大学物理知识总结习题答案(第四章)静电场

1. 电荷的基本性质两种电荷，量子性，电荷首恒，相对论不变性。

2. 库仑定律两个静止的点电荷之间的作用力kqa其中9 2 2k =9 10 (N m IC )3. 电场强度q 。

q 。

为静止电荷。

由q^。

kq 1q 1-V r 夕 rr4心 0r4. 场强的计算(1) 场强叠加原理电场中某一点的电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电场强 度的矢量和。

E 八E i(2) 高斯定理电通量：在电场强度为E 的某点附近取一个面元，规定厶S = ASn ,二为E 与 n 之间的夹角，通过CS 的电场强度通量定义为第四章静电场 本章提要1；04 kπ_L22 -1= 8.8510 (CN-2m ).门「e= E CoSn lS= V ： S取积分可得电场中有限大的曲面的电通量Ψe =■'.■E dSS高斯定理：在真空中，通过任一封闭曲面的电通量等于该封闭曲面内的所有 电荷电量的代数和除以 「与封闭曲面外的电荷无关。

即5. 典型静电场(1) 均匀带电球面E= 0 (球面内) E J r (球面外) 4 二；0r(2) 均匀带电球体EJ r (球体内)4 二；0RE J r (球体外)4 二；o r(3) 均匀带电无限长直线场强方向垂直于带电直线，大小为λE =2： ■: 0r(4) 均匀带电无限大平面场强方向垂直于带电平面，大小为6. 电偶极矩电偶极子在电场中受到的力矩M=P E思考题4-1 E=匚与Eq_2r 0两式有什么区别与联系q °4 ：二0「答：公式i. E'dS= -XS>0q i 内FE =q。

是关于电场强度的定义式，适合求任何情况下的电场。

而公式4 二；O r是由库仑定理代入定义式推导而来，只适于求点电荷的电场强度4-2 一均匀带电球形橡皮气球，在气球被吹大的过程中，下列各场点的场强将如何变化？（1）气球内部（2）气球外部（3）气球表面n答：取球面高斯面，由；O i . E dS='' q i可知i -O（1）内部无电荷，而面积不为零，所以E内=0（2）E外=q与气球吹大无关。

4鹿0r2（3）E表=q随气球吹大而变小4KB0 R24-3下列几种说法是否正确，为什么？（1）高斯面上电场强度处处为零时，高斯面内必定没有电荷。

（2）高斯面内净电荷数为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。

（3）穿过高斯面的电通量为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。

（4）高斯面上各点的电场强度为零时，穿过高斯面的电通量一定为零。

答：（1）错因为依高斯定理，E = 0只说明高斯面内净电荷数（所有电荷的代数和）为零。

（2）错高斯面内净电荷数为零，只说明整个高斯面的\ SEidS的累积为零。

并不一定电场强度处处为零。

（3）错穿过高斯面的电通量为零时，只说明整个高斯面的-EidS的累积为零。

并--S不一定电场强度处处为零。

（4）对E = 0,则整个高斯面的-E'd S的累积为零。

所以电通量φ =0。

∖∖S4-4试利用电场强度与电势的关系式E i ^^dU分析下列问题:d l（1）在电势不变的空间内，电场强度是否为零？（2）在电势为零处，电场强度是否一定为零？（3）在电场强度为零处，电势是否一定为零？答：（1）是-J I I由E i 一——可知，当电势处处相等时，dU =O，E i=Od i实际例子：静电平衡的导体内。

（2）否电势为零处电势梯度du不一定为零，所以E l也不一定为零。

d l实际例子：电偶极子连线中点处。

（3）否如果E i等于零，则电势梯度为零，但电势不一定为零。

实际例子：两个相同电荷连线中点处。

4-5如图4-1所示，将两个完全相同的电容器串联起来，在与电源保持连接时，将一电介质板摩擦插入电容器C2的两板间，试定性地描述C l、C2上的电量、电容、电压、及电场强度的变化。

答：插入电介质板后，C2的增大，致使整个电路电容1∕C=1∕Cι+1∕C2增大，而总电压U又没变，所以每个电容器所储存的电量qι = q2增加。

由于无摩擦，这种增加的电量全部由电源提供。

C i= ε o S/d不变，而储存的电量增加时，U i =q i/C增大，故U2减小。

由U = Ed可知E2减小。

U i增大而两极板距离d不变，故E i增大。

4-6 一空气电容器充电后切断电源，然后灌入煤油，问电容器的能量有何变化？如果在灌煤油时电容器一直与电源相连，能量又如何变化？答：电容器灌入煤油后，电容量增大，但极板上的电量没有改变，由W e = q2 .2C可知电容器的能量W e会减少。

减少的那部分能量，由煤油分子在静电场极化过程中转化成煤油的内能。

如果灌煤油时，电容器一直与电源相连，由能量公式W e=CU八2可知，C增大而U不变时，电容器的能量W e增大。

这时电源向电容器充电，将电源的化学能转化为电容器的内能。

练习题4-i由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。

因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。

图4-2所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，第四章静电场其中的q和I均为已知，对图4-2中的P点（OP平行于正方形的一边），证明当X i •丨时3 plEP I=X7其中，p=ql称电偶极矩。

解：将左边和右边的电偶极子在产生的场强分别称为E左和E右，则:P4 二；0 X 2P4 ：?. 0 I. X - 2 I P点处的合场强为E =E右一E左原题证毕方向向下方向向上P _____4 二;O X 弓34 二；O+ P2 I3P 3X I ■ 2 2X2」23T X $ •丄23 PlE 4 方向向上4 ：i-0X4-2 一个均匀带电的细棒长为I ,带电总量为q ,证明，在棒的垂直平分线上离棒为a处的电场强度为2二；0解：棒的线电荷密度为J - q I。

如图4-3,对称地取距中点为X处的电荷dq -『dx =qdx∕I。

其d E和d E的水平方向的分量相互抵消，P点的场强为d E和d E沿竖直向上分量之和：d E 合=2d E CoS -2d q a/ 2 丄~仁-2 2 124二；° a X a2 X2______ aq dx2 23 22 "I a X 棒在P处的场强为2 ；。

（3）当χi∙ R 时，可将带电圆盘看作点电荷，因此 P 点电场强度为:2 2二 4 二 R 二 R2 = 24一 0x；0X4-4大多数生物细胞的细胞膜可以用两个分别带有电荷的同心球壳系统来 模拟。

在本题图4-5中，设半径为R 1和R 2的球壳上分别带有电荷Q 1和Q 2 ,求:2 2 aq dx E= .0d E 合=O 2 〒 2兀名0l (a +x J将x =ata n J 弋入上式，并考虑 X 由O 积分到L 2时，Sinr 由O 变化到02=2，后对E 积分可得: 1E =2二；O a '、丨 24a4-3 一个半径为R 的带电圆盘，电荷面密度为 二，求： （1） 圆盘轴线上距盘心为X 处的任一点P 的电场强度； （2） 当R →∞时，P 点的电场强度为多少？ （3） 当^ R 时，P 点的电场强度又为多少？ 解：（1）取半径为r —叶dr 的圆环，如图4-4所示，因其上电荷对P 点的产生的场强垂直分量相互抵消，所以其对 P 点场强为 dE = d ECoS 日= 4聴0(X 2 +r 2 )(χ2 +r 22 23 22 24 二；0 X ∙ r 2 ^0 X r整个圆盘的电荷在P 点的产生的场强为 r RXbrdr G X L L 3.2 — 2名0 (χ2 + r 2 ) 2客01J 2丄2以1I (X +R E = σ 图4-4（2）当R ）::时，可将带电圆盘看作无限大带 电平面，因此P 点电场强度为(1)I、II、山三个区域中的场强；(2)若Q l= —Q2各区域的电场强度又为多少？画出此时的电场强度分布曲线(即E —r关系曲线)。

从这个结果，你可以对细胞膜的电场强度分布有个概略的了解。

解：(1) I :以rι V R i为半径作球面高斯面，因面内无电荷，依. 1 . Jl S E Id S ' q i内"S Pi可得：E1= 0 图4-5II :以R1 ：：：「2 ::：R2为半径作球面高斯面，面内的电荷为Q1,依可得:E2Q 1 4 二；0叮III :以R2：：: r3为半径作球面高斯面，面内的电荷为Q1+Q2 ,同理可得:E3 =Jf4 二；O G(2)根据上部分结果可得I: E1= OII: E2Q14二;。

III : E3= O根据已知条件画出E -r关系曲线如图4-6所示4-5实验表明，在靠近地面处有相当强的大气电场，电场强度方向垂直地面向下，大小约为100 N C-1；在离地面1.5 km高的地方，电场强度方向也是垂直地面向下的，大小约为25N C-1。

(1)计算从地面到此高度的大气中电荷的平均体密度；(2)若地球上的电荷全部分布在地球表面，求地球表面的电荷面密度；(3)已知地球的半径为6 106m ,地球表面的总电量为多少？III解：(1)由已知可得，离地面高度为 的大气电场为E 1 =100 N C -1。

从1.5km 高处至地面作圆柱体 高斯面，依题意得：-E 1S -E2^-得二 q = ；o E ^-^E2∣S故_Σq ∑q 気(E1 _E2)Γ ———VhSh128.85 ×10^×751.5 ×10 ^ 13—-3= 4.43 ×10 — (C m )(2)靠近地球表面作球面高斯面I E 1S-;.- S ;0• •• ；「 -E 1S- -1008.85 10」2 - -8.9 10」° Cm^2(3) a q =二 S= -8.9 10 AO 4 二 6 106= -4.0 10 C4-6随着温度的升高，一般物质依次表现为固态、液态和气态。

当温度继续升高时，气体中的大量分子将由于激烈碰撞而离解为电子和正离子。

这种主要 由带电离子组成的状态为物质的第四态，处于该态的物质称等离子体。

如果气体 放电时形成的等离子体圆柱内的体电荷分布有如下关系其中，Ye 为电荷体密度，;?0为圆柱轴线上的6值，a 为常量，求电场强度分布1.5km 的大气电场E 2 =25 N C -1 ,地面E 2图4-7r 2解：以半径r长度L作圆柱高斯面，如图Jl E dS =2二rLE rSr 0(r)2 二rL .d r0 ；0r∙√: r2L4-8所示，则:-------------------- L ------------------------------ * :<θ φ Θ φ Θ ® ⅛¾ Φ ΦΦ Φ^帶: :⅛田曲&㊉田㊉㊉由田田田㊉缶㊉■ !®ΦΘΦΦΦΦΦΘΦΦ ΦΘΘΦ ::Φ φ φ Φ G G φ φφ Θ φ φ φ ® φ ：jφθ ΘΦΘΦ ΦΦΦΦ ®ΦΦΦΦ ;1,ΦΘΘΘΦΦΦΦΦΦΦΘΦΦΦ ∖∕ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ;al. _______________________________________ __________________ __________________ _______ _ _________ _______ __ _______ _______ —X图4-8第四章静电场负电荷：q _E = m _aq疋-2a5 (m S)=a_ = am ■2--04-7测定土壤颗粒所带电量的方法之一是沉降法。