数学结构

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基本的数学结构有三类:
代数结构、序结构和拓扑结构.
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§1.
代数结构
千差万别的数学对象有千差万别的数学运算。
集 合: ， 逻辑命题： ， ，， 向 量：+， -， （数乘） 矩 阵：+， -，， 数 集： +， -，，，
不同对象的不同运算却可能遵循完全相同的形 式规则。关于运算及其规则的思考引出代数结构的 理论。
４．相同字符关系．
不具有反对称性。
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四、关系的表示
A a1 , a 2 , L a m ,
1.关系矩阵
B b1 , b2 , L bn , R A B
定义矩阵 M (rij ) m
其中
n
0 , rij 1 ,
当 aiR b j
n
k k 1



R 是R的传递闭包。 A n, t ( R) R k .
k 1 n
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七．等价关系
定义 A上的自反，对称，传递关系称为A上的
等价关系。
A/ R [a] a A （商集） 定理 R是A上等价关系，则 a, b A （1）当 aRb 时， [a] [b] 当 aRb 时，[a] [b]
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) (G1 G2 ,) 构成群 单位元：(1G1 ,1G2 )
逆 元： ( x, y)
1
(x , y )
1
1
二、环（ring） 定义 在非空集合R上定义两个运算+与· ，分别
称为加法与乘法，若R按加法成为交换群，且乘 法满足结合律和对加法有分配律，则称(R,+, · ) 为环。 若乘法还满足交换律，称这样的环为交换环。
定义 A1 , A2 , R 为 A1 , A2 , 空关系
, An 是集合，称 A1 A2 L An 的子集 , An 上的一个n 元关系。
全关系 特别地，若 R A×B, 称R为A到B的二元关系。
R A×A, 称R为A上的二元关系。
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二、映射与二元关系 f :AB
X R
Y
S
Z
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例 医生对几个患者进行检查和寻问, 并制作 了如下一张症状检查表(P1, P2, P3, P4, P5表示患 者; S1, S2, S3, S4, S5表示症状):
S1 P1
P2 P3 P4 P5
S2
S3 是
S4
S5
是
是
是 是
是 是 是 是
是 是 是 是
是 是 是
3.反对称性： x, y A, xRy, yRx x 4.传递性：
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例
所有字母串组成的集合 S* 上定义关系：
1.长度相等关系.
具有自反性，传递性，对称性、但不具有反对称性。
2.长度大于关系.
不具有自反性，对称性，但具有传递性．
３.子串关系.
具有自反性，反对称性，传递性，但不具有对称性。
当 ai Rb j
布尔矩阵
称M为R的关系矩阵。
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关系矩阵 R=(rij)mn
S=(sij)nl
定义矩阵乘法的运算规则： P=RS=(pij)ml
其中
pij {rik skj | k 1,2,L n}
取大运算
i 1,2,L m j 1,2,Ll
取小运算
若生成元a是无限阶，则G=(a)@ (Z,+);
若生成元a是n阶，则G=(a)@ Zn.
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§2.序结构
一、关 系
Y
1
I：相等关系. R1：大于关系. R2：小于关系.
－1
O －1
1
X
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例1 例2
N+为正整数集合，R表示N+上的“整除关系”。 △表示三角形集合，R表示△上的“相似关系”。
(a b) c a (b c) 存在单位元，即存在 e G ，使 a G 有
ae ea a
③ G中每个元存在逆元，即 a G 存在 b G 使 a b b a e 则称G为群。
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称交换律成立的群为交换群，或Abel群。
例12 有理数集Q 、实数集R 、复数集C按通常的 加法与乘法都成为域。 有理数域Q 、实数域R 、复数域C通称为数域。 最小的数域
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四、同态,同构
定义 设A和B是两个同型代数结构， f 是A到B的 映射，如果 f 保持所有的运算，则 f 称是同态映射。 如果映射 f 还是双射，则称 f 是同构映射。 群同态
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定理 A , 集族 Ai ; i 1,2L, n A是的一个划分，
定义A上关系R为：
xRy i, x Ai , y Ai
则R是A上的等价关系，且
A Ai ; i 1,2L, n. R
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八．序关系
１. 定义 非空集合P上的自反、反对称、传递关 系 叫作集合P上的偏序关系（或半序关系）， 序结构 P, 称为偏序集。
若群G的非空子集H关于群G中所定义的乘法 也成为群，则称H为G的子群。
若作成群的集合是有限集，则称这个群为有限 群；否则称为无限群。
若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元 的乘幂，则称G为循环群。
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例1 自然数全体或正整数全体所成的集合按通 常加法成为一个半群，但不成为群. 整数集Z按通常加法成为一个群，且是一个无限 循环加群.
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例8
整数集Z按通常的加法与乘法成为一个环.
有理数集Q 、实数集R 、复数集C按通常的加法 与乘法都成为环。
例9
偶数集
{2n; n Z }
按通常的加法与乘法作成无单位元的交换环。 例10 矩阵环 M n ( F ).
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三、域（field）
定义 设F是一个有单位元1（不等于0）交换环。如 果F中的每个非零元都可逆，则称F为域。 通常以0表示加群的零元，称为F的零元；以1表示 乘群的单位元，称为F的单位元。 若F 是一个有单位元1（不等于0）的环，如果F中 的每个非零元都可逆，则称F为除环。
令 R f { ( x, y ) x A, y B且 f ( x ) y} 则 R f 是A到B的二元关系.
实质上， R f 完全刻画了映射。 反之，关系未必可看作映射。
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三、关系的性质
1.自反性： 2.对称性：
R A A
x A, xRx. x, y A, xRy yRx. y. x, y, z A, xRy, yRz xRz.
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R A×A,
A < ，则有
(1)R是自反的，当且仅当 关系矩阵M的对角线上所有元素为1。 (2)R是对称的，当且仅当关系矩阵M是对称矩阵。 (3)R是反对称的，当且仅当 i j 时，rij r ji 0 。
(4)R是传递的，当且仅当关系矩阵M满足
M M .
(2) [a] A
aA
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记 [a] x x A, aRx


（等价类）
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定义
A , 集族 A1 , A2 ,L An 如果满足：
（1） Ai A,1 i n （ 3）
A
i 1
n
（2）Ai
A j , i j
i
A
则称为A的一个分类或划分. 等价关系与划分： 若 R 是 X 上的一个等价关系 , 则 X/R 是 X 的 一个划分, 称这个划分是由R诱导的划分。反之, 由 X 的一个划分可以导出一个等价关系 R: xRy x与y在同一个子类中.
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例4 全体n阶有理数方阵记为 Q n 。令
G { A; A Qn , A 0}
G对于矩阵乘法构成群。
由于矩阵乘法是非交换的，于是G为非交换群。 例5 A是非空集合。A的幂集对并和交运算都是 带幺半群。
例6 字母表上的所有非空字母串集合对于字的连接 运算构成半群。
(G1, ), (G2 ,) 两个群
f : G1 G2 称为群同态 ，如果
a, b G1, f (a b) f (a) f (b)
f (a ) ( f (a))
1
1
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例13 正实数乘群与实数加群同构。
f : R R x ln x 例14 在同构的意义下循环群只有两类：
2
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2.关系图
A {a1 , a 2 , L a n }，R A×A, 把A中每个元素用一个点表示（称为结点）,如果
ai R aj， 那么从结点 ai 出发向结点 a j 画一有箭头的弧， 如果 ai Ra i，则在结点 ai 上画一条自封闭的弧线（称
为圈）。此图称为R的关系图。
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五、关系的运算
1.并、交、逆运算
定义 设R是X到Y的关系, 令
R1={(y,x)|(x,y) R}，
则R1是Y到X的关系, 称为R的逆关系。
R1关系矩阵是R的关系矩阵的转置。
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2.合成运算
定义 设 R 是 X 到 Y 的关系 , S 是 Y 到 Z 的关系。令 RS={ (x, z)XZ | 存在yY使得(x, y)XY 且 (y, z)YZ}. 则 RS 是 X到 Z 的关系 , 称为 R与 S 的合成(复合)关系。 RS
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例7 U {cos 2k i sin 2k ; k 1,2 n
2 2 cos i sin n n
n
n
, n.}
U n ( ) {1, , 2 , n1}
循环群
群的直积
G1, G2 两个群
G1 G2
定义 G1 G2 的运算：
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定义 在非空集合S上定义一个或几个运算，运 算满足一组公理，则称这个集合连同定义其上的 运算称为一个代数结构。
n元运算： : Sn S
1 ， 2 ， m ) 代数结构的表示： (S；
代数结构的型：
(S ; ， ， ,) 2 2 2 1
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有理数集Q按通常加法成为一个群.
整数集Z按通常乘法成为一个半群，但不成为群. 非零有理数全体所成的集合按通常乘法成为群。
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例2 Z是整数集，则模n的同余类 {[ 0], [1], [ 2],L , [ n 1] } 按同余类加法成为群，称为同余类群。 模n的同余类群是循环群。 例3 设A是任意非空集合， G是A到自身的一一对应 全体所成的集合，定义G中乘法为对应的复合运算， G按这样定义的乘法成为一个群，称为A上的对称群 （symmetric group ）。
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重要的代数结构 一、群（group） 定义
若在非空集合G上定义了一个二元运算， 且运算满足结合律，则称G为半群。 单位元(幺元) 逆元 带幺半群(群胚)
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定义 在非空集合G上定义一个二元运算，记为·， 称为乘法，且满足： ① 结合律成立，即对任意的a、b、cG，有 ②
域是交换的除环。
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例11
H {
; , C}
（1） H构成 M 2 (C ) 的子环。 （2） H是非交换环。
（3） H是除环。
A
0,
A 2 2
1
1
.
1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1
如果R是患者和症状间的关系, S是症状和 疾病间的关系, 则RS将是患者和疾病的关系。
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六. 闭包运算
R A A, 具有某种性质（如自反性，传递性，
对称性）。S满足：
(1) R S ;
(2)对任何具有该性质的关系T,如果 R T S T;
则称S是R的该性质闭包。
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定理 (1)i( R) R I A 是R的自反闭包;
(2)r ( R) R R 1 是R的对称闭包。
(3)t ( R) (a, b); n Z , aR b