知识讲解-单调性与最大(小)值-基础
1函数的单调性知识讲解
练习: 1.证 明 函 数 f(x)=-2x+1在 R上 是减函数;
2.求 函 数 f ( x ) x 3 在 x 0上 x
的单调性.
三.单调性的应用
例3：已知f(x)是定义在[-1，1]上的 增函数，且f(x-1)<f(x2-1).求实数x 的范围
高考真题：
1．（2009 福建卷理）下列函数 f (x) 中，满足“对任意 x1 ，x2 （0， ），当 x1 < x2 时，都有 f (x1) > f (x2 ) 的是
告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少 时,压强p将增大.试用函数单调性证明之.
用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤：
1、设元： 设 x1,x2 给定 ,且 区 x1x间 2.
2、作差： 计f算 (x1)f(x2)至最 . 简
3、变形：
4、定号： 判断上述差的符号 . 5、结论： 若差0则为增函.数
A． f (x) = 1 x
C . f (x) =2x+2
B. f (x) = (x 1)2
D.
(x)
1 =x-1
x2 4x,
2．（2009
天津卷理）已知函数
f
(x)
4 x
x2,
x0 x0
若 f (2 a2 ) f (a), 则实数 a 的取值范围是
A (, 1) (2, ) B (1, 2)
练习2、已知函数f(x)=x2+ax-1在(-∞,1] 上单调递减，求实数a的范围
4.说出下列函数的单调性:
(1) y k x b; (2) y ax 2 bx c; (3) y k ;
x (4 ) y x k (k 0 ).
单调性与最大小值实例教案
点击此处获取的文章，以下内容为：单调性与最大小值实例教案一、教学目的1、使学生能够掌握函数的单调性及最大值和最小值的概念和判定方法。
通过教学使学生掌握具备单调性的函数的概念，并掌握合理选择单调区间的方法。
以实例提高学生发现、研究、解决问题的能力。
2、使学生掌握基本函数的单调性及最大值最小值的求法。
通过教学使学生掌握不等式的解法，借此提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容一、函数的单调性与最大小值概念1、函数的单调性概念：函数在单调上升或单调下降的区间叫做单调区间，如果函数在某一区间内具有单调性，就称此函数在这一区间内是单调函数。
2、最大值和最小值的概念：函数在某一区间中，取得最大值或最小值，就称这个点为函数在这一区间的最大值或最小值。
二、函数的单调性判定法1、借助导数可以判断函数的单调性。
2、当函数的导数为正时，函数单调上升；当函数的导数为负时，函数单调下降；3、当函数的导数为零时，函数在该点处可能取极大值或极小值，需要进一步判定。
三、最大值最小值的判定方法1、对基本函数，最大值、最小值的判定方法比较简单。
对于普通函数，需要通过求导后分析才能得出最大值、最小值。
2、求解最大值、最小值的方法可以应用数学分析等工具。
3、实例教学可以提高学生对函数单调性和最大小值判定方法的理解和掌握。
三、教学方法1、讲解法。
通过讲解基本函数和案例讲解单调性判断的基本思路以及最大值、最小值的判定方法。
2、实例分析法。
通过对具体实例进行分析，引导学生了解如何判定最大小值和单调性。
3、巩固练习法。
通过练习，提高学生自己判定实例的能力。
四、教学手段1、黑板演示，引导学生了解基本函数的单调性和最大小值的判定方法。
2、实际案例演示，通过具体案例分析，便于学生更好地理解单调性与最大小值概念及判定方法。
3、个性化教学，让学生自主探究，指导学生完成实例分析与判定。
五、教学过程第一部分：知识讲解（15分钟）1、引入函数单调性和最大小值的概念，介绍基本函数的特点。
导数与函数的单调性、极值与最值-讲义(学生版)
导数与函数的单调性、极值与最值一、课堂目标1．掌握利用导数求解函数单调区间的方法步骤 ．2．掌握极值与极值点的概念，能够结合函数与导数图象找出极值点与极值 ．3．掌握利用导数求解函数极值的方法步骤．4．掌握利用导数求解给定区间上可导函数最值的方法步骤．二、知识讲解1. 导数与函数单调性知识精讲（1）导数与函数单调性①如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于，曲线呈上升状态，因此在上是增函数，如下图所示；，（）（），（），②如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于，曲线呈下降状态，因此在上是减函数，如下图所示.，（）（），（），（2）导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓.知识点睛函数在区间可导.（1）若，则函数在此区间内单调递增；（2）若，则函数在此区间内单调递减；（3）若，则函数在此区间内为常数函数.经典例题A.① B.② C.③ D.④1.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）．巩固练习2.是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能是下列选项中的（ ）．A.B.C. D.经典例题A. B.C.D.3.函数的图象如图所示，则的图像可能是（ ）．A.4.已知函数的图像如图所示，则等式的解集为（ ）．B.C.D.巩固练习A.B.C.D.5.如果函数的图像如右图，那么导函数的图像可能是（）．2. 利用导数求函数的单调区间的步骤知识精讲（1）确定的定义域；（2）求导数；（3）由（或）解出相应的的取值范围.当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数.知识点睛需要注意的是：1.在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题是必须在定义域内进行；2.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点（即导函数的零点）外，还要注意定义域内的不连续点和不可导点.经典例题A. B.C.D.6.函数的单调递增区间是（）．巩固练习A. B.C. D.7.函数的单调递增区间为（）．A.B.C.D.8.函数，的单调递减区间是（ ）．和和和和经典例题A. B.C.D.9.函数在上是减函数，则的取值范围是（）．巩固练习A. B.C. D.10.若为函数的递增区间，则的取值范围为（）．A. B.C.D.11.若函数为增函数，则实数的取值范围为（ ）．经典例题12.已知在区间上不单调，实数的取值范围是（ ）．A. B.C.D.巩固练习A. B.C. D.13.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）．经典例题14.函数在上存在单调增区间，则实数的范围是．巩固练习A. B.C.D.15.若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（）．3. 导数与函数的极值知识精讲函数极值与极值点的定义一般地，设函数的定义域为，设，如果对于附近的任意不同于的,都有：①，则称为函数的一个极大值点，且在处取极大值;②，则称为函数的一个极小值点，且在处取极小值.极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小.（）（）（）（）（）（）（）（）（）知识点睛极值点的判断一般地，设函数在处可导，且.①如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极大值点；②如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极小值点；（）（）（）（）（）（）（）（）③如果在的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则一定不是的极值点.（）（）经典例题A.B.C. D.16.函数在上的极小值点为（）．A.B.C.D.17.已知，在处有极值，则，的值为（ ）．，或，，或，，以上都不正确巩固练习A.B.C.D.18.函数的极大值为，那么等于（）．4. 求函数的极值的方法知识精讲求极值的步骤：（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）检验在方程的根的左右两侧的值的符号：①如果是左正右负，则在这个根处去的极大值；②如果是左负右正，则在这个根处去的极小值；③如果是左右同号，则在这个根处无极值.知识点睛导数与极值的关系：如果函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，则是极大值点，是极大值.如果函数在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增的，则是极小值点，是极小值.经典例题（1）（2）19.求下列函数的极值．．．巩固练习（1）（2）20.求下列函数的极值．．．A. B. C.D.21.设函数，则函数的极小值为（）．经典例题22.判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．．巩固练习23.判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．．经典例题24.设函数在和处有极值，且，求，，的值及函数的极值．25.若有极大值和极小值，则的取值范围是 .巩固练习26.已知函数在处取得极值，求的值．5. 求函数在上的最值的步骤知识精讲（1）函数的最大（小）值一般地，如果在上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.（2）求函数在上的最值的步骤①求函数在区间上的极值；②将函数的各极值点与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.知识点睛最值与极值的区别与联系（1）函数的最值是一个整体性的概念，反映的是函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较；函数的极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；（2）函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有；（3）极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得；函数有极值时不一定有最值，有最值时也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得必定是极值.经典例题27.已知函数，求函数在上的最大值和最小值．巩固练习28.函数的最大值为．A.， B.，C.，D.，29.函数在区间上的最大值，最小值分别为（）．30.函数，的最小值等于．经典例题A. B.C.D.31.函数在上最大值为，最小值为，则实数取值范围为（）．巩固练习A. B.C. D.32.若函数在内有最小值，则的取值范围是（）．经典例题（1）（2）33.已知函数．求曲线在点处的切线方程．求函数在区间上的最大值和最小值．巩固练习（1）（2）34.已知函数，曲线在处的切线经过点．求实数的值．设，求在区间上的最大值和最小值．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、出门测（1）（2）35.已知函数．写出函数的单调递减区间．求函数的极值．11（1）（2）36.已知函数．求曲线在点处的切线方程；求在区间上的最小值和最大值．。
高中数学二次函数最值与单调性解题方法
高中数学二次函数最值与单调性解题方法二次函数是高中数学中非常重要的一个知识点，掌握二次函数的最值与单调性解题方法对于学生来说是至关重要的。
本文将从最值和单调性两个方面介绍二次函数的解题方法，并通过具体的例题来说明考点和解题技巧。
一、二次函数的最值解题方法1. 最值的概念首先，我们来了解一下最值的概念。
对于一个函数，最大值是指函数在定义域内取得的最大值，最小值是指函数在定义域内取得的最小值。
2. 最值的求解方法对于二次函数，我们可以通过求导数的方法来求解最值。
具体步骤如下：（1）先求出二次函数的导数；（2）令导数等于零，解方程得到临界点；（3）将临界点代入原函数，求出函数在临界点处的函数值；（4）比较函数值，得出最值。
下面通过一个例题来说明最值的求解方法。
例题1：求函数f(x) = x^2 - 2x + 3的最值。
解：首先求导数，f'(x) = 2x - 2。
令f'(x) = 0，解方程得到临界点x = 1。
将临界点代入原函数，f(1) = 1^2 - 2 * 1 + 3 = 2。
因此，函数f(x)的最小值为2。
二、二次函数的单调性解题方法1. 单调性的概念单调性是指函数在定义域内的增减性质。
对于一个函数，如果在定义域内任意两个点x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)，则函数为增函数；当x1 < x2时，有f(x1) > f(x2)，则函数为减函数。
2. 单调性的判断方法对于二次函数，我们可以通过判断二次函数的二次项系数的正负来判断函数的单调性。
（1）当二次项系数大于零时，二次函数开口向上，函数为增函数；（2）当二次项系数小于零时，二次函数开口向下，函数为减函数。
下面通过一个例题来说明单调性的判断方法。
例题2：判断函数g(x) = -x^2 + 4x - 3的单调性。
解：由于二次项系数为负，所以二次函数开口向下，函数为减函数。
综上所述，通过求导数的方法可以求解二次函数的最值，而通过判断二次项系数的正负可以判断二次函数的单调性。
函数的最大(小)值 说课稿 教案 教学设计
单调性与最大（小）值一、 教学内容解析函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都要经历直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.二、教学目标按照教学大纲的要求，根据教材和学情，确定如下教学目标： 1.从实际问题出发，使学生通过观察、思考，直观感知函数的单调性.通过探究，讨论函数图像的变化趋势与y 值随自变量x 的变化情况之间的关系.让学生体验“任意”二字的含义，将图形语言与自然语言建立联系.在此过程中培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯.2.从具体的二次函数2x y =在区间),0(+∞上为增函数入手，通过学生对“y 值随x 的增大而增大”的逐层深入认识，将自然语言转化为数学符号语言，教师再加以合理引导，顺利突破本课第一个难点。
使学生从形与数两方面理解增、减函数的概念，掌握运用函数图像和单调性的定义判断函数单调性的方法.在此，让学生领会数形结合的数学思想方法，经历从具体到抽象，从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.3．通过对增、减函数概念的深入挖掘，初步掌握证明函数单调性的方法与步骤，培养学生归纳、概括、抽象的能力和语言表达能力，提高学生的推理论证能力.三、学生学情分析 学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，已具备了一定的观察事物能力和抽象思维能力，但对于感性思维向理性思维的过渡仍有一定的障碍，对于自然语言向符号语言的转化，学生会觉得比较困难.另外，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.四、重、难点分析重点：增、减函数概念的形成及单调性的初步应用.难点：增、减函数的概念形成以及根据定义证明函数的单调性. 五、教学策略分析本节课是函数单调性的起始课，根据新课改的教学理念，结合本节课的教学内容和学生的认知水平，主要采用让学生自主探究、独立思考、合作交流、探究成果展示及教师启发引导的教学方式进行教学.同时使用多媒体辅助教学，增强直观性，提高教学效果和教学质量.在学生的学法上我重视让学生利用图形直观启迪思维，完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．六、教学过程 （一）创设情境 引例某品牌电热水壶，烧开一壶水需要6分钟，水开后自动断电，50分钟后冷却至室温.（1）你能描述一下，水温随时间的变化时如何变化的吗？ （2）你能用图像表示出这种变化关系吗？（3）你能将“图像的变化趋势”与“水温随着时间的增加而变化”相结合起来吗？这是一个实际问题，在描述上述变化关系时，把定义域分成了两个区间去研究.函数图像上升、下降的趋势反应的是函数的一个基本性质------函数的单调性.（通过朴素的实际问题，让学生把增、减函数的图形语言与自然语言对应起来，同时为理解函数的单调性是函数的局部性质打下伏笔.）（二）自主探究1. 个人独立完成或学习小组合作完成.任意写出一个函数的解析式及定义域，画出草图，任意列出一些自变量和相应的函数值，将“图像的上升、下降趋势”与“y 值随x 的变化”结合起来.2.展示探究成果. 探究成果预设：)(2R x x y ∈= }0{1≠=x x xyX<0 x>0 x y-3 -4 -2 -3 -1 -20 -11 02 13 2x y0.5 21 12 0.53 0.334 0.255 0.2)(2R x x y ∈=,在),(+∞-∞上，y 值随x 的增大而增大，图像是上升的.)0,(-∞∈x 时，y 值随x 的增大}0{1≠=x x x y 当),0(+∞∈x 时，y 值也随x 的增而减小，图像是下降的；当大而减小，图像也是下降的.xy 1=的图像在整个定义域上教师追问：能不能说是下降的？能不能说整个定义域上y 值随x 的增大而减小？二次函数2x y =的函数值y 3.教师用几何画板演示随x 的变化而变化的过程，并任意选取自变量给出相应的y 值，让学生再次感受图像上升与y 随x 的增大而增大相对应；图像下降与y 随x 的增大而减小相对应.(三)抽象出增、减函数的定义1.问题引导：究竟如何理解“y 随x 的增大而增大”呢？学生探讨，得出“y 随x 的增大而增大”可以用符号语言表示为“当21x x <时，都有)()(21x f x f <”.函数2x y =，在),0(+∞∈x 上满足，当21x x <时，)()(21x f x f <，则2x y =在),0(+∞上是增函数.2.一般的，对于函数x f y (=），在定义域的某个区间),(b a 上，如何说明它是增函数呢？让学生归纳出增函数的定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.用图像刻画增函数.3.对比增函数的定义，由学生归纳出减函数的定义. 一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间D 上是减函数.用图像刻画减函数。
函数的单调性与极值点例题和知识点总结
函数的单调性与极值点例题和知识点总结在数学的学习中，函数的单调性与极值点是非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际问题的解决中发挥着巨大作用。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入理解函数的单调性与极值点，并对相关知识点进行总结。
一、函数单调性的定义函数的单调性指的是函数在其定义域内的增减性质。
如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值$x_1$、＄x_2$，当$x_1 ＜x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就称函数在这个区间上是增函数（或减函数）。
例如，函数$f(x) ＝ x^2$在区间$（＼infty, 0)＄上是减函数，在区间$（0, ＋＼infty)＄上是增函数。
二、判断函数单调性的方法1、定义法设$x_1$、＄x_2$是给定区间上的任意两个自变量的值，且$x_1 ＜x_2$，计算$f(x_2) f(x_1)＄，若$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$，则函数在该区间上是增函数；若$f(x_2) f(x_1) ＜ 0$，则函数在该区间上是减函数。
例 1：判断函数$f(x) ＝ 2x 1$在区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上的单调性。
解：设$x_1$，＄x_2$是区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上的任意两个实数，且$x_1 ＜ x_2$。
则$f(x_2) f(x_1) ＝（2x_2 1) （2x_1 1) ＝ 2(x_2 x_1)＄因为$x_1 ＜ x_2$，所以$x_2 x_1 ＞ 0$，＄2(x_2 x_1) ＞ 0$，即$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$。
所以函数$f(x) ＝ 2x 1$在区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上是增函数。
2、导数法对于可导函数，如果其导数$f'（x) ＞ 0$，则函数在相应区间上是增函数；如果$f'（x) ＜ 0$，则函数在相应区间上是减函数。
函数的基本性质-1.3.1单调性与最大(小)值-学生用
三人行学堂学科老师个性化教案教师 陈永福学生姓名上课日期 上课时段 年 月 日 到 学科数学年级高一（上） 必修一类型新课讲解□ 复习课讲解□教学目标教学内容 单调性与最大（小）值学习问题解决1、函数单调性的证明及判断方法2、由函数的单调性求参数的取值范围3、由函数的单调性解不等式4、求函数的最大（小）值知识清单1、增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f （x ）的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的 两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 <x 2时结论 那么就说函数f(x)在区间D 上是 函数 那么就说函数f(x)在区间D 上是函数图示2、如果函数)(x f y =在区间D 上是 函数或 函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数)(x f y =的 。
3、函数的最大（小）值一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足 （1）对于任意的I x ∈，都有 （1）对于任意的I x ∈，都有 （2）存在I x ∈0，使得 （2）存在I x ∈0，使得 那么就称M 是函数)(x f y =的最大值 那么就称M 是函数)(x f y =的最小值方法探究一、函数单调性的证明及判断方法 方法点拨1、函数单调性的证明：现阶段只能用定义证明，其步骤为（1）取值：设x 1，x 2为该区间内任意两个自变量的值，且x 1 <x 2；（2）作差变形：作差f(x 1)-f(x 2)，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （4）作结论：根据定义作出结论；其中最关键的步骤为作差变形，在变形时一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方式，直到符号判断水到渠成。
2、函数单调性的判断方法（1）图像法：先作出函数图象，利用图象直观判断函数单调性；（2）直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接判断它们单调性。
高一数学复习知识讲解课件25 单调性与最大(小)值(第1课时) 函数单调性
3.2函数的基高一数学复习知3.2.1单调性与最大函数单调数的基本性质复习知识讲解课件最大(小)值(第1课时)数单调性在区间D上单调递增在区间D上单调递减要点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上__________这一区间具有_________________，区间注意：(1)函数单调性关注的是整个区间单调递增或(严格的)单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大_______________，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．个区间上的性质，单独一点不存在单调性递增或单调递减义域，则该点处区间可开可闭，若区间端可能大．3．通过上面两道题，你对函数的单调 答：函数单调性定义中的，必须是x 1x 2时，要注意保持其任意性．的单调性定义有什么新的理解？ 必须是任意的，应用单调性定义解决问题课时学案探究1 (1)证明函数的单调性的常用方是：①取值，在给定区间上任取两个自变量进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式根据条件判断f (x 1)－f (x 2)变形后的正负；(2)讨论函数的单调性常见有两种：一种数在定义域的子区间上具有不同的单调性常用方法是利用函数单调性的定义，其步骤自变量x 1，x 2；②作差变形，将f (x 1)－f (x 2)形式，且含有x 1－x 2的因式；③判断符号，；④得出结论．一种是参数对单调性的影响，一种是函调性．思考题2 (1)如图所示为函数f (x )的图________________________，单调递减区间[－1，0]，[1，2]，[3，4] 的图象，其单调递增区间是_________减区间是________________________．[0，1]，[2，3](2)【多选题】设f (x )，g (x )都是单调函数A ．若f (x )单调递增，g (x )单调递增，B ．若f (x )单调递增，g (x )单调递减，C ．若f (x )单调递减，g (x )单调递增，D ．若f (x )单调递减，g (x )单调递减，调函数，则下列命题中正确的是()，则f (x )－g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增BC ，则f (x )－g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减探究3求函数的单调区间常用方法方法：①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．课 后 巩 固1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，A．减函数C．先减后增函数4)上是()B．增函数CD．先增后减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是(A ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) 的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，)D B ．f (x 1)<f (x 2) D ．不能确定3．函数y ＝|x |－1的单调递减区间为A ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1)解析解析 y ＝|x |－1＝x －1，x ≥0，－x －1，x <0，易知( )B ．(－∞，0)B D ．(－1，＋∞)易知其单调递减区间为(－∞，0)．故选B.4．【多选题】已知四个函数的图象如的函数是()BC图象如图所示，其中在定义域内具有单调性自助 餐一、证明单调性的探究1 单调性的证明证明某个函数在给定区间上的单调性明．它的步骤如下：第一步：取值．设x 1，x 2是给定区间上第二步：作差变形．写出差式f (x 1)方等手段，向有利于判断差的符号的方向变形式．第三步：判断符号．根据已知条件，第四步：下结论．根据定义，作出结论调性的方法与技巧调性，最常用的方法就是用定义去证区间上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. －f (x 2)，并且通过提取公因式、通分、配方向变形，一般写成几个最简因式相乘的，确定f (x 1)－f (x 2)的符号． 出结论．(5)图象变换对单调性的影响．①上下平移不影响单调区间，即y ②左右平移影响单调区间．如＝2的减y x 间为(－∞，－1]．③y ＝kf (x )，当k ＞0时单调区间与f (x＝f (x )和y ＝f (x )＋b 的单调区间相同． 的减区间为－∞，，＝＋2的减区(0]y (x 1))相同，当k ＜0时与f (x )相反．例2 已知f (x )>0在R 上恒成立，并且满f (x )>1，求证：f (x )在R 上是增函数．【证明证明】】 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则∵x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1，又f (x )＞0在R 上恒成立∴f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)·f (∴f (x )在R 上是增函数． 并且满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x >0时，则x 2－x 1>0，成立，x 1)>f (x 1)．。
3.2.1单调性与最大(小)值
概念学习
PART 2
知识点一 增函数与减函数的定义
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1<x2
都有f(x1) < f(x2)
都有f(x1) > f(x2)
图示
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
当函数f(x)在它的定义域上单调递 当函数f(x)在它的定义域上单调递
高一数学
第1课时 函数的单调性
y=f(x)
MATHEMATICS
MATHEMATICS
知识引入
概念学习
例题讲解
课堂练习
课后作业
本课任务
知识引入
PART 1
知识引入
y
y = x2
(2) y 随 x 的增大而增大
y y = x3
o
x
o
x
(1)（-3;∞）上 随 x 的增大而增大
输入例子(注释)
输入例子辅助理解该概念。输入例子辅助理
解该概念。输入例子辅助理解该概念。
输入例子(注释)
输入例子辅助理解该概念。输入例子辅助理
解该概念。输入例子辅助理解该概念。
分组讨论
此处输入简短的分组说明
PART 4
分组讨论
概念讨论
概念深入学习与理解。
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2.若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围.
2x－3>0，
解
由题意可知，5x－6>0， 2x－3<5x－6，
高考数学复习考点知识讲解课件7 函数的单调性与最值
以 f(x)的最大值为 f(2)＝7.
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求函数最值的五种常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最 值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本 不等式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
A．32
B．2
C．3
D．3.5
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[解析] ∵函数 y＝x－x 1＝1＋x－1 1在[2,3]上单调递减，∴当 x＝2 时，y 取得最大值 2.故选 B．
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4．函数 f(x)＝12 x2－x－1 的单调递增区间为( A )
A．－∞，1－2
5
B．－∞，12
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诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1，x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则 函数 f(x)在区间 D 上是增函数．( √ ) (2)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × ) (3)对于函数 y＝f(x)，若 f(1)<f(3)，则 f(x)为增函数．( × ) (4)函数 y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )
— 25 —ຫໍສະໝຸດ (新教材) 高三总复习•数学
函数的单调性与最值(含例题详细讲解)
函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地.设函数f (x )的定义域为I .区间D ⊆I .如果对于任意x 1.x 2∈D .且x 1<x 2.则 有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数.则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性.区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值 前提设函数y ＝f (x )的定义域为I .如果存在实数M 满足条件 ①对于任意x ∈I .都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I .使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I .都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I .使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值 M 为最小值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示.不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写.不能用并集 符号“∪”联结.也不能用“或”联结．2．两函数f (x ).g (x )在x ∈(a .b )上都是增(减)函数.则f (x )＋g (x )也为增(减)函数.但f (x )·g (x ).()1f x 等的单调性与其正负有关.切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中.在区间(0.＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2.＋∞).所以在(0.＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1.单调增区间为[1,4].f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8.答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减.即内外函数的单调性相同时.为增函数.不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的.或者f (x )的图像易作出.可由图像的直观性 判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性.再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像.再观察其最高点、最低点.求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数.再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形.使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值．(5)导数法：先求导.然后求出在给定区间上的极值.最后结合端点值.求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时.应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中.既是偶函数又在区间(0.＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C 2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________.最小值是________． 答案：15 110三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义.则210x +>.即12x >-.而5log y u =为()0,+∞ 上的增函数.当12x >-时.u ＝2x ＋1也为R 上的增函数.故原函数的单调增区间是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________． 解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知.该函数的单调增区间是(－∞.1]． 答案：(－∞.1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k .定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=.当k ＝12时.函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞.0)B ．(0.＋∞)C ．(－∞.－1)D ．(1.＋∞)解析：选C 由f (x )>12.得－1<x <1.由f (x )≤12.得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩.故()12f x 的单调递增区间为(－∞.－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二 函数单调性的判断[典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知.函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0.＋∞)内任取1x .2x .令12x x <.那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<.所以210x x ->.120x x >. 故当()12,,x x k ∈+∞时.()()12f x f x <.即函数在(),k +∞上单调递增．当()12,0,x x k ∈时.()()12f x f x >.即函数在()0,k 上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数.在关于原点对称的区间上具有相同的单调 性.故在(),k -∞-单调递增.在(),0k -上单调递减． 综上.函数f (x )在(),k -∞-和(),k +∞上单调递增.在(),0k -和()0,k 上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时.作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时.求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1.＋∞)上的单调性．解：任取x 1.x 2∈(1.＋∞).且x 1<x 2.则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----. 由于1<x 1<x 2.所以x 1－x 2<0.(x 1－1)(x 2－1)>0. 因此g (x 1)－g (x 2)<0.即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1.＋∞)上是增函数． 考点三 函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x .y ∈R .总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ).且当x >0时.f (x )<0.f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x .y ∈R .总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ).∴令x ＝y ＝0.得f (0)＝0. 再令y ＝－x .得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2.则x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时.f (x )<0.而x 1－x 2>0.∴f (x 1－x 2)<0.即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数.∴f (x )在[－3,3]上也是减函数. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2.f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2.最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小 2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x.若x 1∈(1,2).x 2∈(2.＋∞).则( ) A ．f (x 1)<0.f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0.f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0.f (x 2)<0D ．f (x 1)>0.f (x 2)>0解析：选 B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1.＋∞)上为增函数.且f (2)＝0.∴当x 1∈(1,2)时.f (x 1)<f (2)＝0.当x 2∈(2.＋∞) 时.f (x 2)>f (2)＝0.即f (x 1)<0.f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像.如图所示.则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a2－4)>f (3a ).可得a 2－4<3a .整理得a 2－3a －4<0.即(a ＋1)(a －4)<0.解得－1<a <4.所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠.都有()()12120f x f x x x -<-成立.则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞.2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞.2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数.于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩.由此解得a ≤138. 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式.然后根据函数的单调性去掉“f ”.转化为具体的不等式(组).此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时.若自变量的值不在同一个单调区间内.要利用其函数性质.转化到同一个单调区间上进行比较.对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1.＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a .当a ≤1时f (x )在[1.＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1.＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.若f (2－a 2)>f (a ).则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞.－1)∪(2.＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞.－2)∪(1.＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数.由题得2－a 2>a .解得－2<a <1. 3．用min{a .b .c }表示a .b .c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x.x ＋2,10－x }(x ≥0).则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x.y 2＝x ＋2.y 3＝10－x 中的较小者.作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数.则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a .＋∞)上是减函数.对于g (x ).只有当a >0时.它有两个减区 间为(－∞.－1)和(－1.＋∞).故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可.则a的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x ).满足f (－x )＋f (x )＝0.x 1.x 2.x 3∈R .且x 1＋x 2>0.x 2＋x 3>0.x 3＋x 1>0.则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0.∴f (－x )＝－f (x )． 又∵x 1＋x 2>0.x 2＋x 3>0.x 3＋x 1>0.∴x 1>－x 2.x 2>－x 3.x 3>－x 1.又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2).f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3).f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1). ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)．∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数.则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数．答案：[0.32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0.32]．8．设0<x <1.则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x 1－x .当0<x <1时.x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4. 三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0.＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1.＋∞)上恒成立.求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0.＋∞)时.f (x )＝a －1x.设0<x 1<x 2.则x 1x 2>0.x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2).即f (x )在(0.＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x<2x 在(1.＋∞)上恒成立.设h (x )＝2x ＋1x.则a <h (x )在(1.＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2.x ∈(1.＋∞).∴2－1x2>0.∴h (x )在(1.＋∞)上单调递增．故a ≤h (1).即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞.3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a .若x ∈[－2,2]时.f (x )≥0恒成立.求a 的取值范围． 解：设f (x )的最小值为g (a ).则只需g (a )≥0. 由题意知.f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2.即a >4时.g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0.得a ≤73.又a >4.故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2].即－4≤a ≤4时.g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2. 又－4≤a ≤4.故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2.即a <－4时.g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7. 又a <－4.故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数.且f (1)＝1.若a .b ∈[－1,1].a ＋b ≠0时. 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性.并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立.求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1.x 2∈[－1,1].且x 1<x 2. 则－x 2∈[－1,1].∵f (x )为奇函数. ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-.x 1－x 2<0.∴f (x 1)－f (x 2)<0.即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增.∴112111121111xxxx⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x<－1.(3)∵f(1)＝1.f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上.f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1.即m2－2am≥0.对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0.则g(a)＝0≥0.自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0.则g(a)为a的一次函数.若g(a)≥0.对a∈[－1,1]恒成立.必须g(－1)≥0. 且g(1)≥0.∴m≤－2.或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。
高中数学必修一之知识讲解-单调性与最大(小)值
单调性与最大（小）值【学习目标】1.理解函数的单调性定义；2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性． 【要点梳理】要点一、函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数；如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数.要点诠释：(1)属于定义域A 内某个区间上；(2)任意两个自变量12,x x 且12x x <； (3)都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或；(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 2．单调性与单调区间 （1）单调区间的定义如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D 上具有单调性，D 称为函数f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间； ④有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 3．函数的最大（小）值一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤（或()f x M ≥）；②存在0x I ∈，使得0()f x M =，那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（或最小值）. 要点诠释：①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量0x ，使0()f x 等于最值；②对于定义域内的任意元素x ，都有0()()f x f x ≤（或0()()f x f x ≥），“任意”两字不可省； ③使函数()f x 取得最值的自变量的值有时可能不止一个；④函数()f x 在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.4.证明函数单调性的步骤(1)取值.设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论.5.函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法；(3)对于复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦，若()t g x =在区间()a b ，上是单调函数，则()y f t =在区间()()()g a g b ，或者()()()g b g a ，上是单调函数；若()t g x =与()y f t =单调性相同（同时为增或同时为减），则()y f g x =⎡⎤⎣⎦为增函数；若()t g x =与()y f t =单调性相反，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦为减函数.要点二、基本初等函数的单调性 1．正比例函数(0)y kx k =≠当k>0时，函数y kx =在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx =在定义域R 是减函数. 2．一次函数(0)y kx b k =+≠当k>0时，函数y kx b =+在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx b =+在定义域R 是减函数.3．反比例函数(0)ky k x =≠ 当0k >时，函数ky x =的单调递减区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调增区间；当0k <时，函数ky x=的单调递增区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调减区间.4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠若a>0，在区间(]2b a -∞-，，函数是减函数；在区间[)2ba -∞，+，函数是增函数； 若a<0，在区间(]2b a -∞-，，函数是增函数；在区间[)2ba -∞，+，函数是减函数．要点三、一些常见结论(1)若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；(2)若()f x 和()g x 均为增（或减）函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增（或减)函数；(3)若()0f x >且()f x 为增函数，为增函数，1()f x 为减函数； 若()0f x >且()f x 为1()f x 为增函数. 【典型例题】类型一、函数的单调性的证明【高清课堂：函数的单调性 356705 例1】 例1．已知：函数1()f x x x=+ （1）讨论()f x 的单调性. （2）试作出()f x 的图像.【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 【解析】（1）设x 1，x 2是定义域上的任意实数，且x 1<x 2，则12121211f (x )f (x )x (x )x x -=+-+ 121211()(x -x +-)x x = 211212x x (x x )x x -=-+12121212121(x x )(1)x x x x 1(x x )()x x =---=-①当121x x <<-时，x 1-x 2<0，1<x 1x 21212x x 10x x -∴>，故121212x x (x x )()0x x -1-⋅<，即f(x 1)-f(x 2)<0∴x 1<x 2时有f(x 1)<f(x 2)()1f (x)x x∴=+∞在区间-,-1上是增函数. ②当-1<x 1<x 2<0 ∴x 1-x 2<0，0<x 1x 2<1 ∵0<x 1x 2<1 1212x x 10x x -∴<故121212x x (x x )()0x x -1-⋅>，即f(x 1)-f(x 2)>0 ∴x 1<x 2时有f(x 1)>f(x 2)()1f (x)x x∴=+在区间-1,0上是减函数. 同理：函数()1f (x)x x =+在区间0,1是减函数, 函数()1f (x)x x =+∞在区间1,+是增函数.（2）函数1()f x x x =+的图象如下【总结升华】（1）证明函数单调性要求使用定义； （2）如何比较两个量的大小？(作差)（3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) ■举一反三：【变式1】讨论函数()(0)af x x a x=+>的单调性，并证明你的结论.【解析】设120x x <<120x x -<，1212120,0,0x x x x a x x a ><<∴-<.121212121212()()()()0x x x x a a a f x f x x x x x x x --∴-=+--=>，即12()()f x f x >. ()f x ∴在(上单调递减.同理可得()f x在)+∞上单调递增；在(,-∞上单调递增；在)⎡⎣上单调递减.故函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增；在)⎡⎣和(上单调递减.类型二、求函数的单调区间例2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x 2-3|x|+2；(2)|1|y x =-【思路点拨】 对x 进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。
高中数学必修1《单调性与最大(小)值》必备知识点讲解
高中数学必修1《单调性与最大(小)值》必备知识点讲解一、情景问题如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32C），观察这张气温变化图：问：该图形是否为函数图像？定义域是什么？问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？画出函数f(x)=x和f(x)=x2的图像可观察到的图像特征： （1）函数f(x)=x 的图像由左至右是上升的； （2）函数f(x)=x2的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；也就是图像在区间(-∞,0]上，随x 着的增大，相应的f(x) 随着减小，在区间(0,+∞)上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大.归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图像的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同.函数图像的这种变化规律就是函数性质的反映.思考：1．如何用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”，“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大”？2.在区间(0,+∞)上任取x1,x2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？对于函数f(x)=x2 ，在区间(0,+∞)上，任取两个x1,x2，当x1 x2时，有f(x1) f(x2).这时，我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数.请你仿照刚才的描述，说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0)上是减函数.对于函数f(x)=x2 ，在区间(0,+∞)上，任取两个x1,x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2).这时，我们就说函数在区间(0,+∞)上是增函数.一、函数的单调性1.增函数的定义设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是增函数（increasing function）.<="" span=""></x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是增函数（increasing>2.减函数的定义设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数（decreasing function）.3．对定义要点分析1）函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的;2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）.3）如果函数y=f(x)在某一区间D上是增(减)函数，就说f(x)在这个区间D上具有单调函数，这一区间D叫做f(x)的单调区间.说明：(1)函数的单调区间D是其定义域I的子集；(2)判断函数的单调性的方法：比较法（要注意变形的程度）(3)证明函数的单调性的步骤：（1）增减函数的图像有什么特点？增函数的图像从左自右是上升的，减函数的图像从左自右是下降的.（2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点“在给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的大小.（3）如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解10---单调性与最大(小)值
高一数学复习考点知识与题型专题讲解第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值【考点梳理】重难点：单调性考点一：增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．考点二：二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．重难点：函数的最大(小)值考点一函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②函数y＝f(x)图象上最低点的纵∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M坐标考点二 求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )． (2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．【题型归纳】题型一：函数单调性的判定与证明1．（2021·高平市第一中学校高一开学考试）已知函数()2a f x x x =-，且1()2f ＝3. （1）求a 的值；（2）判断函数f (x )在[1，+∞)上的单调性，并证明．2．（2020·金华市云富高级中学高一月考）（1）求证：y =-x ²+1在区间[0，+∞)上为减函数. （2）画出函数y =-x ²+2|x |+3的图像，并指出函数的单调区间.3．（2021·上海高一专题练习）已知函数()()0x af x a ax-=>．证明：函数()y f x =在()0,∞+上严格增函数.题型二：根据函数的单调性求参数范围4．（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）若函数2()2(1)2f x x a x =+-+，在(],5-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(],5-∞-B ．[)5,+∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞-5．（2021·全国高一单元测试）已知函数25,1(),1x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,0-B ．(],2-∞- C ．[]3,2--D ．(),0-∞ 6．（2021·全国）函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(2,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞题型三：复合函数的单调性7．（2021·全国）函数23s x x =+的单调递减区间为（ ） A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞- 8．（2021·全国）以下函数在其定义域上为增函数的是（ ） A ．1(0)x y x x +=>B ．2(0)y x x x =+> C ．1y x =-D ．2y x =-9．（2020·黑龙江鹤岗一中）函数()212x f x x=-的单调递增区间是（ ）A ．(,1]-∞B ．(,0)-∞，(0,1)C ．(,0)(0,1)-∞D ．(1,)+∞题型四：根据函数的单调性解不等式10．（2020·沧源佤族自治县民族中学高一月考）设a R ∈，已知函数()y f x =是定义在[]4,4-上的减函数，且()()12f a f a +>，则a 的取值范围是（ ） A ．[)4,1-B ．(]1,4C ．(1,2]D ．[]5,2-11．（2020·淮北市树人高级中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．1233⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．1223⎛⎫⎪⎝⎭，D ．1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，12．（2020·江苏省板浦高级中学高一月考）已知奇函数()f x 在(),0-∞上单调递增的，且()30f =，则不等式()()10x f x ->的解集为（ ）A ．()3,1--B ．()()3,12,--+∞C ．()()3,03,-⋃+∞D ．()(),33,(0,1)-∞-+∞．题型五：根据函数的单调性求值域13．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）函数()12f x x x=-在区间[]1,2上的最小值是（ ）A ．72-B ．72C ．1D ．-114．（2021·全国高一单元测试）若“[1x ∃∈，2]，使2210x x λ--<成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(-∞，7]2B ．3[2，7]2C ．(-∞，1]D ．7[2，)+∞ 15．（2021·上海高一专题练习）已知函数()1[]226f x x x ∈-＝（，），则f (x )的最大值为（ ）． A ．13B ．12C ．1D ．2题型六：根据函数的值域求参数范围 16．（2021·浙江）若函数()2=1x mf x x ++在区间[]0,1上的最大值为52，则实数m =（ ）A ．3B ．52C ．2D ．52或317．（2020·宜城市第三高级中学）函数2y ax =+在[1，2]上的最大值与最小值的差为3，则实数a 为（ ） A ．3B ．-3C ．0D ．3或-3 18．（2020·湖北）已知函数()()212,02,0a x a x f x x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩有最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦题型七：函数不等式恒成立问题19．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）函数211()()1x ax f x a R x ++=∈+，若对于任意的*N x ∈，()3f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,-+∞20．（2021·全国高一单元测试）设二次函数()2f x x ax b =++，若存在实数a ，对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，使得不等式()f x x <成立，则实数b 的取值范围是（ ） A ．1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,34⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．19,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．19,34⎛⎫- ⎪⎝⎭21．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）若函数243y kx kx =++对任意x ∈R 有0y >恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【双基达标】一、单选题22．（2019·云南省楚雄天人中学高一月考）函数()21f x x =-，[)1,1x ∈-，则()f x 的值域为（ ）A ．{}3,1-B ．(]3,1-C ．[]3,1-D ．[)3,1-23．（2021·沧源佤族自治县民族中学高一期末）已知函数4,(,]1xy x a b x +=∈+的最小值为2，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．[1,2)D ．[1,2)-24．（2020·内蒙古杭锦后旗奋斗中学）若函数()()2211f x x a x =+-+在(],2-∞上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．)5,2⎡-+∞⎢⎣D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦25．（2020·杭州之江高级中学高一期中）函数()11f x x =+中，有（ ） A ．()f x 在()1,-+∞上单调递增B ．()f x 在()1,+?上单调递减 C ．()f x 在()1,+?上单调递增D ．()f x 在()1,-+∞上单调递减26．（2021·全国高一专题练习）已知f (x )＝x ，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝(),()(),(),()(),g x f x g x f x f x g x ≥⎧⎨<⎩则F (x )的最值情况是（ ）A ．最大值为3，最小值为－1B ．最小值为－1，无最大值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值27．（2021·全国高一专题练习）设偶函数f (x )在区间(-∞，-1]上单调递增，则（ ） A ．3()2f -<f (-1)<f (2)B ．f (2)<3()2f -<f (-1) C ．f (2)<f (-1)<3()2f -D ．f (-1)<3()2f -<f (2)28．（2021·全国高一专题练习）甲：函数()f x 是R 上的单调递减函数；乙：()()1212x x f x f x ∃<>,，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件29．（2021·全国高一课前预习）当0x >时，()31x k k x +≥+，则k 的取值范围为（ ）A ．{}2B ．(]0,2C ．(],2-∞D ．[)2,+∞ 30．（2021·全国高一专题练习）已知(31)4,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,,73⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【高分突破】一：单选题31．（2021·全国）已知函数1()ax f x x a-=-在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，2]D ．(-∞，1)(1-⋃，2)32．（2021·全国高一单元测试）函数()()2213f x x m x =-+-+在区间(]3,4-上单调递增，则m的取值范围是有（ ）A ．[3,)-+∞B ．[3,)+∞C ．(,5]-∞D ．(,3]-∞- 33．（2021·全国高一专题练习）已知函数()21xf x x=+的定义域为[)2,+∞，则不等式()()22228f x f x x +>-+的解集为 （ ）A ．5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)2,3C ．(),3-∞D ．()3,+∞34．（2021·全国高一专题练习）已知函数()f x 在R 上为增函数，若不等式()2()43f x a f x ≥-+--对(]0,3x ∀∈恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[)1,-+∞B ．()3,+∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞35．（2021·全国高一专题练习）已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩则不等式()()324f x f x +<-的解集为（ ） A ．(),3-∞-B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(),1-∞-D ．(),1-∞36．（2021·全国高一专题练习）在R 上定义运算：a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若不等式1211x a a x --⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．12-B ．32-C ．12D ．32二、多选题37．（2021·全国高一课时练习）下列函数中满足“对任意x 1，x 2∈（0，＋∞），都有1212()()f x f x x x--＞0”的是（ ）A ．f （x ）＝－2xB ．f （x ）＝－3x ＋1C ．f （x ）＝x 2＋4x ＋3D ．f （x ）＝x －1x38．（2021·全国高一专题练习）已知函数()21f x x =-+（[]2,2x ∈-），2()2gx x x =-，（[]0,3x ∈），则下列结论正确的是（ ）A ．[]2,2x ∀∈-，()f x a >恒成立，则实数a 的取值范围是(),3-∞-B ．[]2,2x ∃∈-，()f x a >恒成立，则实数a 的取值范围是(),3-∞-C ．[]0,3x ∃∈，()g x a =，则实数a 的取值范围是[]1,3-D ．[]2,2x ∀∈-，[]0,3t ∃∈，()()f x g t =39．（2021·全国高一单元测试）给出下列命题，其中错误的命题是 （ ） A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,4； B ．函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞⋃+∞；C ．已知函数()f x 是定义域上减函数，若()()f m f n >，则m n <；D ．两个函数11y x x =+⋅-，21y x =-表示的是同一函数.40．（2021·全国高一课时练习）函数()f x 的定义域为R ，对任意的1x ，2x ∈R 都满足()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 在R 上是单调递减函数B ．()()()212f f f -<<C ．()()12f x f x +<-+的解为12x <D ．()00=f三、填空题41．（2020·金华市云富高级中学高一月考）函数y =1x -+3x +的最大值为__________. 42．（2021·浙江杭州市·学军中学高一竞赛）若函数()|21|||2f x x x a =++--的定义域为R ，则a 的取值范围是_____________． 43．（2021·全国高一课时练习）函数232()(20)3x x f x x x ++=-<<+的值域为______ 44．（2021·广东潮州·高一期末）已知函数()223f x x ax =-+在区间[]28,是单调递增函数，则实数a 的取值范围是______．45．（2020·杭州之江高级中学高一期中）已知函数()()25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．四、解答题46．（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）已知函数2()4.f x x x =- （1）证明函数()f x 在区间[)2,+∞上的单调性；（2）若函数()f x 在区间[0,5]上的最大值为M ，最小值为m ，求mM的值.47．（2019·罗平县第二中学高一期中）设函数()21x f x x +=-. （1）用函数单调性定义证明：函数()f x 在区间()1,+?上是单调递减函数； （2）求函数()f x 在区间[]3,5上的最大值和最小值.48．（2019·长沙市南雅中学高一月考）设函数()22f x mx mx =--.（1）若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围.49．（2021·全国高一专题练习）定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且当1x >时，()0f x <． （1）求()1f ；（2）证明()f x 在(0,)+∞上单调递减；（3）若关于x 的不等式()(3)(931)1x x x f k f f --+≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案详解】1． 【详解】(1)函数()2a f x x x =-中，因1()2f =3，则12232a ⋅-=，解得1a =-， 所以a 的值是1-；(2)由(1)知：1()2f x x x=+，f (x )在[1，+∞)上的单调递增，12,[1,)x x ∀∈+∞，且12x x <，12112121221112(2)()(()(2))x x x x x x x x f x f x +-+=---=， 因211x x >≥，则120x x -<，且12120->x x ，即有12())0(f x f x -<，12()()f x f x <， 所以f (x )在[1，+∞)上的单调递增. 2． 【详解】（1）证明：设任意0≤x 1<x 2，则y 1−y 2=x 22−x 21=(x 2−x 1)(x 2+x 1)>0，21210,0x x x x ->+>∴y 1>y 2，∴函数y =−x ²+1在区间[0，+∞)上是减函数. （2）作出函数图象如图所示：增区间为：(−∞，−1)，(0，1)， 减区间为：(−1，0)，(1，+∞). 3．任取120x x <<，所以()()1212121212x a x a x xf x f x ax ax x x ----=-=，因为120x x <<，所以12120,0x x x x <->，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <， 所以函数()y f x =在()0,∞+上严格增函数. 4．D 【详解】因为()f x 的对称轴为1x a =-且开口向上，且在(],5-∞上是减函数， 所以15a -≥，所以4a ≤-， 故选：D. 5．C 【详解】解：若25,1(),1x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则应满足21201151a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤，即[]3,2a ∈--. 故选：C 6．B 【详解】1(2)2112()222ax a x a af x a x x x ++-+-===++++，依题意有120a -<，即12a >，所以实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：B. 7．D 【详解】由230x x +≥得3x ≤-或0x ≥，即函数23s x x =+的定义域为(][),30,-∞-⋃+∞， 又二次函数23t x x =+的图象的对称轴方程为32x =-，所以函数23t x x =+（x ∈(][),30,-∞-⋃+∞）在区间(],3-∞-上单调递减， 在区间[)0,+∞上单调递增，又函数(0)y t t =≥为增函数， 所以23s x x =+的单调递减区间为(],3-∞-． 故选：D 8．B 【详解】解：对于A 选项，111(0)x y x x x +==+>，由于反比例函数()10y x x=>为减函数，故1(0)x y x x+=>为减函数，A 选项错误； 对于B 选项，2(0)y x x x =+>的对称轴为102x =-<，开口向上，故2(0)y x x x =+>为增函数，B 选项正确；对于C 选项，由于()11y x x =-≤上是减函数，故由复合函数的单调性得1y x =-为定义域(],1-∞上的减函数，C 选项错误；对于D 选项，2y x =-为减函数，故D 选项错误. 故选：B. 9．B 【详解】由220t x x =-≠，可知函数22t x x =-开口向上，对称轴x 1=，x 0≠且x 2≠． 因为函数22t x x =-在区间(,0)-∞，(0,1)上单调递减， 所以原函数() f x 的单调递增区间(,0)-∞，(0,1)．故选:B ． 10．C 【详解】∵函数()y f x =是定义在[]4,4-上的减函数，且()()12f a f a +>， ∴4124a a -+<≤≤，解得12a <≤， 故选：C ． 11．A 【详解】因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x =，所以()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价于()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以1213x -<，即112133x -<-<，解得：1233x <<，所以原不等式的解集为1233⎛⎫⎪⎝⎭，，故选：A. 12．D 【详解】因为奇函数()f x 在(),0-∞上单调递增的，且()30f =，所以奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增的，且()3(3)0f f -==，所以有：（1）当0x >时，因为()30f =，所以当3x >时，()0f x >，当03x <<时，()0f x <， 当1x >时，由()()10()03x f x f x x ->⇒>⇒>，当01x <<时，由()()10()03x f x f x x ->⇒<⇒<，所以01x <<，（2）当0x <时，因为()30f -=，所以当03x >>-时，()0f x >，当3x <-时，()0f x <， 因此由()()10()03x f x f x x ->⇒<⇒<-，综上所述：由()()10x f x ->⇒()(),33,(0,1)-∞-+∞， 故选：D 13．A 【详解】∵函数()f x 在[]1,2上为减函数， ∴()()min 1722222f x f ==-⨯=-. 故选：A. 14．C 【详解】解：若“[1x ∃∈，2]，使得2210x x λ--<成立”是假命题， 即“[1x ∃∈，2]，使得12x x λ>-成立”是假命题， 故[1x ∀∈，2]，12x x λ-…恒成立，令1()2f x x x=-，[1x ∈，2]，所以()f x 是增函数（增函数+增函数=增函数）， 所以min ()(1)1f x f ==，1λ∴…，故选：C ． 15．D 【详解】因为2y x ＝在()0+∞，上单减，所以21y x -＝在()1+∞，上单减， 即21y x -＝在[]2,6上单减， 所以f (x )的最大值为()22=221f -＝. 故选：D 16．B 【详解】 函数()21x m f x x +=+，即()221m f x x -=++，[]0,1x ∈， 当2m =时，()2f x =不成立；当20m ->，即2m >时，()f x 在[]0,1递减，可得()0f 为最大值， 即()05012m f +==，解得52m =成立；当20m -<，即2m <时，()f x 在[]0,1递增，可得()1f 为最大值， 即()25122m f +==，解得3m =不成立； 综上可得52m =． 故选：B ． 17．D 【详解】解：①当0a =时，2=2y ax =+，不符合题意；②当0a >时，2y ax =+在[]1,2上递增，则()()2223a a +-+=，解得3a =； ③当0a <时，2y ax =+在[]1,2上递减，则()()2223a a +-+=，解得3a =-．综上，得3a =±， 故选：D ． 18．C 【详解】如图所示可得：10,21,a a -<⎧⎨≥-⎩或10a -=，解得：1,12a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故选：C.19．A 【详解】对任意*x ∈N ，()3f x ≥恒成立，即21131x ax x ++≥+恒成立，即知83a x x ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭．设8()g x x x =+，*x ∈N ，则(2)6g =，17(3)3g =．∵(2)(3)g g >，∴min 17()3g x =， ∴8833x x ⎛⎫-++≤- ⎪⎝⎭，∴83a ≥-，故a 的取值范围是8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．故选：A. 20．D 【详解】由题意，对于任意1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()f x x <成立，所以1b x a x ++<即11b x a x -<++<对于任意1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以只需()1,,22b g xx x x ⎡⎤=+⎢⎣∈⎥⎦的最大值与最小值的差小于2即可，当4b ≥时，()g x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()()1113222122222g g b b b ⎛⎫-=+--=-< ⎪⎝⎭，解得73b <，不合题意；当14b ≤时，()g x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()()1321222g g b ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，所以1,341b ⎛⎤ ⎥⎝-⎦∈；当144b <<时，()g x 在1,2b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2b ⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()()()222221122222b g g b b g g b b b ⎧-=+-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，所以19,44b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 综上，19,34b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.21．A 【详解】由题意，函数243y kx kx =++对任意x ∈R 有0y > （1）当0k =时，30y =>成立；（2）当0k ≠时，函数为二次函数，若满足对任意x ∈R 有0y >，则2030161204k k k k >⎧∴<<⎨∆=-<⎩综上：30,4k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：A 22．D 【详解】因为函数()21f x x =-，在[)1,1x ∈-上递增， 所以()f x 的值域为[)3,1-， 故选：D 23．D 【详解】 由41331111x x y x x x +++===++++作出图象， 如图，由图象可得要取得最小值2，则1a ≥-；∵在区间(,]a b 上单调递减，则x b =时，取得最小值为2，即311b =+，可得2b =， ∴a 的取值范围为[1,2)-24．B 【详解】函数()()2211f x x a x =+-+的单调递减区间是21(,]2a --∞-， 依题意得(]21,2(,]2a --∞⊆-∞-，于是得2122a --≥，解得32a ≤-，所以实数a 的取值范围是3(,]2-∞-. 故选：B 25．D 【详解】解：函数1y x =的图象向左平移1个单位可得函数11y x =+的图象， 因为函数1y x =在(),0-?和()0,+?上单调递减，则函数11y x =+在(),1-∞-和()1,-+∞上单调递减． 故选：D ． 26．D 【详解】由f (x )≥g (x )得0≤x ≤3；由f (x )<g (x )，得x <0，或x >3，所以()2,02,03,3x x F x x x x x x <⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩易得F (x )无最大值，无最小值． 故选：D 27．B 【详解】因函数f (x )为偶函数，于是有f (-x )=f (x )，从而得f (2)=f (-2)， 又f (x )在区间(-∞，-1]上单调递增，且-2<32-<-1， 所以f (2)=f (-2)<3()2f -<f (-1). 故选：B 28．A 【详解】函数()f x 是R 上的单调递减函数，则1212,()()∃<>x x f x f x ，由减函数定义知，此命题是真命题，即命题：“若甲则乙”是真命题；反之，()()1212x x f x f x ∃<>,，则函数()f x 是R 上的单调递减函数，条件与减函数定义不符，即命题：“若乙则甲”是假命题， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 29．A 【详解】解：不等式()31x k k x +≥+可化为()()()211x x x k x -+≥-． 当01x <<时，2k x x ≥+，可得 2k ≥； 当1x =时，00≥，k ∈R ； 当1x >时，2k x x ≤+，可得 2k ≤． 综上，k 的取值范围为{}2． 故选：A ． 30．C 【详解】因为函数(31)4,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩是定义在R 上的减函数， 所以310,31411a a a -<⎧⎨-+≥-+⎩，解得1173a ≤<.所以实数a 的取值范围为11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C. 31．C 【详解】解：根据题意，函数221()11()ax a x a a a f x a x a x a x a--+--===+---，若()f x 在区间(2,)+∞上单调递减，必有2102a a ⎧->⎨⎩…，解可得：1a <-或12a <…，即a 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，2]， 故选：C ．【详解】解：因为函数()()2213f x x m x =-+-+，开口向下，对称轴为1x m =-，依题意14m -≥，解得3m ≤-，即(],3m ∈-∞- 故选：D 33．C 【详解】因为()2111x f x x x x==++，可知()f x 在[)2,+∞上单调递减，所以不等式()()22228f x f x x +>-+成立，即2222222823228x x x x x x x ⎧+≥⎪-+≥⇒<⎨⎪+<-+⎩. 故选：C. 34．D 【详解】因为函数()f x 在R 上为增函数，则不等式()2()43f x a f x ≥-+--对(]0,3x ∀∈恒成立，即243x a x -+≥--对(]0,3x ∀∈恒成立， 所以243a x x ≥-+-对(]0,3x ∀∈恒成立， 令()()224321g x x x x =-+-=--+， 当(]0,3x ∈，则()()(]2213,1g x x =--+∈-，所以1a ≥，故a 的取值范围为[)1,+∞.35．A 【详解】易得函数()f x 在R 上单调递增，则由()()324f x f x +<-可得324x x +<-，解得3x <-， 故不等式的解集为(),3-∞-. 故选：A ． 36．D 【详解】由a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1211x a a x --⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭即(1)(2)(1)1x x a a ---+≥，所以221a a x x --≤-恒成立， 在R 上2x x -的最小值为14-，所以2114a a --≤-，整理可得(21)(23)0a a +-≤， 解得1322a -≤≤，实数a 的最大值为32， 故选：D 37．ACD因为“对任意x 1，x 2∈（0，＋∞），都有1212()()f x f x x x --＞0” 所以不妨设0< x 1<x 2,都有12()()f x x <, 所以f （x ）为（0，＋∞）上的增函数.对于A ：f （x ）＝－2x在（0，＋∞）上为增函数,故A 正确; 对于B ：f （x ）＝－3x ＋1在（0，＋∞）上为减函数,故B 错误;对于C ：f （x ）＝x 2＋4x ＋3对称轴为x =-2,开口向上,所以在（0，＋∞）上为增函数,故C 正确;对于D ：f （x ）＝x －1x ,因为1y x =在（0，＋∞）上为增函数, 21y x=-在（0，＋∞）上为增函数,所以f （x ）＝x －1x在（0，＋∞）上为增函数, 故D 正确; 故选:ACD 38．AC 【详解】在A 中，因为()[]()212,2f x x x =-+∈-是减函数，所以当2x =时，函数取得最小值，最小值为3-，因此3a <-，A 正确；在B 中，因为()[]()212,2f x x x =-+∈-减函数，所以当2x =-时，函数取得最大值，最大值为5，因此5a <，B 错误；在C 中，[]22()2(1)1(0,3)g x x x x x =-=--∈，所以当1x =时，函数取得最小值，最小值为1-，当3x =时，函数取得最大值，最大值为3，故函数的值域为[]1,3-，由()g x a =有解，知[]1,3a ∈-，C 正确；在D 中，[][]2,2,0,3,()()x t f x g t ∀∈-∃∈=等价于()f x 的值域是()g t 的值域的子集，而()f x 的值域是[]3,5-，()g t 的值域[]1,3-，D 错误. 故选：AC 39．ABD函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 中，[]20,2x ∈，即[]0,1x ∈，函数()2f x 的定义域为[]0,1，故A 错误；函数()1f x x=图象不连续，故其单调递减区间是()(),0,0,-∞+∞，故B 错误；函数()f x 是定义域上减函数，由单调性知()()f m f n >时，有m n <，即C 正确； 函数11y x x =+⋅-定义域为[)1,+∞，函数21y x =-定义域为(][),11,-∞-+∞，故不是同一函数，即D 错误. 故选：ABD. 40．BC 【详解】解：由()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，得()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 所以()f x 在R 上单调递增，所以A 错，因为()f x 为R 上的递增函数，所以()()()212f f f -<<，所以B 对，因为()f x 在R 上为增函数，()()112122f x f x x x x +<-+⇔+<-+⇒<，所以C 对函数R 上为增函数时，不一定有()00=f ，如()2x f x =在R 上为增函数，但(0)1f =，所以D 不一定成立，故D 错． 故选：BC 41．22 【详解】 由1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，解得31x -≤≤，即函数的定义域为[]3,1-，()()()2242134214y x x x =+-+=+-++，当1x =-时，2y 取得最大值8，即max 22y =.故答案为： 2242．][53,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭因为函数()|21|||2f x x x a =++--的定义域为R ，所以|21|||2x x a ++-≥恒成立，令1()|21|||2||||2g x x x a x x a =++-=++-，当12a -<时，31,1()1,2131,2x a x a g x x a x a x a x ⎧⎪+->⎪⎪=++-<≤⎨⎪⎪-+-≤-⎪⎩，故当12x =-时，min 1()22g x a =+≥即可，解得32a ≤，当12a <-时，131,21()1,231,x a x g x x a a x x a x a ⎧+->-⎪⎪⎪=---<≤-⎨⎪-+-≤⎪⎪⎩，当12x =-时，min 1()22g x a =--≥，解得52a ≤-， 当12a =-时，1()3||22g x x =+≥不恒成立.综上，52a ≤-或32a ≤.故答案为：][53,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭43．2[223,)3-【详解】2322()33,(20)33x x f x x x x x ++==++--<<++， 令3(1,3)t x =+∈，因为2y t t=+在(1,2)单调递减，在(2,3)单调递增，所以222t t+≥，当1t =时，23y t t =+=，当3t =时，2113y t t =+=所以()f x ∈2[223,)3-，即值域为：2[223,)3-.故答案为：2[223,)3-44．2a ≤ 【详解】函数()223f x x ax =-+的对称轴是x a =，开口向上，若函数()223f x x ax =-+在区间[]28,是单调递增函数，则2a ≤，故答案为：2a ≤． 45．[]3,2--解：要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(],1-∞上递增，在()1,+?上递增，且21151a a --⨯-≤，所以有21201151a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤，故a 的取值范围为[]3,2--． 故答案为：[]3,2--． 46．（1）函数()f x 在区间[)2,+∞上单调递增； 设任意的[)12,2,x x ∈+∞，且12x x >，则()()()222212112212214444f x f x x x x x x x x x -=---=-+-()()()()()121212121244x x x x x x x x x x =-+--=-+-，因为12x x >，[)12,2,x x ∈+∞，所以120x x ->，1240x x +->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以函数()f x 在区间[)2,+∞上的单调递增； （2）函数2()4f x x x =-对称轴为2x =，开口向上， 所以函数()f x 在区间[0,2]上单调递减，在[2,5]上单调递增；所以()()2min 22424f x f ==-⨯=-，()00f =，()255455f =-⨯=，所以函数()f x 在区间[0,5]上的最大值为5M =，最小值为4m =-， 所以4455m M -==-. 47．（1）证明：设211x x >>,由题有()()()()()21121212123221111x x x x f x f x x x x x -++-=-=----, ∵211x x >>,∴210x x ->, 110x ->, 210x ->,∴()()120f x f x ->, 即()()12f x f x >,∴函数()f x 在区间()1,+?上是单调递减函数. （2）由（1）可知()f x 在区间[]3,5上单调递减, ∴()f x 的最大值为()532f =, 最小值为()754f =. ∴函数()f x 在区间[]3,5上的最大值为52, 最小值为74. 48．（1）()22f x mx mx =--，()0f x <220mx mx --<10m =，()2f x =-()0f x <恒成立 22080m m m <⎧⎨+<⎩080m m <⎧⇒⎨-<<⎩80m ⇒-<<综上(]8,0m ∈-(2)225mx mx m --<-+27mx mx m -+<()217m x x -+<271m x x <-+∵[]1,3x ∈ ∴[]211,7x x -+∈∴[]271,71x x ∈-+∴1m <，(),1m ∈-∞ 49．解：（1）()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()1f 2f =（1）f ∴（1）0=；证明：（2）由()()()f xy f x f y =+可得()()()y f f y f x x =-，设120x x >>，1122()()()x f x f x f x -=，121x x >， ∴12()0x f x <，即12())0(f x f x -< 12()()f x f x ∴<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减； （3）因为()(3)(931)1x x x f k f f --+≥，所以(3)(931)x x xf k f ≥-+，由（2）得·3931(*)·30x x x x k k ⎧≤-+⎨>⎩恒成立， 令30x t =>，则(*)可化为2(1)10t k t -++≥对任意0t >恒成立，且0k >， 11k t t ∴+≤+，又12t t+≥， ∴12k +≤，即1k ≤，01k ∴<≤．。
3函数的基本性质
1.3 函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值（一）课型：新授课教学目标：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。
教学难点：理解概念。
教学过程：一、复习准备：1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大、最小值？③函数图象是否具有某种对称性？3. 画出函数f(x)= x、f(x)= x2的图像。
（小结描点法的步骤：列表→描点→连线）二、讲授新课：前面学习了函数的概念、表示，接下来我们将学习1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：①根据f(x)＝x、f(x)＝x2(x>0)的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎样变化？当x1>x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系怎样？②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→区间局部性、取值任意性⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。
⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性2.教学增函数、减函数的证明：例1．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？1、例题讲解例1（P29例1）如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？例2：（P29例2）物理学中的玻意耳定律kpV=（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.例3．判断函数21yx=-在区间[2，6] 上的单调性三、巩固练习：1.求证f(x)＝x＋x1的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。
单调性与最大(小)值
3、最小值定义
谢谢！
设计意图
通过例题的讲解，让学生充 分理解单调性的概念并初步了解 函数单调性的应用，提高学生的 学习兴趣。
四、教学过程
3、观察对比，探究新知（10分钟）
探 究： 画出反比例函数y=1/x的图象。
(1)这个函数的定义域I是什么？ (2)它在定义域I上的单调性是怎样的？ 再观察对比 图1中的图象(1)和图象(2)它 们的图象有什么区别？
定义：
一般地，设f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数； 如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 减函数。
设计意图：即时训练，使学生及时认识
到自己对知识的掌握情况。
四、教学过程
6、总结归纳，布置作业（3分钟）
提出问题，引导学生回顾定义 及其证明方法，鼓励学生积极回 答，带引学生总结归纳函数单调 性的判定方法和注意事项，了解 函数单调性的应用。
课后作业：
必做题：A组第1，第2题。
选做题：A组第3题。
设计意图
可以发现： 二次函数的图象上有有一个最低 点（0,0），即对于任意的x∈R，都 有f(x) ≥f(0).
当一个函数的图象有最低点时，我们 就说函数f(x)有最小值。
概括 定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为I， 如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I,都有f(x) ≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M。 那么，我们称M是y=f(x)的最小值
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（1）证明函数单调性要求使用定义；
（2）如何比较两个量的大小？(作差)
（3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)
举一反三：
【变式1】（2014福建南安期中）
已知函数 ．
（Ⅰ）判断函数 在 上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（Ⅱ）若 ，求函数 在 上的值域．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
基本方法：观察图形或依据定义.
3．函数的最大（小）值
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
(1)对于任意的 ，都有 （或 ）；
(2)存在 ，使得 ，那么，我们称 是函数的最大值（或最小值）.
如果对于 内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间 上是减函数.
要点诠释：
（1）属于定义域A内某个区间上；
（2）任意两个自变量 且 ；
（3）都有 ；
（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在ห้องสมุดไป่ตู้间 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间 上具有单调性， 称为函数f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
要点诠释：
①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
(2)定义域为 ，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则 上为减函数；
(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， 单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；
【高清课堂：函数的单调性356705例3】
（4）先画出y=x2-2x-3，然后把 轴下方的部分关于 轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如下图
，故 ，即f(x1)-f(x2)<0
∴x1<x2时有f(x1)<f(x2)
上是增函数.
②当-1<x1<x2<0 ∴x1-x2<0，0<x1x2<1
∵0<x1x2<1
故 ，即f(x1)-f(x2)>0
∴x1<x2时有f(x1)>f(x2)
上是减函数.
同理：函数 是减函数, 函数 是增函数.
（2）函数 的图象如下
【答案】（1）f(x)在 上递减，在 上递减，在 上递增.
（2）f(x)在 上递增.
【解析】(1)由图象对称性，画出草图
∴f(x)在 上递减，在 上递减，在 上递增.
(2)
∴图象为
∴f(x)在 上递增.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
(1)y=|x+1|；(2) (3) ；（4）y=|x2-2x-3|.
【答案】（1）函数的减区间为 ，函数的增区间为(-1，+∞)；（2） 上为减函数；（3） 单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；(4)单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）．
【解析】(1) 画出函数图象，
∴函数的减区间为 ，函数的增区间为(-1，+∞)；
若a>0，在区间 ，函数是减函数；在区间 ，函数是增函数；
若a<0，在区间 ，函数是增函数；在区间 ，函数是减函数．
要点三、一些常见结论
(1)若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
(2)若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减)函数；
(3)若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量 ，使 等于最值；
②对于定义域内的任意元素 ，都有 （或 ），“任意”两字不可省；
③使函数 取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数 在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.
4.证明函数单调性的步骤
要点二、基本初等函数的单调性
1.正比例函数
当k>0时，函数 在定义域R是增函数；当k<0时，函数 在定义域R是减函数.
2.一次函数
当k>0时，函数 在定义域R是增函数；当k<0时，函数 在定义域R是减函数.
（2）反比例函数
当 时，函数 在区间 上是减函数；
当 时，函数 在区间 上是增函数.
4.二次函数
(1)取值.设 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
(4)得出结论.
5.函数单调性的判断方法
(1)定义法；
(2)图象法；
(3)对于复合函数 ，若 在区间 上是单调函数，则 在区间 或者 上是单调函数；若 与 单调性相同（同时为增或同时为减），则 为增函数；若 与 单调性相反，则 为减函数．
单调性与最大（小）值
【学习目标】
1.理解函数的单调性定义；
2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性．
【要点梳理】
要点一、函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间
如果对于 内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间 上是增函数；
【典型例题】
类型一、函数的单调性的证明
【高清课堂：函数的单调性356705例1】
例1.已知：函数
（1）讨论 的单调性.
（2）试作出 的图象.
【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
【解析】
（1）设x1，x2是定义域上的任意实数，且x1<x2，则
①当 时，x1-x2<0，1<x1x2
【解析】（Ⅰ）当 时，任取 ，
因为 ， ， ，
所以 ，得 ，故函数 在 上是减函数；
（Ⅱ）当 时，由（1）得 在 上是减函数,
从而函数 在 上也是减函数，
, .
由此可得，函数 在 上的值域为 ．
类型二、求函数的单调区间
例2.判断下列函数的单调区间；
(1)y=x2-3|x|+2；(2)
【思路点拨】对 进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。
所以y=|x2-2x-3|的单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.■