2sin 10°千米C．2cos 10°千米D．cos 20°千米解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos 160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°)＝2＋2cos 20°＝4cos210°，∴BD＝2cos 10°.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(A)A．10 2 海里B．10 3 海里C．20 3 海里D．20 2 海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)，故选A．4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度是(D)A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m解析由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m).5．长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C1．4 m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α＝(A)A．2315B．516C．23116D．115解析由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1．4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即 3.52＝1．42＋2.82－2×1．4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝516，所以sin α＝23116，所以tan α＝sin αcos α＝2315.6．(2018·四川成都模拟)如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为(A)A．(30＋303) m B．(30＋153) mC．(15＋303) m D．(15＋153) m解析设建筑物高度为h，则htan 30°－htan 45°＝60，即(3－1)h＝60，所以建筑物的高度为h＝(30＋303)m.二、填空题7．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile，此船的航速是！！！32###n mile/h.解析 设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝8 2 n mile ，∠BSA ＝45°，由正弦定理，得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32 n mile/h.8．某人在地上画了一个角∠BDA ＝60°，他从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为！！！ 16米 ###.解析 如图，设DN ＝x 米，则142＝102＋x 2－2×10×x cos 60°，∴x 2－10x －96＝0. ∴(x －16)(x ＋6)＝0.∴x ＝16. ∴N 与D 之间的距离为16米.9．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°.从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝！！！ 150 ###m.解析 在△ABC 中，AC ＝1002，在△MAC 中，MA sin 60°＝ACsin 45°，解得MA ＝1003，在△MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m.三、解答题10．已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇，岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314解析 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x 海里，则BC ＝0.5x ，AC ＝5海里，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°，所以BC 2＝49，BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得 sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BACBC ＝5×327＝5314，所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.11．(2018·广东广州模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1(百米).(1)求△CDE 的面积； (2)求A ，B 之间的距离.解析 (1)连接DE ，在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°，S △ECD ＝12DC ·CE ·sin 150°＝12×sin 30°＝12×12＝14(平方百米).(2)依题意知，在Rt △ACD 中，AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝1×tan 60°＝ 3. 在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°. 由正弦定理，得BC ＝CE sin ∠CBE·sin ∠CEB ＝1sin 30°×sin 45°＝ 2.因为cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45° ＝12×22＋32×22＝6＋24. 连接AB ，在△ABC 中，由余弦定理得， AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝ (3)2＋(2)2－23×2×6＋24＝2－3， 所以AB ＝2－3＝6－22(百米). 12．(2018·河北石家庄重点高中摸底)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值. 解析(1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310 km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝⎝⎛⎭⎫33102＋⎝⎛⎭⎫9102＝335(km).故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∴∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α，AE ＝65sin α. ∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α·sin α＝ 9325⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＋14≤9325⎝⎛⎭⎫12＋14＝273100(km 2). ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE 面积的最大值为273100km 2.。
高三复习：三角函数模型及解三角形应用举例(含解析答案)
§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一 测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？题型二测量角度问题例2如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．题型三利用三角函数模型求最值例3如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？变式如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 3．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．4.8三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m的水轮，水轮的圆心O距离水面2m．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝A sin(ωx＋φ)＋2(ω>0，A>0)，则ω＝________，A＝________.2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)； (2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一 测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ (1)答案 30＋30 3解析 在△P AB 中，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin30°＝ABsin15°，∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PB ·sin45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)m.(2)解 ①在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1040m.②假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．③由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤125043，62514(单位：m/min)范围内． 题型二 测量角度问题例2 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．思维点拨 设缉私船t 小时后在D 处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC ，再利用正弦定理求出时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里)，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝6(海里)．又∵BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin120°103t ＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15(分钟)． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟． 思维升华 测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离； (2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解．题型三 利用三角函数模型求最值例3 如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y >x >0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 思维点拨 由题图可得：x ＝cos θ，y ＝sin θ.列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意θ的范围． 解 (1)设S 为十字形的面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ (π4<θ<π2)；(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin2θ－12cos2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12，其中tan φ＝12， 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．所以，当θ＝π4＋φ2(tan φ＝12)时，S 最大，最大值为5－12.思维升华 三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值．变式 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h . (1)求h 与θ间关系的函数解析式； (2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30弧度/秒，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4米．由sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30秒， ∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.答案 π2解析 ∵S ＝1－12×1×sin α－12×1×cos α－12(1－cos α)(1－sin α)＝12－12sin αcos α ＝12－14sin2α. ∴当α＝π2时，S 取到最大值．3．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 答案 3或2 3解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°， 由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos30°，整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.4．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．答案 2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2800，所以BC ＝207. 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114.4.8 三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m 的水轮，水轮的圆心O 距离水面2m ．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(ω>0，A >0)，则ω＝________，A ＝________.答案 2π153 解析 每分钟转4圈，每圈所需时间T ＝604＝15. 又T ＝2πω＝15，∴ω＝2π15，A ＝3. 2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案 203米、4033米 解析 如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan60°＝203(米)，又CM＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 3.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝30sin30°sin135°＝15 2 (m)． 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152tan60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为156m.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile 的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h 的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t .在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，可得：(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos120°.整理得：2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)． 所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10. 在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠CAB ＝AB sin120°， 所以sin ∠CAB ＝BC ·sin120°AB ＝10×32103＝12. 所以∠CAB ＝30°.所以舰艇航行的方位角为75°.5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)；(2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？解 (1)在△BCD 中，∵∠BCD ＝θ，∠B ＝π3，BD ＝l ， ∴BC ＝l sin (2π3－θ)sin θ，CD ＝3l 2sin θ， ∴AC ＝AB －BC ＝l －l sin (2π3－θ)sin θ， 则t ＝AC 3v ＋CD v ＝l 3v －l sin (2π3－θ)3v sin θ＋3l 2v sin θ(π3<θ<2π3)． (2)t ＝l 6v (1－3cos θsin θ)＋3l 2v sin θ＝l 6v ＋3l 6v ·3－cos θsin θ. 令m (θ)＝3－cos θsin θ，θ∈(π3，2π3)，则m ′(θ)＝1－3cos θsin 2θ. 令m ′(θ)＝0，得cos θ＝13，设cos θ0＝13，θ0∈(π3，2π3)， 则θ∈(π3，θ0)时，m ′(θ)<0；当θ∈(θ0，2π3)时，m ′(θ)>0，∴当cos θ＝13时，m (θ)取得最小值22，此时BC ＝6＋48l . 故当BC ＝6＋48l 时货物运行时间最短. 6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．规范解答解 (1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里， 则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900(t －13)2＋300.[4分] 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.[6分] 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小．[7分](2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.[9分] ∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.[10分] 又t ＝23时，v ＝30， 故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.[12分] 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[14分]。
解三角形应用题及答案
解三角形的实际应用（1)测量高度问题； （2)测量角度问题； （3)测量距离问题； （4)计算三角形面积。
例：习题部分 1、如图1-2-22，在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为600，塔基的俯角为450，那么这座塔的高度是（ ）A 、m ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+33120 B 、m )31(20+ B 、 C 、m )26(10+ D 、m )26(20+2、有一长为10m 的斜坡，倾斜角为750，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为300，则坡底要延长（ ） A 、5m B 、10m C 、m 210 D 、m 3103、一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东150方向，与灯塔S 相距20n miel,随后货轮按北偏西300的方向航行3h 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）A 、n )26(310+ mile/h B 、n )26(310- mile/h C 、n )36(310+ mile/h D 、n )36(310- mile/h4、海上有A 、B 两个小岛相距10n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成600，从B 岛望C 岛和A 岛成750的视角，则B ，C 之间的距离为（ ） A 、n 310 mile B 、n 3610 mile C 、n 25 mile D 、n 65 mile 5、某人向正东方向走x km 后向右转1500，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值是（ ） A 、3 B 、32 C 、32或3 D 、36、如图1-2-23，为了测量某障碍物两侧A ，B 间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据（ ）A 、βα,,,b aB 、αB 、C 、γ,,b aD 、b ,,βα7、已知两座灯塔A 与B 与海洋观测站C 的距离相等，灯塔A 在观测站C 的北偏东400，灯塔B 在观测站C 的南偏东600，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）0 0008、如图1-2-24，从气球A 测得正前方的济南全运会两个体育馆B 、C 的俯角分别为βα、。
1.2 第2课时应用举例高度、角度问题
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【规律方法】测量角度问题的关键是在弄清题意的基础 上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距 离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转 化为实际问题的解．
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3．某海上养殖基地 A，接到气象部门预报，位于基地南偏 东 60°相距 20( 3＋1)n mile 的海面上有一台风中心，影响半径 为 20 n mile，正以每小时 10 2 n mile 的速度沿某一方向匀速 直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且( 3＋1) h 后 开始持续影响基地 2 h．求台风移动的方向．
2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求 角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．
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活页作业(五)
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2．视角 从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角. 如图所 示，视角60°指的是观察该物体上下两端点时，视线的张角．
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3．为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平 面与地面之间有什么关系？
提示：为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在 平面与地面垂直.
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人教版高中数学第一章解三角形应用举例--测量高度的问题(共17张PPT)教育课件
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在当今社会，大 家 都 生 活 得匆 匆 忙 忙 ， 比房 子 、 比 车 子、 比 票 子 、 比小 孩 的 教 育 、比 工 作 ， 往 往被 压 得 喘 不 过 气来 。 而 另 外 总有 一 些 人 会 运用 自 己 的 心 智去 分 辨 哪 些 快乐 或 者 幸 福 是必 须 建 立 在 比较 的 基 础 上 的， 而 哪 些 快 乐和 幸 福 是 无 需比 较 同 样 可 以获 得 的 ， 然 后把 时 间 花 在 寻找 甚 至 制 造 那些 无 需 比 较 就可 以 获 得 的 幸福 和 快 乐 ， 然后 无 怨 无 悔 地生 活 ， 尽 情 欢乐 。 一 位 清 洁阿 姨 感 觉 到 快乐 和 幸 福 ， 因为 她 刚 刚 通 过自 己 的 双 手 还给 路 人 一 条 清洁 的 街 道 ； 一位 幼 儿 园 老 师感 觉 到 快 乐 和幸 福 ， 因 为 他刚 给 一 群 孩 子讲 清 楚 了 吃 饭前 要 洗 手 的 道理 ； 一 位 外 科医 生 感 觉 到 幸福 和 快 乐 ， 因为 他 刚 刚 从 死神 手 里 抢 回 了一 条 人 命 ； 一位 母 亲 感 觉 到幸 福 和 快 乐 ，因 为 他 正 坐 在孩 子 的 床 边 ，孩 子 睡 梦 中 的脸 庞 是 那 么 的安 静 美 丽 ， 那么 令 人 爱 怜 。。 。 。 。 。
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学习重要还是人 脉 重 要 ?现 在 是 一 个 双赢 的 社 会 ， 你的 价 值 可 能 更多 的 决 定 了 你的 人 脉 ， 我 们所 要 做 的 可 能 更多 的 是 专 心 打造 自 己 ， 把 自己 打 造 成 一 个优 秀 的 人 、 有用 的 人 、 有 价值 的 人 ， 当 你真 正 成 为 一 个优 秀 有 价 值 的人 的 时 候 ， 你会 惊 喜 地 发 现搞 笑 人 脉 会 破门 而 入 。 从 如下 方 面 改 进 ： 1 、 专 心 做可 以 提 升 自 己的 事 情 ； 2、 学 习 并 拥 有更 多 的 技 能 ；3 、 成 为 一个 值 得 交 往 的人 ； 4 学 会独 善 其 身 ， 尽量 少 给 周 围 的人 制 造 麻 烦 ，用 你 的 独 立 赢得 尊 重 。
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]
![高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/090c01fd90c69ec3d4bb75af.png)
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．
2023届高考数学一轮复习讲义：第29讲 解三角形应用举例及综合问题
第29讲解三角形应用举例及综合问题1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.➢考点1 解三角形应用举例[名师点睛]1.距离问题的类型及解法(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.2.高度问题的类型及解法（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.3.角度问题的类型及解法（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.[典例]1.（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园,C D两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的,A B两点，点B在点A的正东方向上，A B C D四点在同一水平面上．从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在且,,,它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东15 方向上，点D在它的北偏西75方向上，则,C D之间的距离为______km.2.(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(3≈1.732)() A.346 B.373 C.446 D.4733．（2022·全国·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为θ.则tanθ=______________.[举一反三]1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为h，EG为测量标杆问的距离，记为d，GC、EH分别记为,a b，则该山体的高AB=（）A．hdha b+-B．hdha b--C．hdda b+-D．hdda b--2．（2022·江苏南通·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m 到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（）A．20m B．10m C．103D 103m3．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A和临秀亭()B两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A、B两地之间的距离，某同学任意选定了与A、B不共线的C处，构成ABC，以下是测量数据的不同方案：①测量A∠、AC、BC；②测量A∠、B、BC；③测量C∠、AC、BC；④测量A∠、C∠、B．其中一定能唯一确定A、B两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．4．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B 位于小岛A 北偏东75距离60海里处，小岛B 北偏东15距离30330-海里处有一个小岛 C .(1)求小岛A 到小岛C 的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A 出发到小岛 C ，求游船航行的方向.5．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得30BCD ∠=︒，135BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，求塔高AB ．➢考点2 求解平面几何问题1. (2021·新高考八省联考)在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BD ＝CD ＝1. (1)若AB ＝32，求BC ；(2)若AB ＝2BC ，求cos ∠BDC .2.（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的平分线AD 交BC 边于点D . (1)证明：AB DBAC DC=，2AD AB AC DB DC =⋅-⋅； (2)若1AD =，23A π=，求DB DC ⋅的最小值.[举一反三]1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在ABC 中，M 为BC 上一点，2AB AC BC =≤，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且15sin 8B =．(1)若AM BM =，求ACAM的值； (2)若AM 为BAC ∠的平分线，且1AC =，求ACM △的面积．2．（2022·福建省福州第一中学三模）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sinsin 2A Bb c B +=. (1)求角C ；(2)若AB 边上的高线长为23ABC 面积的最小值.3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①2sin cos sin b C B c B =+，②cos cos 2B bC a c=-两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________. (1)求角B ；(2)若a c +=D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.➢考点3 三角函数与解三角形的交汇问题（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π．(1)求ω的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围．[举一反三]1．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数()sin(),0,0,02f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)在锐角ABC 中，若边1BC =，且3212A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ABC 周长的最大值．2.（2022·山东淄博·三模）已知函数21()3cos cos (0)2f x x x x ωωωω=-+>，其图像上相2π44+(1)求函数()f x 的解析式；(2)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4a =，12bc =，()1f A =．若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长第29讲解三角形应用举例及综合问题1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.➢考点1 解三角形应用举例[名师点睛]1.距离问题的类型及解法(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.2.高度问题的类型及解法（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.3.角度问题的类型及解法（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.1.（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园,C D两点之间的距离，A B C D四点如图，在东西方向上选取相距1km的,A B两点，点B在点A的正东方向上，且,,,在同一水平面上．从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东15 方向上，点D在它的北偏西75方向上，则,C D之间的距离为______km.【答案】2【分析】由题意确定相应的各角的度数，在ABC中，由正弦定理求得BC,△，求得答案.同理再求出DB，解DBC【详解】由题意可知，904545,9045135,9015105CAB DAB CBA ∠=-=∠=+=∠=+=,157590,15CDB DBA ∠=+=∠= ,故在ABC 中，1804510530ACB ∠=--=， 故sin sin BD AB DAB ADB =∠∠ ，1sin 452sin 30BC ⨯==，在ABD △中，1801513530ADB ∠=--=， 故sin sin BC AB CAB ACB =∠∠ ，1sin1352sin 30BD ⨯==，所以在DBC △中，90CBD ∠=，则22222CD BC DB =+=+= ,故答案为：2 2. (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A ′，B ′，C ′满足∠A ′C ′B ′＝45°，∠A ′B ′C ′＝60°.由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′－CC ′约为(3≈1.732)( ) A.346 B.373C.446D.473答案 B解析 如图所示，根据题意过C 作CE ∥C ′B ′，交BB ′于E ，过B 作BD ∥A ′B ′，交AA ′于D ，则BE ＝100，C ′B ′＝CE ＝100tan 15°.在△A ′C ′B ′中，∠C ′A ′B ′＝180°－∠A ′C ′B ′－∠A ′B ′C ′＝75°， 则BD ＝A ′B ′＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，又在B 点处测得A 点的仰角为45°，所以AD ＝BD ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，所以高度差AA ′－CC ′＝AD ＋BE＝C ′B ′·sin 45°sin 75°＋100＝100tan 15°·sin 45°sin 75°＋100＝100sin 45°sin 15°＋100＝100×2222×⎝⎛⎭⎫32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.3．（2022·全国·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A 处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B 处，测得仰角为30°，再行走80米到点C 处，测得仰角为θ.则tan θ=______________. 【答案】37777【解析】首先得到60,603OA OB ==，然后由余弦定理得：2222cos OA AB OB AB OB ABO =+-⋅∠，2222cos OC BC OB BC OB OBC =+-⋅∠，然后求出OC 即可【详解】如图，O 为楼脚，OP 为楼高，则60OP =，易得：60,603OA OB ==. 由余弦定理得：2222cos OA AB OB AB OB ABO =+-⋅∠， 2222cos OC BC OB BC OB OBC =+-⋅∠，两式相加得：()22222230800OA OC AB OB OC +=+⇒=，则2077OC =，故60377tan 772077θ==.故答案为：37777 [举一反三]1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E 、H 、G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为h ，EG 为测量标杆问的距离，记为d ，GC 、EH 分别记为,a b ，则该山体的高AB =（ ）A ．hdh a b+- B ．hdh a b-- C ．hdd a b+- D ．hdd a b-- 【答案】A 【分析】根据所给数据，利用解直角三角形先求出BM ，即可得解. 【详解】连接FD ，并延长交AB 于M 点，如图，因为在Rt BMD △中tan h BDM b∠=， 所以||||||tan BM BM b MD BDM h ==∠；又因为在Rt BMF △中tan hBFM a ∠=，所以||||||tan BM BM a MF BFM h ==∠，所以||||||||BM a BM bMF MD d h h-=-=， 所以||hd BM a b =-，即||hdAB BM h h a b=+=+-，故选：A ． 2．（2022·江苏南通·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB ，先在旗杆底端的正西方点C 处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C 处沿南偏东30°方向前进20m 到达点D 处，在D 处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ） A ．20m B ．10m C ．103D 103【答案】B 【分析】根据条件确定相关各角的度数，表示出AB ，,AD AC 等边的长度，然后在ACD △中用余弦定理即可解得答案. 【详解】如图示，AB 表示旗杆，由题意可知：45,0,630ACB ACD ADB ∠=∠=∠=︒︒︒， 所以设AB x = ，则3,AD x AC x ==，在ACD △ 中，2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⨯⨯⨯∠ ,即2221(3)()(20)2202x x x =+-⨯⨯⨯ ，解得10x = ，（20x =-舍去），故选：B.3．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案：①测量A ∠、AC 、BC ； ②测量A ∠、B 、BC ； ③测量C ∠、AC 、BC ；④测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________． 【答案】②③【分析】利用正弦定理可判断①②，利用余弦定理可判断③，根据已知条件可判断④不满足条件.【详解】对于①，由正弦定理可得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC A B BC =，若AC BC >且A ∠为锐角，则sin sin sin AC AB A AB=>，此时B 有两解， 则C ∠也有两解，此时AB 也有两解；对于②，若已知A ∠、B ，则C ∠确定，由正弦定理sin sin BC ABA C=可知AB 唯一确定； 对于③，若已知C ∠、AC 、BC ，由余弦定理可得222cos AB AC BC AC BC C +-⋅， 则AB 唯一确定；对于④，若已知A ∠、C ∠、B ，则AB 不确定.故答案为：②③.4．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B 位于小岛A 北偏东75距离60海里处，小岛B 北偏东15距离30330海里处有一个小岛 C .(1)求小岛A 到小岛C 的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A 出发到小岛 C ，求游船航行的方向. 解：(1)在ABC 中，6030330，==AB BC 1807515120ABC ∠=-+=，根据余弦定理得：. 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2260(30330)260(30330)cos1205400=+-⨯⨯⋅=6=AC 所以小岛A 到小岛 C 的最短距离是6.(2)根据正弦定理得：sin sin AC ABABC ACB=∠∠30660120sin ACB=∠ 解得2sin ACB ∠=在ABC ∆中，,<BC AC ACB ∴∠为锐角45ACB ∴∠=1801204515CAB ∴∠=--=.由751560-=得游船应该沿北偏东60的方向航行答:小岛A 到小岛 C 的最短距离是6;游船应该沿北偏东60的方向航行.5．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得30BCD ∠=︒，135BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，求塔高AB ．【解】在BCD △中，1801803013515CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∵()sin sin15sin 4530CBD ∠=︒=︒-︒sin 45cos30cos45sin30=︒︒-︒︒624-=， 由正弦定理sin sin BC CDBDC CBD=∠∠得()sin 50sin1355031sin 624CD BDC BC CBD ⋅∠︒===+∠-.在Rt ABC △中45ACB ∠=︒．∴()5031AB BC ==+．所以塔高AB 为()5031+米．➢考点2 求解平面几何问题[名师点睛]平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. [典例]1. (2021·新高考八省联考)在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BD ＝CD ＝1. (1)若AB ＝32，求BC ；(2)若AB ＝2BC ，求cos ∠BDC .解 (1)如图所示，在△ABD 中，由余弦定理可知，cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝⎝⎛⎭⎫322＋12－122×32×1＝34.∵AB ∥CD ，∴∠BDC ＝∠ABD ，即cos ∠BDC ＝cos ∠ABD ＝34.在△BCD 中，由余弦定理可得，BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos ∠BDC ＝12＋12－2×1×1×34，∴BC ＝22.(2)设BC ＝x ，则AB ＝2BC ＝2x .由余弦定理可知， cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝（2x ）2＋12－122×2x ×1＝x ，①cos ∠BDC ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝12＋12－x 22×1×1＝2－x 22.②∵AB ∥CD ，∴∠BDC ＝∠ABD ，即cos ∠BDC ＝cos ∠ABD .联立①②，可得2－x 22＝x ，整理得x 2＋2x －2＝0，解得x 1＝3－1，x 2＝－3－1(舍去).将x 1＝3－1代入②，解得cos ∠BDC ＝3－1.2.（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的平分线AD 交BC 边于点D . (1)证明：AB DBAC DC=，2AD AB AC DB DC =⋅-⋅； (2)若1AD =，23A π=，求DB DC ⋅的最小值. 解：(1)在ABD △和BCD △中，可得BAD CAD ∠=∠，ADB ADC π∠+∠=， 所以sin sin BAD CAD ∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠， 由正弦定理，得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，sin sin AC DC ADC CAD=∠∠，两式相除得AB DB AC DC =，可得ABBD BC AB AC=+，AC DC BC AB AC =+， 又由cos cos ABD ABC ∠=∠，根据余弦定理得22222222AB BD AD AB BC AC AB BD AB BC+-+-=⋅⋅ 所以()()22222222BD DC BDAD AB BD AB BC AC AB AC BD BC BD BC BC BC=+-+-=+-- 代入可得222AC ABAD AB AC BD DC AB AC AB AC=+-⋅++ABAC AB AC BD DC AB AC BD DC AB AC AB AC ⎛⎫=⋅+-⋅=⋅-⋅ ⎪++⎝⎭.(2)由1AD =，23A π=及ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得b c bc += 根据基本不等式得bc b c =+≥，解得4bc ≥，当且仅当2b c ==时等号成立， 又由1AD =，2AD AB AC DB DC =⋅-⋅，可得13DB DC bc ⋅=-≥， 所以DB DC ⋅的最小值是3.[举一反三]1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在ABC 中，M 为BC 上一点，2AB AC BC =≤，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且15sin 8B =．(1)若AM BM =，求ACAM的值； (2)若AM 为BAC ∠的平分线，且1AC =，求ACM △的面积． 解：（1）因为15sin B =，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以27cos 1sin 8B B =-=，因为2AB AC =，所以由正弦定理知sin 2sin C ABB AC==，即sin 2sin C B =，因为AM BM =，所以2AMC B ∠=∠，sin sin 22sin cos AMC B B B ∠==，在AMC 中，sin 2sin cos 7cos sin 2sin 8AC AMC B B B AM C B ∠====． （2）由题意知22AB AC ==，设BC x =，由余弦定理得222217cos 48x B x +-==，解得2BC =或32BC =．因为2AC BC ≤，所以2BC =，因为AM 为BAC ∠的平分线，BAM CAM ∠=∠所以11sin 2211sin 22ABM ACMAB AM BAM BM hS SAC AM CAM CM h⋅∠⨯==⋅∠⨯（h 为底边BC 的高）所以2BM AB CM AC ==，故1233CM BC ==，而由（1）知15sin 2sin C B ==1121515sin 1223ACM S AC CM C =⋅⋅=⨯⨯=△ 2．（2022·福建省福州第一中学三模）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sinsin 2A Bb c B +=. (1)求角C ；(2)若AB 边上的高线长为23ABC 面积的最小值. 解：(1)由已知A B C π++=，所以sin sin cos 222A B C Cb b b π+-==， 所以cossin 2C b c B =，由正弦定理得sin cos sin sin 2CB C B =，因为B 、()0,C π∈，则sin 0B >，022C π<<，cos 02C>，所以，cos sin 2C C =，则cos 2sin cos 222C C C =，所以1sin 22C =，所以26C π=，则3C π=.(2)由11sin 22ABCSc ab C =⋅=，得4ab c =， 由余弦定理222222cos 2c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-=， 即24c c ≥，因为0c >，则4c ≥，当且仅当4a b c ===取等号，此时ABC 面积的最小值为3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①2sin cos sin b C B c B =+，②cos cos 2B bC a c=-两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________. (1)求角B ；(2)若a c +=D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.解：(1)选①，由2sin cos sin b C B c B =+及正弦定理可得2sin sin cos sin sin B C C B C B +，所以，sin sin cos C B C B ，因为B 、()0,C π∈，所以，sin 0C >，则sin 0B B =>，所以，tan B =3B π∴=；选②，由cos cos 2B bC a c=-及正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-， 所以，()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=， A 、()0,B π∈，sin 0A ∴>，所以，1cos 2B =，则3B π=.(2)因为a c +=0a <<由已知AD DC =，即BD BA BC BD -=-，所以，2BD BA BC =+， 所以，()222242BD BA BCBA BC BA BC =+=++⋅，即())22222242cos33BD c a ac c a ac a c ac aa π=++=++=+-=-22993,344a a ⎛⎡⎫=+=+∈ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎭，所以，34BD ≤<➢考点3 三角函数与解三角形的交汇问题（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π．(1)求ω的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围． 解：(1)211cos 21()cos sin 2222x f x x x x x ωωωωω-=-+=-+12cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 显然()f x 的最大值为1，最小值为1-，则()()122f x f x -=时，12x x -的最小值等于2T，则22T π=，则22ππω=，1ω=；令2,6x k k ππ+=∈Z ，解得,122k x k ππ=-+∈Z ，则()f x 的对称中心为,0,122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；(2)()sin(2)16f A A π=+=-，22,62A k k πππ+=-+∈Z ，又()0,A π∈，则23A π=，由正弦定理得2sin sin sina b cA B C====，则2sin ,2sin b B c C ==， 则周长为2sin2sin 2sin 2sin 3a b c B CB B π⎛⎫++=+=+- ⎪⎝⎭sin 2sin()3B B B π==+，又03B π<<，则2333B πππ<+<，2sin()23B π+≤，故周长的取值范围为(.[举一反三]1．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数()sin(),0,0,02f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)在锐角ABC 中，若边1BC =，且3212A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ABC 周长的最大值． 解：(1)由图得2A =，32ππ3π43124T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，又2πT ω=，所以2ω=， 将点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()2sin(2)f x x ϕ=+，得πsin 06ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即π,6k k Z ϕπ=+∈， 考虑到π02ϕ<<，故π6ϕ=，即()f x 的解析式为π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (2)由π3212A f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3sin A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π3A =， 因为ABC 为锐角三角形，且π3A =，故ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由正弦定理，得sin sin sin 3a b c A B C ==所以2π1sin )1sin sin 333a b c B C B B ⎤⎛⎫++=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦ 31π12sin cos 12sin 26B B B ⎛⎫⎛⎫=++⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故π2sin (3,2]6B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ABC 周长的最大值为3. 2.（2022·山东淄博·三模）已知函数21()3cos cos (0)2f x x x x ωωωω=-+>，其图像上相2π44+ (1)求函数()f x 的解析式；(2)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4a =，12bc =，()1f A =．若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长．解：(1)因为()211cos cos 2cos 222f x x x x x x ωωωωω=-+=-πsin 26x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设函数()f x 的周期为T ，由题意222444πT ⎛⎫+=⎪+ ⎝⎭，即2224ππω⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得1ω=， 所以()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (2)由()1f A =得：sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22,Z 62A k k πππ-=+∈，解得,Z 3A k k ππ=+∈， 因为[0,]A π∈，所以π3A =，因为A 的平分线AD 交BC 于D ，所以ABC ABD ACD S S S =+，即111sin sin sin 232626bc c AD b AD πππ=⋅⋅+⋅⋅，可得AD = 由余弦定理得：，()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，而12bc =，得()252b c +=，因此AD =。
1.2 解三角形距离、高度问题
§1.2应用举例第1课时距离、高度问题学习目标1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．知识点一实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为140°(如图所示)．(3)方向角①正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图所示)．类似还有东北方向、西南方向等．知识点二距离问题知识点三高度问题1．南偏东30°指正南为始边，在水平面内向东旋转30°.(√)2．两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解．(√)3．两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解．(√)4．高度问题大多通过仰角转化为水平面内的距离问题来解决．(√)题型一距离问题命题角度1不可通又不可视的两点间距离例1(1)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为()A．3 B．2 C．1 D．0答案 A解析因为A，B间是湖泊，可视不可达，故三个方案涉及的量均可测，并能用这些量解三角形求出AB .(2)A ，B 两地之间隔着一个山岗如图，现选择另一点C ，测得CA ＝7 km ，CB ＝5 km ，C ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为 km.答案39解析 由余弦定理，得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C ＝72＋52－2×7×5×12＝39，∴AB ＝39.反思感悟 解实际应用题，通常要把实际问题抽象为数学问题，然后解决． 命题角度2 可视不可达的两点间的距离例2 如图所示，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则BC 为 m.答案 60(6－2)解析 由题意知，∠ACB ＝180°－30°－75°＝75°， 由正弦定理，BC ＝AB sin ∠ACB ·sin ∠CAB ＝120sin 75°·sin 30°＝1206＋24×12＝60(6－2)． 反思感悟 求可视不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形．命题角度3 测量两个不可到达点间的距离例3 如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C ，D ，在某天10：00观察到该船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，2分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则船速为 千米/分钟．答案64解析 在△ACD 中，CD ＝1，∠ADC ＝30°， ∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝105°， ∴∠CAD ＝180°－30°－105°＝45°. 由正弦定理，AD ＝CD sin ∠CAD ·sin ∠ACD＝122·6＋24＝3＋12.同理，在△BCD 中，BD ＝CD sin ∠CBD ·sin ∠BCD ＝122·22＝1.在△ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122＋12－2·3＋12·1·12＝32. ∴AB ＝62，∴船速为64千米/分钟． 反思感悟 本方案的实质是把求不可到达的两点A ，B 之间的距离转化为例1中的题型．题型二 高度问题命题角度1 在同一铅垂面内的高度问题例4 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为 m ．(精确到1 m) 答案 811解析 如图，过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝20°， 所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°. 在△ABD 中，由正弦定理，得AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD ＝1 000×sin 135°sin 30°＝1 0002(m)．在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 35°≈811(m)． 所以山的高度为811 m.反思感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形．(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进．命题角度2 不在同一铅垂面内的高度问题例5 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A ．10 mB ．10 2 mC ．10 3 mD ．10 6 m 答案 D解析 在△BCD 中，CD ＝10 m ，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠DBC ，BC ＝10sin 45°sin 30°＝102(m)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC ×tan 60°＝106(m)． 反思感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．三角形测量中的数学抽象典例 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.求索道AB 的长．解 在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )] ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.[素养评析] 数学抽象指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象．在本例中，我们舍去A ，B ，C 三处的景致、海拔、经度、纬度等非本质属性，得到纯粹的三个点，舍掉步行、乘缆车、速度等表征，直接抽象出线段AC ，AB 的长，都属于数学抽象.1．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者与A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C ，测出A ，C 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析 ∠ABC ＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC 中，由AB sin 45°＝50sin 30°，得AB ＝100×22＝50 2. 2．(2018·河南南阳八校联考)如图，要测出山上一座天文台BC 的高，从山腰A 处测得AC ＝60 m ，天文台最高处B 的仰角为45°，天文台底部C 的仰角为15°，则天文台BC 的高为( )A ．20 2 mB ．30 2 mC ．20 3 mD ．30 3 m答案 B解析 由题图，可得∠B ＝45°，∠BAC ＝30°，故BC ＝AC ·sin ∠BAC sin ∠B＝60sin 30°sin 45°＝302(m)． 3．如图，某人向正东方向走了x 千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13 千米，那么x 的值是 ．答案 4解析由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4(舍负)．4．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为km.答案7解析因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cos D ， 整理得cos D ＝－12，代入得AC 2＝32＋52－2×3×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49，故AC ＝7.1．测量距离和高度问题都可以转化成利用正弦、余弦定理求解三角形边的问题． 2．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤 (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解． (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.一、选择题1．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为() A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m答案 D解析设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40 m.2．如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是()A．a，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γ答案 D3．甲骑电动车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是 ( )A ．6 kmB ．3 3 kmC ．3 2 kmD ．3 km 答案 C解析 由题意知，AB ＝24×14＝6(km)，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS ＝AB sin ∠BAS sin ∠ASB＝6sin 30°sin 45°＝32(km)．4．已知海上A ，B 两个小岛相距10海里，C 岛临近陆地，若从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°视角，则B 岛与C 岛之间的距离是( ) A ．10 3 海里 B.1063 海里C ．5 2 海里D ．5 6 海里答案 D解析 如图所示，C ＝180°－60°－75°＝45°，AB ＝10.由正弦定理得10sin 45°＝BC sin 60°，所以BC ＝56，故选D.5.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m 答案 D解析 由题意知，∠A ＝∠B ＝30°， 所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理，得AB sin C ＝AC sin B ，即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝4 3.6.如图，甲、乙二人同时从点A 出发，甲沿正东方向走，乙沿北偏东30°方向走．当乙走了2 km 到达B 点时，甲走到C 点，此时两人相距 3 km ，则甲走的路程AC 等于( )A ．2 3 kmB ．2 km C. 3 kmD ．1 km答案 D 解析 依题意知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ， 即3＝22＋AC 2－2×2·AC ·cos 60°， AC 2－2AC ＋1＝0. 解得AC ＝1.7.如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1) mD ．5(3＋1) m答案 D解析 方法一 设AB ＝x m ，则BC ＝x m. ∴BD ＝(10＋x )m.∴tan ∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝33.解得x ＝5(3＋1) m.∴A 点离地面的高AB 等于5(3＋1) m. 方法二 ∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝135°， ∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC ＝CD sin ∠CAD ·sin ∠ADC ＝10sin 15°·sin 30°＝206－2. ∴AB ＝AC sin 45°＝5(3＋1)m.二、填空题8．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为 km. 答案 30 2解析 如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，则∠ABC ＝45°，AC ＝60 km ，根据正弦定理，得 BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC＝60sin 30°sin 45°＝302(km)． 9．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x ＝ cm.答案 1063解析 如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，则在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知 x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB＝10×sin 45°sin 60°＝1063 (cm)． 三、解答题10.如图所示，A ，B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD .因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin 15°＝AD sin 45°， 得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)． 即山的高度为800(3＋1) m.11.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，求建筑物的高度．解 设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ， ∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，① cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.② ∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③ 由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.12.一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由A 点开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 做匀速直线滚动，如图所示，已知AB ＝4 2 dm ，AD＝17 dm，∠BAD＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？解设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，连接BC，如图所示，设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，即x2＝(42)2＋(17－2x)2－82(17－2x)cos 45°，解得x1＝5，x2＝373.所以AC ＝17－2x ＝7(dm)或AC ＝－233(dm)(舍去)． 所以该机器人最快可在线段AD 上离A 点7 dm 的点C 处截住足球．13．某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶．公路的走向是M 站的北偏东40°.开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米．则汽车到达M 汽车站还需行驶 千米． 答案 15解析 由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B 处．在△ABC 中，AC ＝31，BC ＝20，AB ＝21，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC＝2331，则sin 2C ＝1－cos 2C ＝432312，sin C ＝12331， 所以sin ∠MAC ＝sin(120°－C )＝sin 120°cos C －cos 120°sin C ＝35362. 在△MAC 中，由正弦定理，得MC ＝AC sin ∠MAC sin ∠AMC ＝3132×35362＝35. 从而有MB ＝MC －BC ＝15.故汽车到达M 汽车站还需行驶15千米．14.在某次地震时，震中A (产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B ，C ，D .已知B ，C 两市相距20 km ，C ，D 相距34 km ，C 市在B ，D 两市之间，如图所示，某时刻C 市感到地表震动，8 s 后B 市感到地表震动，20 s 后D 市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A 到B ，C ，D 三市的距离．解 在△ABC 中，由题意得AB －AC ＝1.5×8＝12(km)．在△ACD 中，由题意得AD －AC ＝1.5×20＝30(km)．设AC ＝x km ，AB ＝(12＋x )km ，AD ＝(30＋x )km.在△ABC 中，cos ∠ACB ＝x 2＋400－(12＋x )22×20×x＝256－24x 40x ＝32－3x 5x，在△ACD 中，cos ∠ACD ＝x 2＋1 156－(30＋x )268x ＝256－60x 68x ＝64－15x 17x. ∵B ，C ，D 在一条直线上，∴64－15x 17x ＝－32－3x 5x， 即64－15x 17＝3x －325，解得x ＝487. ∴AB ＝1327 km ，AD ＝2587km. 即震中A 到B ，C ，D 三市的距离分别为1327 km ，487 km ，2587 km.。
角度高度15
角度、高度问题学习目标 1.准确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念.2.掌握测量高度的常见方法.3.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题.知识点一测量仰角(或俯角)求高度问题思考如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)答案解题思路是：在△ACD中，ACsin β＝msin(α－β).所以AC＝m sin βsin(α－β)，在Rt△AEC中，AE＝AC sin α，AB＝AE＋h.梳理问题的本质如图，已知∠AEC为直角，CD＝m，用α，β，m表示AE的长，所得结果再加上h.知识点二测量方向角求高度思考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西75°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在北偏西65°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?答案 先在△ABC 中，用正弦定理求BC ＝5sin 15°sin 10°，再在Rt △DBC 中求DC ＝BC tan 8°.梳理 问题本质如图，已知三棱锥 D －ABC ，DC ⊥平面ABC ，AB ＝m ，用α，β，m ，γ表示DC 的长.1.在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针.(×)2.在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影.(√)类型一 测量仰角(或俯角)求高度问题例1 如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A.10 mB.5 3 mC.5(3－1) mD.5(3＋1) m考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 D解析 方法一 设AB ＝x m ，则BC ＝x m. ∴BD ＝(10＋x ) m.∴tan ∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝33.解得x ＝5(3＋1) m.∴A 点离地面的高AB 等于5(3＋1) m. 方法二 ∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝135°， ∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC ＝CDsin ∠CAD·sin ∠ADC＝10sin 15°·sin 30°＝206－2. ∴AB ＝AC sin 45°＝5(3＋1) m.反思与感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进.跟踪训练1 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为______ m.(精确到1 m) 答案 811解析 如图，过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ， 因为∠DAC ＝20°， 所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°. 在△ABD 中，由正弦定理，得AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD ＝1 000×sin 135°sin 30°＝1 0002(m).在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 35°≈811(m). 答 山的高度约为811 m. 类型二 测量方向角求高度问题例2 如图所示，A ，B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由AB sin 15°＝ADsin 45°， 得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m).即山的高度为800(3＋1) m.反思与感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.跟踪训练2 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A.10 mB.10 2 mC.10 3 mD.10 6 m考点 解三角形求高度 题点 测量方向角、仰角求高度 答案 D解析 在△BCD 中，CD ＝10 m ，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠DBC，BC ＝10sin 45°sin 30°＝102(m).在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC ×tan 60°＝106(m). 类型三 航海问题例3 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6. ∴BC ＝ 6.又∵BC sin A ＝ACsin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，又∠ABC ∈(0°，60°)，∴∠ABC ＝45°， ∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t ＝12.又∵∠BCD ∈(0°，60°)，∴∠BCD ＝30°， ∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟. ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题.跟踪训练3 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 如图所示.设经过t 小时两船在C 点相遇， 则在△ABC 中， BC ＝at (海里)， AC ＝3at (海里)， B ＝90°＋30°＝120°， 由BC sin ∠CAB ＝ACsin B，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ×sin 120°3at ＝323＝12，∵0°<∠CAB <60°，∴∠CAB ＝30°， ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.1.某公司要测量一水塔CD 的高度，测量人员在地面选择了A ，B 两个观测点，且A ，B ，C 三点在同一直线上，如图所示，在A 处测得该水塔顶端D 的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D 的仰角为β.若AB ＝a,0<β<α<π2，则水塔CD 的高度为( )A.a sin (α－β)sin αsin βB.a sin αsin βsin (α－β)C.a sin (α－β)sin βsin αD.a sin αsin (α－β)sin β考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 B解析 根据题意知，在△ABD 中，∠ADB ＝α－β，由正弦定理，得asin (α－β)＝AD sin β，即AD＝a sin βsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AD sin α＝a sin αsin βsin (α－β).2.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( ) A.32 B.22C.3－1D.2－1 考点 解三角形求角度 题点 解三角形求角度 答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理得AB sin 30°＝AC sin 135°，∴AC ＝100 2.在△ADC 中，AC sin (θ＋90°)＝CDsin 15°，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin 15°CD＝3－1.3.一架飞机在海拔8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________ m.(精确到0.1 m) 考点 解三角形求宽度题点 已知高度、俯角(仰角)求宽度答案 5 856.4 解析 宽＝8 000tan 30°－8 000tan 45°＝5 856.4(m). 4.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________. 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 203米，4033米解析 甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203(米)， 乙楼的高为203－20tan 30°＝203－20×33＝4033(米). 5.某船开始看见一灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km 后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是________ km. 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离 答案 15 3解析 设灯塔位置为A ，船的初始位置为O ，船的终止位置为B ， 由题意知∠AOB ＝30°，∠OAB ＝120°， 则∠OBA ＝30°，所以由正弦定理，得AB ＝153， 即此时船与灯塔的距离是15 3 km.1.在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.一、选择题1.为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( ) A.20⎝⎛⎭⎫1＋33 m B.20⎝⎛⎭⎫1＋32 m C.20(1＋3) m D.30 m考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 A解析 塔的高度为20tan 30°＋20tan 45°＝20⎝⎛⎭⎫1＋33(m)，故选A. 2.在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A.200 m B.300 m C.400 m D.100 3 m 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 B解析 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600 m ， BC ＝DC ＝200 3 m.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin 4θ＝2003×32＝300(m)，故选B.3.海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离是( ) A.10 3 n mile B.1063 n mileC.5 2 n mileD.5 6 n mile考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离 答案 D解析 在△ABC 中，C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理，得BC sin A ＝AB sin C ，∴BC sin 60°＝10sin 45°，解得BC ＝5 6 n mile.4.已知两座灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10°D.南偏西10° 考点 三角形中角度的求解 题点 三角形中角度的求解 答案 B解析 如图，因为△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.5.从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( ) A.2h 米B.2h 米考点解三角形求距离题点测量俯角(仰角)求距离答案 A解析如图所示，BC＝3h，AC＝h，∴AB＝3h2＋h2＝2h(米).6.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A.15 mB.5 mC.10 mD.12 m考点解三角形求高度题点测量俯角(仰角)求高度答案 C解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理，得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍).即塔高为10 m.7.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()C.20 3 海里D.20 2 海里考点 解三角形求距离题点 测量俯角(仰角)求距离答案 A解析 如图所示，易知， 在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°， 解得BC ＝10 2.8.要测量河流一侧某建筑物的高度，在河流的另一侧选择甲、乙两个观测点，在甲、乙两点分别测得该建筑物顶点的仰角为45°，30°，在水平面上测得该建筑物和甲地连线与甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则该建筑物的高度是( )A.100 2 mB.400 mC.200 3 mD.500 m考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度答案 D解析 由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知得BC ＝h .在Rt △ABD 中，由已知得BD ＝3h .在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ×CD ×cos ∠BCD ，得3h 2＝h 2＋5002＋h ×500，解得h ＝500(m)(负值舍去).故选D.二、填空题9.如图所示为一角槽，已知AB ⊥AD ，AB ⊥BE ，并测量得AC ＝3 mm ，考点 解三角形求角度题点 解三角形求角度答案 3π4解析 在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ACB ＝32＋(22)2－(29)22×3×22＝－22. 因为∠ACB ∈(0，π)，所以∠ACB ＝3π4.10.如图，测量河对岸的塔高AB 时，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________米.考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度答案 15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD， 所以 BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×tan 60°＝156(米).11.如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.若AB ＝BD ，则B ，D 间的距离为________km.考点 解三角形求距离题点 测量俯角(仰角)求距离答案 32＋620解析 在△ABC 中，∠BCA ＝60°，∠ABC ＝75°－60°＝15°，AC ＝0.1 km ，由正弦定理，得AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，所以AB ＝0.1sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，又因为BD ＝AB ，所以BD ＝32＋620(km).三、解答题12.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，求建筑物的高度.考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度解 设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h ，①cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h .②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.13.甲船在A 处，乙船在A 的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？ 考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距离解 如图所示，设用t 小时甲船能追上乙船，且在C 处相遇.在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，即(28t )2＝92＋(20t )2－2×9×20t ×⎝⎛⎭⎫－12， 128t 2－60t －27＝0，∴t ＝34或t ＝－932(舍去)， ∴甲船用34小时能最快追上乙船. 四、探究与拓展14.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为________ m.考点 解三角形求高度题点 测量方向角、仰角求高度答案 10(3－3)3解析 如图所示，设AE 为塔，B 为塔正东方向一点，沿南偏西60°前进40 m 到达C 处，即BC ＝40，∠CAB ＝135°，∠ABC ＝30°，∠ACB ＝15°.在△ABC 中，AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠CAB， 即AC sin 30°＝40sin 135°，∴AC ＝20 2. 过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G ，此时仰角∠AGE 最大，在△ABC 中，由面积公式知12×BC ×AG ＝12×BC ×AC ×sin ∠ACB . ∴AG ＝AC ×CB ×sin ∠ACB BC＝AC ×sin ∠ACB ＝202sin 15°，∴AG ＝202sin(45°－30°)＝202⎝⎛⎭⎫22×32－22×12 ＝10(3－1).在Rt △AEG 中，∵AE ＝AG tan ∠AGE ，∴AE ＝10(3－1)×33＝10－1033， ∴塔高为⎝⎛⎭⎫10－1033 m. 15.为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西3千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？考点 解三角形的实际综合应用题点 解三角形的实际综合应用解 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设检查员行驶到公路上C ，D 两点之间时收不到信号，即公路上C ，D 两点到考点的距离为1千米.在△ABC 中，AB ＝3(千米)，AC＝1(千米)，∠ABC＝30°，由正弦定理，得sin∠ACB＝sin 30°AC×AB＝32，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(千米).在△ACD中，AC＝AD＝1，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1(千米).∵BC12×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟.∴最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格.。
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第2课时角度、高度问题学习目标 1.准确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念.2.掌握测量高度的常见方法.3.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题.知识点一测量仰角(或俯角)求高度问题思考如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)答案解题思路是：在△ACD中，ACsin β＝msin(α－β).所以AC＝m sin βsin(α－β)，在Rt△AEC中，AE＝AC sin α，AB＝AE＋h.梳理问题的本质如图，已知∠AEC为直角，CD＝m，用α，β，m表示AE的长，所得结果再加上h.知识点二测量方向角求高度思考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西75°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在北偏西65°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?答案 先在△ABC 中，用正弦定理求BC ＝5sin 15°sin 10°，再在Rt △DBC 中求DC ＝BC tan 8°.梳理 问题本质如图，已知三棱锥 D －ABC ，DC ⊥平面ABC ，AB ＝m ，用α，β，m ，γ表示DC 的长.1.在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针.(×)2.在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影.(√)类型一 测量仰角(或俯角)求高度问题例1 如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A.10 mB.5 3 mC.5(3－1) mD.5(3＋1) m考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 D解析 方法一 设AB ＝x m ，则BC ＝x m. ∴BD ＝(10＋x ) m.∴tan ∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝33.解得x ＝5(3＋1) m.∴A 点离地面的高AB 等于5(3＋1) m. 方法二 ∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝135°， ∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC ＝CDsin ∠CAD·sin ∠ADC＝10sin 15°·sin 30°＝206－2. ∴AB ＝AC sin 45°＝5(3＋1) m.反思与感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进.跟踪训练1 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为______ m.(精确到1 m) 答案 811解析 如图，过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ， 因为∠DAC ＝20°， 所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°. 在△ABD 中，由正弦定理，得AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD ＝1 000×sin 135°sin 30°＝1 0002(m).在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 35°≈811(m). 答 山的高度约为811 m. 类型二 测量方向角求高度问题例2 如图所示，A ，B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD . 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由AB sin 15°＝ADsin 45°， 得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m).即山的高度为800(3＋1) m.反思与感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.跟踪训练2 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A.10 mB.10 2 mC.10 3 mD.10 6 m考点 解三角形求高度 题点 测量方向角、仰角求高度 答案 D解析 在△BCD 中，CD ＝10 m ，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠DBC ，BC ＝10sin 45°sin 30°＝102(m).在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC ×tan 60°＝106(m). 类型三 航海问题例3 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6. ∴BC ＝ 6.又∵BC sin A ＝ACsin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，又∠ABC ∈(0°，60°)，∴∠ABC ＝45°， ∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t ＝12.又∵∠BCD ∈(0°，60°)，∴∠BCD ＝30°， ∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟. ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题.跟踪训练3 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 如图所示.设经过t 小时两船在C 点相遇， 则在△ABC 中， BC ＝at (海里)， AC ＝3at (海里)， B ＝90°＋30°＝120°， 由BC sin ∠CAB ＝ACsin B，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ×sin 120°3at ＝323＝12，∵0°<∠CAB <60°，∴∠CAB ＝30°， ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.1.某公司要测量一水塔CD 的高度，测量人员在地面选择了A ，B 两个观测点，且A ，B ，C 三点在同一直线上，如图所示，在A 处测得该水塔顶端D 的仰角为α，在B 处测得该水塔顶端D 的仰角为β.若AB ＝a,0<β<α<π2，则水塔CD 的高度为( )A.a sin (α－β)sin αsin βB.a sin αsin βsin (α－β)C.a sin (α－β)sin βsin αD.a sin αsin (α－β)sin β考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 B解析 根据题意知，在△ABD 中，∠ADB ＝α－β，由正弦定理，得a sin (α－β)＝ADsin β，即AD＝a sin βsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AD sin α＝a sin αsin βsin (α－β).2.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( ) A.32 B.22C.3－1D.2－1 考点 解三角形求角度 题点 解三角形求角度 答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理得AB sin 30°＝AC sin 135°，∴AC ＝100 2.在△ADC 中，AC sin (θ＋90°)＝CDsin 15°，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin 15°CD＝3－1.3.一架飞机在海拔8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________ m.(精确到0.1 m) 考点 解三角形求宽度题点 已知高度、俯角(仰角)求宽度 答案 5 856.4解析 宽＝8 000tan 30°－8 000tan 45°＝5 856.4(m). 4.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________. 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 203米，4033米解析 甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203(米)， 乙楼的高为203－20tan 30°＝203－20×33＝4033(米). 5.某船开始看见一灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km 后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是________ km. 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离 答案 15 3解析 设灯塔位置为A ，船的初始位置为O ，船的终止位置为B ， 由题意知∠AOB ＝30°，∠OAB ＝120°， 则∠OBA ＝30°，所以由正弦定理，得AB ＝153， 即此时船与灯塔的距离是15 3 km.1.在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.一、选择题1.为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( ) A.20⎝⎛⎭⎫1＋33 m B.20⎝⎛⎭⎫1＋32 m C.20(1＋3) m D.30 m考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 A解析 塔的高度为20tan 30°＋20tan 45°＝20⎝⎛⎭⎫1＋33(m)，故选A. 2.在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A.200 m B.300 m C.400 m D.100 3 m 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 B解析 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600 m ， BC ＝DC ＝200 3 m.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin 4θ＝2003×32＝300(m)， 故选B.3.海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离是( )A.10 3 n mileB.1063 n mileC.5 2 n mileD.5 6 n mile考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离 答案 D解析 在△ABC 中，C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理，得BC sin A ＝AB sin C ，∴BC sin 60°＝10sin 45°，解得BC ＝5 6 n mile.4.已知两座灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10°D.南偏西10°考点 三角形中角度的求解 题点 三角形中角度的求解 答案 B解析 如图，因为△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.5.从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( ) A.2h 米 B.2h 米 C.3h 米D.22h 米考点 解三角形求距离 题点 测量俯角(仰角)求距离 答案 A解析如图所示，BC＝3h，AC＝h，∴AB＝3h2＋h2＝2h(米).6.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A.15 mB.5 mC.10 mD.12 m考点解三角形求高度题点测量俯角(仰角)求高度答案 C解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理，得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍).即塔高为10 m.7.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A.10 2 海里B.10 3 海里C.20 3 海里D.20 2 海里考点解三角形求距离题点测量俯角(仰角)求距离答案 A解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得 BC sin 30°＝AB sin 45°， 解得BC ＝10 2.8.要测量河流一侧某建筑物的高度，在河流的另一侧选择甲、乙两个观测点，在甲、乙两点分别测得该建筑物顶点的仰角为45°，30°，在水平面上测得该建筑物和甲地连线与甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则该建筑物的高度是( )A.100 2 mB.400 mC.200 3 mD.500 m考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度答案 D解析 由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知得BC ＝h .在Rt △ABD 中，由已知得BD ＝3h .在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ×CD ×cos ∠BCD ，得3h 2＝h 2＋5002＋h ×500，解得h ＝500(m)(负值舍去).故选D.二、填空题9.如图所示为一角槽，已知AB ⊥AD ，AB ⊥BE ，并测量得AC ＝3 mm ，BC ＝2 2 mm ，AB ＝29 mm ，则∠ACB ＝________.考点 解三角形求角度题点 解三角形求角度答案 3π4 解析 在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ACB ＝32＋(22)2－(29)22×3×22＝－22. 因为∠ACB ∈(0，π)，所以∠ACB ＝3π4. 10.如图，测量河对岸的塔高AB 时，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________米.考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度答案 15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD， 所以 BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×tan 60°＝156(米).11.如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.若AB ＝BD ，则B ，D 间的距离为________km.考点 解三角形求距离题点 测量俯角(仰角)求距离答案 32＋620解析 在△ABC 中，∠BCA ＝60°，∠ABC ＝75°－60°＝15°，AC ＝0.1 km ，由正弦定理，得AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC ， 所以AB ＝0.1sin 60°sin 15°＝32＋620(km)， 又因为BD ＝AB ，所以BD ＝32＋620(km). 三、解答题12.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，求建筑物的高度.考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度解 设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ， ∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，① cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.② ∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.13.甲船在A 处，乙船在A 的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？ 考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距离解 如图所示，设用t 小时甲船能追上乙船，且在C 处相遇.在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，即(28t )2＝92＋(20t )2－2×9×20t ×⎝⎛⎭⎫－12，128t 2－60t －27＝0，∴t ＝34或t ＝－932(舍去)， ∴甲船用34小时能最快追上乙船. 四、探究与拓展14.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为________ m.考点 解三角形求高度题点 测量方向角、仰角求高度答案 10(3－3)3解析 如图所示，设AE 为塔，B 为塔正东方向一点，沿南偏西60°前进40 m 到达C 处，即BC ＝40，∠CAB ＝135°，∠ABC ＝30°，∠ACB ＝15°. 在△ABC 中，AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠CAB， 即AC sin 30°＝40sin 135°，∴AC ＝20 2. 过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G ，此时仰角∠AGE 最大，在△ABC 中，由面积公式知12×BC ×AG ＝12×BC ×AC ×sin ∠ACB . ∴AG ＝AC ×CB ×sin ∠ACB BC＝AC ×sin ∠ACB ＝202sin 15°，∴AG ＝202sin(45°－30°)＝202⎝⎛⎭⎫22×32－22×12 ＝10(3－1).在Rt △AEG 中，∵AE ＝AG tan ∠AGE ，∴AE ＝10(3－1)×33＝10－1033， ∴塔高为⎝⎛⎭⎫10－1033 m. 15.为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西3千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？考点 解三角形的实际综合应用题点 解三角形的实际综合应用解 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设检查员行驶到公路上C ，D 两点之间时收不到信号，即公路上C ，D两点到考点的距离为1千米.在△ABC 中，AB ＝3(千米)，AC ＝1(千米)，∠ABC ＝30°，由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ×AB ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1(千米).在△ACD 中，AC ＝AD ＝1，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米).∵BC 12×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟. ∴最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格.。