利用矩阵理论详细推导MIMO信道容量

利用矩阵理论详细推导MIMO 信道容量摘要 多输入多输出(MIMO)技术被认为是现代通信技术中的重大突破之一，以其能极大增加系统容量与改善无线链路质量的优点而受到了越来越多的重视与关注。

通信信道容量是信道进行无失真传输速率的上界，因此研究MIMO 的信道容量具有巨大的指导意义。

本文把矩阵理论知识与MIMO 技术信道容量中的应用紧密结合，首先建立了MIMO 信道模型，利用信息论理论和矩阵理论详细推导出MIMO 信道容量。

并得出重要结论。

关键词： MIMO ；信道容量；奇异值分解一、 引言MIMO Multiple Input-Multiple Output)是指在通信链路的发送端与接收端均使用多个天线元的传输系统,它能够将传统通信系统中存在的多径因素变成对用户通信性能有利的因素,从而成倍地提高业务传输速率。

矩阵理论在通信，自动控制等工程领域里应用广泛，而通信的难点在于信道的处理，因此，矩阵理论与无线信道的研究是一个很好的切入点。

目前，MIMO 技术的信道容量和空时编码，空时复用等技术都离不开矩阵理论的应用。

二、 利用矩阵理论详细推导MIMO 信道容量1) MIMO 信道介绍MIMO 是多输入多输出系统，当发送信号所占用的带宽足够小的时候，信道可以被认为是平坦的，这样，MIMO 系统的信道用一个R Tn n ⨯的复数矩阵H 描述，H 的子元素,j i h 表示从第(1,2,...)R j j n =根发射天线到第(1,2,...)T i i n =根接收天线之间的空间信道衰落系数[1]。

如下图所示：111212122212T T R T R R n n n n n n H h h h h h h h h h ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2.1)每个符号周期内，发送信号可以用一个1T n ⨯的列向量12[]T Ti n x x x x x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅表示，其中i x表示在第i 个天线上发送的数据。

同时，用一个1R n ⨯的列向量12[]R Ti n y y y y y =⋅⋅⋅⋅⋅⋅表示，其中i y 表示在第i 个天线上发送的数据。

对于高斯信道,发射信号的最佳分布也是高斯分布[1]。

因此,x 的元素是零均值独立同分布的高斯变量。

发送信号的协方差可以表示为：{}H xx R E xx =(2.2)发送信号的功率可以表示为()xx P tr R =(2.3)接收信号和噪声可以分别用两个1R n ⨯的列向量y 和n 表示。

其中信道噪声是加性噪声，服从循环对称复高斯分布，并且与发射信号x 不相关，假设n 均值为0，功率为2σ。

噪声的协方差为：2R H nn n R E nn I σ⎡⎤==⎣⎦(2.4)通过这样一个线性模型，接收信号可以表示为y Hx n =+ (2.5)接收信号的协方差可表示为()()[]2[]RH yy HH H H H HH xx n R E yy E Hx n Hx n HE xx H E nn HE xn H E nx HR H I σ=⎡⎤=++⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+(2.6)因为x 与噪声n 不相关，所以[]0HE xn E nx ⎡⎤+=⎣⎦。

2) MIMO 信道容量一般公式推导下面根据信息论知识，我们对MIMO 信道容量做一般性推导。

在下面的推导过程中我们假设信道矩阵H 在接收端已经完全已知，但是它是随机的，因此我们可以得到瞬时信道容量为：[1]()()()max ,Xx C H I x y ƒ=(2.7)其中，(),I x y 是在已知信道H 的情况下输入x 与输出y 之间的互信息量，有：()()(),|I x y H y H y x =-(2.8)其中，()H y 是y 的信息熵（微分熵），定义：2()()log ()H y p y p y =-∑，其中()p y 是y 的概率（概率密度）。

()H y 是y 的差分嫡，(|)H y x 是给定x 条件下y 的差分嫡，由于发送信号与噪声之间是独立的，因此有(|)()H y x H n =[1]，所以上式可以重新写为：()()(),I x y H y H n =-(2.9)由于噪声概率密度函数确定，所以()H n 为定值，当信道为加性高斯信道时，信源x 服从高斯分布时此时接收信号y 也服从高斯分布，根据信息论理论，此时(,)I x y 取最大，即为信道容量。

此时y 和n 的信息熵分别为：[1]{}212()log det yy bit H y eR π⎡⎤⎣⎦= (2.10){}2212()log det R n bit H n e I πσ⎡⎤⎣⎦= (2.11)所以我们可以得到信道瞬时交互信息(,)I x y ，也即信息容量为：{}222222221()log det /det 21log det ()/det 21log det 2R R R R R yy n H xx n n n H xx n C H eR e I HR H e I I e I HR H I bit ππσπσπσσσ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎡⎤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎧⎫⎡⎤⎪⎪=+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭(2.12)工程中一般定义信道容量为单位时间内的平均互信息，故定义MIMO 的信道容量：[2]()1C C H T=(2.13) 其中T 为一个符号周期，根据采样定理，(1/)2T B ≥，其中B 为信号带宽，取(1/)2T B =，代入（2.13）式，得：[2]22log det /R H xx n HR H C B I bit s σ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭(2.14)这即是MIMO 的信道容量一般公式。

3) 奇异值分解计算MIMO 信道容量对于MIMO 无线信道，信道是极其复杂的。

因此原始的信道矩阵也就显得复杂，不便于分析，而且一般矩阵不经过处理计算行列式很困难。

这就自然想到在信源端对发射信号做某种预处理，使得经过预处理的信号经过的信道变得简单易分析，而且具体实现也变得简单。

对于信道矩阵来说，对角矩阵是最简单的，所以自然就想到把信道矩阵分解，利用矩阵理论中的奇异值分解可以达到这种目的。

下面就矩阵的奇异值分解来计算MIMO 的信道容量。

由奇异值分解理论,任何一个R Tn n ⨯的矩阵H 可以写成：[3]H H UDV = (2.15)式中，D 是R T n n⨯的对角阵，其对角非零元素模值为H 的正奇异值，U 和V 分别为R Rn n ⨯和T Tn n ⨯的酉矩阵。

把公式（2.15）代入公式（2.5），得：H y UDV x n =+(2.16)公式（2.16）两边同时左乘酉矩阵H U ，利用H Rn U U I =，同时令Hy U y =，Hx V x =即对信源信号x 进行预编码，Hn U n =，得：[3]y Dx n =+ (2.17)根据矩阵理论，矩阵HHH 的特征值为非负数，非零特征值的个数等于矩阵H 的秩，用r 表示，对于R Tn n ⨯的矩阵H ，秩的最大值min(,)R T m n n =H （2.17）得：(1,2,...)i i i y n i r =+=(2.18)(1,...)i i R y n i r n ==+(2.19)式（2.19）显示，接收元素(1,...)i R y i r n =+并不依赖于发射信号，即信道增益为零。

另一方面,接收元素(1,2...,)i y i r =仅仅取决于发射元素i x ，因此,可以认为,通过式（2.18）和（2.19）得到的等效MIMO信道是由个去耦平行子信道组成的[4]。

其信道增益为矩阵H 的奇异值。

可以进一步推导出i y ，i x ，和i n 的协方差和迹：,,H H H yy xx nn y y xx nn R U R U R V R V R U R U ===(2.20)()(),()(),()()yy xx nn y y xx nn tr R tr R tr R tr R tr R tr R ===(2.21)对于接收端已知信道参数，发射端未知，发射端平均分配功率的MIMO 系统。

设发射端发射总功率为T P ，则每个天线发射功率为/T T P n ，此时{}H Txx T Tn P R E xx I n ==(2.22)根据式（2.20）得：H Txx x x T Tn P R V R V I n ==(2.23)然后把根据（2.15）算出H HH 后和（2.23）代入MIMO 信道一般公式（2.14）得：221log (1)/ri Ti TP C B bit s n λσ==+∑ (2.24)式（2.24）可以看出,MIMO 链路的信道容量很大程度上取决于H 的秩r 。

矩阵的秩越大，容量也越大。

所以，MIMO 正是利用无线信道的多径效应使相距超过半个波长的天线尽量不相关，从而使信道矩阵秩越大，进而在不增加带宽和发射功率的情况下增加系统容量。

[4]下面我们说明信道容量是如何与信道矩阵H 相关的。

令min(,)R T m n n =为矩阵H 的秩，定义：,,H R THR TH H n n Q HH n n ⎧>⎪=⎨<⎪⎩ (2.25)设(1,2,...)i i m λ=是Q 的特征值，则：1det()()mm i i I Q λλλ=-=-∏(2.26)用2T T n P σ-代替（2.26）中的λ，得：221det()(1)mi TT m i T T p P I Q n n λσσ=+=+∏ (2.27)把式(2.27)代入式（2.24）得平均功率分配的MIMO 信道容量：22log [det()]/T m T P C B I Q bit s n σ=+(2.28)当Tn 逐渐增大，使得1m TQ I n →，此时，可以得到信道容量的近似表达式：22log (1)/TP C Bm bit s σ=+(2.29)由此可以看出当发射天线数目很多时,信道容量随m 的增大而线性增大,也就是说可以在不增加带宽和发射功率的情况下成倍的提高信道容量。

参考文献：1 梁毓锋.MIMO无线通信系统的信道容量分析:[D].大连:大连海事大学，20082 Thomas M.Cover，Joy A.Thomas（著），阮吉寿，张华（译）.信息论基础[M].北京:机械工业出版社,20093 孙丹，张晓光.MIMO系统信道容量研究[J].现代电子技术,2006(19):4-64 刘冰.MIMO系统的信道容量分析[J].微计算机信息,2005,21(12-3):129-131。