解三角形方法大全
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
余弦定理： ， 其变式为：
2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：
（1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；
（2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；
（3）在 中，若 ， ， ，求
【例】（1）在 中，若 ， ， ，则 中最大角的余弦值为________
（2）（10上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 ，则（ ）
A．不能作出这样的三角形 B．作出一个锐角三角形
C．作出一个直角三角形 D．作出一个钝角三角形
（3）以 为三边组成一个锐角三角形，则 的取值范围为__________
3.如上图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南 的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南 的方向上，仰角为 ，求此山的高度CD.
4. （2009·辽宁卷·17）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 ， ，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 ，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离。(计算结果精确到0.01km， 1.414， 2.449)
三：解三角形综合问题
高考题
(湖北·3) 在△ABC中，a=15，b=10 ,∠A= ，则cosB=。
(山东·15)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a= ，b=2，sinB+cosB= ，则角A的大小为。
(广东· 11) 已知a ,b ,c分别是△ 的三个内角 所对的边．若 ＝1， ＝ ， ，则sinC＝。
4.例1：在△ABC中，已知 ，那么△ABC一定是。
5.例2：在△ABC中， ，那么△ABC一定是。
解三角形应用题
1. 如右图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是 米， ， ，求A、B两点的距离。
2.如下图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），在河岸选取相距40米的C、D两点，测得 ， ， ， ，求A、B两点间的距离。
基本运用
1、在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于。
2、已知△ABC的面积 ，解此三角形。
3、在△ABC中， ，求A、B、C。
4、在△ABC中，化简bcosC+ccosB=。
5、在△ABC中，化简 。
【例】考查正余弦定理的灵活使用
（1）在 中，若 ，其面积 ，则 _____
（2）在 中，若 ，则 _____
且
（1）求 的大小；（2）求 的最大值
【例】在 中，角 的对边分别为 ，，
（1）求 的大小；（2）求 的范围
【例】（11全国2）设 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
，求
【11江西文】在 中，角 的对边分别是 ，已知
（1）求 的值；（2）若 ， ，求边 的值
解三角形
正余弦定理的应用：
1.正弦定理适用于有两个角存在的情况，下图是“边边角”的情况：（a<bsinA无解）
（3）（07天津理）在 中，若 ， ，则 _____
（4）（10江苏）在锐角 中，若 ，则 _________
【例】判断满足下列条件的三角形形状
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ，
综合运用
1、已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B。
2、在△ABC中，c=2 ，tanA=3,tanB=2,试求a、b及此三角形的面积。
（1）若 为钝角或直角，则当 时， 有唯一解；否则无解。
（2）若 为锐角，则当 时，三角形无解；
当 时，三角形有唯一解；
当 时，三角形有两解；
当 时，三角形有唯一解
实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。
二：余弦定理及面积公式
1．余弦定理：在 中，角 的对边分别为 ，则有
(北京·15) 在△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，B= ,cosA= ,b= .
( I )求sinC的值；( II )求△ABC的面积。
【例】（09全国2）
在 中，角 的对边分别为 、 、 ， ， ，求
【例】（11西城一模）在 中，角 的对边分别为 ，且 ，
（1）当 时，求角 的度数；（2）求 面积的最大值
a=bsinA，一解 b sinA<a<b，两解 a=b，一解 a>b，一解
2.余弦定理应用于两种情况：
（1）已知三边求三角（2）已知两角和其中一边的对角，求其他边角
基本思想方法——边与角的转化
1.正弦定理能将两边长及其所对角的正弦进行等比例转化。例： ，求C.
2.余弦定理能将角的余弦化为边长，从而将三角问题转化为代数问题。
3、已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=。
4、在△ABC中，已知 ，那么这个三角形是。
5、在 中， ，则A为。
6、在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为。
总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能
如图，在 中，已知 、 、
(辽宁·17)在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求 的最大值
.
(天津·17)在△ABC中，BC= ，AC=3，sinC=2sinA.( I )求AB的值；( II )求 的值。
（安徽·16）在△ABC中，sin(C-A)=1 , sinB= . I )求sinA的值；( II )设AC= ，求△ABC的面积。
3、在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于。
4、已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值为。
5、△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为 ,则△ABC外接圆的直径为。
6、在△ABC中，BC=3，AB=2，且 ，A=。
【例1】考查正弦定理的应用
（1） 中，若 ， ， ，则 _____；
（2） 中，若 ， ， ，则 ____；
（3） 中，若 ， ， ，则 ____；
（4） 中，若 ，则 的最大值为_____。
基本运用
1、△A BC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为。
2、在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形为。
例：化简bcosC+ccosB=。
基本思想方法——余弦定理的配凑
例1：a2=b2+c2+bc，则A等于。
例2： ，则B等于。
基百度文库思想方法——灵活运用
1.观查每一个已知式表达了哪些字母的关系，分析为了得到结论需要消去哪些角。
2.例：在△ABC中，sin(C-A)=1 , sinB= ，求sinA=。
3.因为 ，所以sinC中含有sinAcosB这一部分，二者可以相减。
【例】在 中， ， ， ，求 的值和 的面积
【例】在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，
（1）若 的面积等于 ，求 ；
（2）若 ，求 的面积
【例5】（09江西理）在 中，角 的对边分别为 ，且 ，
（1）求 （2）若 ，求
【例】（09安徽理）在 中， ,
（1）求 的值；（2）设 ，求 的面积
【例】（10辽宁理）在 中，角 的对边分别为 ，
一：正弦定理及其应用
1．正弦定理： ，其中 为 的外接圆半径
2．正弦定理适用于两类解三角形问题：
（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；
（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解
的可能），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边
解三角形
解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求
其他元素的过程叫作解三角形。
以下若无特殊说明，均设 的三个内角 的对边分别为 ，则有以下关系成立：
（1）边的关系： ， ， （或满足：两条较短的边长之和大于较长边）
（2）角的关系： ， ， ， ，
， ， ，
说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决
3．三角形的面积公式
（1） （ 、 、 分别表示 、 、 上的高）；
（2）
（3） （ 为外接圆半径）
（4） ；
（5） 其中
（6） （ 是内切圆的半径， 是三角形的周长）
【例】考查余弦定理的基本应用
（1）在 中，若 ， ， ，求 ；
（2）在 中，若 ， ， ，求边 上的高 ；
2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：
（1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；
（2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；
（3）在 中，若 ， ， ，求
【例】（1）在 中，若 ， ， ，则 中最大角的余弦值为________
（2）（10上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 ，则（ ）
A．不能作出这样的三角形 B．作出一个锐角三角形
C．作出一个直角三角形 D．作出一个钝角三角形
（3）以 为三边组成一个锐角三角形，则 的取值范围为__________
3.如上图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南 的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南 的方向上，仰角为 ，求此山的高度CD.
4. （2009·辽宁卷·17）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 ， ，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 ，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离。(计算结果精确到0.01km， 1.414， 2.449)
三：解三角形综合问题
高考题
(湖北·3) 在△ABC中，a=15，b=10 ,∠A= ，则cosB=。
(山东·15)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a= ，b=2，sinB+cosB= ，则角A的大小为。
(广东· 11) 已知a ,b ,c分别是△ 的三个内角 所对的边．若 ＝1， ＝ ， ，则sinC＝。
4.例1：在△ABC中，已知 ，那么△ABC一定是。
5.例2：在△ABC中， ，那么△ABC一定是。
解三角形应用题
1. 如右图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是 米， ， ，求A、B两点的距离。
2.如下图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），在河岸选取相距40米的C、D两点，测得 ， ， ， ，求A、B两点间的距离。
基本运用
1、在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于。
2、已知△ABC的面积 ，解此三角形。
3、在△ABC中， ，求A、B、C。
4、在△ABC中，化简bcosC+ccosB=。
5、在△ABC中，化简 。
【例】考查正余弦定理的灵活使用
（1）在 中，若 ，其面积 ，则 _____
（2）在 中，若 ，则 _____
且
（1）求 的大小；（2）求 的最大值
【例】在 中，角 的对边分别为 ，，
（1）求 的大小；（2）求 的范围
【例】（11全国2）设 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
，求
【11江西文】在 中，角 的对边分别是 ，已知
（1）求 的值；（2）若 ， ，求边 的值
解三角形
正余弦定理的应用：
1.正弦定理适用于有两个角存在的情况，下图是“边边角”的情况：（a<bsinA无解）
（3）（07天津理）在 中，若 ， ，则 _____
（4）（10江苏）在锐角 中，若 ，则 _________
【例】判断满足下列条件的三角形形状
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ，
综合运用
1、已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B。
2、在△ABC中，c=2 ，tanA=3,tanB=2,试求a、b及此三角形的面积。
（1）若 为钝角或直角，则当 时， 有唯一解；否则无解。
（2）若 为锐角，则当 时，三角形无解；
当 时，三角形有唯一解；
当 时，三角形有两解；
当 时，三角形有唯一解
实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。
二：余弦定理及面积公式
1．余弦定理：在 中，角 的对边分别为 ，则有
(北京·15) 在△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，B= ,cosA= ,b= .
( I )求sinC的值；( II )求△ABC的面积。
【例】（09全国2）
在 中，角 的对边分别为 、 、 ， ， ，求
【例】（11西城一模）在 中，角 的对边分别为 ，且 ，
（1）当 时，求角 的度数；（2）求 面积的最大值
a=bsinA，一解 b sinA<a<b，两解 a=b，一解 a>b，一解
2.余弦定理应用于两种情况：
（1）已知三边求三角（2）已知两角和其中一边的对角，求其他边角
基本思想方法——边与角的转化
1.正弦定理能将两边长及其所对角的正弦进行等比例转化。例： ，求C.
2.余弦定理能将角的余弦化为边长，从而将三角问题转化为代数问题。
3、已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=。
4、在△ABC中，已知 ，那么这个三角形是。
5、在 中， ，则A为。
6、在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为。
总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能
如图，在 中，已知 、 、
(辽宁·17)在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求 的最大值
.
(天津·17)在△ABC中，BC= ，AC=3，sinC=2sinA.( I )求AB的值；( II )求 的值。
（安徽·16）在△ABC中，sin(C-A)=1 , sinB= . I )求sinA的值；( II )设AC= ，求△ABC的面积。
3、在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于。
4、已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值为。
5、△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为 ,则△ABC外接圆的直径为。
6、在△ABC中，BC=3，AB=2，且 ，A=。
【例1】考查正弦定理的应用
（1） 中，若 ， ， ，则 _____；
（2） 中，若 ， ， ，则 ____；
（3） 中，若 ， ， ，则 ____；
（4） 中，若 ，则 的最大值为_____。
基本运用
1、△A BC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为。
2、在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形为。
例：化简bcosC+ccosB=。
基本思想方法——余弦定理的配凑
例1：a2=b2+c2+bc，则A等于。
例2： ，则B等于。
基百度文库思想方法——灵活运用
1.观查每一个已知式表达了哪些字母的关系，分析为了得到结论需要消去哪些角。
2.例：在△ABC中，sin(C-A)=1 , sinB= ，求sinA=。
3.因为 ，所以sinC中含有sinAcosB这一部分，二者可以相减。
【例】在 中， ， ， ，求 的值和 的面积
【例】在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，
（1）若 的面积等于 ，求 ；
（2）若 ，求 的面积
【例5】（09江西理）在 中，角 的对边分别为 ，且 ，
（1）求 （2）若 ，求
【例】（09安徽理）在 中， ,
（1）求 的值；（2）设 ，求 的面积
【例】（10辽宁理）在 中，角 的对边分别为 ，
一：正弦定理及其应用
1．正弦定理： ，其中 为 的外接圆半径
2．正弦定理适用于两类解三角形问题：
（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；
（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解
的可能），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边
解三角形
解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求
其他元素的过程叫作解三角形。
以下若无特殊说明，均设 的三个内角 的对边分别为 ，则有以下关系成立：
（1）边的关系： ， ， （或满足：两条较短的边长之和大于较长边）
（2）角的关系： ， ， ， ，
， ， ，
说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决
3．三角形的面积公式
（1） （ 、 、 分别表示 、 、 上的高）；
（2）
（3） （ 为外接圆半径）
（4） ；
（5） 其中
（6） （ 是内切圆的半径， 是三角形的周长）
【例】考查余弦定理的基本应用
（1）在 中，若 ， ， ，求 ；
（2）在 中，若 ， ， ，求边 上的高 ；