高中数学必修二2.1-空间点、直线、平面之间的位置关系课堂练习及详细答案

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1 平面 ●

知识梳理

1

2 三个公理：

（1

符号表示为

A ∈l

B ∈l

=> l α?

A ∈α

B ∈α

【公理1作用】判断直线是否在平面内.

（2

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

【公理2作】确定一个平面的依据。

（3符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L L

A

· α

C

·

B ·

A

· α

1．已知m，n分别是两条不重合的直线，a，b分别垂直于两不重合平面α，β，有以下四个命题：①若m⊥α，n∥b，且α⊥β，则m∥n；②若m∥a，n∥b，且α⊥β，则m⊥n；

③若m∥α，n∥b，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥b，且α⊥β，则m∥n．

其中真命题的序号是（）

A．①②B．③④C．①④D．②③

2．在下列命题中，不是公理的是（）

A．平行于同一个平面的两个平面平行

B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面

4．下面四个说法中，正确的个数为（）

（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合

（2）两条直线可以确定一个平面

（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l

（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．

A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）

A．m与n异面

B．m与n相交

C．m与n平行

D．m与n异面、相交、平行均有可能

6．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线

B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线

C．已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，n⊥β

D．m、n在平面α内的射影互相垂直，则m、n互相垂直

7．已知平面α，β，γ，直线m，l，点A，有下面四个命题，其中正确的命题是（）

A．若l?α，m∩α=A，则l与m必为异面直线

B．若l∥α，l∥m，则m∥α

C．若l?α，m?β，l∥β，m∥α，则α∥β

D．若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，则l⊥α

8．已知α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；

②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，，则α∥β；

③若α⊥β，α∩β=m，n?α，n⊥m，则n⊥β；

④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中所有正确命题的序号是（）

A．①③B．②④C．①④D．③④

二．填空题

9．（文）平面上三条直线x+2y-1=0，x+1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为．（将你认为所有正确的序号都填上）

①0 ②1/2 ③1 ④2 ⑤3．

10．空间中有7个点，其中有3个点在同一直线上，此外再无任何三点共线，由这7个点最多可确定个平面．

三．解答题

1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．

2．四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3．DH：HA=2：3．

（1）证明：点G、E、F、H四点共面；

（2）证明：EF、GH、BD交于一点．

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线

a ∥

b

c ∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

知能训练

共面直线

=>a ∥c

2

一．选择题

1．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n?α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

2．如图，在三棱锥S-ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，

则异面直线AC与BE所成的角为（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若棱BB1=BC=1，AB=，则异面直线D1B

和AC所成角的余弦值为（）

B．/3C．1/2D．/5

A．1

4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1B1上，点Q在线段B1C1上，且

B1P=B1Q，给出下列结论：

①A、C、P、Q四点共面；

②直线PQ与 AB1所成的角为60°；

③PQ⊥CD1；

④V P-ABCD=V Q-AA1D．

其中正确结论的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．如图，正四面体A-BCD的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox、Oy、Oz上，则在下列命题中，错误的为（）

A．O-ABC是正三棱锥B．直线AD与OB成45°角

C．直线AB与CD互相垂直D．直线AD与OC成60°角

6．已知不同平面α，β，γ，不同直线m，n，则下列命题正确的是（）

A．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γB．若m∥α，n∥β，则α∥βC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若m∥γ，n∥γ，则m∥n 7．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线（）

A．只有一条，不在平面α内

B．有无数条，一定在平面α内

C．只有一条，且在平面α内

D．有无数条，不一定在平面α内

8．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

9．将正方形ABCD沿对角线AC折起，当三棱锥B-ACD体积最大时，直线AD与BC所成角为（）

A． B. C. D.

10．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所

成的角为45°的点P的个数为（）

A．0 B．3 C．4 D．6

二．填空题

11．正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AB，A1D1上的点，PQ⊥AC，则PQ与BD1所成角的余弦值得取值范围是。

12．已知二面角α-l-β的大小为60°，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，

AC=BD=4，CD=3，则AD与BC所成角的余弦值为．

13．已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个

不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．

三．解答题

14．如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG；

2.1.3 —2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

知能训练

一．选择题（共8小题）

1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n C．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β2．已知三条直线a，b，c和平面β，则下列推论中正确的是（）

A．若a∥b，b?β，则a∥β

B．若a∥β，b∥β，则a∥b或a与b相交

C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b

D．若a?β，b∥β，a，b共面，则a∥b

3．下列命题中，是假命题的为（）

A．平行于同一直线的两个平面平行

B．平行于同一平面的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两条直线平行

D．垂直于同一直线的两个平面平行

4．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：

①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若b?M，a∥b，则a∥M；

③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b．

其中正确命题的个数有（）

A．0个 B．1个C．2个 D．3个

5．已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N 分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）

A．0条B．1条C．2条D．无数条

6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别C1D1，BC是的中点，则下列

判断正确的是（）

A．MN∥BD1 B．MN⊥AB1

C．MN∥平面BDD1 D．MN⊥平面AB1C

7．已知E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1棱BB1、AD的中点，则直

线EF和平面BDB1D1所成的角的正弦值是（）

A. B. C. D.

8．△ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与面α

成30°和45°的角，且面ABC与α成60°的二面角，那么sin∠ACB的值

为（）

A. 1

B.

C.

D.1或

二．解答题（共3小题）

9．在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中，E，F分别为DD1，BB1的中点，

G为线段D1F上一点．请判断直线AG与平面BEC1之间的位置关系，并给出

证明．

【参考答案】

2.1.1

1. D

2.A

3.B

4.A

5.D

6.B

7.D

8.A

9.①③④10.26

11. 解：∵AB∥CD，

∴AB，CD确定一个平面β．

又∵AB∩α=E，AB?β，∴E∈α，E∈β，

即E为平面α与β的一个公共点．

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．

∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

∴E，F，G，H四点必定共线．

12. 证明：（1）∵E、G分别为BC、AB的中点，∴EG∥AC

又∵DF：FC=2：3．DH：HA=2：3，∴FH∥AC．

∴EG∥FH

所以，E、F、G、H四点共面．

（2）由（1）可知，EG∥FH，且EG≠FH，即EF，GH是梯

形的两腰，

所以它们的延长线必相交于一点P

∵BD是EF和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线，

而点P是上述两平面的公共点，

∴由公理3知P∈BD．

所以，三条直线EF、GH、BD交于一点．

2.2.2

1.B

2.C

3.D

4.B

5.D

6.C

7.C

8.B

9.D 10.B 11.[，1] 12. 13.

14. （1）证明：取AB的中点M，连接EM，MG．

∵MG∥AD，AD∥EF，∴MG∥EF．

∴四点E，F，G，M共面．

而在三角形PAB中，PB∥EM，

又PB?平面EFGM，EM?平面EFGM．

∴PB∥平面EFGM．

即得PB∥平面EFG．

2.1.3

1.B

2.D

3.A

4.B

5.D

6.C

7.B

8.D

9. AG∥平面BEC1．

证明：连结AF，AD1．

∵E，F为DD1，BB1的中点，

∴ED1与BF平行且相等，

∴四边形BED1F为平行四边形，

∴D1F∥BE，

∴D1F∥平面BEC1．

∵四边形ABC1D1为平行四边形，∴A1D∥BC1，

∴AD1∥平面BEC1．

∵AD1∩D1F=D1，

∴平面AFD1∥平面BEC1．

∵AG?平面AFD1，

∴AG∥平面BEC1