历年高考数学圆锥曲线的中点弦问题的复习

2
2
即 4(x 4) 4 y 1，
64
36
所以 PQ中点 M的轨迹方程为 ( x 4) 2 16
y2 1 （ x 9
8 ）。
三、弦中点的坐标问题
例 3、 求直线 y x 1 被抛物线 y 2 4x 截得线段的中点坐标。
解： 解法一：设直线 y
y x1
题意得
y2
，
4x
x 1 与抛物线 y2
4 x 交于 A( x1 , y1 ) ，
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为
A( x , y ) ， 由于中点为 M（2， 1 ），
则另一个交点为 B(4- x ,2 y ) ，
因 为 A、 B 两 点 在 椭 圆 上 ，
x 2 4 y 2 16
(4 x) 2 4(2 y) 2 16 ，
所以有
两式相减得 x 2 y 4 0 ，
由于过 A、B 的直线只有一条，
x1, x2是方程的两个根， 于是
x1
x2
8(2 k 2 4k 2
k) 1
，
又 M为 AB的中点，
所以
x1 x2 2
4(2k 2 k)
4k 2 1 2 ，
解得 k
1 2，
故所求直线方程为 x 2 y 4 0 。
解法二 ：设直线与椭圆的交点为
A( ) x1, y1 ， B
（ ）， x2, y2 M（ 2， 1 ）为 AB的中点，
B (x2, y2) ， 其中点 P (x0, y0 ) ， 由
消去 y 得 (x 1) 2 4x ， 即 x2 6x 1 0 ，
所以 x 0
x1 x2 2
3， y0
x0 1 2 ， 即中点坐标为 (3,2) 。
解法二：设直线 y x 1 与抛物线 y2 4 x 交于 A( x1 , y1 ) ，
2
关于圆锥曲线的中点弦问题
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题， 类问题一般有以下三种类型：
（ 1）求中点弦所在直线方程问题；
是解析几何中的重要内容之一， 也是高考的一个热点问题。这
（ 2）求弦中点的轨迹方程问题； （ 3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法 等。 一、求中点弦所在直线方程问题
∵ P 在抛物线内 ， ∴ 4
2
(k 2)( k 2 2k 2)
0,
∴
4k
11
P( 1
2k ∴ 2
1
k 3 2k
k ∴ 4k
∴ 2 k 0.
1 , 1 k) k2
4 0,
x2 例 2、 已知椭圆 a 2
P( x0 ,0) ， 求证：
y2 b2 1(a b a 2 b2
x0 a
0),
A、 B 是椭圆上两点，
a2 b2
a。
线段 AB 的垂直平分线
证明：设 AB的中点为 T ( x1, y1 ) ， 由题设可知 AB 与 x 轴不垂直， ∴ y1
k AB
∴
b2 a2
?
x1 y1
kl
∵ l ⊥ AB ∴
a2 b2
?
y1 x1
y y1
∴ l 的方程为：
a2 b2
?
y1 x1
(x
x1 )
0 y1
令 y=0 得
a2 b2
在关于 l 对称的两点， k 的取值范围是什么？
解：设 C 上两点 A、 B 两点关于 l 对称， AB 的
中点为 P( x0 , y0 ) （ y0 0)
1
k AB
p
2
∴
y0 y0
1
k
y0
∴
1 2 k ∵ P∈ l ∴ y0
k( x0 1) 1,
1 k k(x0 1) 1, ∴2
x0
∴
1k2 1
?
y1 x1
( x0
x1
∴
a2 a2 b2 ? x0
∵ | x1 | a
a2 ∴ | a2 b2 ? x0 | a
a2 b2
a 2 b2
x0
∴
a
a
0， x1 )
l 与 x 轴相交于
则有
2
9 x1
2
9x2
2
16 y1
2
16 y2
576 ， 576
两式相减得 9( x1 2 x 2 2 ) 16( y1 2 y2 2 ) 0 ，
又因为 x1 x2 2 x ， y1 y2 2 y ， 所以 9 2 x( x1 x2) 16 2 y( y1 y2 ) 0 ，
所以 y1 y2
9x
，
x1 x2 16y
而 k PQ
y 0 ， 故 9x
y
。
x ( 8)
16y x 8
化简可得 9x2 72 x 16 y 2 0 （ x 8）。
解法二：设弦中点 M（ x, y ）， Q（ x1 , y1 ），
由x
x1
8 ，y
y1 可得 x1
2x 8 ， y1 2 y ，
2
2
2
又因为 Q在椭圆上， 所以 x1 64
2
y1 1 ， 36
下面举例说明。
x2 y2 1
例 1、 求椭圆 25 16 斜率为 3 的弦的中点轨迹方程。
解：设 P（ x， y ）是所求轨迹上的任一点，
3
则有
16 x ?
25 y ， 故所示的轨迹方程为
16x+75y=0
75
(
x
241
75 )
241
例 3、 已知抛物线 C： y 2
x ， 直线
l : y k ( x 1) 1, 要使抛物线 C上存
例 1、 过椭圆 x 2 y 2 1 内一点 M（ 2， 1 ）引一条 16 4
弦， 使弦被点 M平分， 求这条弦所在的直线方程。
解法一 ：设所求直线方程为 y-1=k(x-2) ， 代入椭
圆方程并整理得：
(4k 2 1) x 2 8(2k 2 k) x 4(2k 1) 2 16 0
又设直线与椭圆的交点为 A( x1, )y1 ，B（ x2 , y2）， 则
∴ (2 Ax 0 D )( x1 x2 ) (2Cy0 E )( y1 y2)
y1 y2
∵ 2Cy0 E 0 ∴ x1 x2 ∴
x1 x2
0
2 Ax0 2Cy 0
D
k AB
E即
2 Ax 0 2Cy 0
D E 。（ 说 明 ： 当
k
2 Ax 0 D
A
B 时， 上面的结论就是过二次曲线 C 上的点 P (x0, y0 ) 的切线斜率公式， 即
所以 x1 x2 4 ， y1 y2 2 ，
又 A、 B 两 点 在 椭 圆 上 ，
， 2
2
x2 4 y2 16
则 ， x12 4 y12 16
两式相减得 ( x12 x2 2 ) 4( y12 y2 2 ) 0 ，
所以
y1 x1
y2 x2
x1 x2 4( y1 y2 )
1
2，
即 k AB
1
2，
故所求直线方程为 x 2y 4 0 。
2Cy 0 E ）
推 论 1 设 圆 x2 y2 Dx Ey F 0 的 弦 AB 的 中 点 为 P (x0, y0 ) （ y0 0) ， 则
k AB
2x0 D
k
2 y0 E 。（假设点 P 在圆上时， 则过点 P 的切线斜率
2x0 D 2 y 0 E 为）
x2 推论 2 设椭圆 a 2
y2 b2
?
x0 y0
）
P( x0 , y 0 )（ y 0
0) 则 kAB
b2 a2
?
x0 y0
。（假设点
P 在双
推论 4 设抛物线 y2
2 px 的弦 AB的中点为 P(x0, y0)（ y0
k AB 0) 则
p y0 。（假设点 P 在抛物线上，
k p)
则过点 P 的切线斜率为
y0
我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，
意得
y1
2
4 x1 ， 两式相减得 y 2 2
y12
4( x2
x1 ) ，
y2 4x2
B(x2, y2 ) ， 其中点 P ( x0 , y0 ) ， 由题
所以 ( y 2 y1 )( y2 y1) 4 ， x 2 x1
所以 y1 y2 4 ， 即 y0 2 ， x0 y0 1 3 ， 即中点坐标为 (3,2) 。
、B (x2,
y2 )
则
2
Ax1
2
Cy1
Dx1 Ey1
F
0 ……（ 1）
2
2
Ax2 Cy2 Dx2 Ey2 F 0 ……（ 2）
(1) (2) 得 A( x1 x2 )( x1 x2 ) C( y1 y2 )( y1 y2) D(x1 x2 ) E( y1 y2 ) 0
∴ 2 Ax0 (x1 x2 ) 2Cy 0( y1 y2) D (x1 x2 ) E ( y1 y2 ) 0
故所求直线方程为 x 2y 4 0 。
二、求弦中点的轨迹方程问题
例 2、 过椭圆 x 2 y 2 1 上一点 P（ -8 ， 0 ）作直线交椭圆于 Q点， 求 PQ中点的轨迹方程。 64 36
解法一：设弦 PQ中点 M（ x, y ）， 弦端点 P（ x1, y1 ）， Q （ x2 , y2 ），
上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论
引理 设 A、B 是二次曲线 C： Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 上的两点， P (x0 , y0 ) 为弦 AB的中点， 则