导数在解决实际问题中的应用
导数在解决实际问题中的应用
导数在解决实际问题中的应用导数知识是学习高等数学的基础, 它在自然科学、工程技术及日常生活等方面都有着广泛的应用.导数是从生产技术和自然科学的需要中产生的, 同时, 又促进了生产技术和自然科学的发展, 它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用, 而且在日常生活及经济领域也是逐渐显示出重要的作用.导数是探讨数学乃至自然科学的重要的、有效的工具之一, 它也给出了我们生活中很多问题的答案.诸如生活中的有关环境问题、工程造价最省、容积最大、边际效益等, 本文将介绍如何将生活中的有关数学问题转化为相关的导数问题来求解, 以此说明如何应用所学数学知识灵活地应用于生活.类型一：环境问题例1 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染, 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比, 而与该烟囱喷出的烟尘量成正比.现有A 、B 两座烟囱相距20km, 其中B 座烟囱喷出的烟尘量是A 的8 倍, 试求出两座烟囱连线上的点C, 使该点的烟尘浓度最低.分析由题意知要确定某点的烟尘浓度最低,显然其烟尘浓度源自这两座烟囱, 与其距离密切相关, 因此可考虑先设出与某个烟囱的距离, 从而表示出相应的烟尘浓度, 再确定其最小值即可.解:不妨设A 烟囱喷出的烟尘量是1, 而B 烟囱喷出的烟尘量为8, 设AC=x ( 其中0<x <20) , 所以BC=20- x , 依题意得点C 处的烟尘浓度22y 8(20)kx k x =+-( 其中k 是比例系数, 且k>0) , '6(350)y k x =-令y ′=0 503x =.因为当50(0,)3x ∈)时, y ′<0; 当50(,20)3x ∈时, y ′>0, 故当50=3x 时, y 取得最小值, 即当C 位于距点A 为503km 时, 使该点的烟尘浓度最低. 评注:在经济高速发展的同时, 人们也越来越关心我们赖以生存的环境质量, 这提示我们不能仅一味地追求经济效益, 同时应当注意保护环境.类型二：工程造价问题例2 如图所示, 某地为了开发旅游资源, 欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路, 点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ( 0°<θ<90°) , 且sin θ= 25, 点P 到平面α的距离PH=0.4( km) .沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用.从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km, 原有公路改建费用为2a 万元/km.当山坡上公路长度为l km( 1≤l ≤2) 时, 其造价为( l2+1) a 万元.已知OA ⊥AB, PB ⊥AB, AB=1.5( km) , OA=3 km.( 1) 在AB 上求一点D, 使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小;( 2) 对于( 1) 中得到的点D, 在DA 上求一点E,使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小;( 3) 在AB 上是否存在两个不同的点D ′、E ′, 使沿折线PD ′E ′O 修建公路的总造价小于( 2) 中得到的最小总造价, 证明你的结论.分析由题意知要求修建公路的总造价最小值, 可以先建立相应的总造价函数关系式, 再确定其最小值即可.解( 1) 如图, PH ⊥α, HB"α, PB ⊥AB,由三垂线定理逆定理知, AB ⊥HB,所以∠PBH 是山坡与α所成二面角的平面角, 则∠PBH=θ, sin PH PB θ==1.设BD=x, 0≤x ≤1.5. 则 PD=2221[1,2]x PB x +=+∈记总造价为()1f x 万元, 据题设有()21112f x PD AD AO a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭. 当x= 14, 即BD=14(km) 时, 总造价()1f x 最小; (2) 设AE=y,405y ≤≤, 总造价为()2f y 万元, 根据题设有()22213113224f y PD y y a ⎡⎤⎛⎫=++++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦243=3216y y a a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭ .则()'22123y f y a y ⎛⎫ ⎪=- ⎪+⎝⎭ 由 ()'2=0f y , 得y=1; 当y ∈( 0, 1) 时, ()'2fy <0,()'2f y 在( 0, 1) 内是减函数; 当y ∈514⎛⎫ ⎪⎝⎭，时, ()'2f y >0,()'2f y 在514⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是增函数. 故当y=1, 即AE=1 时总造价()2f y 最小, 且最且最小总造价为6716a 万元;( 3) 不存在这样的点D ′、E ′事实上, 在AB 上任取不同的两点D ′、E ′.为使总造价最小, E 显然不能位于D ′与B 之间.故可设E ′位于D ′与A 之间,且'1BD x =, 11AE y =, 11302x y ≤+≤, 总造价为S 万元, 则221111113224x y S x y a ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭.类似于(1) 、(2)讨论知, 2111216x x -≥-, 2113322y y +-≥,当且仅当111,14x y == 同时成立时, 上述两个不等式等号同时成立, 此时BD ′= 14, AE=1, S 取得最小6716a , 点D ′、E ′分别与点D 、E 重合, 所以不存在这样的点D ′、E ′,使沿折线PD ′E ′O 修建公路的总造价小于( 2) 中得到的最小总造价.评注：在经济建设的过程中, 常常涉及成本问题, 人们总是想利用最少的钱、办最多的事, 这就常常要求我们善于将相关的问题恰当地转化为数学问题, 从而利用所学知识解决.类型三：最省钱车速问题例3 统计表明, 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y( 升) 关于行驶速度x( 千米/小时) 的函数解析式可以表示为:()3138012012800080y x x x =-+<≤ .已知甲、乙两地相距100 千米. ( 1) 当汽车以40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?( 2) 当汽车以多大的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少? 最少为多少升?分析：要求确定从甲地到乙地要耗油量, 这就涉及行驶时间与车速, 因此根据题意先写出耗油量 与车速间的关系, 再利用导数知识确定其最小值.解( 1) 当x=40 时, 汽车从甲地到乙地行驶了100=2.540小时, 要耗油31340408 2.5=17.512800080⎛⎫⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭( 升) .所以当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油17.5 升;( 2) 当速度为x 千米/小时时, 汽车从甲地到乙地行驶了100x小时, 设耗油量为()h x 升,依题意得()()3213100180015=801201280008012804h x x x x x x x ⎛⎫-+∙=--<≤ ⎪⎝⎭ ()()33'22800800120640640x x h x x x x -=-=<≤. 令()'h x =0 得x=80. 当x ∈( 0, 80) 时, ()'h x <0, ()h x 是减函数； 当x ∈( 80, 120) 时()'h x >0, ()h x 是增函数. 当x=80 时, ()h x 取到极小值()80h =11.25.因为()h x 在( 0, 120] 上只有一个极值,所以它是最小值.所以当汽车以80 千米/小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少, 最少为11.25 升.评注：随着经济的迅猛发展, 轿车逐渐进入人们的家庭, 因此有关车辆的数学问题也就成为我们所熟悉的背景问题, 常常就涉及到如何使用更省钱的问题, 这个例子给了我们很好的启示.类型四：边际效益问题例四：日常生活中的饮用水通常是经过净化的。
导数在实际问题中的应用
《导数在实际问题中的应用》1.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量单位：元千克与销售价格单位：元千克满足关系式，其中，m为常数，已知销售价格为5元千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求m的值； (2)若该商品的成品为3元千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．2.某工厂准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关若建造宿舍的所有费用万元和宿舍与工厂的距离的关系为：为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费万元设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．(1)求的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．3.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位：满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚对，总费用达到最小，并求最小值．4.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克满足关系式，其中，已知销售价格为4元千克时，每日可销售出该商品5千克；销售价格为元千克时，每日可销售出该商品千克．(1)求的解析式； (2)若该商品的成本为2元千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．5.某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件若售价降低，销售量可以增加，且售价降低元时，每天多卖出的件数与成正比已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．(1)试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；(2)该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？6.广东某市一玩具厂生产一种玩具深受大家喜欢，经市场调查该商品每月的销售量单位：千件与销售价格单位：元件满足关系式，其中，m为常数已知销售价格为4元件时，每日可售出玩具21千件．(1)求m的值； (2)假设该厂生产这种玩具的成本、员工工资等所有开销折合为每件2元只考虑销售出的件数，试确定销售价格x的值，使该厂每日销售这种玩具所获得的利润最大保留1位小数。
导数在生活中的应用例子
导数在生活中的应用例子
一、在经济学中
1、供求曲线中的供求应变：当价格发生变化时，需求量会出现波动，
以及需求量对价格的变化也变化，供求曲线受到价格变化的影响。
这
就是导致供求应变的原因，而这个原因可以用微积分的偏导数来证明。
2、市场竞争：随着竞争者数量的增加，市场价格也会发生变化，价格
作为变量，市场最终决定价格时，就会出现供需冲突，从而引起价格
波动，这就用微积分中的导数来分析。
二、在金融学中
1、货币政策传导机制：货币政策的实施使得利率的变化对经济的影响，用微积分的意义来看，利率是一种曲线，当利率变化时，曲线的斜率
也会变化，这就是利率传导机制。
2、投资机会成本：投资机会成本指的是投资者在一定条件下所承担的
投资风险，当利率下降时，投资机会成本也会发生变化，而这一变化
可以用微积分中的导数来进行分析。
三、在制造业中
1、公差计算：在计算机装配工艺中，产品的尺寸关系到了其加工的质量，如果所用的部件的尺寸不符合公差要求，就会出现不良的加工结
果，这时处理的办法就是计算出来最大的容许偏差，而这个最大容许
偏差就是通过微积分的偏微分来计算出来的。
2、工艺优化：为了确保加工出来的产品的质量，就必须对付诸如温度、压力、用料等参数进行优化调整，这可以使用微积分来分析各参数对
最终结果的影响，以达到最优化调整的效果。
试述导数在解决实际问题中的应用
试述导数在解决实际问题中的应用在实际生活中，我们经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。
这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决，下面通过具体实例谈谈导数在实际生活中的应用。
一、生活中的优化问题：例1：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？分析：生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。
例1：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？分析：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧。
而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单。
思路：设箱底边长为x cm，则箱高602xh-=cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：23260()(060)2x xr x x h x-==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的16，这个结论是否具有一般性？二、最大利润问题例2： 已知某商品生产成本C 与常量q 的函数关系式为1004C q =+，价格p 与产量q 的函数关系式1258p q =-。
求产量q 为何值时，利润L 最大。
分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格，由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润。
解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭ 利润()212510048L R C q q q ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ ()212110002008q q q =-+-<< '1214L q =-+ 令'0L =，即12104q -+= 求得唯一的极值点84q = 因为L 只有一个极值点，所以它是最大值。
导数与微分在实际问题中的应用
导数与微分在实际问题中的应用导数与微分是微积分的重要概念，在实际问题中有着广泛的应用。
导数描述了函数在某一点处的变化率，微分则可以用来近似计算函数在某一点附近的变化。
本文将从实际问题的角度探讨导数与微分的应用。
一、速度与加速度导数可以描述物体的速度和加速度。
以物体在直线上的运动为例，如果我们已知物体位移随时间的变化关系，可以通过对位移函数进行求导，得到速度函数。
速度函数可以告诉我们物体在不同时间点的瞬时速度。
同理，对速度函数再求导，可以得到加速度函数。
加速度函数则描述了物体在不同时间点的瞬时加速度。
通过对位移函数、速度函数和加速度函数的分析，我们可以了解物体在运动过程中的行为特点，并做出相应的预测和决策。
二、最优化问题导数与微分在最优化问题中具有重要作用。
最优化问题是指在一定约束条件下，求解使得目标函数取得极大值或极小值的问题。
经济学、工程学等领域中充满了最优化问题。
通过对目标函数求导，我们可以找到使目标函数取极值的临界点。
通过对导数的符号分析，我们可以判断这个临界点是极大值还是极小值。
此外，微分也可以帮助我们对目标函数进行逼近，在找到准确解之前提供近似解。
三、图像的研究导数与微分在研究函数的图像特性方面发挥着重要作用。
我们可以通过导数来分析函数的单调性、凹凸性以及极值点等信息。
导数的正负可以告诉我们函数的增减情况，导数的变化可以告诉我们函数的凹凸情况，导数为零的点则是函数的极值点。
微分可以用来计算函数的局部线性逼近，进一步揭示函数的特性。
通过对函数图像的分析，我们可以了解函数在不同区间上的行为，这对于解决实际问题具有指导意义。
四、物理学中的应用导数与微分在物理学中应用广泛。
经典力学中，牛顿的运动定律指出物体的加速度与作用在物体上的力成正比。
通过对物体速度函数的导数，可以求解物体的加速度。
力学中的匀速直线运动、自由落体运动等问题都可以通过导数和微分的方法进行分析和求解。
此外，导数与微分还在电磁学、热学等物理学领域中有着广泛的应用。
导数在实际生活中的应用举例
导数在实际生活中的应用举例
1. 工程设计中：当设计一个桥梁时，需要考虑桥梁的结构，桥梁的载重量，以及桥梁的弯曲变形，而对于桥梁的弯曲变形，需要使用导数求解，以此来确定桥梁的设计参数。
2. 地质勘探中：当地质勘探时，需要知道地质结构的变化，以及地质变化的趋势，而这些变化的趋势，都可以使用导数来求解。
3. 气象预报中：当气象预报时，需要知道气象要素的变化趋势，以及气象要素的变化速度，这些变化的速度，都可以使用导数来求解。
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用（1）学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.二．容积最大问题请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.课堂检测：1.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则长方形的最大面积为.2.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时底面边长为.3.做一个无盖圆柱水桶,其体积是27π m3,若用料最省,则圆柱的底面半径为m.4.已知一个扇形的周长为l,扇形的半径和中心角分别为多大时,扇形的面积最大?导数在实际生活中的应用（2）学习目标：1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 课前预学：1.把长度为16的线段分成两段,各围成一个正方形,这两个正方形面积的最小值为 .2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm,要使其体积最大,则其高是 .3.周长为20的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是 .4.一边长为48 cm 的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为x cm 的小正方形,做成一个无盖方盒.求x 多大时,方盒容积最大? 课堂探究：1．如图,等腰梯形ABCD 的三边AB,BC,CD 分别与函数y=-x 2+2,x∈[-2,2]的图象切于点P,Q,R.求梯形ABCD 面积的最小值.2．已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查得知R(x)=其中x 是年产量(单位:千件).(1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式;(2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?3．统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x 3-x+8(0<x≤120),已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?课堂检测：某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.。
利用导数解决实际问题
利用导数解决实际问题导数是微积分中的重要概念，广泛应用于解决实际问题。
本文将以实例为基础，介绍如何利用导数解决一些实际问题，进一步展示导数在数学和现实生活中的实际应用。
I. 利用导数求函数的极值函数的极值是导数在某点为零时的取值，通过求解导数等于零的方程，可以确定函数的极小值和极大值。
例如，我们考虑一条抛物线的问题。
假设有一条抛物线，其顶点的坐标为（a，b），通过求解该抛物线的导数，可以确定其极值点坐标。
假设抛物线的方程为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
求解导数dy/dx = 2ax + b = 0，可以得到极值点的x坐标为-x = b / (2a)。
将这个x坐标带入抛物线方程，可以确定y坐标，从而得到顶点的坐标。
通过上述方法，我们可以利用导数求解抛物线的顶点坐标，以及其他函数的极值点坐标。
这在实际问题中具有广泛的应用，例如优化问题、最小二乘法等。
II. 利用导数求函数的增减性导数可以判断函数在某个点附近的增减性。
通过导数的正负性，可以确定函数的单调增或单调减的区间。
例如，在经济学中，利润函数与产量函数之间存在一定的关系。
假设利润函数为P(x)，产量函数为Q(x)，则利润函数的增减与产量函数的边际收益有关。
边际收益是指单位产量增加所带来的额外利润。
利润函数的导数就是边际收益函数。
如果边际收益大于零，说明产量的增加会带来利润的增加，此时利润函数是单调增的；如果边际收益小于零，则说明产量的增加会带来利润的减少，此时利润函数是单调减的。
通过以上例子，我们可以看到导数在确定函数的增减性上的实际应用。
利用导数可以帮助我们分析函数的特点，并做出相应的决策。
III. 利用导数求曲线的切线与法线导数可以帮助我们求解曲线的切线和法线方程。
切线是曲线在某点的切线，法线是与切线垂直的直线。
求解曲线的切线和法线方程常常用于解决几何和物理问题，例如求解质点在曲线上的运动轨迹。
假设有一条曲线的方程为y = f(x)，其中f(x)为可导函数。
导数在解决实际问题中的应用
导数在解决实际问题中的应用现实生活中,我们常用到“体积最大”、“用料最少”、“距离最短”、“利润最大”等最优问题，可以用导数来解决。
例1、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y （升），关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米．（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540=小时， 要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升． （II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为()h x 升，依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤ 332280080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤ 令'()0,h x =得80.x =当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数．∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h = 因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．例2、求抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点. 解：设),(y x M 为抛物线221x y =上一点， 则=+-=22)6(||y x MA 4241)6(x x +-. ||MA 与2||MA 同时取到极值.令42241)6(||)(x x MA x f +-==. 由0)62)(2()(2/=++-=x x x x f 得2=x 是唯一的驻点.当-∞→x 或+∞→x 时，2,)(,||=∴+∞→∴+∞→x x f MA 是)(x f 的最小值点，此时2221,22=⨯==y x . 即抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点是（2，2）.例3、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.解：不失一般性，设烟囱A 的烟尘量为1，则烟囱B 的烟尘量为8并设AC ＝)200(<<x x x CB -=∴20，于是点C 的烟尘浓度为)200()20(822<<-+=x x k x k y ， 其中k 为比例系数. 332333/)20()80001200609(2)20(162x x x x x k x k x k y --+-⋅=-+-= 令0/=y ，有08000120060923=-+-x x x ，即0)4003)(203(2=+-x x .解得在（0，20）内惟一驻点320=x . 由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，∴在惟一驻点320=x 处，浓度y 最小，即在AB 间距A 处km 320处的烟尘浓度最小. 例4、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解：设∠BCD ＝Q ，则BC ＝θsin 40，CD ＝40cot θ，（0＜θ＜2π＝， ∴AC ＝50－40cot θ设总的水管费用为f （θ），依题意，有f （θ）＝3a （50－40·cot θ）+5a ·θsin 40＝150a +40a ·θθsin cos 35- ∴f ′（θ）＝40a ·θθθθθθθ22sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-⋅='⋅--⋅'-a 令f ′（θ）＝0，得cos θ＝53 根据问题的实际意义，当cos θ＝53时，函数取得最小值， 此时sin θ＝54，∴cot θ＝43， ∴AC ＝50－40cot θ＝20（km ），即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.。
导数在生活中应用例子
导数在生活中应用例子
导数是微积分中的一个重要概念，它在生活中有着广泛的应用。
导数可以帮助我们理解和解决许多实际问题，比如物体的运动、变化率的计算等。
下面我们就来看一些导数在生活中的应用例子。
首先，导数可以帮助我们理解物体的运动。
比如一辆汽车在高速公路上行驶，我们可以通过对汽车的位置随时间的变化进行求导，来得到汽车的速度。
这样我们就可以通过导数来计算汽车的加速度、减速度等运动状态，从而更好地理解汽车的行驶情况。
其次，导数还可以用来计算变化率。
比如在经济学中，我们可以通过对某一商品的需求量随价格的变化进行求导，来得到需求量对价格的弹性。
这样我们就可以通过导数来计算商品的价格弹性，从而更好地了解市场需求的变化情况。
另外，导数还可以帮助我们优化问题。
比如在工程中，我们可以通过对某一工艺的成本函数进行求导，来得到成本函数的最小值点。
这样我们就可以通过导数来优化工艺成本，从而更好地提高工程效率。
总之，导数在生活中有着广泛的应用。
它可以帮助我们理解物体的运动、计算变化率、优化问题等，对于我们的生活和工作都有着重要的意义。
因此，学好导数对于我们更好地理解和解决实际问题是非常重要的。
希望大家能够在学习导数的过程中，能够更加深入地理解它在生活中的应用。
导数在实际问题中的应用
第 1 页 共 2 页导数在实际问题中的应用教学目标：1、在实际问题中，进一步理解导数的概念，能分析实际问题中导数的意义2、能建立实际问题的数学模型，并用导数解决实际问题中的最优化问题；3、掌握解决实际问题的基本步骤，并体会算法思想教学重点：实际问题中的导数的意义，利用导数解决实际生活中的最优化问题。
教学难点：不同的实际问题背景中辨析导数的实际意义，建立实际问题的函数模型，并利用导数求最值。
教学过程：一、回顾旧知：前面我们研究过实际问题中，与导数有关的问题：如：位移问题，速度问题，线密度问题、边际成本问题等都与导数有关；今天我们继续探究实际问题中与导数有关的事例。
二、探究新课：1、功与功率：例1、某人拉动一个物体前进，他所做的功W （单位：J ）是时间t （单位s ）的函数，设这个函数可以表示为t t t t W W 166)(23+-==（1）求t 从1s 变化到3s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义；（2）求)2(),1(W W ''，并解释它的实际意义；解释：)2(),1(W W ''分别表示s t s t 2,1==时，这个人每秒做的功，在物理学中通常称为功率。
2、降雨强度：例2、如图为一次降雨过程中一段时间记录下的降雨量的数据：第 2 页 共 2 页 显然，降雨量是时间t 的函数，用)(t f y =表示（1）分别计算当t 从0变化到10，50变化到60时，降雨量y 关于时间t 的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；（2）假设得到降雨量y 关于时间t的函数的近似表达式为()f t =求)40(f '并解释它的实际意义；解释：)40(f '表示：40=t 时的降雨强度。
3、边际成本：例3、设某企业每季度生产某个产品q 个单位时，总成本函数为C (q ) = aq 3－bq 2 + cq ，（其中a ＞0，b ＞0，c ＞0），求：（1）使平均成本最小的产量.（2）最小平均成本及相应的边际成本.4、最优化问题：例4、一个企业生产某种产品，每批生产q 单位时的总成本为C (q ) = 3+q （单位：百元），可得的总收入为R (q ) = 6q －q 2（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使利润最大？最大利润是多少？例5、矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？例6、在曲线)0,0(12≥≥-=y x x y 上找一点（00,y x ），过此点作一切线，与x 轴、y 轴构成一个三角形，问：0x 为何值时，此三角形面积最小？例7、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10千米／时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最少？三、小结：导数在实际生活中运用比较多，上面我们研究结果特殊事例，在现实生活中还有许多都属于和导数有关的问题。
应用导数求解实际问题的例子
应用导数求解实际问题的例子以下是一些应用导数求解实际问题的例子：1. 假设一张长方形的长为x，宽为y，且其周长为20个单位长度。
求该长方形的最大面积。
解析：题目要求我们求最大面积，这意味着需要优化函数A=xy，其中x和y都是长度单位。
由于周长为20个单位长度，可以写出等式2(x+y)=20，即x+y=10。
这个等式可以用来解出一个变量，例如，y=10-x。
现在我们可以将y代入面积函数中，从而得到A=x(10-x)=10x-x^2。
此时，我们需要求导并令导数等于零，以便找到函数的极值点。
求导后得到A' = 10 - 2x，令A'等于零，可以求得x=5，这是A的最大值点。
将x=5代入原函数，得到A=25，因此该长方形的最大面积为25平方单位长度。
2. 假设你正在绕椭圆形的操场跑步，其中长轴为6个单位长度，短轴为4个单位长度。
你的速度是每秒8个单位长度，且沿椭圆形跑道以正方向移动。
在点(2,0)处你的方向是多少度？解析：该问题需要我们求解椭圆形上的切线，因此需要将椭圆的参数方程与速度向量表示为函数，然后取导数。
对于该椭圆形，参数方程为x=3cos(t)，y=2sin(t)，其中t是参数。
速度向量可以表示为v=<dx/dt, dy/dt>，即v=<-3sin(t), 2cos(t)>。
现在，在点(2,0)处，即当t=0时，我们可以求出速度向量的大小为2sqrt(5)个单位长度。
椭圆形上的切线的斜率为dy/dx，可以通过求解dy/dt和dx/dt的比率来得到。
因此，dy/dx=dy/dt/dx/dt= (2cos(t)) / (-3sin(t))。
将t=0代入该公式，可以求得dy/dx=-2sqrt(5)/3。
最后，用反正切函数找到与这个斜率相对应的角度，这个角度就是切线的方向角。
因此，切线的方向角为arctan(-2sqrt(5)/3)≈-68.2度。
由于题目中要求以正方向为基础，因此角度为360-68.2≈291.8度。
导数在解决实际问题中的应用
导数在解决实际问题中的应用导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积260)(322x x h x x V -== )600(<<x ． 23()602xV x x '=-)600(<<x 令23()602x V x x '=-＝0， 解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2V h R π=，则S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2 令 22()V s R R'=-+4πR=0 解得，R=32V π， 从而h=2V R π=23()2V ππ=34V π=23V π 即h=2R ， 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =R R S ππ222- ⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭ (0100)q << 1214L q '=-+ 令0L '=，即12104q -+=， 求得唯一的极值点84q =答：产量为84时，利润L 最大解决这类应用题一般有四个要点步骤：设--列--解--答 ，用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极值及端点值比较即可，注意取最值时对应的自变量必须有解。
谈谈导数在实际生活中的应用
谈谈导数在实际生活中的应用导数是高中数学的重要内容，作为工具可以解决有关函数最大值、最小值的实际问题。
标签：导数；实际问题；极值；最值导数作为一种工具，在求解数学问题时显得极为方便，尤其是利用导数判断函数的单调性求极值和最值。
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：（1）与几何有关的最值问题。
（2）与物理有关的最值问题。
（3）与利润及成本有关的最值问题。
（4）效率最值问题。
下面通过两个具体实例谈谈导数在实际生活中的应用。
例1：统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：当x∈（0，80）时，h’（x）0，h（x）是增函数；∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25。
因为h（x）在（0，20]上只有一个极值，所以它是最小值。
故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
例2：甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲的资源，因此甲有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系x=2000〖KF（〗t〖KF）〗。
若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称为赔付价格）。
（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？解析：（1）因为赔付价格为s（元/吨），所以乙方的实际利润为w=2000〖KF （〗t〖KF）〗-st。
所以s=20时，v取最大值，因此甲方向乙方要求赔付价格s=20（元/吨）时，获得最大净收入。
实际应用性问题有时需要先建立函数关系式，然后对函数求导，这种处理方法是常用的解答方法。
初中数学中如何利用导数解决实际问题
初中数学中如何利用导数解决实际问题在初中数学的学习中，导数是一个较为抽象但又十分有用的概念。
它不仅在理论上有着重要的地位，更能帮助我们解决许多实际问题。
那么，如何巧妙地运用导数来解决这些实际问题呢？让我们一起来探讨一下。
首先，我们需要理解什么是导数。
简单来说，导数就是函数在某一点的变化率。
打个比方，如果我们把一个函数看作是一辆汽车行驶的路程与时间的关系，那么导数就相当于汽车在某一时刻的速度。
通过求导，我们能够知道函数在不同点的变化快慢情况。
在实际问题中，经常会遇到与最值相关的问题，这时候导数就大显身手了。
比如，一个工厂要生产某种产品，已知生产成本与产量之间的函数关系，为了使成本最小化，我们就可以利用导数来找到最佳的产量。
假设生产成本函数为＼（C(x) ＝ 2x^2 10x ＋ 50\），其中＼（x\）表示产量。
要求成本的最小值，我们先对＼（C(x)＼）求导：＼（C'（x) ＝ 4x 10\）。
令＼（C'（x) ＝ 0\），即＼（4x 10 ＝ 0\），解得＼（x ＝25\）。
接下来，我们需要判断＼（x ＝ 25\）是极小值还是极大值。
我们可以通过二阶导数来判断。
对＼（C'（x)＼）再次求导，＼（C'＇（x)＝ 4\），因为＼（C'＇（25) ＞ 0\），所以＼（x ＝ 25\）是极小值，也就是成本最小的产量。
再比如，在销售问题中，我们常常需要确定最优的销售价格以获得最大利润。
假设某商品的销售量＼（Q\）与销售价格＼（P\）之间的关系为＼（Q ＝ 100 2P\），成本函数为＼（C ＝ 20Q\），利润函数＼（L\）就可以表示为＼（L ＝ PQ C ＝ P(100 2P) 20(100 2P)＼）。
对利润函数＼（L\）求导：＼（L' ＝ 100 4P ＋ 40\）。
令＼（L' ＝ 0\），解得＼（P ＝ 35\）。
同样，通过二阶导数判断＼（P ＝ 35\）是极大值，即此时利润最大。
浅谈导数在实际生活中的一些应用
浅谈导数在实际生活中的一些应用我们平时的生活中，充满了各种各样的数学知识，而其中最重要的就是导数，它在实际生活中有着多种多样的应用。
在这里，我将从几个方面，比如经济学、工程学和技术学等，对导数在实际生活中的一些应用进行浅谈。
首先，导数在经济学中有着重要的作用。
例如，在进行市场分析时，需要用到导数，以准确判断市场需求量随价格的变化趋势。
在研究各个市场出现的利润最大值时，也需要用到导数。
同时，导数也用于对经济发展的趋势进行分析，从而判断出经济发展的方向和趋势。
其次，导数在工程学中有着重要的作用。
例如，在建筑设计中，可以使用导数来计算结构的实际长度、厚度及其他物理参数，从而有效控制建筑的强度和稳定性。
此外，在航空航天、船舶和汽车等工程领域，运用导数也可以更好地控制运动物体的速度、加速度、动量等参数，从而更有效地发挥其性能。
最后，导数在技术学中可以应用于计算机科学、生物学和信息学等领域。
如在计算机科学中，由于对复杂函数的求导，可以使计算机有更可靠的性能，对计算机程序进行优化和改进。
在生物学中，科学家使用导数研究基因组的复杂性，从而可以计算基因序列上可能出现的突变几率和结果。
而在信息学行业，运用导数可以更快地分析复杂的信息，评估信息编码中的传播效率，从而可以更有效地传输信息。
以上的一些应用，可见导数在实际生活中发挥着重要的作用，它能够帮助我们更准确、更客观地分析各种问题，从而可以更有效地发挥它们的功能。
因此，我们应该重视学习和使用导数，以便获得最大的效益。
总而言之，导数在实际生活中有着多种多样的应用，它可以帮助我们更准确、更客观地分析各种问题，有效地控制各种事物的运动趋势，以及更有效地传输信息。
因此，我们平时更应注重学习和使用导数，以获得最大的效益。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用十分广泛。
在物理学中，导数被应用于描述运动的速度和加速度，帮助工程师设计出更高效的机械系统。
在经济学中，通过导数可以计算出边际效益，指导决策者进行资源配置。
工程学中的优化问题也常常需要用到导数，以找到最优解决方案。
医学领域中的生物动力学则利用导数来研究生物体的运动和力学特性。
而在计算机科学中，算法优化更是离不开导数的帮助。
导数在各个领域中都扮演着重要角色，学习导数对解决实际问题至关重要。
导数的运用不仅使生活更加便利和高效，还推动了科技和社会的发展。
【关键词】导数、实际生活、物理学、运动学、经济学、边际效益、工程学、优化问题、医学、生物动力学、计算机科学、算法优化、重要作用、解决实际问题、便利、高效。
1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用广泛而深远，它是微积分的重要概念之一，通过对函数的变化率进行研究，可以帮助我们更好地理解和解决实际生活中的问题。
导数的应用涵盖了物理学、经济学、工程学、医学和计算机科学等多个领域。
在物理学中，导数被广泛运用于运动学的研究中。
通过对位置、速度和加速度的导数进行推导，可以得到物体的运动状态，从而更准确地预测其未来的运动轨迹。
在经济学中，导数被用来研究边际效益。
通过对边际成本和边际收益的导数进行计算，可以帮助企业决定最优化的生产方案，提高效益和降低成本。
在工程学中，导数被广泛应用于优化问题的求解。
通过对函数的导数进行分析，可以找到最优解，实现工程设计和生产过程的高效运行。
在医学中，导数在生物动力学的研究中发挥重要作用。
通过对生物体内部各种生理变量的导数进行分析，可以帮助医生更好地理解疾病的发展过程，并制定更有效的治疗方案。
在计算机科学中，导数被运用于算法优化。
通过对算法的导数进行计算，可以提高算法的效率和准确性，加快计算速度，实现更快速的数据处理和分析。
导数在各个领域中都发挥着重要作用，学习导数对于解决实际问题具有重要意义。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用非常广泛。
在物体运动中，导数可以帮助我们计算速度和加速度，从而预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数也被广泛应用，帮助我们找到函数的最大值和最小值。
在经济学中，导数被用于边际分析，帮助企业和政府做出决策以最大化利润或效益。
在医学领域，导数可以帮助分析身体的变化和疾病的发展趋势。
而在工程领域，导数则被用于解决各种实际问题，例如设计建筑结构和优化生产过程。
导数在不同领域中都起着重要作用，通过综合运用导数，我们能够更好地解决各种实际生活中的问题。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、速度、加速度、最优化、边际分析、医学、工程领域、重要作用、解决问题1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用是一种重要的数学概念，它广泛应用于各个领域，为解决实际生活中的问题提供了有效的数学工具。
导数是函数在某一点处的变化率，它可以帮助我们理解事物的变化规律，并从中得出一些有用的结论。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动速度和加速度，帮助我们预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产和经营活动。
在经济学中，导数被应用于边际分析中，帮助我们确定最优的生产和消费决策。
在医学领域，导数被用来描述生物体的变化规律，帮助医生做出诊断和治疗方案。
工程领域的实际情况中，导数被广泛应用于设计和优化工程系统，提高生产效率和质量。
导数在不同领域中均起着重要作用，综合运用导数能够解决各种实际生活问题，为我们的生活带来更多便利和效率。
2. 正文2.1 物体运动的速度和加速度物体运动的速度和加速度是导数在实际生活中的一个重要应用领域。
在物理学中，我们经常需要研究物体在运动中的速度和加速度变化情况，而导数提供了一种有效的工具来描述这些变化。
我们知道速度是描述物体在单位时间内所经历的位移量，而加速度则是描述速度在单位时间内的改变量。
简单来说，速度是位移关于时间的导数，而加速度则是速度关于时间的导数。
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导数在解决实际问题中的应用
导数在实际生活中的应用主要是解决相关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何相关的最值问题；
2、与物理学相关的最值问题；
3、与利润及其成本相关的最值问题；
4、效率最值问题。
解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相对应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=
cm ，得箱子容积 2
60)
(
322x x
h x x V -== )600(<<x ． 23()602x
V x x '=-
)600(<<x 令23()602x V x x '=-＝0， 解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000
由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，所以，16 000是最大值
答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3
解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积
x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）
由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选择，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2
由V=πR 2h ，得2V h R π=，则S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R
+2πR 2 令 22()V s R R
'=-+4πR=0 解得，R=32V π
， 从而h=2V R π=2
3()2V V ππ
=34V π=23V π 即h=2R ， 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选择，才能使所用材料最省？
提示：S =2Rh π+2
2R π⇒h =R R S ππ222
- ⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=322
1)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．
例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8
125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：收入211252588
R q p q q q q ⎛
⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，
利润221125(1004)2110088
L R C q q q q q ⎛
⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭ (0100)q << 1214L q '=-+ 令0L '=，即12104
q -+=， 求得唯一的极值点84q =
答：产量为84时，利润L 最大
解决这类应用题一般有四个要点步骤：设--列--解--答 ，用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极值及端点值比较即可，
注意取最值时对应的自变量必须有解。