人教A版(2019)数学必修(第二册):10.2 事件的相互独立性 教案
事件的相互独立性 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
-
B.
22
课堂精炼
【训练 3】 某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率是 0.96,乙机 床的次品率是 0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,试求: (1)两件产品都是正品的概率; (2)恰有一件是正品的概率; (3)至少有一件是正品的概率.
解 用 A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”,用 B 表示“从乙机床生产的 产品中抽得正品”,用 C 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”,用 D 表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”, 则 C=(AB-)∪(A-B),D=C∪(AB). (1)由题意知,A 与 B 是相互独立事件,
24
课堂精炼
【训练 3】 某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率是 0.96,乙机 床的次品率是 0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,试求: (1)两件产品都是正品的概率; (2)恰有一件是正品的概率; (3)至少有一件是正品的概率. (3)由于事件 AB 与 C 互斥, 所以 P(D)=P[(AB)∪C]=P(AB)+P(C)
13
课堂精讲
【例 2】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击 1 次,甲射中的概率为 0.8, 乙射中的概率为 0.9,求: (1)2 人都射中目标的概率; (2)2 人中恰有 1 人射中目标的概率; (3)2 人至少有 1 人射中目标的概率; (4)2 人至多有 1 人射中目标的概率. (4)“2 人至多有 1 人射中目标”包括“有 1 人射中”和“2 人都未射中”两种情况, 故所求概率为 p=P(A- B-)+P(AB- )+P(A-B) =P(A- )·P(B- )+P(A)·P(B- )+P(A- )·P(B)=0.02+0.08+0.18=0.28.
5
事件的相互独立性(教学课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第二册)
6
件B不独立。
P(A) P(B),因此,事件A与事
02
教学过程
第
总结:判断事件独立的方法
(1)由定义,若P(AB)=P(A)·P(B),则A,B独立.
(2)有些事件不必通过概率的计算就能判定其独立性,如有放回的
两次抽奖,由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响,从
而得出它们是否相互独立.
9页
02
ത 与B,
ത
性质:若事件A和事件B相互独立,那么A与,
与
立。
教学过程
02
第
8页
例1:一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异,
采用不放回方式从中任意摸球两次。
设事件A=“第一次摸出求的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球
的标号小于3”,那么事件A与事件B是否相互独立?
及甲未译出乙译出,且两个事件为互斥事件,所以恰有1个人译出密
ഥ B)= P(AB
ഥ B)=
ഥ∪ A
ഥ )+ P(A
码的概率为P(AB
×
1
4
=
5
.
12
1
3
× (1-
1
4
) +
1
(1- )
3
02
教学过程
第
18 页
练习:
【多选题】如图所示的电路中,A,B,C,D,E 5个盒子表示保险
匣,设5个盒子分别被断开为事件A1,B1,C1,D1,E1.盒中所示数
ഥ =“乙脱靶”。
设事件A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,则 A
ഥ 与B, A
ഥ
ഥ, A
由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立, A与B
10.2 事件的相互独立性 (课件)超好用的优秀公开课获奖课件高一下学期数学(人教A版2019 必修
表10.34是20次模拟试验的结果,事件 A 发生了14次,事件 A 的概率估计值为0.70, 与事件 A 的概率(约0.78)相差不大.
试验3
模拟试验
例4(课本256页)
在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛. 假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4, 利用计算机模拟试验,估计甲获得冠军的概率.
作为问题的解.
模拟试验
例3(课本256页)
班级任意选出6名同学,调查他们的出生月份, 假设出生在一月,二月十二月是等可能的. 设事件A “至少有两个人出生月份相同”, 设计一种试验方法,模拟20次,估计事件A发生的概率. 解:方法1:根据假设,每个人的出生月份在12个月中是等可能的,
而且相互之间没有影响,所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验. 因此,可以构建如下有放回摸球试验进行模拟:在袋子中 装人编号为1,2...12的12个球,这些球除编号外没有什么 差别. 有放回地随机从袋中摸6次球,得到6个数代表6个人的出生 月份,这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个 相同,表示事件 A 发生了.重复以上模拟试验20次,就可 以统计出事件 A 发生的频率.
2 5
0.4.
(3)当试验次数增加时,频率值稳定于概率值.
前世今生
蒙特卡洛方法
数大学数理应论用
主要应用在金融工程学, 宏观经济学,生物医学,
事件的相互独立性高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
的概率都是 ,求P(A),P(B).
4
解 (1)①设“甲第一次试举成功”为 A1,“甲第二次试举成功”为 A2,
“甲试举两次,两次均失败”为 C,
则
2
1
P(A1)=P(A2)= ,P(1 )=P(2 )= ,
3
3
2
2
∴P(C)=P(1 2 )=P(1 )P(2 )=3 × 3
=
4
.
9
发生,不会受任何事件是否发生的影响,不可能事件⌀总不会发生,也不受任
何事件是否发生的影响.当然,它们也不影响其他事件是否发生.
3.对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事
件是否发生的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
6点”,则事件A与B的关系是(
B)
A.互斥
B.相互独立
C.既互斥又相互独立
D.既不互斥又不相互独立
解析 因为 A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},
所以
1
1
1
P(A)= ,P(B)= ,P(AB)=
2
3
6
所以 A 与 B 相互独立.
=
1 1
× ,
2 3
规律方法
变式训练1袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,记A=“第一次摸
②设“甲、乙各试举一次,至多有一人试举成功”为 D,
则表示“甲、乙各试举一次都成功”,
1 1
∴P(D)=1-P()=1- ×
2 3
=
5
.
6
(2)只有 A 发生,即 A发生;
只有 B 发生,即B 发生.
【新教材教案】10.2 事件的相互独立性 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册
10.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二(人教A版)第十章《10.2 事件的相互独立性》,本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系,相互独立性是另一种重要的事件关系,注意对概率思想方法的理解。
发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标学科素养A.理解两个事件相互独立的概念.B.能进行一些与事件独立有关的概念的计算.C. 通过对实例的分析,会进行简单的应用.1.数学建模:相互独立事件的判定2.逻辑推理:相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算:相互独立事件概率的计算4.数据抽象:相互独立事件的概念1.教学重点:理解两个事件相互独立的概念2.教学难点:事件独立有关的概念的计算多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、探究新知前面我们研究过互斥事件,对立事件的概率性质,还研究过和事件的概率计算方法,对于积事件的概率,你能提出什么值得研究的问题吗?我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生,因此,积由知识回顾,提()A A B B AB AB()()()P A P AB P AB[]()()()(()1()P AB P A P AB P P A P B P ∴=-==-=AB根据概率的加法公式和事件独立性定义,得)AB AB)()P B P⋅++⨯0.10.2AB AB+AB P ABAB AB)()()+0.72P AB AB=:由于事件“至少有一人中靶根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶=0.020.98甲,乙同时射击,甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性,与B 独立,进而.独立CABAB ,()1()P C P C1()()1[1()][1()]P A P B P A P B 1(10.6)(10.5)0.8三、达标检测1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16答案:B解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为23×1-34+1-23×34=23×14+13×34=212+312=512,故选B . 2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49 B.0.42C.0.7D.0.91解析:记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,且A ,B 相互独立.则恰有1人击中目标为A B 或A B ,所以只有1人击中目标的概率P=P (A B )+P (A B )=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42. 答案:B3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( ) A.1-a-b B.1-ab C.(1-a )(1-b ) D.1-(1-a )(1-b )答案:C解析:设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,且P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).4.已知A ,B 相互独立,且P (A )=14,P (B )=23,则P (A B )= . 答案:112解析:根据题意得,P (A B )=P (A )P (B )=P (A )(1-P (B ))=14×1-23=112. 5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 答案:0.98解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题,问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较,谁大? 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为1()10.50.550.60.835P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=0.8()P D >=所以,合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.()()AB AB AB AB “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码可以用表示。
10.2事件的相互独立性课件高一下学期数学人教A版必修第二册
(1)AB=“两人都中靶”,由事件独立性的定义,得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为
0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率
(2)恰好有一人中靶;
解 :设A =“甲中靶”,B =“乙中靶”,
(2,1) (2,2)(2,3) (2,4)
(3,1) (3,2)(3,3) (3,4)
(4,1) (4,2)(4,3) (4,4)
二、新知学习(共同探究)
实验2 一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球,除标号
外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=
“第一次摸到球的标号小于3”, B=“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习(共同探究)
实验2 一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球,除标号
外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=
“第一次摸到球的标号小于3”, B=“第二次摸到球的标号小于3”.
分析:样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ,
所以, P(AB)≠ P(A)P(B),因此,事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为
0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率
(1)两人都中靶;
(2)恰好有一人中靶;
(3)两人都脱靶;
(4)至少有一人中靶.
分析:设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,从要求的概率可知,需要先
人教版高中数学必修第二册10.2 事件的相互独立性
上一页
返回导航
下一页
第十章 概率
27
解:(1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为
1 4
,14
.
记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件 A,则 P(A)=14 ×12 +12 ×14
+14 ×14 =156 .所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为156 .
上一页
返回导航
上一页
返回导航
下一页
第十章 概率
9
探究点1 相互独立事件的判断
(2021·新高考卷Ⅰ)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5, 6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出
的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示
事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的
义.
公式判断事件的独立性,并能将古典概型
2.结合古典概型,利用独 与事件独立性相结合,计算简单问题的概
立性计算概率.
率.
上一页
返回导航
下一页
第十章 概率
3
相互独立事件
相互独立事件
相关内容
定义 性质
对任意两个事件 A 与 B,如果 P(AB)= __P_(_A_)_P_(B__)_________成立,则称事件 A 与事件 B 相互独 立 若事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与_-B___,-A 与_B___,-A 与-B 也都相互独立
上一页
返回导航
下一页
第十章 概率
26
本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某 自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费,超过两小 时的部分每小时收费 2 元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人单 独来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分 别为14 ,12 ,超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12 ,14 ,两人租 车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (2)设 ξ 为甲、乙两人所付的租车费用之和,求 P(ξ=4)和 P(ξ=6)的值.
10.2事件的相互独立性课件(人教版)
所以AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.
所以 P( A) P(B)= 1 , P( AB) 1 .
2
4
于是 P(AB)=P(A)P(B).
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
从上述两个实验的共性中得到启示,我们引入这种事件关系的一般 定义:
对任意两个事件A与B , 如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立,则称事件A与 事件B相互独立,简称为独立.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙 的中靶概率为0.9,求下列事件的概率:
(1)两人都中靶; (2)恰好有一人中靶; (3)两人都脱靶; (4)至少有一人中靶.
分析:设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”.解题的关键是利用 A, B, A, B 来 表示相关事件.可以借助树状图来分析.如图所示:
B=“第二次摸出球的标号小于3”
B={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)},共6个样本点.
所以AB={(1,2),(2,1)}.所以 P( A) P(B) 6 1 , P( AB) 2 1 .
12 2
12 6
此时P(AB)≠P(A)P(B),因此事件A与事件B不独立.
1 P( AB) 1 0.02 0.98.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙 的中靶概率为0.9,求下列事件的概率:
(1)两人都中靶; (2)恰好有一人中靶; (3)两人都脱靶; (4)至少有一人中靶.
(4)方法3:事件“至少有一人中靶”可以看成“甲中靶”和“乙中靶”这两个 事件的并事件,根据性质6,可得事件“至少有一人中靶”的概率为
解:设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”, A “甲脱靶”, B “乙脱靶”
新人教版高中数学必修第二册《事件的相互独立性》教学设计
【新教材】10.2 事件的相互独立性教学设计(人教A版)事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系,及对应的概率的计算.课程目标1.理解两个事件相互独立的概念.2.能进行一些与事件独立有关的概念的计算.3. 通过对实例的分析,会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象:两个事件相互独立的概念.2.数学运算:与事件独立有关的概念的计算.重点:独立事件同时发生的概率.难点:有关独立事件发生的概率计算教学方法:以学生为主体,小组为单位,采用诱思探究式教学,精讲多练。
教学工具:多媒体。
一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗?要求:让学生自由发言,教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本,引入新课阅读课本246-249页,思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的?要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。
三、新知探究事件A与B相互独立对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立(mutually independent),简称为独立.注意(1)事件A与B是相互独立的,那么A与B̅,A与B,A与B̅也是否相互独立.(2)相互独立事件同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(B).四、典例分析、举一反三题型一相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”,事件B =“第二次摸出球的标号小于3”,那么事件A 与事件B 是否相互独立?【答案】不独立【解析】 因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧(独立事件的判断)对于事件A ,B ,在一次试验中,A ,B 如果不能同时发生,则称A ,B 互斥,一次试验中,如果A ,B 两个事件互斥且A ,B 中必然有一个发生,则称A ,B 对立,显然A ∪A 为一个必然事件.A ,B 互斥则不能同时发生,但有可能同时不发生,两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张,设A =“抽到K”,B =“抽到红牌”,C =“抽到J”,那么下列每对事件是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么?(1)A 与B ;(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”,事件B 为“抽到红牌”,故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ,即有可能抽到K ,故事件A ,B 有可能同时发生,显然它们不是互斥事件,更加不是对立事件.以下考虑它们是否为相互独立事件:抽到K 的概率为P (A )=452=113抽到红牌的概率为P (B )=2652=12,故P (A )P (B )=113×12=126, 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”,即“抽到红桃K 或方块K”,故P (AB )=252=126,从而有P (A )P (B )=P (AB ),因此A 与B 是相互独立事件.(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张.抽到K 就不可能抽到J ,抽到J 就不可能抽到K ,故事件C 与事件A 不可能同时发生,A 与C 互斥.由于P (A )=113≠0.P (C )=113≠0,而P (AC )=0,所以A 与C 不是相互独立事件,又抽不到K 不一定抽到J ,故A 与C 并非对立事件.题型二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率:(1)两人都中靶;(2)恰好有一人中靶;(3)两人都脱靶;(4)至少有一人中靶.【答案】(1)0.72 (2)0.26 (3)0.02 (4)0.98【解析】 设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.(1)AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=(2)“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= (3)事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=(4)方法1:事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2:由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义,若A ,B 相互独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也是相互独立的,代入相互独立事件的概率公式求解.跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14,两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率.【答案】(1) 516.(2) 516. 【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1-14-12=14.1-12-14=14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况.租车费都为0元的概率为p 1=14×12=18,租车费都为2元的概率为p 2=12×14=18,租车费都为4元的概率为p 3=14×14=116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p =p 1+p 2+p 3=516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ,则“ξ=4”表示“两人的租车费用之和为4元”,其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元,②2元、2元,③4元、0元.所以可得P (ξ=4)=14×14+12×14+14×12=516,即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页练习,250页习题10.2.两个事件相互独立,是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地,两个事件不可能即互斥又相互独立,因为互斥事件是不可能同时发生的,而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。
事件的相互独立性(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
巩固训练
1.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用 表示“第一次摸得白球”,用 表示“第二次摸得白球”,则 与 是( ).
A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件
D
[解析] 事件 的结果对事件 发生的概率有影响.根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知, 与 不是相互独立事件.
3.从应届高中生中选飞行员,已知这批学生体形合格的概率为 ,视力合格的概率为 ,其他综合标准合格的概率为 ,从中任选一名学生,三项均合格的概率为( ).(假设三项标准互不影响)
A. B. C. D.
B
[解析] 由题意知三项标准互不影响, .
4.已知 , 是相互独立事件,且 , ,则 __; __.
(1)两人都能破译的概率;
(2)恰有一人能破译的概率;
(3)至多有一人能破译的概率.
巩固训练
[解析] 记事件 为“甲独立破译出密码”,事件 为“乙独立破译出密码”.
(1)两个人都破译出密码的概率为 .
(2)恰有一人破译出密码分为两类:甲破译出乙破译不出,乙破译出甲破译不出,即 , .
(3)“至多有一人破译出密码”的对立事件是“两人都破译出密码”,∴其概率为 .
方法总结
三个元件 , , 正常工作的概率分别为 , , ,将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路,且它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中,电路不发生故障的概率是多少?
[解析] 记“ 正常工作”为事件 ,“ 正常工作”为事件 ,“ 正常工作”为事件 ,则 , ,电路不发生故障,即 正常工作且 , 至少有一个正常工作,因为 , 至少有一个正常工作的概率 ,所以整个电路不发生故障的概率为 .
[答案] 有放回地抽取奖券时,最后一人也是从原来的三张奖券中任抽一张,因此第一人抽的结果对最后一人的抽奖结果没有影响,即事件 的发生不会影响事件 发生的概率.
高中数学第10章概率10-2事件的相互独立性课件新人教A版必修第二册
有三个小孩的家庭,样本空间
Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),
(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}.
1
由等可能性知这8个基本事件的概率均为 ,这时A含有6个基本事
8
6
件,B含有4个基本事件,A∩B含有3个基本事件,于是P(A)= =
8
3
4
10
2
3
1
2.若本例条件“3人能被选中的概率分别为 , , ”变为“甲、
5
4
3
11
3
乙两人恰有一人被选中的概率为 ,两人都被选中的概率为 ,丙
20
10
1
被选中的概率为 ”,求恰好有2人被选中的概率.
3
[解]
设甲、乙两人恰有一人被选中为事件A,甲、乙都被选中为事
件B,丙被选中为事件C,则恰好有2人被选中的概率P=P(A)P(C)+
3.甲、乙二人进行一次围棋比赛,一共赛5局,约定先胜3局者获得这
次比赛的胜利,同时比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,
乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各
胜1局.
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;
[解] 记Ai表示事件“第i局甲获胜”,i=3,4,5,
Bj表示事件“第j局乙获胜”,j=3,4,5.
(1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示.
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立
的),列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其
对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
事件的相互独立性课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
1234
从应届高中生中选飞行员,已知这批学生体形合格的概率为13,视力合格的概率 为16,其他综合标准合格的概率为15,从中任选一学生,则三项均合格的概率为 (假设三项标准互不影响)
4
1
A.9
√B.90
4
5
C.5
D.9
解析
由题意知三项标准互不影响,∴P=13×61×15=910.
1234
已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7,0.8,0.85,且3人 是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪,则目标没有被击中的 概率为__0_._0_0_9__.
=14+18+112=2141.
所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为2141.
反思感悟
求解相互独立事件的概率的具体步骤
(1)
(2)
(3)
确定各事件是 否相互独立
确定各事件是 否会同时发生
先确定每个事件的 概率,再计算其积
跟踪训练1 一次数学考试的试卷上有4道填空题,共20分,每道题完全答对得5 分,否则得0分,在试卷命题时,设计第一道题使考生都能完全答对,后3道 题能得出正确答案的概率分别为 p,12,13,且每题答对与否相互独立. (1)当p=23 时,求考生填空题得满分的概率;
3
随堂演练
1234
一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为
0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为
A.1
√B.0.629
C.0
解析
D.0.74或0.85
设“甲保险丝熔断”为事件A,“乙保险丝熔断”为事件B, 则P(A)=0.85,P(B)=0.74, 由事件A与B相互独立,得“两根保险丝都熔断”为事件AB, ∴P(AB)=P(A)·P(B)=0.85×0.74=0.629.
事件的相互独立性(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
A=“第一枚硬币正面朝上”,B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2: 一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球,除标号外没有其他差异,
采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.
A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
两个试验中, 事件A发生与否并不影响事件B发生的概率.
乙的中靶概率为0.9, 求下列事件的概率:
(1)两人都中靶;
(2)恰好有一人中靶;
(3)两人都脱靶;
(4)至少有一人中靶.
析:设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,则A=“甲脱靶”,B=“乙脱靶”.
由于两个人射击的结果互不影响,∴A与B相互独立,
且A与B,A与B,A与B都相互独立.
巩固: 相互独立事件的概率计算
∴P(A) =P(J1Y2∪J2Y1)= P(J1Y2)+P(J2Y1)
= P(J1)P(
判断下列各对事件哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件.
(1)掷一枚骰子一次,事件M: “出现的点数为奇数”;事件N: “出现的点数为偶
数”.
M={1,3,5}, N={2,4,6}, MN=ϕ
∴P(AB∪AB) =P(AB)+P(AB) =P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8×0.1+0.2×0.9=0.26
(3) “两人都脱靶”=AB,∴P(AB) =P(A)P(B) =0.2×0.1=0.02
巩固: 相互独立事件的概率计算
P248-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛, 甲的中靶概率为0.8,
采用不放回方式从中任意摸球两次。
记事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
事件的相互独立性
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容,思考以下问题: 1.事件的相互独立性的定义是什么? 2.相互独立事件有哪些性质?
3.相互独立事件与互斥事件有什么区别? 二、基础知识
1.相互独立的概念
设A ,B 为两个事件,若P (AB )=P (A )P (B ),则称事件A 与事件B 相互独立. 2.相互独立的性质
若事件A 与B 相互独立,那么A 与B -,A -与B ,A -与B -也都相互独立. ■名师点拨 (1)必然事件Ω,不可能事件∅都与任意事件相互独立. (2)事件A ,B 相互独立的充要条件是P (AB )=P (A )·P (B ). 三、合作探究
1.相互独立事件的判断
一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A ={一个家庭中既
有男孩又有女孩},B ={一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形,讨论A 与B 的独立性:
(1)家庭中有两个小孩;
(2)家庭中有三个小孩.
【解】(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},
它有4个基本事件,由等可能性知概率都为1 4.
这时A={(男,女),(女,男)},
B={(男,男),(男,女),(女,男)},AB={(男,女),(女,男)},
于是P(A)=1
2,P(B)=
3
4,P(AB)=
1
2.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B),
所以事件A,B不相互独立.
(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}.
由等可能性知这8个基本事件的概率均为1
8,这时A中含有6个基本事件,B中含有4个
基本事件,AB中含有3个基本事件.
于是P(A)=6
8=
3
4,P(B)=
4
8=
1
2,P(AB)=
3
8,
显然有P(AB)=3
8=P(A)P(B)成立.
从而事件A与B是相互独立的.
判断两个事件是否相互独立的两种方法
(1)根据问题的实质,直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断,若没有影响,则两个事件就是相互独立事件;
(2)定义法:通过式子P(AB)=P(A)P(B)来判断两个事件是否独立,若上式成立,则事件A,B相互独立,这是定量判断.
2.相互独立事件同时发生的概率
王敏某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
【解】 用A ,B ,C 分别表示这三列火车正点到达的事件. 则P (A )=0.8,P (B )=0.7,P (C )=0.9, 所以P (A -)=0.2,P (B -)=0.3,P (C -
)=0.1.
(1)由题意得A ,B ,C 之间互相独立,所以恰好有两列正点到达的概率为 P 1=P (A -BC )+P (A B -C )+P (AB C -)=
P (A -)P (B )P (C )+P (A )P (B -)P (C )+P (A )P (B )P (C -) =0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P 2=1-P (A -B -C -)=1-P (A -)P (B -)P (C -
) =1-0.2×0.3×0.1=0.994.
1.[变问法]在本例条件下,求恰有一列火车正点到达的概率. 解:恰有一列火车正点到达的概率为
P 3=P (A B -C -)+P (A -B C -)+P (A -B -C )=P (A )P (B -)P (C -)+P (A -)P (B )P (C -)+P (A -)P (B -
)P (C )=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9=0.092.
2.[变条件]若一列火车正点到达记10分,用ξ表示三列火车的总得分,求P (ξ≤20). 解:事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”,其对立事件为“三列火车都正点到达”,所以P (ξ≤20)=1-P (ABC )=1-P (A )P (B )P (C )
=1-0.8×0.7×0.9=0.496.
与相互独立事件有关的概率问题的求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
一般地,已知两个事件A ,B ,它们的概率分别为P (A ),P (B ),那么: (1)A ,B 中至少有一个发生为事件A +B . (2)A ,B 都发生为事件AB . (3)A ,B 都不发生为事件A -B -.
(4)A ,B 恰有一个发生为事件A B -+A -
B .
(5)A ,B 中至多有一个发生为事件A B -+A -B +A - B -
.
3.相互独立事件的综合应用
本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标
准是每车每次租用时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过
两小时还车的概率分别为14,12,超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12,1
4,两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和,求P (ξ=4)和P (ξ=6)的值.
【解】(1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为14,1
4. 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ,则P (A )=14×12+12×14+14×14=516.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516.
(2)P (ξ=4)=14×14+12×14+12×14=5
16, P (ξ=6)=14×14+12×14=3
16.
概率问题中的数学思想
(1)正难则反.灵活应用对立事件的概率关系(P (A )+P (A -)=1)简化问题,是求解概率问题最常用的方法.
(2)化繁为简.将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式
转化为相互独立事件).
(3)方程思想.利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立方程(组),通过解方程(组)使问题获解. 四、课堂检测
1.如图,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A .49
B .29
C .23
D .13
解析:选A .左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46=2
3,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23=4
9.
2.已知A ,B 是相互独立事件,且P (A )=12,P (B )=2
3,则P (A B -)=________;P (A - B -
)=________.
解析:因为P (A )=12,P (B )=2
3. 所以P (A -)=12,P (B -)=1
3.
所以P (A B -)=P (A )P (B -)=12×13=16,P (A - B -)=P (A -)P (B -)=12×13=1
6. 答案:16 16
3.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复,试求下列事件的概率:
(1)第3次拨号才接通电话; (2)拨号不超过3次而接通电话.
解:设A i ={第i 次拨号接通电话},i =1,2,3. (1)第3次才接通电话可表示为A 1-A 2-
A 3, 于是所求概率为P (A 1-A 2-A 3)=910×89×18=1
10.
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1+A 1- A 2+A 1-A 2-
A 3, 于是所求概率为P (A 1+A 1-A 2+A 1-A 2-
A 3) =P (A 1)+P (A 1-A 2)+P (A 1-A 2-
A 3) =110+910×19+910×89×18=310.。