第二章圆锥曲线章末复习

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高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习提升课件苏教版选修2

锥曲线相切.
(2)当a＝0时，若方程(*)有解，则直线与圆锥曲线有一个交点.
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方法总结
思想构建
1.数形结合思想 “数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单.
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整体构建主干梳理思想构建
知识网络
圆圆锥锥曲线曲线
整体构建
曲线与方程椭圆
曲线的方程定义
求曲线(轨迹), 的方程
双曲线
标准方程
应用
抛物线
几何性质
圆锥曲线的统一定义
直线与圆锥曲线的位,置关系
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要点归纳
主干梳理
1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
解析答案
4.化归与转化思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化归与转化思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性.
y轴，短轴长2b
焦点坐标离心率
准线
(±c,0)
c＝ a2－b2
0<e<1，e＝
c a
x＝±ac2
渐近线
(±a,0)

高中数学全程复习方略第二章圆锥曲线与方程章末总结阶段复习课(共57张PPT)

3.求抛物线标准方程需一个定位条件（如顶点坐标、焦点坐标或准线方程），以及一个定形条件（即已知p）．
4.几个注意点（1）在求解对应圆锥曲线方程时，还要特别注意隐含条件，如双曲线有c2=a2+b2，椭圆有a2=b2+c2. （2）“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨
迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，
3 a 2
【归纳】解答本题的注意点. 提示：解答本题对已知条件利用时，要分类讨论，同时注意对椭圆及双曲线定义的理解.
直线与圆锥曲线【技法点拨】 1.直线与圆锥曲线交点问题的解题思路直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解
的讨论，即联立方程组
Ax By C 0, 通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋ 0, f（x, y）
已知点 P(0, 3 ) 到这个椭圆上点的最远距离为 7，求这个椭圆方
2
2
程，并求椭圆上到点P的距离为 7 的点的坐标.
x 2 y2 【解析】设椭圆方程为 2 2 （ 1 a＞b＞0） , a b c 3 3 e , c2 a 2 , a 2 4 x 2 y2 2 2 2 由a =b +c 得a=2b,故椭圆方程可化为 2 2 （ 1 b＞0） , 设M（x,y） 4b b
在，说明理由.
x 2 y2 【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为 2 2 （ 1 a＞b＞0） , a b
且可知左焦点为F′（-2,0）.
c2 从而有｜AF｜｜ AF ｜ 3 5 8, 2a c 2, 解得 a 4,
又a2=b2+c2,所以b2=12,
bx＋c＝0进行讨论.这时要注意考虑a＝0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a≠0，Δ ＝0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).

第二章圆锥曲线复习课件高二上学期数学北师大版选择性

By C
0和椭圆
x a
2 2
y2 b2
1
Ax By C 0
（代数法）联立直线与
椭圆的方程
x
2
a2
y2 b2
1
，
消元，得到一个一元二次方程；
相离 0;相切 0；相交 0.
y
F1
o
F2 x
椭圆的切线：
y
P( x0 , y0 )
F1
o
1.点P在椭圆上，此时只有一条切线，
P( x0 , y0 )
F1
M F2
椭圆定义辨析 ①2a>|F1F2|时:表示椭圆； ②2a=|F1F2|时:表示线段F1F2； ③2a>|F1F2|时:轨迹不存在。
求曲线方程的步骤
（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标为(x，y); （2）找出限制条件 p(M); （3）把坐标代入限制条件p(M) ，列出方程 f (x，y)=0; （4）化简方程 f (x，y)=0; （5）检验(可以省略,如有特殊情况，适当说明)
切线方程为：x0 x a2
y0 y b2
1.
2.点P在椭圆外，此时能引椭圆两条切线.
F2 x
求椭圆切线的方法：设直线，联立方程组消元，
令 0即可求解.
椭圆：x 2 a2
y2 b2
（方法：
y = kx + m
x2
a 2
-
y2 b2
消去y，得: =1
（2）焦半径公式：
若抛物线任意一点 P（x0,y0）,抛物线方程为y²=2px，
y
P
|PF|=x0+p/2
OF
x
抛物线的焦点弦
通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。

第二章圆锥曲线章末复习【教师版】

第二章圆锥曲线章末复习学习目标1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步巩固和理解圆锥曲线的定义.3.掌握圆锥曲线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程x ＝－p 2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小2.待定系数法求圆锥曲线标准方程 (1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．也可将椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，将双曲线方程设为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． (2)抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p 的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)，然后建立方程求出参数p 的值． 3．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0等价于直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0等价于直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0等价于直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．4．方法、规律归纳(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系； ②设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )； ③列式——列出动点P 所满足的关系式；④代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简； ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．(2)代入(相关点、转移)法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的．当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求轨迹方程： ①一个动点P (x ，y )在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点随P (x ，y )的变化而变化； ③变化过程中P (x ，y )满足一定的规律．(3)参数法：求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法要注意以下问题：参数的选取要具有代表性，参数方程是动点的轨迹方程，在化简参数方程为普通方程的时候不能改变方程的解集． (4)求圆锥曲线的标准方程，主要利用定义法及待定系数法．1．设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，|P A |－|PB |＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线．( × ) 2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．( × )3．方程2x 2－5x ＋2＝0的两根x 1，x 2(x 1<x 2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率．( √ ) 4．已知方程mx 2＋ny 2＝1，则当m >n 时，该方程表示焦点在x 轴上的椭圆．( × )5．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，116a .( √ )题型一圆锥曲线定义的应用例1 设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解曲线C 1：x 26＋y 22＝1与曲线C 2：x 23－y 2＝1的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P 为第一象限的交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝26， |PF 1|－|PF 2|＝23，解得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，又|F 1F 2|＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理可求得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(6＋3)2＋(6－3)2－422×(6＋3)×(6－3)＝13.反思感悟(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决． (2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题． (3)求轨迹问题、最值问题，曲线方程也常常结合定义求解．跟踪训练1(1)(2018·江西师大附中高二检测)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为( )A.23 B ．1 C.43 D.53(2)抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列答案 (1)C (2)A解析 (1)|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝4，|AF 2|＋|BF 2|＝4－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4－|AB |，又|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，所以2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|. 于是3|AB |＝4，∴|AB |＝43.(2)如图，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知，|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3，故选A.题型二圆锥曲线方程与性质的应用例2(1)如图，椭圆C 1，C 2与双曲线C 3，C 4的离心率分别为e 1，e 2与e 3，e 4，则e 1，e 2，e 3，e 4的大小关系是( )A ．e 2<e 1<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 4<e 3C ．e 1<e 2<e 3<e 4D ．e 1<e 2<e 4<e 3(2)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 (1)A (2)D解析 (1)椭圆离心率为e ，则e 2＝1－b 2a 2， ∴0<e 2<e 1<1. 双曲线的离心率为e ′，则e ′2＝1＋b 2a 2. ∴1<e 3<e 4. 因此0<e 2<e 1<1<e 3<e 4. (2)|F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2，∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.反思感悟求解离心率有三种方法：(1)定义法；(2)建立参数a 与c 之间的齐次关系式；(3)几何法．跟踪训练2(1)(2018·潍坊高二检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率为( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 6(2)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，则抛物线E 的标准方程为________________．答案 (1)C (2)x 2＝4y解析 (1)双曲线的渐近线为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，由对称性，取切线方程为bx －ay ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧bx －ay ＝0，y ＝x 2＋1，得x 2－b a x ＋1＝0，所以Δ＝b 2a 2－4＝0，即b 2a 2＝4＝c 2－a 2a 2＝e 2－1，因为e >1，所以e ＝ 5.故选C. (2)依题意知，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的标准方程为x 2＝4y . 题型三直线与圆锥曲线例3 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解 (1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1，① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2. 反思感悟直线与圆锥曲线的综合问题，主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等，求解这类问题时，通常采用代数方法，将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去其中一个未知量，通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系，同时，还经常利用根与系数的关系，采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题．跟踪训练3 已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，|PF 1|＋|PF 2|＝4，离心率为22. (1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆的两交点为A ，B ，线段AB 的中点C 在直线y ＝12x 上，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于2时，求直线l 的方程．解 (1)由椭圆定义得2a ＝4，a ＝2，所以c ＝ae ＝2，故b ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y ＝kx ＋m 代入方程x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0.(*)所以x C ＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y C ＝kx C＋m ＝m1＋2k 2，所以m 1＋2k 2＝12·－2km1＋2k 2，解得k ＝－1，则(*)式变为3x 2－4mx ＋2m 2－4＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝46－m 23，△OAB 底边AB 上的高h ＝|m |2，所以△OAB 的面积S ＝2(6－m 2)m 23.令2(6－m 2)m 23＝2，解得m ＝±3，把k ＝－1，m ＝±3代入(*)式，经检验，均满足Δ>0，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋y ＋3＝0.题型四圆锥曲线中参数范围和最值问题例4 (1)已知P 为抛物线y ＝14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是________．答案5－1(2)若抛物线x 2＝2y 上距离点A (0，a )的最近点恰好是抛物线的顶点，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．0<a ≤1C ．a ≤1D ．a ≤0答案 C反思感悟圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练4 (1)已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值等于________．答案924(2)已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．①求满足上述条件的点M (x ，y )的轨迹C 的方程；②设曲线C 与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点P ，Q ，点A (0，－1)，当|AP |＝|AQ |时，求实数m 的取值范围．解 ①∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0，∴a 2－3b 2＝0， ∴x 2＋3y 2＝3，即点M (x ，y )的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.②由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋3y 2－3＝0，得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0. ∵曲线C 与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点，∴Δ＝(6km )2－12(1＋3k 2)(m 2－1)＝12(3k 2－m 2＋1)>0，即3k 2－m 2＋1>0.① 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点N (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝－3km1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋3k2.∵|AP |＝|AQ |，∴PQ ⊥AN .设k AN 表示直线AN 的斜率，又k ≠0，∴k AN ·k ＝－1.即－1－m1＋3k 23km 1＋3k 2·k ＝－1，得3k 2＝2m －1.②∵3k 2>0，∴m >12.将②代入①得2m －1－m 2＋1>0，即m 2－2m <0，解得0<m <2， ∴m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，2.1．已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是( )A.x 236＋y 220＝1(x ≠0)B.x 220＋y 236＝1(x ≠0) C.x 26＋y 220＝1(x ≠0) D.x 220＋y 26＝1(x ≠0) 答案 B解析由△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，可得|AB |＋|AC |＝12>|BC |，所以顶点A 的轨迹为椭圆，其中2a ＝12,2c ＝8，所以a ＝6，c ＝4，所以b 2＝36－16＝20，方程为x 220＋y 236＝1. 因为A ，B ，C 三点构成三角形，三点不能共线，所以x ≠0，故轨迹方程为x 220＋y 236＝1(x ≠0)，故选B.2．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析设双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 由点到直线的距离公式得|2b |a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ 1＋b 2a2＝2. 故选A.3．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝12，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A ．1B ．3C ．5D ．7 答案 C解析 ∵F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，∴F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝12，即x 1＋x 2＝10，∴线段AB 的中点的横坐标为12(x 1＋x 2)＝5，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为5.故选C.4．已知双曲线x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为双曲线的右焦点，过F 的直线与双曲线的两渐近线交点分别为M ，N ，若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝________. 答案 3解析由题意知渐近线的斜率为±33，F (2,0)，∴∠FOM ＝30°，直线MN 的倾斜角为60°或120°. 由双曲线的对称性，设倾斜角为60°，∴直线MN ：y ＝3(x －2)，分别与两渐近线方程联立可求得M (3，3)，N ⎝⎛⎭⎫32，－32.∴|MN |＝3.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (2,1)，离心率为22，过点B (3,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆的方程； (2)若|MN |＝322，求直线MN 的方程．解 (1)由题意有4a 2＋1b2＝1，e ＝c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝6，b ＝3，c ＝3，所以椭圆方程为x 26＋y 23＝1.(2)由直线MN 过点B 且与椭圆有两个交点，可设直线MN 方程为y ＝k (x －3)，代入椭圆方程整理得(2k 2＋1)x 2－12k 2x ＋18k 2－6＝0， Δ＝24－24k 2>0，得k 2<1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 22k 2＋1，x 1x 2＝18k 2－62k 2＋1，|MN |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝322，解得k ＝±22，满足k 2<1，所以所求直线方程为x －2y －3＝0或x ＋2y －3＝0.1．利用待定系数法求圆锥曲线标准方程一般是先定位、后定量，即2．求离心率的三种方法(1)定义法；(2)方程法；(3)几何法．3．解决直线与圆锥曲线的综合问题通常从方程思想入手． 4．解决定点、定值问题的常规处理策略(1)从特殊情况入手，先求含有变量的定点、定值，再证明这个点(值)与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点(值)．11。

高中数学第二章圆锥曲线章末复习课北师大版选择性必修第一册

构建关于变量的目标函数，转化为求函数的值域或最值，常利用二次函数的相关知识或基本不等式求解．面积、弦长、含变量的代数式的最值问题，常选用此法，解决问题时要注意自变量的取值范围．
跟踪训练3
顺次连接椭圆C：
x2 a2
+
y2 b2
＝1(a>b>0)的四个顶
点恰好构
成了一个边长为 7且面积为4 3的菱形．
原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对任意的直线l，OP⊥EQ
恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
(3) 过 O 点作直线 l 的平行线与椭圆 C 相交， M 为其中一个交点，求
OM 的最大值．
AD + AE
方法归纳
第二章章末复习课
题型一定点问题例1 设椭圆C：xa22 + by22＝1(a>b>0)，F1，F2为左右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且b>c，△BF1F2的面积为 3. (1)求椭圆C的方程； (2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线 x＝4相交于点N.试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在．请说明理由．
方法归纳
求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
跟踪训练1 已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E 上一点，且|AF|＝2.

高中数学第二章圆锥曲线与方程章末总结苏教版选修1

第二章圆锥曲线与方程章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．例2如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)求x1x2与y1y2的值；(2)求证：OM⊥ON.知识点三轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．例3设点A、B是抛物线y2＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．例4 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y23＝1相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，A 2为椭圆的右顶点且AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略： (1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．例5 已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x 225＋y29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求MA ＋MB 的最值．例6 已知F 1、F 2为椭圆x 2＋y22＝1的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结重点解读例1 解如图所示，设双曲线方程为x 2a2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)． ∵e ＝c a＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义，得|PF 1－PF 2|＝2a ＝c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2(1－cos 60°)，即4c 2＝c 2＋PF 1·PF 2.① 又S △PF 1F 2＝123， ∴12PF 1·PF 2sin 60°＝123，即PF 1·PF 2＝48.②由①②，得c 2＝16，c ＝4，则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，∴所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.例2 (1)解过点P (2,0)且斜率为k 的直线方程为：y ＝k (x －2)．把y ＝k (x －2)代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0，由于直线与抛物线交于不同两点，故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2k2，∵M 、N 两点在抛物线上， ∴y 21·y 22＝4x 1·x 2＝16，而y 1·y 2<0，∴y 1y 2＝－4.（2）证明 ∵OM → (x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)， ∴OM →·ON →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝4－4＝0.∴OM →⊥ON →，即OM ⊥ON .例3 解设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠±1，因为当k ＝±1时，直线AB 的斜率不存在)，则直线OB 的方程为y ＝－x k，进而可求A ⎝⎛⎭⎪⎫4p k 2，4p k 、B (4pk 2，－4pk )．于是直线AB 的斜率为k AB ＝k1－k2，从而k OM ＝k 2－1k，∴直线OM 的方程为y ＝k 2－1k x ，①直线AB 的方程为y ＋4pk ＝－k k 2－1(x －4pk 2)．②将①②相乘，得y 2＋4pky ＝－x (x －4pk 2)，即x 2＋y 2＝－4pky ＋4pk 2x ＝4p (k 2x －ky )，③又k 2x －ky ＝x ，代入③式并化简，得(x －2p )2＋y 2＝4p 2.当k ＝±1时，易求得直线AB 的方程为x ＝4p .故此时点M 的坐标为(4p,0)，也在(x －2p )2＋y 2＝4p 2(x ≠0)上．∴点M 的轨迹方程为(x －2p )2＋y 2＝4p 2(x ≠0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p 的圆，去掉坐标原点．例4证明设A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－＋4k2m 2－，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k2.即⎩⎪⎨⎪⎧3＋4k 2－m 2>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m2－4k2 3＋4k2.∵椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2⊥BA2，∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.∴m2－4k23＋4k2＋m2－3＋4k2＋16mk3＋4k2＋4＝0.∴7m2＋16km＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－2k7，且均满足3＋4k2－m2>0.当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k7时，l的方程为y＝k⎝⎛⎭⎪⎫x－27，直线过定点⎝⎛⎭⎪⎫27，0，∴直线l过定点．例5解因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则A′(－4,0)，由椭圆定义知MA＋MA′＝10.如图所示，则MA＋MB＝MA＋MA′＋MB－MA′＝10＋MB－MA′≤10＋A′B. 当点M在BA′的延长线上时取等号．所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，(MA＋MB)max＝10＋A′B＝10＋210.又如图所示，MA＋MB＝MA＋MA′－MA′＋MB＝10－(MA′－MB)≥10－A′B，当M在A′B的延长线上时取等号．所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，(MA＋MB)min＝10－A′B＝10－210.例6解由题意，F1F2＝2.设直线AB方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程2x2＋y2＝2，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则x A＋x B＝－2kk2＋2，x A·x B＝－1k2＋2，∴|x A－x B|＝k2＋k2＋2.S△ABF2＝12F1F2·|x A－x B|＝22×k2＋1k2＋2＝22×1k2＋1＋1k2＋1≤22×12＝ 2.当k2＋1＝1k2＋1，即k＝0时，S△ABF2有最大面积为 2.章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．例2如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)求x1x2与y1y2的值；(2)求证：OM⊥ON.知识点三轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．例3设点A、B是抛物线y2＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．例4 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y23＝1相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，A 2为椭圆的右顶点且AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略： (1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．例5 已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x 225＋y29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求MA ＋MB 的最值．例6 已知F 1、F 2为椭圆x 2＋y22＝1的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结重点解读例1 解如图所示，设双曲线方程为x 2a2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)． ∵e ＝c a＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义，得|PF 1－PF 2|＝2a ＝c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2(1－cos 60°)，即4c 2＝c 2＋PF 1·PF 2.① 又S △PF 1F 2＝123， ∴12PF 1·PF 2sin 60°＝123，即PF 1·PF 2＝48.②由①②，得c 2＝16，c ＝4，则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，∴所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.例2 (1)解过点P (2,0)且斜率为k 的直线方程为：y ＝k (x －2)．把y ＝k (x －2)代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0，由于直线与抛物线交于不同两点，故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2k2，∵M 、N 两点在抛物线上，∴y 21·y 22＝4x 1·x 2＝16，而y 1·y 2<0，∴y 1y 2＝－4.（2）证明 ∵OM → (x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)，∴OM →·ON →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝4－4＝0.∴OM →⊥ON →，即OM ⊥ON .例3 解设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠±1，因为当k ＝±1时，直线AB 的斜率不存在)，则直线OB 的方程为y ＝－x k ，进而可求A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4pk 2，4p k 、B (4pk 2，－4pk )．于是直线AB 的斜率为k AB ＝k1－k 2，从而k OM ＝k 2－1k ，∴直线OM 的方程为y ＝k 2－1k x ，①直线AB 的方程为y ＋4pk ＝－k k 2－1(x －4pk 2)．②将①②相乘，得y 2＋4pky ＝－x (x －4pk 2)，即x 2＋y 2＝－4pky ＋4pk 2x ＝4p (k 2x －ky )，③又k 2x －ky ＝x ，代入③式并化简，得(x －2p )2＋y 2＝4p 2.当k ＝±1时，易求得直线AB 的方程为x ＝4p .故此时点M 的坐标为(4p,0)，也在(x －2p )2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)上．∴点M 的轨迹方程为(x －2p )2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p 的圆，去掉坐标原点．例4证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝64m 2k 2－＋4k 2m 2－，x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k 2.即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋4k 2－m 2>0，x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 23＋4k 2.∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2，∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0.∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. ∴m 2－4k 23＋4k 2＋m 2－3＋4k 2＋16mk3＋4k 2＋4＝0.∴7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2>0.当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，∴直线l 过定点．例5 解因为A (4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋MA ′＝10.如图所示，则MA ＋MB ＝MA ＋MA ′＋MB －MA ′＝10＋MB －MA ′≤10＋A ′B . 当点M 在BA ′的延长线上时取等号．所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(MA ＋MB )max ＝10＋A ′B ＝10＋210.又如图所示，MA ＋MB ＝MA ＋MA ′－MA ′＋MB＝10－(MA ′－MB )≥10－A ′B ，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(MA ＋MB )min ＝10－A ′B ＝10－210.例6 解由题意，F 1F 2＝2.设直线AB 方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程2x 2＋y 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x A ＋x B ＝－2kk 2＋2，x A ·x B ＝－1k 2＋2，∴|x A －x B |＝k 2＋k 2＋2.S △ABF 2＝12F 1F 2·|x A －x B |＝22×k 2＋1k 2＋2 ＝22×1k 2＋1＋1k 2＋1≤22×12＝ 2.当k 2＋1＝1k 2＋1，即k ＝0时，S △ABF 2有最大面积为 2.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课课件 a选修21a高二选修21数学课件

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(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
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[典例2] 已知直线y＝－2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程； (2)若直线l2是曲线C的一条切线，当点(0，2)到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．解：(1)设点P的坐标(x，y)，则点Q的坐标为(x，－2)．因为OP⊥OQ，所以kOP·kOQ＝－1. 当x≠0时，得xy·－x2＝－1，化简得x2＝2y.
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因为点A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64>0，
解得－4
3
34 <n<
3
3 .
设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
Hale Waihona Puke 则x1＋x2＝32n，x1x2＝3n24－4，
y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n，所以y1＋y2＝n2.
所以线段AC的中点坐标为34n，n4.
第二章
圆锥曲线与方程 (yuán zhuī qǔ xiàn)
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章末复习课 [整合·网络构建]
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[警示·易错提醒] 1．求曲线与方程的两个关注点 (1)求曲线的方程与求轨迹是有区别的．若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等． (2)由方程研究曲线时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件和限制条件，避免因考虑不全面而致误．

原创2：第二章章末复习课

－4,0)，B(4,0)，动点 A 满足 sinB －sinC＝12sinA，求点 A 的轨迹方程．
[分析] 由已知条件 sinB－sinC＝12sinA，可以考虑利用正弦定理转化为三角形边的关系，再根据双曲线的定义即可写出点 A 的轨迹方程．
[解析] 在△ABC 中，由 sinB－sinC＝12sinA 及正弦定理，得
解之得：－
25≤m≤
5 2.
(2)由根与系数关系得 x1＋x2＝－25m，x1·x2＝m25－1，
则弦长 l＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x2·x1] ＝ 2[42m52－4m25－1] ＝25 10－8m2.
当
m＝0
时，l
取得最大值为2
10 5.
[解析] (1)将 y＝－x＋1 代入双曲线ax22－y2＝1(a>0)，得 (1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0. ∴1Δ－＝a42a≠4＋0 8a21－a2>0 ，解得 0<a< 2且 a≠1. 又双曲线的离心率 e＝ 1＋a a2＝ a12＋1， ∴e> 26且 e≠ 2.
[例 6] 设直线 l：y＝kx＋1，抛物线 C：y2＝4x，当 k 为何值时，l 与 C 相切、相交、相离．
[解析] 联立方程组yy＝2＝k4xx＋1 ，消去 y，整理得 k2x2＋(2k －4)x＋1＝0.
当 k≠0 时，方程 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0 为一元二次方程． ∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． (1)当 Δ＝0，即 k＝1 时，l 与 C 相切． (2)当 Δ>0，即 k<1 时，l 与 C 相交.
[分析] (1)直线与椭圆位置关系利用方程组解的情况来判断，从方程角度看，当直线与椭圆有公共点时，一元二次方程根的判别式 Δ≥0；(2)可以结合(1)的结论，利用弦长公式求解．

高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习提升课课件 b选修11b高二选修11数学课件

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已知 F1、F2 为椭圆 x2＋y22＝1 的上、下两个焦点， AB 是过焦点 F1 的一条动弦，求△ABF2 面积的最大值．
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【解】由题意|F1F2|＝2，设 AB 方程为 y＝kx＋1，代入椭圆 x2＋y22＝1 得：(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 xA＋xB＝－k22＋k 2，xAxB＝－k2＋1 2，所以|xA－xB|＝（xA＋xB）2－4xAxB＝ 8（k2k＋2＋2 1），
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设椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)过点(0，4)，离心率为35. (1)求 C 的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被 C 所截线段的中点坐标．
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【解】 (1)将(0，4)代入 C 的方程得1b62＝1，所以 b＝4，又由 e＝ac＝35，得a2－a2b2＝295，即 1－1a62＝295，所以 a＝5，所以 C 的方程为2x52＋1y62 ＝1.
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1．椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a 中，应有 2a＞|F1F2|，双曲线定义||PF1|－|PF2||＝2a 中，应有 2a＜|F1F2|，抛物线定义中，定点 F 不在定直线 l 上． 2．椭圆中几何量 a，b，c 满足 a2＝b2＋c2，双曲线中几何量 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2. 3．椭圆离心率 e∈(0，1)，双曲线离心率 e∈(1，＋∞)，抛物线离心率 e＝1.
所以点(m，n)在此椭圆内，故过点(m，n)的直线与椭圆x92＋

《圆锥曲线》章末复习课件精选全文

的斜率,交点A x1, y1 , B x2 , y2 .
2
1
2
(2)处理中点弦问题时,一般有两种思路,思路一:联立方程组,消元,利用根与系数的关系
进行“设而不求”;思路二:利用“点差法”
知识要点整合
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
四、圆锥曲线中的弦长、中点弦问题
例4
x2 y 2
已知椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 的一个顶点为A(0,1),离心率为
一、圆锥曲线的定义及应用
2
2
例1 (1)一动圆与两圆: x 2 y 2 1和 x y 6 x 5 0都外切,则动圆圆心的轨迹为( )
A.抛物线
B.双曲线
C.双曲线的一支
D.椭圆
(2)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为
2
.
2
过F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为______.
例2
x2 y 2
3
(1)若椭圆 2 2 1(a b 0) 的离心率为
2
a
b
1
A. y 2 x
B. y 2 x
C. y 4 x
x2 y 2
,则双面线 2 2 1的渐近线方程为(
a
b
1
y

x
D.
4
x2 y 2
(2)已知双曲线 a 2 b2 1(a 0, b 0) 的左焦点为F,离心率为
,且
a
2
x2
2

y
1
2, c 1.易得椭圆方程为

圆锥曲线章末复习课二

2 3 x2 a2
+
y2 b2
= 1(a > b > 0) 相切
于点 M(0,1)，过点 M 引两条互相垂直的直线 l1，l2，两直线与两曲线分别交于点 A，C 与点 B，D(均不重合)．若 P 为椭圆上
2 任一点，记点 P 到两直线的距离分别为 d1，d2，则d2 1 + d2 的最
大值是_________；此时 P 点坐标为_________．
1 1 x ， y x 分别交于 A，B 两点，其中点 A 2 2
在第一象限，点 B 在第二象限，且△OAB 的面积为 2(O 为坐标原点). (1)求椭圆 C 的方程； (2)求 x + m 与圆x2 + y2 = 2 交于 A,B 两点，若椭圆 + y2 = 1 上有两个不同的点
3 N 为线段 BC 的中点，若 MON 的面积为，求 y0 的值． 2
14、设椭圆 C ：
x2 y2 1 2 1( a b 0) 的离心率 e ，原点 O 到点 A a,0 、 B 0, b 2 2 a b 2 21 . 7
所在直线的距离为
（1）求此椭圆 C 的方程；（2）如图，设直线 l : x my 3 与椭圆 C 交于 P, Q 两点，点 P 关于 x 轴的对称点为 P ，直线 P Q 与 x 轴是否交于一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
2
x2
C D 关于直线 l 对称.
（Ⅰ）求实数 m 的取值范围；（Ⅱ）求四边形 ABCD 的面积的取值范围.
13、如图，已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的一个焦点为上的一点．（1）求椭圆的标准方程；

高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习提升教学案新人教B版选修1-1

例 3 已知向量 a＝ ( x， 3y) ， b＝(1,0) 且 ( a＋ 3b) ⊥（a－ 3b) ． (1) 求点 Q( x， y) 的轨迹 C的方程；
(2) 设曲线 C 与直线 y＝kx＋ m 相交于不同的两点 M、 N，又点 A(0 ，－ 1) ，当 | AM| ＝ | AN| 时，求实数 m的取值范围．
6/6
解 (1) 由题意，得 a＋ 3b＝ ( x＋ 3， 3 y) ， a－ 3b＝ ( x－ 3， 3y) ，
∵（a＋ 3b) ⊥（a－ 3b) ， ∴（a＋ 3b) ·（a－ 3 b) ＝0，
即 ( x＋ 3)( x－ 3) ＋ 3y· 3y＝ 0.
化简得 x2＋ y2＝1， 3
∴ Q点的轨迹
C 的方程为
已知椭圆 3m2＋ 5n2＝ 1 和双曲线 2m2－3n2＝ 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐
近线方程是 ( )
15
15
A． x＝± 2 yB． y＝ ± 2 x
3
3
C． x＝± 4 yD． y＝ ± 4 x
解析由双曲线方程判断出公共焦点在
答案 D x 轴上，
∴椭圆焦点 ( ± 3m2－ 5n2，0) ，
点，若 | AF| ， | BF| ， | CF| 成等差数列，则 ( ) A． x1，x2， x3 成等差数列 B． y1，y2， y3 成等差数列 C． x1，x3， x2 成等差数列 D． y1，y3， y2 成等差数列
答案 A
解析如图，过 A、 B、 C 分别作准线的垂线，垂足分别为
A′， B′， C′，由抛物线定
也可以是解答题． 5．高考对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关

课件2：第二章章末复习课

3.方程的思想
方程思想是从分析问题的数量关系入手,通过联想与类比,将问题中的条件转化为方程或方程组,然后通过解方程或方程组从而使问题获解.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决.
4.分类讨论的思想
分类讨论思想就是将整体问题化为部分问题来解决, 运用分类讨论思想解决问题时必须保证分类科学、统一、不重、不漏,并力求简便,求圆锥曲线方程时,若焦点所在轴的位置不确定,则需要讨论;对含有参数的轨迹问题常需要对参数讨论.
M(
－
c,y0),
则
－c2 a2
＋
y02 b2
＝
1,
解
得
:y0
＝
b2 a
.
∴
kOM
＝
y0 －c
＝
－
abc2,kAB＝－ab,∵OM∥AB,∴kOM＝kAB,即－abc2＝－ba,∴b＝c.
∴a＝
2c,∴e＝ac＝
2 2.
(2)设|QF1|＝m,|QF2|＝n,∠F1QF2＝θ,则 m＋n＝2a,|F1F2|＝ 2c,在△F1QF2 中, cos θ＝m2＋2nm2－ n 4c2＝m＋n22－m2nmn－2a2
①不妨设点 S 在 AD 边上,T 在 CD 边上,可知 1≤m< 5,S(－
2,m－2),D(－2,1),所以|ST|＝ 2|SD|＝ 2[1－(m－2)]＝ 2
(3－m),因此||PSQT||＝54
5－m2 3－m2,
令 t＝3－m(1≤m< 5),则 m＝3－t,t∈(3－ 5,2],
所以||PSQT||＝54
第二章圆锥曲线与方程
章末复习
专题一圆锥曲线定义的应用

圆锥曲线综合章末复习课件

长轴长：2a，短轴长：2b |F1F2|＝2c c e＝a(0<e<1)
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第二章圆锥曲线与方程
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3.关于椭圆的几何性质的几点说明 (1)利用椭圆的范围，可以求参数的范围． (2)椭圆的对称性与其标准方程的关系：方程中以－x换x，
方程不变，则曲线关于 y 轴对称；以－ y 换 y ，方程不变，则曲
线关于 x 轴对称；两者同时换，方程不变，则曲线关于原点对称． (3)椭圆的离心率与椭圆的圆扁程度：离心率越接近于 1，椭圆越扁；离心率越接近于0，椭圆越圆．
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二、双曲线及其简单几何性质 1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小
焦点在 y 轴上 y2 x2 a2－b2＝1(a>0，b>0)
图象
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第二章圆锥曲线与方程
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焦点在 x 轴上范围对称性顶点轴长焦距离心率渐近线 x y ± ＝0 a b x≤－a 或 x≥a
焦点在 y 轴上 y≤－a 或 y≥a
关于原点中心对称，关于 x 轴和 y 轴轴对称 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)
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高中数学第二单元圆锥曲线与方程章末复习课教学案新人教B版选修

第二单元圆锥曲线与方程学习目标1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．知识点一椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于定长(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内到两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于定值2a (大于0且小于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内到一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )距离相等的点的轨迹标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)y 2＝2px 或y 2＝－2px 或x 2＝2py 或x 2＝－2py (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，但有渐近线y ＝±b a x 或y ＝±abx无限延展，没有渐近线变量范围|x |≤a ，|y |≤b 或|y |≤a ，|x |≤b|x |≥a 或|y |≥ax ≥0或x ≤0或y ≥0或y ≤0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率 e ＝ca ，且0<e <1 e ＝ca ，且e >1 e ＝1决定形状的因素 e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小知识点二椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，则△PF 1F 2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S ＝b 2tan α2.(2)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c .知识点三双曲线及渐近线的设法技巧1．由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0(a >0，b >0)，即y ＝________；双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y 2a 2－x 2b2＝0(a >0，b >0)，即y ＝________.2．如果双曲线的渐近线方程为x a ±yb＝0，它的双曲线方程可设为________________．知识点四求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．知识点五三法求解离心率1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上，都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．2．方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．知识点六直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．类型一圆锥曲线的定义及应用例1已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n－y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是() A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．随m ，n 变化而变化反思与感悟涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．跟踪训练1抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则() A ．x 1，x 2，x 3成等差数列 B ．y 1，y 2，y 3成等差数列 C ．x 1，x 3，x 2成等差数列 D ．y 1，y 3，y 2成等差数列类型二圆锥曲线的方程及几何性质命题角度1求圆锥曲线的方程例2已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于()A ．1 B.32C ．2D ．3反思与感悟一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系．跟踪训练2设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为() A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x命题角度2求圆锥曲线的离心率例3如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．反思与感悟求圆锥曲线离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是在y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．跟踪训练3已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．类型三直线与圆锥曲线的位置关系例4已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点P 到左，右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若y 轴上一点M (0，37)满足|MA |＝|MB |，求直线l 的斜率k 的值．反思与感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法： (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．跟踪训练4如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB →与n ＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．1．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程表示() A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是()A ．2B. 3C. 2D.323．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为() A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是() A ．23p B ．43p C ．63pD ．83p5．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于________．在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题．答案精析知识梳理知识点三 1．±b a x ±a bx2.x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0) 题型探究例1B[设P 为双曲线右支上的一点．对于椭圆x 2m＋y 2＝1(m >1)，c 2＝m －1，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，对于双曲线x 2n－y 2＝1，c 2＝n ＋1，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，∴|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ， |F 1F 2|2＝(2c )2＝2(m ＋n )，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝(2c )2＝|F 1F 2|2，∴△F 1PF 2是直角三角形，故选B.]跟踪训练1A[如图，过A 、B 、C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义可知|AF |＝|AA ′|， |BF |＝|BB ′|， |CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p2，|CC ′|＝x 3＋p2， ∴2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3，故选A.]例2C[双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2.∵双曲线的离心率为2， ∴e ＝1＋b a2＝2，即b a＝±3，∴渐近线方程为y ＝±3x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x ＝－p 2，得y ＝－32p ， ∴|AB |＝3p ，S △OAB ＝12×p2×3p ＝3，解得p ＝2.]跟踪训练2C[由抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，知焦点F (p2，0)．设M (x ，y )，由抛物线性质|MF |＝x ＋p2＝5，可得x ＝5－p2.因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心横坐标为5－p 2＋p22＝52.由已知，得圆半径也为52，据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，则M (5－p2，4)，代入抛物线方程得p 2－10p ＋16＝0，所以p ＝2或p ＝8.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .] 例362解析由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4， |F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3，所以C 2的离心率e ＝c a ＝62. 跟踪训练3 6解析抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，又△FAB 为直角三角形，则只有∠AFB ＝90°，如图，则A (－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a 2＝15，于是c ＝a 2＋1 ＝65. 故e ＝c a＝ 6.例4解(1)由题意知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22，所以a ＝ 2. 又因为e ＝c a ＝22，所以c ＝22×2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2－1＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)已知F 2(1,0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1，化简得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2. 所以AB 的中点坐标为(2k 21＋2k 2，－k1＋2k 2)．①当k ≠0时，AB 的中垂线方程为 y －－k 1＋2k 2＝－1k (x －2k 21＋2k 2)，因为|MA |＝|MB |，所以点M 在AB 的中垂线上，将点M 的坐标代入直线方程得， 37＋k 1＋2k 2＝2k 1＋2k 2，即23k 2－7k ＋3＝0，解得k ＝3或k ＝36； ②当k ＝0时，AB 的中垂线方程为x ＝0，满足题意．所以斜率k 的取值为0，3或36.跟踪训练4解(1)因为2c ＝2，所以c ＝1.又AB →＝(－a ，b )，且AB →∥n ，所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1. Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1.(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，所以OP →·OQ →<0，即x 1x 2＋y 1y 2<0.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2 ＝m 2－2k 22k 2＋1. 由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0，得m 2<23k 2＋23. 依题意且满足(*)得，m 2<23，故实数m 的取值范围是(－63，63)．当堂训练1．D2.C3.B4.B5.2 2。

选修2-1第二章圆锥曲线高二期末考点复习

第二章圆锥曲线与方程§2.1曲线与方程面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间，如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是的解；2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．2),(2,3),(3,10)B C -是否在方程2210x xy y -++=表示的曲线上？为什么？2.已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和点(1,1)A ，求,a b 的值.求出表示曲线的方程．求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标；②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =；③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．口决：①建系，设点；②写出点的(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．2.已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足12PA PB =，求点p 的轨迹方程？椭圆及其标准方程12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的．若将常数记为2a ，当122a F F =时，其轨迹为；2时，其轨迹为． 14,0)，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是．2.如果椭圆22110036x y +=上一点P到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点的距离是． x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b+=>>，其中222b a c =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标，则椭圆的标准方程是， 1.已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（）． A． B ．6 C． D ．122.平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（）． A ．椭圆 B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹3.已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程．4.已知经过椭圆2212516x y +=的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线AB ，交椭圆于两点,A B ，1F 是椭圆的左焦点.（1）求1AF B ∆的周长；（2）如果,A B 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长有变化吗？为什么？5.方程2214x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围．6.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c ==y 轴上；⑶10,a b c +==．1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（）．A ．221259x y +=B ．221259y x +=(0)y ≠C ．221169x y +=(0)y ≠D ．221259x y +=(0)y ≠2.在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？椭圆及其简单几何性质x 轴为例）：①图形：②范围：x ：y ：③对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；④顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；⑤离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，记e =，且01e <<．2.椭圆的简单性质（以焦点在y 轴为例）：①图形：②范围：x ：y ：③对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；④顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；⑤离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，记e =，且01e <<．3.解题方法总结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ；②注意焦点所在坐标轴．1.若椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值是（）．A ．3B ．3或253CD2.求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =；⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =；⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．相交、相切、相离（用∆判定）．直线与椭圆相交，得到弦，弦长AB =（消y 留x ，韦达定理）．1122(,),(,)A x y B x y 是两交点坐标,其中k 为直线l 的斜率．另外消x 留y ，弦长公式AB = 2.中点弦与点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系（设而不求），弦长公式与点差法适用与其它圆锥曲线.1.经过椭圆2212x y +=的左焦点1F 作倾斜角为60 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．2.已知椭圆221164x y +=的弦AB 的中点M 的坐标是(2,1)，求直线AB 的方程及弦长||AB .§2.3.1 双曲线及其标准方程平面内与两定点12,F F 的距离的差的等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课ppt课件

C.钝角三角形 D.随m，n变化而变化
类型二圆锥曲线的性质及其运用
∴ba2＝12，ba＝ 22，
答案解析
(2)知抛物线y2＝4x的准线与双曲线代入双曲线方程－可得a2＝15， y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，假设△FAB为直角三角形，那么该双曲线的离心率于是c＝ a2＋1＝是56. ____.
类型三直线与圆锥曲线的位置关系
所以 x1＋x2＝1＋4k22k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝1－＋22kk2.
(1)求椭圆的规范方程；解答
所以 AB 的中点坐标为(1＋2k22k2，1＋－2kk2).
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，假设y轴上一点M(0①当k≠0时，，AB的中垂线方程为y－1＋－2kk2＝－1k(x－1＋2k22k2)， )满足 |MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值. 解答
所以 sin ∠F1PF2＝82711，所以
＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
S △ F P ＝12×3×9×82711＝4
1
11.即△F1PF2 的面积为 4
F2
11.
跟踪训练 1 已知椭圆xm2＋y2＝1(m>1)和双曲线xn2－y2＝1(n>0)有相同的焦点 F1，F2，P 是它们的一个交点，则△F1PF2 的形状是
设P为椭圆 xa22＋yb22 ＝1(a>b>0)上恣意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且 ∠F1PF2＝α，那么△PF1F2为焦点三角形(如图).
1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方
程中的 1 换成 0，即可得到两条渐近线的方程.如双曲线Байду номын сангаасx22－by22＝1(a>0，b>0)

课件1：第二章章末复习课

【例 2】若点 M(2，1)，点 C 是1x62 ＋y72＝1 椭圆的右焦点，点 A 是椭圆上的动点，则 |AM|＋|AC|的最小值是________．解析点 M(2，1)在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而 a＝4，|BM|＝（2＋3）2＋1＝ 26，所以(|AM|＋|AC|)最小＝8－ 26. 答案 8－ 26
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线 y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点 M、N.当|AM|
＝|AN|时，求 m 的取值范围．
解 (1)依题意，可设椭圆方程为ax22＋y2＝1，
则右焦点 F(
a2－1，0)，由题设|
a2－1＋2 2
2|＝3，
解得 a2＝3，故所求椭圆的方程为x32＋y2＝1.
2 2
.过F1的直线l交C于
A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 __________．
解析设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，
由e＝ 22，知ac＝ 22，故ba22＝12.由于△ABF2
的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋
|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为
又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，
则－m＋33mkk2＋1＝－1k，即2m＝3k2＋1
②
把②代入①得2m>m2，解得0<m<2，
由②得k2＝2m3－1>0，解得m>12，
故所求m的取值范围是(12，2)．
专题三圆锥曲线中的定值、定点问题以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的证明题常见的有：证明直线过定点和证明某些量为定值．而解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．

第二章 圆锥曲线 章末复习