高二数学推理与证明练习及答案
高二数学推理证明练习含答案
课时作业16 合情推理与演绎推理]基础热身1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N ，则f 2009(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为：________________________________________________________________________.4．[2011·陕西卷] 观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________________________________．能力提升5．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，a >0且为常数，动点P 满足||P A |－|PB ||＝2a <|AB |，则P 点的轨迹为双曲线B ．由a 1＝1，a n ＝3n ＋1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πabD ．三角形ABC 一条边的长度为4，该边上的高为1，那么这个三角形的面积为26．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图K62－1)，则第七个三角形数是( )A ．21B ．28C ．32D ．36 7．设函数f (x )＝12x ＋2，类比课本推导等差数列前n 项和公式的推导方法计算f (－4)＋f (－3)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (4)＋f (5)的值为( )A.322B.522C.922D.228．把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2009，则i 与j 的和为( ) 12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24A ．105B ．106C ．107D ．1089．[2011·福建卷] 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：②________，②式可以用语言叙述为：________________________________________________________________________.11．如图K62－2，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)……试用n 表示出第n 个图形的边数a n ＝________.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．13．设f (x )________.14.(10分)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．课时作业16答案【基础热身】1．C [解析] f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ＝f 1(x )，f 6(x )＝(cos x )′＝－sin x ＝f 2(x )，f n ＋4(x )＝…＝…＝f n (x )，故可猜测f n (x )是以4为周期的函数，有f 4n ＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝f 2(x )＝－sin x ，f 4n ＋3(x )＝f 3(x )＝－cos x ，f 4n ＋4(x )＝f 4(x )＝sin x .故f 2009(x )＝f 1(x )＝cos x ，故选C.2．A [解析] A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．故选A.3．x ＋2y －z －2＝0 [解析] 设B (x ，y ，z )为平面内的任一点，由AB →·n ＝0得(－1)×(x－1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，即x ＋2y －z －2＝0.4．5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 [解析] 因为1＝1第一个式子左边1个数，右边1；2＋3＋4＝9第二个式子左边3个数，从2开始加，加3个连续整数，右边3的平方；3＋4＋5＋6＋7＝25第三个式子左边5个数，从3开始加，加5个连续整数，右边5的平方；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49第四个式子左边7个数，从4开始加，加7个连续整数，右边7的平方，故第五个式子为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.【能力提升】5．B [解析] 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．6．B [解析] 观察这一组数的特点：a 1＝1，a n －a n －1＝n ，∴a n ＝n (n ＋1)2，∴a 7＝28. 7．B [解析] ∵f (x )＝12x ＋2， ∴f (－x )＝12－x ＋2＝2x1＋2·2x， f (x ＋1)＝12x ＋1＋2＝12(1＋2·2x )， 则f (－x )＋f (x ＋1)＝2x 1＋2·2x ＋12(1＋2·2x )＝1＋2·2x 2(1＋2·2x )＝22， ∴f (－4)＋f (5)＝f (－3)＋f (4)＝f (－2)＋f (3)＝f (－1)＋f (2)＝f (0)＋f (1)＝22， ∴原式的值为22×5＝522.故选B. 8．C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.9．C [解析] 因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a ，b 属于同一“类”[k ]，可设a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k (n 1，n 2∈Z )，则a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]；反之，若a －b ∈[0]，可设a ＝5n 1＋k 1，b ＝5n 2＋k 2(n 1，n 2∈Z )，则a －b ＝5(n 1－n 2)＋(k 1－k 2)∈[0]；∴k 1＝k 2，则整数a ，b 属于同一“类”，结论④正确，故选C.10.⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 11．3×4n －1 [解析] a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48，可知a n ＝3×4n －1.12.T 8T 4 T 12T 8 [解析] 通过类比，若等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力．13．5 [解析] 由条件知x 1＝5，x 2＝f (x 1)＝f (5)＝6，x 3＝f (x 2)＝f (6)＝3，x 4＝f (x 3)＝f (3)＝1，x 5＝f (x 4)＝f (1)＝4，x 6＝f (x 5)＝f (4)＝2，x 7＝f (x 6)＝f (2)＝5＝x 1，可知{x n }是周期为6的周期数列，所以x 2011＝x 1＝5.14．[解答] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°] ＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋ 12⎣⎡⎦⎤sin (30°＋2α)－12 ＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋ 12⎣⎡⎦⎤sin (30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34.。
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.观察以下等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°·cos 60°＝，sin240°＋cos270°＋sin 40°·cos 70°＝，sin215°＋cos245°＋sin 15°·cos 45°＝.…写出反映一般规律的等式，并给予证明．【答案】sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝【解析】反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)＝sin2α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)2＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°)＝sin2α＋2＋sin α ·cos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sin α·cos α＋sin α·cos α－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.2.观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－＝()A．－2B．－4C．－6D．－8【答案】D【解析】根据题意，由于观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－=2tan＋4tan-= -8tan=-8，故答案为D.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。
2013-2014高二理科数学期末复习(推理与证明)
2013-2014高二理科数学期末复习（推理与证明）考向一 归纳推理【例1】(1) 观察下列等式： 1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15， 13＝1，13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，13＋23＋33＋43＋53＝225.可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)．解析 第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,15，…第n 项a n ，与第n －1项a n －1(n ≥2)的差为：a n －a n －1＝n ，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得，a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n ，其中a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ，即a n ＝n (n ＋1)2，∴a 2n ＝14n 2(n ＋1)2.答案 14n 2(n ＋1)2【训练1】1．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为_______________________________解析 13＋23＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，则13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22，故第五个等式即为当n ＝6时，13＋23＋33＋43＋53＋63＝⎝⎛⎭⎫6×722＝212.答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝2122. 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________. 解析 法一 由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123.法二 令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123. 答案 1233. 观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个不等式为________________．解析 先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<1164. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________.解析 归纳类比，得偶函数f (x )的导函数g (x )是奇函数，从而有g (－x )＝－g (x )． 答案 －g (x )5. 将正奇数排列如图形式，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，若a ij ＝2 009，则i ＋j ＝________.解析 根据正奇数排列的正三角图表知，2 009是第1 005个奇数，应排在i 行(其中i ∈N *)，则1＋2＋3＋…＋(i －1)＝i (i －1)2＜1 005①，且1＋2＋3＋…＋i ＝i (i ＋1)2＞1 005②；验证i ＝45时，①②式成立，所以i ＝45；第45行第1个奇数是2×44×452＋1＝1 981，而1 981＋2(j －1)＝2 009，∴j ＝15；所以，2 009在第45行第15个数，则i ＋j ＝60； 答案 606. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 2 13°＋cos 2 17°－sin 13°cos 17°；②sin 2 15°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15°； ③sin 2 18°＋cos 2 12°－sin 18°cos 12°；④sin 2 (－18°)＋cos 2 48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 2 55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 法一(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.考向二 类比推理【例2】 (1)在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S△ABC＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”．解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .答案 V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(2) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…[审题与转化] 第一步：观察等差数列{a n }前n 项和S n 的特点．[规范解答] 第二步：由等差数列“S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12”中的“差”，类比到等比数列中的“商”．故可得T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．[反思与回顾] 第三步：类比推理是以比较为基础的，它是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较，而做出有关另一个特殊属性的结论，是从特殊到特殊的推理，利用这类推理所得到的结论需要进行严格的证明．[方法总结] (1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能． 【训练2】1. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，利用倒序求和的方法，可将S n 表示成首项a 1、末项a n 与项数n 的一个关系式，即公式S n ＝n (a 1＋a n )2；类似地，记等比数列{b n }的前n 项积为T n ，且b n >0(n ∈N *)，试类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成首项b 1、末项b n 与项数n 的一个关系式，即公式T n ＝________. 解析 利用等比数列性质，即若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ， 得T 2n ＝(b 1b 2…b n )·(b n b n －1…b 2b 1)＝(b 1b n )n ，即T n ＝(b 1b n )n 2. 答案 (b 1b n )n 22．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4；类似地，在空间内，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析 由正方体的体积之比等于棱长的立方之比可得．答案 1∶83．给出下列三个类比结论．①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的序号是________． 答案 ③4. 在共有2 013项的等差数列{a n }中，有等式(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)－(a 2＋a 4＋…＋a 2 012)＝a 1 007成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列{b n }中，相应的有等式________成立．解析 将等式中加、减换成乘除可得b 1·b 3·b 5·…·b 2 011b 2·b 4·b 6·…·b 2 010＝b 1 006.答案 b 1·b 3·b 5·…·b 2 011b 2·b 4·b 6·…·b 2 010＝b 1 0065. 若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S nn ＝a 1＋(n－1)·d 2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列{nT n }为等比数列，通项为________．解析 由等差数列与等比数列的运算类比，可得n T n ＝b 1(q )n －1.答案 n T n ＝b 1(q )n －16. 如果函数f (x )在区间D 上是“凸函数”，则对于区间D 内任意的x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n 成立．已知函数y ＝sin x 在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC 中，sin A ＋sinB ＋sinC 的最大值是________．解析 由凸函数定义，知sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝323. 答案 32 37．圆x 2＋y 2＝r 2在点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，类似地，可以求得椭圆x 28＋y 22＝1在(2,1)处的切线方程为________．解析 由类比结构可知，相应的切线方程为：x 0x 8＋y 0y2＝1，代入点坐标，所求切线方程为：x 4＋y 2＝1. 答案 x 4＋y2＝17. 命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过点F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．解析 对于椭圆，延长F 2M 与F 1P 的延长线交于Q .由对称性知，M 为F 2Q 的中点，且PF 2＝PQ ，从而OM ∥F 1Q 且OM ＝12F 1Q .而F 1Q ＝F 1P ＋PQ ＝F 1P ＋PF 2＝2a ，所以OM ＝a .对于双曲线，过点F 2作∠F 1PF 2内角平分线的垂线，垂足为M ，类比可得OM ＝a . 答案 内角平分线[方法总结] 归纳推理可以通过多求几项找规律．类比推理，从类比对象划分，主要有等差数列与等比数列的类比，其中等差数列中的加、减、乘、除运算与等比数列中的乘、除、乘方、开方运算对应．平面几何与立体几何的类比，其中平面几何中的点、线、面、长度、面积等，与立体几何中的线、面、体、面积、体积等对应．椭圆与双曲线的类比，其中椭圆与双曲线中有“互余”关系． 考向三 演绎推理【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n (结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)[方法总结] 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．考向四 数学归纳法的原理1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0 等于________．解析 边数最少的凸n 边形是三角形． 答案 32．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了________项．解析 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项．答案2k3．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为________． 答案 1＋a ＋a 24．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得下列成立的说法是________．①n ＝6时该命题不成立；②n ＝6时该命题成立；③n ＝4时该命题不成立；④n ＝4时该命题成立． 解析 法一 由n ＝k (k ∈N *)成立，可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立．因而若n ＝4成立，必有n ＝5成立．现知n ＝5不成立，所以n ＝4一定不成立．法二 其逆否命题“若当n ＝k ＋1时该命题不成立，则当n ＝k 时也不成立”为真，故“n ＝5时不成立”⇒“n ＝4时不成立”．答案 ③ 5．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________． 解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2)，故填1(2k ＋1)(2k ＋2). 答案 1(2k ＋1)(2k ＋2)【例1】用数学归纳法证明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n ×(n ＋1)×(n ＋2)＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)4.(n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左边＝1×2×3＝6，右边＝1×2×3×44＝6＝左边，所以等式成立．(2)设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＝k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)4.则当n ＝k ＋1时，左边＝1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3) ＝k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)4＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫k 4＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)(k ＋4)4 ＝(k ＋1)(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)(k ＋1＋3)4所以n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，原等式对于任意的n ∈N *成立．【训练】 1已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2n ＝a 2n －1＋1a n －1(n ≥2)，a n ≥12n 13.求证：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1.证明 由题得a 2n ＋1＝a 2n ＋1a n ，即a 2n ＋1－a 2n ＝1a n ，于是有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝a 2n ＋1－a 21＝a 2n ＋1－1. 要证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1，只需证明a n ≤2n 13.下面使用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝1，12<a 1<2，则当n ＝1时，不等式成立．②假设当n ＝k 时，12k 13≤a k ≤2k 13成立，则当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝a 2k ＋1a k ≤4k 23＋112k 13＝4k 23＋2k 13，只要证明4k 23＋2k 13≤4(k ＋1)23，只需2k ＋1≤2k 13(k ＋1)23，只需(2k ＋1)3≤8k (k ＋1)2，化简后恒成立，于是a k ＋1≤2(k ＋1)13，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1.2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1,2,3，…. (1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出严格的证明．解 (1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3，….下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立． [方法总结] 归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此要务必保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．3. 在数列{a n }、{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512.(1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．(2)证明1a1＋b1＝16＜512. n≥2时，由(1)知a n＋b n＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.故1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1a n＋b n＜16＋12⎣⎡⎦⎤12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n＋1＜16＋14＝512.综上，原不等式成立．。
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.若，那么必有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为=0，所以选A。
【考点】本题主要考查不等式性质、不等式的证明方法。
点评：利用差比法，即综合法。
也看取两组数据代入检验。
2.已知，，，则与的关系为．【答案】【解析】先比较对数的真数平方的大小，根据对数的底数大于1，对数函数是单调增函数确定m与n的关系。
【考点】本题主要考查不等式性质、对数函数的性质以及分析法、综合法、反证法的定义和方法。
点评：综合应用各种方法及不等式性质。
3.已知数列为等差数列，公差，数列满足．判断数列是否为等差数列，并证明你的结论．【答案】是等差数列，见解析。
【解析】是等差数列．证明：由条件，则．所以，所以数列为等差数列．【考点】本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及综合法的定义和方法。
点评：等差数列中的基本问题．4.已知，求证：不能同时大于．【答案】见解析。
【解析】证明：假设三式同时大于，即，，．三式同向相乘得．①又，同理，．．②因①②矛盾，故原结论正确．【考点】本题主要考查不等式的性质、以及反证法的定义及方法。
点评：反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反”．5.已知成等差数列，成等比数列，则的取值范围是．【答案】【解析】由等差数列的性质得，由等比数列的性质得，所以==，当时，，当，，所以0，故的取值范围是。
【考点】本题主要考查等差、等比数列的性质，均值定理的应用，综合法的定义及方法。
点评：综合性较强，在理解掌握综合法的基础上，运用等差、等比数列的知识及均值定理完成解答。
6.设函数若，则的取值范围为．【答案】【解析】因为所以解即解或，解得的取值范围为。
【考点】本题主要考查指数函数、幂函数的图象和性质。
点评：注意分类讨论。
利用数形结合思想，通过画出函数图象，观察也可得解。
7.已知成等差数列，成等比数列，则的取值范围是．【答案】【解析】由等差数列的性质得，由等比数列的性质得，所以==，当时，，当，，所以0，故的取值范围是。
高二数学第二章逻辑推理与证明(含答案)
高二数学第二章逻辑推理与证明一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知数列{an }的前n 项和Sn ＝n 2·an (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想an 等于( ) A ．2(n+1)2B ．2n(n+1)C ．22n −1 D ．22n−12.用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n−1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程中，第二步由k 到k ＋1时不等式左边需增加( )A ．12kB ．12k−1+1＋12kC ．12k−1+1＋12k−1+2＋12kD ．12k−1+1＋12k−1+2＋…＋12k 3.在圆内接三角形ABC 中，AB ＝AC ，弧AB 对应的角度为130°，则∠A 等于( )A ． 130°B ． 50°C ． 100°D ． 90°4.下面几种推理中是类比推理的是( )A ．n 边形内角和为f (n )＝(n －2)π，则5边形内角和为f (5)＝(5－2)π＝3πB ． 某班张三、李四、王五身高都超过1.8米，猜想该班同学身高都超过1.8米C ． 猜想数列1×2,2×3,3×4，…的通项公式为an ＝n (n ＋1)(n ∈N *)D ． 由平面直角坐标系中两点P 1(x ，y )，P 2(a ，b )之间距离为d ＝√(x −a)2+(y −b)2，推测空间直角坐标系中两点P 1(x ，y ，z )，P 2(a ，b ，c )之间距离为 d ＝√(x −a)2+(y −b)2+(z −c)2 5.先阅读下面的文字：“求√1+√1+√1+⋯的值时，采用了如下方法：令√1+√1+√1+⋯＝x ，则有x ＝√1+x ，两边同时平方，得1＋x ＝x 2，解得x ＝1+√52(负值已舍去)”可用类比的方法，求得1＋12+11+12+⋯的值等于( )A ．√3−12B．√3+12C．1−√32D．−1−√326.在研究函数f(x)＝a1x(a＞1)的单调区间时，可用如下作法：设g(x)＝log af(x)＝1得到f(x)在(－∞，0)，x(0，＋∞)上是减函数，类比上述作法，研究y＝xx(x＞0)的单调性，则其单调增区间为()A． (0,1)B． (1，＋∞)，+∞)C．(1e)D．(0，1e7.如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2 013次跳后它将停在的点是()A． 1B． 2C． 3D． 48.在演绎推理“因为平行四边形的对角线互相平分，而正方形是平行四边形，所以正方形的对角线互相平分．”中“正方形是平行四边形”是“三段论”的()A．大前提B．小前提C．结论D．其他9.我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图)．试求第n个正方形数是()A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ． (n ＋1)210.设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三数( )A ． 至少有一个不大于2B ． 都小于2C ． 至少有一个不小于2D ． 都大于211.利用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *，n ≥2)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，不等式左边需要添加的项共有( )A ． 1项B ．k 项C ． 2k －1项D ． 2k 项12.已知数列{an }，{bn }的通项公式分别为an ＝an ＋2，bn ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是( )A ． 0B ． 1C ． 2D ． 无穷多个分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.用反证法证明命题“x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时应假设为________________． 14.有n 粒球(n ≥2，n ∈N *)，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为Sn .例如对于4粒球有如下两种分解：(4)→(1,3)→(1,1,2)→(1,1,1,1)，此时S 4＝1×3＋1×2＋1×1＝6；(4)→(2,2)→(1,1,2)→(1,1,1,1)，此时S 4＝2×2＋1×1＋1×1＝6.于是发现S4为定值，请你研究Sn的规律，归纳Sn＝________.15.把已知正整数n表示为若干个正整数(至少3个，且可以相等)之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：(1,4,7)与(7,4,1)为12的相同等差分拆．问正整数30的不同等差分拆有________个．16.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________________．三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分)17.设a，b是两个不相等的正数，若1a ＋1b＝1，用综合法证明：a＋b>4.18.数列{an}满足a1＝12，Sn＝n2an(n≥1)．(1)求S1，S2，S3，并猜想Sn；(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的正确性．19.用数学归纳法证明凸n边形的对角线条数：f(n)＝12n(n－3)(n≥3，n∈N*)．20.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝a n3a n+1(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．21.设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝3－2Sn(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值并猜想an的表达式．(2)若猜想的结论正确，用三段论证明数列{an}是等比数列.22.下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为f(n)．(1)求出f(2)，f(3)，f(4)，f(5)；(2)找出f(n)与f(n＋1)的关系，并求出f(n)的表达式；(3)求证：11 3f(1)+3＋113f(2)+5＋113f(3)+7＋…＋113f(n)+2n+1<2536(n∈N*)．答案解析1.【答案】B【解析】由a 1＝1，S 2＝22·a 2＝a 1＋a 2得a 2＝13，又a 1＋a 2＋a 3＝9×a 3得a 3＝16，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4得a 4＝110，…，猜想an ＝2n(n+1).2.【答案】D【解析】用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n−1＜f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程中，假设n ＝k 时不等式成立，左边＝1＋12＋13＋…＋12k−1，则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k−1＋12k−1+1＋…＋12(k+1)−1∴由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边需增加12k−1+1＋…＋12(k+1)−1＝12k−1+1＋…＋12k . 3.【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D .在Rt △OAD 中，∠AOD ＝12∠AOB ＝12×130°＝65°，∴∠BAO ＝90°－65°＝25°，∴∠BAC ＝2∠BAO ＝2×25°＝50°.4.【答案】D【解析】对于A ，n 边形内角和为f (n )＝(n －2)π，则5边形内角和为f (5)＝(5－2)π＝3π，是演绎推理；对于B ，某班张三、李四、王五身高都超过1.8米，猜想该班同学身高都超过1.8米，是归纳推理；对于C ，猜想数列1×2,2×3,3×4，…的通项公式为an ＝n (n ＋1)(n ∈N *)，是归纳推理； 对于D ，由平面直角坐标系中两点P 1(x ，y )，P 2(a ，b )之间距离为d ＝√(x −a)2+(y −b)2，推测空间直角坐标系中两点P 1(x ，y ，z )，P 2(a ，b ，c )之间距离为d ＝√(x −a)2+(y −b)2+(z −c)2，是类比推理．5.【答案】B【解析】设1＋12+11+12+⋯＝x ，则1＋12+1x ＝x ， ∴2x 2－2x －1＝0，∴x ＝1±√32， ∵x ＞0，∴x ＝√3+12. 6.【答案】C【解析】设g (x )＝ln y ＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )＞0，则x ＞1e ，即g (x )在(1e ，+∞)上为增函数，又由复合函数单调性同增异减的原则，得y ＝xx (x ＞0)的单调增区间为(1e ，+∞)．7.【答案】D【解析】按照规则，前面几次跳的点数依次为：5→1→2→4→1→2→4→1→2→4…，所以从第一次起跳开始，每跳过三次，就会落在4点上，而2 013＝3×671，∴最后青蛙停在4点上． 8.【答案】B【解析】“平行四边形的对角线互相平分”是大前提，“正方形是平行四边形”是小前提，“正方形的对角线互相平分”是结论．9.【答案】C【解析】当n ＝1时，第n 个正方形数是1＝12，当n ＝2时，第n 个正方形数是4＝22，当n ＝3时，第n 个正方形数是9＝32，当n ＝4时，第n 个正方形数是16＝42，当n ＝5时，第n 个正方形数是25＝52，…，由此归纳猜想：第n 个正方形数是n 2.10.【答案】C【解析】假设a ，b ，c 三个数均小于2，即x ＋1y <2，y ＋1z <2，z ＋1x <2，于是有a ＋b ＋c <6. 而又有a ＋b ＋c ≥2＋2＋2＝6，这与<6相矛盾，故假设错误，即a ，b ，c 中至少有一个不小于2. 11.【答案】D【解析】∵n ＝k 时，左边最后一项为12k ，n ＝k ＋1时，左边最后一项为12k+1，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，不等式左边需要添加的项共有2k ＋1－(2k ＋1)＋1＝2k .12.【答案】A【解析】假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项，则有an ＋2＝bn ＋1，得到(a －b )n ＝－1，这样的n 是不存在的，故假设不成立．13.【答案】x ＝a 或x ＝b【解析】否定结论时，一定要全面否定，x ≠a 且x ≠b 的否定为x ＝a 或x ＝b .14.【答案】n 2−n 2【解析】(2)→(1,1)，此时S 2＝1×1＝1； (3)→(1,2)→(1,1,1)，此时S 3＝1×2＋1×1＝2＋1＝3；(4)→(1,3)→(1,1,2)→(1,1,1,1)，此时S 4＝1×3＋1＋2＋1×1＝3＋2＋1＝6；(5)→(1,4)→(1,1,3)→(1,1,1,2)→(1,1,1,1,1)，此时S 5＝1×4＋1×3＋1×2＋1×1＝4＋3＋2＋1＝10， 归纳猜想：Sn ＝(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋3＋2＋1＝1+(n−1)2×(n －1)＝n 2−n 2.15.【答案】19【解析】∵30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6.∴可以考虑以下等差分拆． ①以10为等差中项的3个整数的分拆共有以下10个：30＝1＋10＋19＝2＋10＋18＝…＝10＋10＋10；②30等差分拆为4个数的共有以下2个：6,7,8,9；3,6,9,12；③30等差分拆为5个数的共有以下3个：6,6,6,6,6；4,5,6,7,8；2,4,6,8,10；④30等差分拆为6个数的只有以下1个：5,5,5,5,5,5；⑤30等差分拆为10个数的只有以下1个：3,3，…，3(共10个3)；⑥30等差分拆为15个数的只有以下1个：2,2，…，2(共15个2)；⑦30等差分拆为30个数的只有以下1个：1,1，…，1(共30个1)．综上可知，正整数30的不同等差分拆共有19个．16.【答案】存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【解析】“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”． 17.【答案】证明 因为a >0，b >0，且a ≠b ，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝1＋1＋b a ＋a b >2＋2√b a ·a b ＝4. 所以a ＋b >4.【解析】18.【答案】(1)解 当n ≥2 时，Sn －Sn －1＝an ，故Sn ＝n 2n 2−1Sn －1.又S 1＝a 1＝12，故可得S 2＝23，S 3＝34.猜想：Sn ＝n n+1(n ∈N *)．(2)证明 ①当n ＝1时，结论显然成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即Sk ＝k k+1.当n ＝k ＋1时，Sk ＋1＝(k+1)2(k+1)2−1Sk＝(k+1)2(k+1)2−1·k k+1＝k+1k+2＝k+1(k+1)+1，故当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，结论对一切n ∈N *均成立．【解析】19.【答案】证明 ①当n ＝3时，f (x )＝12×3×0＝0，凸三边形没有对角线，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥3)时命题成立，即凸k 边形的对角线条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥3)，当k ＝k ＋1时，k ＋1边形是在k 边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点连线再加上原k 变形的一边A 1Ak ， 增加的对角线条数为(k －3)＋2＝k －1，∴f (k ＋1)＝12×k (k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)(k －2)＝12×(k ＋1)[(k ＋1)－3]， 综上当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②可知，对任何n ∈N *，n ≥3命题成立．【解析】20.【答案】解 (1)∵a 1＝2，an ＋1＝a n 3a n +1， ∴a 2＝a 13a1+1＝27； a 3＝a 23a2+1＝273×27+1＝213； a 4＝2133×213+1＝219.(2)由(1)可猜想：an ＝26n−5. 证明：①当n ＝1时，a 1＝2，等式成立；②假设n ＝k 时等式成立，ak ＝26k−5， 则当n ＝k ＋1时，ak ＋1＝a k 3a k +1＝26k−53×26k−5+1 ＝26+6k−5＝26(k+1)−5，即n ＝k ＋1时，等式也成立． 综上所述，对任意n ∈N *，an ＝26n−5.【解析】21.【答案】(1)解 ∵an ＝3－2Sn ，∴a 1＝3－2S 1＝3－2a 1，解得a 1＝1，a 2＝13，a 3＝19，a 4＝127，…，猜想an ＝(13)n －1.(2)证明 大前提：数列{an }，若a n+1a n ＝q ，q 是非零常数，则{an }是等比数列，小前提：由an ＝(13)n －1， 又a n+1a n ＝13， 结论：{an }是等比数列．【解析】22.【答案】解 (1)由题意有f (1)＝3，f (2)＝f (1)＋3＋3×2＝12， f (3)＝f (2)＋3＋3×4＝27，f (4)＝f (3)＋3＋3×6＝48，f (5)＝f (4)＋3＋3×8＝75. (2)由题意及(1)知，f (n ＋1)＝f (n )＋3＋3×2n ＝f (n )＋6n ＋3, 即f (n ＋1)－f (n )＝6n ＋3，所以f (2)－f (1)＝6×1＋3， f (3)－f (2)＝6×2＋3， f (4)－f (3)＝6×3＋3， …，f (n )－f (n －1)＝6(n －1)＋3,将上面(n －1)个式子相加，得：f (n )－f (1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋3(n －1)＝6×(1+n−1)(n−1)2＋3(n －1)＝3n 2－3， 又f (1)＝3，所以f (n )＝3n 2.(3)∵f (n )＝3n 2，∴113f (n )+2n+1＝1n 2+2n+1＝1(n+1)2<1n(n+1)＝1n －1n+1. 当n ＝1时，113f (1)+3＝14<2536，原不等式成立．当n ＝2时，113f (1)+3＋113f (2)+5＝14＋19＝1336<2536，原不等式成立．当n ≥3时，113f (1)+3＋113f (2)+5＋113f (3)+7＋…＋113f (n )+2n+1<113×3+3＋113×12+5＋(13－14)＋(14－15)＋…＋(1n －1n+1) ＝14＋19＋13－1n+1)＝2536－1n+1)<2536，原不等式成立．综上所述，对于任意n ∈N *，原不等式成立．。
高中数学 第2章 推理与证明综合测试 新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题
本章综合测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．)1．用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3b B.3a <3bC.3a ＝3b ，且3a <3bD.3a ＝3b ，或3a <3b 答案：D2．“金导电、银导电、铜导电、铁导电；所以一切金属都导电”．此推理方法是( ) A ．完全归纳推理 B ．归纳推理 C ．类比推理 D ．演绎推理 解析：由特殊到一般的推理． 答案：B3．若x ，y >0且x ＋4y ＝4，令z ＝xy ，则( ) A ．z 的最小值为1 B ．z 的最大值为1 C ．z 的最小值为1625D ．z 的最大值为1625答案：B4．若方程mx 2－mx ＋1＝0没有实根，则m 的取值X 围是( ) A ．(0,4) B ．(0,4] C ．[0,4) D ．[0,4] 答案：C5．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49 解析：75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543， 78＝5 764 801，…结合题中所给信息可以发现7n的末两位数n ∈Z 时呈周期性变化，周期T ＝4 ∵2 011＝502×4＋3 ∴72 011与73末两位数相同均为43.答案：B6．n 个连续自然数按规律排成下表根据规律，从2002到2004，箭头的方向依次为( ) A ．↓→ B ．→↑ C ．↑→ D．→↓解析：观察特例的规律知位置相同的数字都是以4为公差的等差数列．由此知从2 002到2 004为↑→，故选C.答案：C7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1) C.22n－1D.22n －1解析：利用S n ＝n 2·a n (n ≥2)且a 1＝1， 求得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，代入A 、B 、C 、D 四选项，排除A 、C 、D ，选B. 答案：B8．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：由已知|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80. 故选B.答案：B9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题： (1)若α∥β，则l ⊥m ；(2)若l ⊥m ，则α∥β；(3)若α⊥β，则l ∥m ；(4)若l ∥m ，则α⊥β； 其中正确命题是( ) A ．(1)(2) B ．(3)(4) C ．(1)(4) D ．(2)(3) 答案：C10．将正整数排成下表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …其中第i 行，第j 列记为A ji ，则数表中的2 008应记为( ) A ．A 2044 B ．A 2144 C ．A 7145 D ．A 7245 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共80分)二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分．)11．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式．．．．．为________． 解析：依据题目特征，不难发现：每个等式左边各加数的底数之和，恰好为右边的底数，注意到，左边数的指数均是3，右边数的指数均是2，从而，第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝21212．若{b n }是等比数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有正确的结论：(b pb n)m·(b m b p)n·(b n b m)p＝1.类比上述性质，相应地，若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有正确的结论：________.解析：由题中等式知，左边＝(qp －n )m·(qm －p )n·(qn －m )p＝qmp －mn·qmn －pn·qnp －mp＝q 0＝1，类似可构造：m (a p －a n )＋n (a m －a p )＋p (a n －a m )＝m (p －n )d ＋n (m －p )d ＋p (n －m )d ＝0.答案：m (a p －a n )＋n (a m －a p )＋p (a n －a m )＝013．把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以构成正三角形(如图1)，在这样的三角形数列中，第7个三角形点数为__________，第n个为__________．图1答案：28 n(n＋1)214．挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如图2)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：图2a1b2＋a2b2＋a3b3＋…＋a n b n＝a1(b1－b2)＋L2(b2－b3)＋L3(b3－b4)＋…＋L n－1(b n－1－b n)＋L n b n，则其中：L3＝________；L n＝________.解析：(1)由图(b)知，L2＝a1＋a2，L3＝a1＋a2＋a3，…，所以L n＝a1＋a2＋…＋a n.答案：a1＋a2＋a3a1＋a2＋a3＋…＋a n.三、解答题(本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(8分)已知a，b，c为不全相等的实数，求证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.证明：∵a，b，c∈R∴a2＋b2≥2abb2＋c2≥2bca2＋c2≥2ac∴2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ac即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac当且仅当a＝b＝c时，取“＝”∵a，b，c不全相等，∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.16．(8分)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c 且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列得A ＋C ＝2B ，又由于A ＋B ＋C ＝π，得B ＝π3，由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac 所以ac ＝a 2＋c 2－ac ，即(a －c )2＝0，从而知a ＝c ，又B ＝π3，∴△ABC 为等边三角形． 17．(10分)观察数表求：(1)这个表的第i 行里的最后一个数字是多少？(2)若第i 行各数之和为M ，前i ＋1行的数的个数为N ，证明：当i >2时，M >N . 解：(1)第i 行的第1个数为i ，共有2i －1个数，设这些数从左到右构成数列{a n }，则a 1＝i ，d ＝1，所以a 2i －1＝a 1＋[(2i －1)－1]d ＝3i －2. (2)由(1)知第i 行各数之和为M ＝(2i －1)(1＋2i ＋1)2＝(i ＋1)2.N ＝1＋3＋5＋…＋(2i ＋1)＝(i ＋1)(1＋2i ＋1)2＝(i ＋1)2.∵M －N ＝(2i －1)2－(i ＋1)2＝3i (i －2)． 又∵i >2 ∴M －N >0. ∴M >N18．(12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1) (1)证明函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负实数根． 证明：(1)任取－1<x 1<x 2，则19．(12分)对于直线l ：y ＝kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝ax (a 为常数)对称？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(反证法)假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧ ka ＝－1y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2y 1＋y 22＝a x 1＋x 22①②③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1y 2＝3x 2－1⇒(3－k 2)x 2－2kx －2＝0④由②③有a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2⑤ 由④知x 1＋x 2＝2k3－k2代入⑤整理得： ak ＝3与①矛盾．故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称．20．(14分)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列． 证明：(1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n ≥4时，a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1,2,3，所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ， 因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此， 当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，① 当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3 ＝6a n .②由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4， 所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′. 在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4， 所以a 2＝a 3－d ′，在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3， 所以a 1＝a 3－2d ′， 所以数列{a n }是等差数列．。
(必考题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B．12- C1 D．13．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 6．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了8．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。
人教版数学高二 数学A版选修1-2 第二章《推理与证明》教辅资料
满足y=x 2,则log 2(22)x y +的最小值是78；④若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。
其中正确的是（ ）。
(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④解析 用综合法可得应选（B ） 例2 函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .解析∵函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数， ∴ 0＜x+2＜2即-2＜x ＜0∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数， 又∵函数y=f(x+2)是偶函数，∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数 由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)例3 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b解析∵ a ，b ，c 全不相等∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与c b 全不相等。
∴ 2，2，2b a c a c ba b a c b c+>+>+>三式相加得6b c c a a ba ab bc c+++++>∴ (1)(1)(1)3b c c a a ba ab bc c+-++-++->即 3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>练习一、选择题1．如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。
（A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a =2．在△ABC 中若b=2asinB 则A 等于( )(A)06030或 (B)06045或 (C)0012060或 (D)0015030或 3．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个二、填空题4． 已知 5,2==b a ，向量b a 与的 夹角为0120，则a b a ．)2(-=5. 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足n，n证明：如图，连接BD ，∵在△ABC 中，BE=CE DF=CF ∴E F ∥BD又BD ⊂平面ABD ∴BD ∥平面ABD7．解：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x= -1对称 ∴12-=-ab即b =2a 由③知当x = 1时,y=0，即ab +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1. ∴f (1)=1，即a +b +c =1，又ab +c =0 ∴a =41 b =21 c =41 ，∴f (x )=4121412++x x 假设存在t ∈R ，只要x ∈[1,m ]，就有f (x +t )≤x 取x =1时，有f (t +1)≤1⇒41(t +1)2+21(t +1)+41≤1⇒-4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0]，取x =m ，有f (t +m )≤m ⇒41(t +m )2+21(t +m )+41≤m ⇒2m +2(t-1)m +(t 2+2t +1)≤0 ⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- ∴m ≤t t 41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9当t = -4时，对任意的x ∈[1,9]，恒有f(x-4)≤x ⇒41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0∴m 的最大值为9.解法二：∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x =-1对称 ∴ 12-=-abb =2a 由③知当x=1时,y=0，即a b +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1∴f (1)=1，即a +b +c =1，a b +c =0∴a =41 b =21 c =41∴f (x )=4121412++x x =41(x +1)2由f (x +t )=41(x +t +1)2≤x 在x ∈[1,m ]上恒成立 ∴4[f (x +t )-x ]=x 2+2(t -1)x +(t +1)2≤0当x ∈[1,m ]时，恒成立 令 x =1有t 2+4t ≤0⇒-4≤t ≤0令x =m 有t 2+2(m +1)t +(m -1)2≤0当t ∈[-4,0]时，恒有解令t = -4得，2m - 10m +9≤0⇒1≤m ≤9 即当t = -4时，任取x ∈[1,9]恒有f (x -4)-x =41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0 ∴ m max =92．2直接证明2．2．1 综合法一、选择题（1）由等差数列的性质：若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+可知应填（B ）。
【高二】高二数学推理与证明综合检测综合测试题(有答案)
【高二】高二数学推理与证明综合检测综合测试题（有答案）第二章推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。
一、(本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后．在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等同于底乘坐低的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等同于底乘坐低的一半．以上推理运用的推理规则是( )a．三段论推理小说b．假言推理c．关系推理小说d．完全归纳推理[答案] d[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的关系式公式可能将就是( )a.a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈n*)b.a1＝1，an＝an－1＋n(n∈n*，n≥2)c.a1＝1，an＋1＝an＋(n－1)(n∈n*)d.a1＝1，an＝an－1＋(n－1)(n∈n*，n≥2)[答案] b[解析] 记数列入{an}，由未知观测规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，所述当n≥2时，an比an－1多n，可以得关系式关系a1＝1，an－an－1＝n(n≥2，n∈n*)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )a．大前提错误b．小前提错误c．推理小说形式错误d．不是以上错误[答案] c[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选c.4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈n*)时，检验n ＝1，左边马热里角的项是( )a．1b．1＋2c．1＋2＋3d．1＋2＋3＋4[答案] d[解析] 当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故高文瑞d.5．在r上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( )a．－1＜a＜1b．0＜a＜2c．－12＜a＜32d．－32＜a＜12[答案] c[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)?(x＋a)<1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围．(x－a)?(x＋a)<1?(x－a)(1－x－a)<1即x2－x－a2＋a＋1>0不等式恒设立的充要条件就是δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0即4a2－4a－3<0解得－126．未知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )a．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13b．f(n)中共存有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14c．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13d．f(n)中共存有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14[答案] d[解析] 项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故高文瑞d.7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )a．大于0b．小于0c．不大于0d．不大于0[答案] d[解析] 解法1：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c22≤0.数学分析2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab＋bc＋ac ＝ab＜0，确定a、b、c，挑选d.8．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是( )a．a＞bb．a＜bc．a＝bd．a、b大小不定[答案] b[解析] a＝c＋1－c＝1c＋1＋c，b＝c－c－1＝1c＋c－1，因为c＋1>c>0，c>c－1>0，所以c＋1＋c>c＋c－1>0，所以a9．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k≥3且k∈n*)等于( )a．f(k)＋π2b．f(k)＋πc．f(k)＋32πd．f(k)＋2π[答案] b[解析] 由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.10．若sinaa＝cosbb＝coscc，则△abc就是( )a．等边三角形b．存有一个内角就是30°的直角三角形c．等腰直角三角形d．存有一个内角就是30°的等腰三角形[答案] c[解析] ∵sinaa＝cosbb＝coscc，由正弦定理得，sinaa＝sinbb＝sincc，∴sinbb＝cosbb＝coscc＝sincc，∴sinb＝cosb，sinc＝cosc，∴∠b＝∠c＝45°，∴△abc是等腰直角三角形．11．若a＞0，b＞0，则p＝(ab)a＋b2与q＝ab?ba的大小关系就是( )a．p≥qb．p≤qc．p＞qd．p＜q[答案] a若a＞b，则ab＞1，a－b＞0，∴pq＞1；若0＜a＜b，则0＜ab＜1，a－b＜0，∴pq＞1；若a＝b，则pq＝1，∴p≥q.12．设立函数f(x)定义如下表中，数列{xn}满足用户x0＝5，且对任一的自然数均存有xn＋1＝f(xn)，则x2021＝( )x12345f(x)41352a.1b．2c．4d．5[答案] c[解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2021＝x3＝4，故应选c.二、题(本大题共4个小题，每小题4分后，共16分后．将恰当答案填上在题中横线上)13．半径为r的圆的面积s(r)＝πr2，周长c(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式需用语言描述为：圆的面积函数的导数等同于圆的周长函数．对于半径为r的球，若将r看做(0，＋∞)上的变量，恳请你写下类似①式的式子：______________________________，你写给的式子需用语言描述为__________________________．[答案] 43πr3′＝4πr2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．14．未知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈n*)，用数学归纳法证明f(2n)>n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.[答案] 12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1[解析] f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋1f(2k)＝1＋12＋13＋ (12)f(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1.15．观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可以明确提出一个悖论的等式为________________．[答案] si n2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34[解析] 观测40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα?cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34.16．设p就是一个数集，且至少所含两个数，若对任一a、b∈p，都存有a＋b、a－b、ab、ab∈p(除数b≠0)，则表示p就是一个数域．比如有理数集q就是数域；数集f＝{a＋b2a，b∈q}也就是数域．存有以下命题：①整数集是数域；②若有理数集q?m，则数集m必为数域；③数域必为无限集；④存有无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] 考查理解、分析等学习能力．①整数a＝2，b＝4，ab不是整数；②如将有理数集q，添上元素2，得到数集m，则取a＝3，b＝2，a＋b?m；③由数域p的定义言，若a∈p，b∈p(p中至少所含两个元素)，则存有a＋b∈p，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈p，∴p中必所含无穷多个元素，∴③对．④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈q，则由数域定义知，f＝{a＋bxa、b∈q}必是数域，这样的数域f有无穷多个．三、答疑题(本大题共6个小题，共74分后．求解应允写下文字说明、证明过程或编程语言步骤)17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈r，且a＋b＋c＝1.澄清：a2＋b2＋c2≥13.[证明] 由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.三式相乘得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥13.18．(本题满分12分后)证明以下等式，并从中概括出来一个一般性的结论．2cosπ4＝2，2cosπ8＝2＋2，2cosπ16＝2＋2＋2，……[证明] 2cosπ4＝2?22＝22cosπ8＝21＋cosπ42＝2?1＋222＝2＋22cosπ16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋2…19．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，an?an－1＝2?an－1－1.(1)谋a2、a3、a4；(2)求证：数列1an－1是等差数列，并写出数列{an}的一个通项公式． [解析] (1)由an?an－1＝2?an－1－1得an＝2－1an－1，代入a1＝3，n依次值域2,3,4，得a2＝2－13＝53，a3＝2－35＝75，a4＝2－57＝97.(2)证明：由an?an－1＝2?an－1－1变形，得(an－1)?(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，即1an－1－1an－1－1＝1，所以{1an－1}是等差数列．由1a1－1＝12，所以1an－1＝12＋n－1，变形得an－1＝22n－1，所以an＝2n＋12n－1为数列{an}的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上以增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．[解析] (1)证法1：余因子x1，x2∈(－1，＋∞)，何不设x10，且ax1>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴f(x2)－f(x1)＝x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝(x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1)(x1＋1)(x2＋1)＝3(x2－x1)(x1＋1)(x2＋1)>0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f′(x)＝axlna＋x＋1－(x－2)(x＋1)2＝axlna＋3(x＋1)2∵a>1，∴lna>0，∴axlna＋3(x＋1)2>0，f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒设立，即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)数学分析1：设立存有x0<0(x0≠－1)满足用户f(x0)＝0则ax0＝－x0－2x0＋1，且0∴0故方程f(x)＝0没负数根．解法2：设x0<0(x0≠－1)①若－1②若x00，ax0>0，∴f(x0)>0.综上，x<0(x≠－1)时，f(x)0，即方程f(x)＝0无负根．21．(本题满分12分后)我们晓得，在△abc中，若c2＝a2＋b2，则△abc就是直角三角形．现在恳请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△abc为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形∵cn＝an＋bn(n＞2)，∴c＞a,c＞b，由c就是△abc的最小边，所以必须证△abc就是锐角三角形，只需证角c为锐角，即为证cosc＞0.∵cosc＝a2＋b2－c22ab，∴必须证cosc＞0，只要证a2＋b2＞c2，①注意到条件：an＋bn＝cn，于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn.②∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cosc＞0，c就是锐角，△abc为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2021?安徽理，20)设数列a1，a2，…an，…中的每一项都不为0.证明{an}为等差数列的充份必要条件就是：对任何n∈n＋，都存有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1.[分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路就是利用裂项议和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明] 先证必要性．设立数列{an}的公差为d.若d＝0，则所述等式似乎设立．若d≠0，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝1da2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋an＋1－ananan＋1＝1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1＝1d1a1－1an＋1＝1dan＋1－a1a1an＋1＝na1an＋1.再证充分性．证法1：(数学归纳法)设立所述的等式对一切n∈n＋都设立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.假设ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观测如下两个等式1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＝k－1a1ak，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1②将①代入②，得k－1a1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1，在该式两端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak.将ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd.由数学归纳法原理知，对一切n∈n，都有an＝a1＋(n－1)d，所以{an}是公差为d的等差数列．证法2：(轻易证法)依题意存有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＋1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋1.②②－①得1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2－na1an＋1，在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③同理只须a1＝nan－(n－1)an＋1(n≥2)④③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an)即an＋2－an＋1＝an＋1－an，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈n*均成立．所以{an}是等差数列．。
高二数学第一章推理与证明单元测试题及答案
高二数学选修2-2《推理与证明》质量检测试题参赛试卷 姓名：_________班级：________ 得分：________第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
. 2．由10>8，11>10，25>21，…若a >b >0且m >0，则a ＋m 与a 之间大小关系为( )A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
5、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 （ ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 6、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立7、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+-时，若已假设2(≥=k k n 为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立8、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 20049、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（ ） A ．12 B.13 C.14 D.1510、数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想当n ≥1时，S n =（ ） A ．1212-+n nB ．1212--n nC ．nn n 2)1(+ D ．1－121-n二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）11、设等差数列{a n }的前n 项和为S n , 则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．12、设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f = ；当ｎ＞４时，()f n ＝ （用含n 的数学表达式表示）。
最新高二数学题库 高二数学选修12推理与证明测试题及答案
推理与证明命题人：杨建国 审题人：郝 蓉本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.测试时间120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为（ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误2.下面使用类比推理，得到正确结论的是（ ） A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）” 3.在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为( ) A.29 B. 254 C. 602 D. 20044. 设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n ∈N ，则2010()f x ＝（ ）A.cos x B ．－cos x C ．sin x D －sin x5.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误6.下面几种推理是类比推理的是（ ）A .两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A +∠B =1800 B .由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质C .某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员.D .一切偶数都能被2整除，1002是偶数，所以1002能被2整除.7.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（ ）块.A.21B.22C.20D.238.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）（A ）假设,,a b c 不都是偶数 （B ）假设,,a b c 都不是偶数 （C ）假设,,a b c 至多有一个是偶数 （D ）假设,,a b c 至多有两个是偶数9．如果=++==+)5()6()3()4()1()2(,2)1()()()(f f f f f f f b f a f b a f 则且( )． A ．512B ．537 C ．6 D ．82()3110:344,()(cos sin )(),24x x y x y y x y αα≥⎧∙=∙=-∙+-⎨<⎩、定义运算例如则的最大值为( )A .4B .3C .2D .111.下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a+≥+∙+.其中不成立的有A.1个B.2个C.3个D.4个 12.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为( ) A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13.已知一列数1，－5，9，－13，17，……，根据其规律，下一个数应为 ． 14.下列表述正确的是 ．①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
推理与证明(单元测试含答案)
高二数学选修2-2单元检测题推理与证明(含答案)命题人：蔡永登1．已知21111()12f n n n n n =++++++，则()f n 中共有项．2<，根据以上不等式的规律，请写出对正实数m n ，成立的条件不等式 ．3．在数列{}n a 中，12a =，1()31nn n a a n a *+=∈+N ，可以猜测数列通项n a 的表达式为 ．4．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．5．已知a 是整数，2a 是偶数，求证：a 也是偶数．（用反正法）6．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．7．已知命题：“若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列2()n n b a n *=∈N 也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．8．是否存在常数a b c ，，，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++对一切正整数n 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．同心中学2010-2011学年高二数学选修2-2单元检测题推理与证明 答案9、21nn -+10、当20m n += 11、265n a n =- 12、12341()3R S S S S +++三、解答题13.证明：（反证法）假设a 不是偶数，即a 是奇数． 设21()a n n =+∈Z ，则22441a n n =++．24()n n +∵是偶数，2441n n ++∴是奇数，这与已知2a 是偶数矛盾． 由上述矛盾可知，a 一定是偶数．14. 证明：（分析法）设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为2π2πl ⎛⎫ ⎪⎝⎭·， 正方形的面积为24l ⎛⎫⎪⎝⎭．因此本题只需证明22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．要证明上式，只需证明222π4π16l l >，两边同乘以正数24l，得11π4>．因此，只需证明4π>．∵上式是成立的，所以22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．15. 解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n+++=也是等差数列．证明如下： 设等差数列{}n a 的公差为d ，则12nn a a a b n+++=11(1)2(1)2n n dna d a n n -+==+-，所以数列{}n b 是以1a 为首项，2d为公差的等差数列．16. 解：假设存在a b c ，，，使得所给等式成立． 令123n =，，代入等式得0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，解得14140a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，，以下用数学归纳法证明等式22222242111(1)2(2)()44n n n n n n n -+-++-=+对一切正整数n 都成立．（1）当1n =时，由以上可知等式成立；（2）假设当n k =时，等式成立，即22222242111(1)2(2)()44k k k k k k k -+-++-=-，则当1n k =+时，222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k +-++-+++-+++-+2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)k k k k k k k k k =-+-++-+++++++424211(1)11(21)(1)(1)44244k k k k k k k +=-++=+-+·． 由（1）（2）知，等式结一切正整数n 都成立．。
高中数学 第二章 推理与证明练习 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题
第二章 推理与证明（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.证明：n ＋22＜1＋12＋13＋14＋…＋12n＜n ＋1（n ＞1），当n ＝2时，中间式子等于（ ） A.1 B.1＋12C.1＋12＋13D.1＋12＋13＋14解析：选D.n ＝2时中间式子的最后一项为14，所以中间式子为1＋12＋13＋14.2.用反证法证明命题：“若函数f （x ）＝x 2＋px ＋q ，那么|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|中至少有一个不小于12”时，反设正确的是（ ）A.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都不小于12B.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都小于12C.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|至多有两个小于12D.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|至多有一个小于12解析：选B.“|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|中至少有一个不小于12”的反设为“|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都小于12”.3.设x ＞0，则不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，推广到x ＋axn ≥n ＋1，则a＝（ ）A.2nB.2nC.n 2D.n n解析：选D.结合已知的三个不等式可以发现第二个加数的分子是分母x 的指数的指数次方，可得a ＝n n.4.下面是一段“三段论”推理过程：若函数f （x ）在（a ，b ）内可导且单调递增，则在（a ，b ）内，f ′（x ）>0恒成立.因为f （x ）＝x 3在（－1，1）内可导且单调递增，所以在（－1，1）内，f ′（x ）＝3x 2>0恒成立.以上推理中（ ）A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误解析：选A.f （x ）在（a ，b ）内可导且单调递增，则在（a ，b ）内，f ′（x ）≥0恒成立，故大前提错误，故选A.5.用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是（ ）A.2k （k ＋2）B.1k （k ＋1）C.1（k ＋1）（k ＋2）D.2（k ＋1）（k ＋2）解析：选D.由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋（k ＋1）＝2（k ＋1）（k ＋2）.故选D.6.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证 b 2－ac <3a ”索的因应是（ ）A.a －b >0B.a －c <0C.（a －b ）（a －c ）>0D.（a －b ）（a －c ）<0解析：选C.要证明 b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2，只需证（a ＋c ）2－ac <3a 2，只需证－2a 2＋ac ＋c 2<0，即证2a 2－ac －c 2>0，即证（a －c ）（2a ＋c ）>0，即证（a －c ）（a －b ）>0.7.若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是（ ）A.等边三角形B.有一个内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角是30°的等腰三角形解析：选C.因为sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin Cc，所以sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c.所以sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ， 所以∠B ＝∠C ＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形.8.已知f （x ）＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＞0，a ＋c ＞0，b ＋c ＞0，则f （a ）＋f （b ）＋f （c ）的值一定（ ）A.大于0B.等于0C.小于0D.正负都可能解析：选A.f （x ）为奇函数，也是增函数，因此由a ＋b ＞0可得a ＞－b ，所以f （a ）＞f （－b ），即f （a ）＞－f （b ），于是f （a ）＋f （b ）＞0，同理，f （a ）＋f （c ）＞0，f （b ）＋f （c ）＞0，所以f （a ）＋f （b ）＋f （c ）＞0.9.我们把平面中的结论“到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”拓展至空间中为“到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知A （－1，0，0），B （1，0，0），则点集{P （x ，y ，z ）||PA |－|PB |＝1}在空间中的轨迹描述正确的是（ ）A.以A ，B 为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面B.以A ，B 为焦点的椭球体C.以A ，B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面D.以上都不对解析：选C.在平面中，点集{P （x ，y ）||PA |－|PB |＝1}是以A ，B 为焦点的双曲线的一支，点集{P （x ，y ，z ）||PA |－|PB |＝1}在空间中的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面，故选C.10.我国古代数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”是高，“幂”是截面积.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，区域①是一个形状不规则的封闭图形，区域②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t 取[0，3]上的任意值时，直线y ＝t 被区域①和区域②所截得的两线段长总相等，则区域①的面积为（ ）A.4B.92 C.5D.112解析：选B.根据题意，由祖暅原理分析可得①的面积等于②的面积，又②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，所以①的面积为（1＋2）×32＝92.11.已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个“整数对”是（ ）A.（7，5）B.（5，7）C.（2，10）D.（10，2）解析：选B.依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n （n ＋1）2个“整数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组（每个“整数对”的和为12的组）的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：（1，11），（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），…，因此第60个“整数对”是（5，7）.12.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则（ ） A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形.假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2，则cos A 1＝cos （90°－∠A 2）， 所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2， 则有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°，所以（90°－∠A 2）＋（90°－∠B 2）＋（90°－∠C 2）＝180°， 即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立.若△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，则sin A 2＝1＝cos A 1，而A 1在（0，π）内无解.故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.补充下列证明过程： 要证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac （a ，b ，c ∈R ），即证，即证Ｗ. 因为a ，b ，c 为实数，上式显然成立，故命题结论成立. 答案：2（a 2＋b 2＋c 2）≥2ab ＋2bc ＋2ac （a －b ）2＋（b －c ）2＋（a －c ）2≥014.已知a ＝5－12，函数f （x ）＝a x，若实数m ，n 满足f （m ）>f （n ），则m ，n 的大小关系为Ｗ.解析：因为当0<a <1时，函数f （x ）＝a x为减函数，a ＝5－12∈（0，1），所以函数f （x ）＝（5－12）x为减函数.故由f （m ）>f （n ）得m <n .答案：m <n15.有三X 卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一X 卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是Ｗ.解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C .从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一X ，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A .答案：1和316.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n （n ≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数（从左往右数）为Ｗ. 11 1212 131613 14112112141512013012015…解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142.同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.答案：1140三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）定义在[－1，1]上的奇函数f （x ），当a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有f （a ）＋f （b ）a ＋b＞0.证明：函数f （x ）的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.证明：假设函数f （x ）的图象上存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直，则A ，B 两点的纵坐标相同.设它们的横坐标分别为x 1和x 2，x 1＜x 2，且x 1，x 2∈[－1，1]，则f （x 1）＝f （x 2）. 又f （x ）是奇函数，所以f （x 1）－f （x 2）＝f （x 1）＋f （－x 2）＝f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）[x 1＋（－x 2）].又由题意，得f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）＞0，且x 1＋（－x 2）＜0，所以f （x 1）＋f （－x 2）＜0，即f （x 1）－f （x 2）＜0， 这与f （x 1）＝f （x 2）矛盾，故假设不成立，即函数f （x ）的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直. 18.（本小题满分12分）已知：A ，B 都是锐角，且A ＋B ≠90°，（1＋tan A ）（1＋tan B ）＝2.求证：A ＋B ＝45°.证明：因为（1＋tan A ）（1＋tan B ）＝2， 展开化简为tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B . 因为A ＋B ≠90°，tan （A ＋B ）＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1.又因为A ，B 都是锐角，所以0°＜A ＋B ＜180°.所以A ＋B ＝45°.19.（本小题满分12分）已知a ＞0，b ＞0，2c ＞a ＋b ，求证：c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 证明：要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 只需证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab ， 即证|a －c |＜c 2－ab ，只需证（a －c ）2＜（c 2－ab ）2， 只需证a 2－2ac ＋c 2＜c 2－ab ，即证2ac ＞a 2＋ab ，因为a ＞0，所以只需证2c ＞a ＋b .因为2c ＞a ＋b 已知， 所以原不等式成立.20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F为B 1C 1的中点.求证：（1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； （2）直线A 1F ∥平面ADE .证明：（1）因为ABC A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .因为AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1. 因为AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.（2）因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点， 所以A 1F ⊥B 1C 1，因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F .因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1. 由（1）知AD ⊥平面BCC 1B 1， 所以A 1F ∥AD .因为AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， 所以A 1F ∥平面ADE .21.（本小题满分12分）设函数f （x ）＝x 3＋11＋x ，x ∈[0，1].证明：（1）f （x ）≥1－x ＋x 2；（2）34<f （x ）≤32.证明：（1）因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f （x ）≥1－x ＋x 2.（2）由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f （x ）＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32，所以f （x ）≤32.由第一问得f （x ）≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f （12）＝1924>34，所以f （x ）>34.综上，34<f （x ）≤32.22.（本小题满分12分）在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .（1）求a 1，a 2，a 3；（2）由（1）猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 解：（1）易求得a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－ 2. （2）猜想a n ＝n －n －1（n ∈N *）证明：①当n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立. ②假设n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时，a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1ak＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以，a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，所以a k ＋1＝k ＋1－k .即n ＝k ＋1时，命题成立. 由①②知，n ∈N *时，a n ＝n －n －1.。
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.某同学在一次研究性学习中发现以下四个不等式都是正确的：；；；．请你观察这四个不等式：（1）猜想出一个一般性的结论（用字母表示）；（2）证明你的结论．【答案】（1）；（2）证明详见解析.【解析】（1）观察所给的四个不等式，左边第一、第二个括号均为两个数的平方和，然后乘积，而右边恰是左边两个括号中的第一个数相乘加上第二个数相乘之后再平方，进而得到一般性的结论；（2）应用分析法，将要证明的不等式展开消去相同的项，最后得到一个完全平方，命题即可得以证明.试题解析：（1）一般性的结论：（4分（没写范围扣1分）（2）证明：要证只要证只要证只要证∵，∴显然成立∴原命题得证.【考点】1.归纳推理；2.分析法.2.已知通过观察上述不等式的规律，则关于正数满足的不等式是 .【答案】【解析】观察已知式子可知不等式右边根号下面前面一个数都是2，后面一个是前两个的和。
【考点】推理与证明.3.因为无理数是无限小数，而是无理数，所以是无限小数．属于哪种推理（）A．合情推理B．类比推理C．演绎推理D．归纳推理【答案】C【解析】根据题意，由于无理数是无限小数这是大前提，而是无理数是小前提，则可知结论为是无限小数，可知结论为C.【考点】演绎推理点评：主要是考查了演绎推理的概念的运用，属于基础题。
4.正三角形的中心与三个顶点连线所成的三个张角相等,其余弦值为，类似地正四面体的中心与四个顶点连线所成的四个张角也相等，其余弦值为( )。
A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于正三角形的中心与三个顶点连线所成的三个张角相等,其余弦值为，利用余弦定理，那么可知正四面体的中心与四个顶点连线所成的四个张角也相等，其余弦值为，故可知结论为D.【考点】类比推理点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。
5.用反证法证明命题“如果你,那么”时，假设的内容是A．B．C．且D．或【答案】D【解析】反证法是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
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1． “三角函数是周期函数，y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是三角函数，所以y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是( ) A ．推理完全正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确[答案] D[解析] 大前提和小前提中的三角函数不是同一概念，犯了偷换概念的错误，即推理形式不正确．2．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A ．VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 3．已知整数的数列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是( )A ．(3,8)B ．(4,7)C ．(4,8)D ．(5,7)[答案] D[解析] 观察可知横坐标与纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，…，依此类推和为n ＋1的数对有n 个，和相同的数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由n (n ＋1)2＝60⇒n (n ＋1)＝120，n ∈N ，n＝10时，n (n ＋1)2＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，所以第60个数对是(5,7)．4．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A．43a B．63aC．54a D．64a[答案] B[解析] 将正三角形一边上的高32a类比到正四面体一个面上的高63a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )A．①B．②C．③D．①②[答案] B[解析] 由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.6、以下推理过程省略的大前提为：________.∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.[答案] 若a≥b，则a＋c≥b＋c[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.7．以下推理中，错误的序号为________．①∵ab＝ac，∴b＝c；②∵a≥b，b>c，∴a>c；③∵75不能被2整除，∴75是奇数；④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.[答案] ①[解析] 当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．8．“∵α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，∴AB⊥β”，在上述推理过程中，省略的命题为________．[答案] 如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面9．下面给出判断函数f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1的奇偶性的解题过程： 解：由于x ∈R ，且f (x )f (－x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1·1＋x 2－x ＋11＋x 2－x －1 ＝(1＋x 2)－(x －1)2(1＋x 2)－(x ＋1)2＝2x －2x＝－1. ∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数． 试用三段论加以分析．[解析] 判断奇偶性的大前提“若x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数；若x ∈R ，且f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．10．先解答下题，然后分析说明你的解题过程符合演绎推理规则．设m 为实数，求证：方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0没有实数根．[解析] 已知方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0的判别式Δ＝(－2m )2－4(m 2＋1)＝－4<0，所以方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0没有实数根．说明：此推理过程用三段论表述为：大前提：如果一元二次方程的判别式Δ<0，那么这个方程没有实数根； 小前提：一元二次方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0的判别式Δ<0； 结论：一元二次方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0没有实数根． 解题过程就是验证小前提成立后，得出结论．11．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．[答案] b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)[解析] 解法1：从分析所提供的性质入手：由a 10＝0，可得a k ＋a 20－k ＝0，因而当n <19－n 时，有a 1＋a 2＋…＋a 19－n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ，而a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ＝(19－2n )(a n ＋1＋a 19－n )2＝0，∴等式成立．同理可得n >19－n 时的情形．由此可知：等差数列{a n }之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：a n＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，类似地，在等比数列{b n }中，也有性质：b n ＋1·b 17－n ＝b 29＝1，因而得到答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，故在等比数列{b n }中，由b 9＝1，可知应有“积”的性质b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n＜17，n ∈N *)成立. (1)证明如下：当n ＜8时，等式(1)为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b n b n ＋1…b 17－n ， 即：b n ＋1·b n ＋2…b 17－n ＝1.(2) ∵b 9＝1，∴b k ＋1·b 17－k ＝b 29＝1. ∴b n ＋1b n ＋2…b 17－n ＝b 17－2n9＝1.∴(2)式成立，即(1)式成立；当n ＝8时，(1)式即：b 9＝1显然成立； 当8＜n ＜17时，(1)式即：b 1b 2…b 17－n ·b 18－n ·…b n ＝b 1b 2…b 17－n ，即：b 18－n ·b 19－n …b n ＝1(3) ∵b 9＝1，∴b 18－k ·b k ＝b 29＝1， ∴b 18－n b 19－n ·…·b n ＝b 2n －179＝1，∴(3)式成立，即(1)式成立．综上可知，当等比数列{b n }满足b 9＝1时，有：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)成立．12．我们知道：12＝ 1， 22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，左右两边分别相加，得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n∴1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解析] 我们记S 1(n )＝1＋2＋3＋…＋n ，S 2(n )＝12＋22＋32＋…＋n 2，…S k (n )＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k (k ∈N *)．已知13＝ 1， 23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1.将左右两边分别相加，得S 3(n )＝[S 3(n )－n 3]＋3[S 2(n )－n 2]＋3[S 1(n )－n ]＋n .由此知S 2(n )＝n 3＋3n 2＋2n －3S 1(n )3＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。