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四色猜想是什么[四色猜想的启示]
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四色猜想是什么[四色猜想的启示]在我们的生活中地图的重要性自然不用多说。
可是，在绘制地图时，相邻的不同区域最好涂上不同的颜色以示区别。
这样的地图看起来花花绿绿，只是不知你有没有注意过，不论一张地图上的行政区划有多么复杂，只要使用四种颜色着色，就可以保证将它们清清楚楚地区分开来(即任何相邻的两个地区颜色不会重复)。
这个问题到了数学家手里，就变成著名的四色猜想(也称四色问题)。
数学家从节约的角度考虑，任何地图，使得相邻的地区涂上不同的颜色，至少得用多少种颜色呢?四色问题或者四色猜想的结论是：四色足够!百年拼搏史说起来，这个问题可能有许多人发现过，但是第一个明确记录在案的是刚从伦敦大学毕业不久的英国青年弗兰西斯・葛斯瑞。
1852年，他给一张英国地图着色时发现，四种颜色足够。
他于是猜想对任何地图也是如此。
他把这个想法告诉正在伦敦大学学习的弟弟弗雷德里克，他弟弟当然解决不了这个问题，于是向他的老师、著名数学家德・摩尔根请教，他也不能解决这个问题，便于1852年lO月23日写信给当时最伟大的科学家哈密顿，这成为四色问题第一个人历史文献。
不过，哈密顿对这类好像数学游戏的问题不太感兴趣，德・摩尔根于是继续宣传，直到另一位英国数学家凯莱于1878年在皇家学会上正式提出并在《皇家地理学会会报》上发表，这才引起人们对四色问题的广泛重视。
各国数学中心和数学杂志都收到大量的错误证明，就如同以后的费马大定理和哥德巴赫猜想一样。
正如许多这类提法简单而证明极为困难的大猜想一样，大量的“证明”完全离谱，但也有的包含可贵的思想，当然这些思想只能来自有数学训练的人。
1879年，剑桥大学三一学院数学毕业生肯普先在《自然》杂志，后在《美国数学杂志》上发表四色猜想的证明。
然而到1890年，一位大学数学讲师希伍德指出肯普的“证明”中有一个漏洞，然后，他应用肯普的方法给出一个定理――五色定理，也就是五色足够。
尽管四色定理没有得到证明，肯普和希伍德对于后来图论的发展都作出决定性的贡献。
小学数学数学故事彻底解决“四色问题”
彻底解决“四色问题”地图“四色问题”（又称“四色猜想”）最早由英国大学生法兰西斯?古特里（Francis Guthrie）于1852年在绘制地图时发现，他却找不出科学肯定的证明就去请教他在伦敦大学读书的哥哥费特里克?古特里（Frederick Guthrie）。
兄弟俩搞了好些日子还是证明不了，就由哥哥去向伦敦大学的老师、当时非常著名的数学家奥古斯都?德?摩根（Augustus de morgan）请教，摩根教授当时也证明不了，就至函他在三一学院的好友――著名数学家威廉?哈密尔顿（William Rowan Hamilton），希望他能帮助证明。
可哈密尔顿对这个问题研究了十三年，到死也没能给出证明。
自从1879年至今全世界不断有人提出证明了“四色问题”，可是都叫人难以信服，不断又被别人否定，至今这个“四色问题”仍与“哥德巴赫猜想”及“费马最后定律”一起被全世界公认为数学史上最著名的三大难题。
本人2004年夏天刚接触到“拓扑学”，试着用“拓扑学”的方法去分析“四色问题”，只化半小时左右时间就证明了“四色问题”。
我写的《关于“四色问题”的证明》（以下简称《证明》，可在电脑中文搜索栏打入“四色问题”或作者姓名“焦永溢”查看）2004年底在许多数学网站上刊登出来后，看了的人很多认为非常正确；但也有一部分不明白的人认为证明了“相互间有连线的点不多于四个”并不是证明了“四色问题”，他们认为四点相互间有连线只是平面图上的局部现象，不能代表整个平面图，还提出比如中间一个点周围五个点的图形并没有四个点之间相互有连线却也要四种颜色。
可我在这里要再强调一下：《证明》中三个定理概括讲就是“三点必闭，四点必围，五点必断”，并没有说一定要四点相互间有连线才需四色，证明“四色问题”关键在于“五色必断”。
《证明》中分析了第五点E落在封闭图形ABC以内及以外的情况，也提到了第五点若落在连线上必定会隔断这条连线，只是没有把隔断的情况用图画出来，其实一画出来也是与另两种情况一样：三点包围一点，另一点又被小的封闭图形所包围。
图论五色问题四色问题
总结： 地图着色问题是图论的一个经典问题， 一个多世纪以来一直被许多数学家 关注着，五色定理的正确证明已经被数学家给出了，所以本文只是稍作整理； 但 是通过我的查阅发现， 除了 Appel 和 Haken 用计算机给出的证明以外， 四色定理 好像没有其他被公认是正确的证明，我只能给出关于四色定理证明的一些想法， 可能并不正确， 但是通过对这个问题的研究，我确实学到了很多图论方面的有趣 的知识。
二、着色问题 定义 2.1（顶点着色） ：给图 G 的每个顶点指定一种颜色，使得任何两个相邻的 顶点颜色均不同。如果用 k 中颜色对图 G 进行顶点着色，就称对图 G 进行了 k 着 色， 也称 G 是 k -可着色的， 若 G 是 k -可着色的， 但不是 (k 1) -可着色的， 则称 G 是 k 色图，称这样的 k 为图 G 的色数，记为 (G) 。 定义 2.2（边着色） ：给图 G 的每条边指定一种颜色，使得任何两条相邻的边颜色 均不同。如果用 k 中颜色对图 G 进行边着色，就称对图 G 进行了 k 边着色，也称
五色定理的证明： 五色定理：每个可平面图是 5-可着色的。 证明：设 G 是一个有 n 6 个顶点和 m 条边的平面图，用归纳法证明，先假设每 个具有少于 n 个顶点的平面图是 5-可着色的，由推论 1.4 有：
d (G )
2m 2(3n 6) 6； n n
设 v G 是定点度不大于 5 的顶点，由归纳假设知，图 H : G v 存在一个顶点着 色 V ( H ) {1, ,5} 。如果 v 的邻点最多用了 4 种颜色，那么 c 可以扩充为图 G 的 一个 5-可着色。 所以我们可以假设顶点 v 恰有 5 个邻点， 且每个邻点着不同颜色。 设 D 是一个足够小的包含 v 的开圆盘， 使得它只与 v 关联的五条边的直线段相交。 我们按照这些线段在 D 中的循环位置列举为 s1 , , s5 ，并且假设 vvi 是包含 si 的边 （ i 1, ,5 ）如下图，不失一般性地，我们可以假设对于每个 i ，有 c(vi ) i 。 我们首先证明每条 v1 v3 路 P H 把 H 中的 v2 和 v4 分开。显然，这个结论成立当 且仅当在 G 中的圈 C : vv1 Pv3v 把 v2 和 v4 分开，我们可以通过说明 v2 和 v4 在 C 中
数学经典问题-四色问题
数学经典问题·四色猜想世界近代三大数学难题之一――四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。
不久，泰勒的证明也被人们否定了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。
于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。
1950年，有人从22国推进到35国。
1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
看来这种推进仍然十分缓慢。
关于世界三大数学难题之四色问题的解决方法
关于世界三大数学难题之四色问题的解决方法四色问题本质上等价于一个二维平面内n个随机分布的点（n可以无穷大）中，最多有几个点，其中任意一点都可以与其他所有点直接（即:两点之间的直线上没有其他点）连线（注:其中的所有点或者所有的两个直接相连点要用不同颜色标记，如果两点之间的直线上有其他点，那么这两点就可以用同一种颜色来标记，从而不在本问题考察范围之内），这个系统最多有几个点的问题（这代表着最少用几种颜色）！我们非常直观的可以发现:最少可以由三个点构成一个三角形的形式，来实现三个点都两两直接连接，而且还可以发现这三个点有且只有构成一个三角形的形式才能实现两两直接连接！如果还有多于三个的点可以实现两两直接连接，很显然就必须在这个三角形的基础上来继续增加。
这时我们可以把三角形的三条边延伸，从而把三角形所处的二维平面分割成几个部分。
1:三条边所构成的直线上除了三个顶点之外如果有任意一点，都会导致一条线上有三个点，从而让其中两点无法直接连线，故而三条边所构成的直线上不会再出现除了三个顶点之外的任意点，可以与三个顶点都两两直接连线。
2:由一条边和另外两条边的延伸线所构成的三个凸行区域内，其中的任意一点与三个顶点连线，必然要与其中的一条边相交，从而让这条连线上的这个点与这个顶点无法直接连线。
故而，在这三个区域同样不存在可以与三个顶点两两直接连接的点。
3:由其中的任意两条边的延伸线所构成的三个夹角区域内，可以非常容易的证明每个区域有且只有一个点，可以使所有点都两两直接连接，而且这三个点不可以同时存在，只能有一个点存在。
如果有两个以上点同时存在，就会在两两直接连接时，出现至少一条相交线。
综上，我们就会发现在三角形外部有且只有一个点，可以与三个顶点相互两两直接连接。
4:三角形内部同样可以非常容易证明，有且只有一个点可以与三个顶点相互两两直接连接。
因为再多一个点与三个顶点连线，三条连线中就会必然有一条与顶点的连线与第一个内部点与三个顶点的连线中的一条线相交，从而让第二个内部点与这个顶点无法直接连接！故而内部有且只有一个点可与三个顶点直接相连！这样综上在三角形的内部，外部各有一个点，可以与三个顶点两两直接连接，但内部点与外部点不可以同时存在，因为这两个点无法直接连接。
四色图论——四色问题解的存在性及求解方法
分属 于两 个不 同区 域 ， 只有 边 界 线 为它 所 分 割 的
两个 区域 所 共有 ， 边 界 线 之外 的点 必属 于 且 仅属
四色 问题可 简 述 如下 ： 任 何 平 面 地 图都 可 用 ４种 颜 色着色 ， 使其相 邻 区域着 色不 同［ １ ］ ．
第５ ６ 卷第 ６ 期
２ ０ １ ６ 年１ １ 月
业 业 啦
大 连 理 工 大 学 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｄａ ｌ ｉ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖｏ １ ． ５ ６， ＮＯ． ６
引导 图论诞 生 的 四 色 问题 ， 具 有 不 同 于七 桥
于 一个 区域． 一般 边 界线 （ Ｊ ｏ ｒ ｄ ａ ｎ曲线 ） 分 割两 个
区域并 为它 们所共 有 ， 不关 心其形状 和长度 ； 边界 线 的两 个特 殊点 为 ３个或 ３个 以上 区域所 共 有 ， 这种 点称 为边界 线 的结点 ， 它没有形 状 与大小 ， 是 划分两 个 区域边 界 线 的 端点 （ 起 点 或终 点 ） ， 是 不 同边界 线 的交接 点 （ 这 里不讨 论 只有一 个 结 点 和 没有 结点 的边 界线 ） ； 结点 的 阶是交 于此 的边界 线 数， 用 表 示 ， 它也 是共 有 该点 的 区 域个 数 ， 显 然 有＿ 厂 ≥３ ， 结 点 的 阶 为 ３时特 别 称 为简 单 结 点 ； 区 域 的边界 线可 细 分 为 内边 界 线和 外 边界 线 两 种 ， 也可 以没 有 内边 界线 ． 区域 内边 界线 若 存在 则表 示 区域 内挖 了孔 洞 ， 且 不破坏 区域 的连通性 ， 内外
四色问题
四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界三大数学猜想之一。
四色定理是一个著名的数学定理，通俗的说法是：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
1976年借助电子计算机证明了四色问题，问题也终于成为定理，这是第一个借助计算机证明的定理。
【问题的提出】1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。
这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大叠，研究工作却是没有任何进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教，但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
从此，这个问题在一些人中间传来传去，当时，三等分角和化圆为方问题已在社会上“臭名昭著”，而“四色瘟疫”又悄悄地传播开来了。
【肯普的研究】1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。
大家都认为四色猜想从此也就解决了，但其实肯普并没有证明四色问题。
11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。
他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。
不久泰勒的证明也被人们否定了。
人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。
就是说对地图着色，用五种颜色就够了。
不过，让数学家感到欣慰的是，希伍德没有彻底否定肯普论文的价值，运用肯普发明的方法，希伍德证明了较弱的五色定理。
话说四色问题
话说四色问题——研究四色问题三十年之总结雷明（二○一六年四月三十日）31、关于统一地图着色规范的建议：（一）地图的以模式并不是一成不变的：实际的地球地图中的区划并不是固定不变的，而是处在不停的变动之中。
有时是由一个区划分成多个区划，如前苏联和南斯拉夫的解体，捷克和斯洛伐克的分治，南苏丹与苏丹的分裂，孟加拉国从巴吉斯坦独立出去，韩国与朝鲜的分治等等，都是从一个区划分成了多个区划；有时是由几个区划合并成一个区划，如南北越南的统一，两个德国的统一，原锡金并入印度版图，两个也门的统一等等，都是由几个区划合并成一个区划。
每变动一次，新出版的地图就得有一种新的着色模式，因此，地图的着色模式也不是一成不变的。
（二）关于统一地图着色规范的建议：现在市面上出售的地图中，除了海洋和南极洲以外，至少都用了五种以上的颜色。
而且不同时期出版的地图中，即就是行政区划没有发生变化，同一个区划也用的颜色不同；同一出版社出版的地图，用色也不相同；就是同一个出社不同时间、不同印次的地图，用色也是不同的；就连同一本地图册中，各页中同一区划所用的颜色也是不同的；等等。
这些都不利于地图的管理和印制地图过程中的计算机管理。
因此有必要对地图的用色进行统一的规范一下。
建议地图着色时，陆地国家采用红，黄，绿，灰四种颜色；海洋与湖泊用天兰色，南极洲、克什米尔和格陵兰岛用白色；共六种颜色。
同时把每个区划的颜色固定起来，只要行政区划数不发生变化，就不要轻易的变动。
但这首先要在国际间建立组织，进行统一协商，调整在国家级的区划发生变化时，世界范围内各国所用的颜色的变化问题，向世界各国发布新的世界地图的着色模式等。
当然各国也要有相应的组织。
32、关于“构形”的概念：证明四色猜测最开始时的1879年坎泊是采用的着色法，直到1976年阿贝尔的所谓计算机“证明”，还是采用的与坎泊同样的着色法，都是采用了坎泊所创造的颜色交换技术，来证明图的不可免构形集中的所有构形是否都是可约的。
四色猜想
COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
拓展了人们对“证明”的理解
• 由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯
和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从
根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学
家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
•
德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少
要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。
• 但德· 摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数
学家,其中包括著名数学家哈密顿。
• 但这个问题当时没有引起数学家的重视。 • 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后， 认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数 学会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才引起了
更大的注意。
• 1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上 发表论文，宣布证明了“四色猜想”。
• 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的 证明中有严重错误。
• 一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，
这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。 • 实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重 要,重要的是它们的相互位置。 • 下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看,
Hale Waihona Puke 四色问题的解决• 直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前
人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。
• 到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台
IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证
明了四色猜想。
• 这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时, 当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR
中国地图四色染色问题
中国地图四色染色问题LtD中国地图四色染色问题一、问题描述将中国地图用四种不同的颜色红、蓝、绿、黄来染色，要求相邻的省份染色不同，有多少种不同的方案？二、问题分析本文将中国地图的34个省、直辖市、自治区、以及特别行政区转化为图论中的图模型。
其中每个省、市、自治区、特别行政区用图中的一个结点表示，两个结点间联通仅当两个板块接壤。
那么问题转化为图论中的染色问题。
由于海南、台湾省不与其它任何省份相邻，所以如果除海南、台湾外如果有n种染色方法，那么加上海南和台湾省后，有4*4*n种染色方法。
下面考虑除海南和台湾后的32个结点的染色方法。
三、中国地图染色方法采用分开海南和台湾省的分析方法，一方面的原因是除海南和台湾后的32个结点，可以组成一个联通图，因为海南省和台湾省不和任何其它省份邻接。
另一方面，我们建立一个联通图模型后，染色问题可以用深度优先遍历算法DFS，或者广度优先遍历算法BFS来解决，由于该方法的时间复杂度较高，属于暴力法，少考虑两个省份可以减少计算机处理此问题的时间。
本文采用DFS算法来解决这个染色问题。
3.1 DFS算法简介DFS算法是图的一种图的深度遍历算法，即按照往深的地方遍历一个图，假设到一个分支的尽头，那么原路返回到最近一个未被遍历的结点，继续深度遍历。
DFS遍历的具体步骤可为下：1）标记图中所有结点为“未访问〞标记。
2）输出起始结点，并标记为“访问〞标记3）起始结点入栈4）假设栈为空，程序结束；假设栈不为空，取栈顶元素，假设该元素存在未被访问的邻接顶点，那么输出一个邻接顶点，并置为“访问〞状态，入栈；否那么，该元素退出栈顶。
3.2 染色问题中的DFS算法设计我们先对任一结点染色，然后用DFS从该结点出发，遍历该图，遍历的下一结点颜色染为与之相邻的结点不同的颜色即可。
如果该结点无法染色那么回到上一个结点重新染色，直到所有的结点都被染色即可。
最后统计染色种数。
染色问题的算法伪代码可以描述如下：color_DFS(当前染色结点):for i in 所有颜色{ while j的已染色邻接点if 结点j相邻接点被染成i颜色标记并breakif 未被标记{当前结点染为i色if 当前结点为最后一个结点endelsecolor_DFS(next)｝}3.3 数据结构设计为了实现DFS染色算法，我们需要设计相应的数据结构。
话说四色问题
话说四色问题——研究四色问题三十年之总结雷明（二○一六年四月三十日）（接上贴）41、把物理学中的“放电理论”和“电荷转移”理论用在图论中是不合适的：上面的38中我们已经说了，由于阿贝尔他们使用了计算机，给四色问题这个难题本身就更加披上了一件神秘的外衣，而他们又把物理学中的“放电理论”和“电荷转移”理论用到了“产生”和“证明”不可免构形的过程中，就更加使四色问题神秘化了。
阿贝尔说：“如果对于每个k度顶点（即是有k个邻国），我们给它一个荷数6－k，那么度数大于6的顶点（称为主要顶点）就得到负的荷数，只有5度顶点才有正荷数。
从肯普的工作可见，任何三角剖分的所有荷数之和正好是12。
”这就是我们在前面14中证明地图的不可免集时得到的公式∑（6－i）f i＝12。
接着阿贝尔又说：“12这个具体的和数并不很重要。
非常重要的是：对于每一个三角剖分而言，这个荷数和是正的。
”阿贝尔画了一个图9，是一个所有顶点的度都大于等于5的图，来说明公式∑（6－i）f i＝12是正确的。
并再一次定义了“一个顶点的‘荷数’定义为6减去该顶点的度数。
”又说：“不难证明；任何地图的总荷数都等于12。
这个事实蕴涵：我们证明四色定理时所涉及的每个平面三角剖分中均存在正荷数顶点。
”从字面上看，这些还都是能够理解的。
阿贝尔接着说：“现在假设，这样一个三角剖分中的所有荷数被重新分配，但是搬来搬去并不丢掉或增加整个系统的荷数。
特别是，假定正荷数从某些正荷（5度）搬到某些负荷（主要）顶点。
这些运算肯定不可能改变荷数的（正）和数，但是具有正荷数的顶点却可能改变；例如某些5度顶点可能失掉正荷数（成为去荷顶点），而某些主要顶点却可能取得这样多的荷数，结果它们具有正荷数（成为超荷顶点）。
不同的顶点按照所选的去荷手续或重新分配手续而成为去荷顶点或超荷顶点。
”“在证明四色定理时，这种对正荷数顶点去荷的目的是要找出一手续，恰当的说明如何移动荷数，以保证在产生的构形中每个正荷数顶点要么属于一个可约构形，要么与之相邻。
地图四色问题
地图四色问题《人民日报》发表了一篇中国著名科学家钱学森所撰写的文章：《现代科学技术》。
这是一篇出色的文稿，对于了解中国科学技术现代化会往什么方向前进，该文作了不少的披露。
数学爱好者都会注意到钱学森在文章中所提的一件事：“去年数学界哄动一时的一件事，是用电子计算机证明了数学上的四色定理。
画地图要求相邻两国不用同一色，一幅地图只需要四种颜色。
要证明这个定理很难，数学家经过上百年的努力，证明不了。
去年美国数学家用电子计算机证明了。
他们看到这个问题要证明并不是不可能，而是证明的步骤、程序很复杂，人一辈子的时间也证不完。
他们把程序编好，交给高速的电子计算机去干。
高速电子计算机也用了一千多个小时才证出来。
美国数学家认为，他们的主要贡献不是在证明了四色定理，而在运用电子计算机完成了这件人没有能够完成的事。
”“地图四色问题”在钱学森的文章里已经清楚地解释了。
你大概会很惊奇，这甚至连懂得拿起彩笔涂鸦的小孩都会发觉到的问题，确是一个数学问题吗？是的，这是一个数学上著名的难题，许多大数学家曾经尝试想去解决它而不成功，可是这个问题看来又是那么容易明白，好像谁都可以很快解决它似的。
我在这里要介绍这个问题的来源，以及美国数学家解决它的经过。
害怕数学的读者不必顾虑，我的解释都很浅白，相信你是会看懂的。
问题的来源在1852年，英国有一个年青人叫法兰西斯·古特里，他在画英国地图涂颜色时发现：如果相邻两国用不同颜色涂上，地图只需要四种颜色就够了。
他把这发现告诉他念数学的哥哥费特里，并且画了一个图给他看。
这个图最少要四种颜色，才能把相邻的两部分分辨，颜色的数目再不能减少。
他的哥哥相信弟弟的发现是对的，但是却不能用数学方法加以证明，也解释不出其中的道理。
这年10月23日，费特里拿这个问题向伦敦大学的数学教授奥古斯都·德·摩根请教。
德·摩根是当时英国著名的数学家，他也不能马上解释。
他于当天写一封信给在三一学院的好朋友威廉·哈密尔顿。
高三叙事作文：四色问题_3950字
四色问题_3950字四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。
”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。
汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”。
如为正规地图，否则为非正规地图。
一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。
四色问题与邻接矩阵
四色问题与邻接矩阵1. 引言四色问题是图论中的一个经典问题，它要求给定一个地图，如何用最少的颜色对地图上的每个区域进行着色，使得任意相邻的区域颜色不同。
这个问题最早由英国数学家弗朗西斯·戈斯特提出，并在1852年被正式命名为“四色问题”。
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它将图中的顶点和边分别表示为矩阵的行和列，并使用0和1来表示是否存在边。
在解决四色问题时，邻接矩阵可以帮助我们理清地图上各个区域之间的关系，从而找到最少的颜色方案。
本文将详细介绍四色问题以及如何使用邻接矩阵解决该问题。
首先，我们将介绍四色问题的背景和相关概念；然后，我们将介绍邻接矩阵的基本概念和构造方法；最后，我们将结合实例演示如何使用邻接矩阵解决四色问题。
2. 四色问题2.1 背景四色问题是一个关于地图着色的问题，它最早由英国数学家弗朗西斯·戈斯特提出。
该问题的背景是，给定一个地图，如何用最少的颜色对地图上的每个区域进行着色，使得任意相邻的区域颜色不同。
2.2 相关概念在讨论四色问题之前，我们需要了解一些相关概念：•地图：地图是一个由若干个区域组成的平面图形。
每个区域代表一个特定的地理区域，如国家、省份或城市等。
•着色：着色是对地图上的每个区域分配一种颜色。
在四色问题中，我们希望用尽可能少的颜色对地图进行着色。
•相邻：两个区域被称为相邻区域，如果它们在地图上有公共边界，并且没有其他区域将它们分隔开。
2.3 四色猜想根据经验观察，人们普遍认为任何一个平面地图都可以使用四种颜色进行着色。
这就是著名的“四色猜想”，即任何平面地图都可以用四种颜色进行合理的着色。
然而，在数学上证明这个猜想并不容易。
直到1976年，美国数学家肯尼思·阿普尔和沃尔夫冈·哈肯提出了一种新的证明方法，他们使用了计算机来验证大量的特殊情况，并最终证明了四色猜想的正确性。
3. 邻接矩阵3.1 基本概念邻接矩阵是一种表示图的方法，它使用一个二维矩阵来表示图中各个顶点之间的关系。
四色问题与五色定理
四色问题与五色定理摘要：1852年一位伦敦的大学生替他的哥哥向数学家De Morgan提出了一个问题：任何一张地图是否仅需要四种颜色即可将所国家着色，并且所有相邻的国家具不同的颜色？这就是著名的四色问题或四色猜想。
时隔一百多年后的1976年，美国伊利诺斯大学的两位教授Appel和Haken利用计算机肯定了四色猜想的正确性，但是数学家寻求“人工”证明至今未果，这真是对人类智慧的考验。
本报告将用十分钟的时间介绍四色问题的历史和图论方面的一些基本知识，以及五色定理的证明过程。
希望大家在讨论班上度过一个愉快的周五下午。
本报告的内容主要根据文献[1]编写。
1. 四色问题的历史1852年10月23日英国数学家Augustus de Morgan写信给三一学院的友人数学家William Rowan Hamilton，信中写道：“我的一个学生今天要我为他提供一个充分的理由，来说明一件我自己还无法判明究竟是对还是错的事实。
他说，如果画一张图，图上任意分成许多部分，凡是有共同边界线的两个部分都要涂上不同的颜色，那么，大概需要四种颜色，而不需要更多的颜色就可以了。
请问：难道不能够构造出一个需要五种或者更多种颜色的图吗？”这就是所谓的四色问题，可惜Hamilton并没有重视这个问题。
二十六年之后，在1878年6月13日的伦敦数学会上，数学家Cayley正式提出了四色问题。
这个问题引起了很多人的兴趣，包括很多业余爱好者，其中有师律出身的Kempe和法国文学教授Mayer等。
Kempe曾声称自己已经解决四色问题。
后来不久，就被当时才二十多岁的Heawood指出其证明中的漏洞。
Heawood一生研究四色问题共六十年，发表过几篇重要的论文，虽然没有最后解决四色问题，却证明了五色定理(1890)，又称Heawood定理。
1913年美国数学家伯克霍夫发现一些新的可约构形。
1968年挪威数学家奥雷等人证明了用四种颜色一定可以把不超过四十个国家的地图着色，推进了四色问题的研究。
四色问题的彻底解决——文中的辩证唯物主义思想
四色问题的彻底解决——文中的辩证唯物主义思想摘要】本文宗旨在于使“四色问题”的证明更公理化、系统化、严密化和科学化。
并把证明上升到辩论唯物主义即马克思主义的辩证法哲学的高度，因为唯物辩证法是辩证法思想发展的高级形态。
(我们在证明时用到了，对立统一即矛盾规律，量变到质变的规律和否定之否定规律)同时为了说明问题也深入到现象与本质的关系，因果关系，必然与偶然的关系以及时空观等一系列的基本范畴。
我们更要指出在研究“四色问题”的界的探讨时的一个逼近序列就是以我们中华民族的汉字“田”字为基本单位而加倍展开的没有哪个国家或民族的文字中有“田”字。
这就说明中华民族的文明中早就蕴藏着“四色问题”的基本原理，只不过也吸收了别个国家的文明发扬而光大之。
【关健词】“四色问题”“五色问题”，贯穿曲线，欧拉(Euler)公式Four-color solvethe problem - the text of dialectical thinkingHu Hanlin【Abstract】This article aims to make “four-color problem” proved to be more axiomatic, systematic, rigorous and scientific. And rose to the debate proved that the Marxist materialist dialectics of philosophy and the high, because the development of dialectical materialism is a dialectics of senior form of thinking. (We use certificates,and the unity of opposites or contradictions in the law of quantitative change to qualitative change in the law and the law of negation of negation) To illustrate the problem at the same time into the relationship between the phenomenon and essence, a causal relationship, the relationship between the inevitable and accidental, as well as Space and Time a series of basic areas such as.We also want to point out that in “four-color problem” of the co mmunity an approximation sequence at the time of the Chinese nation is the characters “Tian” and the word for the basic unit of the vote to redouble Which country or nation in the Text “field”word. This shows that the civilization of the Chinese nation has long been hidden in a “four-color problem” of the basic principles, but also absorbed in other civilized countries have made Yang of the China Everbright.【Key words】“four-color problem”; “colored problem”; throughout the curve; Euler (Euler) equation多元一次不定方程，多元一次齐次不定方程，非负整数解，容斥原理、匹配原理，藕合问题、错位问题。
四色问题
1834年，哈密顿发表了历史性论文“一种动 力学的普遍方法”，成为动力学发展过程中的新 里程碑。 在对复数长期研究的基础上，哈密顿在1843 年正式提出了四元数(quaternion)，这是代数学 中一项重要成果。 由于哈密顿的学术成就和声望，1835年在都 柏林召开的不列颠科学进步协会上被选为主席， 同年被授予爵士头衔． 1836年，皇家学会因他在光学上的成就而授 予皇家奖章． 1837年，哈密顿被任命为爱尔兰皇家科学院 院长，直到1845年。1863年，新成立的美国科 学院任命哈密顿为14个国外院士之一。
11己的精确计算指出了肯普在 希 证明上的漏洞。 他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具 有五个邻国的理由有破绽。人们发现他们实际 上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是 说对地图着色，用五种颜色就够了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但 一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的 题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基 本上是按照肯泊的想法在进行。 1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫 利用肯泊的想法，结合自己新的设想；证明了某些大 的构形可约。 后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以 下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推 进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可 以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这 种推进仍然十分缓慢。
四色问题的局限性 四色问题的
虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个 颜色着色，但是这个结论对于现实上的应用却相 当有限。现实中的地图常会出现飞地，即两个不 连通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的 阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两 个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个 颜色将会是不够用的。
【资料】选修课之四色问题汇编23页PPT
活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
【资料】选修课之四色问题汇 编
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
END
话说四色问题
话说四色问题——研究四色问题三十年之总结雷明（二○一六年四月三十日）（接上贴）25、应该用不画图不着色的方法证明四色猜测：以后还会不会再出现象赫渥特构造了他自已不可4—着色的图，否定了坎泊；会不会再出现象米勒也构造了他自已不可4—着色的图，否定个他企图用“颠倒法”解决四色问题的想法。
这可很难保证。
但老是这样反反复复的，那么四色猜测什么时间才能得以证明是否正确呢。
所以我认为，这种用着色的方法来证明四色猜测，是属于穷举法之列，是不科学的。
科学的方法应该是用图论的方法，不画图不着色的纯理论的证明方法。
这种方法有没有，能否证明四色猜测的正确与否，我们来分析如下：图着色时，相邻顶点要求着不同的颜色，而不相邻顶点着了相同的颜色则是符合要求的。
把图中不相邻的顶点同化（收缩）在一起，最终一定可得到一个顶点数不能再少的完全图，这就是图的最小完全同态。
由于图的最小完全同态的各个顶点都是由原图中不相邻的顶点同化而来，是代表着若干个不相邻的顶点的，而这些顶点着相同的颜色也是完全可以的。
由于完全图的色数就等于其顶点数，所以说图的最小完全同态的顶点数就是原图的色数（哈拉里也得出了这样的结论）。
根据这一原理，我们只要证明了平面图的最小完全同态的顶点数是不大于4的，不就可以证明四色猜测是正确的了吗。
26、关于“同化”的理论并对四色猜测进行证明：一个图中至少有一个顶点数最多的最大团K n，把最大团的顶点数就叫图的密度。
那么，图的最小完全同态K N的顶点数N与最大团的顶点数n的关系是什么呢。
设图的某一最大团外对该最大团来说有一条饱和道路P n，即道路中的每个顶点都与最大团K n中的同一组的n－2个顶点相邻，道路的两个端点顶点又都与最大团中的另外两个顶点中的一个顶点相邻。
这样的道路就叫饱和道路（如图23，图中其他的顶点与边均未画出），因为在这样的道路与最大团间再增加任何边时，图的密度就会发生变大。
若饱和道路中的两个端点顶点与最大团中的那两个顶点分别相邻（如图23的左图），再若道路的顶点数是奇数时，道路中总有一个顶点化同不到最大团中去；若饱和道路的两个端点顶点都与最大团中的那两个顶点中的同一个顶点相邻（如图23的右图），再若道路的顶点数是偶数时，也总有一个顶点同化不到最大团中去。
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彻底解决“四色问题”
【编者按】：数学论文是科技论文的一种是用来进行数学科学研究和描述研究成果的论说性文章。
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地图四色问题(又称四色猜想)最早由英国大学生法兰西斯古特里(Francis Guthrie)于1852年在绘制地图时发现，他却找不出科学肯定的证明就去请教他在伦敦
大学读书的哥哥费特里克古特里(Frederick Guthrie)。
兄弟俩搞了好些日子还是证明不了，就由哥哥去向伦敦大学的老师、当时非常著名的数学家奥古斯都德摩根(Augustus de morgan)请教，摩根教授当时也证明不了，就至函他在三一学院的好友著名数学家威廉哈密尔顿(William Rowan Hamilton)，希望他能帮助证明。
可哈密尔顿对这个问题研究了十三年，到死也没能给出证明。
自从1879年至今全世界不断有人提出证明了四色问题，可是都叫人难以信服，不断又被别人否定，至今这个四色问题仍与哥德巴赫猜想及费马最后定律一起被全世界公认为数学史上最著名的三大难题。
本人2004年夏天刚接触到拓扑学，试着用拓扑学的方法去分析四色问题，只化半小时左右时间就证明了四色问题。
我写的《关于四色问题的证明》(以下简称《证明》，可在电脑中文搜索栏打入四色问题或作者姓名焦永溢查看)2004年底在许多数学网站上刊登出来后，看了的人很多认为非常正确;但也有一部分不明白的人认为证明了相互间有连线的点不多于四个并不是证明了四色问题，他们认为四点相
互间有连线只是平面图上的局部现象，不能代表整个平面图，还提出比如中间一个点周围五个点的图形并没有四个点之间相互有连线却也要四种颜色。
可我在这里要再强调一下：《证明》中三个定理概括讲就是三点必闭，四点必围，五点必断，并没有说一定要四点相互间有连线才需四色，证明四色问题关键在于五色必断。
《证明》中分析了第五点E落在封闭图形ABC以内及以外的情况，也提到了第五点若落在连线上必定会隔断这条连线，只是没有把隔断的情况用图画出来，其实一画出来也是与另两种情况一样：三点包围一点，另一点又被小的封闭图形所包围。
下面我再从第五点开始，接着第六点、第七点、第八点直到无穷多点的情况下证明四色永远足够。
为了使分析的图形更直观明了，可以换一个角度来看四点相互间有连线的图形：把封闭图形放在球面上，各点间距离均匀，拉直各条连线，图形就成了一个正三棱锥。
图1就是把ABC面当底，D点当顶点从上向下的俯视图，若把三棱锥翻一个面，比如将B点当顶点，ACD面就成了底面，所以外面三条线其实与里面三条线是一样的，图形的外面实际上就是三棱锥的底面，三棱锥的底面与三个侧面其实也是一样的。
这样任何第五点只有放在三个小三角形(侧面)中间及里面三条连线(棱线)上两种情况。
当第五点放在任一小三角形中间，显而易见这点只能与周围的三个点有连线(如图1中E点)，并且又把小三角形分隔成三个更小的三角形，这样只要第六点、第七点一直到任意多点都落在三角形中间，每一点都只能与包围它的三点有连线，所以无论有多少个点四色足够。
图1中的D点实际上已经变成了被周围的A、B、C、E、F五点所包围。
当第五点放在中间任一连线上时(如图2中E点所示)，E点成了三角形ABD与三角形ACD公共边AD中间的点，这样实际上形成了ABDE及ACDE两个四边形，而最大平面图中是不存在多边形的。
若E点与B点有连线，A点与D点从右边仍有连线，那么E点又变成了三角形ABD中间的点;若E点与C点有连线，A点与D点从左边有连线，那么E点又变成了三角形ACD中间的点;若E点与B点及C点都有连线，那么A点与D点的连线必被E点隔断，这就是《证明》中的五点必断，再看看这时整个图变成了E点被三角形ABC所包围取代了D点原来的地位，而D点反过来被三角形EBC所包围。
图2中的D点可看.成是侧面EBC中间的点，而A点翻过去成了底面EBC中间的点。
接下来第六点、第七点一直到任何多点都可落在任何一条公共边上，只要把这条公共边看成是三棱锥的一条棱，最后都会变成与上面的几种情况一样，形成大三角形里面包含小三角形，小三角形包含更小三角形这样可以一级级的无限延续下去。
所以最后可以肯定地说任何复杂的平面图都是由大小不等的三点包围一点图所组成，所以也就只要有四种颜色就足够能使有连线的点颜色不同。
这样简单的证明其实摩根教授在1860年就已经提出来，但马上又被他自己所否定，他主要是把中间一点周围五点的图看成是最大平面图，没有把五棱锥底面的五边形进行分割，所以也就看不到所有点都可变成被三点包围，这一疏略把这么简单的四色问题变成了千古难题，一百五十多年来肯定有许多人其实证明了四色问题，但都被摩根的这个否定给否定掉了。
否定我的《证明》的人其实也是与摩根教授一样的想法。
在这里我还要肯定地说：以前有人用穷举法借助电子计算机所谓的证明肯定是不完全的，图形的变化是无穷的，用成千上万的个例是根本无法去穷举完无穷数的。
就象七桥问题可以用穷举法证明，可是变成八桥、九桥、十桥无数桥的问题，难道也能用电子计算机去一一证明吗?
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