圆柱、圆锥及其截交线
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第6章 曲面立体及截交线
截平面位置 立 体 图 与V面平行 与H面平行 与V面垂直
投 影 图
六、圆球体切割
例5-11 圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧 例5-11 求圆球被正垂面截切的截交线 面投影。 绘图步骤： (1)截交线的投影为椭圆，投 影椭圆上短轴的两个端点Ⅰ、 Ⅱ与长轴的两个端点Ⅲ 、 Ⅳ； (2)求截交线与轮廓线的交点 Ⅴ 、Ⅵ ； (3)求截交线与轮廓线的交点 Ⅶ 、Ⅷ ； (4)依次光滑连接各点； (5)检查并加粗可见轮廓线。 点击播放视频
c
a
例5-5 圆柱表面取点
a” (c”) b”
b
二、圆锥的投影及表面取点
圆锥的形成 圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有素线相交于锥顶，所有纬圆平行。
锥顶 圆锥面 母线 底面 轴线 素线 纬圆
(a) 圆锥面的形成 点击图片播放视频
(b) 圆锥的结构特征 圆锥的特征
s’
例5-6 圆锥表面取点
s”
a”
e’
e”
s
a e
素线法
二、圆锥的投影及表面取点
2、表面取点
例5-6 圆锥表面取点
例5-6 如图所示，已知点 A在圆锥表面上，并知它 的正面投影a’，可采用下 列两种方法求出点A的水 平投影a和侧面投影a” 。
s’
s”
a”
s a
纬圆法
三、圆球的投影及表面取点
圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球， 形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。
(c) 圆锥面的结构特征
二、圆锥的投影及表面取点
1、投影分析 圆锥面的轮廓素线 圆锥的轴线垂直 SA、SB将圆柱面分成可 于H面。圆锥底圆为水 见的前半部分与不可见 平面，水平投影反映实 的后半部分。 形，其正面和侧面投影 轮廓素线SC、SD将 积聚为水平直线。 圆柱面分成可见的左半 圆锥面的水平投影 部分与不可见的右半部 为圆，其正面和侧面投 分。 影为三角形。
投 影 图
六、圆球体切割
例5-11 圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧 例5-11 求圆球被正垂面截切的截交线 面投影。 绘图步骤： (1)截交线的投影为椭圆，投 影椭圆上短轴的两个端点Ⅰ、 Ⅱ与长轴的两个端点Ⅲ 、 Ⅳ； (2)求截交线与轮廓线的交点 Ⅴ 、Ⅵ ； (3)求截交线与轮廓线的交点 Ⅶ 、Ⅷ ； (4)依次光滑连接各点； (5)检查并加粗可见轮廓线。 点击播放视频
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例5-5 圆柱表面取点
a” (c”) b”
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二、圆锥的投影及表面取点
圆锥的形成 圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有素线相交于锥顶，所有纬圆平行。
锥顶 圆锥面 母线 底面 轴线 素线 纬圆
(a) 圆锥面的形成 点击图片播放视频
(b) 圆锥的结构特征 圆锥的特征
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例5-6 圆锥表面取点
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素线法
二、圆锥的投影及表面取点
2、表面取点
例5-6 圆锥表面取点
例5-6 如图所示，已知点 A在圆锥表面上，并知它 的正面投影a’，可采用下 列两种方法求出点A的水 平投影a和侧面投影a” 。
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纬圆法
三、圆球的投影及表面取点
圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球， 形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。
(c) 圆锥面的结构特征
二、圆锥的投影及表面取点
1、投影分析 圆锥面的轮廓素线 圆锥的轴线垂直 SA、SB将圆柱面分成可 于H面。圆锥底圆为水 见的前半部分与不可见 平面，水平投影反映实 的后半部分。 形，其正面和侧面投影 轮廓素线SC、SD将 积聚为水平直线。 圆柱面分成可见的左半 圆锥面的水平投影 部分与不可见的右半部 为圆，其正面和侧面投 分。 影为三角形。
圆锥截交线
3
Ⅱ Ⅲ Ⅲ
正垂线
3
Ⅰ
正平线
[例题2] 求圆锥截交线
解题步骤 1、分析 截平面为正平面，截平 面的水平投影为直线； 2、截交线为双曲线，截交线的 水平投影和侧面投影均为直线； 3、求出截交线上的特殊点#39; c"
a"
4、求出一般点C ； 5、光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 6、整理轮廓线。
b"
b
c
a
[例题3]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
本章结束
圆锥的截交线
一、 二、 三、 四、 五、
截交线的性质 圆锥的截交线的类型及形状 求作截交线的方法 截交线上的特殊点 作图步骤与例题
一、 截交线的性质
圆锥的截交线是截平面与圆锥表面的共有线。
圆锥的截交线的形状取决于圆锥表面的形状 及截平面与圆锥轴线的相对位置。 圆锥截交线都是封闭的平面图形。
二、 圆锥截交线的类型与形状
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
抛物线加直线段
α θ
α θ
α
θ
α
过锥顶 两相交直线
θ =90° 圆
90° α ＞ θ＞ 椭圆
θ ＝α 抛物线
≤θ ＜α 0° 双曲线
三、 求作截交线的方法
四、 截交线的特殊点
[例题1] 求圆锥截交线
3'
解题步骤 1、分析 截平面为正垂面，截平 面的正面投影为直线； 2、截交线为椭圆，截交线的水 平投影和侧面投影均为椭圆；由 于圆锥前后对称，故椭圆也前后 对称。椭圆的长轴为截平面与圆 锥前后对称面的交线——正平线 ，椭圆的短轴是垂直与长轴的正 垂线。 3、求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ； 4、求出一般点Ⅴ ； 5、光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性即得 截交线的水平投影和侧面投影； 6、整理轮廓线。
圆椎体截交线的种类
圆椎体截交线的种类
圆锥体的截交线一般情况下有四种，分别是圆、椭圆、抛物线和双曲线。
具体介绍如下：- 如果平面与圆锥的截交线是一个圆，这种情况叫做截圆。
- 如果平面与圆锥的截交线是一个椭圆，这种情况叫做截椭圆。
- 如果平面与圆锥的截交线是一个抛物线，这种情况叫做截抛物线。
- 如果平面与圆锥的截交线是一个双曲线，这种情况叫做截双曲线。
需要注意的是，截交线的具体形状和位置取决于平面与圆锥的相对位置和角度。
如果与圆锥相截的平面通过圆锥顶点，那么相交线是两条相交直线。
(完整版)机械制图第4章截切体与相贯体的投影
第4章截切体与相贯体的投影前面提到：各种形状的机件虽然复杂多样，但都是由一些简单的基本体经过叠加、切割或相交等形式组合而成的。
那么，基本体被平面截切后的剩余部分，就称为截切体。
两基本体相交后得到的立体，就叫相贯体。
它们由于被截切或相交，会在表面上产生相应的截交线或相贯线。
了解它们的性质及投影画法，将有助于我们对机件形状结构的正确分析与表达。
4．1 截切体4．1．1截切体的有关概念及性质如图4-1示，正六棱柱被平面Ｐ截为两部分，其中用来截切立体的平面称为截平面；立体被截切后的部分称为截切体；立体被截切后的断面称为截断面；截平面与立体表面的交线称为截交线。
图4-1 立体的截交线尽管立体的形状不尽相同，分为平面立体和曲面立体，截平面与立体表面的相对位置也各不相同，由此产生的截交线的形状也千差万别，但所有的截交线都具有以下基本性质：1．共有性截交线是截平面与立体表面的共有线，既在截平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面共有点的集合。
2．封闭性由于立体表面是有范围的，所以截交线一般是封闭的平面图形（平面多边形或曲线）。
根据截交线的性质，求截交线，就是求出截平面与立体表面的一系列共有点，然后依次连接即可。
求截交线的方法，即可利用投影的积聚性直接作图，也可通过作辅助线的方法求出。
4．1．2平面截切体由平面立体截切得到的截切体，叫平面截切体。
因为平面立体的表面由若干平面围成，所以平面与平面立体相交时的截交线是一个封闭的平面多边形，多边形的顶点是平面立体的棱线与截平面的交点，多边形的每条边是平面立体的棱面与截平面的交线。
因此求作平面立体上的截交线，可以归纳为两种方法：（1）交点法：即先求出平面立体的各棱线与截平面的交点，然后将各点依次连接起来，即得截交线。
连接各交点有一定的原则：只有两点在同一个表面上时才能连接，可见棱面上的两点用实线连接，不可见棱面上的两点用虚线连接。
（2）交线法：即求出平面立体的各表面与截平面的交线。
平面与立体表面的交线截交线讲解学习
一槽，槽的前后两侧面在俯视图 中积聚为两直线，需要补出槽的 正面投影。
圆柱的右边切去上下部分 形成一凸榫，其侧面投影为 两条虚线，需要补出凸榫的 水平投影。
例2：补全接头的正面投影和水平投影。
作 图 步Байду номын сангаас骤：
2、圆锥的截交线
圆锥截交线形状分析：
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，圆锥 面 上 的 截
3、球体的截交线
球体截交线形状分析： 不论截平面怎样截切球体，其截交线形状均为圆。 由于截交线圆与投影面的相对位置不同，其投影可能为 圆、椭圆或直线。 球体截交线的作图分析： 当截交线的投影为直线或圆时，其作图比较方便。若为 椭圆则需要通过在球体表面上找点的方法作图。
例：补全开槽半球的水平投影和侧面投影。 作图步骤如下：
3.两截平面交线在立体表面上的两个端点，如三棱锥上的 A、B点。
例1：补出切割六棱柱左视图中 的漏线并画出 其俯视图。
作图步骤：
二、回转体的截交线
1、圆柱的截交线 截交线形状分析:根据截平面与圆柱轴线的相
对位置不同，圆柱截交线有下列三种形状。
❖ 圆—截平面垂直于轴线 ❖ 椭圆—截平面倾斜于轴线 ❖ 矩形—截平面平行于轴线
例1：完成切割圆锥的俯视图和左视图。 作图步骤如右图：
两截平面中一个过 锥顶截切圆锥，截交 线为两条相交直线。 另一截平面与圆锥轴 线垂直，在圆锥表面 上切出部分圆。
例2：已知圆锥被一水平面截切，画出截交线的水平投影。 作图步骤如下：
因截平面与圆锥轴 线平行，故截交线的 形状为一双曲线。
作双曲线的投影要 利用在锥面上找点的 方法。
交线有下列五种形状。
✓ 圆—截平面垂直于轴线 ✓ 两相交直线—截平面过锥顶截切 ✓ 椭圆—截平面倾斜于轴线 ✓ 双曲线—截平面平行于轴线截切 ✓ 抛物线—截平面平行于圆锥表面
圆柱的右边切去上下部分 形成一凸榫，其侧面投影为 两条虚线，需要补出凸榫的 水平投影。
例2：补全接头的正面投影和水平投影。
作 图 步Байду номын сангаас骤：
2、圆锥的截交线
圆锥截交线形状分析：
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，圆锥 面 上 的 截
3、球体的截交线
球体截交线形状分析： 不论截平面怎样截切球体，其截交线形状均为圆。 由于截交线圆与投影面的相对位置不同，其投影可能为 圆、椭圆或直线。 球体截交线的作图分析： 当截交线的投影为直线或圆时，其作图比较方便。若为 椭圆则需要通过在球体表面上找点的方法作图。
例：补全开槽半球的水平投影和侧面投影。 作图步骤如下：
3.两截平面交线在立体表面上的两个端点，如三棱锥上的 A、B点。
例1：补出切割六棱柱左视图中 的漏线并画出 其俯视图。
作图步骤：
二、回转体的截交线
1、圆柱的截交线 截交线形状分析:根据截平面与圆柱轴线的相
对位置不同，圆柱截交线有下列三种形状。
❖ 圆—截平面垂直于轴线 ❖ 椭圆—截平面倾斜于轴线 ❖ 矩形—截平面平行于轴线
例1：完成切割圆锥的俯视图和左视图。 作图步骤如右图：
两截平面中一个过 锥顶截切圆锥，截交 线为两条相交直线。 另一截平面与圆锥轴 线垂直，在圆锥表面 上切出部分圆。
例2：已知圆锥被一水平面截切，画出截交线的水平投影。 作图步骤如下：
因截平面与圆锥轴 线平行，故截交线的 形状为一双曲线。
作双曲线的投影要 利用在锥面上找点的 方法。
交线有下列五种形状。
✓ 圆—截平面垂直于轴线 ✓ 两相交直线—截平面过锥顶截切 ✓ 椭圆—截平面倾斜于轴线 ✓ 双曲线—截平面平行于轴线截切 ✓ 抛物线—截平面平行于圆锥表面
项目三 基本体三视图及截交线、相贯线
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案例3 绘制斜割圆柱体上的截交线 案例绘制
1．绘制截割前圆柱的左视 图，找出椭圆的四个特殊位置点的 正面投影和水平投影，求出其侧面 投影
2．在俯视图适当位置找四 个一般点的水平投影，按投影 规律找出其正面投影，求出其 侧面投影
3．光滑连接各点的 侧面投影
4．擦去被切部分的轮廓线， 按线型描深图线
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案例2 绘制四棱锥截交线 案例绘制
1．绘制截平面与四 棱锥棱线交点的水平投 影和侧面投影
2．绘制正垂面截 切后的水平投影和侧 面投影
3．擦去切割部分的轮廓 线及辅助线，按线型描深 图线，完成水平投影和侧 面投影
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案例3 绘制斜割圆柱体上的截交线
案例绘制
绘制如图所示平面斜切圆柱体的截交线，已知该切
课题4 绘制圆锥的三视图
案例出示
如图所示，绘制其三视图，并分析投影特性。
案例分析
如图所示，圆锥体由一个圆锥面和圆形的底面围成。圆锥面可 看成是一条与轴线相交的直线（母线）绕轴线旋转一周形成的。该圆 锥的底面为水平面，圆锥面的轴线垂直于水平投影面。
想一想，绘制圆锥的三视图时，应该先绘制哪个视图？圆锥面的 水平投影有何特性？
案例5 绘制球的三视图 知识拓展
如图a)，求出圆球表面上A点的另两投影，A点的位置分析如图所示。 1.判断A点在球体表面上的位置 A点在上半球、在后半球、在左半球 2.在圆球表面上求作点的方法：（如图e） 由于球面的投影没有积聚性，因此要借助于球体表面上的辅助圆来求点。 辅助圆法—过点在球面上作一辅助圆，作出该圆的各投影后再将点对应 到圆的投影上。 作图步骤如下，如图d),即为所求点的三面投影。
案例绘制
案例3 绘制斜割圆柱体上的截交线 案例绘制
1．绘制截割前圆柱的左视 图，找出椭圆的四个特殊位置点的 正面投影和水平投影，求出其侧面 投影
2．在俯视图适当位置找四 个一般点的水平投影，按投影 规律找出其正面投影，求出其 侧面投影
3．光滑连接各点的 侧面投影
4．擦去被切部分的轮廓线， 按线型描深图线
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案例2 绘制四棱锥截交线 案例绘制
1．绘制截平面与四 棱锥棱线交点的水平投 影和侧面投影
2．绘制正垂面截 切后的水平投影和侧 面投影
3．擦去切割部分的轮廓 线及辅助线，按线型描深 图线，完成水平投影和侧 面投影
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案例3 绘制斜割圆柱体上的截交线
案例绘制
绘制如图所示平面斜切圆柱体的截交线，已知该切
课题4 绘制圆锥的三视图
案例出示
如图所示，绘制其三视图，并分析投影特性。
案例分析
如图所示，圆锥体由一个圆锥面和圆形的底面围成。圆锥面可 看成是一条与轴线相交的直线（母线）绕轴线旋转一周形成的。该圆 锥的底面为水平面，圆锥面的轴线垂直于水平投影面。
想一想，绘制圆锥的三视图时，应该先绘制哪个视图？圆锥面的 水平投影有何特性？
案例5 绘制球的三视图 知识拓展
如图a)，求出圆球表面上A点的另两投影，A点的位置分析如图所示。 1.判断A点在球体表面上的位置 A点在上半球、在后半球、在左半球 2.在圆球表面上求作点的方法：（如图e） 由于球面的投影没有积聚性，因此要借助于球体表面上的辅助圆来求点。 辅助圆法—过点在球面上作一辅助圆，作出该圆的各投影后再将点对应 到圆的投影上。 作图步骤如下，如图d),即为所求点的三面投影。
案例绘制
工程制图习题集答案—第章(基本体及其表面截交线)
3-10完成被切圆柱的侧面投影
分析：圆柱被一正垂面截切， 其截交线为一椭圆。因圆柱面 的水平投影具有积聚性，截平 面与圆柱面的交线的水平投影 积聚在圆上。而侧面投影为一 椭圆
作图要点说明：需求出椭圆截 交线上的若干个点的投影。先 求特殊点（最左最右点、最前 最后点）；再取一般点，根据 两面投影求其侧面投影。然后 依次光滑连接各点，最后补全 和完善侧面投影中的转向轮廓 线
第三章 基本体及其截交线
3-11完成被切圆柱的水平投影
第三章 基本体及其截交线
3-12完成缺口圆柱的水平投影
(1)Βιβλιοθήκη (2)第三章 基本体及其截交线
3-13完成穿孔圆柱的第三面投影
(1)
(2)
第三章 基本体及其截交线
3-14完成被切圆锥的水平投影和侧面投影
(1)
分析：此为圆锥被一正垂面 所截，截交线的形状应为椭
第三章 基本体及其截交线
3-2完成被切棱柱的第三面投影
(2)
(3)
第三章 基本体及其截交线
3-3画出被切平面立体的第三面投影
(1)
(2)
第三章 基本体及其截交线
3-4已知切割后三棱锥的正面投 影，补全水平投影，画出侧面 投影
3-5补全四棱台切口的水平投影， 画出侧面投影
第三章 基本体及其截交线
(1)
a'
(b') c'
b
a (c)
a'' b''
c''
(2)
a' b'
c'
a (c)
b
(a'') b"
c"
截 交 线
与柱面的交线为圆弧，如下图所示。
画图步骤（参见下图）：
主视图的投射方向由例图可知，先画出未切割前圆柱体的三视图。 画切角的投影。切角的投影要先画主视图，再画俯视图，然后由主视图和俯视
4 画矩形切槽的投影。矩形切槽的投影要先画左视图，再画俯视图，主视图由俯视图
和左视图求出（主视图中，矩形切槽的底面不可见，因此要画成虚线）。 整理轮廓线，将切去的轮廓线擦除并加深图线。
b. 求矩形槽的侧面P与锥面交线（即双曲线）的顶
4 点和端点。假想侧平面P将该锥台切断，则右图（b）
中的点3′为双曲线的顶点，该顶点在锥面对V面的转 向轮廓线上，其W面投影和轴线重合，双曲线的端点 在锥台的底圆上。
c. 求双曲线弧的上端点。 在主视图上取特殊点4′和 5′，然后用辅助圆法确定 俯视图和左视图中双曲线 弧上这两个点的投影。
d. 用辅助圆法求双曲线弧上的一般位置点，然后用 光滑曲线依次连接这些特殊点和一般位置点。
4 e. 求矩形槽的顶面R与锥面的交线。该交线为圆弧，
圆弧的水平投影反映实形，W面的投影为线段。
f. 整理轮廓线。从主 视图上可以看出，锥面 对W面的转向轮廓线被 矩形槽切去了一段，圆 台的底圆也被切去了一 段圆弧，所以俯视图不 再是完整的圆。
截平面垂直 于轴线
截平面平行 于轴线
截平面倾斜 于轴线Fra bibliotek当截平面与圆柱体的轴线垂直时，截交线为圆。 当截平面与圆柱体的轴线平行时，截交线为矩形。 当截平面与圆柱体的轴线倾斜时，截交线为椭圆。
2．投影面垂直线 求圆柱切割体的三视图，主要是求截交线的投影，其具体画图步骤如下：
1
第一步
画出没有切割前圆柱体的三视图。
由主视图和左视图绘制 俯视图。椭圆弧截交线的俯视 图仍为椭圆弧，可先求出截交 线上的特殊点（转向轮廓线上 的点和交线的端点），再求出 一些一般位置点，求一般位置 点时可利用对称性求出对称点， 然后用曲线板光滑连接各点。 整理轮廓线，将切去的 轮廓线擦除并加深图线。
工程制图圆锥截交线
xx工业大学 机电学院 xx
工程制图 圆锥截交线
从几何的角度去认识圆锥截交线：
圆锥截交线在几何学中被称为圆锥曲线。 两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线， 并获得了大量的成果。其中一位名叫阿波罗尼阿斯最 先采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。 用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面 渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆 锥的一条素线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一 些就可以得到双曲线。 严格来讲，圆锥曲线还包括一种退化情形：平面过锥 顶时，得到两条直线。更特殊的情况下，平面过锥顶 并与圆锥面相切，圆锥曲线为一条直线。
为实形圆，在另两个投影面上，纬
圆积聚为直线。
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xx工业大学 机电学院 xx
工程制图 圆锥截交线——圆锥表面求点的方法（素线法）
第8页
()
素线法作图原理：
过锥顶S作素线经过点M，并延长交底面圆 于点A。点M在素线SA上，则点M的三面投 影分别在素线SA的三面投影上。
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工程制图
工程制图 圆锥截交线——概述
“圆锥截交线”是《工程制图》课程的一个知识点， 教学目标是理解圆锥的三面投影的含义，掌握应用纬 圆法或素线法求圆锥截交线上的点，并正确画出截交 线的投影。 相关知识点包括：回转体；截交线的性质及求作截交 线的方法。
截交线的性质 求作截交线的方法
第1页
回转体 圆锥的投影 圆锥表面求点的方法
xx工业大学 机电学院 xx
工程制图 圆锥截交线——举例1
第 12 页
本例中，截交线上的一般位置点D、E也可以用素线法求作，作法如下图所示。
作图说明： 1. 在侧面投影中作素线s”m”和s”n”，与截交线侧面投影分别交于d”和e”。 2. 画出素线的正面投影s’m’和s’n’，根据点在直线上的投影规律，求出d’和e’。
立体表面的交线
立体表面的交线不同的零件，结构不同，但都有不同的表面交线。
画图时，为清晰地表达零件的形状，需正确地画出这些交线的投影。
零件上表面的交线可分为两类。
1．截交线——平面与立体表面的交线，2．相贯线——立体表面与立体表面的交线。
平面立体的截交线特殊位置平面与平面立体的截交线平面立体被较平面切割后所得的截交线，是由直线段组成的平面多边形。
多边形的各边是立体表面的交线，而多边形的顶点是立体的棱线与截平面的交点。
截交线即在立体表面上，又在截平面上，∴它是立体表面和截平面的共有线，截交线上每一点都是共有点。
因此，求平面与平面立体的截交线可归结为：求平面立体棱线与截平面的交点，或求截平面与平面立体表面的交线。
例1：求四棱锥SABCD被正垂面P切割后截交线的投影。
图2—47四棱锥被正垂面切割例2：求P、Q二平面与三棱锥SABC截交线的投影（其中：P⊥V面，Q∥H面）。
图2—48三棱锥被二平面切割常见回转体的截交线平面与回转体表面相交时，其截交线是由曲线或曲线与直线组成的封闭平面图形。
截交线既是截平面上的线，又是回转体上的线，它是回转体表面与截平面的共有线。
因此求截交线的实质是求截交线上的若干共有点，然后顺序连接成封闭的平面图形。
方法是：（1）利用截平面和回转体表面的积聚性，按投影关系直接求出截交线上点的投影，（2）利用截平面的积聚性和求曲面立体上点的方法，求出截交线上点的投影。
1．特殊位置平面与回转体的截交线（1）圆柱的截交线平面与圆柱相交时，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种情况：①两条平行线，②圆，③椭圆。
例1：求圆柱的截交线图2—49圆柱的截交线例2：圆柱被一正垂面截切，画三视图（2）圆锥的截交线平面与圆锥面相交时，根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同（截平面与圆锥轴线的倾斜程度），其截交线的形状也不同。
共有五种情况：详见书中表所示。
常见回转体的相贯线相贯线：是两相交回转体表面的分界线，也是它们的共有线。
圆柱、圆锥及其截交线
PV
PV PV
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
（部分精选椭课件圆）
P
平行 两平行直线 （矩形） 6
求回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。
由圆锥面和底面组成。
⑵ 圆圆锥锥体面的是由三直视线图SA绕与
它成在相。图交示的位轴置线，O俯O视1旋图转为而一
s●
圆。S另称两为个锥视顶图，为直等线边SA三称
角为形母，线三。角圆形锥的面底上边过为锥圆顶
锥的底任面一的直投线影称，为两圆腰锥分面别的
为素圆线锥。面不同方向的两条
轮廓素线的投影。
s
SO A O1 ●s
圆
两相交直线
θ＞α 椭圆
θ=α θ= 0°＜α
抛物线
双曲线
精选课件
21
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截截交交线线的的 如空投何间找影椭形特圆状性另？？
一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的
投影
精选课件
22
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
3. 补全回转体的剩余轮廓。
精选课件
7
例1：求左视图
1’● 2’(3’7)’(8●’)
PV PV
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
（部分精选椭课件圆）
P
平行 两平行直线 （矩形） 6
求回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。
由圆锥面和底面组成。
⑵ 圆圆锥锥体面的是由三直视线图SA绕与
它成在相。图交示的位轴置线，O俯O视1旋图转为而一
s●
圆。S另称两为个锥视顶图，为直等线边SA三称
角为形母，线三。角圆形锥的面底上边过为锥圆顶
锥的底任面一的直投线影称，为两圆腰锥分面别的
为素圆线锥。面不同方向的两条
轮廓素线的投影。
s
SO A O1 ●s
圆
两相交直线
θ＞α 椭圆
θ=α θ= 0°＜α
抛物线
双曲线
精选课件
21
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截截交交线线的的 如空投何间找影椭形特圆状性另？？
一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的
投影
精选课件
22
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
3. 补全回转体的剩余轮廓。
精选课件
7
例1：求左视图
1’● 2’(3’7)’(8●’)
第5-5章球体的截交线
总结例题，说明求球体立体截交线的方法和步骤。
五、布置作业
练习册第70页
提问
学生练习
信息反馈
2、讲解例题
如图所示，完成开槽半圆球的截交线。
分析：球表面的凹槽由两个侧平面和一个水平面切割而成，两个侧平面和球的交线为两段平行于侧面的圆弧，水平面与球的交线为前后两段水平圆弧，截平面之间得交线为正垂线。
提问
展示挂图
信息反馈
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
时间
教学内容
四、课堂小结
五、布置作业
四、小结
培养学生的读图能力
学习重点
1、球体截交线的画法
2、混合切割截交线的基本性质
3、辅助面法的应用
学习难点
1、球体切割的画法
2、徒手绘图的画法
教法学法
教法：
多媒体教学法
集中讲授法
挂图展示法
学法：
听授法
课堂练习法
教学媒体
1.口头表达
2.板书
教学学习准备
教师：
1.球体模型
2.球体挂图
学生：
教论课教案首页
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
时间
一、复习旧课
二、引入新课题
三、教学内容
一．复习圆柱和圆锥的截交线的投影
1.截交线的基本性质和画图方法。
2.圆柱截交线的种类
3.圆锥截交线的种类
二、圆球的截交线
1、基本性质
平面在任何位置截切圆球的截交线都是圆。当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆的实形，在其他两面上的投影都积聚为直线。如图所示。
@@@@@@学院
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五、布置作业
练习册第70页
提问
学生练习
信息反馈
2、讲解例题
如图所示，完成开槽半圆球的截交线。
分析：球表面的凹槽由两个侧平面和一个水平面切割而成，两个侧平面和球的交线为两段平行于侧面的圆弧，水平面与球的交线为前后两段水平圆弧，截平面之间得交线为正垂线。
提问
展示挂图
信息反馈
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
时间
教学内容
四、课堂小结
五、布置作业
四、小结
培养学生的读图能力
学习重点
1、球体截交线的画法
2、混合切割截交线的基本性质
3、辅助面法的应用
学习难点
1、球体切割的画法
2、徒手绘图的画法
教法学法
教法：
多媒体教学法
集中讲授法
挂图展示法
学法：
听授法
课堂练习法
教学媒体
1.口头表达
2.板书
教学学习准备
教师：
1.球体模型
2.球体挂图
学生：
教论课教案首页
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
时间
一、复习旧课
二、引入新课题
三、教学内容
一．复习圆柱和圆锥的截交线的投影
1.截交线的基本性质和画图方法。
2.圆柱截交线的种类
3.圆锥截交线的种类
二、圆球的截交线
1、基本性质
平面在任何位置截切圆球的截交线都是圆。当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆的实形，在其他两面上的投影都积聚为直线。如图所示。
@@@@@@学院
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机械制图圆锥和球的截交线
《工业产品设计与表达》书中章节
P105，表6-8 常见曲面立体的投影与投影特性 P108，表6-9 在曲面立体表面上取点的作图分析 P112，表6-13 平面与圆锥的截交线 P113，例6-35 P114，表6-14 平面与圆球的截交线 P115，例6-35
下堂课预习
P115--122，6.7 立体与立体的交线
圆锥体形成
形成 有一轴线，有一母线和
轴线相交，母线绕轴线转一周形 成圆锥面。
形成 圆沿着轴线做直线匀速 运动，同时圆的直径线性减小， 也能形成圆锥面。
圆锥体的投影
投影特点 因为圆锥表面是光
滑的，所以正面、侧面的两条 轮廓线在水平投影上不反映。
圆锥尺寸标注
60
圆锥面上取点法（一）
m’
m’’
1’
1’’
5’’
1’(2’)
62 4
3 51
圆锥截交
圆锥截交
圆锥截交（例2）(3)
柱锥截交2
球体形成 形成 圆绕任一直径回转一周形成。
球体的作图
投影特点：在任一
投影面的投影都 是圆。注意几个 圆的转向线
球的尺寸标注
球的尺寸标注： 完整的球只要一个尺 寸，标SΦ或SR，如： SΦ20或SR20
球的截交线
m 1
圆锥面上取点法（二）
(n’)
(n’’)
n
圆锥面上取点
1’
3’ (2’)
(2”)
1” 3”
2
1 3
圆锥面上表面取线
圆锥的截交线
α
α
θ
θ
α
α
θ
过锥顶 θ=90°两相ຫໍສະໝຸດ 直线圆90°＞θ＞α
椭圆
θ＝α 抛物线
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精品课件
1.圆柱体
⑴ 圆柱体的组成 由圆柱面和两底面组成。 圆柱面是由直线AA1绕
与它平行的轴线OO1旋转而 成。 直线AA1称为母线。
圆柱面上与轴线平行的 任一直线称为圆柱面的素线。
⑵ 圆柱体的三视图 圆柱面的俯视图积聚成
一个圆，在另两个视图上分别 以两个方向的轮廓素线的投影 表示。
精品课件
O A
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
3. 补全回转体的剩余轮廓。 精品课件
例1：求左视图
1’● 2’(3’7)’(8●’)
●
5’(6●’) 4’●
8” 1”● ●
3”截● 交线的 ● 空6”间形状● ？ 4”
PV PV
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
（部分精品椭课件圆）
P
平行 两平行直线 （矩形）
求回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空பைடு நூலகம்及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。
辅助圆法
k
精品课件
k
圆的半径？
(5) 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相对 PV 位置不同，截交线有五种形状。
θ PV
PV
θ
α
PV
θ PV α
α
θ= 90° 过锥顶
圆
两相交直线
θ＞α 椭圆
θ=α θ= 0°＜α
抛物线
双曲线
精品课件
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截截交交线线的的 如空投何间找影椭形特圆状性另？？
与而在它成图相。示交位的置轴，线俯O视O图1旋为转一
s●
圆。S另称两为个锥视顶图，为直等线边SA三称
角为形母，线三。角圆形锥的面底上边过为锥圆顶
锥的底任面一的直投线影称，为两圆腰锥分面别的
为素圆线锥。面不同方向的两条
轮廓素线的投影。
s
SO A O1 ●s
精品课件
⑶ 轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断
O1 A1
⑶ 轮廓线素线的投影与曲面的
O
可见性的判断
回转体的每个视图都是该
视图投影方向的外形轮廓。
A
转向轮廓线：轮廓素线的投影。
⑷ 圆柱面上取点
O1
利用投影的积聚性
(b) a
c
(b) a c
b
a c
精品课件
（5） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截 平面与圆柱轴线的相对位置
PV
一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
精品课件
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
精品课件
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形状 都是圆，但根据截平面与投影面的 相对位置不同，其截交线的投影可 能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
精品课件
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两水个平侧面平截面圆截球圆的球截的交截线 交的线投的影投，影在，俯在视侧图视上图为 上部为分部圆分弧圆，弧在，侧在视俯图视上 图积上聚积为聚直为线直。线。
精品课件
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
精品课件
精品课件
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置
★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
精品课件
例4：求左视图
● ● ● ●
精品课件
例4：求左视图
精品课件
例5：求俯视图
精品课件
例5：求俯视图
精品课件
2.圆锥体
⑴ 圆锥体的组成
由圆锥面和底面组成。
⑵ 圆圆锥锥体面的是三由视直线图SA绕
第三章
圆柱、圆锥及其截交线
精品课件
3.2 基本体的形成及其三视图
常见的基本几何体
平面基本体
曲面基本体
精品课件
4.1 回转体的截切
回转体截切的基本形式
截交线的性质： • 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线都是封闭的平面图形(直线或曲线)。
⑷ 圆锥面上取点
★辅助直线法 ★辅助圆法
s●
b k(n) a
b●
n s
●
k
a
精品课件
O
●
O1 ●s
●(n●b) k
a 如过何锥在顶圆作锥面 一圆上条的作素半直线径线。？？
3.圆球
⑴ 圆球的形成
圆母线以它的 直径为轴旋转而成。
⑵ 圆球的三视图
k
⑶个 圆和，轮面圆 它廓三可球 们个线见的 分视的性直 别图投的径是分影相圆判别等球与断为的三曲三 ⑷个方圆向球轮面廓上线取的投点影。
截平投影面为与圆圆呢柱？轴 线成45°时。
精品课件
例例52：求左视图
虚实分界点
同一立体被多个 平面截切，要逐个 截平面进行截交线 的分析和作图。
精品课件
例3：求左视图
●
解题步骤：
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
●
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
●
★分析圆柱体轮廓素线的投影
精品课件
例3：求左视图
7” ●
● 2”
●
5”
截交线的已知投影？
截交线的侧面投
6●
●8 ★找影特是殊什点么形状？
★补充中间点
★光滑连接各点
★分析轮廓素线的投影
●
●
5
7
精品课件
例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
精品课件
椭圆的长、短 轴随截平面与圆 柱轴线夹角的变 化而改变。
45°
什么情况下
1.圆柱体
⑴ 圆柱体的组成 由圆柱面和两底面组成。 圆柱面是由直线AA1绕
与它平行的轴线OO1旋转而 成。 直线AA1称为母线。
圆柱面上与轴线平行的 任一直线称为圆柱面的素线。
⑵ 圆柱体的三视图 圆柱面的俯视图积聚成
一个圆，在另两个视图上分别 以两个方向的轮廓素线的投影 表示。
精品课件
O A
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
3. 补全回转体的剩余轮廓。 精品课件
例1：求左视图
1’● 2’(3’7)’(8●’)
●
5’(6●’) 4’●
8” 1”● ●
3”截● 交线的 ● 空6”间形状● ？ 4”
PV PV
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
（部分精品椭课件圆）
P
平行 两平行直线 （矩形）
求回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空பைடு நூலகம்及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。
辅助圆法
k
精品课件
k
圆的半径？
(5) 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相对 PV 位置不同，截交线有五种形状。
θ PV
PV
θ
α
PV
θ PV α
α
θ= 90° 过锥顶
圆
两相交直线
θ＞α 椭圆
θ=α θ= 0°＜α
抛物线
双曲线
精品课件
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截截交交线线的的 如空投何间找影椭形特圆状性另？？
与而在它成图相。示交位的置轴，线俯O视O图1旋为转一
s●
圆。S另称两为个锥视顶图，为直等线边SA三称
角为形母，线三。角圆形锥的面底上边过为锥圆顶
锥的底任面一的直投线影称，为两圆腰锥分面别的
为素圆线锥。面不同方向的两条
轮廓素线的投影。
s
SO A O1 ●s
精品课件
⑶ 轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断
O1 A1
⑶ 轮廓线素线的投影与曲面的
O
可见性的判断
回转体的每个视图都是该
视图投影方向的外形轮廓。
A
转向轮廓线：轮廓素线的投影。
⑷ 圆柱面上取点
O1
利用投影的积聚性
(b) a
c
(b) a c
b
a c
精品课件
（5） 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截 平面与圆柱轴线的相对位置
PV
一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
精品课件
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
精品课件
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形状 都是圆，但根据截平面与投影面的 相对位置不同，其截交线的投影可 能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
精品课件
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两水个平侧面平截面圆截球圆的球截的交截线 交的线投的影投，影在，俯在视侧图视上图为 上部为分部圆分弧圆，弧在，侧在视俯图视上 图积上聚积为聚直为线直。线。
精品课件
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
精品课件
精品课件
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置
★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
精品课件
例4：求左视图
● ● ● ●
精品课件
例4：求左视图
精品课件
例5：求俯视图
精品课件
例5：求俯视图
精品课件
2.圆锥体
⑴ 圆锥体的组成
由圆锥面和底面组成。
⑵ 圆圆锥锥体面的是三由视直线图SA绕
第三章
圆柱、圆锥及其截交线
精品课件
3.2 基本体的形成及其三视图
常见的基本几何体
平面基本体
曲面基本体
精品课件
4.1 回转体的截切
回转体截切的基本形式
截交线的性质： • 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线都是封闭的平面图形(直线或曲线)。
⑷ 圆锥面上取点
★辅助直线法 ★辅助圆法
s●
b k(n) a
b●
n s
●
k
a
精品课件
O
●
O1 ●s
●(n●b) k
a 如过何锥在顶圆作锥面 一圆上条的作素半直线径线。？？
3.圆球
⑴ 圆球的形成
圆母线以它的 直径为轴旋转而成。
⑵ 圆球的三视图
k
⑶个 圆和，轮面圆 它廓三可球 们个线见的 分视的性直 别图投的径是分影相圆判别等球与断为的三曲三 ⑷个方圆向球轮面廓上线取的投点影。
截平投影面为与圆圆呢柱？轴 线成45°时。
精品课件
例例52：求左视图
虚实分界点
同一立体被多个 平面截切，要逐个 截平面进行截交线 的分析和作图。
精品课件
例3：求左视图
●
解题步骤：
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
●
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
●
★分析圆柱体轮廓素线的投影
精品课件
例3：求左视图
7” ●
● 2”
●
5”
截交线的已知投影？
截交线的侧面投
6●
●8 ★找影特是殊什点么形状？
★补充中间点
★光滑连接各点
★分析轮廓素线的投影
●
●
5
7
精品课件
例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
精品课件
椭圆的长、短 轴随截平面与圆 柱轴线夹角的变 化而改变。
45°
什么情况下