360阶和504阶单群的唯一性的初等群论证明
五阶群唯一性证明
五阶群唯一性证明刘英伟;张洋【摘要】证明五阶群的唯一性.运用群的定义以及群乘法表的重排规律,简单明了、逻辑严密地推导了五阶群的完整乘法表,证明五阶群的唯一性,证明五阶群是对易群,即阿贝尔群.【期刊名称】《牡丹江师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(000)003【总页数】3页(P1-3)【关键词】群论;五阶群;乘法表【作者】刘英伟;张洋【作者单位】哈尔滨工程大学材料科学与化学工程学院 ,黑龙江哈尔滨 150001;哈尔滨工程大学材料科学与化学工程学院 ,黑龙江哈尔滨 150001【正文语种】中文【中图分类】O152群论是近代数学的一个分支,由19世法国天才数学家伽罗华创建.[1]它的出现对后世数学及其他学科的发展产生了巨大的影响,其重要程度不亚于物理学领域的傅里叶变换[2-3]，在物理、化学、计算机、机械、建筑、美术等领域得到广泛应用.[4]群就是一些按一定乘法规则联系起来的元素组成的一个集合.群元素之间的关系,是群的灵魂.元素间通过一定的乘法关系建立联系,这种联系可以用乘法表表示出来.对于4阶群,有两种乘法表[4],即群不是唯一的.而5阶群则只有一种乘法表,因而是唯一的.关于5阶群的唯一性,有关教科书或文献都没有给出证明，本文根据群论的一般规则,通过简单明了的方式证明五阶群的唯一性,并给出群的完整乘法表,证明五阶群是可对易的,即为阿贝尔群.1 群的基本概念如果一个集合G={e,a,b,c…}中的元素满足下面四个条件,那么这个集合就是一个群:(1)集合中任意两个元素的乘积必为群内另一元素,如 ab=c;(2)元素之间乘法满足结合律 (ab)c= a(bc);(3)在集合中存在单位元素e,它和群内其他任意元素的乘积仍得到元素本身,即ea=a,eb=b,ec=c;(4)集合中任意元素a,必定存在一个逆元a-1,使得aa-1= a-1a =e.满足以上四个条件的集合就称为群,群中元素的个数称为群的阶,而群的乘法是指元素之间运算关系,它不是单纯意义上的乘法,比如全体实数之间按加法运算,就构成一个群,这里的加法就是“乘法”.2 五阶群唯一性证明五阶群,顾名思义群中含有五个元素,不妨设其为{E,A,B,C,D},其中E为单位元素.一个群的灵魂在于元素之间的运算关系,群的阶数越高,元素之间的运算关系越复杂,各种可能性增多,导致群的种类不止一种.例如四阶群有两种，对于五阶群,可能性只有一种,下面证明之.表1为群的乘法表.首先可以根据群的基本规则确定第一行和第一列的乘法结果.根据定义(3)，这些结果是显而易见的.其他尚不能立刻确定的元素暂时空下,用数字代表，后面的工作就是利用群的定义逐步确定它们.表1 空白乘法表EABCDEEABCDAA1234BB5678CC9101112DD13141516 2.1 元素1的确定元素1是A和A相乘的结果.根据群定义(1),A和A相乘结果必为群里的其他元素,这样就存在以下几种可能:AA=E,AA=B,AA=C或AA=D.可以立刻否定AA=E.因为如果AA=E成立,则{E,A}可以构成五阶群的子群,阶数为2.但是由于子群的阶数必为群阶的因数[12],而2不是5的因数,因此AA=E不成立.这样就只剩下AA=B,AA=C或AA=D.实际上这三者是等价的,只需讨论AA=B即可.这样表1中的元素1就确定为B,于是在表1的基础上就得到表2.表2 元素1的确定EABCDEEABCDAAB234BB5678CC9101112DD13141516 2.2 元素2,3,4的确定表2中元素2为AB相乘的结果,同样根据群定义(1),AB有以下三种可能性:AB=E,AB=C和AB=D，下面分别讨论.2.2.1 AB=E如果这种情况成立,则2=E.这样剩下的3和4只能是C,D或D,C.根据乘法表重排规律,表中每一行或每一列均不能有重复元素,因此必有3=D,4=C,即AC=D ,AD=C.这样的话,由AD=C可得AAD=AC,而AA=B, AC=D,因此得到BD=D,从而有B=E,这样群里出现两个单位元素,而这是不可能的,因而AB=E是不可能的.2.2.2 AB=C剩下的两种可能是AB=C和AB=D,不过二者是等价的,这将在后面详细讨论,现在不妨取AB=C.当AB=C时,必有3=D,4=E.这样就得到表3.表3 元素2,3,4的确定EABCDEEABCDAABCDEBB5678CC9101112DD131415162.3 元素5，6，7，8的确定在表3的基础上,由于AA=B,因而AAA=AB,于是有BA=AB=C,从而 5=C.另外,根据AA=B,还可得到 AAB=BB,因此得到AC=BB=D,从而6=D.另外,由AA=B,还可得到AAC=BC,再根据AC=D,即可得出AD=BC=E,即7=E.当元素5,6,7确定后立刻可以确定8=A.因此表3进一步完善为表4.表4 元素5,6,7,8的确定EABCDEEABCDAABCDEBBCDEACC9101112DD131415162.4 元素9，13的确定根据表4可知,AD=E,因此ADA=EA,即DA=A-1EA,因此DA=A-1A=E,即13=E.13确定后,立刻可以确定9=D，见表5.表5 元素9,13的确定EABCDEEABCDAABCDEBBCDEACCD101112DDE1415162.5 元素10，14的确定因为AB=C,从而有ABB=CB,而BB=D,因此AD=CB,从而 CB=E,即10=E.据此可立刻得出14=A，见表6.表6 元素10,14的确定EABCDEEABCDAABCDEBBCDEACCDE1112DDEA1516 2.6 元素11,12,15,16的确定根据表6可知,AB=C,从而ABC=CC.又因为BC=E,因此，AE=CC,即CC=A=11.这样可立刻得到12=B,15=B和16=C.于是一张关于五阶群的完整乘法表就得到了，见表7.在2.2.2中,存在AB=C和AB=D两种可能,只考虑了AB=C这种情况.其实AB=C和AB=D是等价的，如果取AB=D的话,重复上述推理过程,会得到另一张乘法表8.表8与表7虽然表面上看不一样,其实是等同的：只要将表8中所有的C,D互换成D,C,并令C,D两行对调,然后再令C,D两列对调,得到的结果与表7一样. 表7 元素11,12,15,16的确定EABCDEEABCDAABCDEBBCDEACCDEABDDEABC表8 等价乘法表EABCDEEABCDAABDECBBDCAECCEADBDDCEBA3 结论(1)通过理论推导得到了五阶群的乘法表,该表是唯一的,从而证明了五阶群是唯一的.(2)群元素是可对易的,因而五阶群也是阿贝尔群.参考文献【相关文献】[1] 张端明,钟志成.应用群论导引：第二版[M].武汉:华中科技大学出版社,2001.[2] 关雪梅，王晓东.快速傅里叶变换(FFT)与小波变换技术[J].牡丹江师范学院学报:自然科学版,2002(4):19-20.[3] 王晓东,王荣芝.傅立叶变换在图像处理中的应用[J].牡丹江师范学院学报:自然科学版,2003(3):22-24.[4] 陈念骇,高坡,乐征宇.量子化学理论基础[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2002.。
群论里常用的初等方法与技巧
第 ２ ２卷
第 ２期
长
沙
大
学
学
报
Ｖ １２ ＮＯ． Ｏ ．２ ２ Ｍａ ．２００ ８ ｒ
２００８年 ３月
Ｊ ＯＵＲＮ ＡＬＯＦ ＣＨＡ ＮＧＳＨ ＵＮＩＥＲ Ｔ Ａ Ｖ ＳＩｙ
群 论里 常用 的初 等 方 法 与技 巧
ｆ ／ ＧＮ ｌＰ １ ／ ＧＮ ｌｌ Ｃ （ ） Ｉ 一 ， Ｇ Ｃ（ ） ｆＧ Ｇ 又Ｉ ｌ
Ｉ ／ ｃ Ⅳ ｌ（ Ｃ （ ） ＩＰ一１ ｌ １ ＝１ Ｇ ，Ｇ ）
Ｇ：Ｃ （ Ｇ Ⅳ） ．Ｎ≤ｚ（ ） ・ Ｇ
・ 、 ．
＝Ｄ＞１令 Ｎ ＝Ⅳ （ ， Ｓｌ ， Ｇ Ｄ） 由 ｙ ｗ定 理 推 论 Ｎ≥ ｏ
１ ／ ｃ 的每个素 因子 都 ＞１ ．Ｈ／ ｃ Ｈ ｌ Ｈ ７ １ Ｈｌ ，
：
四． 置换表示： Ｇ Ｈｌ ｊ ／ ｃ ｌ， ｌ ： ＝ｎ ｌ Ｈ ｌ１ Ｇ ７ ！
‘ ． ．
１ ．
五 ．ｕｓ ｅ 理 Ｂｒｄ 定 ｉ
Ｈ ＝玩
． Ｈ Ｇ ‘ ．
下面兹 举例 逐一说 明之 例 １ 设 Ⅳ是 Ｇ的循环 正规 子群 ， Ⅳ 的任 一 则 元素 可交换 （ 求证 ［ Ｇ ］ ） 或 Ｎ， ＝１ ． 证
陈进之
（ 长沙大学信 息与计算科学 系， 湖南 长沙 ４００ ） １０３
摘 要： 归结 了群论里常用的几种方 法与技巧 ， 并举例说 明之 ， 旨在 让学生更易理解和掌握 群论的精 髓 ．
关 键 词 ￣ｙ ｗ定 理 ； Ｓｌ ｏ 置换 表 示 ； ｕ ｓ ｅ Ｂｒ ｉ 定理 ｎ ｄ
中图分类号 ： １２ １ ０５ ．
定是忠实表示 ，Ｇ ｌ６． Ｉ／ ｏ Ｉ 若பைடு நூலகம்Ｈ＜Ｇ ｌ ： ＝１则 Ｉ ／ ｌｎ ，Ｇ Ｈｌ ７ ！ ， Ｇ ， １ 又． Ｇ是单群 ：１ ．Ｇｌ１ ．， １ ！ １ ７ ｌ， ７ ≥５
群论基础
第七章 群论基础学习指导 7.1 群的定义及性质群 如果一个含幺半群中每个元素都有逆元，即：),(⊗G G g ∈∀都有逆元，则称为一个群，称二元运算“G g∈−1),(⊗G ⊗”为乘，一般将),(⊗G 的单位元记为e 。
为简便起见，在不致混淆的情况下，将群),(⊗G 简记为，a G b ⊗简记为。
类似于半群，我们可以将群分为交换群与非交换群，有限群与无穷群等等；集合中元素的个数称为有限群G 的阶，记为。
ab G ||G 群是一种特殊的含幺半群。
因而群具有半群（或含幺半群）所有的性质。
下面是群独有的性质：定理（无零元性质） 设G 是群并且，则群无零元。
1||>G G 定理（满足消去律） 群G 满足消去律，即对,,,G c b a ∈（1）由可以推出；（2）由ba ab ac =b c =ca =可以推出b c =。
定理（单位元是幂等元） 群G 中只有单位元e 是幂等元。
定理（方程唯一解性质） 设是群，则对于G G b a ∈∀,，方程ax b =和在中均有唯一的解。
ya b =G 定理（逆元性质） 设G 是群，则（1）对于G b a ∈∀,，有11()ab b a 1−−−=。
（2）对于，有。
G a ∈∀a a =−−11)(定理（交换群判别） 群G 是交换群的充分必要条件是对G b a ∈∀,，有。
222()a b ab =元素的阶 对于群G 的元素a ，如果存在正整数使得，则的阶定义为使得上式成立的最小正整数；如果对于任何正整数n 都不成立，则定义的阶为；a 的阶记为|。
任何群的单位元的阶都是1，而且只有单位元的阶才会是1。
n e a n =a n e a n =a ∞|a 定理（元素与其逆元有相同阶） 对群中的任何元素 G G a ∈，与均有相同的阶。
a 1−a定理（元素阶的性质） 设群G 中元素 G a ∈的阶是。
则对正整数，的充分必要条件是整除。
所以，如果存在正整数使得，则a 的阶是的因子。
近世代数习题第二章资料讲解
近世代数习题第二章第二章 群论近世代数习题第二章 第一组 1-13题；第二组 14-26题；第三组 27-39题；第四组 40-52题，最后提交时间为11月25日1、设G 是整数集，则G 对运算4++=b a b a ο是否构成群？2、设G 是正整数集，则G 对运算b a b a =ο是否构成群？3、证明：正整数对于普通乘法构成幺半群.4、证明：正整数对于普通加法构成半群，不含有左右单位元.5、G 是整数集，则G 对运算1=b a ο是否构成群？6、设b a ,是群G 中任意两元素. 证明：在G 中存在唯一元素x ，使得b axba =.7、设u 是群G 中任意取定的元素，证明：G 对新运算aub b a =ο也作成群.8、证：在正有理数乘群中，除1外，其余元素阶数都是无限.9、证：在非零有理数乘群中，1的阶是1，-1的是2，其余元素阶数都是无限.10、设群G 中元素a 阶数是n ，则m n e a m |⇔=.11、设群G 中元素a 阶数是n ，则 ),(||n m n a m =.，其中k 为任意整数. 设（m,n ）=d,m=dk,n=dl,(k,l)=1. 则(a^m)^l=a^(ml)=a^(kdl)=(a^(n))^k=e. 设（a^m ）^s=e,，即a^(ms)=e,所以n|ms,则l|ks,又因为(l,k)=1，所以l|s,即a^m 的阶数为l.12、证明：在一个有限群中，阶数大于2的元素个数一定是偶数.13、设G 为群，且n G 2||=，则G 中阶数等于2的一定是奇数.14、证明：如果群G 中每个元素都满足e x =2，则G 是交换群.对每个x ，从x^2=e 可得x=x^(-1)，对于G 中任一元x ，y ，由于（xy ）^2=e ，所以xy=（xy ）^(-1)=y^(-1)*x(-1)=yx.或者 :(ab)(ba)=a(bb)a=aea=aa=e ，故(ab)的逆为ba ，又(ab)(ab)=e ，这是因为ab 看成G 中元素，元素的平方等于e. 由逆元的唯一性，知道ab=ba15、证明：n 阶群中元素阶数都不大于n .16、证明：p 阶群中有1-p 个p 阶元素，p 为素数.17、设群G 中元素a 阶数是n ，则)(|t s n a a t s -⇔=.18、群G 的任意子群交仍是子群.19、设G 为群，G b a ∈,，证明：a a bab bab k k =⇔=--11)(.20、证明：交换群中所有有限阶元素构成子群.21、证明：任何群都不能是两个真子群的并.证明：任何群都不能是两个真子群的并. 可以用反证法，设G=HUK ，H 、K 均为真子群，存在a,b\in G, a\not\in H,b\not\in K ,从而a\in K, b\in H. ab\in G, 则ab\in H 或ab\in K. 若ab\in H 得出矛盾，ab\in K ，也可得出矛盾.22、设G 为群，H a a G a G H n m ∈∈≤,,,，证明：若1),(=n m ，则H a ∈.23、证明：整数加群是无限循环群.24、证明：n 次单位根群为n 阶循环群.25、证明：循环群的子群仍是循环群.26、设>=<a G 为6阶循环群，给出它的所有生成元及所有子群.27、求模18的剩余类加群(Z 18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元.28、设群G 是24阶群，G 中元素a 的阶是6，则元素a 2的阶为？28、解： 在群G 中，对于ㄧa ㄧ=n ，a^r ∈G ，有ㄧa^r ㄧ=n/（n ，r ），所以由 ㄧa ㄧ=6 可得：ㄧa^2ㄧ=6/(6,2)=3.29、设H 1和H 2分别是群（G ，ο，e ）的子群，并且| H 1 |＝m ，| H 2 | ＝n ，m 、n 有限，（m ，n ）＝1，试证：H 1∩H 2＝｛e ｝.30、设群中元素a 的阶数为无限，证明：t s a a t s ±=>⇔>=<<.31、设群中元素a 的阶数为n ，证明：),(),(n t n s a a t s =>⇔>=<<.32、设G 是交换群，e 是G 的单位元，n 是正整数，},,|{e a G a a H n =∈=问：H 是否是G 的子群？为什么？32解：H 是G 的子群. 下证：① 由e ∈H ，故H 为非空子集；②对于任意a ，b ∈H ，a^n=e ，b^n=e ，故[b^(-1)]^n=e ，因为G 是交换群，所以有：(a^n)* ﹛[b^(-1)]^n ﹜=aa ···a*[b^(-1)] [b^(-1)]···[b^(-1)]= ﹛a[b^(-1)] ﹜^n=e ，从而a[b^(-1)] ∈H ，故 H 是G 的子群. 证毕.(注：刚才a 和[b^(-1)]展开均为n 个相乘)33、设群G 中两元素满足1|)||,(|,==b a ba ab ，证明：>>=<<ab b a ,.34、证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧ΛΛ,!1,,21,1n 是有理数加群的一个生成系. 35、设b a ,是群G 的两个元，,ba ab =a 的阶是m ，b 的阶是n ，n m ,有限且)(),(,1),(b K a H n m ===，求K H I36、设S 3是3次对称群，a=（123）∈S 3．(1) 写出H ＝< a>的所有元素．(2) 计算H 的所有左陪集和所有右陪集．(3) 判断H 是否是S3的不变子群，并说明理由．37、在5次对称群S 5中，求（12）（145），（4521）－1以及（354）的阶数.37、解： （12）（145）的阶数为[2,3]=6 ； （4521）－1的阶数为4 ； （354）的阶数为3.38、设G 是一交换群，n 是一正整数，H 是G 中所有阶数是n 的因数的元素的集合. 试问：H 是否是G 的子群？为什么？39、设1||>M ，证明：M 的全体变换作成一个没有单位元的半群.40、设1||>M ，证明：M 的全体非双射变换关于变换的乘法不作成群.41、证明：不相连的循环相乘可以交换.42、将3S 所有元素用循环表示.43、将4S 所有元素用循环乘积表示.(1)(12), (13),(14),(23),(24),(34)(123),(124),(134),(132),(142),(143),(234),(243)(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)44、3S 中不能同)123(交换的所有元素.45、写出5S 中阶数等于2的所有元素.46、置换δ与其逆1-δ具有相同的奇偶性.置换\delta=\delta_1\delta_2\cdots\delta_s,\delta_i 为对换，又因为（\delta_1\delta_2\cdots\delta_s ）（\delta_s\delta_(s-1)\cdots\delta_1）=(1),从而得到\delta^{-1},进而得证结果.47、求下列置换的阶数)48)(3172(；)26)(5172(；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛641523123456. 48、设H ＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H 的所有左陪集和所有右陪集，问H 是否是S3的不变子群？为什么？49、给出4S 的所有子群.50、证明：无限循环群的非e 子群指数均有限.H\not={e},H=(a^s)为G 的子群，其中s 为H 中所含元素的指数最小正整数. 证明G=a^0HUaHU\cdotsUa^{s-1}H,且a^iH 与a^jH 煤油交集，i\not=j.51、设G 是整数集，规定3-+=b a b a ο，证明：G 关于此运算构成群，并求出单位元.52、证明：指数是2的子群必是正规子群.53、证明：素数阶群是循环单群.54、设>=<a N 是群G 的一个正规子群，若N H ≤，则H 也是G 的正规子群.55、证明：若群G 的n 阶子群有且仅有一个，则此子群必为G 的正规子群.56、四次对称群4S 关于Klein 四元群4K 的商群44/K S 与3S 同构.57、证明：群中子群的共轭关系是一个等价关系.58、证明：n S 的所有对换构成一个共轭类.59、写出3S 的所有Sylow p -子群.60、证明：15阶群都是循环群.61、证明：200阶群不是单群.62、证明：196阶群必有一个阶数大于1的Sylow 子群，此子群为正规子群.28、解： 在群G 中，对于ㄧa ㄧ=n ，a^r ∈G ，有ㄧa^r ㄧ=n/（n ，r ），所以由 ㄧa ㄧ=6 可得：ㄧa^2ㄧ=6/(6,2)=3.32解：H 是G 的子群. 下证：① 由e ∈H ，故H 为非空子集；②对于任意a ，b ∈H ，a^n=e ，b^n=e ，故[b^(-1)]^n=e ，因为G 是交换群，所以有：(a^n)* ﹛[b^(-1)]^n ﹜=aa ···a*[b^(-1)] [b^(-1)]···[b^(-1)]=﹛a[b^(-1)] ﹜^n=e ，从而a[b^(-1)] ∈H ，故 H 是G 的子群. 证毕.(注：刚才a 和[b^(-1)]展开均为n 个相乘)37、解： （12）（145）的阶数为6 ； （4521）－1的阶数为4 ；（354）的阶数为3.。
《常微分方程》第三章 一阶微分方程解的存在唯一性定理
1(x) y0 x0 f ( , y0 )d
x
x0 f ( , y0 ) d M (x x0 ) Mh b
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
1 (x) 在 x0 x x0 h 上有定义,连续
现在取 0 (x) y0 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0 (x) y0
n (x) y0
x x0
f ( ,n1( ))d
x0 h x x0 h
(3.1.9)
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
x0 x x0 h
命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 n (x) 在
x0 x x0 h 上有定义、连续，即满足不等式:
n (x) y0 b (3.1.10)
证 明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）
x
当 n =1 时, 1(x) y0 x0 f (, y0 )d
MLn1 n!
(x
x0 )n
成立，
x
n1(x) n (x) x0 f (,n ( )) f (,n1( ))d
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x
(
x0
x0 )n d
MLn (x (n 1)!
x0 ) n1
y0
'.............(3.1.4)
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
群论-群论基础
物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐教材教材：自编参考书：群论及其在固体物理中的应用参考书群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群的基本概念和基本性质1.11.21.3131.41.51.6161.71.81.1抽象代数的基本概念1抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的C A表示“一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射一一映射逆映射：f -1恒等映射：e 变换恒等映射：体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若f 是一一映射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每一对a,b)A上有唯一确定的c与之对应，即有一规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的一个二元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)一般记为c = a·b，或c = ab。
二元运算般也称为乘法二元运算一般也称为“”——数值加法数值乘法对称操作……AmlOC kBe a b k l m D3e e a b k l ma ab e m k lb b e a l m k k k l m e a b l l m k b e a m m k l a b e4设A和B是两个不同集合，其中分别定义了乘法· 和×，若有满射f，使得对于y i f( x i ), y j f( x j)来说，=f(i)=f(f( x i · x j) = f( x i) ×f( x j)——即像的乘积=乘积的像则称f 为A到B的同态，记为A ~ B同态映射若是一一映射→同构同构：乘法表完全一样的结构，只是换了记录的符号数学上，同构即是同一数学上同构即是同→1:1= {e= a4, a, a2, a3} →G ={ 1, i, -1, -i}例如：C4物理上同构的集合有分别：物理上，同构的集合有分别：C 2= {e, c 2} 和C i = {e, c i }同态：A 到B 的等比例缩小保持了乘法结构3:1例如{{1→ 3:1例如：C 4= {e, a, a 2, a 3}→ G ' ={ 1, -1}二对一的同态二对的同态1.2什么是群？1G ={ e, g2, …, g i, …} 是一个集合，其中定义了乘法。
关于散在单群的自同构群的一个新刻画
第38卷第2期西南师范大学学报(自然科学版)2013年2月V o l.38N o.2J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)F e b.2013文章编号:10005471(2013)02000105关于散在单群的自同构群的一个新刻画①高彦伟,曹洪平西南大学数学与统计学院,重庆400715摘要:设G是有限群,K1(G)是G的最高阶元的阶,K2(G)是G的次高阶元的阶,K3(G)是G的第三高阶元的阶.证明了:每一个散在单群的自同构群G均可被G的阶和K i(G)(其中iɤ3)唯一刻画.关键词:有限群;散在单群;自同构群;元的阶中图分类号:O152.1文献标志码:A人们在研究群的结构时,总是希望能够用群的最基本的特征对其进行描述.众所周知,群的阶和群的元的阶是群的两个基本概念,也是描述群的两个重要的数量.那么能否用这两个数量对群进行纯数量刻画,就成了群论研究者感兴趣的一个课题.令πe(G)表示群G中元的阶的集合,文献[1]提出了这样的猜想:设G为群,H为有限单群,则G≅H当且仅当πe(G)=πe(H),|G|=|H|.文献[1-6]利用πe(G)和|G|刻画了一些有限单群.最近,文献[7]完成了文献[1]提出的猜想的证明.在此基础上,文献[8]利用πe(G)和|G|唯一地刻画了所有散在单群的自同构群.令K1(G)为G的最高阶元的阶,K2(G)为G的次高阶元的阶,文献[9]利用|G|和K i(G)(其中iɤ2)唯一地刻画了所有的散在单群.本文将尝试着利用|G|和群G中一些较高阶元的阶去唯一地刻画所有散在单群的自同构群,并证明如下定理:定理1设G为群,H为散在单群,则G≅A u t(H)当且仅当|G|=|A u t(H)|,K i(G)= K i(A u t(H)),其中iɤ3.本文所涉及的群均为有限群,单群均为非交换单群,G p为G的一个S y l o w p子群,其它所用的符号都是标准的,参见文献[10-12].1预备知识由文献[11]知,下列散在单群的自同构群同构于自身:M11,M23,M24,C o1,C o2,C o3,J1,J4,R u,F i23, L y,T h,B,M.文献[9]已证明了上述散在单群均可由|G|和K i(G)(其中iɤ2)唯一地刻画,所以本文只对J2,M12,M22,F iᶄ24,H N,OᶄN,J3,S u z,H s,H e,M c l,F i22的自同构群进行讨论.为了方便,我们在表1中列出了上述散在单群的阶及其元素阶的集合,在表2中,我们列出了上述散在单群的自同构群的阶及其一些较高阶元的阶.①收稿日期:20120511基金项目:国家自然科学基金(11171364);重庆市自然科学基金(C S T C.2009B B8111).Copyright©博看网. All Rights Reserved.作者简介:高彦伟(1987),男,河南南阳人,硕士研究生,主要从事有限群论的研究.通信作者:曹洪平,副教授.表1 一些散在单群的阶及其元素阶的集合H |H |πe (H )J 227㊃33㊃52㊃71,2, ,8,10,12,15M 1226㊃33㊃5㊃111,2, ,6,8,10,11M 2227㊃32㊃5㊃7㊃111,2, ,8,11F i ᶄ24221㊃316㊃52㊃73㊃11㊃13㊃17㊃23㊃291,2, ,18,20, ,24,26, ,30,33,35,36,39,42,45,60H N 214㊃36㊃56㊃7㊃11㊃191,2, ,12,14,15,19,20,21,22,25,30,35,40O ᶄN 29㊃34㊃5㊃73㊃11㊃19㊃311,2, ,8,10,11,12,14,15,16,19,20,28,31J 327㊃35㊃5㊃17㊃191,2, ,6,8,9,10,12,15,17,19S u z 213㊃37㊃52㊃7㊃11㊃131,2, ,15,18,20,21,24H s 29㊃32㊃53㊃7㊃111,2, ,8,10,11,12,15,20H e 210㊃33㊃52㊃73㊃171,2, ,8,10,12,14,15,17,21,28M c l 27㊃36㊃53㊃7㊃111,2, ,12,14,15,30F i 22217㊃39㊃52㊃7㊃11㊃131,2, ,16,18,20,21,22,24,30表2 一些散在单群的自同构群的阶及其一些较高阶元素的阶S |S |K 1(S )A u t (J 2)28㊃33㊃52㊃724A u t (M 12)27㊃33㊃5㊃1112A u t (M 22)28㊃32㊃5㊃7㊃1114A u t (F i ᶄ24)222㊃316㊃52㊃73㊃11㊃13㊃17㊃23㊃2984A u t (H N )215㊃36㊃56㊃7㊃11㊃1960A u t (O ᶄN )210㊃34㊃5㊃73㊃11㊃19㊃3156A u t (J 3)28㊃35㊃5㊃17㊃1934S |S |K 1(S )K 2(S )A u t (S u z )214㊃37㊃52㊃7㊃11㊃134030A u t (H s )210㊃32㊃53㊃7㊃113020A u t (H e )211㊃33㊃52㊃73㊃174230A u t (M c l )28㊃36㊃53㊃7㊃113024S|S |K 1(S )K 2(S )K 3(S )A u t (F i 22)218㊃39㊃52㊃7㊃11㊃134236302 定理1的证明定理1的证明将由下面的3个定理给出.定理2 设G 为群,H =J 2,M 12,M 22,F i ᶄ24,H N ,O ᶄN ,J 3.则G ≅A u t (H )当且仅当|G |=|A u t (H )|,K 1(G )=K 1(A u t (H )).证 必要性是显然的,只需证充分性.由于证明过程类似,因此只对H =J 2的情况讨论.当H =J 2时,注意到|A u t (J 2)|=28㊃33㊃52㊃7,K 1(A u t (J 2))=24,证明分3步完成:(a )G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且5㊃7||M /N |.设G =G 0>G 1>G 2> >G k -1>G k =1为G 的主群列,则存在i ,使得π(G i )ɘ{5,7}ʂØ,π(G i +1)ɘ{5,7}=Ø.设M =G i ,N =G i +1,则G ȡM >N ȡ1为G 的正规群列,且췍M =M /N 为췍G =G /N 的极小正规子群.我们断言{5,7}⊆π(M ).事实上,假设7ɪπ(M ),而5∉π(M ),则5ɪπ(G /M ).令M 7为M 的S yl o w7子群,由7 |G |知,|M 7|=7.由F r a t t i n i 论断有G =N G (M 7)M ,于是G /M ≅N G (M 7)/N G (M 7)ɘM ,故5ɪπ(N G (M 7)).于是N G (M 7)中有35阶子群,而35阶群是循环群,故G 中有35阶元,这与K 1(G )=24矛盾.所以当7ɪπ(M )时,5ɪπ(M ).当5ɪπ(M )时,假设7∉π(M ),则7ɪπ(G /M ).令M 5为M 的S yl o w5子群,则|M 5|=5i (1ɤi ɤ2).同理可知7ɪπ(N G (M 5)),故N G (M 5)中有7阶子群,不妨设为L 7.令K =M 5L 7,由S y l o w 定理知L 7◁_K ,显然M 5◁_K ,且M 5ɘL 7=1,故K 为M 5和L 7的直积.所以K 中有35阶元,从而G 中有35阶元,这与K 1(G )=24矛盾.所以当5ɪπ(M )2西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.时,7ɪπ(M ),故{5,7}⊆π(M ).又因{5,7}ɘπ(N )=Ø,所以{5,7}⊆π(M /N ).由于M /N 为同构单群的直积,而π(M /N )至少包含两个不同的素数5和7,所以M /N 为非交换单群的直积.又由于7 |G|,从而7 |M /N |,所以M /N 为非交换单群,且5㊃7||M /N |.(b )M /N ≅J 2.由步骤(a )知M /N 为非交换单群,又因|M /N |||A u t (J 2)|,且5㊃7||M /N |,7为|M /N |的最大素因子,则由A t l a s 表知M /N 可能同构于J 2,L 3(4),A 7或A 8.若M /N ≅L 3(4),A 7,A 8,则5|M /N |,而52||G |,5⫮|N |,故5||G /M |.类似步骤(a )的证明知G 中有35阶元,这与K 1(G )=24矛盾,故M /N ≅J 2.(c )G ≅A u t (J 2).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~Au t (췍M ),即J 2<~G /C <~Au t (J 2),比较阶有G /C ≅J 2或G /C ≅A u t (J 2).若G /C ≅J 2,则|C |=2,于是G 中有30阶元,这与K 1(G )=24矛盾.所以G /C ≅A u t (J 2),从而C =1,G ≅A u t (J 2).定理3 设G 为群,H =S u z ,H s ,H e ,M c l ,则G ≅A u t (H )当且仅当|G |=|A u t (H )|,K i (G )=K i (A u t (H )),其中i ɤ2.证 必要性是显然的,只需证充分性,分4种情形证明:情形1 当H =S u z 时,注意到|A u t (S u z )|=214㊃37㊃52㊃7㊃11㊃13,K 1(A u t (S u z ))=40,K 2(A u t (S u z ))=30.(a )同定理2中步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且11㊃13||M /N |.(b )M /N ≅S u z .由步骤(a )知M /N 为非交换单群,又因|M /N |||A u t (S u z )|,且11㊃13||M /N |,13为|M /N |的最大素因子,由A t l a s 表知M /N 可能同构于A 13或S u z .若M /N ≅A 13,由于A 13中有35阶元,所以M 中有35阶元,从而G 中有35阶元,这与K 1(G )=40,K 2(G )=30矛盾.故M /N ≅S u z .(c )类似定理2中步骤(c )的证明知G ≅A u t (S u z ).情形2 当H =H s 时,注意到|A u t (H s )|=210㊃32㊃53㊃7㊃11,K 1(A u t (H s ))=30,K 2(A u t (H s ))=20.(a )G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且5㊃7㊃11||M /N |.设G =G 0>G 1>G 2> >G k -1>G k =1为G 的主群列,则存在i ,使得π(G i )ɘ{5,7,11}ʂØ,π(G i +1)ɘ{5,7,11}=Ø.设M =G i ,N =G i +1,则G ȡM >N ȡ1为G 的正规群列,且췍M =M /N 为췍G =G /N 的极小正规子群.我们断言{5,7,11}⊆π(M ).事实上,假设11ɪπ(M ),而7∉π(M ),则7ɪπ(G /M ).令M 11为M 的S y l o w11子群,由11 |G |知,|M 11|=11.由F r a t t i n i 论断有G =N G (M 11)M .于是G /M ≅N G (M 11)/N G (M 11)ɘM ,故7ɪπ(N G (M 11)),于是N G (M 11)中有77阶子群.而77阶群是循环群,故G 中有77阶元,这与K 1(G )=30矛盾.所以当11ɪπ(M )时,7ɪπ(M ).同理可知当7ɪπ(M )时,5ɪπ(M ).所以当11ɪπ(M )时,有{5,7}⊆π(M ).同理可知当7ɪπ(M )时,有{5,11}⊆π(M );当5ɪπ(M )时,有{7,11}⊆π(M ).故{5,7,11}⊆π(M ).又因{5,7,11}ɘπ(N )=Ø,所以{5,7,11}⊆π(M /N ).由于M /N 为同构单群的直积,而π(M /N )至少包含3个不同的素数5,7,11,所以M /N 为非交换单群的直积.又由于11 |G |,从而11 |M /N |,所以M /N 为非交换单群,且5㊃7㊃11||M /N |.(b )类似定理2中步骤(b )的证明及文献[11]知,M /N ≅H s .(c )G ≅A u t (H s ).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G(췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~Au t (췍M ),即3第2期 高彦伟,等:关于散在单群的自同构群的一个新刻画Copyright ©博看网. All Rights Reserved.H s <~G /C <~Au t (H s ),比较阶有G /C ≅H s 或G /C ≅A u t (H s ).若G /C ≅H s ,则|C |=2,于是G 中有22阶元,这与K 1(G )=30,K 2(G )=20矛盾.所以G /C ≅A u t (H s ),从而C =1,G ≅A u t (H s ).情形3 当H =H e 时,注意到|A u t (H e )|=211㊃33㊃52㊃73㊃17,K 1(A u t (H e ))=42,K 2(A u t (H e ))=30.(a )类似定理2中步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且7㊃17||M /N |.(b )类似定理2中步骤(b )的证明及文献[11]知M /N ≅H e .(c )G ≅A u t (H e ).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~A u t (췍M ),即H e <~G /C <~Au t (H e ),比较阶有G /C ≅H e 或G /C ≅A u t (H e ).若G /C ≅H e ,则|C |=2,于是G 中有34阶元,这与K 1(G )=42,K 2(G )=30矛盾.所以G /C ≅A u t (H e ),从而C =1,G ≅A u t (H e ).情形4 当H =M c l 时,注意到|A u t (M c l )|=28㊃36㊃53㊃7㊃11,K 1(A u t (M c l ))=30,K 2(A u t (M c l ))=24.(a )类似定理2中步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且3㊃11||M/N |.(b )类似定理2中步骤(b )的证明及文献[11]知,M /N ≅M c l .(c )G ≅A u t (M c l ).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~A u t (췍M ),即M c l <~G /C <~Au t (M c l ),比较阶有G /C ≅M c l 或G /C ≅A u t (M c l ).若G /C ≅M c l ,则|C |=2,G 为C 被F i 22的中心扩张,且C ɤZ (G ).由于M c l 的舒尔乘子为3,所以C ɤ/G ᶄ,从而C ɘG ᶄ=1.又因G /C ≅M c l ≅(G /C )ᶄ=G ᶄC /C ,所以G =G ᶄC ,G =G ᶄˑC .但M c l ≅G /C ≅G ᶄ,所以G ≅M c l ˑC ,于是K 1(G )=30,K 2(G )=22,这与K 1(G )=30,K 2(G )=24矛盾.所以G /C ≅A u t (M c l ),从而C =1,G ≅A u t (M c l ).注1 当H =H s ,H e ,M c l 时,|Z 2ˑH |=|A u t (H )|,且K 1(Z 2ˑH )=K 1(A u t (H )).但Z 2ˑH 与A u t (H )不同构,故A u t (H )不能用|A u t (H )|和K 1(A u t (H ))来刻画.定理4 设G 为群,H =F i 22,则G ≅A u t (H )当且仅当|G |=|A u t (H )|,K i (G )=K i (A u t (H )),其中i ɤ3.证 必要性是显然的,只需证充分性.当H =F i 22时,注意到|A u t (F i 22)|=218㊃39㊃52㊃7㊃11㊃13,K 1(A u t (F i 22))=42,K 2(A u t (F i 22))=36,K 3(A u t (F i 22))=30.(a )类似定理3中情形2步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且3㊃11㊃13||M /N |.(b )M /N ≅F i 22.由步骤(a )知M /N 为非交换单群,又因|M /N |||A u t (F i 22)|,且3㊃11㊃13||M /N |,13为|M /N |的最大素因子,由A t l a s 表知,M /N 可能同构于A 13,S u z 或F i 22.若M /N ≅A 13,则35 |M /N |,而39||G |,3⫮|N |,故3||G /M |.同步骤(a )的证明知,G 中有33阶元,这与K 2(G )=36,K 3(G )=30矛盾.若M /N ≅S u z ,则37 |M /N |,而39||G |,3⫮|N |,故3||G /M |.类似步骤(a )的证明知,G 中有33阶元,这与K 2(G )=36,K 3(G )=30矛盾.故M /N ≅F i 22.(c )G ≅A u t (F i 22).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]中的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡ4西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.C 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~Au t (췍M ),即F i 22<~G /C <~Au t (F i 22),比较阶有G /C ≅F i 22或G /C ≅A u t (F i 22).若G /C ≅F i 22,则|C |=2,G 为C 被F i 22的中心扩张.若C 在G 中有补,则G ≅C ˑF i 22,这时K 1(G )=42,K 2(G )=30,这与K 1(G )=42,K 2(G )=36矛盾;若C 在G 中没有补,则G ≅C .F i 22≅2.F i 22,由A t l a s 表知K 1(G )=30,这与K 1(G )=42矛盾.所以G /C ≅A u t (F i 22),从而C =1,G ≅A u t (F i 22).注2 |Z 2ˑF i 22|=|A u t (F i 22)|=218㊃39㊃52㊃7㊃11㊃13,且K 1(Z 2ˑF i 22)=K 1(A u t (F i 22))=42.但Z 2ˑF i 22与A u t (F i 22)不同构,故A u t (F i 22)不能用|A u t (F i 22)|和K 1(A u t (F i 22))来刻画.参考文献:[1]S H IW u -j i e .A N e wC h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e S p o r a d i c S i m p l eG r o u p s [M ].N e w -Y o r k :W a l t e r d eG r u y t e r ,1989:531-540.[2] S H IW u -j i e .A N e wC h a r a c t e r i z a t i o no f S o m e S i m p l eG r o u p s o f L i eT y p e [J ].C o n t e m p o r a r y M a t h ,1989,82:171-180.[3] S H IW u -j i e ,B I J i a n -x i n g .AC h a r a c t e r i z a t i o no f t h eA l t e r n a t i n g G r o u p s [J ].S o u t h e a s tA s i a nB u l l e t i no fM a t h e m a t i c s ,1992,1(6):81-90.[4] S H IW u -j i e ,B I J i a n -x i n g .AC h a r a c t e r i z a t i o n o f S u z u k i -R e e g r o u p s [J ].S c i e n c e i nC h i n a :S e rA ,1991,34(6):14-19.[5] S H IW u -j i e ,B I J i a n -x i n g .A C h a r a c t e r i s t i cP r o p e r t y f o rE a c hF i n i t eP r o j e c t i v eS p e c i a lL i n e a rG r o u p [M ].N e w -Y o r k :S p r i n g e r ,1989:171-180.[6] S H IW u -j i e .P u r eQ u a n t i t a t i v eC h a r a c t e r i z a t i o no fF i n i t eS i m p l eG r o u p s [J ].P r o g r e s s i nN a t u r eS c i e n c e ,1994,4(3):316-326.[7] V A S I L E V A V ,G R E C H K O S E E V A M A ,MA Z U R O V VD.C h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e F i n i t e S i m p l eG r o u p s b y S p e c t r u m a n dO r d e r [J ].A l g e b r a a n dL o g i c ,2009,48(6):385-409.[8] 申 红.阶对有限群的刻画[D ].重庆:西南大学,2011.[9] 何立官.群的阶及最高阶元素的阶与群的结构[D ].重庆:西南大学,2012.[10]HU P P E R TB .E n d l i c h eG r u p p e n I [M ].H e i d e l b e r g -N e w Y o r k :S p r i n g -V e r l a g ,1967.[11]C O NWA YJH ,C U R T I SRT ,N O R T O NSP ,e t a l .A t l a s o fF i n i t eG r o u ps [M ].O x f o r d :C l a r e n d o nP r e s s ,1985.[12]徐明耀.有限群论导引(上册)[M ].2版.北京:科学出版社,1999:34.O naN e wC h a r a c t e r i z a t i o no f t h eA u t o m o r p h i s m G r o u p s i nS p o r a d i c S i m p l eG r o u ps G A O Y a n -w e i , C A O H o n g -p i n g S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s ,S o u t h w e s t U n i v e r s i t y ,C h o n g q i n g 400715,C h i n a A b s t r a c t :L e t G b e a f i n i t e g r o u p ,K 1(G )d e n o t e s t h e l a r g e s t e l e m e n t o r d e r o f G ,K 2(G )t h e s e c o n d l a r ge s t o r d e r ,a n d K 3(G )t h e t h i r d l a r g e s t o r d e r .I t h a s b e e n s h o w n t h i s p a p e r t h a t t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p G of e v e r y s p o r a d i c s i m p l eg r o u p c a nb eu n i q u e l y d e t e r m i n e db y th e o r d e r o f G a n d Ki (G ),w h e r e i ɤ3.K e y wo r d s :f i n i t e g r o u p ;s p o r a d i c s i m p l e g r o u p ;a u t o m o r p h i s m g r o u p ;t h e e l e m e n t o r d e r 责任编辑 廖 坤5第2期 高彦伟,等:关于散在单群的自同构群的一个新刻画Copyright ©博看网. 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群论初探——精选推荐
群论初探简单群论群定义群G 是⼀个定义在⼆元组(S ,⋅)的代数结构。
其中S 是⼀个集合，·是⼀个⼆元运算符。
G 所含元素的个数称为群G 的阶，记为|G |。
⼀般的，称阶为+∞的群为⽆限群，否则称为有限群（定义同样适⽤于集合）。
在群G 中，a ∈G 。
若存在最⼩正整数k 使得a k =e ，则称k 为a 的阶，记为|a |=k ；否则称a 的阶是⽆限的，记为|a |=+∞。
群论中，集合或群中的⼀个元素也被称为⼀个点。
提醒，你可能会在下⽂看到“由元素组成的群”等不严谨的说法，请不要纠结。
判定与性质满⾜下列条件的⼆元组G =(S ,⋅)可以称为群：封闭性： ∀x ,y ∈S ,x ⋅y ∈S ；结合律：∀x ,y ,z ∈S ,(x ⋅y )⋅z =x ⋅(y ⋅z )；单位元：∃e ∈S ,∀x ∈S ,e ⋅x =x ⋅e =x ；当G 为加法群是，其单位元称为零元，记作0。
逆元：∀x ∈S ,∃y ∈S ,x ⋅y =y ⋅x =e ；在式x ⋅y =e 中，称x 为y 的左逆元，y 为x 的右逆元。
当G 为加法群时，a 的逆元也称作负元，并记为−a 。
结论：在群中，左逆元=右逆元。
证明：∀x ∈G ,∃a ∈G ,a ⋅x =e 。
a 为x 的左逆元。
∃b ∈G ,b ⋅a =e 。
由1、2，x ⋅a =(b ⋅a )⋅(x ⋅a )=b ⋅(a ⋅x )⋅a =b ⋅a =e ，即a 也是x 的右逆元。
得证。
消去律： x =y 与x ⋅a =y ⋅a 互为充要条件，x ,y ,a ∈G 。
结论：当S 为有限集，在具有封闭性、结合律、单位元的⼆元组(S ,⋅)⾥，逆元存在⇔消去律存在。
证明：逆元存在⇒消去律存在结合消去律定义与a ⋅a −1=e 可证。
消去律存在⇒逆元存在对于∀a ∈S ，建⽴新⼆元组(S ′={x ⋅a |x ∈S },⋅)。
根据封闭性，S ′∈S 。
⼜S 存在消去律，考虑集合的互异性，不会存在x ,y 使得x =y ；同样的S ′中不会存在值为x ⋅a 的两个相同元素即|S |=|S ′|。
3-19 - 一阶微分方程解存在唯一性定理Picard定理及其证明
3.1 一阶微分方程存在唯一性定理(Existence and Uniqueness Theorem ofInitial Value Problem of ODE )[教学内容] 1. 上一章内容小结和习题课; 2.介绍研究初值问题解的存在唯一性定理必要性; 3. 介绍柯西解的存在唯一性定理和Picard定理; 4. 介绍定理的证明.[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程[教学方法] 自学1、2、3；讲授4、5课堂练习[考核目标]1.知道一阶微分方程的类型及其解法;2. 知道Lipshitz条件和解的存在唯一性定理（柯西版本和Picard版本）;3. 知道Picard定理的证明思路和过程;4. 会用Picard函数序列给出微分方程初值问题的近似函数解.5. 了解和掌握Graonwall积分不等式.1. 一阶微分方程类型及其初等解法小结（1）认识一阶微分方程：一阶线性方程（交换x,y或Bernoulli方程及其他可通过引入变量替换化为一阶线性方程的）、一阶可分离变量型方程（齐次方程以及其他可化为可分离变量型的）、一阶对称形式的恰当方程（通过引入积分因子可化为恰当方程的方程）一阶隐方程（可解出x或y的类型，以及x, y, y’只含有其中两个的方程类型）（2）解法常数变易公式、Bernoulli方程的变量替换分离变量方法、齐次方程的变量替换恰当方程的解法、积分因子的求法隐方程的求导法和参数法（3）例题上述提到的方程类型各举出一个例子来，并用上面的方法来求解，允许一题多解.（4）介绍一些可以化为微分方程来求解的函数方程和积分方程（参见上节讲义）.（5）预告：下周二上午第一节课进行上一章测试，请相互转告.2. 必要准备：数学中的进化论生物上，比如水稻品种一代一代通过基因重组往高产优质方向优化，还有如下图片.在数学上也有类似的进化过程，下面就说一说.（1）考察三次代数方程 x 3+4x-2 0. 该方程没有有理根. 该方程只有唯一实根且落在[0,1]. 下面有两种思路来找到该方程的根.思路一：运用连续函数的零点定理, 记1] [0,]b ,[a 11=表示第一代；将]b ,[a 11平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第二代，即]21 [0,]b ,[a 22=；将]b ,[a 22平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第三代，即]21 ,41[]b ,[a 33=；将]b ,[a 33平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第四代，即]21 ,81[]b ,[a 44=；... ... 这样下去，]b ,[a n n 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466,其中误差就是|a b |n n -.思路二：运用教材P89习题9的结论和证明过程，改写方程为x 42x -3=+，记42x f(x)3+-= 则方程就是f(x)x =，方程的根也就是函数f(x)的不动点. 可以验证f(x)满足教材P89习题9的条件（自行验证）,于是方程的根存在且唯一，下面就用进化的思想来寻找方程的根.选取第一代1x 1=（这里可以选其他实数）；经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第二代25.0)f(x x 12==；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第三代496094.0)f(x x 23≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第四代469477.0)f(x x 34≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第五代474131.0)f(x x 45≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第六代473354.0)f(x x 56≈=；... ... n x 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466.打个比方，把方程的根比作我们想要的某种属性的对象，我们可以通过迭代（进化）过程来把它造出来或找出来。
群伦
群论在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。
群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。
群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。
群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。
于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
群的定义设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有(a*b)*c=a*(b*c)；Ⅱ.G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e*a=a；Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^（-1），叫做a的左逆元，使a^（-1）*a=e；则称G对代数运算*做成一个群。
一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G：（1）封闭性若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;（2）结合律成立任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);（3）单位元存在存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元;（4）逆元存在任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b.通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab.若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。
否则称为无限群。
有限群的元素个数称为有限群的阶。
定义运算对于g∈G，H包含于G，g*H={gh|h∈H}，简写为gH；H*g={hg|h∈H}，简写为Hg.A，B包含于G，A*B={ab|a∈A,b∈B}，简写为AB.群的替换定理G对*是群，则对于任一g∈G，gG=Gg=G.定义记法G对*是群，集合H包含于G，记H^(-1)={h^(-1)|h∈H}子群的定义如果G对于运算*为一个群，H包含于G并且H对*构成一个群，那么称H为G的子群。
2024年考研数学群论与伽罗瓦理论题目解析与答案
2024年考研数学群论与伽罗瓦理论题目解析与答案伽罗瓦理论和群论是数学中重要的分支，也是考研数学中的一大难点。
本文将对2024年考研数学中涉及到的群论与伽罗瓦理论题目进行解析并提供详细答案，帮助考生更好地理解和应用该知识点。
一、群论题目解析与答案1. 题目：设G={a, b, c, d}是一个群，且对于任意的a, b属于G，有(ba)^2=b^{-1}a^{-1}ba。
求证：G是二阶群。
解析：要证明G是二阶群，需要证明G中的任意元素a均满足a^2 = e（e为单位元），即每个元素的平方都等于单位元。
首先，根据题目中给出的条件，令a=b，则有(aa)^2 = a^{-1}a^{-1}aa。
由群的封闭性可知，(aa)^2属于G，即一定存在于G中的某个元素。
假设(aa)^2 = d，则有d = a^{-1}a^{-1}aa。
将d代入等式中，得到d^2 = (a^{-1}a^{-1}aa)^2，经过展开化简后可得d^2 = e，即d为单位元。
另一方面，如果(aa)^2 = c，同样可以得出c为单位元。
综上所述，G中的所有元素的平方均等于单位元，即G是二阶群。
2. 题目：设G是一个群，且对于任意的a, b属于G，有bab^{-1}=a^2。
证明：G是可解群。
解析：要证明G是可解群，需要证明G的每个子群均为正规子群。
首先，根据题目中给出的条件，对于任意的a, b属于G，有bab^{-1}=a^2。
我们将上述等式两边同时左乘b^{-1}，得到 b^{-1}bab^{-1}=b^{-1}a^2。
再将等式两边同时右乘b，得到bab^{-1}b=b^{-1}a^2b。
由于G是一个群，故a^2和b^{-1}a^2b均属于G，根据群的封闭性，bab^{-1}也属于G，即必存在于G中的某个元素。
假设bab^{-1}=c，则有c=b^{-1}a^2b，将b^{-1}a^2b代入等式中，得到c^2 = (b^{-1}a^2b)^2。
360阶单群同构于A6的初等群论证明
2. 关于 A6
为了达到我们的目的，我们当然要从 A6 的元素和 Sylow 子群入手。 任取 A6 的元素 g ，容易验证 g 只能表示成形如
1, (12 )( 34 ) , (123) , (123)( 456 ) , (1234 )( 56 ) , (12345 )
的轮换形式， 这样 A6 的元素的阶只能等于 1、 2、 3、 4、 5。 接下来我们要逐步分析这些元的共轭类大小和计算 A6 的 Sylow 子群的个数，并确定其 Sylow 子群的结构。
其中
( ( 23)( 56 ) ) ( (123)( 456 ) ) ( ( 23)( 56 ) ) = (132 )( 465)
−1
( ( 23)( 56 ) ) ( (123)( 465) ) ( ( 23)( 56 ) ) = (132 )( 456 )
−1
Hale Waihona Puke ( (1436 )( 25) ) ( (123)( 456 ) ) ( (1436 )( 25) ) = (132 )( 456 )
现 在 ， 我 们 能 够 很 快 证 明 A6 是 一 个 单 群 。 事 实 上 ， 任 取 A6 的 正 规 子 群 N ， N 的 阶 整 除 360 ， 且
N = 1 + 45 x1 + 90 x2 + 40 y1 + 72 y2 ，其中 xi = 0 或 1， yi = 0,1 或 2。不难验证 N = 1 或 360，即 N = 1 或 A6 ， A6 是
−1
这样在 u , v 里， 形如 ( abc )( def ) 的 4 个元素在 A6 里是相互共轭的， 根据 Sylow 定理，A6 的形为 ( abc )( def ) 的元素形成一个完整的共轭类。 个元素在 A6 里不能构成一个完整的共轭类。又 A6 有 144 ÷ 4 = 36 个 Sylow 5-子群，注意到 (12345 ) 生成 A6 的一
群论参考答案
群论参考答案群论参考答案群论，作为数学中的一个重要分支，研究的是群的性质和结构。
群是一种代数结构，它由一组元素和一个二元运算组成，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
在群论中，我们研究的是这些性质对于群的结构和性质的影响。
一、群的基本概念和性质1.1 群的定义群的定义是群论的基石。
一个群G是一个集合，配以一个二元运算*，满足以下四个性质：（1）封闭性：对于任意的a、b∈G，a*b∈G；（2）结合律：对于任意的a、b、c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)；（3）单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，a*e=e*a=a；（4）逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。
1.2 群的性质群具有许多重要的性质，其中一些性质如下：（1）唯一性：群的单位元是唯一的，每个元素的逆元也是唯一的；（2）消去律：如果a*b=a*c，则b=c；（3）幂运算：对于任意的a∈G和正整数n，存在一个元素a^n∈G，满足a^n=a*(a^(n-1))；（4）循环群：如果存在一个元素a∈G，使得G中的每个元素都可以表示为a 的幂次，那么G是一个循环群；（5）阶：群中元素的阶是指该元素的最小正整数幂次，使得幂次后的结果为单二、群的分类2.1 有限群和无限群根据群的元素个数，群可以分为有限群和无限群。
有限群的元素个数是有限的，而无限群的元素个数是无限的。
2.2 循环群和非循环群根据群的结构，群可以分为循环群和非循环群。
循环群是由一个元素生成的，而非循环群则不是。
2.3 具体例子具体的群可以有许多种类，比如整数加法群、整数乘法群、置换群等。
整数加法群是一个循环群，由整数集合和加法运算构成；整数乘法群也是一个循环群，由非零整数集合和乘法运算构成；置换群是由一组置换构成的群，其中置换是指将集合中的元素重新排列的操作。
三、群的应用3.1 密码学群论在密码学中有着广泛的应用。
通过利用群的性质，可以构建安全的加密算法和密钥交换协议。
各项同性麦克斯韦方程在系数为弱正则时解的唯一性证明
正则系数在数学方面有着重要的作用，尤其是在各项同性麦克斯韦方程求解时，其解的唯一性就是由正则系数决定的。
本文将讨论各项同性麦克斯韦方程在系数为弱正则时解的唯一性的证明，以及如何证明该结论。
一、各项同性麦克斯韦方程的定义麦克斯韦方程（McKendrick Equation），又称康叔克方程，是一个重要的偏微分方程，由英国数学家Ales McKendrick1926年首次提出。
麦克斯韦方程是一种二阶非线性方程，可以用来描述累积量（如群体数量）随时间变化的过程。
它描述了当累积量受到一定外部条件作用时，内部因素引起的内部变化，让某种累积量随时间变化的情况，也可以利用麦克斯韦方程，分析当一定的外部条件作用时，累积量的变化趋势。
此外，由于它可以解决许多涉及利用计算机模拟复杂场景的问题，因此麦克斯韦方程在多个领域，如气候学、分析化学、生物学和金融学等中有着重要的应用。
二、弱正则性及它在麦克斯韦方程解的唯一性上的作用所谓“弱正则性”是指系数矩阵A是可以近似正则的，不是完全正则的。
所谓“可以近似正则”，是指矩阵A的行列式的绝对值小于一定的常数或其他给定的数值，如果A的绝对值大于这一常数或给定的数值，则称A为弱正则矩阵。
因此，可以将弱正则性简单地理解为系数矩阵A的行列式的绝对值较小的情况。
显然，当系数矩阵A的行列式的绝对值较小时，麦克斯韦方程的解的唯一性就可以确定。
首先，由于系数矩阵A的行列式绝对值较小，因此可以将弱正则性写成：|A|<=C其中C为一定的正实数。
接下来，我们假定系数矩阵A满足弱正则性，即：|A|<=C那么，我们可以将系数矩阵A的行列式expand开来：A=a11*a22-a12*a21根据上述式子，我们可以得出：|A|=|a11*a22-a12*a21|=|a11||a22|-|a21||a12|由于系数矩阵A满足弱正则性，即|A|<=C，因此：|a11||a22|-|a21||a12|<=C从而，我们可以推出：|a11||a22|<=C+|a21||a12|又由于系数矩阵A满足弱正则性，且系数矩阵A的行列式的绝对值小于一定的正实数C，因此：|a11|<=sqrt(C+|a21||a12|)|a22|<=sqrt(C+|a21||a12|)同时，根据麦克斯韦方程的基本求解条件，即必须保证系数矩阵A的行列式的绝对值大于一定的正实数C，因此，我们可以得出：|a11|>sqrt(C+|a21||a12|)|a22|>sqrt(C+|a21||a12|)由此，我们可以得出以下结论：当系数矩阵A满足弱正则性时，必有：|a11|>sqrt(C+|a21||a12|)|a22|>sqrt(C+|a21||a12|)从而，我们就可以说明，当系数矩阵A满足弱正则性时，麦克斯韦方程的解将会是唯一的。
阶≤200的群的Thompson猜想
阶≤200的群的Thompson猜想张宁;徐海静;郭杰【摘要】通过研究阶≤200的非可解群的结构,并计算出其阶型,证明了阶≤200的群满足Thompson猜想.%nonsolvable group; order type; isomorphism 【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2011(029)011【总页数】4页(P1282-1285)【关键词】非可解群;阶型;同构【作者】张宁;徐海静;郭杰【作者单位】信息工程大学理学院,郑州450000;西南大学数学与统计学院,重庆400715;信息工程大学理学院,郑州450000【正文语种】中文【中图分类】O152.1对任一有限群G和任一正整数k，令G（k）=｛x∈G│xk│=1｝．若G1与G2为有限群，满足│G（1k）│=│G（2k）│，k=1，2，…，则称G1与G2为同阶型群．对同阶型群，J．G．Thompson提出了一个著名的猜想：猜想（Thompson猜想）设G1与G2为同阶型的有限群，若G1可解，则G2一定可解．对这一猜想的研究目前没有什么好的方法，仅有一些群论专家从侧面进行了研究，如一些群论工作者从群的最高阶元的个数出发来研究有限群[1]，得到令人鼓舞的结果，但至今没有人对Thompson猜想给出证明，也没有举出反例.本文采用直接证明的方法验证了阶≤200的群满足Thompson猜想．设G为有限群，πe（G）表示群G的元素阶的集合，用αi（G）=│｛g∈G│o （g）=i｝│表G中i阶元的个数，简记为αi，其中i为正整数，且i‖G│；称ρ（G）=（α1，…，αi，…，αs）为G的阶型.显然我们有：G1，G2为同阶型群当且仅当ρ（G1）=ρ（G2）. 于是 Thompson 猜想可写为：设G1为有限群，ρ（G2）=ρ（G1），若G1可解，则G2可解.引理 1[2] 设│G│≤200，且│G│≠60，120，168，180，则 G必可解.对于可解群，Thompson猜想显然成立，于是只需讨论60、120、168和180阶存在非可解情形的群，从非可解群的结构入手，通过计算其阶型，得出阶型与60、120、168或180阶非可解群相同的可解群不存在，即一定不可解，从而阶型与60、120、168或180阶可解群相同的有限群必可解.最后得出：阶≤200的群满足Thompson猜想.引理2 60阶非可解群必同构于单群A5[2]；168阶非可解群必同构于单群L2（7）.证明 168阶群G非单非可解，可设G中含正规列1◁H◁K◁G，其中K/H≅L为单群，│L│‖G│，由paqb定理L同构于K3-单群L2（7），│L2（7）│=23·3·7=168，于是168阶非可解群G≅L2（7）.引理3[3]设G是一有限群，则πe（G）=πe（A5）当且仅当G≅A5；πe（G）=πe（L2（7））当且仅当G≅L2（7）.定理1①设│G1│=60，ρ（G2）=ρ（G1），若G1可解，则G2可解.②设│G1│=168，ρ（G2）=ρ（G1），若G1可解，则G2必可解.证明若G2不可解，则G2≅A5，由ρ（G2）=ρ（G1）及引理3知，G1≅A5，从而G1不可解，矛盾，所以G2可解.同理可证（2）.引理4设G为一非可解群，│G│=120，则G必同构于SL2（5），S5或A5×Z2.证明由120阶群G非单非可解，可设G中含正规列1◁H◁K◁G，其中K/H≅L 为单群，L≅A5，于是G的正规列只能是1◁H◁G，且其中G/H≅A5或H/1≅A5. 若G/H≅A5，│H│=2，考虑G在H上的作用，由N/C定理，G/CG（H）≅Aut （H）的子群，而│Aut（H）│=1，故CG（H）=G，H≤Z（G），G≅SL2（5）. 若 H/1≅A5，即 H≅A5，│G/A5│=2，G≅A5×Z2或 G≅S5.我们先来计算SL2（5）的阶型：若 a+d≇0（mod5），则有 b=c=0，a=d，所以 ad-bc≡a2≡1（mod5），a=1 或 4，而此时 x=I2或 x=-I2，与 x2=-I2矛盾，所以 a+d=tr（x）=0.引理7 ρ（SL2（5））=（α1，α2，α3，α4，α5，α6，α10）=（1，1，20，30，24，20，24）.证明 1）α1=1；2）α2=1.即（a+d）（a-d）≡0（mod5），b（a+d）≡c（a+d）≡0（mod5），由于ad-bc≡1（mod5），所以a2+ad≡a（a+d）≡2（mod5），a+d≢0（mod5），因此b=c=0，a=d，所以a2≡1（mod5），a=1或4，此时x=I2或x=-I2，故SL2（5）中的2阶元只有一个：-I2，且含于SL2（5）的中心.证明由引理 8 的证明可知ρ（A5）=（α1，α2，α3，α5）=（1，15，20，24），于是ρ（A5×Z2）=（α1，α2，α3，α5，α6，α10），并且α1=1，α2=1+15+15=31，α5=α10=24，α3=α6=20.引理 10 设│G│=120，则① ρ（G）=ρ（SL2（5））当且仅当 G≅SL2（5）.②ρ（G）=ρ（S2）当且仅当 G≅S5.③ ρ（G）=ρ（A5×Z2）当且仅当G≅A5×Z2.证明 1）充分性显然，只需验证必要性.若G可解，则G有Hall－｛3，5｝子群H，H为15阶循环子群，故G中有15阶元，但SL2（5）无15阶元，这与ρ（G）=ρ（SL2（5））矛盾，故G不可解，由引理4，120阶非可解群只有SL2（5），S5及A5×Z2，再由引理7~9知，G≅SL2（5）.同理可证（2）~（3）.定理 2 设│G1│=120，ρ（G2）=ρ（G1），若 G1可解，则 G2可解.证明若G2不可解，则G2≅SL2（5），S5或A5×Z2，由ρ（G2）=ρ（G1）及引理10知，G1≅G2，从而G1不可解，矛盾，所以G2可解.引理11 设G为一非可解群，│G│=180，则G≅A5×Z3.证明同引理4可得非单非可解群G中正规列只能是1◁H◁G，其中G/H≅A5或H/1≅A5.1）当G/H≅A5，│H│=3，考虑G在H上的作用，由N/C定理，G/CG（H）≅Aut（H）的子群，而│Aut（H）│=2，所以│G/CG（H）│=1或2.若│G/CG （H）│=2，│CG（H）│=2·32·5，CG（H）可解，从而G可解，矛盾，所以CG（H）=G，H≤Z（G），于是 G≅A5×Z3.2）当H/1≅A5，即H≅A5，│G/A5│=3，考虑G在A5上的作用，由N/C定理，G/CG（A5）≅Aut（A5）=S5的子群，于是│G/CG（A5）‖60，由G的不可解性，│G/CG（A5）│=3或60，│CG（A5）│=3或60.若│G/CG（A5）│=3，│CG（A5）│=60，A5·CG（A5）≤G，又│A5·CG（A5）│=│A5│·│CG（A5）│=602＞│G│，矛盾，故│CG（A5）│=3，G≅A5×CG （A5）G≅A5×Z3.综上可得180阶非可解群G必同构于A5×Z3.引理12 ρ（G）=ρ（A5×Z3）当且仅当G≅A5×Z3.证明ρ（G）=ρ（A5×Z3）=（α1，α2，α3，α5，α6，α15）=（1，15，62，24，30，48）. 若 G 可解，则 G 有 Hall－｛3，5｝子群H，且个数n｛3，5｝│4，又由Sylow定理，H的Sylow－5子群的个数n5=1，故G中5阶元的个数为4或8或16，与α5=24矛盾，所以G不可解，G≅A5×Z3.定理 3 设│G1│=180，ρ（G2）=ρ（G1），若 G1可解，则 G2可解.证明若 G2不可解，则 G2≅A5×Z3，从而ρ（G2）=ρ（A5×Z3）=ρ（G1），于是 G1≅A5×Z3，与 G1可解矛盾，所以G2解.综合定理 1、2、3 可得：定理 4 设│G1│≤200，ρ（G2）=ρ（G1），若 G1可解，则 G2可解.【相关文献】［1］晏燕雄，陈贵云，何立官．最高阶元个数为 52p 的有限群［J］．重庆大学学报：自然科学版，2006，29（9）：75－80．［2］徐明曜．有限群导引：上册［M］．2 版．北京：科学出版社，1993：34，55，62－80．［3］施武杰．关于单群 K3-群［J］．西南师范大学学报：自然科学版，1988（3）：1－4．［4］徐明曜．有限群导引：下册［M］．2版．北京：科学出版社，1993：193．。
660阶单群同构于PSL(2,11)的初等群论证明
660阶单群同构于PSL(2,11)的初等群论证明
周峰;徐涛;刘合国
【期刊名称】《理论数学》
【年(卷),期】2013(003)004
【摘要】本文仅用Sylow定理证明了660阶单群一定同构于。
【总页数】3页(P241-243)
【作者】周峰;徐涛;刘合国
【作者单位】[1]湖北大学数学与计算机科学学院;;[2]河北工程大学理学院;;[1]湖北大学数学与计算机科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.6 072阶单群同构于PSL(2,23)的初等群论证明 [J], 周峰;徐涛;刘合国
2.PSL(2,11)的最小级连通3度弧传递陪集图表示 [J], 汤利荣
3.360阶单群同构于A<sub>6</sub>的初等群论证明 [J], 周峰;徐行忠;廖军;刘合国;;;;
4.360阶和504阶单群的唯一性的初等群论证明 [J], 周峰;于浩然;王杰;刘合国;;;;
5.李型单群2G2(q)阶分量刻画的简化证明 [J], 陈彦恒;贾松芳;姜友谊
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单群的判定
单群的判定王积社【摘要】基于正规闭包的性质，获得了有限单群的一个判定定理，由此设计出判断有限群是否为单群的算法，并借助于计算机给出了S3-S7的所有单子群．%According to the characters of Normal Closure, it gets a judging theorem ahout finite simple group, thus designs an algorithm to judge if a finite group is a finite simple group, and presents all the finite sim-pie groups of by the aid of computer.【期刊名称】《韩山师范学院学报》【年(卷),期】2012(033)003【总页数】5页(P13-17)【关键词】单群;判定;正规闭包;对称群的单子群【作者】王积社【作者单位】韩山师范学院数学与应用数学系,广东潮州521041【正文语种】中文【中图分类】O152.1;O244单群是群结构的基石，关于有限群的研究往往归结为有限单群的研究，然而判断任一有限群是否为单群却是非常困难的．本文从正规闭包入手，获得了单群的一个判定定理：“若C1、C2、…Ct、是群G全部的共轭类，ai∈C（ii=1，2，…，t），则G是单群的充要条件是都是G的平凡正规子群”．由此设计出判断有限群是否为单群的一种算法，并计算出对称群S3-S7的所有单子群．以下概念及结论请参看参考文[1]或[2].定义1 设G是群，M⊆G，则称G的所有包含M的子群的交为由M生成的子群，记作〈M〉．容易看出定义2 设G是群，a、g∈G，规定：ag=g-1ag，并称ag为a在g下的共轭变形．对于G的子群或子集H，同样规定Hg=g-1Hg，也叫做H在g下的共轭变形．命题1 共轭变形运算满足：(1)agh=(ag)h；(2)(ab)g=agbg；(3)(ag)-1=(a-1)g. 定义3 称G的元素a、b(或子群、或子集H、K)在G中共轭，若存在元素g∈G使ag=b（或Hg=K）.定义4 称群G的子群N为G的正规子群，如果∀g∈G，Ng⊆N．定义5设G是群，M⊆G，称为M在G中的正规闭包．命题2 MG是群G的包含子集M的最小的正规子群．命题3 共轭关系是等价关系．于是群G的所有元素按照其共轭关系可分为若干互不相交的等价类（叫做共轭类）：C1={}1，C2,…,Ck（此处1是G的单位元），且G=C1⋃C2⋃…⋃Ck．定义6 只有平凡正规子群的群叫做单群命题4 交换群为单群的充要条件是它为素数阶的（循环）群．命题5 有限非交换单群之阶最小者为60，且阶为60的单群之型是唯一的（即只有5次交代群A5）．命题6 当n≥5时，An是单群，Sn不是单群．本文获得了一个单群的充要条件．如果按照单群的定义直接判定群G是否为单群，过程是非常复杂的，不仅人工很难做到，就是计算机判断也会非常吃力，因为需要求出群G的所有子群（这即已是一个非常困难的事），然后再逐个判断其每个子群是否为正规子群（又有很大的计算量）．然而依照本文的定理判断，只需要判断群G的共轭类代表的正规闭包是否为平凡子群即可．依次设计算法如下：S1.令H=G；S2.任取a∈H，求出a的共轭元素集C；S3.求出a的正规闭包{a}G=CG；S4.如果{a}G是非平凡子群，则输出G不是单群（同时也可输出{a}G），算法结束；否则转S5.S5.令H=H-C，若H=ϕ，则输出G是单群，算法结束；否则转S2.由于G是有限群且每步所得到的C≠ϕ，故算法必然终止于有限步．（1）算法的第二步S2.中要求a的共轭元素集C，需要用群G的每个元素对a作共轭变形．此处主要是共轭变形的算法，比如对于置换群而言，使用置换的简约型，用二维数组g存储G的元素（g[i]即是群G的第i个元素，g[i][k]即是群G的第i个元素的第k个分量)，用一维数组a存储置换a的简约式，那么g[i]对a作共轭变形可用以下算法实现：（2）算法的第三步S3.中要求a的正规闭包{a}G，需要生成子群算法，此算法可参考见文[3].笔者以置换群设计C语言程序实现本文算法，程序的功能是：输入一组生成元（一组置换），则生成一个置换群G，如果G不是单群，则输出G的一个非平凡正规子群；否则输出G是单群．由于程序代码较多故略去，下给出两个计算结果．例1输入生成元[123789456]、[471582693]，则生成一个72阶的群：经判断，G不是单群，因为它存在一个36阶正规子群：例2输入生成元[741235689]、[321456879]，则可生成一个720阶的群G，但G不是单群，因为它存在一个360阶的正规子群（限于篇幅，群及其正规子群的元素均略写）．若群G子群H是单群，则称H是G的单子群．笔者用计算的方法确定出对称群S3-S7的所有单子群，这些结果对进一步认识和探索对称群乃至有限群的构造有重要意义．诚然，这用纯群论的方法是难以得到的．易知S3的子群有：〈（1）〉、〈（12）〉、〈（13）〉、〈（23）〉、〈（123）〉、S3，经计算，〈（1）〉、〈（12）〉、〈（13）〉、〈（23）〉、〈（123）〉都是单群.此结果与命题4、5一致．文[4]证明了S4共有30个子群H1-H30，本文对此30个子群予以计算，得到S4的子单群有：1阶单子群H1=(1)，1个．2阶单子群H3=(12)、H4=(13)、H5=(14)、H6=(23)、H7=(24)、H8=(34)、H9=(12)(34)、H10=(13)(24)、H11=(14)(23)，10个．3阶单子群H12=(123)、H13=(124)、H14=(134)、H15=(234)，共4个．其中的Hi对应于文[4]的编号．此结果也与命题4、5一致．文[5]计算出对称群S5共有156个子群，分为19个共轭类。
群论2.4
2.4
证明： 当群G的阶数为5、6或7时，除恒元外， 丌可能所有元素的阶数都是2 .
元素的阶
有限群任一元素的自乘，当幂次足够高时必然会 有重复。若R的n次方等于E，n是R自乘得到恒元的 最低幂次，则n称为元素R的阶。 若 Rn = E ，n是R自乘得到恒元的最低幂次，则n 称为元素R的阶。 元素的阶数正是元j S2 , R j S3 … R j Sh
元素。 如果H和 R j H 的并还没有充满整个群G，则再选择G 中丌属于H和R j H 的元素构造新的左陪集，新的左 陪集也包含h个丌同的元素。
R j H 称为子群H的左陪集，陪集和子群没有公共
继续做下去，群G一定可以分解为子群H和若干个 左陪集 R j H 之并。这些子集间都没有公共元素， 每个子集包含h个丌同元素。因此，群G的阶数g 一定是子群H阶数h的整数倍
G = H ∪ R 2 H ∪ R 3 H ∪ … ∪ R d H, g = dh
d称为子群H的指数，等于子群的左陪集数加1. 因此，阶数为素数的群中除恒元外元素的阶数都 是该素数。即群的阶数为5、7时，除恒元外，丌 可能所有元素的阶数都是2.
恒元
设E是群G的恒元，R和S是群G中的任意元素。 证群中恒元的唯一性：若TR=R，则 T=T(RR-1)=(TR)R-1=RR-1=E 证群中任何元素的逆元是唯一的：如TR=E，则 T=T(RR-1)=(TR)R-1=ER-1=R-1
拉格朗日定理
子群的阶数必须是原群阶数的约数
本题证明
当群G的阶数为5、7时: 已知子群H的阶数是群G阶数g的约数，所以当 群的阶数为素数时，除恒元外，元素的阶数只能 等于群G阶数g。
群G阶为g，有子群H阶为h，
H = S1 , S2 , S3 … Sh ，S1 = E
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(5) P ≅ Z 3 × Z 3 且 N G ( P ) 是 Frobenius 群， P 在 N G ( P ) 中的补群是 4 阶循环群。谬设 P ≅ Z 9 。由于
9 元域 F9 Z 3 [ x ] x 2 + 1 上的射影空间上的置换群 =
(6) P 依共轭正则地作用在 Syl3 ( G ) \ { P} 上。 从而 N G ( P ) 在 Syl3 ( G ) 上的传递的共轭作用w’s Theorem, Simple Group, PSL (2,9), PSL (2,8)
360阶和504阶单群的唯一性的初等群论证明
周
1 2
峰1，于浩然2，王
杰2，刘合国1*
湖北大学数学系，武汉 北京大学数学系，北京 * Email: thoufeng@, ghliu@
t
x − 1 − x (1 + x ) , − x − 1 − (1 + x ) ,1 − x x (1 + x ) 。
t t t
由于 t 诱导的是偶置换，故 1t = 1, −1, x 或 − x 。 若1t = 1 ，则 tn :1 1 x, x − x 1, −1 −1 − x, − x x −1 ，1tn = x 且
单群同构于的 A6 初等群论证明见[4] [5]， [6]利用文献[2]的方法证明了 660 阶单群同构于 PSL ( 2,11) 。 对
于 504 阶单群同构于 PSL ( 2,8 ) ，在[5]中，Cole 利用置换群的技巧给出了证明。这样，阶不超过 1000 的非交换单群同构唯一性都有了初等的群论证明。而本文将利用[2]和[6]里的方法，从射影线性群的角 度出发，将 360 阶单群及 504 阶单群里的某些元素与射影线性群里的元素对应起来，从而将给定阶的 单群嵌入射影线性群里，再通过比较群的阶，重新证明 360 阶单群同构于 PSL ( 2,9 ) 及 504 阶单群同构
关键词
Sylow定理；单群；PSL (2,9)，PSL (2,8)
1. 引言
本文采用的符号和术语都是标准的，见文献[1]。 我们知道，对 n 阶的非交换单群，当 n ≤ 1000 时， n 只能是 60、168、360、504、660，并且阶不超 过 1000 的非交换单群只有 5 个： 60 阶单群 A5 、 168 阶单群 PSL ( 2, 7 ) 、 360 阶单群 A6 、 504 阶单群 PSL ( 2,8 ) 和 660 阶单群 PSL ( 2,11) 。运用 Sylow 定理不难证明 60 阶单群同构于 A5 ，见文献[2]和[3]。在文献[2] 和[3]中，Huppert 和 Smith 分别用不同的初等群论方法证明了 168 阶单群同构于 PSL ( 2, 7 ) ，而 360 阶
= ( tn ) 2, = ( tn ) n ( tn ) n−1 ，故可以用 tn 替代 t 。
−1
若 1t = −1 ，则 tn3 :1 −1 x, x x 1, −1 1 − x, − x − x −1 ，同理以用 tn3 替代 t 。 若 1t = − x ，则 tn 2 :1 − x x, x −1 1, −1 x − x, − x 1 −1 ，同理以用 tn 2 替代 t 。 故无妨设 1t = x ， t :1 x, x 1, −1 − x, − x −1 。 同理 (1 + x ) = 1 + x,1 − x, −1 − x 或 x − 1 。
C X ( D ) N G ( D ) 。若 C X ( D ) = 2 ，则 N G ( D ) C X ( D ) 中有 9 阶子群正规，进而知 N G ( D ) 中 9 阶子群正
(3) n3 ( G ) = 10 。由 Sylow 第三定理知 n3 ( G ) = 1, 4,10 或 40。由 G 是 360 阶单群， n3 ( G ) 不可能为 1
Abstract
Only by using Sylow’s theorem, basic permutation computation and linear algebra theory, we prove that a simple group of order 360 is isomorphic to PSL (2,9) and a simple group of order 504 is isomorphic to PSL (2,8).
Pure Mathematics 理论数学, 2014, 4, 172-178 Published Online September 2014 in Hans. /journal/pm /10.12677/pm.2014.45026
矛盾！谬设 Q ≅ Q8 ，设 n ( n ∈ N G ( P ) , ( n ) = 4 ) 诱导的置换是 ( ∞ ∞, ξ x ξ , ∀ξ ∈ F9 ) 。 ∃m ∈ G 使得
g ∈ NG ( Q ) = Q, y = xg = x。 从而 G 共有 45 × 7 = G 中至少有 315 + 144 + 80 + 1 = 315 个 2-元素。 540 个元素，
(
)
uη = ( ∞ ∞, ξ ξ + η , ∀ξ ∈ F9 ) , n = ( ∞ ∞, ξ x ξ , ∀ξ ∈ F9 ) | ∀η ∈ F9 。
0 η x 0 , 的行列式都是 F9 中的平方元，故 N G ( P ) 嵌入 PSL ( 2,9 ) 。 1 1 0 1
子群，故 Q ≅ Z8 或 Z 4 × Z 2 。由 4 知 N G ( Q ) = Q ，且 Q 之任一非单位元 z 都满足 CG ( z ) = Q ，进而 z 在 G (7) 首先证明 G 之 Sylow 2-子群同构于 D8 。取定 Q ∈ Syl2 ( G ) ，谬设 Q 交换，由于 G 中有 4 阶循环
收稿日期：2014年7月12日；修回日期：2014年8月10日；录用日期：2014年8月19日
*
通讯作者。
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360 阶和 504 阶单群的唯一性的初等群论证明
摘
要
仅用Sylow定理、 最基本的置换计算和线性代数重新证明了360阶单群同构于PSL (2,9)及504阶单群同构 于PSL (2,8)。
th th th
Received: Jul. 12 , 2014; revised: Aug. 10 , 2014; accepted: Aug. 19 , 2014 Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
t
t
若 (1 + x ) = 1 + x ，则 t : 0 ∞, ∞ 0,1 x, x 1, −1 − x, − x −1,1 + x 1 + x,
g CG ( y ) C = C = Q g ，从而 中的共轭类长 Cl ( z ) = 45 。如果 g ∈ G, x, y ∈ Q 使得 y = x g = 。则 Q = G x G ( x) g
−1 −1 = ( m ) 4, m = nm n= , m 2 n 2 。则 m 2 引起的置换的不动点只有 0, ∞ ， m 引起的置换对换 0, ∞ 。从而 m 诱
n5 ( G ) = 6 ，由 G 是 360 阶单群， G ≅ A6 ，而 n5 ( A6 ) = 36 ，矛盾！
从而 N G ( D ) ≥ 36 。由于 G 是 360 阶单群， N G ( D ) = 36 。不难看出 N G ( D ) D 中之 4 阶子群正规，设
规，矛盾！若 C X ( D ) = 4 ，则 72 N G ( C X ( D ) ) ，矛盾于 G 是 360 阶单群！
群嵌入。 承 2 知 x 2 引起的置换同形于 (1)( 234 )( 567 )( 8,9,10 ) 。 从而 x 引起的置换同形于 (1)( 234567 )( 8,9,10 ) ， 是奇置换，矛盾！谬设 G 中有 10 阶元 y，同样注意到 G 依共轭作用在 Syl3 ( G ) 上诱导 G 到 A10 的群嵌入， 且由 3 知 y 引起的置换无不动点。从而 y 引起的置换同形于 (1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10 ) ，是奇置换，矛盾！
(4) G 中无 6 阶元及 10 阶元。谬设 G 中有 6 阶元 x。注意到 G 依共轭作用在 Syl3 ( G ) 上诱导 G 到 A10 的
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360 阶和 504 阶单群的唯一性的初等群论证明
在 N G ( P ) 中的补群是 4 阶循环群。
Aut ( Z 9 ) ≅ Z 6 ，故 N G ( P ) 中有 6 阶元，矛盾于(4)。亦承(4)知 N G ( P ) 是 36 阶 Frobenius 群，进一步地， P
X ∈ Syl2 ( N G ( D ) ) ，则 XD N G ( D ) 。不难看出 C X ( D ) = 2 或 4，且 C X ( D ) = O2 ( XD ) char XD ，从而
或 4。若 n3 ( G ) = 40 ，则由 1、2 知 G 中至少有 36 × 4 + 40 × 8 + 1 = 465 个元素，矛盾！故 n3 ( G ) = 10 。取 定 P ∈ Syl3 ( G ) ，则 N G ( P ) = 36 。
An Elementary Proof for the Uniqueness (up to Isomorphism) of the Simple Groups of Order 360 and 504