线性系统理论(郑大钟第二版)第4章
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一、李雅普诺夫第一法 又称间接法，通过系统状态方程的解来分析系统的稳定性， 比较适用于线性系统和可线性化的非线性系统。 1．线性系统情况 线性定常连续系统平衡状态 xe 0 为渐近稳定的充要条件 是系统矩阵A的所有特征值都具有负实部。x(t ) q e x(0) 线性定常离散系统平衡状态 xe 0为渐近稳定的充要条件是 系统矩阵 G 的所有特征值的模都小于1。 与经典控制理论的各种判据一致
3. 不稳定
无论 取得多么小，也无论 取得多么大，在球域内S ( ) 总存在非 * * 零点 x0 ，使得由 x0 出发的运动轨迹 x(t; x0 , t0 ) 越出球域 S ( ) ，则称平 衡状态 xe 为不稳定。 二维状态空间中零平衡状态 xe 0 为不稳定的几何解释如右图。
得线性化模型为
f x T
( x xe ) 0[( x xe ) 2 ]
x xe
高阶导数项之和
f x T
x
x xe 0
x Ax f1 x 1 f n x1 f1 x2 f n x2 f1 xn f n xn x x
为x的二次型函数，其定号性与它的权矩阵P的定号性是一致的。
而P的定号性由Sylvester准则确定：
p11 p12 p22 pn 2 p1n p2 n pnn
设1 p11， 2
p11 p21
p12 …, ， p22
n
p21 pn1
为实对称矩阵 P
的1～n阶顺序主子式，则P定号性的充要条件为： ①若 ②若 ③若 ④若
（二）稳定性定义 1. 稳定 设 xe 为系统的一个平衡状态，如果对任意给定的一个实数 0 ， 都对应地存在另一实数 ( , t0 ) 0 ，使得由满足式子 x0 xe ( , t0 ) 的任一初始状态 x0 出发的受扰运动都满足
x(t; x0 , t0 ) xe
2．渐近稳定判定定理2 ： 系统及平衡状态同上，如果 V ( x, t ) 满足条件： （1） V ( x, t ) 为正定；
（2） V ( x, t ) 为负半定，但它在非零解运动轨线上不恒为零，即 对于 x 0 有 V ( x, t ) 0 ； 则系统的平衡状态 xe 0是渐近稳定的。同样，如果还满足
其中
A
f xT
为Jacobian矩阵
x xe
e
按 x Ax 在xe 0 邻域研究平衡点 xe 的稳定性。即：
1）A的所有特征值具有负实部，则非线性系统在 xe 0 渐近稳定； 2）A的特征值中至少有一个具有正实部，非线性系统在 xe 0 不稳定； 3) A的特征值的实部有一部分为0，其它均具负实部，非线性系统 在xe 0 的稳定性不能得出明确结论，而取决于 f ( x ) 的高阶导数 项。一般可通过其它方法（如找合适的Lyapunov函数)确定其稳 定性。 李雅普诺夫第一法需要求出系统的全部特征值，这对于高阶系统 存在一定的困难，经典控制理论中针对线性定常系统提出了一些有 效的工程方法，可视为该法在线性定常系统中的工程应用。
V ① 若V ( x) 0 ， ( x) 为正定； V ② 若V ( x) 0 ， ( x) 为正半定；
③ 若V ( x) 0 ， ( x) 为负定； V ④ 若V ( x) 0 ，V ( x) 为负半定； ： V ⑤ 若V ( x) 可正可负， ( x)为不定。 2. 二次型函数 设x为n维向量，则称标量函数
xe
x (t0 )
x1
x(t )
2. 渐近稳定 不仅具有Lyapunov意义下的稳定，并且
lim x (t；x0 , t0 ) xe 0
t
渐近性
则称平衡状态 xe 为渐近稳定。 几何解释： 从球域 S ( ) 内任一点出发的 运动 x(t; x0 , t0 ) 对所有的t t0不仅不 超越球域 S ( ) ，而且当 t 时， x 最终收敛于平衡状态 。 e 二维状态空间中零平衡状态 xe 0 为渐近稳定的几何解释如右图。
第三章 线性系统的稳定性及李雅普诺夫 分析方法
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性 考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t ) k1
y(t ) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。
，则称该系统是内部稳定的。
它表达了在外界扰动消失后，系统由初始偏差状态恢复到原平 衡状态的能力。它更深刻地揭示出系统稳定性的本质属性。
二种描述都反映了稳定性的系统结构属性，在一定的条件下它 们是完全等价的。 内部稳定性理论主要由李雅普诺夫（A.M.Lyapunov）建立，提 出了分析系统稳定性的李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法，
二、李雅普诺夫第二法 又称直接法。它受启示于“一个自治系统在运动过程中伴随着 能量的变化”这样一个物理事实。不需要求解系统的运动方程， 直接分析、判断系统的稳定性能。具有很强的普适性。 不能对任何系统都能找到能量函数来描述系统的能量关系。于 是，李雅普诺夫引入一个 “广义能量”函数，它具备能量函数的基 本属性—正的标量函数，它又能给出随着系统运动发生变化的信 息，把这样的“广义能量”函数称为李雅普诺夫函数。更具一般性。 一般情况下，李雅普诺夫函数与状态和时间有关，表示为V ( x, t )， 如果不显含时间 t ，则表示为V ( x ) 。 （一）预备知识 1．标量函数的定号性 设 V ( x )为关于n维向量 x 的标量函数，并且在 x 0 处，有V ( x ) 0 ， 则对于任意的非零向量 x 0 ，有：
n
it
i 1
i i
2．非线性系统情况 对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似 线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。
非线性自治系统： x f ( x)
f ( x )为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。
xe 0
是系统的一个平衡点。
将f ( x )在平衡点xe 邻域展成泰勒级数: f ( x ) f ( xe )
Fra Baidu bibliotek
x Axe 0
①若A非奇异，xe 0 唯一的平衡状态 ②若A奇异， xe 0 平衡状态,非唯一
对非线性系统，一般有多个平衡状态。 如果平衡状态在状态空间中是彼此孤立的，则为孤立平衡状态。 任何一个孤立的平衡状态都可以通过坐标系移动转换成零平衡状态， 所以讨论零平衡状态 xe 0 的稳定性具有普遍意义。
二、李亚普诺夫稳定性基本概念
（一） 系统运动及平衡状态
1．自治系统
自治系统是指不受任何外界影响即没有输入作用的动态系统。
x (t ) = f ( x, t ) x (t0 ) x0
线性系统：
x (t ) = A(t ) x (t ) x (t0 ) x0
2．受扰运动 将自治系统在初始状态 x(t0 ) x0 条件下的解称为受扰运动。 就是系统的零输入响应。通常表示为 x(t; x0 , t0 )。
(t t0 )
则称平衡状态 xe 是稳定的。 可以将下式看成为状态空间中以 xe 为球心，以 为半径的一个超 球体，球域记为 S ( ) ；把上式视为以 xe为球心，以 为半径的一个 超球体，球域记为 S ( ) 。球域 S ( )依赖于给定的实数 和初始时间t 0 。
平衡状态 xe 是稳定的几何解释： 从球域 S ( )内任一点出发的运动 x(t; x0 , t0 )对所有的 t t0 都不超越球域 S ( ) 。 x2 一个二维状态空间中零平衡 S ( ) xe 0 是稳定的几何解释 状态 如右图 。 S ( ) 如果 与 t 0 无关，称为是 一致稳定，定常系统是一致 稳定的。 上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定 (还应该具有对于平衡状态的渐进性)。
x2
S ( )
S ( )
xe
x (t0 )
x1
x(t )
若 与 t 0 无关，则为一致渐近稳定。定常系统是一致渐近稳定的。 若 ，则为全局渐近稳定。不管初始值偏离平衡点多大， （状态空间中任意点）都具有渐近稳定特性。状态空间中只能 有一个平衡点。 满足上面两点的为全局一致渐近稳定。 满足渐近稳定的球域 S ( ) 只是状态空间中的有限部分，这时称平 衡状态 xe 为局部渐近稳定，并且称 S ( )为渐近稳定吸引区，表示只 xe 有从该区域出发的受扰运动才能被“吸引”至平衡状态 。 线性系统若是渐近稳定（且A非奇异），必为全局渐近稳定。非 线性系统一般只能是小范围渐近稳定。 渐近稳定等同于工程上稳定的概念。有界性，渐近性
i为偶数 i为奇数 (i n)
，P为负半定。
（二）李雅普诺夫第二法稳定性判据 1．渐近稳定基本判定定理 ： 设系统的状态方程为 x = f ( x, t ) ，且其平衡状态为 xe 0 ，如 果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 V ( x, t ) ，并且满足 条件： V （1） ( x, t ) 为正定； V （2） ( x, t ) 为负定； 则系统的平衡状态 xe 0 是渐近稳定的，并称 V ( x, t ) 是该系统 的一个李雅普诺夫函数。进一步，如果还满足 （3） lim V ( x, t ) x 则平衡状态 xe 0 是大范围渐近稳定的。 条件（1）保证了 V ( x, t ) 具备“广义能量”函数的特性， 条件（2）表明该“能量”函数随着系统的运动不断衰减， 条件（3）表示了满足渐近稳定的条件可扩展至整个状态空间。
3. 平衡状态
x f ( x ,t ) 对于自治系统 x (t 0 ) x 0
（线性、非线性、定常、时变）
如果存在 xe，对所有的t有 f ( xe , t ) 0 成立，称状态 xe为上述 系统的平衡状态。 通常情况下，一个自治系统的平衡状态不是唯一的。而对于 线性定常连续系统的平衡状态有：
i 0 (i 1, 2,, n)
，P为正定；
i 0 i为偶数时 (i 1, 2,, n) ，P为负定； i 0 i为奇数时
i 0 （i 1, 2,，n 1) ，P为正半定； i 0 (i n)
i 0 i 0 0 i
2．内部稳定性 考虑输入量为零时的线性系统
x (t ) = A(t ) x (t ) x (t ) x (t0 ) x0 t t0
如果由非零初始状态 x0引起的系统自由运动x(t ) 有界，即：
x(t ) k
并满足渐近属性，即 lim x (t ) 0 t
（3） lim V ( x, t ) x 则平衡状态 xe 0 是大范围渐近稳定的。 条件（2）表示在 x 0 某处会出现 V ( x, t ) 0但不恒为零的情况，这 时系统向着“能量”越来越小方向运动过程中与某个等“能量”面相切， xe 但通过切点后并不停留而继续趋向于最小“能量”的平衡点 0 ， 所以该平衡状态仍然是渐近稳定的。
x2
x(t )
S ( ) S ( )
xe
对于线性系统一般有： lim x (t , x0 , t0 ) xe
t
x (t0 )
对于非线性系统，也有可能趋于 S ( ) 以外的某个平衡点或某个极限环。
x1
单摆是Lyapunov意义下稳定或渐近稳定的例子。
xe
§2 李雅普诺夫稳定性分析方法
V ( x ) x T Px = x1 x2 p11 p xn 21 pn1 p12 p22 pn 2
是
的权矩阵
权矩阵 P为实对称矩阵
p1n x1 p2 n x2 n p x x i 1 ij i j j 1 pnn xn
3. 不稳定
无论 取得多么小，也无论 取得多么大，在球域内S ( ) 总存在非 * * 零点 x0 ，使得由 x0 出发的运动轨迹 x(t; x0 , t0 ) 越出球域 S ( ) ，则称平 衡状态 xe 为不稳定。 二维状态空间中零平衡状态 xe 0 为不稳定的几何解释如右图。
得线性化模型为
f x T
( x xe ) 0[( x xe ) 2 ]
x xe
高阶导数项之和
f x T
x
x xe 0
x Ax f1 x 1 f n x1 f1 x2 f n x2 f1 xn f n xn x x
为x的二次型函数，其定号性与它的权矩阵P的定号性是一致的。
而P的定号性由Sylvester准则确定：
p11 p12 p22 pn 2 p1n p2 n pnn
设1 p11， 2
p11 p21
p12 …, ， p22
n
p21 pn1
为实对称矩阵 P
的1～n阶顺序主子式，则P定号性的充要条件为： ①若 ②若 ③若 ④若
（二）稳定性定义 1. 稳定 设 xe 为系统的一个平衡状态，如果对任意给定的一个实数 0 ， 都对应地存在另一实数 ( , t0 ) 0 ，使得由满足式子 x0 xe ( , t0 ) 的任一初始状态 x0 出发的受扰运动都满足
x(t; x0 , t0 ) xe
2．渐近稳定判定定理2 ： 系统及平衡状态同上，如果 V ( x, t ) 满足条件： （1） V ( x, t ) 为正定；
（2） V ( x, t ) 为负半定，但它在非零解运动轨线上不恒为零，即 对于 x 0 有 V ( x, t ) 0 ； 则系统的平衡状态 xe 0是渐近稳定的。同样，如果还满足
其中
A
f xT
为Jacobian矩阵
x xe
e
按 x Ax 在xe 0 邻域研究平衡点 xe 的稳定性。即：
1）A的所有特征值具有负实部，则非线性系统在 xe 0 渐近稳定； 2）A的特征值中至少有一个具有正实部，非线性系统在 xe 0 不稳定； 3) A的特征值的实部有一部分为0，其它均具负实部，非线性系统 在xe 0 的稳定性不能得出明确结论，而取决于 f ( x ) 的高阶导数 项。一般可通过其它方法（如找合适的Lyapunov函数)确定其稳 定性。 李雅普诺夫第一法需要求出系统的全部特征值，这对于高阶系统 存在一定的困难，经典控制理论中针对线性定常系统提出了一些有 效的工程方法，可视为该法在线性定常系统中的工程应用。
V ① 若V ( x) 0 ， ( x) 为正定； V ② 若V ( x) 0 ， ( x) 为正半定；
③ 若V ( x) 0 ， ( x) 为负定； V ④ 若V ( x) 0 ，V ( x) 为负半定； ： V ⑤ 若V ( x) 可正可负， ( x)为不定。 2. 二次型函数 设x为n维向量，则称标量函数
xe
x (t0 )
x1
x(t )
2. 渐近稳定 不仅具有Lyapunov意义下的稳定，并且
lim x (t；x0 , t0 ) xe 0
t
渐近性
则称平衡状态 xe 为渐近稳定。 几何解释： 从球域 S ( ) 内任一点出发的 运动 x(t; x0 , t0 ) 对所有的t t0不仅不 超越球域 S ( ) ，而且当 t 时， x 最终收敛于平衡状态 。 e 二维状态空间中零平衡状态 xe 0 为渐近稳定的几何解释如右图。
第三章 线性系统的稳定性及李雅普诺夫 分析方法
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性 考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t ) k1
y(t ) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。
，则称该系统是内部稳定的。
它表达了在外界扰动消失后，系统由初始偏差状态恢复到原平 衡状态的能力。它更深刻地揭示出系统稳定性的本质属性。
二种描述都反映了稳定性的系统结构属性，在一定的条件下它 们是完全等价的。 内部稳定性理论主要由李雅普诺夫（A.M.Lyapunov）建立，提 出了分析系统稳定性的李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法，
二、李雅普诺夫第二法 又称直接法。它受启示于“一个自治系统在运动过程中伴随着 能量的变化”这样一个物理事实。不需要求解系统的运动方程， 直接分析、判断系统的稳定性能。具有很强的普适性。 不能对任何系统都能找到能量函数来描述系统的能量关系。于 是，李雅普诺夫引入一个 “广义能量”函数，它具备能量函数的基 本属性—正的标量函数，它又能给出随着系统运动发生变化的信 息，把这样的“广义能量”函数称为李雅普诺夫函数。更具一般性。 一般情况下，李雅普诺夫函数与状态和时间有关，表示为V ( x, t )， 如果不显含时间 t ，则表示为V ( x ) 。 （一）预备知识 1．标量函数的定号性 设 V ( x )为关于n维向量 x 的标量函数，并且在 x 0 处，有V ( x ) 0 ， 则对于任意的非零向量 x 0 ，有：
n
it
i 1
i i
2．非线性系统情况 对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似 线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。
非线性自治系统： x f ( x)
f ( x )为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。
xe 0
是系统的一个平衡点。
将f ( x )在平衡点xe 邻域展成泰勒级数: f ( x ) f ( xe )
Fra Baidu bibliotek
x Axe 0
①若A非奇异，xe 0 唯一的平衡状态 ②若A奇异， xe 0 平衡状态,非唯一
对非线性系统，一般有多个平衡状态。 如果平衡状态在状态空间中是彼此孤立的，则为孤立平衡状态。 任何一个孤立的平衡状态都可以通过坐标系移动转换成零平衡状态， 所以讨论零平衡状态 xe 0 的稳定性具有普遍意义。
二、李亚普诺夫稳定性基本概念
（一） 系统运动及平衡状态
1．自治系统
自治系统是指不受任何外界影响即没有输入作用的动态系统。
x (t ) = f ( x, t ) x (t0 ) x0
线性系统：
x (t ) = A(t ) x (t ) x (t0 ) x0
2．受扰运动 将自治系统在初始状态 x(t0 ) x0 条件下的解称为受扰运动。 就是系统的零输入响应。通常表示为 x(t; x0 , t0 )。
(t t0 )
则称平衡状态 xe 是稳定的。 可以将下式看成为状态空间中以 xe 为球心，以 为半径的一个超 球体，球域记为 S ( ) ；把上式视为以 xe为球心，以 为半径的一个 超球体，球域记为 S ( ) 。球域 S ( )依赖于给定的实数 和初始时间t 0 。
平衡状态 xe 是稳定的几何解释： 从球域 S ( )内任一点出发的运动 x(t; x0 , t0 )对所有的 t t0 都不超越球域 S ( ) 。 x2 一个二维状态空间中零平衡 S ( ) xe 0 是稳定的几何解释 状态 如右图 。 S ( ) 如果 与 t 0 无关，称为是 一致稳定，定常系统是一致 稳定的。 上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定 (还应该具有对于平衡状态的渐进性)。
x2
S ( )
S ( )
xe
x (t0 )
x1
x(t )
若 与 t 0 无关，则为一致渐近稳定。定常系统是一致渐近稳定的。 若 ，则为全局渐近稳定。不管初始值偏离平衡点多大， （状态空间中任意点）都具有渐近稳定特性。状态空间中只能 有一个平衡点。 满足上面两点的为全局一致渐近稳定。 满足渐近稳定的球域 S ( ) 只是状态空间中的有限部分，这时称平 衡状态 xe 为局部渐近稳定，并且称 S ( )为渐近稳定吸引区，表示只 xe 有从该区域出发的受扰运动才能被“吸引”至平衡状态 。 线性系统若是渐近稳定（且A非奇异），必为全局渐近稳定。非 线性系统一般只能是小范围渐近稳定。 渐近稳定等同于工程上稳定的概念。有界性，渐近性
i为偶数 i为奇数 (i n)
，P为负半定。
（二）李雅普诺夫第二法稳定性判据 1．渐近稳定基本判定定理 ： 设系统的状态方程为 x = f ( x, t ) ，且其平衡状态为 xe 0 ，如 果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 V ( x, t ) ，并且满足 条件： V （1） ( x, t ) 为正定； V （2） ( x, t ) 为负定； 则系统的平衡状态 xe 0 是渐近稳定的，并称 V ( x, t ) 是该系统 的一个李雅普诺夫函数。进一步，如果还满足 （3） lim V ( x, t ) x 则平衡状态 xe 0 是大范围渐近稳定的。 条件（1）保证了 V ( x, t ) 具备“广义能量”函数的特性， 条件（2）表明该“能量”函数随着系统的运动不断衰减， 条件（3）表示了满足渐近稳定的条件可扩展至整个状态空间。
3. 平衡状态
x f ( x ,t ) 对于自治系统 x (t 0 ) x 0
（线性、非线性、定常、时变）
如果存在 xe，对所有的t有 f ( xe , t ) 0 成立，称状态 xe为上述 系统的平衡状态。 通常情况下，一个自治系统的平衡状态不是唯一的。而对于 线性定常连续系统的平衡状态有：
i 0 (i 1, 2,, n)
，P为正定；
i 0 i为偶数时 (i 1, 2,, n) ，P为负定； i 0 i为奇数时
i 0 （i 1, 2,，n 1) ，P为正半定； i 0 (i n)
i 0 i 0 0 i
2．内部稳定性 考虑输入量为零时的线性系统
x (t ) = A(t ) x (t ) x (t ) x (t0 ) x0 t t0
如果由非零初始状态 x0引起的系统自由运动x(t ) 有界，即：
x(t ) k
并满足渐近属性，即 lim x (t ) 0 t
（3） lim V ( x, t ) x 则平衡状态 xe 0 是大范围渐近稳定的。 条件（2）表示在 x 0 某处会出现 V ( x, t ) 0但不恒为零的情况，这 时系统向着“能量”越来越小方向运动过程中与某个等“能量”面相切， xe 但通过切点后并不停留而继续趋向于最小“能量”的平衡点 0 ， 所以该平衡状态仍然是渐近稳定的。
x2
x(t )
S ( ) S ( )
xe
对于线性系统一般有： lim x (t , x0 , t0 ) xe
t
x (t0 )
对于非线性系统，也有可能趋于 S ( ) 以外的某个平衡点或某个极限环。
x1
单摆是Lyapunov意义下稳定或渐近稳定的例子。
xe
§2 李雅普诺夫稳定性分析方法
V ( x ) x T Px = x1 x2 p11 p xn 21 pn1 p12 p22 pn 2
是
的权矩阵
权矩阵 P为实对称矩阵
p1n x1 p2 n x2 n p x x i 1 ij i j j 1 pnn xn