高二数学《二元一次不等式组》知识点讲解
二元一次不等式组的解法与应用
二元一次不等式组的解法与应用一、引言二元一次不等式组是数学中常见的问题之一，对于解不等式组以及应用于实际问题中具有重要的意义。
本文将介绍二元一次不等式组的解法，并探讨其在实际问题中的应用。
二、二元一次不等式组的解法要解决二元一次不等式组，我们可以通过图像法、代数法和线性规划法等多种方法。
接下来将详细介绍这些方法。
1. 图像法图像法是一种直观的解决二元一次不等式组的方法。
我们可以将每个不等式都转化为一个直线，并找出其解集的交集区域。
通过观察这个交集区域，我们可以得到不等式组的解。
2. 代数法代数法是一种基于代数运算的解决方法。
首先，我们需要将二元一次不等式组进行标准化，即将所有不等式移项并合并同类项。
然后，我们可以通过消元法或代入法来求解。
3. 线性规划法线性规划法是一种用于求解有约束条件的优化问题的方法，也可以应用于解决二元一次不等式组。
我们可以将不等式组转化为线性规划模型，并利用线性规划的理论和算法求解。
三、二元一次不等式组的应用二元一次不等式组在实际生活中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子。
1. 经济学中的应用在经济学中，我们经常会遇到一些涉及资源分配和约束条件的问题。
通过建立二元一次不等式组模型，可以帮助我们解决这些问题。
比如，某企业要通过生产两种产品来最大化利润，但存在资源限制和市场需求的约束，我们可以将这些条件转化为不等式组，并求解最优解。
2. 几何学中的应用几何学中的一些问题也可以通过二元一次不等式组来解决。
比如，某个区域内有一定数量的点，我们想要找到一个点，使得它到这些点的总距离最小。
我们可以将该问题转化为不等式组，并利用解不等式组的方法求解最优解。
3. 生活中的实际问题除了学科领域，二元一次不等式组也经常出现在我们的日常生活中。
比如，我们需要在一定的时间和金钱限制下，找到合适的方式安排旅行行程，或者在购物时选择最优的价格和质量。
通过建立二元一次不等式组模型，我们可以帮助解决这些实际问题。
解二元一次不等式组
解二元一次不等式组在学习数学中，二元一次不等式组是学习数学的基础知识，有着重要的地位。
不等式组可以描述物理实际中非常复杂的问题，对于研究者来说，要正确地解决不等式组是一项重要的任务，并且还有助于专业人士掌握和分析实际问题。
本文将介绍二元一次不等式组的概念、解法、应用等内容，以便更好地了解和掌握不等式组的相关知识。
首先，介绍一下什么是二元一次不等式组。
不等式组对于研究者来说是一个很有意义的概念，它指涉及两个未知量的不等式集合，一般表示为：a≤x≤b。
其中，a和b是实数，x是未知量。
另外，不等式组的解法还有几种，具体如下：（1）初等变换法：利用变量替换、交换变量、合并和分解等初等变换来解决不等式组。
（2）图解法：通过把不等式画在坐标系上，来求解不等式组的解。
（3）化为等式法：把不等式组化为一组等式，然后再解出未知量。
（4）解析法：通过解析，利用组合方法，将不等式组转换为方程组，得出未知量的解。
接下来，了解一下不等式组在实际应用中的意义。
不等式组在实际应用中有着重要的意义，比如：在社会科学领域，不等式组可以描述社会的关系；在经济学领域，不等式组可以用来分析宏观经济；在工程技术领域，不等式组可以用来求解工程模型；在控制理论领域，不等式组可以用来分析系统的稳定性等等。
总之，不等式组在实际应用中有着重要的意义，因此，正确地解决不等式组是一项重要的任务，并且还有助于专业人士掌握和分析实际问题。
最后，就是本文的结论。
根据以上介绍，不等式组是一种重要的概念，它既可以用初等变换法、图解法、化为等式法、解析法等方法解，也可以在实际应用中描述物理实际中的非常复杂的问题。
研究者要正确地解决不等式组是一项重要的任务，并且还有助于专业人士掌握和分析实际问题，以解决实际问题。
研究者可以利用不等式组把物理实际中复杂的问题进行描述和分析，从而更好地了解和掌握实际问题。
综上所述，二元一次不等式组是学习数学的基础知识，在实际应用中有着广泛的用途，正确地解决不等式组是一项重要的任务，并且还有助于专业人士掌握和分析实际问题，以解决实际问题。
高中数学必考知识点二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题
⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式（组）及简单的线性规划问题⾼中数学必考知识点:⼆元⼀次不等式(组)及简单的线性规划问题|附习题对于⾼考来临，同学和家长⾮常关⼼数学如何去复习，⾼考数学考的知识点⾮常多，需要考⽣需要考⽣运⽤⼤量⽅法技巧进⾏解决问题，等等这些都增加⾼考数学的难度。
为了能帮助考⽣各个击破⾼考数学知识点，今天肖⽼师就来讲讲如何利⽤⼆元⼀次不等式(组)及简单的线性规划问题相关知识内容。
⼀、⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域(1)不等式组表⽰的平⾯区域的⾯积为________．(2)若不等式组表⽰的平⾯区域是⼀个三⾓形，则a的取值范围是________．规律⽅法：⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域的确定⽅法(1)确定⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域的⽅法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代⼊不等式(组)．若满⾜不等式(组)，则不等式(组)表⽰的平⾯区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平⾯区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点． ⼆、求线性⽬标函数的最值(范围)线性⽬标函数的最值(范围)问题是每年⾼考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．⾼考对线性⽬标函数最值(范围)问题的考查有以下三个命题⾓度：(1)求线性⽬标函数的最值(范围)；(2)已知线性⽬标函数的最值(范围)求参数值(范围)；(3)求⾮线性⽬标函数的最值(范围)．(1)(2017·⾼考浙江卷)若x，y满⾜约束条件则z＝x＋2y的取值范围是( )A．[0，6] B．[0，4]C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)(2015·⾼考⼭东卷)已知x，y满⾜约束条件若z＝ax＋y的最⼤值为4，则a＝( )A．3 B．2C．－2 D．－3规律⽅法：利⽤线性规划求⽬标函数最值的步骤(1)画出约束条件对应的可⾏域；(2)将⽬标函数视为动直线，并将其平移经过可⾏域，找到最优解对应的点；(3)将最优解代⼊⽬标函数，求出最⼤值或最⼩值．[注意] 对于已知⽬标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代⼊⽬标函数． ⾓度⼀ 求线性⽬标函数的最值(范围)(2017·贵阳市监测考试)已知O是坐标原点，若点M(x，y)为平⾯区域上的⼀个动点，则⽬标函数z＝－x＋2y的最⼤值是( )A．0 B．1C．3 D．4⾓度⼆ 已知线性⽬标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2017·海⼝市调研测试)若x，y满⾜且z＝y－x的最⼩值为－12，则k的值为( )A. B．－C. D．－三、线性规划的实际应⽤(2016·⾼考全国卷⼄)某⾼科技企业⽣产产品A和产品B需要甲、⼄两种新型材料．⽣产⼀件产品A需要甲材料1.5 kg，⼄材料1 kg，⽤5个⼯时；⽣产⼀件产品B需要甲材料0.5 kg，⼄材料0.3 kg，⽤3个⼯时．⽣产⼀件产品A的利润为2 100元，⽣产⼀件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，⼄材料90 kg，则在不超过600个⼯时的条件下，⽣产产品A、产品B的利润之和的最⼤值为________元．四、数形结合思想求解⾮线性规划问题(2015·⾼考全国卷Ⅰ)若x，y满⾜约束条件则的最⼤值为________．好了，今天⽼师就分享到这⾥了，同学们对于⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式(组)都掌握了吗？本⽂章是根据⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式(组)解题讲解，或者需要解题技巧⽅法可以给⽼师留⾔，同时⽼师以后继续给⼤家分享关于章节知识点技巧和⼲货习题和视频。
二元一次不等式
二元一次不等式二元一次不等式是数学中常见的一种形式，它可以表示两个变量之间的大小关系。
在本文中，我们将从不等式的定义、解法和应用三个方面深入探讨二元一次不等式。
1. 不等式的定义不等式是用不等号（<，>，≤，≥）表示的数学关系式。
二元一次不等式是指由两个变量和两个常数构成的一次不等式。
一般形式为：ax + by > c（或<、≤、≥）。
2. 二元一次不等式的解法解二元一次不等式的方法与解线性方程组类似，可以通过图像法、代入法和消元法等多种方法来求解。
2.1 图像法我们可以将二元一次不等式绘制成直线，并根据不等号所表示的方向来确定不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 3y > 6，我们可以绘制直线2x + 3y = 6，并确定不等式的解集在直线的上方。
2.2 代入法代入法可以将一个变量表示成另一个变量的函数，然后代入给定的不等式中进行求解。
例如，对于不等式2x + 3y > 6，我们可以将y表示成关于x的表达式，然后代入不等式中进行求解。
2.3 消元法消元法可以通过对不等式进行变形，将变量消去从而得到简化的不等式。
例如，对于不等式2x + 3y > 6，我们可以通过减去2x并除以3来消去x，从而得到y > (6-2x)/3。
3. 二元一次不等式的应用二元一次不等式在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的例子：3.1 生产与销售假设某公司生产两种产品，设第一种产品的销售量为x，第二种产品的销售量为y。
如果第一种产品的售价为p1，第二种产品的售价为p2，并且总收入需要满足一定条件，我们可以得到一个二元一次不等式来确定销售量的范围。
3.2 面积与周长在一个矩形的问题中，设矩形的长为x，宽为y。
如果要求矩形的面积大于某个值，或者周长小于某个值，就可以得到一个二元一次不等式来确定长和宽的取值范围。
3.3 成本与收入在一个企业的成本与收入的问题中，设成本为C，收入为R，成本与收入之间的关系可以表示为一个二元一次不等式。
二元一次不等式组知识点讲解及习题
第三节：二元一次不等式组与简单的线性规划1、二元一次不等式表示的区域：二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
注意：由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域（一般在C≠0时，取原点作为特殊点）2、二元一次不等式组表示的区域：二元一次不等式表示平面的部分区域，所以二元一次方程组表示各个区域的公共部分。
（二元一次不等式表示的区域）例1、画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。
（跟踪训练）画出不等式４ｘ－３ｙ≤１２表示的平面区域。
（点的分布）例2、已知点P(x 0,y 0)与点A(1,2)在直线l:3x+2y-8=0的两侧，则( ) A 、3x 0+2y 0>0 B 、3x 0+2y 0<0 C 、3x 0+2y 0>8 D 、3x 0+2y 0<8（跟踪训练）已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则（ ） A ．m ＜－7或m ＞24 B ．－7＜m ＜24 C ．m ＝－7或m ＝24D ．－7≤m ≤ 24（二元一次不等式组表示的平面区域） 例3、画出不等式组表示的区域。
（1） （2）⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<242y y x xy ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<≥+≥<9362323x y y x x y x(已知区域求不等式)例4、求由三直线x-y=0；x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所表示的不等式。
（跟踪训练）下图所示的阴影区域用不等式组表示为（已知不等式组求围成图形的面积）例5、求不等式组3,0,20xx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域的面积（跟踪训练）在直角坐标系中，由不等式组230,2360,35150,x yx yx yy->⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪<⎩所确定的平面区域内整点个数（绝对值不等式的画法）例6、画出不等式|x|+|y|<1所表示的区域。
高二数学 二元一次不等式(组)与平面区域 知识讲解
二元一次不等式（组）与平面区域【要点梳理】要点一：二元一次不等式（组）的定义1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式.2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对(,)x y ，所有这样的有序实数对(,)x y 构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次数. 要点二：二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C ++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类： ①直线l 上的点（x ，y ）的坐标满足：0=++C By Ax ；②直线l 一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0>++C By Ax ； ③直线l 另一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0Ax By C ++<.即二元一次不等式0Ax By C ++>或0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C ++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.要点三：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定 二元一次不等式表示的平面区域由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(,)x y ，把它的坐标(,)x y 代入Ax By C ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点）以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法. 不等式组所表示的平面区域由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2. 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域.要点诠释： “直线定界，特殊点定域”二元一次不等式（组）表示平面区域的重要方法. 【典型例题】类型一：二元一次不等式表示的平面区域 例1. 画出不等式240x y +->表示的平面区域. 【解析】先画直线240x y +-=（画成虚线）. 取原点(0,0)代入24x y +-得200440⨯+-=-<, ∴原点不在240x y +->表示的平面区域内， 不等式240x y +->表示的区域如图：【总结升华】1. 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0≠C 时，常把原点作为此特殊点.2. 虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线 举一反三：【变式1】画出下列不等式所表示的平面区域 （1）4312x y +≤； （2）1≥x 【答案】（1）（2）【变式2】图中阴影（包括直线）表示的区域满足的不等式是（）A．x-y-1≥0 B．x-y+1≥0 C．x-y-1≤0 D．x-y+1≤0【答案】直线对应的方程为x-y-1＝0，对应的区域，在直线的下方，当x＝0，y＝0时，0-0-1＜0，即原点在不等式x-y-1＜0对应的区域内，则阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是x-y-1≥0，故选：A．【变式3】不等式3x+2y－6≤0表示的区域是（）【答案】可判原点适合不等式3x+2y－6≤0，故不等式3x+2y－6≤0所表示的平面区域为直线3x+2y－6=0的左下方，故选D。
数学讲义：第3章 3.5 3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域 Word版含答案(1)
3.5二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域1．二元一次不等式的概念我们把含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，称为二元一次不等式．2．二元一次不等式组的概念我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组，称为二元一次不等式组．3．二元一次不等式(组)的解集概念满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．4．二元一次不等式表示的平面区域及确定(1)直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0.②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0，另一侧平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c <0.(2)在直角坐标平面内，把直线l ：ax ＋by ＋c ＝0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；画成虚线表示平面区域不包括这一边界直线．(3)①对于直线ax ＋by ＋c ＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x ，y )代入ax ＋by ＋c 所得的符号都相同．②在直线ax ＋by ＋c ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由ax 0＋by 0＋c 的符号可以断定ax ＋by ＋c >0表示的是直线ax ＋by ＋c ＝0哪一侧的平面区域．5．二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分．1．由不等式3x ＋2y ＋6≤0表示的平面区域(阴影部分)是( )D [把(0,0)点代入3x ＋2y ＋6≤0中可知6≤0不成立，即(0,0)不在3x ＋2y ＋6≤0所表示的平面区域内，结合直线过点(0，－3)和(－2,0)可知D 正确．]2．以下各点在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的是____________． ①(0,0)；②(1,1)；③(0,2)；④(2,0)．①②③ [将点的坐标代入，只有①②③满足上述不等式．3．已知点A (1,0)，B (－2，m )，若A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，则m 的取值集合是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m >－12 [因为A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，所以把点A (1,0)，B (－2，m )代入可得x ＋2y ＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m ＋3)>0，解得m >－12.](1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x.[解](1)画出直线x－2y＋4＝0，∵0－2×0＋4＝4>0，∴x－2y＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界．(2)画出直线y－2x＝0，∵0－2×1＝－2<0，∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．应用“以直线定界，以特殊点定域”的方法画平面区域，先画直线Ax＋By＋C＝0，取点代入Ax＋By＋C验证．在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线过原点，则可取点(1,0)或(0,1)，这样可以简化运算．画出所求区域，若包括边界，则把边界画成实线；若不包括边界，则把边界画成虚线．1．(1)如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为________． (2)画出不等式2x ＋y －4>0表示的平面区域．[解] (1)由截距式得直线方程为x 2＋y1＝1， 即x ＋2y －2＝0.因为0＋2×0－2<0，且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式x ＋2y －2<0表示．(2)先画直线2x ＋y －4＝0(画成虚线)．取原点(0,0)代入，得2x ＋y －4＝2×0＋0－4＝－4<0，所以不等式2x ＋y －4>0表示的区域是直线2x ＋y －4＝0右上方的平面区域，如图中的阴影部分所示．(1)⎩⎨⎧x －2y ≤3，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0；(2)⎩⎨⎧x －y <2，2x ＋y ≥1，x ＋y <2.[解] (1)x －2y ≤3，即x －2y －3≤0，表示直线x －2y －3＝0上及左上方的区域；x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方区域；x≥0表示y轴及其右边区域；y≥0表示x轴及其上方区域．综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示．(2)x－y<2，即x－y－2<0，表示直线x－y－2＝0左上方的区域；2x＋y≥1，即2x＋y－1≥0，表示直线2x＋y－1＝0上及右上方区域；x＋y<2表示直线x＋y＝2左下方区域．综上可知，不等式组(2)表示的区域如图所示．1．不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：(1)画线；(2)定侧；(3)求“交”；(4)表示．2．画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域． [解] 此不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0.分别画出这两个不等式组所表示的平面区域，这两个平面区域的并集即为所求的平面区域，如图所示(阴影部分)．1．若点P (1,2)，Q (1,1)在直线x －3y ＋m ＝0的同侧，如何求m 的取值范围？ [提示] 直线x －3y ＋m ＝0将坐标平面内的点分成三类：在直线x －3y ＋m ＝0上的点和在直线x －3y ＋m ＝0两侧的点，而在直线x －3y ＋m ＝0同侧点的坐标，使x －3y ＋m 的值同号，异侧点的坐标使x －3y ＋m 的值异号．故有(1－3×2＋m )(1－3×1＋m )>0，即(m －5)(m －2)>0，所以m >5或m <2.2．不等式组⎩⎨⎧x ＋y >2，x －y >0，x <4表示的区域是什么图形？你能求出它的面积吗？该图形若是不规则图形，如何求其面积？[提示] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分△ABC ，该三角形的面积为S △ABC＝12×6×3＝9.若该图形不是规则的图形，我们可以采取“割补”的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．3．点(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)在不等式组⎩⎨⎧x ＋y >2，x －y >0，x <4表示的平面区域内吗？该平面区域内有多少个纵、横坐标均为整数的点？[提示] 若所给点在不等式组所表示的平面区域内，则该点的坐标一定适合不等式组，否则，该点不在这个不等式组表示的平面区域内．经代入检验可知，在(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)中只有点(2,1)在不等式组表示的平面区域内．在寻求平面区域内整数点时，可根据不等式组表示的平面区域(探究2提示中的图形)边界的顶点，先给其中的一个未知数赋值，如x ＝1，则不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧y >1，y <1，1<4，显然该不等式组无解；再令x ＝2，则原不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧y >0，y <2，2<4，则0<y <2，又因为y ∈Z ，故y ＝1，所以x＝2时只有一个整点．同样方法x ＝3时，有(3,0)，(3,1)，(3,2)三个整点在该区域内；x ＝4时在该区域内没有整点．总之在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >2，x －y >0，x <4表示的平面区域内，共有4个整点．当然，也可在作图时，利用打网格线的方法寻求．【例3】已知不等式组⎩⎨⎧x >0，y >0，4x ＋3y ≤12.(1)画出不等式组表示的平面区域； (2)求不等式组所表示的平面区域的面积； (3)求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标．[思路探究] (1)怎样画出不等式组表示的平面区域？(2)该平面区域是什么图形？如何求其面积？(3)整点是什么样的点？怎样求其坐标？[解] (1)不等式4x ＋3y ≤12表示直线4x ＋3y ＝12上及其左下方的点的集合；x >0表示直线x ＝0右方的所有点的集合；y >0表示直线y ＝0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图①所示．(2)如图①所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S ＝12×4×3＝6.(3)当x＝1时，代入4x＋3y≤12，得y≤8 3，∴整点为(1,2)，(1,1)．当x＝2时，代入4x＋3y≤12，得y≤4 3，∴整点为(2,1)．∴区域内整点共有3个，其坐标分别为(1,1)，(1,2)，(2,1)．如图②.1．在应用平面区域时，准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键．2．画出不等式表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标．(1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求底与高．必要时分割区域为特殊图形．(2)整点是横、纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误．3．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．[解]设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)．1．本节课的重点是二元一次不等式表示的平面区域的判定，难点是二元一次不等式组所表示的平面区域的确定．2．本节课要掌握的规律方法(1)二元一次不等式(组)表示平面区域的确定方法． (2)求二元一次不等式组所表示的平面区域面积的方法．3．本节课的易错点为：画平面区域时，注意边界线的虚实问题．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二元一次不等式x ＋y >2的解有无数多个．( )(2)二元一次不等式(组)的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合．( ) (3)二元一次不等式组中的每个不等式都必须是二元一次不等式．( ) [解析] (1)√.因为满足x ＋y >2的实数x ，y 有无数多组，故该说法正确． (2)√.因为二元一次不等式(组)的解为有序数对(x ，y )，有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标．故该说法正确．(3)×.因为在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1≥0，3x ＋2<0也称为二元一次不等式组． [答案] (1)√ (2)√ (3)×2．下面给出的四个点中，位于⎩⎨⎧x ＋y －1＜0，x －y ＋1＞0表示的平面区域内的点是 ( )A ．(0,2)B ．(－2,0)C ．(0，－2)D ．(2,0) C [依次将A ，B ，C ，D 四个选项代入验证即可，只有C 符合条件. ]3．下列说法正确的是________．(填序号)①由于不等式2x －1＞0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域； ②点(1,2)在不等式2x ＋y －1＞0表示的平面区域内；③不等式Ax ＋By ＋C ＞0与Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域是相同的； ④第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy ＜0表示．②④ [①错误．因为不等式2x －1>0虽然不是二元一次不等式，但它表示直线x ＝12右侧的区域．②正确．因为(1,2)是不等式2x ＋y －1>0的解．③错误．因为不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域不包括边界Ax ＋By ＋C ＝0，而不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界Ax ＋By ＋C ＝0.④正确．因为第二、四象限区域内的点(x ，y )中x ，y 异号，故xy <0.该说法正确．]4．在平面直角坐标系中，求不等式组⎩⎨⎧ x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积． [解] 在平面直角坐标系中，作出x ＋y －2＝0，x －y ＋2＝0和x ＝2三条直线，利用特殊点(0,0)可知可行域如图阴影部分所示，其面积S＝4×2×12＝4.。
高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法.doc
高中数学一元二次不等式与二元一次不等式组的解法一、一元二次不等式与分式不等式1、一元二次不等式的解集端点→一元二次方程的解→二次函数的零点。
2、解一元二次不等式的步骤：二次项系数化为正→因式分解（求根）→判断符号（大于0，两根之外，小于0，两根之外）3、分式不等式：转化成整式不等式求解二、二元一次不等式解法1、可行域的判断依据：y 的系数by 与不等号，同号，直线上方；异号，直线下方。
2、目标函数平移规律：y 的系数b 为正，往上平移变大；y 的系数b 为负，往上平移变小三、典型例题1、解含参一元二次不等式与分式不等式例题1：已知0 a 1，则关于x 的不等式（x - a）（x - 1/a）0 的解集为？解：根据不等式的性质可得故而可得解集为变式：解析：将不等式因式分解可得例题2：若a 0，则不等式解析：将不等式化简可得2、不等式中的参数求解例题3：函数的定义域为R，则实数k 的取值范围为( )解析：函数的定义域为R，故而可得故而变式：若不等式则实数m的取值范围为________。
解析：化简可得例题4：设不等式mx －2x－m＋1＜0 对于满足|m| ≤ 2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围。
解析：将不等式化简可得故而将m 当作自变量，这是一个一次函数，故而可得3、二元一次不等式组的基础解法例题5：（2017年课标1卷13题）设x，y 满足约束条件则z = 3x - 2y 的最小值为________。
解析：根据约束条件可画出可行域如图所示，y 的系数为负，故而可得当初始函数平移经过点A 时函数取最小值，联立4、含参二元一次不等式组的解法例题6：已知x , y 满足约束条件目标函数z = 2x - 3y 的最大值是2，则实数a = （A ）解析：根据约束条件可以发现，可行域必然在直线x - y - 2 = 0 的上方和直线x - 2y + 3 = 0 的下方，直线y = 4 - ax 是恒过点（0 , 4）的一条直线。
解二元一次不等式组
解二元一次不等式组二元一次不等式组是指由两个二元一次不等式组成的方程组。
解决这类方程组需要找到满足所有不等式条件的变量取值范围。
本文将介绍解二元一次不等式组的方法和步骤。
一、二元一次不等式组的定义二元一次不等式组由两个形如ax + by ≥ c的不等式组成。
其中，a、b、c为常数，x、y为变量。
为了更好地理解，我们可以将其表示为一维坐标系中的两个直线所围成的区域。
二、解二元一次不等式组的方法解决二元一次不等式组的方法与解一元一次不等式类似。
我们可以通过图像法、代入法或消元法等方式来得到解。
1. 图像法首先，我们可以将每个不等式转化为直线，并将其表示在一维坐标系中。
然后，找出两个直线的交点，并观察交点所在的区域。
该区域即为满足所有不等式的解集。
2. 代入法代入法是指将一个不等式的解代入另一个不等式中，得到一个一元一次不等式。
然后，通过求解一元一次不等式，得到变量的取值范围。
最后，将求得的范围代入原始不等式组，检验是否满足所有条件。
3. 消元法消元法是指通过一系列运算，将二元一次不等式组化简为只含有一个变量的不等式。
然后，根据一元一次不等式的解的性质，得到每个变量的取值范围。
最后，将范围代入原始不等式组，检验是否满足。
三、解二元一次不等式组的步骤解二元一次不等式组的步骤如下：1. 将二元一次不等式组的每个不等式转化为标准形式，即ax + by ≥ c。
2. 根据需要选择合适的方法，如图像法、代入法或消元法。
3. 如果采用图像法，将每个不等式表示为直线，并在一维坐标系中画出。
找出交点所在的区域，即为解集。
4. 如果采用代入法，将一个不等式的解代入另一个不等式中，得到一元一次不等式。
求解一元一次不等式，得到变量的取值范围。
将范围代入原始不等式组，检验是否满足。
5. 如果采用消元法，通过一系列运算将二元一次不等式组化简为只含有一个变量的不等式。
根据一元一次不等式的解的性质，得到每个变量的取值范围。
将范围代入原始不等式组，检验是否满足。
不等式方程组二元一次
不等式方程组二元一次不等式方程组二元一次是数学中的一个重要概念，它涉及到两个未知数的不等式关系。
在解决实际问题中，经常会遇到需要求解这类方程组的情况。
本文将从理论和实践两个方面介绍不等式方程组二元一次的相关知识。
一、理论基础不等式方程组二元一次的一般形式可以表示为：ax + by ≤ cdx + ey ≥ f其中a、b、c、d、e、f为已知系数，x、y为未知数。
要解决这个方程组，我们首先需要理解不等式的基本性质。
不等式有加法、减法、乘法和除法运算的性质，这些性质可以帮助我们简化不等式方程组的求解过程。
我们需要了解不等式方程组的解集表示方法。
当方程组存在解时，解集可以用不等式或区间表示。
例如，解集可以表示为{x | x ≥ a}或[x, +∞)，其中a为实数。
二、实际应用不等式方程组二元一次在实际问题中具有广泛应用。
下面以两个实际问题为例，介绍如何利用不等式方程组求解。
1. 应用于生活假设小明每天骑自行车上学，他的骑行速度在15km/h到30km/h之间。
学校距离他家的距离为5km到10km之间。
问他骑车上学所需的最长时间和最短时间分别是多少？解：设小明骑车上学所需的时间为t小时，骑行速度为v km/h，学校距离他家的距离为 d km。
根据题意，我们可以列出不等式方程组：15 ≤ v ≤ 305 ≤ d ≤ 10t = d/v根据以上不等式方程组，我们可以求解出小明骑车上学所需的最长时间和最短时间。
2. 应用于经济假设某工厂生产A、B两种产品，每单位A产品的利润为3元，每单位B产品的利润为5元。
某一时期内，工厂的总利润不得少于100元，并且A、B两种产品的总产量不得超过20单位。
问该工厂如何安排产量，使得总利润最大化？解：设A产品的产量为x单位，B产品的产量为y单位。
根据题意，我们可以列出不等式方程组：3x + 5y ≥ 100x + y ≤ 20根据以上不等式方程组，我们可以求解出A、B两种产品的最优产量，进而得到总利润的最大值。
二元一次不等式(组)讲课课件
五：作业：
课本 P93 习题3.3 [AΒιβλιοθήκη ] 第 1、2题。3.3.1
二元一次不等式（组）
与平面区域
学习目标：
1. 会根据二元一次不等式(组)确定它所表示的平面区域。
2. 通过画二元一次不等式（组）表示平面区域的过程，理解数 形结合思想的应用。
一.创设情境
复习：怎样表示现实生活中存在的一些不等关系？ 一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个 人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业 贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如 何分配资金呢？ 解:设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款为y元. 则：分配资金应该满足的条件为
标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。
（虚线表示区域不包括边界直线）
y
O
Ax + By + C = 0
x
不等式Ax + By + C≥0()表示的平面区域包括边界， 把边界化成实线
3．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入
解：（1）先画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线） (2) 取原点（0，0），代入x + 4y - 4，得 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0 所以，原点（0，0），在x + 4y – 4 < 0表示的平面 区域内， 不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域如图所示。 y 1 O
4 x x+4y-4=0
人教A版高中数学必修五例说一元二次不等式与二元一次不等式组的解法
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作例说一元二次不等式与二元一次不等式组的解法一、知识讲解知识点1：一元二次不等式与分式不等式1．一元二次不等式的解集端点→一元二次方程的解→二次函数的零点。
2．解一元二次不等式的步骤：二次项系数化为正→因式分解（求根）→判断符号（大于0，两根之外，小于0，两根之外）()()()()()()12121212122100,00,a x x x x a x x x x x x a x x x x a x x x x x ⎧-->>>⇒><⎪⎨--<>>⇒<<⎪⎩或3．分式不等式：转化成整式不等式求解 知识点2：二元一次不等式解法1．可行域的判断依据：y 的系数by 与不等号，同号，直线上方；异号，直线下方 2．目标函数平移规律：y 的系数b 为正，往上平移变大；y 的系数b 为负，往上平移变小。
3．特殊目标函数的求解：（1）()()22z x a y b =-+-：点(),x y 与(),a b 间距离的平方；（2）y bz x a-=-：点(),x y 与(),a b 间斜率的大小； （3）z xy =：反比例函数zy x=的比例系数。
二、典例分析考点1：解含参一元二次不等式与分式不等式例题1：已知0<a <1，关于x 的不等式(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a }C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1a或x >a D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a解析：根据不等式的性质可得10110a a a<<⇒>>>，故而可得解集为()1,,a a ⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭。
变式：解关于x 的不等式x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0.解析：将不等式因式分解可得()()10x m x m ⎡⎤--+<⎣⎦，解得解集为(),1m m +。
二元一次不等式-课件
探究（一）：线性规划的实例分析
p
1 2
t 5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个 A配件耗时1h；每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产品x、y件，则该厂所有可能的日生产安排应满 足的基本条件是什么？
y P(x,y)
y＞y0
O
x
A(x,y0) x－y－6＜0
x－y－6＝0
思考3：如果点P（x，y）的坐标满足x－y－6＜0，那么点P一定在直线x－y－6＝0左上方 的平面区域吗？为什么？
y
P(x,y) x－y－6＜0
O
x
A(x,y0)
x－y－6＝0
思考4：不等式x＋y－6＜0表示的平面区域是直线x＋y－6＝0的左下方区域？还是右上方 区域？你有什么简单的判断办法吗？
x≥0，y≥0 思考4：根据上述分析，银行信贷部分配资金应满足的条件是什么？
x y 2500 6x 5y 150 x 0, y 0
思考5:不等式x＋y≤2500与6x+5y≥150叫什么名称？其基本含义如何？
二元一次不等式:含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式.
思考6:二元一次不等式的一般形式如何？怎样理解二元一次不等式组？
x 0, y 0
思考4：按实际要求， x、y应满足不等式组，
如何画出该不等式组表示的平面区域？
2x y 15 x+2y 18 x+3y 27 x 0, y 0
y
2x＋y＝15
x＋3y＝27
2x y 15
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(1)
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3
一、基础知识讲解 2、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
(1)回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的 图形:
-3
0
4x
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的 解集表示什么图形？
不等式 x-y<6 表示怎样的图形呢？
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4
一、基础知识讲解
变题：若是同侧呢？
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21
三、课时小结与作业 1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 2、二元一次不等式（组）的解集表示的图形 3、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
作业： 课本P93 第2题，B组第1题
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22
三角形，则a的取值范围是( C )
A、a 5 B、a 7 C、5 a 7 D、a
-5
x-y+5=0 O 2
x
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20
三、针对性练习
6、如何确定m的范围，使点(1，2)和点(1，1)在直线 y 3x m 0的异侧.
-2<m<-1
y
o
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x
1
一、基础知识讲解 1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
(1)二元一次不等式：
含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不 等式叫做二元一次不等式 ;
(2)二元一次不等式组：
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元 一次不等式组。
(3)二元一次不等式（组）的解集：
满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有 序实数对（x,y），所有这样的有序数对（x,y）构 成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
二元一次不等式组-高中数学知识点讲解
二元一次不等式组
1．二元一次不等式组
【二元一次不等式概念】
二元表示有两个未知量，一次表示两个未知量的指数为 1，不等式，即由二元一次函数构成的不等式，如x+y＞1；
不等式组表示的是由两个或两个以上的二元一次不等式，在线性规划当中我们常看到这样的二元一次不等式组．【二元一次不等式组的解法】
①如果仅有两个不等式组，则主要方法是先使两个不等式大于小于的符号一致，然后在进行加减．如{푥2푥++
2
푦
푦＞
8
＜4
⇔{푥8+―2
4
푦
푥＞―82푦;;;;;;;;①
＞0;;;②然后①+②⇒﹣3x＞0⇒x＜0；同理可得y＞4；
②如果大于两个不等式组，则可做出他的可行域，一般表示的是一个区间．
【实例解析】
例：如图中阴影部分可用一组二元一次不等式组来表示，则这一不等式组是．
解：由阴影部分知x≤0，y≥﹣1，
又过点（﹣1，0）和（0，2）的直线方程为：2x﹣y+2＝0
且将原点的坐标代入此直线方程的左边得：2×0﹣0+2＞0，
故 2x﹣y+2≥0，
푥≤0
∴所求二元一次不等式组为{
푦≥―1
．
2푥―푦+2≥0
这个题是比较典型的二元一次不等式方程组，表示的是一个区间，解题的步奏先是求出边界线的函数表达式，然后判断是大于还是小于，比如说 2x﹣y+2≥0 可以理解成y≤2x+2，即y 在这条直线的下方，通过这种判定最后求出不等式方程组．
【考点预测】
1/ 2
不等式方程组的核心是线性规划，这里面要求会判断直线左边右边是什么含义，然后通过画出可行域求其他函数的最值，是一个常考点，一般以选择题、填空题的形式出现，希望大家重视．
2/ 2。
学习技巧掌握解二元一次不等式组的快速方法
学习技巧掌握解二元一次不等式组的快速方法解二元一次不等式组是高中数学学习中的重点内容之一。
掌握解二元一次不等式组的快速方法，不仅能够帮助我们更高效地解题，还能够提升我们的数学思维能力。
本文将介绍一些学习技巧，帮助大家快速掌握解二元一次不等式组的方法。
一、了解基本概念在学习解二元一次不等式组之前，我们首先需要了解一些基本概念。
二元一次不等式组由两个二元一次不等式组成，形式一般为：{ax + by ≥ c, dx + ey ≤ f}其中，a、b、c、d、e、f为已知的实数，x、y为未知数。
二、分析不等式组的特点解二元一次不等式组的第一步是分析不等式组的特点。
我们可以通过观察系数的正负关系、大小关系以及不等式的方向来进行分析，从而确定解的范围。
对于不等式组{ax + by ≥ c, dx + ey ≤ f}，我们可以分别观察a、b、c 的正负关系以及d、e、f的正负关系。
如果a、b、c的正负关系与d、e、f的正负关系相同，那么这个不等式组就会比较容易解决；如果a、b、c的正负关系与d、e、f的正负关系不同，那么这个不等式组就需要进行一些转化再解决。
三、消元法求解一种常见的快速解二元一次不等式组的方法是消元法。
我们可以通过消去一个变量，将二元一次不等式组转化为一个一元不等式，从而简化解题过程。
假设我们要解二元一次不等式组{ax + by ≥ c, dx + ey ≤ f}，要使用消元法，首先可以选择消去y变量。
我们可以通过乘以适当的常数，使得两个不等式的y的系数相同，然后相加，得到一个关于x的一元不等式，进而解得x的范围。
解出x的范围后，再根据不等式组的形式，将x的范围带入另一个不等式中，解得y的范围。
最后得到二元一次不等式组的解。
四、示例分析下面通过一个示例来展示快速解二元一次不等式组的方法。
例题：解二元一次不等式组{2x + y ≥ 4, x - 3y ≤ 6}解：首先观察不等式组的特点，发现系数的正负关系相同，因此可以直接使用消元法。
高中 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 知识点+例题 全面
辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1([巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞[例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y[巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y[例6] 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.[巩固] 画出不等式0)4)(12(<--++yxyx表示的平面区域.1．基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式，如：22yxz+=线性目标函数关于x，y的一次解析式，如yxz+=2可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点；（2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.2．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[例1] 设yxz-=2，其中x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-221xyxyx，则z的取值范围是_________________.]4,21[-知识模块2简单的线性规划精典例题透析[例4] 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤020220x y y x x 表示的平面区域的面积为__________.3[巩固1] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>>a y x x y x 11所确定的平面区域的面积为0，则实数a 的取值范围是____________.]3,(-∞[巩固2] 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数._____=a 1[巩固3] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎪⎨⎧≤-≥-+0101x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则.___=a[例5] 已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+≥-18360202y x y x y x ，且y ax z +=取得最大值的最优解恰为)3,23(，则a 的取值范围是______.（-2，2）[巩固] 若直线4=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0420420852y x y x y x 表示的平面区域无公共点，则b a +的取值范围是________.（-3，3）[例6] 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的31，最少10名男职工，则该公司最少能招聘多少名职工.CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：[巩固] 铁矿石A和B的含铁率a，冶铁每万吨铁矿石的2a b（万吨）c（万吨）A50% 1 3B70% 5.0 6CO的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用. 某冶铁厂至少要生产9.1（万吨）铁，若要求2知识模块3经典题型[例]（1）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.（2）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_____________．答案 (1) 73 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. (2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． [巩固]（1）在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a=______.（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_______________．答案 (1) 7 (2)x ＋y －1>0解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二：求线性目标函数的最值（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1) 6 (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.[巩固]（1）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________.（2）(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为_______.答案 (1) 4 (2) －12解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三：线性规划的实际应用[例] 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． [巩固] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为_______.答案 1夯实基础训练解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为____________.答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.答案 8解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. 4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.5．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝z ，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.6．在平面直角坐标系中画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1所表示的平面区域.解析 |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域； |x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．7．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以，m 的取值范围是m <－12.8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是__________.答案 [8，10]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义． 由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.10．(2014·课标全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a=________.答案 3解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析 如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.能力提升训练13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮， 则z ＝10 000x ＋5 000y ， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形可知，目标函数在D (2,2)处有最大值， 且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．。
成都高二数学二元一次不等式组知识点讲解
成都高二数学二元一次不等式组知识点讲解高二数学二元一次不等式组定义有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程定义：一个所含两个未知数，并且未知数的指数都就是1的整式方程，叫做二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的求解：并使二元一次方程两边的值成正比的两个未知数的值，叫作二元一次方程的求解。
二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个一元二次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
通常数学分析，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一化解。
高二数学二元一次不等式组消元的方法消元的方法存有两种：代入消元法基准：求解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得65-y+13y=89即y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7y=59/7为方程组的求解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法eliminationbysubstitution，简称代入法。
提减消元法例：解方程组：x+y=9①x-y=5②求解：①+②2x=14即x=7把x=7代入①，得7+y=9解，得：y=2∴x=7y=2为方程组的解像是这种求解二元一次方程组的方法叫作提减消元法eliminationbyaddition-subtraction，缩写加减法。
高二数学二元一次方程组的解二元一次方程组的第七品三种情况：1.有一组解例如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7为方程组的解2.有没有数组求解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程亦称作“方程有两个相等的实数根”，所以此类方程组有无数组解。
3.难解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
会从实际情境中抽象出二元一次不等式组了解二元一次完整ppt
解析：由已知得
即
答案：A
3．已知点P(x，y)在不等式组
表示的平面区域内运动，
则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－2，－1] B．[－2,1] C．[－1,2] D．[1,2]
答案：C
4．设实数x，y满足
则 的最大值是________．
答案：
不等式组表示的平面区域是基于二元一次不等式所表示区域得到的．不等 式组的解集是把不等式组中每一个不等式都求解集．各不等式解集的交集 即为不等式组的解集．由此我们可以推得不等式组所表示的平面区域是不 等式组中各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
【答题模板】
解答：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，
由题意知
目标函数z＝x＋0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示， 阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与 可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的 距离最大．这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组
则
z＝x＋y
根据线性约束条件作出可行域 如图所示，再作直线l：x＋y＝0， 过可行域中的点作l的平行线，可 观察出点M为最优解．
解方程组
得
4．设实数x，可y满观足察出A(3,9)点在则可行的最域大的值是边__界___2_x_＋_．y＝15上，过(3,9)与x＋y＝0平行的直线
3．已知点P(x，y)在不等式组
解析：由已知得
即
任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力和资金等资源来完成该
又上原述点 不与等x式＝组x8表＝与示x4＋的时y平＝，面12区的则域交y如点＝图的8所距.示因离，最此所求最优整数解为(3,9)，(4,8)，此时所用钢板数最少.
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高二数学《二元一次不等式组》知识点讲解
想要更好的学习数学首先要做的就是理解运用课本中的知识，因此为同学们整理了高二数学二元一次不等式组知识点，希望大家可以更快更好的提高成绩。
【练习题】
高二数学必修同步练习题二元一次不等式（组） ?
【定义】
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个一元二次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
【消元的方法】
消元的方法有两种：
代入消元法
例：解方程组：
x+y=5①
6x+13y=89②
解：由①得
x=5-y③
把③代入②，得
6(5-y)+13y=89
即 y=59/7
把y=59/7代入③，得
x=5-59/7
即 x=-24/7
∴ x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution)，简称代入法。
加减消元法
例：解方程组：
x+y=9①
x-y=5②
解：①+②
2x=14
即 x=7
把x=7代入①，得
7+y=9
解，得：y=2
∴ x=7
y=2 为方程组的解
像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法(elimination by addition-subtraction)，简称加减法。
【二元一次方程组的解】
二元一次方程组的解有三种情况：
1.有一组解
如方程组x+y=5①
6x+13y=89②
x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
2.有无数组解
如方程组x+y=6①
2x+2y=12②
因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解
如方程组x+y=4①2x+2y=10②，
因为方程②化简后为x+y=5
这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
高二数学二元一次不等式组知识点掌握了吗?。