长沙理工大学线性代数试卷
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
长沙理工大学往届高等数学试题及答案
长沙理工大学高等数学试题及答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xedxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy. 17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
长沙理工大学线性代数习题册答案详解
练习1.1一、1.6,8,6,8+1；2.n .二、1.()()24R A R A β==<,无穷多个解；2.()()3R A R A β==,有惟一解(5,0,3)；3.()2,()3R A R A β==,无解.三、1.21313212311342121338()312100101134113080006r r r r r r r r A β------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,()()R A R A β≠,无解；2.213132124142232423141245124507714()38213000041960000r r r r r r r r r r r r A β---↔----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, ()()23R A R A β==<,有无穷多个解；3.23211331323222*********()32134075951435200000r r r r r r rr r r A β↔-↔-----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,()()24R A R A β==<,有无穷多个解.四、321221331581824()18240231431690011r r r r rr A β-↔-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()3R A R A β==，358824369x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，有惟一交点.五、21231321241421212()417737371034571717233219200117174111316000072130000r r r r r r r r r r r r r r r A -⨯-------⎛⎫--⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪-=→→→→ ⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 1342343344313171719201717x x x x x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪=⎩，取34,x a x b ==，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=b x a x ba xb a x 4321172017191713173. 练习1.2一、1.≤，5，5；2.初等行变换.二、1.21313212343011*********r r r r r r r r A ++----⎛⎫⎪→→→-- ⎪ ⎪⎝⎭,()2R A =；2.34242132312343421()241()33162113430011020001000000r r r r r r r r r r r r r r r r B ⨯--⨯---------⎛⎫ ⎪--⎪→→→→ ⎪ ⎪⎝⎭,()3R B =； 3.31210101000r ar C a a -⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭,若a =0或a =1，()2R C =；若a ≠0且a ≠1，()3R C =. 三、1.23r r ↔；2.261r ⨯；3.)4(2131r r +. 四、1.()()()1+≤≤B R A R B R ；2.当)B ()A (R R ≠时，方程组无解；当n R R ==)B ()A (时，方程组有唯一解；n R R ＜)B ()A (=时，方程组有无穷多个解练习1.3一、1.无，无穷多个，唯一；2.)B ()A (R R <；3.n A R ＜)(，n A R =)(.二、1.32321221332731612122()3522401151109417200000r r r r r r r r A β-+-+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,方程组有无穷多解；2.3242213234312343144123434322315124731270117464136001512470001r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r A ----↔--+↔----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→→→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 方程组有惟一零解.三、2131133222222311111()11011110021r r r r r r r rA λλλλβλλλλλλλλλλλλλ--↔+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭, 1.当1≠λ，且2≠λ时，()()3R A R A β==,方程组有唯一解； 2.当λ＝－2时，()2,()3R A R A β==,方程组无解； 3.当λ＝1时，()()1R A R A β==,方程组有无穷多个解. 四、13211313212(2)25112222122()254201112451(1)(10)(1)(4)0022r r r r r r r r r A λλλλβλλλλλλλλλλ↔+⨯--+-+⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪⎪=--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭ ⎪⎝⎭1.当1≠λ且10λ≠时,()()3R A R A β==,方程组有唯一解；2.当10λ=时,()2,()3R A R A β==,方程组无解；3.当1λ=时,()()1R A R A β==，方程组有无穷多个解.1221()00000000A β-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,123122x x x =-+,令2x a =，3x b =，得122 321⎪⎩⎪⎨⎧==++-=b x a x b a x （b a ,为任意常数） 练习1.4一、1.r=k ；2.行，列，秩；3.⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001. 二、1.12421321233134341243231455343111100310010441001121000r rr r r r r r r r r r r r r r r r r E O -++---⨯---⨯-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→→→= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； 2.313144124221122342431324343453441421()2131122421112()134********11012201103100422012r r r r r c c r c c r r r r r r r r r r r r r c c r r c c r r r r r r ⨯----⨯+-+-⨯-+---+↔+---⎛⎫⎪⎪→→→→→→ ⎪⎪--⎝⎭10000010000010000010⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭()445E O ⨯；三、213123211202(1)2(1)4(1)03(1)3(1)6(1)r r r kr k A k k k k k k +---⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭，1.当1k =时，A →431000⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛E ；2.当k ≠1时，1121120112011201(1)20020k k A k k ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭, (ⅰ)2k =-，A →432000⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛E ；(ⅱ)2k ≠-，A →()4330⨯E .练习2.1一、1.1；2.1或-2.二、1.1；2.xyz z y x 3222-++；3.))()((a c c b b a ---． 三、14.练习2.2一、1.零；2.D k n n )1(-；3.111110()()0111a b c a b c b a a b bc a b a a b b a c a c aa cca b c aa c ++---+=--==--=---+--；4.103100204203100204110020411002041992003953992003954200395601330130060060130060013006004012--===-- 613100100(20)2000412-=-=-⨯-=-．二、1.1234102341023310234234110341011301131603412104120222004441231012301110004--====-------；2.2()2()2()02()0xyx y x y y x y x y y x y yx y x x y x y x x y x yxy x y x y x yx++++++=++=-++-- 2()2()000x y y x y x y y x y x y x y x xy++++=-+---2()2()000x y y x y x y y x y x y y x y xy++++=-----22332()()2()()()2()()2()x y x y x x y y y x y x xy y x y =+--+--=-+-+=-+；3.111111111020411102abac ae bdcd de abc de f abcdef abcdef bfcfef----=-=-=--；4.(1)(1)(1)00(1)00a b b a n b b b a n b b b b a b a n b a b a b b b a a n b b a a b +-+-+--==+-- 1[(1)]()n a n b a b -=+--．练习2.3一、1.64；2.4x ；3.－10；4.0,))((,212111b b a a b a ---；5.－2，0，2. 二、1.1)]()1([---+=n n a x a n x D ；（见练习2.2二、4.解法）2.21222242()()()()n n n n n D ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ---=-=-==-=- ．三、1.2122232421031132329635304167A A A A ---++==--； 2.4142434421031111035301111A A A A -+++==-． 练习2.4一、1.2，-1；2.c b a ≠≠.二、2124133223121211111D λλλλλλλλλ----+-=-=---2332(3)(2)0121λλλλλλλλ-+-==--=--,3,2,0=λ． 三、1.1,3,2,14321-====x x x x ；2.1,4,6,44321-==-==x x x x ． 四、甲、乙、丙三种化肥各需3千克，5千克，15千克.练习3.1 一、1.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛91101106,15803113；2.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----2536,14324101221 3.（10），⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------132132132；4.E 3；5.0，a d -. 二、1.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10001001n ； 2.2824211100713()1125312010823101110001210f A A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四、()()300014000.50.040.211115001300465047027000.40.060.42000800⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,总价值：4650万元；总重量：470吨；总体积：2700立方米.练习3.2 一、1.3221-⎛⎫⎪-⎝⎭；2.25112*11,9,813A A A A A A --======； 3.16；4.111111111111()()[()]()A B B BA B AA B B A A A B A B ------------+=+=+=+；5.AA . 二、1.1102214151122⎛⎫- ⎪⎪-- ⎪ ⎪-⎪⎝⎭；2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 11121. 三、1.1011101113113623210212432432856111312X --⎛⎫⎛⎫----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭；2.222,,()AX E A X AX X A E A E X A E +=+-=--=-,00101010141A E -==-≠,A E -可逆,121()()()()()X A E A E A E A E A E A E --=--=--+=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛341030102.四、11,P AP A P P --=Λ=Λ,1010110111*********A P P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Λ= ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭1010111122122212⎛⎫--+= ⎪--+⎝⎭. 五、2124,(2)4,[(2)]4A A E O A A E E A A E E -+=-=-⋅--=. A ∴可逆,11(2)4AA E -=--.练习3.3一、1.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8500320000520021,9320014500000910002023，2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-010000000010000001100000121n n a a a a ； 3.1111A O A O A O C C C A B O B O B OB --*--⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11A B A OO A B B --⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B A O O A B . 二、1.34202541004322A ==-⨯=--,881610A A ==；12A O A O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2212343450434305A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,442211145005A A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 22232202020222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,4422222642022A A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 44441442645000050000200022A O A OA ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭. 2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3401230000021000001200011.三、1.11111,A O E O A O A O A O E O B O E O B OB OB -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∴=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；11111,O A E O O A OB O B E B O O E B O AO AO -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2.A B E O E B A O M O C O C O E O E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,E O E B A O M E C A E A C O C O E O E===.练习4.1一、1.；；T T TT )4,3,2,1(,)13,4,5,17(21.2)8.1,7,2(,)1,1,1,3(------ 3.121233333(k k βααβααα=-=-+，为任意实数).二、123111111111111()3210012301230120120003αααβλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 1.当3λ≠时，123123()2,()3R R ααααααβ==，β不能由123ααα线性表示；2.当3λ=时，123123()()23R R ααααααβ==<，β能由123ααα线性表示，且表示式不惟一.三、β 可由12,,,m ααα 唯一线性表示，∴方程组1122m m x x x αααβ+++= 有唯一解，则1212()()m mR R m ααααααβ== ，从而12,,,m ααα 线性无关.练习4.2一、1.线性相关，线性无关； 2.＜，＝； 3.1； 4.无关.二、1.123110110000012()12200022000ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,123()23R ααα=<,123,,ααα相关； 2.123131131()223041315000ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 123()23R ααα=<,123,,ααα相关.三、1.设113221323()()()0k k k αααααα++-++=,即121232133()()()0k k k k k k ααα-++++=.123,,ααα 线性无关,1223130,0,0.k k k k k k -=⎧⎪∴+=⎨⎪+=⎩ 1100110101-=,方程组有非零解,123,,ααα线性相关. 2. 设112123123()()0k k k αααααα+++++=,即123123233()()0k k k k k k ααα+++++=.123,,ααα 线性无关,1232330,0,0.k k k k k k ++=⎧⎪∴+=⎨⎪=⎩ 11101110001=≠,方程组只有零解,123,,ααα线性无关. 四、解法1:设11221233123()(2)(2)0k a k a k αααααααα++++++-=,即12311232233(2)(2)()0k k k ak k k ak k ααα++++++-=.123,,ααα 线性无关,1231232320,20,0.k k k ak k k ak k ++=⎧⎪∴++=⎨⎪-=⎩ 若12123123,2,2a a αααααααα++++-线性无关,则方程组只有零解,2121121001a a a =-≠-,1±≠a . 解法2:12123123123121(22)()1201B a a a a ααααααααααα⎛⎫ ⎪=++++-= ⎪ ⎪-⎝⎭,若12123123,2,2a a αααααααα++++-线性无关,则()3R B =,又121()12301R B R a a ⎛⎫ ⎪≤≤ ⎪ ⎪-⎝⎭,12112301R a a ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪-⎝⎭,2121121001a a a =-≠-,1±≠a .五、设1234()a bc d b a d c A c d a b d c b a αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪-- ⎪--⎝⎭, 22222222222222220000000000T a b c d a b c d AA a b c d a b c d ⎛⎫+++⎪+++⎪= ⎪+++ ⎪⎪+++⎝⎭,222224()T T a b c d AA A A A A A +++====,0,0,()4abcd A R A ≠∴≠= ,1234,,,αααα线性无关.练习4.3一、1.T 中任一个向量都可由s ααα,,,21 线性表出；2.＜，＝；3. 4，5321,,,αααα.二、123217121121121121217055055()055055055000318318055000ααα------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123()23R ααα=<,123,,ααα线性相关.三、1234132213221322223204120231()311208540854111102310412αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪------⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭71110100132222202313110101022200700010001000500000000⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1234(,,,)3R αααα=,123,,ααα为一个最大无关组,4121122ααα=+.四、设1212(),,,,n n B αααααα= 线性无关,(),0R B n B ∴=≠.1212()n n A A A A AB A B αααααα=== ,1212()00()n n R A n A A A A R A A A n αααααα=⇔≠⇔≠⇔=12,,,n A A A ααα⇔ 线性无关.自测题（第一、二、三、四章）一、填空题1.-3；2.4m -；3.0；4.2,1-≠≠λλ；5. 任一n 维向量都是0Ax =的解，则n 个n 维单位坐标向量12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)T T T n εεε=== 是0Ax =的解，则1212()()(000)n n A AE A A A A O εεεεεε===== ，从而()0R A =.6.3,0-≠k ；7.2；8.-4；9.20,0,20,2,1,2A E A E A E +=-=-=∴- 为A 的特征值,2124A =-⋅⋅=-, 31*2(4)16A A-==-=.10.1110111101P AP D A PDPA PDP PDP PDP PD P ------=⇒=⇒==101010111111102122211202112221-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、21322217204292-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭.三、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=313223X .四、160.五、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-6493244361A .六、因为1121111111022110221131824000001302000000----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，所以，第一列与第二列是一个最大无关组.七、()1111111122(2)3010323000A a b ab a a b a b β--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-+→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭, 当0a b ==时，()1,()2R A R A β==；当0,0a b =≠时,()2,()3R A R A β==,无解；当b a a ≠≠，0时，()()3R A R A β==,有惟一解:Taa x )0,1,11(-=， 当b a a =≠,0时,()()2R A R A β==有无限多个解:TTaa k )0,1,11()1,1,0(1-+=α. 八、()123411111011212324335185a b a ααααβ⎛⎫⎪-⎪= ⎪++ ⎪+⎝⎭11111102100112101121012100100225200010a b a b a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪++ ⎪⎪-++⎝⎭⎝⎭1.当0,1≠-=b a 时，β不能表示成4321,,,αααα的线性组合；2.当1-≠a 时,β能由4321,,,αααα唯一线性表示:32111112αααβ+++++++-=a ba b a a b练习5.1一、1.A 0=；2.≠A 0；3.无关；4.2；5.0,1；二、111111111100111100220011112200330000A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,121234340,,0..x x x x x x x x -==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩ 令2142x c x c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则通解为 11213224,,,x c x c x c x c =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或121212341010,(,)0101x x c c c c R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 三、112111211022211103310103221201030038A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭101003010380013⎛⎫- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，14243410,33,8.3x x x x x x ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩取43x =，得方程组的一个基础解系为10983ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭.练习5.2一、1.b AX =；2.1；3.04321=+++a a a a ；4.≠A 0.二、1111021*********22()422120001000010211110002000000A β⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭, 1234111,2220,x x x x ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩即1234111,2220,x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩令2132x c x c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得 11221324111,222,,0,x c c x c x c x ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩即12121234111222010,(,)001000x x c c c c R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 三、见练习1.3第三题.四、充分性:若0A ≠,则A 可逆,对任一0β≠,方程组Ax β=唯一解1x A β-=.必要性:若对任一0β≠,Ax β=有解,则当β分别为12100010,,,001n εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭时,方程组有解,即存在12,,,n ηηη ,使得1122,,,n n A A A ηεηεηε=== , 则121212()()()n n n A A A A E ηηηηηηεεε=== ,A ∴可逆,0A ≠.练习5.3一、1.零，非零；2.是，0；3.是，3.二、123123512351235()111003450345032703270022αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭123512081208100203450309010301030011001100110011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123123()3,,,R αααααα=∴ 线性无关,从而是3R 的一个基.12323βααα=+-,β在基123ααα下的坐标为(2,3,1)-.三、11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,21221112301[,]2111[,]331113αββαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 31323312112220301[,][,]111101[,][,]3232111123αβαββαββββββ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111e ββ==1(1,1,1)3T ,222e ββ==1(2,1,1)6T -,333e ββ==1(0,1,1)2T -. 练习6.1一、1.0, <, 非零；2.0；3.1，3121，，6，11，18；4.1，2，3.二、1.233256356356911022020121121121r r c c A E λλλλλλλλλλλ+--------=--=--=-----2359(2)(2)(44)(2)11λλλλλλλ--=-=--+=----,令0A E λ-=，得===321λλλ 2.对于2λ=解方程组()0A E x λ-=,得基础解系12(2,1,0),(1,0,1)T Tξξ=-=,则A 的对应于===321λλλ2的全部特征向量为12(2,1,0)(1,0,1)T T k k -+(12,k k 不同时为零)； 2.121321133133133353153020664464464c c c c r r A E λλλλλλλλλλλλλ++--------=--=---=----------21313(2)(2)(4)(2)(4)4411λλλλλλλλλ--=--=-+-=+---,令0A E λ-=,得221-==λλ,=3λ 4.对应于221-==λλ的全部特征向量为T T k k )1,0,1()0,1,1(21-+(12,k k 不同时为零)；对应于=3λ4的全部特征向量为3(1,1,2)T k (03≠k ).三、已知A ξλξ=,要证k k A ξλξ=,用数学归纳法.因为当1k =时等式成立,假设当k m =时等式成立,即m m A ξλξ=,则11m m m m m m A AA A A ξξλξλξλλξλξ++=====,即1k m =+时等式也成立,所以对一切正整数k 等式成立. 四、用反证法.假设12αα+是A 的对应于特征值λ的特征向量,即1212()()A ααλαα+=+由已知111222,A A αλααλα==,12121122()A A A ααααλαλα+=+=+,则有121122()λααλαλα+=+,从而有1122()()0λλαλλα-+-=.1212,,λλαα≠∴ 线性无关,则12120,0λλλλλλλ-=-=⇒==,与12λλ≠矛盾,所以12αα+不是A 的特征向量.练习6.2一、1.n ；2.B AP P =-1；3.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123λλλ；4.设1212(),,P αααα= 线性无关，12()2,0,R P P αα∴=≠可逆.121212120202()()(02)()0101AP A A A P αααααααα⎛⎫⎛⎫===+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则10201P AP -⎛⎫=⎪⎝⎭,A 与0201⎛⎫ ⎪⎝⎭相似,特征值相同,0201⎛⎫⎪⎝⎭的特征值为0和1,所以A 的非零特征值为1. 二、1.1211(1)0,0,10A E λλλλλλλ--==--===-，12λλ≠，A 能对角化；2.22122125335375121A E λλλλλλλλ------=--=--------223111211(1)(1)034375344λλλλλλλλλλ----=-==+=-+=+-----+--， 1231λλλ===-，,()0A E O R A E +≠+≠，A 不能对角化.三、202312520111A E xx x x -=-=-+-=-,2=x 或21=x . 2=x 时,12312344440421121121111211212r r r A E λλλλλλλλλλλλλ++-------=--=--=------ 4411(1)(1)(4)(1)(4)(1)01212λλλλλλλλλλ--=--=-+-=-+--=--,1231,4,1A λλλ=-==，能与对角阵相似；21=x 时,3112312312311111222122224221210221112r r A E λλλλλλλλλλλ-----=--=--=---+---3121252111220(52)(22)(1)04410c c λλλλλλλ+--=-=---+=+,1235,1,12A λλλ===-，能与对角阵相似.四、1.已知112212,,11,,A A αααααα=-=-≠∴ 线性无关.设1122330k k k ααα++=,则331122331122k k k k A k A k A αααααα=--⇒=--32311223311232()()()k k k k k k k ααααααα⇒+=---⇒=-+ 1122112321132()20k k k k k k k αααααα⇒--=-+⇒-= 13220,00k k k α⇒==⇒=,而,则123,,ααα线性无关.2.1231231223123100()()()()011001AP A A A A ααααααααααααα-⎛⎫ ⎪===-+= ⎪ ⎪⎝⎭,100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.练习6.3一、1. 正交的；2.线性无关的；3.实数；4.若0A =，则A 有特征值10λ=.设A 还有两个特征值为23,λλ.A 的特征值互不相同,230,0λλ∴≠≠,且A 能对角化,即存在可逆矩阵P ,使得1230P AP λλ-⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭. 11()()(),()()(),()()2R R P AP R A R A R P P R R A R --Λ=≤=Λ≤Λ∴=Λ= .二、1.A 与012⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似,A ∴的特征值为0,1,2. 2111()011A ααβαββ==--=,010201A E ααβαββ-===⇒0==βα；2.对于10λ=,解方程组0Ax =,得1(1,0,1)T ξ=-. 对于21λ=,解方程组()0A E x -=,得2(0,1,0)T ξ=. 对于32λ=解方程组(2)0A E x -=得3(1,0,1)T ξ=.123,,λλλ 互不相同,123,,ξξξ∴两两正交,将123,,ξξξ单位化: 3121231231111(,0,),(0,1,0),(,0,)2222T T Tp p p ξξξξξξ==-====, =P 12311022()01011022p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦为正交矩阵,使1P AP B -=. 三、设A 的与特征值6对应的特征向量为3123(,,)Tx x x α=,363,α≠∴ 与1α，2α都正交,3132[,]0,[,]0αααα==,131230,20,x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩解得基础解系3(1,1,1)Tα=,A 的与特征值6对应的全部特征向量为333(0)k k α≠.121[,]0,ααα=∴ 与2α正交,故123,,ααα两两正交,将它们单位化:31212311121111(,0,),(,,),(,,)22666333T T Tαααααα=-=-=, 得正交矩阵11126321063111263P ⎛⎫-⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,使1336P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1333366TA P P P P -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111102632234112112103141636666114111111263333⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.四、()2,R A A =∴ 的特征值有且只有一个是0.设λ为A 的特征值,则2()2f λλλ=+为2()2f A A A =+的特征值,而()f A O =的特征值必为0,220,0λλλ∴+==或2-.A 的全部特征值为2,0321-===λλλ.练习7.1一、1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡310122021；2.323121x x x x x x f ++=；二、1.1222212122311112222nn n n n ii i i i f x x x x x x x x x xx x --+===+++----=-∑∑ ，()()R f R A n ==.2.23()32(23)(32)(745)745x y z f x y z x y z x x y z y x y z z x y z x y z ++⎛⎫ ⎪=++=++++++++ ⎪ ⎪++⎝⎭2222152352106()133535x x y z xy xz yz x y z y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,215133()()3535A R f R A ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭，.三、1.112323220220()212212020020T x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭112323112220112200012212012()010001020001004TT y y y y y y y y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=----=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22212324y y y =-+.2.112323220220()212212020020T x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭11232311111122010022011212011()010*********022TTy y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=----=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222123y y y =-+.四、1.220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,32368(1)(2)(4)A E λλλλλλλ-=-++-=--+-,令0A E λ-=，得1231,2,4λλλ==-=.对于11λ=,解方程组()0A E x -=,得基础解系1(2,1,2)T ξ=-； 对于11λ=-,解方程组(2)0A E x +=,得基础解系2(1,2,2)T ξ=； 对于34λ=,解方程组(4)0A E x -=,得基础解系3(2,2,1)T ξ=-.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :312123212333122()333221333P ξξξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使1124T P AP P AP -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()24T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====-+.2.222254245A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭, 22220220225421421424521549A E λλλλλλλλλλλ-------=--=--=----------2222(1)(1)(1110)(1)(10)49λλλλλλλλ--=-=--+=-----,令0A E λ-=，得1231,10λλλ===.对于121λλ==,解方程组()0A E x -=,得基础解系12(2,1,0),(2,4,5)TTξξ=-=； 对于310λ=,解方程组(10)0A E x -=,得基础解系3(1,2,2)T ξ=-.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :3121232213535142()3535520335P ξξξξξξ⎛⎫-⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使11110TP AP P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()10T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====++.五、1111111A a a --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,A 的特征值为2,2,b ,则221113b ++=++=,1b =-. 又2111211(1)0,111A E a a a a ----=--=+=∴=---. 111111111A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭.对于122λλ==,解方程组(2)0A E x -=,得基础解系12(1,1,0),(1,1,2)T T ξξ=-=-；对于31λ=-,解方程组()0A E x +=,得基础解系3(1,1,1)T ξ=.123,,ξξξ两两正交,将它们单位化,构成正交矩阵P :312123111263111()26321063P ξξξξξξ⎛⎫-⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,使1221TP AP P AP -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭. 作正交变换x Py =,则222123()()()22T T T T f x Ax Py A Py y P AP y y y y ====+-. 且22()()()T T T T T T xx x Py Py y P P y y Ey y y y ======,2222222212312322222222236T f y y y y y y yx x x =+-≤++====⋅=,∴f 在3=X X T 下的最大值为6.(上式在30y =时等号成立,即取得最大值)练习7.2 练习7.3一、1.22231213232444f x x x x x x x x =-+--22222123121323132(222)23x x x x x x x x x x x =+++---- 222123132()23x x x x x =+---,令11123233x y x x x y x y=⎧⎪+-=⎨⎪=⎩，则22212322f y y y =-+-. 所作的可逆变换为11212333x y x y y y x y =⎧⎪=-++⎨⎪=⎩，即112233*********x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2.令11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩,则2222221212231133223322442(2)2(2)f y y y y y y y y y y y y y y =-++=++--+2213232()2()y y y y =+--,令13123233y y z y y z y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩,即11322333y z z y z z y z=-⎧⎪=+⎨⎪=⎩,则221222f z z =-. 所作的可逆变换为1122123332x z z x z z z x z =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩,即112233*********x z x z x z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、1.不是,2210a bA a b b a==--=-<- ；2.是正, 是负.三、1140102t A t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若A 为正定,则2211140,404204102t t t t t t =->=->,⇒22<<-t .四、1112125t A t--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,若A 为负定,则 2211110,125401125t t t tt t t---=->-=-<---,⇒540<<t .五、设λ是A 的特征值,则2()56f λλλ=-+是2()56f A A A E O =-+=的特征值,25602λλλ∴-+=⇒=或3λ=.A 的特征值全为正,则A 是正定矩阵.六、设λ是A 的特征值,A 为正定,0λ∴>.()T T T T A E A E A E A E λλλλ-=-=-=- ,T A ∴与A 有相同的特征值,从而TA 的特征值全大于0,则TA 也为正定.1A - 的特征值为1λ,1A -∴的特征值全大于0,则1A -也为正定.*A 的特征值为Aλ,而0A >*A ∴的特征值全大于0,则*A 也为正定.七、B 为正定,B ∴为对称矩阵,有TB B =,且0,B B >可逆. 0x ∀≠,则0Bx ≠(否则11()00x B Bx B --==⋅=).从而有()()()0TTTTf x BAB x x B ABx Bx A Bx ===>(A 为正定), 故BAB 为正定.自测题(第五、六、七章)一、1.0；2.若2是A 的特征值，则12是1A -的特征值，212⎛⎫ ⎪⎝⎭是1221()()A A --=的特征值，2122⎛⎫ ⎪⎝⎭是212112()()2A A --=的特征值，211()2A -∴必有一个特征值为12.3.2,2,-2；4.10==y x ，；5.–3；6.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----321222121；7.0；8.3； 9.2122121,430,1,31212A A E λλλλλλλ---⎛⎫=-==-+=== ⎪---⎝⎭,22123f y y =+ 10.1122112212()s s s s s A k k k k A k A k A k k k ηηηηηηβββ+++=+++=+++12()s k k k ββ=+++= , 12(1)0s k k k β+++-= ,12120,101s s k k k k k k β≠∴+++-=⇒+++=二、练习6.1二、1.(2)0R A E -≠,A 不相似于对角阵.三、设1112132122233132,1a a a A a a a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为正交矩阵,A ∴的列向量是单位向量, 2222221323313213233132(1)1,(1)10a a a a a a a a ++-=++-=⇒====,1112212200,0001a a A a a Ax ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭的解为1111222000000011T a a x A A a aββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 四、设A 的与4λ=对应的特征向量为123(,,)Tx x x ,它与2λ=-对应的特征向量1η正交,12320x x x ∴-++=,它的一个正交基础解系为23(1,1,0),(1,1,1)T T ηη==-,31212311162311162321063P ηηηηηη⎛⎫-⎪⎪⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1244P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1223124413244220T A P P P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11162311162321063x y ⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.五、见自测题(第一,二,三,四章)七大题当0=a 时，无解；当b a a ≠≠,0时，有惟一解:Taa x )0,1,11(-=，当b a a =≠,0时,有无限多个解:TTaa k )0,1,11()1,1,0(1-+=α. 六、1.()11231001011,00121P P AP ααα-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,1110011001000011002101110121011022A P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥==-=- ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦； 2.10101110011001000011002101110121011022A P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥==-=- ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 七、A 为正交正定矩阵,1121,TTA A A A A A A AA AA E ---∴==⇒=⇒=== 设λ为A的特征值,α为对应的特征向量,即22222(1)0A A E αλααλααλααλαλα=⇒=⇒=⇒=⇒-=,20,10αλ≠∴-= ,又A 为正定,1λ∴=,即A 的特征值全为1,A 与E 相似, 11,P AP E A PEP E --===.八、设20120()(0)m m f x a a x a x a x a =++++≠ ,假设0是A 的特征值,则(0)f 是()f A O =的特征值,0(0)0f a ∴==,与已知矛盾, 0∴不是A 的特征值.模拟试题一一、1.设()123B βββ=，AB O = ，即()()()123123000A A A A ββββββ==，1230,0,0A A A βββ∴===，则123,,βββ是方程组0Ax =的解向量，又()2,R A =∴ 0Ax =的基础解系含有1个解向量，即0Ax =只有一个线性无关的解，故123,,βββ最多只有一个线性无关，123()(,,)1R B R βββ=≤，又,()0,()1B O R B R B ≠>∴=.2.1230262!0032000n nA n n n==, (1,2,,)222(1)(1)2(1)2(1)2(!)2i n i r r i n nn n n n n O AA OB A A A n A OOA+↔=======-=-=-=- .3.122212123304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,A α 与α线性相关,2334111a a a a a ++∴==⇒=-. 4.()101310131001111401010101011301130012αβγξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ξαβγ=++,ξ在基,,αβγ下的坐标为(1,1,2).5.()3,0R A Ax =∴= 的基础解系含有4-3=1个解向量. 123,,ηηη 是Ax β=的解,1223,ηηηη∴--是0Ax =的解,则1223123()2()32(0,1,0,0)T ξηηηηηηη=---=-+=是0Ax =的基础解系. 又*123`1()(1,2,3,4)3T ηηηη=++=-是Ax β=的解,Ax β∴=的通解为 (1,2,3,4)(0,1,0,0)()T T x c c R =-+∈.6.23*12*1*1221()()()32TT A B A A B A A B A AA B---====. 7.()2211123()4()()()44A A E O A E E A E A E E A E A E ---=⇒-=⇒--=⇒-=-.8.设A 的特征值为12,,,,1n i λλλλ= 或1(1,2,,)i n -= .A 为实对称矩阵,∴存在可逆矩阵P ,使得121n P AP λλλ-⎛⎫ ⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ ,则1A P P -=Λ, 21222111122111n A P P P P P P PEP E λλλ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=Λ==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.二、*29A B -=- *1*1119[(2)]9(2)9(2)9(2)A E A A AA A A E A E ----=-=-=-=+1203932019000303009001⎛⎫- ⎪-⎡⎤⎪⎢⎥ ⎪==⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎪⎣⎦- ⎪ ⎪⎝⎭.三、22222(2)2(2)A A E O A kA A kA k k E E k k E O ++=⇒++-+-+--=2()(2)()(22)A A kE k A kE k k E ⇒++-+=--+ 2[(2)]()(22)A k E A kE k k E ⇒+-+=--+,221,220,[(2)]()22k R k k A k E A kE E k k ∀∈-+>-+-+=-+,A kE ∴+可逆,[]121()(2)22A kE A k E k k -+=-+--+.四、()()121122n n n n n n B t t t βββαααααα==+++()12121000101n n t t t ααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭, 当1-=n t 时,()1R B n n =-<,方程组有非零解.五、A 是正交矩阵,A ∴的列向量是两两正交的单位向量,0,1,Ti j i ji j αα≠⎧=⎨=⎩则()12121121100001000101T T T n T n T T T T n B A C ααααααβαβαβαβ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 100,T T B A B A B A C B B ====≠⇒≠ 可逆,111111111()()()()()T T T T T T B CA B B CA AC B AC C A ---------=⇒===⇒==.六、设0λ是B 的任一特征值,则0()0f λ=.()f A 可逆()f A ⇔的特征值全不为00()0f λ⇔=不是()f A 的特征值0λ⇔不是A 的特征值.七、1.设A 的特征值为12,,,n λλλ ,{}12max ,,,nk λλλ= .A 为实对称矩阵,∴存在正交矩阵P ,使得121T n P AP P AP λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , ()112212()()T T T T n n n y y f x Ax Py A Py y P APy y y y y λλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2221122n n y y y λλλ=+++ ,22222222112212T T n n n x Ax y y y ky ky ky k y k x kx xλλλ=+++≤+++=== .()22()()T T T T T T x x x Py Py y P Py y Ey y y y======2.222211111333T T T AA αααααααααααα=≤==.八、本教材无此概念.模拟试题二一、1.42342311a a a a ；2.(2 3)，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------132132132；3.()n A R =；4.3213αααk +-；5.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛310122021.二、1.)(233y x +-；2.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-2/12/511412/12/101A ；3.2=λ；4.213212),,(ααααα，，=R ；5.TT 2T 10,0,1110,1121,0,111,119c 0,1,115,111c x ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；6.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-==12/12/1p ,011p ,111p 9,1,0321321；λλλ；7.23222142y y y ++-. 三、1.∵()()()()()E AA AEA A BB A A B AB AB AB T T T T T T T=====,∴AB 也是正交矩阵. 2.设R k k k ∈321,,，使得()()0321321211=+++++ααααααk k k ,即 ()()0332211321=+++++αααk k k k k k ,∵321,,ααα线性无关,∴0000321332321===⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++k k k k k k k k k , ∴321211,,αααααα+++线性无关.。
长沙理工大学往届高等数学试题及答案
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错选、多选或未选均无分。
1．设，且函数的反函数，则（）2．（）A．0 B．1 C．-1 D．3．设且函数在处可导，则必有（）4．设函数，则在点处（）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设，则（）二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+)+f(x-)的定义域是__________.7．8．9.已知某产品产量为g时，总成本是，则生产100件产品时的边际成本10.函数在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数的单调减少区间是___________.12.微分方程的通解是___________.13.设___________.14.设则dz= _______.15.设_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设，求dy.17.求极限18.求不定积分19.计算定积分I=20.设方程确定隐函数z=z(x,y)，求。
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21．要做一个容积为v的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？22.计算定积分23.将二次积分化为先对x积分的二次积分并计算其值。
湖南理工学院高等代数试卷(2)
高等代数试卷（2）1． 填空题：（2×10=20）1．若向量组可由线性表示，且r>s,则线性。
2．数域P上所有n阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是；3．设是线性空间V的两个子空间，则的充分必要条件是= ；4．数域P上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是。
5．设V是数域P上的n维线性空间，是V上一切线性变换所成的P上的线性空间，则dim(L(V))= 。
6．设是线性空间V的一组基，则由这个基到基的过度矩阵是。
7．令P n[x]表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式组成的线性空间，，则关于基下的矩阵是。
8．设是n维欧氏空间V上的一个正交变换，且（单位变换），则是变换。
9．欧氏空间V上的对称变换的特征根都是数。
10．设是n维欧氏空间V的一组标准正交基，则它的度量矩阵是。
二．判断题（每题1分，计10分）1．设。
（）2．两个等价的向量组一个线性无关，则另一个也线性无关。
（）3．若，，且V中的任意一个向量都可由线性表示，则实数是V的组基。
（）4．线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。
（）5．如果一个线性变换是单射，则它无零特征根。
（）6．设是线性空间V上的一个线性变换，则的核与的象都是的不变子空间。
（）7．如果W是欧氏空间的一个子空间，那么对V的内积来说，W也作成欧氏空间。
（）8．设是欧氏空间V上的一个正交变换，则对于夹角等于的夹角。
（）9．两个n元二次型（与（等价的充分必要条件是A与B合同。
（）10．实二次型（正定的当且仅当A合同于单位矩阵。
（）三、证明题（10×3=30）1．在一个欧氏空间里，对任意向量有不等式；且仅当线性相关时等式成立。
2．设V是数域P上的n维线性空间，是V的一组基，那么对V的任意n个向量有且仅有一个线性变换 σ 使得。
3．设，令V表示A的全体实系数多项式矩阵关于通常加法与数乘运算构成的线性空间；证明：dim(V)=3.四、计算题（15×2=30）1．设，求出一个正交矩阵U，使得是对角矩阵。
长沙理工大学线性代数考试试卷及答案
长沙理工大学模拟考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………………试卷编号1拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名…………………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次）线性代数课程代号0701011专业全校各专业层次（本、专）本科考试方式（开、闭卷）闭卷一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。
每小题2分，共10分）1.设阶方阵可逆且满足，则必有（）2.设是的解，则是的解（）3.若矩阵的列向量组线性相关，则矩阵的行向量组不一定线性相关（）4.设表示向量的长度，则（）5.设是的解，则是的解（）二、填空题：(每小题5分，共20分)1.计算行列式＝；2.若为的解，则或必为的解；3.设n维向量组，当时，一定线性，含有零向量的向量组一定线性；4.设三阶方阵有3个特征值2，1，-2，则的特征值为；三、计算题（每小题10分，共60分）1.；第1页（共2页）2.若线性方程组有解，问常数应满足的条件3.设是方程组的解向量，若也是的解，则；4.求齐次线性方程组的基础解系；5.已知矩阵与矩阵相似，求的值；6.设为正定二次型，求.四、证明题（10分）：设向量组线性无关，证明线性无关。
长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称：线性代数试卷编号：1一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。
每小题2分，共10分）1，×2，×3，√4,×5,√二、填空题：(每小题5分，共20分)1，42；2，；3，相关，相关；4，4，1，4.三、计算题（每小题10分，共60分）1.==5（5分）=5＝5（5分）2.（2分）（5分）若有解，则A的秩与的秩相等，即。
（3分）3.（6分）∴(1)当时，矩阵的秩为2；（2分）(2)当时，矩阵的秩为3.（2分）第1页（共3页）4.对系数矩阵作作初等行变换得同解方程组令，；得，基础解系为：5.解：∵与相似，∴特征多项式相同，即亦即6.解：的矩阵为∵为正定二次型，∴的各阶主子式大于0．即＞0，＞0＞0第2页（共3页）解联立不等式组＞0或＜0＜＜或＜＜0＜＜0即当＜＜0时，为正定二次型．四、证明题（10分）：证明：设存在一组数使得，（3分）又向量组线性无关，因此，（7分）由此可知，只有当时，等式才成立，即向量组线性无关。
长沙理工大学高等数学期末考试试卷(含答案)
长沙理工大学高等数学期末考试试卷(含答案)
一、高等数学选择题
1．由曲线，直线，轴及所围成的平面图形的面积为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
3．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
4．函数的图形如图示，则函数的单调减少区间为
( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
5．极限（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C
6．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
7．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
8．不定积分 ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
9．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
10．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
11．函数的定义域为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
12． ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
13．设函数，则导数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
14．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
15．函数的定义域为．
A、正确
B、不正确
【答案】B。
大一线性代数期末考试试卷+答案
大一线性代数期末考试试卷+答案(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n 2② 12-n③ 12+n④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
(完整版)线性代数试题套卷及答案
（线性代数） （ A 卷）专业年级： 学号： 姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。
2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。
3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线 性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。
4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。
5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6． 列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝ ，a ＝ ，b ＝ 。
2022年线性代数试卷及答案6套
线性代数试卷及答案6套．试卷(一): 一． 填空题（每小题4分，共20分）1．已知正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200010001AP P T ，则.________)(2006=+P A E A P T2．设A 为n 阶方阵，n λλ,,1 为A 的n 个特征值，则 ._________)det(2=A 3．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：._________4．若向量组T T T t )3,2,(,)1,3,2(,)2,4,0(===γβα的秩为2,则._____=t5．,27859453251151)(32--=x x x x D 则0)(=x D 的全部根为:_________.二． 选择题 （每小题4分，共20分）1.行列式001010100 ---的值为( ).A. 1B. -1C. 2)1()1(--n n D. 2)1()1(+-n n2. 对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于( ).A. 左乘一个m 阶初等矩阵B. 右乘一个m 阶初等矩阵C. 左乘一个n 阶初等矩阵D. 右乘一个n 阶初等矩阵 3. 若A 为n m ⨯矩阵,{},,0|,)(n R X AX X M n r A r ∈==<= 则( ). A. M 是m 维向量空间 B. M 是n 维向量空间 C. M 是r m -维向量空间 D. M 是r n -维向量空间 4. 若n 阶方阵A 满足,,02=A 则下列命题哪一个成立 ( ).A. 0)(=A rB. 2)(n A r =C. 2)(n A r ≥D. 2)(nA r ≤5. 若A 是n 阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A. 矩阵T A 为正交矩阵 B. 矩阵1-A 为正交矩阵 C. 矩阵A 的行列式是1± D. 矩阵A 的特征值是1±三. 解下列各题（每小题6分,共30分）1. 若A 为3阶正交矩阵, *A 为A 的伴随矩阵, 求).det(*A2. 计算行列式.111111111111aa a a 3. 设,,100002020B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求矩阵.B4. 求向量组,)2,1,2,1(1T =α,)2,1,0,1(2T =α,)0,0,1,1(3T =αT )4,2,1,1(4=α的一个 最大无关组.5. 求向量T )1,2,1(=ω在基,)1,1,1(T =α,)1,1,0(T =βT )1,1,1(-=γ下的坐标. 四. (12分) 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+++-=++-+631052372322543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵3123222132122),,(x x x x x x x x x f -++= 六. 证明题(6分)设r ξξξβ ,,,021≠是线性方程组β=AX 对应的齐次线性方程组的一个 基础解系,η是线性方程组β=AX 的一个解, 求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关.试卷（二）：一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）（1）,180380162176380162225379162（2）求,3222E A A ++其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3112A（3）已知向量组T T T t ),2,1(,)3,3,2(,)3,2,0(321-===ααα线性相关,求.t (4) 求向量T )4,2,1(-=α在基T T T )1,2,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321-===ααα下的坐标.(5) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5321A , 求A 的特征值.二.(8分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002130A ,且,B A AB T +=求矩阵B.三. (8分) 计算行列式: 100200300321x c b a四. (8分) 设有向量组,)6,0,2,3,3(,)7,2,0,1,1(,)5,2,1,0,1(,)3,2,1,1,0(4321T T T T -=--===αααα 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+-=-+-+.18257,432,1042354315432154321x x x x x x x x x x x x x x六. (8分) 求出把二次型323121232221222)(x x x x x x x x x a f -++++=化为标准形的正交变换,并求出使f 为正定时参数a 的取值范围.七. (10分) 设三阶实对称矩阵A 的特征值为3(二重根)、4(一重根),T )2,2,1(1=α是A 的属于特征值4的一个特征向量,求.A 八. (10分) 当b a ,为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,233,1032,4321321321x bx x x bx x x x ax 有惟一解、无穷多解、无解?九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设A 是可逆矩阵, ,~B A 证明B 也可逆, 且.~11--B A (2) 设βα,是非零1⨯n 向量,证明α是n n ⨯矩阵T αβ的特征向量.试卷(三):一. 填空题（共20分）1. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有唯一解的充分必要条件是：2. 已知E 为单位矩阵, 若可逆矩阵P 使得11223,P AP P A P E --+= 则当E A -可逆时, 3A =3. 若t 为实数, 则向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3+t ）的秩为:4. 若A 为2009阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =5. 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1ni i i i E A λ=-∑ =二. 选择题（共20分）1. 如果将单位矩阵E 的第i 行乘k 加到第j 行得到的矩阵为)),(,(k i j P 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘k 加到第j 列相当于把A ：A, 左乘一个));(,(k j i P B ，右乘一个));(,(k j i PC ． 左乘一个));(,(k i j PD ，右乘一个)).(,(k i j P2. 若A 为m ×n 矩阵，B 是m 维非零列向量，()min{,}r A r m n =<。
线性代数考试题库及答案(一)
线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。
项。
4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。
9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。
(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。
2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。
改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
长沙理工大学近年高数上期末考题(1)
长沙理工大学考试试卷………………………………………………………………………………………………………………………一、填空题：（本题总分16分，每小题4分）1．已知11xf x x =-()()，为使f x ()在0x =点连续，则应补充定义0f =() ．2．已知225lim 232n a n bn n →∞++=-，则a = ，b = ．3．设f x ()的一个原函数是cos x ，则f x '=() ．4．已知220d sin d d x t t x =⎰ ．二、选择题：（本题总分16分，每小题4分） 1．设f x ()在0x x =处可导，则000limx f x x f x x∆→-∆-=∆()()( )A ．0f x '-()B ．0f x '-()C ．0f x '()D ．02f x '()2．下列函数在1, e []上满足拉格朗日定理条件的是( )A ．ln ln xB ．1ln x C ．ln xD ．ln 2x -() 3．根据估值定理，积分201d 103cos x x+⎰π的值在区间( )内A ．7, 13[]B ．0, 2[]πC ．11, 137⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．22, 137⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ 4．函数3226187f x x x x =--+()的极大值是( )A ．10B ．11C ．17D ．9三、计算题：（本题总分64分，每小题8分） 1．求极限120lim 1xx x →+().2．若隐函数y y x =()由方程22ln arctanyx y x+=()确定，求y x '(). 3．设曲线C 的参数方程是()2e ee e t tt tx y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，求曲线C 上对应于ln2t =的点的切线方程.4．求x . 5．求0x ⎰.6．求330+e e d lim2xx t x t tx-→∞⎰. 7．求2 cos d x x x ⎰.8．已知曲线22y x x =-与2g x ax =()围成的图形面积等于323，求常数a . 四、证明题：（本题总分4分，每小题4分）设f x ()在a b [,]上连续，在a b (,)可导，且0f x '≤()，记d xaf t tF x x a=-⎰()()，证明：在a b (,)内有0F x '≤().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分20分，每小题4分）1．极限201sinlimsin x x x x→的值为( ) A ．1 B ．∞ C ．不存在 D ．02．若函数e , 0sin 2, 0ax x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩()在0x =处可导，则a ，b 的值为( )A ．21a b ==,B ．12a b ==,C ．21a b =-=,D ．21a b ==-,3．设函数221xf x x =+()，则f x ()在( ) A ．-∞+∞(,)上单调增加 B ．-∞+∞(,)上单调减少 C ．11-(,)上单调增加，其余区间单调减少 D ．11-(,)上单调减少，其余区间单调增加4．设f x ()连续，则22d d d x tf x t t x -=⎰() ( ) A ．212f x () B ．2xf x () C ．22xf x ()D ．22xf x -() 5．设线性无关的函数123, y y y ,都是二阶非齐次线性方程y p x y q x y f x '''++=()()()的解，12C C ,是任意常数，则该非齐次方程的通解可以是( )A ．11223C y C y y ++B ．1122123C y C y C C y +-+() C ．11221231C y C y C C y +---()D ．11221231C y C y C C y ++--()二、填空题：（本题总分20分，每小题4分） 1．已知函数211f x x =+()，则0f '''=() ． 2．微分方程230y y y '''++=的通解为 ． 3．20ln cos limx xx →= ．4．22sin d 1cos x x x x-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ππ ．5．21ln d 1xx x +∞=+⎰()． 三、解答题：（本题总分60分，每小题10分）1．求函数ln 1sin f x x a x bx x =+++()()，3g x kx =()，若f x ()与g x ()在0x →时是等价无穷小，求a ，b ，k .2．设2arctan 2e 5tx t y ty =⎧⎨-+=⎩确定了函数y y x =()，求y x '(). 3．计算1x ⎰，其中1ln 1d x t f x t t +=⎰()(). 4．证明：21arctan ln 12x x x ≥+().5．过曲线0y x =≥()上点A 做切线，使该切线与曲线及x 轴围成的平面图形D 的面积等于34. (1) 求A 点的坐标；(2) 求平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 6．设0e d xx f x x t f t t =--⎰()()()，其中f x ()是连续函数，求f x ().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分16分，每小题4分）1．设函数 22f x x x =-<<(),，则1f x -()的值域为( )A ．[0,2)B ．[0,3)C ．[0,2]D ．[0,3] 2．当0x →时，要1cos x -与等价，则a 应等于( )A ．14B ．4C ．12D ．23．设f x ()在0x 点可导，则000limx f x x f x x∆→-∆-=∆()()( )A ．0f x '-()B ．0f x '-()C ．0f x '()D ．02f x '()4．设f x ()在[1,1]-上连续，在(1,1)-内可导，且00f x M f '≤=(),() ，则必有( ) A ．f x M ≥() B ．f x M >() C ．f x M ≤()D ．f x M <()二、填空题：（本题总分20分，每小题4分）1．设x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩(),()()，则1d d t y x == ．2．设y f x y =+()，其中f 具有一阶导数，且其一阶导数不等于1，则d d yx= ． 3．设ln y f x =()且f x ''()存在，则22d d yx= ．4．当0a >时，反常积分0e d ax x +∞-=⎰ ．5．微分方程2yy x'=的通解为 ． 三、计算题：（本题总分30分，每小题6分）1．求极限11lim 1ln x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 2．求函数2ln x y x=的单调区间.3．求不定积分1d 1x x x -⎰().4．求定积分0a x x ⎰，其中0a >. 5．求一阶线性微分方程d 1cos d y y x x x +=满足条件21x y π==的特解. 四、解答题：（本题总分20分，每小题10分）1．已知一平面图形由曲线0, 1, x x y ===x 轴围成，求(1) 此平面图形的面积；(2) 此平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转所成的旋转体的体积. 2．求微分方程e x y y ''+=的通解. 五、应用题：（本题9分）已知制作一个背包的成本为40元，如果一个背包的售出价为x 元，售出的背包数由8040an b x x =-+--()给出，其中a , b 为正常数，问什么样的售出价格能带来最大利润？六、证明题：（本题5分）设f x ()在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0f x '≤()，记d xaf t t F x x a=-⎰()()，证明：在a b (,)内有0F x '≤().长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、选择题：（本题总分16分，每小题4分）1．极限lim 3x x →∞+的值为( )A ．2B ．2-C ．2±D ．不存在2．下列函数f x ()在12-[,]上满足罗尔中值定理条件的是( )A．f x =() B ．2f x x x =() C ．arccos f x x =() D ．cot 2xf x π=()3．下列函数中，哪一个不是sin 2x 的原函数 ( )A ．2sin xB ．2cos x -C ．cos2x -D ．225sin 4cos x x + 4．设f x ()在a b [,]上连续，则d d d ba x f x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰() ( ) A ．d b af x x ⎰() B ．bf b af a -()() C ．[]d ba x fb f a f x x-+⎰()()()D ．d baf x x xf x +⎰()()二、填空题：（本题总分16分，每小题4分） 1．函数1arcsin 3x f x -=()的定义域为 ． 2．201cos 3limx xx→-= ． 3．设x a y x π=+，则y '= ． 4．若0a <，= ．三、计算题：（本题总分50分，每小题10分）1．计算极限sin cos 30e e lim x x xx x→-. 2．设参数方程(ln sin x t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，求22d d y x .3．计算不定积分12ln d 1xx x x+-⎰，其中1x <. 4．计算定积分291x -⎰.5．求函数2ln xy x=的单调区间与极值.四、应用题：（本题10分）在曲线21y x =+上求一点M ，使它到点050M (,)的距离最小. 五、证明题：（本题8分）设f x ()在(,)a b 内连续，可导且f x '()单调递增，0x a b ∈(,)，记00000 f x f x x x x x x f x x xϕ-⎧≠⎪-=⎨⎪'=⎩()(),()(),，证明：()x ϕ在(,)a b 内也单调递增.长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………一、填空题：（本题总分20分，每小题4分） 1．如果0x →时，1cos x -与2sin 2xa 是等价无穷小，则a = ． 2．函数22132x f x x x -=-+()的可去间断点为 ．3．函数e x y x -=的拐点为 ．4．已知y =d x y = ．5．微分方程8150y y y '''++=的通解为 ． 二、求下列极限：（本题总分12分，每小题6分）1．1x →； 2．011lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪+⎝⎭().三、求下列导数：（本题总分12分，每小题6分）1．设e sin x y x -=，求y ''； 2．已知tan y x y =+()，求y '. 四、求下列积分：（本题总分18分，每小题6分）1．x ； 2．2e d 1e xx x x +⎰()； 3．0222d 22x x x x -+++⎰. 五、解答题：（本题总分30分，每小题10分）1．当a 为何值时，1sin sin 33y a x x =+在3x π=处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值.2．求抛物线22y x =与其在点112⎛⎫⎪⎝⎭,处的法线所围成的图形的面积.3．求微分方程2ln xy y x x '+=满足条件119y =-()的解.六、证明题：（本题8分）设f x ()在[0, ]a 上连续，证明：0aaf x dx f a x dx =-⎰⎰()().。
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
(完整版),大一线性代数期末试题及答案,推荐文档
【 】
A. a1 a2 0 b2 b3
B. a1 a2 0 b1 b2
C. a1 a2 a3 b1 b2 b3
9.方程组
2x1 x2 x3 1 x1 2x2 x3 1
3 x1 3x2 2x3 a 1
有解的充分必要的条件是
D. a1 a3 0 b1 b2
【 】
A. a=-3
25. -2 4
0
4 0 1
19. 16 23. 1、2、3
20. 2
三、计算题（每小题 6 分，共 30 分）
0345
345
3 4 1 0
26. D
3 2 2 - 2 …………4 分 96. …………8 分
0 2 2 2
69 2
0 692
27. 解:由于 A2 AB E ,因此 AB A2 E ,又 A 1 0 ,故 A 可逆, ……2 分
101
101 002
a1 (1, 0,1), a2 (1,1, 0), a3 (0,1,1) 为 R3 的一组基，…………4 分
又设
x
x11
x2 2
x3 3
，得线性方程组
x1
x2
x2 x3
2 2
《线性代数》试卷第 6页x1共7x3页 2
解之得向量 x (2, 2, 2) 在该组基下的坐标为 x (1,1,1) 。…………8 分
6 -2 7 2
1 1 1
26．设 A
0
1
1 ,且 A2 AB E ,其中 E 是三阶单位矩阵,求矩阵 B。
0 0 1
27．a
取何值时，方程组 4x1
x1 2x2 7x2 x3
3 10 有解？在有解时求出方程组的通解。
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长沙理工大学模拟考试试卷课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011专 业 全校各专业 层次（本、专） 本科 考试方式（开、闭卷） 闭卷一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。
每小题2分，共10分） 1.设n 阶方阵C B A ,,可逆且满足E ABC =，则必有 E CBA = （ ） 2.设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη+=x 是b AX =的解 （ ） 3.若矩阵A 的列向量组线性相关，则矩阵A 的行向量组不一定线性相关 （ ） 4.设x 表示向量x 的长度，则 x x λλ= （ ） 5.设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη-=x 是0=AX 的解 （ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)1.计算行列式 231013412-＝ ；2.若βα,为)0(,≠=A b b X 的解，则βα-或αβ-必为 的解；3.设n 维向量组m ααα,,,:21 T ，当n m >时，T 一定线性 ，含有零向量的向量组一定线性 ；长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 4174.设三阶方阵A 有3个特征值2，1，-2，则2A 的特征值为 ； 三、计算题（每小题10分，共60分）1.2111121111211112；第 1 页（共 2 页）2.若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解，问常数4321,,,a a a a 应满足的条件？3.设s ηηη,,,21 是方程组b X =A 的解向量)0(≠b ，若s s k k k ηηη+++ 2211也是的解，则=+++s k k k 21 ；4.求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-020332202432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系；5.已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x A 3122与矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B 相似，求y x ,的值；6.设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型，求a .四、证明题（10分）：设向量组321,,ααα线性无关，长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417证明321211,,αααααα+++线性无关。
长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称： 线性代数 试卷编号：1一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。
每小题2分，共10分） 1，× 2，× 3，√ 4, × 5, √二、填空题：(每小题5分，共20分)1，42；2，0=A X ；3，相关，相关；4，4，1，4. 三、计算题（每小题10分，共60分）1.2111121111211112=2115121511251115=52111121111211111 （5分）=51000010000101111＝5 （5分）2.)(b A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=43211001110001100011a a a a （2分）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++--→43213210000110001100011a a a a a a a （5分） 若有解，则A 的秩与)(b A 的秩相等，即4321a a a a +++0=。
（3分）3.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----++2000672012114720672012111244302121123131242λλλr r r r r r （6分）∴(1) 当2=λ时，矩阵的秩为2； （2分） (2) 当2≠λ时，矩阵的秩为3. （2分）第 1 页（共 3 页）4.对系数矩阵作作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11001100121122111332212111312r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→+-÷0000110030112000011001211)1(21232r r r r r得同解方程组 ⎩⎨⎧+=-=42342103x x x x x x令 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0142x x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛10； 得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0131x x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13 基础解系为：()()TT1103,001121-==ξξ5.解：∵A 与B 相似，∴ 特征多项式相同，即 E B E A λλ-=- 亦即 x y y xE A 31))(22(3122---=--=-λλλλλ6)4)(1(4321---=--=-=λλλλλE B6)4)(1(31))(22(---=---⇒λλλλx y 17,12-=-=⇒y x6.解：f 的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=5212111a a A∵ f 为正定二次型，∴ A 的各阶主子式大于0．即 111=a ＞0，222211211111a a a a a a a -==＞0)45(5212111+-=--=a a aa A ＞0第 2 页（共 3 页）解联立不等式组 21a -＞0 或 )45(+a a ＜0 1-⇒＜a ＜1或 54-＜a ＜0 54-⇒＜a ＜0 即当 54-＜a ＜0时，f 为正定二次型． 四、证明题（10分）：证明：设存在一组数321,,k k k 使得0)()(321321211=+++++ααααααk k k0)()(3322211321=+++++⇒αααk k k k k k ，（3分） 又向量组321,,ααα线性无关，因此0,0,0000321332321===⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++k k k k k k k k k ，（7分）由此可知，只有当0,0,0321===k k k 时，等式0)()(321321211=+++++ααααααk k k 才成立， 即向量组321211,,αααααα+++线性无关。
（10分）第 3 页（共 3 页）长沙理工大学模拟考试试卷一、判断题：(正确填√,错误填×. 每小题２分，共10分)1.B A ,是n 阶矩阵，则BA AB =；（ ）2.若B A ,均为n 阶矩阵，则)()()(B R A R B A R +≤+；（ ）3.向量组s ααα,,,21 线性相关，则至少含有一个零向量；（ ）4.若21,αα是齐次线性方程组0=AX 的两个线性无关解向量，则1111ααk k -不是0=AX 的解； （ ）5.设A 为n 阶矩阵，则A 与2A 具有相同的特征向量。
（ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)1.若行列式a a D ij n ==，则=-=ij a D ；2.()=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321 ； 3.设向量组T ：m ααα,,,21 ，若T 线性相关，则秩T m ；若T 线性无关，则秩T m; 4.如果三阶矩阵A 对应于特征值321,,λλλ的特征向量为321,,p p p ，令),,(321p p p =P ，则=AP P -1。
三、计算题：(每小题10分，共60分)第 1 页（共 2 页）1.efcfbfde cd bdaeac ab---； 2.计算()=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321123 ；3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=21232121a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321031x x x x b ,,若线性方程组b Ax =无解,则=a ；4.求解非齐次线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x ；5.设3阶矩阵A 的特征值为，21=λ，22-=λ，13=λ对应的特征向量依次为,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011111110321p p p ，，求A ；6.用配方法化二次型32212221442x x x x x x f --+=为标准形，并求所用的可逆变换矩阵． 四、证明题：(10分)设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵.第 2 页（共 2 页）长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称： 线性代数 试卷编号：2一、判断题（每小题2分，共10分） 1，√，2，√，3，×，4，×，5，√； 二、填空题：(每小题5分，共20分)1，a n)1(-；2，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963642321；3，m T m T =<,；4，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321000000λλλ 三、计算题（每小题10分，共60分）1.fffd d daa a bce efcfbfde cd bdae ac ab--=--- （4分）abcdef abcdef 4111111111=---=；（10分） 2.A X E A =-)2( （2分）022≠-=-E A ,E A 2-∴可逆A E A X 1)2(--= （5分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-011100101010110001101101110110011011,2A E A （8分）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∴011101110X （10分）3.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0000010010215110531631121A （5分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x （7分）第 1 页（共 3 页）通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x4.()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=20000100412023112131015162312311,,,4321a a a a a a a （5分）∴当2=a 时，43),,,(4321<=a a a a R向量组4321,,,a a a a 线性相关. （10分）5. 解 令()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==011111110,,321p p p P ，P 可逆()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110100111010011001100011010111001110,E P⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∴110111011P （4分）1122-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P A （6分）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=244354332 （10分） 6.解：32222214)(2x x x x x f ---==232322214)2()(2x x x x x ++-- （4分）令⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=333222112x y x x y x x y , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=33322321122y x y y x y y y x （6分） 则原二次型化为标准形23222142y y y f +-= （8分）可逆变换矩阵第 2 页（共 3 页）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210211C （10分）四、证明题：（10分）证明：因为AB B B A B AB B TTTTTTT==)()( （8分） 所以AB B T也是对称矩阵。