应力波复习资料(修改)

v
X
复习内容: 概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强 间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断 面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot 弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热 线；
主要内容：
一、Lagrange 方法推导一维应力纵波的波动方程。

解
在Lagrange 坐标中建立图示一维应力波长度为 dX 的微元的受力图，截面X 上作用 有总力F(X,t),截面X+dX 上作用有总力
解之，有
v
0A 0 dX t
而F(X,t)
A 。

，故上式可以化为
(a)
对于一维应力纵波，()
则 d
°
C 2d
代入(a)式,可得
C 2
F(X+dx,t),有
F(X,t) F(X,t) dX
F(X dX)
根据牛顿第二定律，有
v o A o dX F(X
dX) F(X,t)
(b)
X X+dX
C
v
因为v u , t
程：
——,代入(b)式，则得到了一维应力波在Lagrange 坐标系中的波动方
X
2 2
u 2
U c 2 C 2 0
t 2
X 2
用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系
v
v
x x v 2
v ) c ——0 x x
解之，得C ，(为…’即特征线的微分方程为：
将其积分即可得到特征线方程。

由(a)式,整理有
dv
v — x v v -
x (1 )c 2
—dv
—dv
c
,①X 入+②，其中 解：
对一阶偏微分方程组进行线性组合 [v (1 )c 2] [
(1
x t 根据特征线求解方法，
特征线特征方程为
为待定系数，整理可得:
v v )v]
(a)
x
t
2
(dx) v (1 )c (dt )
(1 )
1
(1) t
(v
解:对一阶偏微分方程组进行线性组合, (v C 2)——
X 根据特征线求解方法，特征线特征方程
为
①X 入+②其中 为待定系数,整理可得:
v) v
v 0 (a)
dx
(即
v c 2
dx (v
c)dt
d dt
dt 值代入上式，可得特征线上的相容关系。