圆锥曲线近五年高考题(全国卷)
全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)
全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)1. 如图,直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l 1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程.(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足:①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围.2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率23=e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ;双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x -5y=0.(Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率;(Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若=. 求证:.0=•4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为αa.(1)用半焦距c表示椭圆的方程及tanα;(2)若2<tanα<3,求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆2222byax+(a>b>0)的离心率36=e,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为23(1)求椭圆的方程(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C D两点问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直角坐标平面中,ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ,)0,1(B ,平面内两点M G ,同时满足下列条件: ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB(1)求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程;(2)过点)0,3(P 的直线l 与(1)中轨迹交于F E ,两点,求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,,j i,为直角坐标平面内x 轴.y 轴正方向上的单位向量,若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=,且8||||=+b a(Ⅰ)求动点M(x,y)的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设曲线C 上两点A .B ,满足(1)直线AB 过点(0,3),(2)若OB OA OP +=,则OAPB 为矩形,试求AB 方程.8. 已知抛物线C :)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点,C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上,l 与C 交于不同的两点A 、B ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N (p ,0).(Ⅰ)求抛物线C 的方程; (Ⅱ)求实数p 的取值范围;(Ⅲ)若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线,试求Q 的短轴的端点的轨迹方程.9. 如图,椭圆的中心在原点,长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点,且|CD|=21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ,设λ=EC AE ,当4332≤≤λ时,求双曲线的离心率e 的取值范围.x10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上,且点A 是椭圆短轴的一个端点(点A 在y 轴正半轴上).若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC 的方程; 若角A 为090,AD 垂直BC 于D ,试求点D 的轨迹方程.11. 如图,过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点,点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ,证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=,过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线,求圆C 的方程.12. 已知动点P (p ,-1),Q (p ,212p +),过Q 作斜率为2p 的直线l ,P Q 中点M 的轨迹为曲线C.(1)证明:l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点; (2)若(1)中的其中一个公共点为A ,证明:AP 是曲线C 的切线; (3)设直线AP 的倾斜角为α,AP 与l 的夹角为β,证明:βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ,12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2,动点P 满足22|PF ||PF |21=,动点P 的轨迹为曲线C ,曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ,直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点,O 是坐标原点,△ABO 的面积为7,(1)求曲线C 的方程;(2)求m 的值。
2024_2025年高考数学真题分类汇编15圆锥曲线选填题
圆锥曲线小题一、选择题1.(2024年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点,P 为C 上一点,且121260,3F PF PF PF ∠=︒=,则C 的离心率为 ( )A B C D 【答案】A解析:因为213PF PF =,由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==, 所以2PF a =,13PF a =;因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒,整理可得2247c a =,所以22274a c e ==,即2e =.故选:A2.(2024年高考全国乙卷理科)设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,若C 上的随意一点P 都满意||2PB b ≤,则C 的离心率的取值范围是 ( )A .⎫⎪⎪⎣⎭B .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C .⎛ ⎝⎦D .10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C3.(2024年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p = ( )A .2B .3C .6D .9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ,由抛物线的定义知||122A p AF x =+=,即1292p =+,解得6p.故选:C .4.(2024年高考数学课标Ⅱ卷理科)设O 为坐标原点,直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点,若ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为 ( )A .4B .8C .16D .32【答案】B 解析:2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ,E 两点不妨设D 为在第一象限,E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为:1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值:8故选:B .5.(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0)左、右焦点分别为F 1,F 2P 是C 上一点,且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4,则a = ( )A .1B .2C .4D .8【答案】A解析:5ca=,c ∴=,依据双曲线的定义可得122PF PF a -=, 12121||42PF F PF F S P =⋅=△,即12||8PF PF ⋅=, 12F P F P ⊥,()22212||2PF PF c ∴+=,()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=,即22540a a -+=,解得1a =,故选:A .6.(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)设O 为坐标原点,直线2x =与抛物线C :22(0)y px p =>交于D ,E 两点,若OD OE ⊥,则C 的焦点坐标为 ( ) A .1,04⎛⎫⎪⎝⎭ B .1,02⎛⎫⎪⎝⎭C .(1,0)D .(2,0)【答案】B解析:因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点,且OD OE ⊥, 依据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=,所以()2,2D ,代入抛物线方程44p =,求得1p =,所以其焦点坐标为1(,0)2, 故选:B .7.(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C :2242x y -=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若=PO PF ,则△PFO 的面积为 ( )A .4B C .D .【答案】A【解析】由2,a b c ====,2P PO PF x =∴=,又P 在C 的一条渐近线上,不妨设为在b y x a =上,则2P y ==1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△,故选A . 8.(2024年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设F 为双曲线:C 22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ,Q 两点,若PQ OF =,则C的离心率为()( )A .2B .3C .2D .5【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ x ⊥轴,又∵||PQ OF c ==,∴||2c PA =, PA 为以OF 为直径的圆的半径,∴A 为圆心||2c OA =.∴,22c c P ⎛⎫⎪⎝⎭,又P 点在圆222x y a +=上,∴22244c c a +=,即222c a =,∴2222c e a==,∴2e =,故选A .9.(2024年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点,则p = ( ) A .2 B .3 C .4 D .8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆2231x y p p +=的一个焦点,所以232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得8p =,故选D .10.(2024年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -,2(1,0)F ,过2F 的直线与C 交于A ,B 两点.若222AF F B =,1AB BF =,则C 的方程为( )A .2212x y +=B .22132x y += C .22143x y += D .22154x y +=【答案】B解析:如图,设2BF t =,则212,3AF t BF t ==,由12122AF AF BF BF a +=+=,可得12AF t =,12AF AF =,所以点A 为椭圆的上顶点或下顶点.在1ABF △中,由余弦定理可得2222129491cos 12sin 2323t t t BAF OAF t t +-∠=-∠==⨯⨯,)的左、右OP ,则C 的离心率为 ( )A B .2CD【答案】C解析:法一:依据双曲线的对称性,不妨设过点2F 作渐近线by x a=的垂线,该垂线的方程为()a y x c b =--,联立方程()b y x aa y x cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩,解得2P Pab y c ax c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由22116PF PF OP =⇒=222222266a ab ab a c a c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⇒++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得42222240a a c c a b -++=即()422222240a a c c a c a -++-= 即4223c a c =即223c a =,所以23e =,所以e =C .法二:由双曲线的性质易知2PF b =,2OF c =,所以222OP c b a =-= 在2Rt POF ∆中,222cos PF bPF O OF c∠== 在12PF F ∆中,由余弦定理可得22221212212cos 2PF F F PF bPF O PF F F c+-∠==所以)222422b c bb cc+-=⋅,整理可得2222464b c a b =-=,即()222224633c a b c a -==-所以223c a =,所以e =C .12.(2024年高考数学课标Ⅱ卷(理))已知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>:的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为( )A .23 B .12 C .13D .14【答案】D解析:因为12PF F ∆为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,所以2122PF F F c ==,由余弦定理得1PF =,所以(2)P c ,而(,0)A a -,由已知AP k =,得4a c =,即14e =,故选D .13.(2024年高考数学课标Ⅱ卷(理))双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>线方程为( ) A.y = B.y =C.y = D.y = 14.(2024年高考数学课标卷Ⅰ(理))已知双曲线22:13x C y -=,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N .若OMN ∆为直角三角形,则MN =( )A .32B .3C.D .4【答案】B解析:双曲线22:13x C y -=的渐近线方程为:y x =,渐近线的夹角为:60,不妨设过()2,0F 的直线为:)2y x =-,则)2y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得3,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭;)23y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩解得:(3,N ,则3MN ==,故选B .15.(2024年高考数学课标卷Ⅰ(理))设抛物线2:4C y x =的焦点为F .过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点,则FM FN = ( ) A .5 B .6 C .7D .8【答案】D解析:抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ,过点()2,0-且斜率为23的直线为:324y x =+,联立直线与抛物线2:4C y x =,消去x 可得:2680y y -+=,解得122,4y y ==,不妨()1,2M ,()4,4N ,()0,2FM =,()3,4FN =,则()()0,23,48FM FN ==,故选D . 16.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点,过F 作两条相互垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于,A B 两点,直线2l 与C 交于,D E 两点,则AB DE +的是小值为( )A .16B .14C .12D .10【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,3344(,),(,)D x y E x y ,直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满意22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥= 当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号.17.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆2222:1x y C a b+=,()0a b >>的左、右顶点分别为1A ,2A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为( )A.3B.3C.3D .13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为原点,半径为R a =,该圆与直线20bx ay ab -+=相切所以圆心()0,0到直线20bx ay ab -+=的距离d R a ===,整理可得223a b =所以c e a ==3==,故选A .18.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点,则C 的方程为 ( ) A .221810x y -= B .22145x y -= C .22154x y -= D .22143x y -= 【答案】B【解析】由渐近线的方程y x =,可设双曲线的方程为2245x y λ-= 又椭圆221123x y +=的焦点坐标为()3,0± 所以0λ>,且24531λλλ+=⇒=,故所求双曲线C 的方程为:22145x y -=,故选B . 19.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线C:22221x y a b-=(0a >,0b >)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2,则C 的离心率为 ( )A .2BCD.3【解析】解法一:常规解法依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±,依据直线与圆的位置关系可求得圆心到=,解得2e =.解法二:待定系数法设渐进线的方程为y kx =∴=23k =;由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-,解得2e =. 解法三:几何法从题意可知:112OA OO O A ===,1OO A ∆为等边三角形,所以一条渐近线的倾斜较为3π由于tan k θ=,可得3k渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-,解得2e =. 解法四:坐标系转化法依据圆的直角坐标系方程:()2224x y -+=,可得极坐标方程4cos ρθ=,由4cos 2θ=可得极 角3πθ=,从上图可知:渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等,所以3k =渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-,解得2e =. 解法五:参数法之直线参数方程如上图,依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a =±,可以表示点A 的坐标为()2cos ,2sin θθ,∵ cos a c θ=,sin b c θ= ∴ 点A 的坐标为22,a b c c ⎛⎫⎪⎝⎭,代入圆方程中,解得2e =.20.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A B 、分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( )A .13B .12C .23D .34【答案】A【解析】由题意,设直线l 的方程为()y k x a =+,分别令x c =-与0x =,得点()FM k a c =-,OE ka =,由△OBE ∽△CBM ,得12OE OB FM BC =,即2()ka ak a c a c=-+,整理得13c a =,所以椭圆的离心率13e =,故选A. 21.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左,右焦点,点M 在E上,1MF 与x 轴垂直,211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为 ( ) A .2 B .32C .3D .2【答案】A【解析1】由题可令21|MF |=3,|MF |=1,则22a 所以1a ,248c ,所以2c ,所以2e故选A.22.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点,交C 的准线于,D E 两点.已知42AB =,25DE =,则C 的焦点到准线的距离为 ( ) (A)2(B)4(C)6(D)8【解析】以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >,设圆的方程为222x y r +=,题目条件翻译如图:设(0,22A x ,52p D ⎛-⎝, 点(0,22A x 在抛物线22ypx =上,∴082px =……①点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上,∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②点(0A x 在圆222x y r +=上,∴2208x r +=……③ 联立①②③解得:4p =,焦点到准线的距离为4p =. 故选B .23.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程222213-x y m n m n-=+错误!未指定书签。
全国一卷圆锥曲线高考题汇编含答案
圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分)1、(2016全国Ⅰ卷)(20)(本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l过点B(1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B作AC 的平行线交AD于点E.(I)证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C1于M ,N 两点,过B且与l垂直的直线与圆A 交于P ,Q两点,求四边形M PN Q面积的取值范围.2、(2015全国Ⅰ卷)(14)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点,且圆心在x 轴上,则该圆的标准方程为 。
3、(2014全国Ⅰ卷)20.(本小题满分12分)已知点A (0,-2),椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,F 是椭圆的焦点,直线AF 的斜率为3,O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程;(Ⅱ)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求l 的方程.4、(2016山东卷)(21)(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()222210x y a b a b+=>> 3,抛物线E:22x y =的焦点F是C 的一个顶点. (I )求椭圆C 的方程;(II )设P是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P处的切线l 与C 交与不同的两点A,B,线段AB 的中点为D,直线O D与过P且垂直于x 轴的直线交于点M. (i)求证:点M 在定直线上;(ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG 的面积为1S ,PDM 的面积为2S ,求12S S 的最大值及取得最大值时点P的坐标.5、(2015山东卷)(20) (本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32,左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心,以3为半径的圆与以2F为圆心,以1为半径的圆相交,交点在椭圆C上. (Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆2222:144x yEa b+=,P为椭圆C上的任意一点,过点P的直线y kx m=+交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求||||OQOP的值;(ⅱ)求ABQ∆面积最大值.圆锥曲线部分高考试题汇编(双曲线部分)1、(2016全国Ⅰ卷)(5)已知方程错误!–错误!=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )(A)(–1,3) (B)(–1,错误!) (C)(0,3)(D)(0,错误!)2、(2015全国Ⅰ卷)(5)已知M(x 0,y 0)是双曲线C :2212x y -=上的一点,F1、F 2是C 上的两个焦点,若1MF •2MF <0,则y 0的取值范围是()3 (B )((C)(3-,3) (D)()3、(2014全国Ⅰ卷)4. 已知F 是双曲线C :223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A .B .3CD .3m4、(2016山东卷)(13)已知双曲线E1:22221x y a b-=(a>0,b >0),若矩形ABCD 的四个顶点在E上,AB ,CD的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|B C|,则E 的离心率是_______ .5、(2015山东卷)(15)平面直角坐标系xOy 中,双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ,若OAB ∆的垂心为2C 的焦点,则1C 的离心率为 .6、(2014山东卷)(10)已知a b >,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=,双曲线2C 的方程为22221x y a b-=,1C 与2C2C 的渐近线方程为( )(A)0x = (0y ±= (C)20x y ±= (D)20x y ±=圆锥曲线部分高考试题汇编(抛物线部分)1、(2016全国Ⅰ卷)(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C的准线于D ,E 两点.已知|AB |=DE |=C 的焦点到准线的距离为( )(A)2 (B )4 (C )6 (D )82、(2015全国Ⅰ卷)(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy中,曲线C :y=24x 与直线y kx a =+(a >0)交与M ,N两点,(Ⅰ)当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠O PN ?说明理由。
圆锥曲线近五年高考题(全国卷)文科
4.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2B. 26 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C :x y =2的焦点为F ,()y x A00,是C 上一点,x F A 045=,则=x 0( )A. 1B. 2C. 4D. 8 20.已知点)2,2(P ,圆C :0822=-+y y x ,过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程;(2)当OM OP =时,求l 的方程及POM ∆的面积2014(新课标全国卷2)(10)设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点,过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点,则AB =(A )3(B )6 (C )12 (D )(12)设点0(x ,1)M ,若在圆22:x y =1O +上存在点N ,使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是(A )[]1,1- (B )1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, (C )⎡⎣ (D ) ⎡⎢⎣⎦20.设F 1 ,F 2分别是椭圆C :12222=+by a x (a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N 。
(I )若直线MN 的斜率为43,求C 的离心率; (II )若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|,求a ,b 。
4.已知双曲线C :2222=1x y a b -(a >0,b >0)C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ± B .y =13x ± C .y =12x± D .y =±x8.O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=的焦点,P 为C 上一点,若|PF |=则△POF 的面积为( ). A .2 B...421.已知圆M :(x +1)2+y 2=1,圆N :(x -1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB |.2013(新课标全国卷2)5、设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=,则C 的离心率为( )(A(B )13 (C )12 (D10、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点。
历年高考数学圆锥曲线试题汇总
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两点,自 M、N 向直线 l : x a 作垂线,垂足分别为 M 1 、 N1 。 (Ⅰ)当 a (Ⅱ)记
p 时,求证: AM 1 ⊥ AN1 ; 2
AMM1 、 AM 1 N1 、 ANN1 的面积分别为 S1 、 S 2 、 S 3 ,是否存在 ,
2 使得对任意的 a 0 ,都有 S2 S1S2 成立。若存在,求出 的值;若不存在,说明理由。
2
y 2 x2 1 (a b 0) 的右顶点为 A(1, 0) , a 2 b2
的切线与 C1 交于点 M , N .当线段 AP 的中点与 MN 的中 点的横坐标相等时,求 h 的最小值. 6.(2009 北京理) (本小题共 14 分) 已知双曲线 C :
x2 y 2 3 2 1(a 0, b 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x 2 a b 3
P
y
点 , F2 为双曲线的右焦点 , 过 P 1 作右准线的垂线 , 垂足为 A , 连接
P2
A
F2 A 并延长交 y 轴于 P2 .
(1) 求线段 P 1 P 2 的中点 P 的轨迹 E 的方程; (2) 设 轨 迹 E 与 x 轴 交 于 B、D 两 点 , 在 E 上 任 取 一 点
P1
F1
2 1、 、 2、 , 3 2
S
S ,试
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35.(2009 天津卷理) (本小题满分 14 分) 以知椭圆
x2 y 2 1(a b 0) 的两个焦点分别为 F1 (c, 0)和F2 (c, 0)(c 0) ,过点 a 2 b2
E(
a2 , 0) 的直线与椭圆相交与 A, B 两点,且 F1 A / / F2 B, F1 A 2 F2 B 。 c
圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编
圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C :x 2+y 2=16(y >0),从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ,P 为垂足,则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y ),由题意,根据中点的坐标表示可得P (x ,2y ),代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y ),则P (x ,y 0),P (x ,0),因为M 为PP 的中点,所以y 0=2y ,即P (x ,2y ),又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上,所以x 2+4y 2=16(y >0),即x 216+y 24=1(y >0),即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选:A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ,点P -6,4 在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ,结合双曲线定义计算可得2a ,即可得离心率.【详解】由题意,F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ,则F 1F 2 =2c =8,PF 1 =62+4+4 2=10,PF 2 =62+4-4 2=6,则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4,则e =2c 2a =84=2.故选:C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点,且直线PF 2的斜率为2.△PF 1F 2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理,转化出三边比例,设PF 2 =m ,由面积公式求出m ,由勾股定理得出c ,结合第一定义再求出a .【详解】如下图:由题可知,点P 必落在第四象限,∠F 1PF 2=90°,设PF 2 =m ,∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2,由k PF 2=tan θ1=2,求得sin θ1=25,因为∠F 1PF 2=90°,所以k PF 1⋅k PF 2=-1,求得k PF 1=-12,即tan θ2=12,sin θ2=15,由正弦定理可得:PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5,则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ,由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22,则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10,由双曲线第一定义可得:PF 1 -PF 2 =2a =22,a =2,b =c 2-a 2=8,所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选:C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2,到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4,则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时,y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a,故可判断A的正误,结合曲线方程可判断B的正误,利用特例法可判断C的正误,将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A:设曲线上的动点P x,y,则x>-2且x-22+y2×x-a=4,因为曲线过坐标原点,故0-22+02×0-a=4,解得a=-2,故A正确.对于B:又曲线方程为x-22+y2×x+2=4,而x>-2,故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时,22-22×22+2=8-4=4,故22,0在曲线上,故B正确.对于C:由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22,取x=32,则y2=6449-14,而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0,故此时y2>1,故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.对于D:当点x0,y0在曲线上时,由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22,故-4x0+2≤y0≤4x0+2,故D正确.故选:ABD.【点睛】思路点睛:根据曲线方程讨论曲线的性质,一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点,过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则()A.l与⊙A相切B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=15C.当|PB|=2时,PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项,抛物线准线为x=-1,根据圆心到准线的距离来判断;B选项,P,A,B三点共线时,先求出P 的坐标,进而得出切线长;C选项,根据PB=2先算出P的坐标,然后验证k PA k AB=-1是否成立;D选项,根据抛物线的定义,PB=PF,于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题,此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可,亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项,抛物线y2=4x的准线为x=-1,⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1,等于圆的半径,故准线l和⊙A相切,A选项正确;B选项,P,A,B三点共线时,即PA⊥l,则P的纵坐标y P=4,由y2P=4x P,得到x P=4,故P(4,4),此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15,B选项正确;C选项,当PB=2时,xP=1,此时y2P=4x P=4,故P(1,2)或P(1,-2),当P(1,2)时,A(0,4),B(-1,2),k PA=4-20-1=-2,k AB=4-20-(-1)=2,不满足k PA k AB=-1;当P(1,-2)时,A(0,4),B(-1,2),k PA=4-(-2)0-1=-6,k AB=4-(-2)0-(-1)=6,不满足k PA k AB=-1;于是PA⊥AB不成立,C选项错误;D选项,方法一:利用抛物线定义转化根据抛物线的定义,PB=PF,这里F(1,0),于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题,A(0,4),F(1,0),AF中点12,2,AF中垂线的斜率为-1kAF =14,于是AF的中垂线方程为:y=2x+158,与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0,Δ=162-4×30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点,即存在两个P点,使得PA=PF,D选项正确.方法二:(设点直接求解)设Pt24,t,由PB⊥l可得B-1,t,又A(0,4),又PA=PB,根据两点间的距离公式,t416+(t-4)2=t24+1,整理得t2-16t+30=0,Δ=162-4×30=136>0,则关于t的方程有两个解,即存在两个这样的P点,D选项正确.故选:ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为.【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象,求出AF2,结合双曲线第一定义求出AF1,即可得到a,b,c的值,从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等,设A 在第一象限,将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ,即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ,故AB =2b 2a =10,AF 2 =b 2a=5,又AF 1 -AF 2 =2a ,得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13,解得a =4,代入b 2a=5得b 2=20,故c 2=a 2+b 2=36,,即c =6,所以e =c a =64=32.故答案为:327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ,则焦点坐标为.【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0,由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ,所以其焦点坐标为4,0 .故答案为:4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1,则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为.【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在,然后设出方程,联立双曲线方程,根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1,解得y =±52,这表明满足题意的直线斜率一定存在,设所求直线斜率为k ,则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ,联立x 24-y 2=1y =k x -3 ,化简并整理得:1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0,由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0,解得k =±12或无解,即k =±12,经检验,符合题意.故答案为:±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为.【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标,从而可求焦准距,再联立圆和抛物线方程,求A 及AF 的方程,从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ,故p2=1即p =2,由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0,故x =4或x =-6(舍),故A 4,±4 ,故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0,故原点到直线AF 的距离为d =45=45,故答案为:4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9,那么点P 到x 轴的距离为.【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8,将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1,设点P x 0,y 0 ,由题意得x 0+1=9,解得x 0=8,代入抛物线方程y 2=4x ,得y 20=32,解得y 0=±42,则点P 到x 轴的距离为42.故答案为:42.11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ,且△ABP 的面积为9,求l 的方程.【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程,解出即可;(2)方法一:以AP 为底,求出三角形的高,即点B 到直线AP 的距离,再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程,联立椭圆方程得到B 点坐标,则得到直线l 的方程;方法二:同法一得到点B 到直线AP 的距离,再设B x 0,y 0 ,根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组,解出即可;法三:同法一得到点B 到直线AP 的距离,利用椭圆的参数方程即可求解;法四:首先验证直线AB 斜率不存在的情况,再设直线y =kx +3,联立椭圆方程,得到点B 坐标,再利用点到直线距离公式即可;法五:首先考虑直线PB 斜率不存在的情况,再设PB :y -32=k (x -3),利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案;法六:设线法与法五一致,利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1,解得b2=9a2=12,所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一:k AP=3-320-3=-12,则直线AP的方程为y=-12x+3,即x+2y-6=0,AP=0-32+3-3 22=352,由(1)知C:x212+y29=1,设点B到直线AP的距离为d,则d=2×9352=1255,则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可,此时该平行线与椭圆的交点即为点B,设该平行线的方程为:x+2y+C=0,则C+65=1255,解得C=6或C=-18,当C=6时,联立x212+y29=1x+2y+6=0,解得x=0y=-3或x=-3y=-32,即B0,-3或-3,-3 2,当B0,-3时,此时k l=32,直线l的方程为y=32x-3,即3x-2y-6=0,当B-3,-3 2时,此时k l=12,直线l的方程为y=12x,即x-2y=0,当C=-18时,联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0,Δ=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二:同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,点B到直线AP的距离d=125 5,设B x0,y0,则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1,解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3,即B0,-3或-3,-3 2,以下同法一.法三:同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,点B到直线AP的距离d=125 5,设B 23cos θ,3sin θ ,其中θ∈0,2π ,则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255,联立cos 2θ+sin 2θ=1,解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1,即B 0,-3 或-3,-32,以下同法一;法四:当直线AB 的斜率不存在时,此时B 0,-3 ,S △PAB =12×6×3=9,符合题意,此时k l =32,直线l 的方程为y =32x -3,即3x -2y -6=0,当线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +3,联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1,则4k 2+3 x 2+24kx =0,其中k ≠k AP ,即k ≠-12,解得x =0或x =-24k 4k 2+3,k ≠0,k ≠-12,令x =-24k 4k 2+3,则y =-12k 2+94k 2+3,则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0,点B 到直线AP 的距离d =1255,则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255,解得k =32,此时B -3,-32 ,则得到此时k l =12,直线l 的方程为y =12x ,即x -2y =0,综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五:当l 的斜率不存在时,l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3,此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时,设PB :y -32=k (x -3),令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ,消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0,Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0,且k ≠k AP ,即k ≠-12,x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ,A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9,∴k =12或32,均满足题意,∴l :y =12x 或y =32x -3,即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六:当l 的斜率不存在时,l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3,此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时,设l :y =k (x -3)+32,设l 与y 轴的交点为Q ,令x =0,则Q 0,-3k +32,联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36,则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0,3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0,其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0,且k ≠-12,则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2,则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9,解的k =12或k =32,经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3,即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ,点P 15,4 在C 上,k 为常数,0<k <1.按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ,过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1,令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点,记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12,求x 2,y 2;(2)证明:数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列;(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积,证明:对任意的正整数n ,S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3,y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可;(2)根据等比数列的定义即可验证结论;(3)思路一:使用平面向量数量积和等比数列工具,证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二:使用等差数列工具,证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9,故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时,过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32,与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5,所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ,该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ,从而x 2=3,y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ,与x 2-y 2=9联立,得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0,由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点,故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理,另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2,相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2,而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ,故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1-y 1≠0,所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一:先证明一个结论:对平面上三个点U ,V ,W ,若UV =a ,b ,UW =c ,d ,则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上,约定S △UVW =0)证明:S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕,回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2,故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1+y 1≠0,所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ,都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ,P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ,故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值,所以S n =S n +1.方法二:由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2,故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1+y 1≠0,所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ,都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1,以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减,即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ,P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行,这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3,即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合,需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,点M 1,32 在C 上,且MF ⊥x 轴.(1)求C 的方程;(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ ⊥y 轴.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ,根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量,故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立直线方程和椭圆方程,用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ,结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0,故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ,由题设有c =1且b 2a =32,故a 2-1a =32,故a =2,故b =3,故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在,设AB :y =k (x -4),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0,故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0,故-12<k <12,又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2,而N 52,0 ,故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ,故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5,所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0,故y 1=y Q ,即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x (或y )的一元二次方程,注意Δ的判断;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式;(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ,焦点和短轴端点构成边长为2的正方形,过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ,B ,C 0,1 ,连接AC 交椭圆于D .(1)求椭圆方程和离心率;(2)若直线BD 的斜率为0,求t .【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2,进一步得a ,由此即可得解;(2)说明直线AB 斜率存在,设AB :y =kx +t ,t >2 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立椭圆方程,由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1,而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1,令x =0,即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2,从而a =b 2+c 2=2,所以椭圆方程为x 24+y 22=1,离心率为e =22;(2)显然直线AB 斜率存在,否则B ,D 重合,直线BD 斜率不存在与题意不符,同样直线AB 斜率不为0,否则直线AB 与椭圆无交点,矛盾,从而设AB :y =kx +t ,t >2 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立x 24+y 22=1y =kx +t ,化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0,由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0,即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0,所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1,若直线BD 斜率为0,由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ,所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1,在直线AD 方程中令x =0,得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1,所以t =2,此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ,即k 应满足k <-22或k >22,综上所述,t =2满足题意,此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12.左顶点为A ,下顶点为B ,C 是线段OB 的中点,其中S △ABC =332.(1)求椭圆方程.(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ,Q .在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32,使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12,故a =2c ,b =3c ,其中c 为半焦距,所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ,故S △ABC=12×2c ×32c =332,故c =3,所以a =23,b =3,故椭圆方程为:x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:y =kx -32,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ,由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0,故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ,故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2,因为TP ⋅TQ ≤0恒成立,故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0,解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在,则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ,此时需-3≤t ≤3,两者结合可得-3≤t ≤32.综上,存在T 0,t-3≤t ≤32 ,使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛:圆锥曲线中的范围问题,往往需要用合适的参数表示目标代数式,表示过程中需要借助韦达定理,此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2,过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时,求b 的值.(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时,且点P 在第一象限,求点P 的坐标.(3)连接OQ 并延长,交双曲线Γ于点R ,若A 1R ⋅A 2P=1,求b 的取值范围.【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2,则c =2,b =22-1=3.(2)当b =263时,双曲线Γ:x 2-y 283=1,其中M -2,0 ,A 21,0 ,因为△MA 2P 为等腰三角形,则①当以MA 2为底时,显然点P 在直线x =-12上,这与点P 在第一象限矛盾,故舍去;②当以A 2P 为底时,MP =MA 2 =3,设P x ,y ,则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ,因为点P 在第一象限,显然以上均不合题意,舍去;(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ,矛盾,舍去);③当以MP 为底时,A 2P =MA 2 =3,设P x 0,y 0 ,其中x 0>0,y 0>0,则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1,解得x 0=2y 0=22,即P 2,22 .综上所述:P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 , 当直线l 的斜率为0时,此时A 1R ⋅A 2P=0,不合题意,则k l ≠0,则设直线l :x =my -2,设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ,根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 , 联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0,显然二次项系数b 2m 2-1≠0,其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0,y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①,y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②,A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ,则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1,因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上,则x 1=my 1-2,x 2=my 2-2,即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1,即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0,将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0,即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0,所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0,解得b 2≤103,又因为b >0,则0<b 2≤103,综上知,b 2∈0,3 ∪3,103 ,∴b ∈0,3 ∪3,303.【点睛】关键点点睛:本题第三问的关键是采用设线法,为了方便运算可设l :x =my -2,将其与双曲线方程联立得到韦达定理式,再写出相关向量,代入计算,要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22,则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况,求椭圆的离心率,求解参数a ,再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴,则离心率e =a 2-3a =22,得a 2=6,此时焦距2c =26-3=23,若椭圆的焦点在y 轴,则离心率e =3-a 23=22,得a 2=32,此时焦距2c =23-32=6,所以该椭圆的焦距为23或6.故选:D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线,则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4,O 2:x 2+(y -1)2=1,所以两圆方程相减可得y =2x ,由题意知C 的一条渐近线为y =2x ,即ba =2,双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5.故选:C .3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ,则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1,2D.102,10【答案】A【详解】依题意,双曲线E :3mx 2-my 2=3化为:y 2-3m -x 2-1m=1,则-3m +-1m =22,解得m =-1,双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选:A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ,N ,则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y ),根据线段MN 的中点为P ,则CP ⊥MN ,即CP ⊥AP ,所以CP ⋅AP =0,又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4),所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0,即x 2+y 2=25,所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心,半径为5的圆在圆C 内的一部分,故选:D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ,点B -1,0 ,动点M 满足直线AM ,BM 的斜率之积为4,则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ,B -1,0 ,根据直线AM 与BM 的斜率之积为4.整理得y x +1⋅y x -1=4,化简得:x 2-y 24=1(x ≠±1).故选:D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中,把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2,点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点,则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ,使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4,可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4,整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ,即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ,由x 用-x 代换,方程没变,可知曲线C 关于y 轴对称,由y 用-y 代换,方程没变,可知曲线C 关于x 轴对称,由x 用-x 代换,y 用-y 同时代换,方程没变,可知曲线C 关于原点对称,图象如图所示:所以①不正确,②正确;③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x,可得x 4=0,即x =0,所以y =0,所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0),所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程,即原点O 在曲线C 上,则OF 1 =OF 2 ,即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时,满足PF 1 =PF 2 ,所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),左、右顶点分别为A ,B ,O 为坐标原点,如图,已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ,Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ,S 两点,则下列命题正确的是()A.存在直线l ,使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时,|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ,使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ,则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解:对于A 项:与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A 项错误;对于B 项:设直线l :y =kx +t ,与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1,得:b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0,其中b 2-a 2k 2≠0,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,由根与系数关系得:x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2,所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t,将直线l :y =kx +t ,与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak,将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ,所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t,所以线段PQ 与线段RS 的中点重合.所以,对任意的直线l ,都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |,故B 项不正确;对于C 项:因为|OB |为定值,当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时,S △ORB 趋向于无穷,所以S △ORB 会趋向于无穷,不可能有最大值,故C 项错误;对于D 项:联立直线l 与渐近线y =bax ,解得Sa 22b +a ,ab2b +a,联立直线l 与渐近线y =-b a x ,解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知,BR =3BS ,3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ,解得b =2a ,所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3,故D 项正确.故选:D .【点睛】方法点睛:求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法:①定义法:通过已知条件列出方程组,求得a ,c 得值,根据离心率的定义求解离心率e ;②齐次式法:由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程,然后转化为关于e 的一元二次方程求解;③特殊值法:通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点,焦距为82,点P 在双曲线C 上,OP =OF 2 ,且△POF 2的面积为8,则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8,所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ,所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2,所以△PF 1F 2为直角三角形,且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ,PF 2 =n ,所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2,所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16,又b >0,所以b =4.焦距为2c =82,所以c =42,则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16,所以a =4,则离心率e =424=2.故选:C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,点A 在第一象限,点O 为坐标原点,且S △AOF =2S △BOF ,则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图:设直线倾斜角为α,抛物线的准线l :x =-1作AM ⊥l 于M ,根据抛物线的定义,AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α,所以|AF |=21-cos α,类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |,得cos α=13,故k =tan α=22.故选:A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点,若点P (1,2)在C 上,则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意,2=a ×12,解得a =2,所以C :x 2=y 2的准线为y =-18,所以|PF |=2+18=178,故选:D .11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ,过抛物线上点P 作准线的垂线,设垂足为Q ,若∠PQF =30°,则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示:设 M 为准线与x 轴的交点,因为∠PQF =30°,且PF =PQ ,所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°,因为FM ⎳PQ ,所以∠QFM =30°,而在Rt△QMF中,QF=FMcos30°=232=433,所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选:A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0,B2,0,C1,0,动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4,动点M的轨迹记为Γ,过点C的直线交Γ于P,Q两点,且P,Q的中点为R,则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点,则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D,则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A,设M x,y,因为A-2,0,B2,0,所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34,化简得x24+y23=1x≠±2,故A错误;对于选项B,因为x24+y23=1x≠±2,则a=2,b=3,则c=a2-b2=1,所以C1,0为椭圆的右焦点,则MCmin=a-c=2-1=1,故B正确;对于选项C,设PQ的方程 x=my+1,代入椭圆方程,得3m2+4y2+6my-9=0,设P x1,y1,Q x2,y2,则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,Δ=36m2+363m2+4>0,所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4,令m2+1=t≥1,则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t,令g t =3t+1tt≥1,则S△OPQ=6g t,t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0,g t 在1,+∞为增函数,g t ≥g1 =4,g t min=4,所以S△OPQmax=64=32,当且仅当t=1时即m=0等号成立,故C正确;对于选项D,因为Rx1+x22,y1+y22,x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4,y1+y22=-3m3m2+4,所以R43m2+4,-3m3m2+4,则x R=43m2+4,设D x D ,0 ,则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1,则x D =13m 2+4,所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4,则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍,故D 正确.故选:BCD .【点睛】关键点点睛:本题求解的关键有两个:一是利用面积公式得出面积表达式,结合导数得出最值;二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质:从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图,双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后,分别经过点C 和D ,其中AF 2 ,BF 2共线,则()A.若直线AB 的斜率k 存在,则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时,光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时,△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时,cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示,过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2,则l 1,l 2的斜率分别为62和-62,对于A 中,由图可知,当点A ,B 均在E 的右支时,k <-62或k >62,所以A 正确;对于B 中,光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6,所以B 正确;对于C 中,由AB ⋅AD =AB 2,得AB ⋅AD -AB =0,即AB ⋅BD=0,所以AB ⊥BD ,设BF 1 =n ,则BF 2 =n -2a =n -4,因为∠ABD =π2,所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40,整理得n 2-4n -12=0,解得n =6或n =-2(舍去),所以BF 1 =6,BF 2 =2,所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6,所以C 错误;对于D 项,在直角△F 1BF 2中,cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010,所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010,所以D 正确.故选:ABD .14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点,且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1),则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1,由条件,点P 应在双曲线C 的右支上,设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M 、N 、A ,则由题A 3,0 ,且PM =PN ,F 1M =F 1A ,F 2N =F 2A ,又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3,A 选项正确;由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ,连接IF 1、IF 2、IA ,则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18,所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663,B 选项错误;同理,tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43,∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125,∴⇒tan∠F 1PF 22=32,所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323,又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2,故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643,∴△PF 1F 2的周长为643,C 选项正确;由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213,由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512,D 选项正确.故选:ACD .【点睛】关键点睛:求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ,P 为其上一动点,当P 运动到(t ,1)时,|PF |=2,直线l 与抛物线相交于A 、B 两点,下列结论正确的是()A.抛物线的方程为:x 2=8yB.抛物线的准线方程为:y =-1。
圆锥曲线高考题选
全国卷圆锥曲线高考题选1、 (15全国新课标1)已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(Ⅰ)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若l 过点(,)3mm ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.2、(14全国新课标)已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,直线4y =与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且5||||4QF PQ =. (1)求C 的方程;(2)过F 的直线与C 相交于A 、B 两点,若AB 的 垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点,且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上,求的方程.3、(13新课标1)已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.4.(13新课标Ⅱ卷数学)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直30x y +交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.(Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.5、(12全国新课标)设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ,准线为l ,A C ∈,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点;(1)若090=∠BFD ,ABD ∆的面积为24;求p 的值及圆F 的方程;(2)若,,A B F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到,m n 距离的比值。
2016-2018年高考理科圆锥曲线真题(全国卷)
2016~2018高考圆锥曲线(全国卷)1.(2016全国一)已知方程132222=--+n m y n m x 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则m 的取值范围是(A )(1-,3)(B )(1-,3)(C )(0,3)(D )(0,3)2.(两点.已知=AB (A )23.(l 交圆A 于C ,(Ⅱ)Q P ,两4.(2016轴垂直,2sin MF ∠(A 5.(2016全国二)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点,点N 在E 上,MA NA ⊥. (Ⅰ)当4,||||t AM AN ==时,求AMN ∆的面积; (Ⅱ)当2AM AN =时,求k 的取值范围.6.(2016全国三)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A ,B 分别为C的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 A.13B.12C.23D.347.(2016全国三)已知抛物线C :y 2=2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B(1)若F (2)若△8.(2017A 、B 两点,直线l A .169.(2017A ,圆A与双曲线10.(20171⎛ ⎝⎭中(1)求C (2)l 过定点.11.(所截得的弦长为2,则C 的离心率为()A.2 12.(2017全国二)已知F 是抛物线C :28y x =的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N ,若M 为FN 的中点,则FN =_____________.13.(2017全国二)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆22:12x C y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =. (1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ =,证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .14.(221123x y +=A 15.(2为直径的A 16.(AB 为直(1(217.(交于M ,N 两点,则FM FN ⋅=B .619.(2018全国一)已知双曲线C :2213x y -=,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形,则|MN |=A .32B .3C .D .420.(2018全国一)设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:OMA OMB ∠=∠.21.(C.22.(,是椭圆的左,右焦点,是的左顶点,点且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的离心率为 B. D.23.(的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.(1且与的准线相切的圆的方程.24.(2F 作C 25.(2018全国三)已知点M (-1,1)和抛物线C:24y x =,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,若∠AMB=90。
高考经典圆锥曲线习题(含答案)
高考圆锥曲线试题精选一、选择题:(每小题5分,计50分)1、(2008海南、宁夏文)双曲线22110x y -=的焦距为( )2.(2004全国卷Ⅰ文、理)椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交,一个交点为P ,则||2PF = ( )A .23 B .3 C .27D .4 3.(2006辽宁文)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( )A.一椭圆和一双曲线的离心率B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率D.两椭圆的离心率4.(2006四川文、理)直线y=x-3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点,过A 、B 两点向 抛物线的准线作垂线,垂足分别为P 、Q ,则梯形APQB 的面积为( ) (A )48. (B )56 (C )64 (D )72.5.(2007福建理)以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( )A .B.C .D.6.(2004全国卷Ⅳ理)已知椭圆的中心在原点,离心率21=e ,且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合,则此椭圆方程为( )A .13422=+y xB .16822=+y xC .1222=+y x D .1422=+y x 7.(2005湖北文、理)双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2,有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,则mn 的值为( )A .163B .83C .316D .388. (2008重庆文)若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )(A)2(B)3(C)4(D)429.(2002北京文)已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点,那么 双曲线的渐近线方程是( ) A .y x 215±= B .x y 215±= C .y x 43±= D .x y 43±= 二、填空题:(每小题5分,计20分)11. (2005上海文)若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是()0,152,则椭圆的标准方程是_________________________12.(2008江西文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为y x =, 若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为 .13.(2007上海文)以双曲线15422=-y x 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的 抛物线方程是 .三、解答题:(15—18题各13分,19、20题各14分)15.(2006北京文)椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上,且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥== (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M , 交椭圆C 于,A B 两点, 且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程..16.(2005重庆文)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为)0,3( (1)求双曲线C 的方程; (2)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ,且2>⋅OB OA (其中O 为原点). 求k 的取值范围.17.(2007安徽文)设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.(Ⅰ)过点P (0,-4)作抛物线G 的切线,求切线方程:(Ⅱ)设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点,且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ,求四边形ABCD 面积的最小值.18.(2008辽宁文) 在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0-,,(0的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C . (Ⅰ)写出C 的方程;(Ⅱ)设直线1y kx =+与C 交于A ,B 两点.k 为何值时OA ⊥OB ?此时AB 的值是多少?19. (2002广东、河南、江苏)A 、B 是双曲线x 2-y22=1上的两点,点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程;(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点,那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆?为什么?20.(2007福建理)如图,已知点F (1,0),直线l :x =-1,P 为平面上的动点,过P 作直线l 的垂线,垂足为点Q ,且=。
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 圆锥曲线大题(原卷版)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 圆锥曲线大题(原卷版)1.(2021年高考全国甲卷理科)抛物线C 地顶点为坐标原点O .焦点在x 轴上,直线l :1x =交C 于P ,Q 两点,且OP OQ ⊥.已知点()2,0M ,且M 与l 相切.(1)求C ,M 地方程。
(2)设123,,A A A 是C 上地三个点,直线12A A ,13A A 均与M 相切.判断直线23A A 与M 地位置关系,并说明理由.2.(2021年高考全国乙卷理科)已知抛物线()2:20C x py p =>地焦点为F ,且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点地距离地最小值为4.(1)求p 。
(2)若点P 在M 上,,PA PB 是C 地两款切线,,A B 是切点,求PAB △面积地最大值.3.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A ,B 分别为椭圆E :2221x y a+=(a >1)左,右顶点,G 为E 地上顶点,8AG GB ⋅=,P 为直线x =6上地动点,PA 与E 地另一交点为C ,PB 与E 地另一交点为D .(1)求E 方程。
(2)证明:直线CD 过定点.4.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C 1:22221x y a b+=(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2地焦点重合,C 1地中心与C 2地顶点重合.过F 且与x 轴垂直地直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD |=43|AB |.(1)求C 1地离心率。
(2)设M 是C 1与C 2地公共点,若|MF |=5,求C 1与C 2地标准方程.5.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ,B 分别为C 地左,右顶点.(1)求C 地方程。
(2)若点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且||||BP BQ =,BP BQ ⊥,求APQ 地面积.的的的6.(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上地动点,过D 作C 地两款切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点:(2)若以E (0,52)为圆心地圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 地中点,求四边形ADBE 地面积.7.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知点()2,0A -,()2,0B ,动点(),M x y 满足直线AM 与BM 地斜率之积为12-.记M 地轨迹为曲线C .()1求C 地方程,并说明C 是什么曲线。
历年高考圆锥曲线大题精选
1.(2018全国I理19)
设椭圆C: +y²=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
2.(2018全国II理)
3.(2018全国III理)
4.(2018全国I文)
5.(2018浙江)
6.(2017全国I理20)
7.
8.
9.(2017全国III理)
10.(2017全国I文20)
11.(2016全国I理20)
12.(2016全国III理20)
13.(2016山东理)平面直角坐标系中,椭圆C:的离心率是
,抛物线E:的焦点F是C的一个顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证:点M在定直线上;
②直线与y轴交于点G,记△PFG的面积为,△PDM的面积为,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.
14.(2015全国I理)
15.(2015全国II理)
16.
17.
18.。
圆锥曲线--2023高考真题分类汇编完整版
圆锥曲线--高考真题汇编第一节椭圆1.(2023全国甲卷理科12)已知椭圆22196x y +=,12,F F 为两个焦点,O 为原点,P 为椭圆上一点,123cos 5F PF ∠=,则OP =()A.25 C.35【解析】解法一(利用焦点三角形面积公式):设122F PF θ∠=,π02θ<<.22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====++,解得1tan 2θ=.由椭圆焦点三角形面积公式得1222121tantan 6322F PF F PF S b b θ∠===⨯=△.121211322F PF P P S F F y ===△,解得23P y =.则代入椭圆方程得292P x =,因此302OP ==.故选B.解法二(几何性质+定义):因为1226PF PF a +==①,22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=,即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②,联立①②,解得12152PF PF ⋅=,221221PF PF +=.由中线定理可知,()()222212122242OP F F PF PF +=+=,而12F F =,解得302OP =.故选B.解法三(向量法):由解法二知12152PF PF ⋅=,221221PF PF +=.而()1212PO PF PF =+,所以1213022PO PF PF =+===.故选B.2.(2023全国甲卷文科7)设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点,点P 在C 上,若120PF PF ⋅= ,则12PF PF ⋅=()A.1B.2C.4D.5【分析】解法一:根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积,即可解出;解法二:根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出.【解析】解法一:因为120PF PF ⋅=,所以1290F PF ∠= ,从而122121tan 4512F PF S b PF PF ===⨯⋅ △,所以122PF PF ⋅=.故选B.解法二:因为120PF PF ⋅=,所以1290F PF ∠= ,由椭圆方程可知,25142c c =-=⇒=,所以22221212416PF PF F F +===,又122PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=,所以122PF PF ⋅=.故选B.3.(2023新高考I 卷5)设椭圆()2212:11x C y a a +=>,222:14x C y +=的离心率分别为1e ,2e .若21e =,则a =()A.233B.【解析】11a e a =,232e =,由21e =可得32=,解得233a =.故选A.4.(2023新高考II 卷5)已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ,直线y x m =+与C 交于,A B 两点,若1F AB △的面积是2F AB △面积的2倍,则m =()A.23B.3C.3-D.23-【解析】设AB 与x 轴相交于点(),0D m -,由122F AB F AB S S =△△,得122F DF D=.又12F F =23F D =,则有()3m --=,解得3m =.故选C.第二节双曲线1.(2023新高考I 卷16)已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点A 在C 上,点B 在y 轴上,11F A F B ⊥ ,2223F A F B =- ,则C 的离心率为.【解析】解法一:建立如图所示的平面直角坐标系,设()()()12,0,,0,0,F c F c B n -,由2223F A F B =- 可得52,33A c n ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又11F A F B ⊥ 且182,33F A c n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()1,F B c n = ,则()22118282,,03333F A F B c n c n c n ⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪⎝⎭ ,所以224n c =,又点A 在C 上,则2222254991c n a b -=,整理可得2222254199c n a b-=,代入224n c =,可得222225169c c a b -=,即222162591e e e -=-,解得295e =或()215e =舍.故355e =.解法二:由2223F A F B =-可得2223F A F B =,设222,3F A x F B x ==,由对称性可得,13F B x =,由定义可得,122AF x a =+,5AB x =,设12F AF θ∠=,则33sin 55x x θ==,所以422cos 55x a xθ+==,解得x a =,所以1224AF x a a =+=,222F A x a ==,在12AF F △中,由余弦定理可得222216444cos 165a a c a θ+-==,2295a c =,所以355e =.2.(2023全国甲卷理科8)已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5,其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点,则AB =()A.15B.55C.255 D.455【解析】由5e =,则222222215c a b b a a a +==+=,解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =,则圆心()2,3到渐近线的距离22235521d ⨯-==+,所以弦长221452155AB r d =--.故选D.3.(2023全国甲卷文科9)已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5,其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点,则AB =()A.15B.55C.255D.455【解析】由e =,则222222215c a b b a a a+==+=,解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =,则圆心()2,3到渐近线的距离55d ==,所以弦长5AB =.故选D.4.(2023北京卷12)已知双曲线C 的焦点为()2,0-和()2,0,离心率为,则C 的方程为.【分析】根据给定条件,求出双曲线C 的实半轴、虚半轴长,再写出C 的方程作答.【解析】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ,显然双曲线C 的中心为原点,焦点在x 轴上,其半焦距2c =,由双曲线C ,得ca,解得a =,则b =所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为:22122x y -=.因为()2,0F c ,不妨设渐近线方程为所以222bc bcPF c a b ==+设2POF θ∠=,则tan θ=第三节抛物线2.(2023全国乙卷理科13,文科13)已知点A 在抛物线2:2C y px =上,则A 到C 的准线的距离为.【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程,然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为54x =-,最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【解析】由题意可得:221p =⨯,则25p =,抛物线的方程为25y x =,准线方程为54x =-,点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为:94.3.(2023新高考II 卷10)设O 为坐标原点,直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点,且与C 交于,M N 两点,l 为C 的准线,则()A .2p =B .83MN =C .以MN 为直径的圆与l 相切D .OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ,所以12p=,2p =,A 正确;联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩,消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ,由韦达定理得12103x x +=,所以12163MN MF NF x x p =+=++=,B 错误;设MN 的中点为Q ,分别过,,M N Q 向l 作垂线,垂足分别为111,,M N Q ,由梯形中位线性质及抛物线定义可得,()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==,所以以MN 为直径的圆与准线l 相切,C 正确;由上述解题过程知,231030x x -+=,解得121,33x x ==,从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭,易得OM ON MN ≠≠,OMN △不是等腰三角形,D 错误.综上,故选AC.第四节直线与圆锥曲线的位置关系1.(2023全国乙卷理科11,文科12)已知,A B 是双曲线2219y x -=上两点,下列四个点中,可为线段AB 中点的是()A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--【分析】设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ,根据点差法分析可得9AB k k ⋅=,对于A ,B ,D 通过联立方程判断交点个数,逐项分析判断;对于C :结合双曲线的渐近线分析判断.【解析】设()11,A x y ,()22,B x y ,则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭,设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ,可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+,因为,A B 在双曲线上,则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减得()2222121209y y x x ---=,所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A :可得1k =,9AB k =,则:98AB y x =-,联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y 得272272730x x -⨯+=,此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<,所以直线AB 与双曲线没有交点,故A 错误;对于选项B :可得2k =-,92AB k =-,则95:22AB y x =--,联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,消去y 得245245610x x +⨯+=,此时()()22454456144545610∆=⨯-⨯⨯=⨯⨯-<,所以直线AB 与双曲线没有交点,故B 错误;对于选项C :可得3k =,3AB k =,则:3AB y x =.由双曲线方程可得1a =,3b =,则:3AB y x =为双曲线的渐近线,所以直线AB 与双曲线没有交点,故C 错误;对于选项D :4k =,94AB k =,则97:44AB y x =-,联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,消去y 得2631261930x x +-=,此时21264631930∆=+⨯⨯>,故直线AB 与双曲线有交两个交点,故D 正确.故选D.2.(2023新高考I 卷22)在直角坐标系xOy 中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离,记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程;(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上,证明:矩形ABCD的周长大于【解析】(1)设(,)P x y ,则22212x y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,故21:4W y x =+.(2)解法一:不妨设三个顶点,,A B C 在抛物线214y x =+上,且AB BC ⊥,显然,AB BC 的斜率存在且不为0,令222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则,AB BC k a b k b c =+=+,1AB BC k k =-,即()()1a b b c ++=-,即1a b b c-+=+,本题等价于证明332AB BC +>,令||||AB BC b c m +=--=,则m b c =-+-,(未知数有,,a b c ,通过转化(放缩),将变量归一)由221ABBC kk =⋅,即()()22221AB BC k k a b b c =++=⋅,不妨设()221AB k a b =+≤,则m b c=-+-b =-+b c ≥--c ≥-()b b c =+-+1b a b=+++()3221a b a b⎡⎤⎣⎦++=+.令a b t +=,则()()1232323323222211223411332t t a b ta b tt t⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥++⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+++==≥=+⎣⎦,当212t =时取等号,又()2321t m t+≥取等时必有21t =,因此取不到等号,所以332m >.解法二:如图所示,先将第一问中的曲线下移14个单位,其表达式为2x y =.不妨设,,A B D 三点在抛物线上,再设()2,A t t 及AB 的斜率为k .由题意知AD 的斜率为1k -,因为11k k ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭,故而可再使01k <≤,直线AB 的方程()2y t k x t -=-,即2y kx kt t =-+,与曲线联立可得220x kx kt t -+-=,由此可知()222222221211414412AB k x x k k kt t k k kt t k k t=+-=+--=+-+=+-同理,21112AD t k k=++,由此可知矩形ABCD 的周长ρ满足2211122122k k t t k kρ+-++=+2211122212k k t k t k k=+-+++22t t≥-+①12+2k t tk⎫-+⎪⎭1+k≥②()323222112122=2kkk k⎛⎫++⎪+⎝⎭=322k⎛⎫⎝⎭≥⨯③22⨯==.当1k=时①处取等号,当12,2k t tk-+同号时②处取等号,当212k=时③处取等号,显然三处不能同时取等号,所以矩形ABCD的周长大于.由题意得31a c a c +=⎧⎨-=⎩,解得所以椭圆的方程为24x y +(2)由题意得,直线2A A P 的方程为y =第五节圆锥曲线综合探究型问题1.(2023全国甲卷理科20)设抛物线()2:20C y px p =>,直线210x y -+=与C 交于,A B 两点,且AB =.(1)求p ;(2)设C 的焦点为F ,,M N 为抛物线C 上的两点,0MF NF ⋅=,求MNF △面积的最小值.【解析】(1)设()11,A x y ,()22,B x y ,联立直线与抛物线的方程22102x y y px -+=⎧⎨=⎩,消x 得()2221y p y =-,即2420y py p -+=,()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩,12AB y y ==-=,解得2p =,32p =-(舍).所以2p =.(2)解法一(向量法):由(1)知,抛物线的方程为24y x =,()1,0F ,设()33,M x y ,()44,N x y ,()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ,又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即22223434341164y y y y y y +++=,又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭,又22223434341164y y y y y y +++=,得()()22343444y y y y +=-,因此343442y y y y +=-,即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=,得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-(这一步至关重要),()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R△()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNF S =-△(当且仅当2t -=时,即32t y =-=时取最小值).解法二(极坐标法):如图所示,设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ,则有21cos MF θ=-,21sin NF θ=+,从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,显然当且仅当4θ3π=,即4MFO π∠=时取等号.2.(2023全国甲卷文科21)设抛物线()2:20C y px p =>,直线210x y -+=与C 交于,A B两点,且AB =.(1)求p ;(2)设C 的焦点为F ,,M N 为抛物线C 上的两点,0MF NF ⋅=,求MNF △面积的最小值.【解析】设()11,A x y ,()22,B x y ,联立直线与抛物线的方程22102x y y px-+=⎧⎨=⎩,消x 得()2221y p y =-,即2420y py p -+=,()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩,12AB y ==-==,解得2p =,32p =-(舍).所以2p =.(2)解法一:由(1)知,抛物线的方程为24y x =,()1,0F ,设()33,M x y ,()44,N x y ,()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ,()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ,又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即22223434341164y y y y y y +++=.又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅==++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭,又22223434341164y y y y y y +++=,得()()22343444y y y y +=-,因此343442y y y y +=-,即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=,得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-(这一步至关重要),()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R △()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNFS-=-△2t -=时,即32t y =-=时取最小值).解法二(极坐标):如图所示,设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ,则有22,1cos 1sin MF NF θθ==-+,从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,显然当且仅当4MFO π∠=时取等号.3.(2023全国乙卷理科20,文科21)已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的离心率为3,点()2,0A -在C 上.(1)求C 的方程;(2)过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点,直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ,求证:线段MN 中点为定点.【解析】(1)依题意,2b =,3c e a ==,则2224b a c =-=,得3a =,c =,曲线C 的方程为22194y x +=.(2)设()11,P x y ,()22,Q x y ,直线():32PQ y k x -=+,()11:22y AP y x x =++,令0x =,得1122M yy x =+,()22:22y AQ y x x =++,令0x =,得2222N yy x =+.MN 的中点坐标为12120,22y y x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭,联立直线PQ 的方程和椭圆方程得()22239436y k x x y ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩,消y 建立关于x 的一元二次方程,()229423360x k x +⎡++⎤-=⎣⎦,即()()222249162416480k x k k x k k +++++=,21222122162449164849k kx x k k k x x k ⎧++=-⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩,又()()121212121223231123222222k x k x y y k x x x x x x ++++⎛⎫+=+=++ ⎪++++++⎝⎭()2221222121222162416364492323164832482444949k k k x x k k k k k k k x x x x k k --+++++=+⋅=+⋅+++++-+++3=.所以线段MN 过定点()0,3.【评注】本题为2022全国乙卷的变式题,难度有所降低,考查仍为极点、极线的性质,定点()0,3为()2,3P -关于椭圆22194y x +=的极线123x y +=-与y 轴的交点.本题以椭圆中极点极线理论的射影不变性为命题背景,考查椭圆中对称式的计算方法,要求考生具有较强的计算能力.除此之外,如果考生具有先猜再证的解题意识,本题中的定点可以通过极限思想进行猜想.4.(2023新高考II 卷21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为()-.(1)求C 的方程;(2)记C 的左、右顶点分别为1A ,2A ,过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ,N 两点,M 在第二象限,直线1MA 与2NA 交于点P ,求证:点P 在定直线上.【解析】(1)设双曲线方程为()22221,0x y a b a b-=>,且22220c a b =+=.又c e a a===,得2a =,因为c =,所以4b =,因此双曲线的方程为221416x y -=.(2)(设点设线).设()()1122,,,M x y N x y ,:4MN x ty =-.由(1)可得,()()122,0,2,0A A -,则()111:22y MA y x x =++,()222:22yNA y x x =--.联立12,MA NA 的方程,消y 得()()12122222y yx x x x +=-+-,即2121122212112122222266y x y ty ty y y x x x y ty y ty y y +--+=⋅=⋅=----.联立MN 的方程与双曲线221416x y -=,得224416x ty x y =-⎧⎨-=⎩,消x 得()224416ty y --=,即()224132480t y ty --+=.由韦达定理()()221221223244148032414841t t t y y t y y t ∆⎧=---⨯>⎪⎪⎪+=⎨-⎪⎪=⎪-⎩(非对称结构处理).()12122483412t ty y y y t ==+-,则()()1221212112331221222393236222y y y y y x x y y yy y +--+===--+--+,得1x =-.因此点P 在定直线1x =-上.5.(2023北京卷19)已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为53,,A C 分别是E 的上、下顶点,,B D分别是E 的左、右顶点,4AC =.(1)求椭圆E 的方程;(2)点P 为第一象限内E 上的动点,直线PD 与直线BC 交于点M ,直线AP 与直线2y =-交于点N .求证://MN CD .【分析】(1)结合题意得到c a =24b =,再结合222a c b -=,解之即可;(2)依题意求得直线BC 、PD 与PA 的方程,从而求得点,M N 的坐标,进而求得MN k ,再根据题意求得CD k ,得到MN CD k k =,由此得解.【解析】(1)依题意,得53c e a ==,则53c a =,又,A C 分别为椭圆上下顶点,4AC =,所以24b =,即2b =,所以2224a c b -==,即22254499a a a -==,则29a =,所以椭圆E 的方程为22194x y +=.(2)因为椭圆E 的方程为22194x y +=,所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --,因为P 为第一象限E 上的动点,设()(),03,02P m n m n <<<<,则22194m n +=,易得022303BC k +==---,则直线BC 的方程为223y x =--,033PD n n k m m -==--,则直线PD 的方程为()33n y x m =--,联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩,解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩,即()332612,326326n m n M n m n m ⎛-+⎫- ⎪+-+-⎝⎭,而220PA n n k m m --==-,则直线PA 的方程为22n y x m-=+,令=2y -,则222n x m --=+,解得42m x n -=-,即4,22m N n -⎛⎫- ⎪-⎝⎭,又22194m n +=,则22994n m =-,2287218m n =-,所以()()()()()()12264122326332696182432643262MN n n m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++--()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+,又022303CD k +==-,即MN CD k k =,显然,MN 与CD 不重合,所以//MN CD .第六节平面几何性质在圆锥曲线中的应用1.(2023全国甲卷理科12)已知椭圆22196x y +=,12,F F 为两个焦点,O 为原点,P 为椭圆上一点,123cos 5F PF ∠=,则OP =()A.25C.35【解析】因为1226PF PF a +==①,22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=,即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②,联立①②,解得12152PF PF ⋅=,221221PF PF +=.由中线定理可知,()()222212122242OP F F PF PF +=+=,而12F F =,解得302OP =.故选B.2.(2023新高考II 卷10)设O为坐标原点,直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点,且与C 交于,M N 两点,l 为C 的准线,则()A .2p =B .83MN =C .以MN 为直径的圆与l 相切D .OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ,所以12p =,2p =,A 正确;联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩,消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ,由韦达定理得12103x x +=,所以12163MN MF NF x x p =+=++=,B 错误;设MN 的中点为Q ,分别过,,M N Q 向l 作垂线,垂足分别为111,,M N Q ,由梯形中位线性质及抛物线定义可得,()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==,所以以MN 为直径的圆与准线l 相切,C 正确;由上述解题过程知,231030x x -+=,解得121,33x x ==,从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭,易得OM ON MN ≠≠,OMN △不是等腰三角形,D 错误.综上,故选AC.。
(完整版)历年圆锥曲线高考题(带答案)
历年高考圆锥曲线2000年:(10)过原点的直线与圆相切,若切点在第三象限,则该直03422=+++x y x 线的方程是( )(A ) (B ) (C )(D )x y 3=x y 3-=x 33x 33-(11)过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点,若线()02>=a ax y段PF 与FQ 的长分别是、,则等于( )p q qp 11+(A )(B )(C ) (D )a 2a21a 4a4(14)椭圆的焦点为、,点P 为其上的动点,当为钝角14922=+y x 1F 2F 21PF F ∠ 时,点P 横坐标的取值范围是________。
(22)(本小题满分14分)如图,已知梯形ABCD 中,点E 分有向线段所成的比为,CD AB 2=AC λ双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点。
当时,求双曲线离心率4332≤≤λ的取值范围。
e 2004年3.过点(-1,3)且垂直于直线的直线方程为( )032=+-y x A .B .C .D .12=-+y x 052=-+y x 052=-+y x 072=+-y x 8.已知圆C 的半径为2,圆心在轴的正半轴上,直线与圆C 相切,则圆x 0443=++y x C 的方程为( )A .B .03222=--+x y x 0422=++x y x C .D .3222=-++x y x 0422=-+x y x 8.(理工类)已知椭圆的中心在原点,离心率,且它的一个焦点与抛物线21=e 的焦点重合,x y 42-= 则此椭圆方程为( )A .B .13422=+y x 16822=+y x C .D .1222=+y x 1422=+y x 22.(本小题满分14分)双曲线的焦距为2c ,直线过点(a ,0)和(0,b ),且点)0,1(12222>>=-b a by a x l (1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和求双曲线的离心率e l l .54c s ≥的取值范围.2005年:9.已知双曲线的焦点为,点在双曲线上且则点1222=-y x 12,F F M 120,MF MF ⋅= 到M 轴的距离为(x )A .B .CD435310.设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△为12,,F F 2F 12F PF等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()A B C .D 2121、(理工类)(本小题满分12分)设,两点在抛物线上,是的垂直平分线。
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案数学圆锥曲线测试高考题一、选择题:1.(2006全国II)已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$,则双曲线的离心率为()。
A。
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ B。
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ C。
$\frac{\sqrt{5}}{2}$ D。
$\frac{\sqrt{7}}{2}$2.(2006全国II)已知$\triangle ABC$的顶点B、C在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则$\triangle ABC$的周长是()。
A。
2.B。
3.C。
4.D。
63.(2006全国卷I)抛物线$y=-x^2$上的点到直线$4x+3y-8=0$的距离的最小值是()。
A。
2.B。
$\frac{4}{3}$。
C。
$\sqrt{2}$。
D。
$\sqrt{3}$4.(2006广东高考卷)已知双曲线$3x^2-y^2=9$,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于()。
A。
2.B。
$\frac{1}{2}$。
C。
$\sqrt{2}$。
D。
45.(2006辽宁卷)方程$2x^2-5x+2=0$的两个根可分别作为()。
A。
一椭圆和一双曲线的离心率B。
两抛物线的离心率C。
一椭圆和一抛物线的离心率 D。
两椭圆的离心率6.(2006辽宁卷)曲线$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{6-m}=1(m<6)$与曲线$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m-4}=1(5<m<9)$的()。
A。
焦距相等。
B。
离心率相等。
C。
焦点相同。
D。
准线相同7.(2006安徽高考卷)若抛物线$y=2px$的焦点与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的右焦点重合,则p的值为()。
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4.已知双曲线)0(13
2
22>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2
B. 2
6 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C :x y =2的焦点为F ,()y x A
00,是C 上一点,x F A 045=,则=x 0( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8 20.已知点)2,2(P ,圆C :082
2=-+y y x ,过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.
(1)求M 的轨迹方程;
(2)当OM OP =时,求l 的方程及POM ∆的面积
(10)设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点,过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点,则AB =
(A )3
(B )6 (C )12 (D )(12)设点0(x ,1)M ,若在圆22:x y =1O +上存在点N ,使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是
(A )[]1,1- (B )1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, (C )⎡⎣ (D ) ⎡⎢⎣⎦
20.设F 1 ,F 2分别是椭圆C :122
22=+b
y a x (a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N 。
(I )若直线MN 的斜率为4
3,求C 的离心率; (II )若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|,求a ,b 。
4.已知双曲线C:
22
22
=1
x y
a b
-(a>0,b>0)
的离心率为
2
,则C的渐近线方程为( ).
A.y=
1
4
x
±
B.y=
1
3
x
±
C.y=
1
2
x
±
D.y=±x
8.O为坐标原点,F为抛物线C:y2
=的焦点,P为C上一点,若|PF|
=,则△POF
的面积为( ).
A.2 B
.
..4
21.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
5、设椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=o ,则C 的离心率为( )
(A )6 (B )13 (C )12 (D )3
10、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点。
若
||3||AF BF =,则l 的方程为( )
(A )1y x =-或!y x =-+ (B )(1)3
y x =-或1)3y x =--
(C )1)y x =-或1)y x =- (D )(1)2y x =
-或(1)2y x =--
(20)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线
段长为
(Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程;
(Ⅱ)若P 点到直线y x =的距离为
2
,求圆P 的方程。
(4)设F 1、F 2是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线x =3a 2上一点,△F 1PF 2
是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( )
(A )12 (B )23 (C )34 (D )45
(10)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B 两点,|AB|=43,则C 的实轴长为
(A ) 2 (B )2 2 (C )4 (D )8
(20)(本小题满分12分)
设抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点。
(I )若∠BFD =90°,△ABD 的面积为42,求p 的值及圆F 的方程;
(II )若A ,B ,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 距离的比值。
4.椭圆22
1168
x y +=的离心率为
A .13
B .12
C .3
D .2 9.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,||12AB =,P 为C 的准线上一点,则ABP ∆的面积为
A .18
B .24
C . 36
D . 48 20.在平面直角坐标系xOy 中,曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上.
(I )求圆C 的方程;
(II )若圆C 与直线0x y a -+=交于A ,B 两点,且,OA OB ⊥求a 的值.
(5)中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为
(A (B (C )2 (D )2
(13)圆心在原点且与直线20x y +-=相切的圆的方程为 。
(20)设1F ,2F 分别是椭圆E :2
x +2
2y b =1(0b<1<)的左、右焦点,过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点,且2AF ,AB ,2BF 成等差数列。
(Ⅰ)求AB
(Ⅱ)若直线l 的斜率为1,求b 的值。
2010(全国卷1)
(8)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,∠1F P 2F =060,
则
12||||PF PF =g
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8
(11)已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为两切点,那么PA PB •u u u v u u u v 的
最小值为
(A) 4-+3- (C) 4-+3-+
(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,
线段BF 的延长线交C 于点D , 且→→=FD BF 2,则C 的离心率为 .
(22)已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D .
(Ⅰ)证明:点F 在直线BD 上; (Ⅱ)设89
FA FB =u u u r u u u r g ,求BDK ∆的内切圆M 的方程 .
2010(全国卷2) (12)已知椭圆C :22a x +22b y =1(a >b >0)的离心率为23,过右焦点F 且斜率k (k >0)的直线与C 相交于A 、
B 亮点,若AF =3FB ,则k = (A )1 (B )2 (
C )3 (
D )2
(15)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为l ,过(1,0)M
的直线与l 相交
于点A ,与C 的一个交点为B ,若AM MB =u u u u r u u u r , 则p = .
(16)已知球O 的半径为4,圆M 与圆N 为该球的两个小圆,AB 为圆M 与圆N 的公共弦,4AB =.若3OM ON ==,则两圆圆心的距离MN = .
(22)(本小题满分12分)
已知斜率为1的直线l 与双曲线C ()0,0122
22>>=-b a b
y a x 相交于B 、D 两点,且BD 的中点为)3,1(M
(Ⅰ)求C 的离心率;
(Ⅱ)设C 的右顶点为A ,右焦点为F ,17=•BF DF ,证明:过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切。